回归教材(概率与统计)

答案 300
解析 由图可知，车速大于等于 90 km/h 的车辆未标出频率，而小于 90 km/h 的都标出了，
π－π 4
此基本事件的区域应是∠ACB，所以 P(AM＜AC)＝∠ACC′＝ 2 ＝3. ∠ACB π 4 2
易错点 5 互斥事件概念不清
例 5 对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设 A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没 击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互为互斥事件 的是________；互为对立事件的是________． 易错分析 对事件互斥意义不明确，对事件的互斥与对立之间的关系不清楚，就会出现错误 的判断．对立事件和互斥事件都不可能同时发生，但对立事件必有一个要发生，而互斥事件 可能都不发生．所以两个事件对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两事件是互斥事件， 但未必是对立事件． 解析 因为 A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故 A 与 B，A 与 C，B 与 C，B 与 D 为彼此互斥事件，而 B∩D＝∅，B∪D＝Ω，故 B 与 D 互为对立事件． 答案 A 与 B，A 与 C，B 与 C，B 与 D B 与 D
答案 ( x ， y ) 5．互斥事件的概率公式 P(A＋B)＝P(A)＋P(B) (1)公式适合范围：事件 A 与 B 互斥．
(2)P( A )＝1－P(A)．
[问题 5] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件 A 为出现奇数点，事件 B 为出现 2 点，
已知 P(A)＝1，P(B)＝1，则出现奇数点或 2 点的概率之和为________．
A．85,84
B．84,85
C．86,84
D．84,86
答案 A
解析 由图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为 84,84,84,86,87.
∴平均数为84＋84＋84＋86＋87＝85，众数为 84. 5
3．从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率
答案 77.5
解析 由直方图估计评分的平均值为 55×0.05＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.25＋95×0.15＝ 77.5. 4．变量间的相关关系
^^ ^
假设我们有如下一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．线性回归方程y＝bx＋a，
其中错误!
^^ ^
[问题 4] 回归直线y＝bx＋a必经过点________．
1．某学校利用系统抽样的方法，从学校高三年级全体 1 000 名学生中抽 50 名学生做学习状
况问卷调查．现将 1000 名学生从 1 到 1000 进行编号，共分 50 组．在第一组中随机抽取一
个号，如果抽到的是 17 号，则第 8 组中应取的号码是( )
A．177
B．157
C．417
D．367
答案 B
生成方式的差异，误以为该题两问中的几何概型都是用线段的长度来度量造成错解． 解 (1)如图所示，AB＝ 2AC.
由于点 M 是在斜边 AB 上任取的，所以点 M 等可能分布在线段 AB 上，因此基本事件的区 域应是线段 AB. 所以 P(AM＜AC)＝ AC ＝ 2.
2AC 2 (2)由于在∠ABC 内作射线 CM，等可能分布的是 CM 在∠ACB 内的任一位置(如图所示)，因
[问题 2] (2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图
所示：
若将运动员按成绩由好到差编为 1～35 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩ห้องสมุดไป่ตู้ 区间[139,151]上的运动员人数是________． 答案 4 解析 由题意知，将 1～35 号分成 7 组，每组 5 名运动员，落在区间[139,151]的运动员共有 4 组，故由系统抽样法知，共抽取 4 名． 3．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的 值．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之 和，众数是最高矩形的中点的横坐标． [问题 3] 某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了 40 个用户，根据用户满意度的 评分制成频率分布直方图(如下)，则该地区满意度评分的平均值为________．
答案 B
解析 5 件产品中有 2 件次品，记为 a，b，有 3 件合格品，记为 c，d，e，从这 5 件产品中
任取 2 件，结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，
(d，e)共 10 种．恰有一件次品的结果有 6 种，则其概率为 p＝ 6 ＝0.6. 10
7．几何概型
一般地，在几何区域 D 内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域 d 内”为事件 A，
则事件
A
发生的概率为
P(A)＝ d
的度量 .此处
D
的度量不为
0，其中“度量”的意义依
D
确
D 的度量
定，当 D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等．
即 P(A)＝
构成事件 A 的区域长度面积或体积
本次抽取的总户数为________． 答案 24
解析 由抽样比例可知6＝480－200－160，则 x＝24.
x
480
2．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对
于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎
叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了．
等于( )
A. 1 B.1 C.1 D.1 10 8 6 5
答案 D
解析 如图所示，
从正六边形 ABCDEF 的 6 个顶点中随机选 4 个顶点，可以看作随机选 2 个顶点，剩下的 4
个顶点构成四边形，有 A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，
C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共 15 种．若要构成矩形，只要选相对顶点即
易错点 3 误解基本事件的等可能性 例 3 若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛 掷 2 次，则出现向上的点数之和为 4 的概率为________． 易错分析 解本题时易出现的错误在于对等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可 能 性 ” 等 概 念 的 理 解 不 深 刻 ， 错 误 地 认 为 基 本 事 件 总 数 为 11( 点 数 和 等 于 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)，或者将点数和为 4 的事件错误地计算为(1,3)(2,2)两种，从而导致出 错． 解析 将先后掷 2 次出现向上的点数记作点坐标(x，y)，则共可得点坐标的个数为 6×6＝36， 而向上点数之和为 4 的点坐标有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共 3 个，故先后掷 2 次，出现向上的点 数之和为 4 的概率 P＝ 3 ＝ 1 .故填 1 .
可，有 A、D，B、E，C、F，共 3 种，故其概率为 3 ＝1. 15 5
4．(2015·福建)如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1,0)，且点 C 与点 D
x＋1，x≥0， 在函数 f(x)＝ －1x＋1，x＜0
2
的图象上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴
易错点 2 统计图表识图不清 例 2 如图所示是某公司(共有员工 300 人)2016 年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可 知，员工中年薪在 1.4 万元～1.6 万元之间的共有______人．
易错分析 解本题容易出现的错误是审题不细，对所给图形观察不细心，认为员工中年薪在 1.4 万元～1.6 万元之间的频率为 1－(0.02＋0.08＋0.10)×2＝0.60，从而得到员工中年薪在 1.4 万元～1.6 万元之间的共有 300×[1－(0.02＋0.08＋0.10)×2]＝180(人)的错误答案． 解析 由所给图形，可知员工中年薪在 1.4 万元～1.6 万元之间的频率为 1－(0.02＋0.08＋ 0.08＋0.10＋0.10)×2＝0.24，所以员工中年薪在 1.4 万元～1.6 万元之间的共有 300×0.24＝ 72(人) 答案 72
解析 根据系统抽样法的特点，可知抽取出的编号成首项为 17，公差为 20 的等差数列，所
以第 8 组的编号是 17＋(8－1)×20＝157. 2．如图是 2016 年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图， 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )
36 12 12 答案 1
12 易错点 4 几何概型中“测度”确定不准
例 4 在等腰直角三角形 ABC 中，直角顶点为 C. (1)在斜边 AB 上任取一点 M，求 AM＜AC 的概率； (2)在∠ACB 的内部，以 C 为端点任作一条射线 CM，与线段 AB 交于点 M，求 AM＜AC 的 概率． 易错分析 本题易出现的问题是混淆几何概型中对事件的度量方式，不注意题中两问中点 M
影部分的概率等于( )
A.1 B.1 C.3 D.1 6482
答案 B 3
解析 由图形知 C(1,2)，D(－2,2)，∴S 四边形 ABCD＝6，S 阴＝12×3×1＝32.∴P＝26＝14. 5．某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有 1 000 辆汽车通过该站，现在随机抽取其 中的 200 辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图，则估计在这 一时段内通过该站的汽车中车速不小于 90 km/h 的约有________辆．(注：分析时车速均取 整数)
6
答案 B
解析 记“点 P 到点 O 的距离大于 1”为 A，
23－1×4π×13 P(A)＝ 2 3 ＝1－