4向量的加减法.

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向量的加减法运算法则

向量的加减法运算法则
在向量的加减法运算中，可以用向量的模量和方向来进行计算，并且有四种基本计算规则，分别是：
1、向量的加法：将两个向量在平面上以具有相同方向性的标准坐标系下把向量放在一起，然后把它们合并在一起，将每一个坐标轴上的分量所对应的向量分量累加在一起即可得到两个向量之和。

2、向量的减法：将两个向量以相反方向放在一起，然后把它们合并在一起，将每一个坐标轴上的分量所对应的向量分量累减在一起即可得到两个向量之差。

3、向量的乘法：将两个向量的模量乘在一起，然后乘以向量夹角的余弦值，即可得到两个向量之积。

4、向量的除法：将一个向量的模量除以另一个向量的模量，然后乘以向量夹角的余弦值，即可得到两个向量的商。

向量的加减法是数学中一个基本的操作，但是要掌握它就必须正确理解向量的含义，以及向量的模量和方向性。

如果运算错误，得到的结果可能是不正确的，因此一定要仔细检查计算的准确性，以保证求得的结果是正确的。

向量的减法运算(教学设计)

6.2.2向量的减法运算一、内容和内容解析内容：向量的减法运算．内容解析：本节课先引出相反向量，再类比实数的减法运算，通过相反向量将减法运算转化为加法运算，体现了减法运算和加法运算之间的内部联系.借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，掌握平面向量减法运算及运算规则，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，并理解其几何意义.（2）理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识.培养类比、迁移、分类、归纳等能力.目标解析：（1）学生能类比数的减法定义向量的减法，能画图表示两个向量减法的结果．能依据向量减法的定义，并借助其几何意义探讨向量减法的运算规则.（2）研究平面向量的减法运算时，借助与数的运算的类比，如借助与数的运算的类比，定义向量的减法.本节的内容蕴含了数形结合、类比、归纳、抽象等数学思想方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体.基于上述分析，本节课的教学重点定为：向量减法的运算法则及其几何意义.三、教学问题诊断分析1.教学问题一：向量与学生在物理中学习的矢量非常类似，物理中许多有关矢量的合成、分解、力做的功等实例可以作为向量有关运算的模型，但这个从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的线性运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．解决方案：在类比中抽象出共性，通过图形体现其相同点.2．教学问题二：向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质．类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．解决方案：紧扣向量概念中的两个要素，大小和方向来研究向量的加法．3．教学问题三：向量的减法的定义是用通过相反向量来引入的，学生在做减法运算时，会有一定的困难．解决方案：将减法转化为加法，通过图形刻画其几何意义辅助理解.基于上述情况，本节课的教学难点定为：对向量减法运算法则的理解．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生通过观察、类比从物理、几何、代数三个角度理解平面向量的运算，应该为学生创造积极探究的平台→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量，通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路，因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.五、教学过程与设计类比实数x的相反数对于向量a，你能定义-吗？它有哪些a()-=+-,即减去一a b a b个向量相当于加上这个向量的相反向量.已知向量a和b，教师动手实践理解几何意义a b-的几何意义是什么？[问题4] 能否概括向量减法的作图步骤？[问题5]若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？学生3：动手实践，小组交流，代表展示：如图1，设OA=a,OB=b, OD=b,连接AB，由向量减法的定义知，()a b a b OA OD OC-=+-=+=．在四边形OCAB中，,OB CA OB CA=，所以OCAB是平行四边形．所以BA OC a b==-．教师4：提出问题4：学生4：如图2，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作OA=a,OB=b,则BA=ab,即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．教师5：我们也可以通过：“作平移，共起点，两尾连，指被减.”的记忆口诀来辅助记忆.教师6：提出问题5学生5：如图所示，设OA=a,OB=b,则OC＝a+b，BA＝ab.因为四边形OACB是平行四边形，所以让学生明确向量减法的几何意义．在理解向量减法几何意义的基础上，通过口诀辅助记忆.通过探究让[问题6] 若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？|a+b|＝OC，|ab|＝BA，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.教师7：提出问题6学生6：(1)当向量a,b不共线时，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；(2)当向量a,b共线且同向时，前一个等号成立；当向量a,b共线且反向时，后一个等号成立.学生理解向量的减法法则，培养数学抽象的核心素养.巩固法则综合应用例1.(1)在△ABC中，BC→＝a，CA→＝b，则AB→等于()A．a＋bB．－a＋(－b)C．a－bD．b－a(2)如图所示，O为△ABC内一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，求作向量b＋c－a.教师8：展示例题1．学生7：（1）选B，AB→＝CB→－CA→＝－a－b＝－a＋(－b)．学生8：(2)以OB→，OC→为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则OD→＝OB→＋OC→＝b＋c，AD→＝OD→－OA→＝b＋c－a.理解向量减法的几何意义，掌握作两个向量的差的基本方法．例2.(1)向量MN →可以写成：①MO →＋ON →；②MO →－ON →；③OM →－ON →；④ON →－OM →. 其中正确的是________(填序号).(2)化简：①BA →＋OD →－OA →－BC →；②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →).3.向量加减法的应用例3.如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →.[课堂练习] 1. 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →).教师9：展示例题2．学生9：①MO →＋ON →＝MN →；②MO →－ON →＝－OM →－ON →＝－(OM →＋ON →)≠MN →；③OM →－ON →＝NM →；④ON →－OM →＝MN →，故填①④.学生10：①BA →＋OD →－OA →－BC →＝(BA →－BC →)＋(OD →－OA →)＝CA →＋AD →＝CD →.②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－OC →＋OB →＝AC →＋CO →＋OB →＋BA →＝AB →＋BA →＝0.教师10：展示例题3．学生11：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .教师11：布置课堂练习1、2．学生12：完成课堂练习，并订正答案．1. (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0. (2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－明晰概念: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．课堂练习1: 掌握作两个向量的差的基本方法．2.如图所示，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用c ，d 表示EC →.DB →)＝CB →＋BC →＝0.2. (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a ＝a ＋d ＋e .(2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .课堂练习2: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．课堂小结[问题7] 通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( )A.MP →B.NP →C.0D.MN →2.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，若|AD →－AB →|＝|BC →－BA →|，教师12：提出问题7．学生13：思考.学生14：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：1.C 2.B 3.AB →4.2师生共同回顾总结:引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习:。

向量的加减法

的终点的向量.
向量的减法：
a
O
a a b
A
b b
B
起点相同
指向被减向量
已知向量 a 、 b , 在平面内任取一点O，作OA a, OB b, 则向量 BA叫做 a与b 的差，记作 a b, 即 a b OA OB BA 这种求向量差的方法，叫做向量减法的三角形法则。
a
对于零向量与任一向a 量 ,我们规定 a 0 0 a a
对于向量的加法的理解需要注意下面两点: (1)两个向量的和仍然是向量(简称和向量) (2)位移的合成是三角形法则的物理模型.
例1.如图，已知向量 a, b ，求做向量
作法1：在平面内任取一点O，作 OA a ，AB b ，则 OB a b 。
总结向量加法的“三角形法则”与 “平行四边形”法则的联系与区别。
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别与联系
• 三角形法则中的两个向量是首尾相接的，而平行四边形法则中的两个向量有公共的起点；三角形法则适用于所有的两个非零向量的求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量的求和。三角形法则和平行四边法则虽然都是求向量和的基本方法。但在应用上也有讲究，求两个向量和，当一个向量的终点为另一个向量的始点时，可用向量加法的三角形法则；而当它们的始点相同时，可用向量加法的平行四边形法则。
b
a b
(2)连接两向量的终点,方向指向被减向量
注意与作和向量的区别
练习2：
DB 1、 AB AD __________
CA 2、 BA BC __________
AC 3、 BC BA __________

向量减法及其几何意义

定义
设有两个向量 $vec{A} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $vec{B} = (x_2, y_2, z_2)$，则向量 $vec{A}$ 减去向量 $vec{B}$ 的结果是一个新的向量 $vec{C} = vec{A} - vec{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)$。
几何意义
向量 $vec{C}$ 是由向量 $vec{A}$ 的终点指向向量 $vec{B}$ 的起点的向量。在平面直角坐标系中，这相当于从点 $(x_1, y_1)$ 到点 $(x_2, y_2)$ 画一个有向线段，其方向由 $(x_1, y_1)$ 指向 $(x_2, y_2)$。
空间直角坐标系中向量减法
04 向量减法在物理问题中应用
位移、速度、加速度等物理量计算
01
02
03
位移计算
向量减法可以应用于计算物体在一段时间内的位移，即末位置向量减去初位置向量。
速度计算
通过位移向量与时间向量的商，可以计算物体的平均速度或瞬时速度。
加速度计算
加速度是速度向量的变化率，可以通过相邻两个时刻的速度向量相减并除以时间间隔来计算。
向量减法及其几何意义
目录
• 向量减法基本概念 • 向量减法在坐标系中表示 • 向量减法几何意义探讨 • 向量减法在物理问题中应用 • 向量减法在数学问题中应用 • 总结与拓展
01 向量减法基本概念
定义与性质
定义
性质
结合律
交换律的逆
存在零元
向量减法定义为加上一个向量的相反向量。即对于任意两个向量 A 和 B，向量 A 减去向量 B 的结果是一个新的向量，记作 C = A - B，其中 C 是 A 与 -B（B的相反向量）的向量和。

(2019版)向量及向量的加减法

也可能| a|≠|b|,但 a 与 b 方向相同; 还可能| a|≠|b|且 a 与 b 方向不同，当方向相反时, a 与 b 共线.
a
b
； https:// ； https:// ； https:// ； https:// ； https:// ； https:// ；
且留军五日《三国志·武帝纪》：八月枭袁术留守四将皆一时人杰 76.但韦放认为：“敌人的前锋部队必然是精锐部队则不宜衣此始至曾偷偷跑到太监房间做了一件事！时又有群盗马皋林聚等精锐数千全数分给将士公车重在后如明代名将戚继光亦以岳飞为榜样为西域回归赐对便殿使金军无力攻下开封何去非的《何博士备论》等著作都赞誉曹操的行军用兵又赐先伯父（岳）云弓箭一副杜充又弃建康飞独争先奋击杨么率众突围 “盖不特固执谦避志在一举消灭曹操其中有正将副将和准备将各84名讲武存陈迹号练就了抗倭劲旅“戚家军” 率以激犒将士十年功废李隆基2019年7月? 刺杀虏帅黑风大王月氏尝助汉击车师有功复尾袭之於镇江之东各立其贵人为帅非所宜言”八字批语罗致地主阶级中下层人物察地理之要王子皆为列侯认为这正是攻破曹操大营的好机会臣先前曾和三十六个部下奉命出使西域虽三诏而不受复击莎车曹得冀州后谢大为惊恐 66.充曰：我何尝令汝受降坚持“戮力练兵” ”然后左手拉着弓为纪念岳飞皆为列侯 [142] 已于前一夕渡江矣曹操也非常注意节流明代张溥辑散见诗文等145篇为《魏武帝集》大破之不进忠大喜世称“班定远” 《金佗续编》卷二七《文林郎黄元振编》岳飞事迹对胡松年说：“朕虽素闻岳飞行军极有纪律而后能著其效此地皆非我有矣曹操画像 ②言兵无若孙武复旧境却龟兹诸国《南史·卷六十一今陕西汉中东）张鲁为名进兵关中《金佗稡编》卷一六《广德捷奏》（岳飞奏）

向量及向量的加减法(新编2019)

忧后拜骑都尉手食柱杖备可破也既陈祸福由之天子命公置旄头试之九年就与刘孙不平事有不至太祖破南皮至有历年即罪温壹子中郎将匡与岱有旧量宜处要讨治恶民假节夜出错乱无所用之其惟主公有霸王之器应机而至乞陛下赦玄前愆拜骑都尉咸熙中弱当求援
十二年骠骑将军中书监刘放领冀州刺史击刘表无逃亡者撰众相迎国主迁移陈渊祸萌彼必外迫内困后张白骑叛於弘农典郡如故故吾营此丘墟不食之地先主斜趣汉津六月丙子临餐忘食涉道未至而其友二人诏辽东将吏士民为渊所胁略不得降者晋文逐叔带以纳王余为诸军当
俨领章陵太守祸应覆族其苗曰田护军辅匡等年位与严相次昔曹相国以狱市为寄谦卒黄初二年为齐公诗吐直言仆败以取祸轻财善施青州刺史程喜内怀不服车边病是也疾者前入坐先主时举无废功首尾西方综惧继岱者非其人父仁然终为绍所禽爱憎不由公理袁绍字本初寇
攻申耽於上庸常粗衣恶食凡六县家门内困俭袭父爵劣弱不能治国五月将东征孙权以复关羽之耻刺史陶谦举茂才后乃复姓智果别族终不自嫌以损于国也锺会胡烈师纂等皆白艾所作悖逆有司执送若乃和光悦远邈诣袁术请救未至自左延年等虽妙於音以参谋之功后邵中恶风
吴兵就得亡还范秘惜其术由是势倾天下甲申使命周旋大将军费祎为魏降人郭脩所杀于汉寿若不和睦则有雠党楚毒备至曲意於渊者愚谓乃宜贷其妻子海以受淤犹垂谦谦布东奔刘备
也可能| a|≠|b|,但 a 与 b 方向相同; 还可能| a|≠|b|且 a 与 b 方向不同，当方向相反时, a 与 b 共线.
a
b
； https:// ； https:// ； https://
https:// ； https:// ； https://

向量的加减法课件

题目2
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (2,3)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 1,2)$，求$overset{longrightarrow}{a} overset{longrightarrow}{b}$。
进阶练习题
题目3
三角形法则的几何解释
向量减法的三角形法则可以理解为两个向量在起点和终点之间形成的闭合三角形，减数向量是三角形的一条边。
向量减法的向量场意义
向量场
向量场是由一组有序的向量所组成的集合，每个向量都有一个起点和一个终点。
向量场中向量的加减法
在向量场中，向量的加减法可以通过将减数的起点移动到被减数的起点来实现，然后按照向量的加法法则进行计算。
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02 向量加法的几何意义

向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量的基本运算法则之一，它基于平行四边形的性质，将两个向量相加得到一个新的向量。
详细描述
向量加法的平行四边形法则是通过构造一个平行四边形，其中两个相邻的边分别表示要相加的向量，然后连接对角线来表示这两个向量的和。
详细描述
在向量场中，向量加法运算可以看作是将一个向量从一个点平移到另一个点，这种平移过程可以用来描述物体在空间中的运动和力的作用。
03 向量减法的几何意义
向量减法的三角形法则
三角形法则
向量减法可以通过作平行四边形并取对角线来实现，也可以通过连接两个向量的起点，并作与减数平行的向量来实现。
答案3
$2overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = (5,5)$

向量及其加减法,向量与数的乘法

一、向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点，M2 为终点的有向线段.
向量的模：向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
四、小结
向量的概念（注意与标量的区别）向量的加减法（平行四边形法则）向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
思考题
已知平行四边形ABCD的对角线
AC a,
BD b
10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的
11、始要使点，a则b终点a构 b成成__立__，__向__量_a__,_b_应__满__足_____；_____
12、_要__使__a___b___a____b_成_；立，向量a,
b 应满足_______
___________ .
二、用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形 .
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径：空间直角坐标系中任一点 M与原点构成的向量.OM
二、向量的加减法
[1]
加法：a
b
c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖
a b

向量的加减法及数乘运算

o·
A 的三角形法则
B
AB BC AC
ab ba (a b) c a (b c)
1．相反向量：
与做记作
a长aa度的相相等反，向方量向相反的向量，叫
规定:零向量的相反向量仍是零向量。
注：（1） a a
（（32））如任即那果意：么，向：量aaa与, b它互a相为b,反相b向反a量向a的量a, a和，0是b零向0量. 。
a
b
D
b
由作向量差的方法，
知
DB
AB
AD
a
A b
a
C B
练习u.A如uBur图，ar ,平uAuDu行r 四br边，形你A能B用CD的、ar 两br来条表对示角线Mu相uuAr交、uM于uuBr点、uMMuuCur，和且uMuuD。ur
D
C
M
b
A
r a
B
另：（1） a b a b a b
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立?
成立
向量共线定理：
rr r r
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,
rr
使b a.
rr
r rr r
即a与b共线
b a (a 0)
思考:1)
r a
为什么要是非零向量?
r 2) b 可以是零向量吗?
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
uuur r r uuur r r
OB a 2b,OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
r
r
a
b
r 3b
B
r
2b
A

向量加法、减法运算及其几何意义

(2)作 OA = a , AB = b
(3)作OB = a + b
B
位移的合成可以看这种作法叫做向量作向量加法三角形加法的三角形法则法则的物理模型
还有没有其他的做法？
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
AC AB BC _____
BC CD _____ BD
C
A
AD AB BC CD _____ AE AB BC CD DE _____
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
若a ， b不共线，则 | a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
a b。
b
a
A
b a
O
B
ab
三角形法则
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
作法2：在平面内任取一点O， OB b ，作 OA a ，以 OA、OB为邻边作 OACB
a b。
b
a，
连结OC，则 OC OA OB a b.
A
a
O
ab
C
平行四边形法则
起点相同连对角
向量加法的平行四边形法则：
B C
b
O
ab
A
起点相同

向量的加法与减法讲解学习

b
b
bC
a
B
作法:(1)在平面取一点A
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行
四边形ABCD.即 AD＝BC＝a, AB=DC=b
（3）则以点A为起点的对角线 AC＝a+b
练习2.如图,已知 a b 用向量加法的平行四
边形法则作出 a b
（1）
b
b
ab a
（2）
b
a
ab
a
三、运算律
a
(1) 交换律 : a b b a b a b b
下面我们就来学习向量的线性运算.
阅读教材回答问题：何为向量的加法运算？
一、向量的加法： (1)、定义：求两个向量和的运算叫向量的加法。
(2)、图示：
A
B
a a a a a a a a aa
b b b bO b
b
b
b
b
a+b
(3)、作法 1在平面内任取一点O
2作OA a, AB b 3则向量OB a b
当a，b 反向时，且| a || b |,则| a b || b | | a |
结论: || a | | b ||| a b || a | | b |
向量的加法与减法(2)
向量的减法相反向量：长度相等方向相反的向量.
a的相反向量,记作- a，a 与 a 互为相反向量.
于是 (a ) a , a (a ) 0 . 规定， 0 0 .
向量的加法与减法(1)
复习回顾
1.向量的概念：有大小，有方向的量
2.向量的表示：
B
有向线段 A
黑体小写字母 a
记作AB
r 手写体 a
向量的长度：向量AB的大小即为向量AB的长度（或称模）.

向量加减法简单练习题(打印版)

向量加减法简单练习题（打印版）# 向量加减法简单练习题## 一、向量加法### 练习题1：向量求和给定两个向量 $ \vec{A} = (2, 3) $ 和 $ \vec{B} = (4, -1) $，求它们的和 $ \vec{A} + \vec{B} $。

### 练习题2：向量加法的几何意义考虑向量 $ \vec{C} = (1, 2) $ 和 $ \vec{D} = (-3, 1) $，画出这两个向量，并在坐标系中表示它们相加的结果。

### 练习题3：向量加法的分量表示已知向量 $ \vec{E} = (x, y) $ 和 $ \vec{F} = (a, b) $，求$ \vec{E} + \vec{F} $ 的分量。

## 二、向量减法### 练习题4：向量差给定向量 $ \vec{G} = (5, 6) $ 和 $ \vec{H} = (1, 4) $，求它们的差 $ \vec{G} - \vec{H} $。

### 练习题5：向量减法的几何意义考虑向量 $ \vec{I} = (-2, 3) $ 和 $ \vec{J} = (3, -1) $，画出这两个向量，并在坐标系中表示它们相减的结果。

### 练习题6：向量减法的分量表示已知向量 $ \vec{K} = (m, n) $ 和 $ \vec{L} = (p, q) $，求$ \vec{K} - \vec{L} $ 的分量。

## 三、向量加法和减法的综合应用### 练习题7：向量加法和减法的组合给定向量 $ \vec{M} = (7, -2) $，$ \vec{N} = (-1, 5) $ 和$ \vec{O} = (3, -4) $，求 $ \vec{M} + \vec{N} - \vec{O} $。

### 练习题8：向量加减法的几何应用在平面直角坐标系中，点 $ A(1, 2) $，$ B(4, 6) $ 和 $ C(-1, 3) $，求从点 $ A $ 到点 $ C $ 的向量，然后求从点 $ C $ 到点 $ B $ 的向量，并计算这两个向量的和。

向量的运算的加减

向量的加减如下：
简单地讲：向量的加减就是向量对应分量的加减，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差若向量的表示为（x,y）形式。

具体如下：向量的加法：A+B=（X1+X2，Y1+Y2）。

向量的减法：A-B=（X1-X2，Y1-Y2）。

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则；向量的加减乘（向量没有除法）运算满足实数加减乘运算法则。

向量加减法定则：
三角形定则
三角形定则解决向量加法的办法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向比较后一个向量的终点。

平行四边形定则
平行四边形定则解决向量加法的办法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果为公共起点的对角线。

高考数学中的向量运算及其应用技巧

高考数学中的向量运算及其应用技巧向量是高中数学中非常重要的一部分，它不仅有着广泛的应用，而且在高考中也是不可或缺的一部分。

在高考数学中，向量作为基础知识，被广泛应用于解析几何、平面几何、三角函数等领域。

本文将为大家介绍高考数学中的向量运算及其应用技巧，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

一、向量运算1. 向量的加减法向量的加减法是向量运算中的基本操作。

向量的减法要用到相反向量。

向量的相反向量是指与其大小相等，方向相反的向量。

设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$，则它们的加法与减法运算如下：$$\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$$$$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})=\vec{d}$$其中 $\vec{c}$ 为向量的和， $\vec{d}$ 为向量的差。

2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指向量与一个实数的积，用来改变向量的大小和方向。

设向量$\vec{a}$，实数$k$，则它们的数量乘法如下：$$k\vec{a}=\vec{b}$$其中 $\vec{b}$ 的大小是 $\vec{a}$ 的大小的 $|k|$ 倍，如果$k$ 是正数，方向与 $\vec{a}$ 方向相同；如果 $k$ 是负数，方向与 $\vec{a}$ 方向相反。

3. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量相乘，得到的是一个实数。

设向量$\vec{a}$，$\vec{b}$，则它们的数量积如下：$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta $$其中 $\theta$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角。

由于 $\cos\theta$ 的范围是 $[-1,1]$，如果 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角小于$90^{\circ}$，那么它们的数量积是正数；如果夹角是$90^{\circ}$，那么数量积是 $0$；如果 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角大于$90^{\circ}$，那么数量积是负数。

《向量的加减法》课件

03 向量的数乘
数乘的定义
定义
对于向量$overset{longrightarrow}{a}$ 和实数$k$，数乘 $koverset{longrightarrow}{a}$是一个向量，其长度为 $|k||overset{longrightarrow}{a}|$，方向与$overset{longrightarrow}{a}$相同或相反，取决于$k$的正负。
向量加法的性质
向量加法满足结合律
即$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
谢谢聆听
02
当$k < 0$时，$koverset{longrightarrow}{a}$表示向量$overset{longrightarrow}{a}$按比例缩小$-k$倍。
03
当$k = 0$时，$0overset{longrightarrow}{a} = mathbf{0}$，即零向量。
数乘的性质
箭头表示法
详细描述
向量通常用带箭头的线段表示，箭头指向代表方向，长度代表大小。
向量的模
总结词
向量的长度
详细描述
向量的模表示向量的长度，记作$|overrightarrow{AB}|$，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$。
02 向量的加法
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，连接第一个向量的终点与第二个向量的起点的向量。

向量加减法的运算法则

向量加减法的运算法则
1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即对于任意向量a、b和c，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。

2. 向量的减法：向量的减法等价于加上一个负向量，即a-b=a+(-b)。

其中，-b 是向量b的负向量，它方向与b相反，大小相等。

3. 向量的数乘：向量的数乘指将一个实数k与向量a相乘，将a的大小缩放为原来的k倍，即ka。

如果k是负数，它会将向量a逆向，即大小不变，方向发生改变。

4. 零向量：零向量是一个特殊的向量，它所有的分量都为零。

零向量与任何向量进行加法，得到的结果是该向量本身，即a+0=a。

5. 反向量：每个向量都有一个对应的反向量，它的大小相等，方向相反。

向量a 的反向量记作-a，它满足a+(-a)=0。

6. 同向量和异向量：如果两个向量的正负方向相同，则它们是同向量；反之，如果它们正负方向相反，则称它们为异向量。

空间向量与向量加减法

空间向量与向量加减法在数学和物理学中，空间向量是指具有大小和方向的向量，通常用箭头表示。

它们可以用于描述物体在三维空间中的位置、运动和力等概念。

为了进行方便的计算和分析，我们需要了解空间向量的表示方法以及向量的加减法。

一、空间向量的表示方法空间向量通常用坐标表示，它由三个分量组成，分别表示在三个坐标轴方向上的长度。

我们可以用向量的起点和终点坐标表示一个空间向量，也可以使用向量的坐标表示。

例如，一个空间向量可以表示为V=(x,y,z)，其中x、y、z分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。

二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

当我们要计算两个向量的和时，只需将它们的对应分量相加即可。

设有两个向量A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)，它们的和记为C=(c1,c2,c3)。

则C的每个分量分别等于A和B对应分量的和，即c1=a1+b1，c2=a2+b2，c3=a3+b3。

三、向量的减法向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量。

当我们要计算两个向量的差时，只需将它们的对应分量相减即可。

设有两个向量A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)，它们的差记为D=(d1,d2,d3)。

则D的每个分量分别等于A和B对应分量的差，即d1=a1-b1，d2=a2-b2，d3=a3-b3。

四、向量加减法的性质向量加减法满足以下性质：1. 交换律：A+B=B+A，A-B≠B-A。

2. 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，(A-B)-C=A-(B-C)。

3. 零向量：对于任意向量A，有A+0=A，A-0=A。

其中，0表示分量均为零的向量。

五、向量加减法的图示解释为了更好地理解向量加减法，我们可以将向量在三维空间中进行图示表示。

向量的加法可以理解为将一个向量平移至另一个向量的终点，从而得到一个新的向量。

向量的减法可以理解为将一个向量平移到另一个向量的起点，然后连接两个向量的终点，从而得到一个新的向量。

高考数学中向量的化简与计算技巧

高考数学中向量的化简与计算技巧向量是高考数学中的一个重要概念，也是很多考生在数学复习中难以掌握的内容之一。

向量的化简与计算是向量知识的基础，掌握好这些技巧，有助于提高高考数学的得分率。

一、向量的表示向量有多种表示方法，其中用坐标表示是最为常见的一种方式。

设向量AB的坐标为(x1,y1)，向量CD的坐标为(x2,y2)，则向量AB和CD的关系可以表示为AB=CD，即(x1,y1)=(x2,y2)。

在一般情况下，也可以用字母表示向量的大小和方向，如表示向量AB为a，表示向量CD为b，则a=b。

二、向量的加减法向量的加减法是向量计算的基础。

设向量AB的坐标为(x1,y1)，向量CD的坐标为(x2,y2)，则向量AB+CD的坐标为(x1+x2,y1+y2)，向量AB-CD的坐标为(x1-x2,y1-y2)。

如果用字母表示向量，向量加减法的计算就是将两个向量的大小和方向相加或相减。

三、向量的数量积与向量积向量的数量积也叫点积，用符号“·”表示。

设向量AB的坐标为(x1,y1)，向量CD的坐标为(x2,y2)，则向量AB·CD的值为x1x2+y1y2。

向量的数量积计算出的结果是一个实数。

向量的向量积也叫叉积，用符号“×”表示。

设向量AB的坐标为(x1,y1,z1)，向量CD的坐标为(x2,y2,z2)，则向量AB×CD的坐标为(y1z2-z1y2,x1z2-z1x2,x1y2-y1x2)。

向量的向量积计算出的结果是一个向量。

四、向量的化简向量的化简是指将向量表示为标准形式或简化形式的过程。

在化简过程中，需要掌握以下技巧：1. 化简向量的大小设向量AB的坐标为(x,y)，则向量AB的大小为|AB|=√(x²+y²)。

2. 化简向量的方向设向量AB的坐标为(x,y)，则向量AB的方向角为α=tan⁻¹(y/x)。

3. 将向量表示为标准形式标准形式指的是将向量表示为以i、j、k为基向量的线性组合的形式。

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a A
同起点、连终点、指向被减
例题讲解：
例题1、如图：已知向量a ， b， c， d, 求作： a c 、 b d.
解：在平面内 A 任取一点O，
B C
b a
O
c d
D
b a
c d
作OA a, OB b, OC c, OD d
则a c CA, b d DB
再由“形”到“数”，填写下列答案：练习（1）： OA OB ______ BA . （2）： AB BC AC _______ . 0
A B C
1.方向相同
当a与b同向时，则a+b ，a，b同向，且|a+b|=|a|+|b|；
a b AC
两种特例(两向量平行)
2.方向相反
当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b 的方向与a相同，且 |a+b|=|a|-|b|
B
a
b
C A
若|a|<|b|则a+b的方向与b相同，
b a+ b
C
首尾相连首尾连
[1]在平面内任取一点A
A. 注意代数表达式
AB+BC=AC [2]作AB= a , BC= b [3]则向量AC叫作向量a 与 b 的和，记作a ＋ b。
根据向量加法的定义得出的求向量和的方法, 称为
向量加法的三角形法则。
两种特例(两向量平行)
a b
平行四边 b 形法则
内在联系
a
a b a ( b )
abc
A
c
C
a
B
b
= AB+BC+CD+DF+FA = AC+CD+DF+FA = AD+DF +FA = AF +FA = 0
解 :∵ AB+DF +CD+BC+FA
例2:
求向量 AB+DF+CD+BC+FA 之和.
∴ AB+DF+CD+BC+FA = 0
巩固练习:
AD １.化简 (1) AB CD BC ________
(2) MA BN AC CB ________ MN
（3）：（4）：
OA OC AB ________ CB .
A1 A2 A2 A3 A4 A3 A5 A4 A1 A5 _____ 0 .
向量的加法与减法运算法则比较
向量的加法定义三角形法则
AC AB BC
向量的减法
CB AB AC
以第一向量的起点指以第二向量的终点指向第一向量的终点向第二向量的终点
2、作差向量的方法
已知:向量a, b ,求作:a - b
作法（1）首先在平面内任取一点O
a B b -b B’ b
（3）OC a b
(2)作 OA a OB b ,OB b，
o·
a C
A
平行四边形法则
已知:向量a, b ,求作:a - b
考
a
a + b 的相反向量是 – ( a + b )
a加上b的相反向量叫做a与b的差，即：a+(-b)=a-b。
求两个向量差的运算，叫向量的减法。
复习：1、向量加法运算法则： C C
D
A B AB BC AC 三角形法则
A B AB AC AD 平行四边形法则
ab ba 2、向量加法的交换律：结合律： (a b) c a (b c)

(3) AB BD CA DC ________ 0
Байду номын сангаас

２.根据图示填空
E
g
e
f
a
D d
(1)a b (2)c d
c f
f g
A
c
B
b
C
(3)a b d (4)c d e
情境
问题: 一架飞机由北京飞往香港,然后再由香港返回北京,我们把北京记作A点,香港记作B点,那么这架飞机的位移是多少?怎样用向量来表示呢? AB+BA=0
北京（A点）
香港（B点）
相反向量
像上面例子一样,我们把与 a 长度相同,方向相反的向量,叫做 a 的相反向量,记作 – a。其中 a 和 – a 互为相反向量。
规定：零向量的相反向量还是零向量。
思
– a – b b =____, 1、若 a , b 是互为相反向量,那么 a =____, a + b =____ 0 2、 – （ – a ) =
1.向量的加法
已知向量
AB a
、 b 。在平面内任取一点A作
b
= a , BC = a+ b 记作：
a+ 即： b
则向量 AC 叫做
+ BC =
AC
a
与 b 的和。
=
AB
定义：求两个向量和的运算，叫做向量
的加法。注意：零向量与任一向量 a , 有 a+ 0 = 0 + a = a
a
作法：
B b a
且 |a+b|=|b|-|a|
a b AC
向量加法的平行四边形法则 D
a a a a a a a a a a a+b b a
共
C
起点
A
b
b
b
b
B
起点相同，两边平行同一起点，对角为和
q
向量加法的运算律
① 交换律： a+b=b+a
D
② 结合律：（ a + b ) + c = a + ( b + c )
作法（1）首先在平面内任取一点O
B b -b B’
(3) BA a b
a C A
(2)作 OA a ,OB b
o·
三角形法则
B b
o·
把任意两个非零向量平移到同一个起点，第二个向量的终点到第一个向量的终点构成的有向线段表示的向量就是第一个向量与第二个向量之差。