斜率乘积为定值问题

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评析：本题第(1)问主要考查椭圆及圆的几何性质的应 用；第(2)问是定值问题，切入的关键在于设三点A， B，M的坐标，通过向量条件及三点在椭圆上，寻求 出三点坐标间的关系，从而使问题获解 。
4.感受高考
2 x1 x2 2 x12 x2 2 2 (ⅱ) y1 y2 ( ) (1 y12 )(1 y2 ) 2 2 2 2 2 2 1 ( y12 y2 ) y12 y2，故y12 y2 1.
x x 2 2 2 2 又( y1 ) ( y2 ) 2，故x1 x2 2. 2 2 2 2 2 2 2 2 所以OA OB x1 y1 x2 y2 3.
2.热身练习
(数学之友P40第3题）
1 3
推广： b2 椭圆k1 k2 = 2 a b2 双曲线k1 k2 = 2 a 圆k1 k2 = 1
3.例题讲解
例题1
(数学之友P46第5题）
x y 一般结论：过椭圆 2 + 2 = 1一点定p ( x0 , y0 ) a b 的直线l1 , l2分别交椭圆与A，B。若kl1 kl2 = m ma +b ma +b 则直线AB过定点（ x0 ,y0 )。 2 2 2 2 ma - b ma - b
因M 在椭圆上， ( x1cos x2 sin ) 2 故 ( y1cos y2sin ) 2 1. 2 2 x12 x2 x1 x2 2 2 2 2 整理得( y1 )cos ( y2 )sin 2( y1 y2 )cos sin 1. 2 2 2 将①②代入上式， x1 x2 并注意cos sin 0，得 y1 y2 0. 2 y1 y2 1 所以，kOA kOB 为定值． x1 x2 2
斜率乘积为定值问题
1.回归课本
选修2-1 P39第4题
在 ABC中，（ 6， B 0），C 6， 直线 AB，AC （ 0） 9 的斜率乘积为 ，求顶点A的轨迹方程。 4
9 9பைடு நூலகம்变式1 ： 改为4 4
9 变式2 ： 改为m m 0) （ 4
变式3：乘积 改为 差 (教材2-1 P59） 抛物线
1 求椭圆的方程； 2 设A，B，M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，
ⅰ求证：直线OA与OB的斜率之积为定值； ()
解析： 依题意，得c 1.于是，a 2，b 1. 1 x2 所以所求椭圆的方程为 y 2 1. 2 x12 () 2 ⅰ设A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，则 y12 1，① 2 2 x2 2 y2 1.② 2 uuur uur uuu r 又设M ( x，y )，因为OM cos OA sin OB， x x1cos x2 sin 故 . y y1cos y2 sin
2 2 2 2
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2
例题2
(数学之友P46第8题）
x2 y 2 2 已知椭圆 2 2 1(a＞b＞0)的离心率为 ， a b 2 其焦点在圆x 2 y 2 1上.
uuur uur uuu r 且存在锐角，使OM cos OA sin OB. (ⅱ)求OA2 OB 2 .