第十六章习题课

其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 .
收敛定理3：
若以2π 为周期的函数 f 在 [π, π]上按段
光滑, 则在每一点 x [π, π], f 的傅里叶级数收敛
于 f 在点 x 的左、右极限的算术平均值,即
f ( x
0) 2
f (x
0)
a0 2
(an cos nx bn sin nx),
an
1 π
π π
f
(x)cos nxdx
1 0
π π
x cos
nx
dx1 πxsin nnx
cos nx n2
0 π
1
cos n
n2 π
an
1
cos n n2 π
π
2 (2k 1)2 π
0,
,
n 2k 1 n 2k
( k 1, 2 , )
bn
1 π
π
π
f
( x) sin
nx d
四、主要的一些结论
1、Riemann 引理： 设函数 (x) 在 [a, b] 上可积或绝 对可积，则成立
lim
b
(x)sin px dx lim
b (x) cos px dx 0 。
p a
p a
2、 设 f (x) 在[π,π] 上可积或绝对可积，则对于 f (x) 的
Fourier 系数 an 与 bn ，有
c, x [π,π] ，
x f (t)dt c
x a0 d t
c2
n1
x
c (an cos nt bn sin nt)d t
。
2、（Fourier 级数的逐项微分定理）
设 f (x) 在[π,π] 上连续， f (π) f (π) ，且除了有限个点
外
f (x) 可导。f
(x)
~
a0 2
(n 0,1,2,) (n 1,2,)
称为函数 f ( x)傅里叶级数.
(３) 正弦级数与余弦级数
如果 f ( x)为奇函数, 傅氏级数 bn sin nx n1
称为正弦级数.
当周期为2 的奇函数 f ( x) 展开成傅里叶
级数时,它的傅里叶系数为
an 0
(n 0,1,2,)
bn
2
0
一、将周期函数展开成Fourier(傅里叶)级数
(1) 三角函数系
三角函数系
1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,cos nx,sin nx,
正交性
任意两个不同函数在[, ]上的积分等于零.
cos nxdx 0,
sin nxdx 0,
(其中n 1,2,)
sin
mx
sin
n1
其中 an , bn 为 f 的傅里叶系数.
三、Fourier 级数的分析性质
1、（Fourier 级数的逐项积分定理） 设 f (x) 在[π,π] 上可 积或绝对可积，
f (x)
~
a0 2
(an cos nx bn sin nx)， n1
则 f (x) 的 Fourier 级数可以逐项积分，即对于任意
(an
n1
cos nx
bn sin nx)，
进一步假设 f (x) 在[π,π] 上可积或绝对可积。
则 f (x) 的 Fourier 级数可由 f (x) 的 Fourier 级数逐项微
分得到，即
f
( x )
~
d dx
a0 2
n1
d dx
(an
cos
nx
bn
sin
nx)
(ann sin nx bnn cos nx) 。 n1
lim
n
an
0
，
lim
n
bn
0。
3 、（Bessel 不等式） 设 f (x) 在[π,π] 上可积或平方可
积，则 f (x) 的 Fourier 系数满足不等式
a02
2
(ak2
k 1
bk2 )
1 π
π f 2 (x)d x 。
π
4、（Parseval 等式） 设 f (x) 在[π,π] 上可积或平方 可积，则成立等式
定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法
周期延拓
f (x) ,
x [ π , π )
F(x)
f (x 2k π ) , 其它
傅里叶展开
上的傅里叶级数
二、Fourier 级数的收敛判别法
收敛定理 1： 设函数 f (x) 在[π,π] 上可积或绝对可 积，且满足下列两个条件之一，则 f (x) 的 Fourier
nxdx
0, ,
mn mn
cos
mx
cos
nxdx
0, ,
mn mn
sin mx cos nxdx 0 (其中m,n 1,2,)
(2) 傅里叶级数
定义
三角级数
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin
nx)
其中
an bn
1
1
f f
( x)cos nxdx, ( x)sin nxdx,
级数在点 x 处收敛于 f (x ) f (x ) 。
2
（1）（Dirichlet-Jordan 判别法） f (x) 在点 x 的某个 邻域 O(x, ) 上是分段单调有界函数；
（2） （Dini-Lipschitz 判别法） f (x) 在点 x 处满足
指数为 (0,1]的 Hölder 条件。
收敛定理2：设 f (x) 是周期为2 的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
f (x) ,
f (x) f (x) , 2
x 为连续点 x 为间断点
奇延拓:
f (x) 0 x
令
F
(
x)
0
x0
f ( x) x 0
f ( x)的傅氏正弦级数
f ( x) bn sin nx. n1
(0 x )
偶延拓:
令
F
(
x)
f f
(x (
) x)
0 x x0
f ( x)的傅氏余弦级数
f
(x)
a0 2
n1
an
cos nx
(0 x )
a02
2
(a
2 k
k 1
bk2 )
1 π
π f 2 (x)d x
π
。
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,它在
上的表达式为
y
3π 2π π π 2π 3π
O
x
将 f (x) 展成傅里叶级数.
解:
a0
1 π
π π
f (x)d x
1 π
0
xdx
π
1 π
x2 2
0 π
π 2
f ( x)sin nxdx
(n 1,2,)
如果
f ( x)为偶函数,
傅氏级数a0 2
an cos nx
n1
称为余弦级数.
当周期为2 的偶函数 f ( x) 展开成傅里叶级数
时,它的傅里叶系数为
an
2
0
f ( x)cos nxdx
(n 0,1,2,)
bn 0
(n 1,2,)
(４) 周期的延拓