高中数学人教A版必修5《1.1.3正、余弦定理》课件

4、在△ABC中，下列命题正确的是 D
A、若 sin A= 1 A=30o B、若cosA= 1 A=30o
2
2
C、若a=7,b=6,c=10,则C为锐角
D、满足a=18,b=20,A=150o的△ABC一定不存在 5、在△ABC中，cosAcosB>sinAsinB,则△ABC为 C
A、等边三角形 B、直角三角形
复习回顾 正弦定理： a b c 2R
sinA sinB sinC
变形：a 2RsinA,b 2RsinB,c 2RsinC a : b : c sinA : sinB : sinC
可以解决几类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 AAS （2）已知两边和一边的对角。SSA
余弦定理的作用
9、ABC中，tanA = sin A ,那么三角形是_等__腰__三__角__形__
tanB sin B
10、在△ABC中，A、B均为锐角，且cosA>sinB,则 △ABC是__钝__角__三__角__形____即_ sin(900 A) sin B
11、在ABC中，sinA=2cosBsinC,那么ABC 是___等__腰__三__角_形_____
c-b = sinC-sin B sinC-sin B = sin A-B
c
sin C
sin C
sin C
sin B=sinC-sinA-B =sinA+B -sinA-B =2cos Asin B
cosA= 1 A=60o 2
A=B=C=60o 三角形ABC是正三角形
例16、a根co据s A所=b给c条os件B ，2判 断三a 角=形AbBC的= 形c状（。例1变式）
试判断三角形的形状。 （三维）
解：Q cosC= a2 +b2 -c2 = 1 C=60o 2ab 2
tan A- tan B sin A cos B-cos A sin B sin A-B sin A-B tan A+ tan B = sin A cos B+ cos A sin B = sin A+B = sinC
12、已知ABC中，AB= a2 +b2 ,AC= a2 +c2 ,BC= b2 +c2 ,
其中a,b,c>0,那么ABC是__锐__角三角形。
例1、在ABC中，已知a=4,b=5,SABC =5 3,求c的值。 解：S= 1 ab sin C, a=4,b=5,S=5 3 2 sin C= 2S = 3 C=60o或120o ab 2 C=60o c2 =a2 +b2-2abcosC=16+25-20=21 c= 21 C=120o c2 =a2 +b2-2abcosC=16+25+20=61 c= 61
形。一个方向是边，走代数变形之路，通常正、余弦
定理结合使用;另一个方向是角，走三角变形之路，
通常是运用正弦定理，要注意边角转化的桥梁---正、余弦定理。
4、根据条件选用定理可使解题简便 1)已知两角及其中一个角的对边，选用正弦定理，
如已知A,B,a解三角形，则用正弦定理。 2)已知三边a,b,c,一般选用余弦定理求角
tanA=tanB=tanC
∴△ABC是等边三角形
小结
1、正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形 的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有 一边)，那么这个三角形一定可解。
2、正弦定理和余弦定理的特殊功能是边角互换，即 利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角
的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决。 3、判断三角形的形状，一般考虑从两个方向进行变
b2 +c2 -a2 cos A=
2bc
a2 +c2 -b2 cos B=
2ac
（1）已知三边求三个角；
a2 +b2 -c2
（SSS）
cos C= 2ab
（2）已知两边和它们 的夹角，求第三边和 其他两个角. (SAS)
a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC
=1，tan
B=
1 2
,
tan
C=-2,求ABC的
边长和外接圆面积。
（例1变式）
解：tan B= 1 sinB= 5 , cos B= 2 5
2
5
5
tan C=-2 sinC= 2 5 , cos C=- 5
sin
A=sin
B+C
5 =sinBcosC+
cos
5 BsinC=
3
5
SABC
=1=2R2
BD = AB
1 2 A+C=
C
CD AC
B+D=
B
C D
A B
由余弦定理易得:
A90o a2 b2c2
A90o a2 b2c2
A90o a2b2c2
三角形面积计算公式
c
a
b
b a
a
A
b c
B
a
C
Sbsin C 1 bc sin A
2
2
2
练习题
1、在ABC中， a = b = c =k,那么k= A sin A sin B sin C
cos A cos B cosC
解：1sin Acos A=sin Bcos B sin 2A=sin 2B
2A=2B或2A+2B=180o A=B或A+B=90o ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形 2) a = b = c sin A = sin B = sin C cos A cos B cosC cos A cos B cosC
sin
A sin
B sin
C=2R2
g3g 5
5 5
g2
5 5
=
12 25
R2
R2 = 25 R= 5 3 S= 25
12
6
12
15 2 15
a=2R sin A= 3, b= , c=
3
3
例5、在ABC中，a2 +b2 -c2 =ab,且 tan A- tan B = c-b , tan A+ tan B c
A、2R
B、R C、4R D、1 R 2
R是ABC外接圆半径
2、在△ABC中，bcosA=acosB,则三角形为 C A、直角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形
3、在△ABC中，若a=6,b=7,c=8,则△ABC的形状是 A
A、锐角三角形
B、钝角三角形
C、直角三角形
D、无法确定
例2、已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，
BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。 D
解：连接BD
（例1变式）
C
SABCD =SABD +SBCD
1
1
= 2 ABgADsin A+ 2 BCgCDsin C A
Q A+C=180o sin A=sinC
B
SABCD
=
1 2
ABgAD+BCgCD
（3）判断三角形的形状，求三角形的面积
解三角形中常用的关系式:
A+B+C= sinA+B =sinC, cosA+B =-cosC
sin A+B = cos C ，cos A+B = sin C
2
2
2
2
S
ABC
=
1 2
ab
sin
C=2R
2
sin
A
sin
B
sin
C
角平分线性质
A 圆内接四边形对角互补D
3)已知两边和它们的夹角，用余弦定理求第三边
再用正弦定理求角。 4)已知两边和一边的对角，用正弦定理求一个角，
但需要进行讨论，有两解的可能。
进来的第一个人是一个富翁，他贪财，请求上帝让他得到更多的金钱。
从此后，张良捧着《太公兵法》日夜攻读，勤奋钻研。”“人之初，性本善”小鸭子们也跟着学：“不客气。 外汇论坛 https:// 像一个“贪”字，又像个“完”字。为了自己的国家，由于受到侮辱，刹帝利才从事战争。，可是因为它做事只顾自己，老奶奶很生气
C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形 （事实上，C为钝角，只有C项适合）
6、在△ABC中，sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A等于 C A、30o B、60o C、120o D、150o
7、在ABC中，已知B=30o,b=50 3,c=150,那么ABC是 D A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形
b2
（三维）
解：cos A= b2 +c2 -a2 = 1 A=60o
2bc 2
1 +
c sin C sin 120o-B 3= = =
=
3 cos B+ 1 sin B
2
2
2
b sin B sin B
sin B
1 + 3= 3 cot B+ 1
2
2
2
tan B= 1 2
例4、已知SABC
复习目标：
正、余弦定理
1、进一步熟悉正余弦定理内容;
2、能够应用正余弦定理进行边角关系的相互转化;
3、能够利用正余弦定理判断三角形的形状;
4、能够利用正余弦定理证明三角形中的三角恒等式。
复习重点：利用正余弦定理进行边角互换 难点：