周胜兵学生《立体几何》专题
2023-2024学年浙江省舟山市高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-强化训练-18-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年浙江省舟山市高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-强化训练(18)姓名：____________ 班级：____________学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）+8π +8π +16π +16π1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C.D. 2. 在棱长为6的正方体中，为侧面内一动点，且满足平面 ， 若 ，三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（ ）A. B. C. D.长方体 的体积3. 给定两个不共线的空间向量 与 ，定义叉乘运算：规定：① 为同时与 垂直的向量；② ， 三个向量构成右手系(如图1)；③如图2，在长方体中 ， ，则下列结论错误的是（ ）A.B.C. D.BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形4. 在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，且AE ∶EB=AF ∶FD=1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则（ ）A. B. C. D. 4个3个1个2个5. 如图，AB 是⊙O 直径，C 是圆周上不同于A 、B 的任意一点，PA 与平面ABC 垂直，则四面体P_ABC 的四个面中，直角三角形的个数有（）A. B. C. D. ①②③④①③②④6. 设 m 、n 是两条不同的直线， α 、β是两个不同的平面，则下列叙述正确的是（ ）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.A. B. C. D. 若，，，则若，，，则若，，则若，，，则7. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列正确的结论是（ ）A. B. C. D. π8. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A. B. C. D.9.如图，A 1B 1C 1-ABC 是直棱柱，，点D 1 ， F 1分别是A 1B 1 ， A 1C 1的中点. 若BC=CA=CC 1 ， 则BD 1与AF 1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.若，则若，则若，则若，则10. 已知l ，m 是两条不同的直线，是平面，且，则（ ）A. B. C. D.①和②②和③③和④①和④11. 设 是两条不同的直线， 是三个不同的平面．给出下列四个命题：①若 ⊥ ， ，则 ； ②若 ，则 ；③若 ，则 ； ④若，则 ．其中正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 12. 设是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的命题是（ ）A.B. C.D. 13. 如图，在直角中， ， ， 为斜边上异于、的动点，若将沿折痕翻折，使点折至处，且二面角的大小为 ， 则线段长度的最小值为 ．14. 已知圆锥的顶点为P ，母线的夹角为 ， 与圆锥底面所成角为 ， 若的面积为 ， 则该圆锥的侧面积为 ．15. 已知某圆台的上、下底半径和高的比为 ， 母线长为 ， 则该圆台的体积为 （）.16. 所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥中，AM 是PC 的中点，且 ，底面边长 ，则正三棱锥的外接球的表面积为 ；AM 与底面AB C 所成角的正弦值为 ．阅卷人得分三、解答17. 如图，在底面是正方形的四棱锥中， 面 ， 交 于点 ， 是 中点， 为 上一点．(1) 求证：．(2) 确定点 在线段 上的位置，使 平面 ，并说明理由．18. 已知四棱锥的底面ABCD是直角梯形，AD//BC ，， E为CD的中点，(1) 证明:平面PBD 平面ABCD；(2) 若，PC与平面ABCD所成的角为，试问“在侧面PCD内是否存在一点N ，使得平面PCD？”若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由.19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面 , ，E是的中点，作交于点F ．(1) 证明 : 平面；(2) 证明: 平面 .20. 如图，在四棱锥中，四边形为菱形，， .(1) 证明：；(2) 若，求二面角的正弦值.21. 如图，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，顶点在底面ABCD内的射影恰为点C．(1) 求证：BC⊥平面ACD1；(2) 若直线DD1与底面ABCD所成的角为，求平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。
江苏省盱眙县都梁中学高二数学《立体几何》章末小结教案
1.本章知识回顾
（1）空间点、线、面间的位置关系；
（2）直线、平面平行的判定及性质；
（3）直线、平面垂直的判定及性质。
2.本章知识结构框图 二、整合知识，发展思维
1.刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。
公理1——判定直线是否在平面内的依据；
公理2——提供确定平面最基本的依据；
公理3——判定两个平面交线位置的依据；
公理4——判定空间直线之间平行的依据。
2.空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；
3.空间平行、垂直之间的转化与联系：
平面（公理1、公理2、公理3、公理4） 空间直线、平面的位置关系 直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行
4.观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。
三、应用举例，深化巩固
P61 复习题
四、课后作业
阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法；
五、教后反思：。
2023-2024学年湖南省益阳市高中数学北师大 必修二第六章-立体几何初步专项提升-6-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年湖南省益阳市高中数学北师大必修二第六章-立体几何初步专项提升(6)姓名：____________班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）若 ， 则若 ， 则若 ， 则若 ， 则1. 已知、是两个不同的平面，直线， 下列命题正确的是（ ）A. B. C. D. 不存在无数条唯一一条最多一条2. 和是异面直线，且 ，则过点 与 都相交的直线（ ） A. B. C. D. 线段圆弧椭圆的一部分抛物线的一部分3. 如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为底面ABCD 上的动点，PE ⊥A1C 于E ，且PA=PE ，则点P 的轨迹是（ ）A. B. C. D. 54. 在棱长为2的正方体中，E 是棱的中点，则过B 、E 、三点的平面截正方体所得的截面图形的面积为（ ）A. B. C. D.若 ， ， 则若 ， ， 则若 ， ， 则若 ， ， 则5. 设m ，n 是不同的直线， ， 是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. B. C. D.12346. 以下命题：①根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形；②有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥；④若两个二面角的半平面互相垂直，则这两个二面角的大小相等或互补.其中正确命题的个数为（ ）A. B. C. D. ①②②③②④③④7. 已知是三个不重合的平面， 是直线，给出下列命题：①若 ，则 ；②若 上两点到 的距离相等，则；③若 ，则 ；④若 ，且 ，则 .其中正确的命题是（ ）A. B. C. D. 存在最大值，最大值为存在最小值，最小值为为定值不确定，与 ， 的位置有关8. 如图，在正方体中， ， ， 分别为， 的中点， ， 分别为棱 ， 上的动点，则三棱锥的体积（ ）A. B. C. D. 在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直与直线m 垂直的直线不可能与平面α平行与直线m 平行的平面不可能与平面α垂直9. 设直线m 与平面α相交但不垂直，则下列说法中，正确的是 （ ）A. B. C. D. AC ∥平面A 1BC 1BC 1⊥平面A 1B 1CD AD 1⊥B 1C异面直线CD 1与BC 1所成的角是45°10. 正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 11. 已知在正方体中， ， 分别为 ， 上的点，且满足 ， ，则异面直线与 所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D.13. 如图，在三棱锥PA BC 中，平面PAC ⊥平面ABC ， ∠PCA=90°，△ABC 是边长为4的正三角形，PC=3，M 是AB 边上的一动点，则PM 的最小值为 ．14. 如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为．15. 已知正四棱柱底面边长为，体积为32，则此四棱柱的表面积为16. 如图，四面体的一条棱长为x，其余棱长均为2，记四面体的表面积为，则函数的定义域为；最大值为 .17. 如图，在三棱锥P-ABC中，且底面，D是PC的中点，已知，AB=2，AC=，PA=2.(1) 求三棱锥P-ABC的体积(2) 求异面直线BC与AD所成角的余弦值。
一道立体几何题的变式探究与备考建议
2020年第12期中学数学教学参考（下旬）®考频道一道立体几何题的^…变式探究与备考建议杨晓敏（湖北省天门中学)摘要：立体几何题是中学数学中的重要内容，能较好地考查学生的空间想象能力和运算求解能力。
在数 学教学中对立体几何题进行变式探究，能较好地发散思维，使学生对问题进行深入了解。
关键词：立体几何；变式探究；备考建议文章编号：1002-2171 (2020) 12-0060-02立体几何解答题是每年高考必考的题目，它能较 好地考查学生的空间想象能力和运算求解能力，深受 命题者青睐。
下面笔者通过对一道高考立体几何解答题的求解与变式拓展，提出备考建议。
1试题求解(2020年高考数学全国卷I第20题）如图1，四棱锥P-A B C D的底面为正方形，P D丄底面A B C D。
设平面PA D与平面P B C的交线为Z。
(I )证明d丄平面P D C;(I I)已知 PD=A D=1，Q 为 /上的点，求P B与平面Q C D所成4图/角的正弦值的最大值。
分析：（I)过点P在平面P A D内作直线Z// A D，则/为平面P A D和平面P B C的交线，这时由线 面垂直的判定和性质即可得证以丨丨）以D为坐标原点，直线D C，D A，D P所在的直线为:r轴，^轴，z轴，建立空间直角坐标系设Q(0，/tj，1)，运用向量 法，求得平面P C D的法向量，这时结合向量的夹角公式及基本不等式即可求解。
解：（I)证明：过点P在平面P A D内作直线Z//A D,由A D//B C，可得 ///B C，gp Z 为平面P A D 和平面R B C的交线。
因为P D丄平面A B C D，BCCI平面A B C D，所以 P D丄B C。
又丄C D X D n P C^D，所以I3C丄平 面P C D,因为///B C，所以/丄平面P C D。
(11 )如图2,以D为坐标原点，直线D C，D A，D P 所在的直线为^轴〇轴，z轴建立空间直角坐标系，则 〇(0,0,0)，C(1，0,0)，A(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0,0，1)。
甘肃省民勤县第六中学人教版九年级数学下册：28.1锐角三角函数(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解锐角三角函数的基本概念。锐角三角函数是描述直角三角形中角度与边长之间关系的数学函数。它们在解决实际问题中具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们需要测量一棵树的高度，我们可以利用锐角三角函数来计算。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正弦、余弦、正切这三个函数的定义和应用。对于难点部分，如函数的计算，我会通过具体例子和计算器的操作来帮助大家理解。
1.培养学生的逻辑推理能力，通过探索锐角三角函数的定义与性质，使学生掌握数学概念的形成过程，提高数学思维能力。
2.培养学生的数据分析能力，通过计算锐角三角函数值和应用实例，让学生学会运用数学工具解决实际问题，增强数学在实际生活中的应用意识。
3.培养学生的空间想象力，通过锐角三角函数在直角三角形中的应用，提高学生对几何图形的认识，培养学生的空间观念。
例如：在一个直角三角形中，设锐角A的对边为a，邻边为b，斜边为c，则正弦、余弦、正切分别表示为：sinA = a/c，cosA = b/c，tanA = a/b。
（2）锐角三角函数的计算：掌握特殊角的锐角三角函数值，如30°、45°、60°等，以及利用计算器计算任意锐角的三角函数值。
（3）锐角三角函数的应用：解决实际问题，如测量物体的高度、计算物体的斜边长度等。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与锐角三角函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用三角板和直尺测量角度并计算对应的三角函数值。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
立体几何创新型高考题解析
立体几何创新型高考题解析
周友良;王勇
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2006(000)004
【摘要】纵观近几年全国高考试题，立体几何一直是创新题型的“集散地”，一些构思精巧、新颖别致、极富思考性和挑战性的立体几何创新题频频出现，它们充当着“把关题”的重要角色，具有很好的区分和选拔功能，是考查学生数学素养和能力的极好素材，值得认真研讨。
下面精选几例创新题加以剖析，旨在探索题型规律，揭示解题方法。
【总页数】3页(P6-8)
【作者】周友良;王勇
【作者单位】湖南祁东育贤中学;湖北襄樊市第一中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
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1.一道立体几何高考题的变式解析 [J], 俞新龙
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3.立体几何中的最值问题探究——从一道高考题谈起 [J], 周海东
4.一道立体几何高考题的多种解法 [J], 张克勤
5.化归思想在解高考题中的作用——在立体几何问题中运用化归思想提升课堂效率[J], 王贵文;李调霞
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最新-甘肃省武威六中高中数学论文《一道高考立体几何
一道高考立体几何试题的几种简捷解法摘 要：本文给出了2018年全国卷文科第15题的4种简捷解法。
关键词：高考试题；简捷解法；类比 中图分类号：G6322018年高考全国卷文科填空题第15题：在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB ²+AC ²=BC ².”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ABD 两两互相垂直，则 .”答案: 2222BCD ABC ACD ABD S S S S ∆∆∆∆=++解法1：（先猜测，再特殊值验证法）在平面内，若直角三角形△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则 AB ²+AC ²=BC ².猜想在空间内，三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ABD 两两互相垂直，则2222BCD ABC ACD ABD S S S S ∆∆∆∆=++．取AB=AC=AD=2，则BC=BD=CD=22,2===∆∆∆ABD ACD ABC S S S ，32=∆BCD S ,2222S S BCD ABD ACD ABC S S ∆∆∆∆=++.解法2：（射影法）设三棱锥A-BCD 的顶点A 在底面的射影为O ，则三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ABD 在底面的投影分别为ΔBOC ，ΔCOD ，ΔBOD.再设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ABD 与底面所成的二面角为θ，则θCOS S S ABC BO C ∆∆=， θCOS S S BCD ABC ∆∆=θCOS S S ABC BOC =∆∆， θCOS S S BCD ABC=∆∆BCDABCABC BOC S S S S ∆∆∆∆=ABDOBCDABCBOCS S S ∆∆∆=2同理：BCD ABD BODS S S ∆∆∆=2, BCDACDCOD S S S ∆∆∆=2BO D CO D BO C BCD S S S S ∆∆∆∆++=BCDABD ACD ABC S S S S ∆∆∆∆++=222则2222BCD ABC ACD ABD S S S S ∆∆∆∆=++.解法3：(解析几何法)设三棱锥A-BCD 的三条侧棱|AB|=a ，|AC|=b ，|AD|=c ，θ=∠BCD ，则ab S ABC 21=∆，bc S ACD 21=∆，ac S ABD 21=∆22||b a BC +=，22||c b CD +=，22||c a BD +=在三角形ΔBCD 中，由余弦定理可得：))((cos 22222c b b a b ++=θ，由诱导公式可得：))((cos 1sin 22222222222c b b a c b c a b a ++++=-=θθ，22222221sin ||||21c b c a b a CD BC S BCD++==∆θ2222222222S )(41ABDACD ABC BCDS S c b c a b a S∆∆∆∆++=++=即2222BCD ABC ACD ABD S S S S ∆∆∆∆=++.解法4：(等体积法) 由 ||31AC S V ABD ∆=, ||31AB S V ACD ∆=, ||31AD S V ABC ∆=, 过点A 作AE ⊥BC,垂足为E,连接DE,再过点A 作AF ⊥DE, 垂足为F, 则||31AF S V BCD ∆=ABCDA BCDEF得：||3AC V S ABD =∆ ||3AB VS ACD =∆ ||3AD V S ABC =∆ ||3AF VS BCD =∆ 则：)||1||1||1(92222222AD AB AC V S S S ABC ACD ABD ++=++∆∆∆ 又由三角形的面积公式可得：||||||||||22AE AC AB AC AB ⋅+=⋅ 22||||||||||AC AB AC AB AE +⋅=2222222222||||||||||||||||||||||AC AB AC AB AD AC AD AB AE AD DE +++=+=2222222222||||||||||||||||||||||||||||||||||AC AB AD AC AD AB AC AB AC AB AC AB AD DE AE AD AF +++⋅+⋅⋅=⋅= 222222||||||||||||||||||AC AB AD AC AD AB AC AB AD ++⋅⋅=2222222222222||1||1||1||||||||||||||||||||1AD AB AC AC AB AD AC AB AD AC AD AB AF ++=⋅⋅++= 则)||1||1||1(9||92222222AD AB AC V AF V SBCD++==∆ 综上可得2222BCD ABC ACD ABD S S S S ∆∆∆∆=++一道精彩的高考题,犹如一道靓丽的风景,只要我们仔细地去发现、去品味，就一定会为其丰富而简捷的解法而陶醉和惊叹。
初中数学中考大题专项-立体几何巩固基础
在和中，
说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。
证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM
说明：证明两直线垂直的方法如下：
（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。
（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。
(1)如图a，当点H与点F重合时，求BE的长；
(2)如图b，当点H在线段FD上时，设BE=x，DN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；
(3)联结AC，当△FHE与△AEC相似时，求线段DN的长.
25．（1）∵ ，∴ ，∵ ，∴
∵ ，∴ ，∵ ，∴ .
（2）过点 作 ，垂足为点 .
∴ ，∵ ∥ ，∴ ， ，
又
即
（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）
例6.已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，。
求证：EF＝BE＋DF
分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G，使BG＝DF。
证明：延长CB至G，使BG＝DF
例1.已知：如图1所示，中，。
求证：DE＝DF
分析：由是等腰直角三角形可知，，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得，。从而不难发现
证明：连结CD
说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G，使DG＝DE，连结BG，证是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。
湖北省公安县博雅高三数学二轮复习 第19课时《立体几何》教师用书(2)
湖北省公安县博雅高三数学二轮复习第19课时《立体几何》教师用书（2）★高考趋势★（此处加粗，小四号）线面，面面位置关系的判定与性质是高考考察的重点，由于各种位置关系可以相互转化，因而在客观题中常常综合线面，面面各中位置关系考察学生的思维论证技能和空间想象能力，在解答题中，线面，面面垂直与平行是考查的热点。
一基础再现（此处加粗，小四号）考点15：平面及其基本性质1 .设错误！未找到引用源。
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是异面直线，则(1)一定存在平面错误！未找到引用源。
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；(3)一定存在平面错误！未找到引用源。
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的距离相等；(4)一定存在无数对平面错误！未找到引用源。
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；上述4个命题中正确命题的序号为._____________考点15：直线与平面平行、垂直的判定与性质2、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：①若m∥β，n∥β，m、n错误！未找到引用源。
α，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n错误！未找到引用源。
γ，则m⊥n；③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β；④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n；其中所有正确命题的序号是．考点15：两平面平行、垂直的判定与性质3：（辽宁卷）若错误！未找到引用源。
是两条不同的直线，错误！未找到引用源。
是三个不同的平面，则下列命题中的真命题．．．是1)若错误！未找到引用源。
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巧用几何知识解答力的平衡问题
巧用几何知识解答力的平衡问题
黄发春
【期刊名称】《青海教育》
【年(卷),期】2009(000)004
【摘要】共点力作用下的物体平衡问题是高中物理教学中的重点和难点内容之一，在教学中占有十分重要的地位，也是高考考查的重点，因此学好、学透这部分知识显得尤为重要。
下面结合具体实例，介绍几种利用几何知识解答共点力平衡问题的方法，供参考。
【总页数】1页(P45)
【作者】黄发春
【作者单位】(Missing)
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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1.巧用几何画板,构建高效课堂——创设活力四射、异彩纷呈的数学课堂 [J], 杨必化
2.巧用数学知识解答经济学试题 [J], 黄云雄
3.巧用数学知识解答物理问题 [J], 周霞
4.用平面几何知识解答解析几何问题 [J], 穆承生;侯乃文
5.巧用比的知识解答 [J], 唐武元
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为立体几何综合题求解支招
为立体几何综合题求解支招江西省吉水中学 周湖平 331600近年来，立体几何的考查开始摆脱传统立体几何死板的考查方式和方法，推出了一系列既能注重考查学生的空间观念和空间想象能力，又能考查学生的创新能力和创新意识的题目，如平面图形的折叠问题，空间图形中的动点问题等。
本文对考查新动向的立体几何综合问题进行剖析，寻找解决这类问题的思维突破口。
一 降维转化转化、化归思想是重要的数学思想，对于立体几何问题来说，解题时除了可以运用一般的转化外、还有一种三维空间问题转化为二维问题的被称为“降维”的策略，降维转化是立体几何中常见的求解策略，它是指把空间问题转化为平面来解决。
例1 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C1中，，BB 1=2， ∠ABC=90°，E 、F 分别为AA 1，C 1B 1的中点，沿棱柱表面从E 到F ，两 点之间的最短路径的长度为 。
解：将三棱锥侧面、底面展开有以下四种情况（如图）在（1）中，2EF === 在（2）中，EF === 在（3）中，2EF === 在（4）中，EF ===通过比较知E 沿平面AA 1C 1C 过棱A 1C 1到F点评：本题中的棱柱将其表面展开的方法有多种，因此采取分类讨论法将每一种情况分别求出，再进行比较得出结论。
二 求同存异平面图形折叠成空间图形问题是立体几何中的一种重要题型，它将平面图形与空间图形紧密结合，融为一体。
在解决这类问题时，要求同学们既要会由平面图形想象出直观形体，又会准确地用图形表现空间形体，会观察、分析各种几何要素在折叠前后的相互关系。
在近几A C （1） A B E G A 1 B 1 C 1 F （2）1 A （3）1 （4）1A年的高考题中，折叠问题的增多标志着高考对空间想象能力要求的深化。
例2 （2007年湖南高考理科第18题）如图2，E F ，分别是矩形ABCD 的边AB CD ，的中点，G 是EF 上的一点，将GAB △，GCD △分别沿AB CD ，翻折成1G AB △，2G CD △，并连结12G G ，使得平面1G AB ⊥平面ABCD ，12G G AD ∥，且12G G AD <．连结2BG ，如图3．图2图3 （I ）证明：平面1G AB ⊥平面12G ADG ；（II ）当12AB =，25BC =，8EG =时，求直线2BG 和平面12G ADG 所成的角． 解：（Ｉ）因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB 平面ABCD AB =，AD AB ⊥，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面1G AB ，又AD ⊂平面12G ADG ，所以平面1G AB ⊥平面12G ADG ．（II ）过点B 作1BH AG ⊥于点H ，连结2G H ．由（I ）的结论可知，BH ⊥平面12G ADG ，所以2BG H ∠是2BG 和平面12G ADG 所成的角．因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB 平面ABCD AB =，1G E AB ⊥， 1G E ⊂平面1G AB ，所以1G E ⊥平面ABCD ，故1G E EF ⊥．因为12G G AD <，AD EF =，所以可在EF 上取一点O ，使12EO G G =，又因为12G G AD EO ∥∥，所以四边形12G EOG 是矩形．由题设12AB =，25BC =，8EG =，则17GF =．所以218G O G E ==，217G F =，15OF ==，1210G G EO ==．因为AD ⊥平面1G AB ，12G G AD ∥，所以12G G ⊥平面1G AB ，从而121G G G B ⊥．1G 2G DF C B A E故222222221126810200BG BE EG G G =++=++=，2BG =．又110AG ==，由11BH AG G E AB =得81248105BH ⨯==．故2248sin 525BH BG H BG ∠===． 即直线2BG 与平面12G ADG所成的角是arcsin25． 点评：本题是一道考查空间想象能力和综合分析能力的佳题，解决此类问题的关键是能够清楚辨析出折叠前后图形的边、角关系产生了怎样的变化，尤其值得注意的是考察出折叠前后哪些关系，如边长、角度、相应的平行或垂直关系保持不变，这些不变的信息往往作为“隐含”条件，对我们求证（解）折叠后的立体图形中的点、线、面关系起到至关重要的作用，因此要对平面图形进行“深挖掘”，求解出变化后的立体图形问题，此类问题是近年来立体几何考查的一大新动向。
例析新高考数学必修2《立体几何中的角》
例析新高考数学必修2《立体几何中的角》
周建军
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2016(000)008
【摘要】在新课标高考中,广东省将采用全国卷,而全国卷中试题大多以中档题为主,立体几何题已经不再如广东卷那样属于送分题.在全国卷的立体几何问题中,通常第一问是证明直线的位置关系,第二问是求角.有关立体几何中角的问题的求解已经成为阻碍学生得分的主要因素.本文将以典型例题来阐述必修2立体几何中角的有关问题的有效教学和处理模式.
【总页数】3页(P12-14)
【作者】周建军
【作者单位】广东省佛山市华附南海实验高中,528200
【正文语种】中文
【中图分类】G632
【相关文献】
1.高考数学三角函数、立体几何部分问题分析研究 [J], 江雪梅
2.全国高考数学解答题答题规范及得分要领系列讲座(1)——三角、数列、立体几何 [J], 高慧明
3.基于地理实践力培养的教学设计例析
——以新湘教版必修一"风成地貌"为例 [J], 李兆查;金培培
4.基于地理实践力提升的课堂探究活动例析
——以新湘教版必修一"喀斯特地貌与海岸地貌"为例 [J], 李兆查;金培培;谢耀庆5.2018年全国高考数学考纲关键词解读及预测分析(1)——三角、数列、立体几何[J], 高慧明
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2019版文科数学一轮复习高考帮全国版课件微专题4 高考中的立体几何问题(2019高考帮·数文)精选ppt版本
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文科数学 微专题4：高考中的立体几何问 题
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文科数学 微专题4：高考中的立体几何问 题
示例5 [2017全国卷Ⅲ,19,12分][文] 如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角 形,AD=CD. (1)证明:AC⊥BD; (2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC, 求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
文科数学 微专题4：高考中的立体几何问 题
考向1 求空间几何体的表面积和体积 考向2 空间线面平行、垂直关系的证 明与空间几何体体积的计算
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考情揭秘 立体几何是高考考查的重要内容,在高考中一般是两道小题,一道大题. 小题常以三视图和常见的空间几何体(尤其是球)为载体,求解几何体的表面 积和体积,考查考生的直观想象能力与数学运算能力.解答题主要考查空间 线面平行关系、垂直关系的证明以及空间几何体体积的计算,考题设置通 常是先证明后计算,主要考查考生的直观想象能力和逻辑推理能力,难度中 等.涉及的思想主要有转化与化归思想、数形结合思想.
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再见
2019/11/30
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文科数学 微专题4：高考中的立体几何问 题
命题意图 本题主要考查线线垂直的判定、四面体的体积,意在考查考生 的逻辑推理能力、数学运算能力及直观想象能力.
立体几何课堂教学与数学竞赛的有机结合
立体几何课堂教学与数学竞赛的有机结合
刘文武;黄学屹;金为民
【期刊名称】《数学教学》
【年(卷),期】1992(000)003
【摘要】如何吸引更多的中学生参加数学第二课堂活动?笔者认为必须注意激发兴趣,使第一课堂(课内)和第二课堂(课外兴趣小组)有机地结合起来。
本文拟从三个全国高中数学联赛立几试题谈起。
一 1982年二十八省市自治区中学生联合数学竞赛试题第二大题如下: 2.(本题16分)已知四面体S-ABC
中,∠ASB=π/2,∠ASC=α(0<α<π/2),∠BSC=β(0<β<π/2),以SC为棱的二面角的平面角为θ,求证:θ=π-arccos(ctgα·ctgβ)。
【总页数】4页(P12-15)
【作者】刘文武;黄学屹;金为民
【作者单位】[1]河南鹤壁市高中;[2]河南鹤壁市高中;[3]河南鹤壁市矿务局中学【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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1.数学竞赛中的立体几何组合体问题的解法探究 [J], 覃章平;彭智伟
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3.议高中数学竞赛中的立体几何问题 [J], 张佩丽
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专题一立体几何
考点1 空间几何体的结构及其三视图和直观图
例1．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体
的侧视图为( )
练：如图甲所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的________．
例2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )．
A．①②B．①③C．①④D．②④
练：一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不能够是( )．
A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱
例3．(2013·汕头二模)如图，某简单几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正
方形，且其体积为π
4，则该几何体的俯视图能够是( )．
练：已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )．
例4、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形
ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，原
平面图形的面积为________．
练1.如图，用斜二测画法得到四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为2，则原四边形的面积是________．
练2．已知正三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积是
6
16a
2，那么正三角形ABC的周长
为
例5、已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2 cm、高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点A1的最短路线的长为________cm；沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.
考点2 空间几何体的表面积与体积
知识梳理：
1、多面体的表面积
多面体的表面积为各个面的________．
2、旋转体的表面积
(1)圆柱的表面积S＝______ __；(2)圆锥的表面积S＝____ ____；
(3)圆台的表面积S＝；(4)球的表面积S＝______ __.
3、体积公式
（1）柱体的体积V＝_____ ___；（2）锥体的体积V＝_____ ___；（3）台体的体积V＝_____ ___；（4）球的体积V＝____ ____. 例1．若某几何体的三视图(单位：cm)如下图所示，则此几何体的体积是( )
练1：某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱
锥的体积是( )．
A.1
6 B.
1
3 C.
2
3D．1
练2：一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．48 B．32＋817C．48＋817 D．80
练3：(2013·临沂一模)具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为( )．
A．3 B．7＋32 C.7
2πD．14
练4：如图是一个几何体的正视图和俯视图．
(1)试判断该几何体是什么几何体；
(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；
(3)求出该几何体的体积．
例2、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为线段AA1、B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．
例3．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，求圆台的表面积．
练、若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．
球、球与空间几何体的接、切等问题
例4．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则
此球的体积为 ( )． A.6π B ．43π C ．46π
D ．63π
例5、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为________
练1：设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A ．πa 2 B.73πa 2 C.11
3πa 2
D ．5πa 2
变：
练：2：高为
的四棱锥
的底面是边长为1的正方形，点、、、、均在半
径为1的同一球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为 （ ）
(A) (B) (C) (D)
练3：有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
第二讲点、直线、平面之间的位置关系
考点整合考点一：四个公理的应用
考纲点击
1．理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解能够作为推理依据的公理和定理．
◆公理1◆公理2◆公理3◆公理4
◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．2．以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，理解和理解空间中线面平行、垂直的相关性质与判定定理．
基础梳理
一、四个公理
1．公理1 如果一条直线上________在一个平面内，那么这条直线在此平面内，此公理能够用来判断直线是否在平面内．
2．公理2 ________的三个点，有且只有一个平面．
3．公理3 如果两个不重合的平面有________公共点，那么这两个平面有且只有一条________的公共直线．
4．公理4 平行于同一条直线的两条直线________．
整合训练
1．给出下列命题，准确命题的个数是( )
①梯形的四个顶点在同一平面内；②有三个公共点的两个平面必重合；③三条平行直线必共面；④每两条都相交且交点不相同的四条直线一定共面．
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点二：直线与平面的位置关系
考纲点击
1．理解以下判定定理：
◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．
◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．
2．理解以下性质定理，并能够证明．
◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．
◆垂直于同一个平面的两条直线平行．
能使用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．
整合训练
2．(1)判断对错：
①α∥β，a αa∥β( )
②α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b a∥b ( )
③α∥β，a⊥αa⊥β( )
④夹在平行平面间的平行线段相等( )
⑤垂直于同一条直线的两条直线平行( )
⑥a∥α则a上任一点到α的距离相等( )
⑦若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a与c平行或异面( )
⑧一条直线与平面平行，则它与平面内的无数条直线平行( )
⑨α∥β，则α上任一点到β的距离相等( )
⑩α上有不共线的三点到β的距离相等，则α∥β( )
考点三：平面与平面的位置关系问题
考纲点击
1．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．2．如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．
3．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线互相平行．
4．如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．基础梳理
三、平面与平面的位置关系
整合训练
3．平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A．存有一条直线a，a∥α，a∥β
B．存有一条直线a，a α，a∥β
C．存有两条平行直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
D．存有两条异面直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
高分突破
突破点1：线线、线面的位置关系
例一：正三棱柱A1B1C1—ABC 中，点D 是BC 的中点，BC ＝ BB1.设B1D ∩BC1＝F. (1)求证：A1C ∥平面AB1D ；(2)求证：BC1⊥平面AB1D.
跟踪训练
1.(11江苏16)如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线E F ‖平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD
2.(11天津文17)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为
平行四边形，0
45ADC ∠=，1AD AC ==，O 为AC 中点， PO ⊥平面ABCD ，2PO =， M 为PD 中点． （Ⅰ）证明：PB //平面ACM ； （Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；
C
A
P
M
O
突破点2：面面平行与垂直的证明问题
例题：
跟踪训练
1．如右图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AB＝a，F、F1分别是AC、A1C1的中点．
求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.。