高二数学同步单元双基双测“AB”卷(必修2)专题04 空间点线面之间的关系(B卷) Word版含解析
高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题
D CBA α ca b c b a //////⇒⎭⎬⎫第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义:平面是无限延展的2 平面的画法及表示(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理:(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,则这条直线在此平面内 公理1作用:判断直线是否在平面内(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用:确定一个平面的依据。
推论1:一条直线与它外一点确定一个平面。
推论2:两条平行直线确定一个平面。
推论3:两条相交直线确定一个平面。
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,则它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β=L ,且P ∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系:相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。
2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,则这两个角相等或互补4 异面直线:① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为了简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, ];③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
北师大版高中数学必修二《空间立体几何点线面关系》同步测试题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作《空间立体几何点线面关系》同步测试题一、选择题1、以下命题(其中a ,b 表示直线,α表示平面)①若a ∥b ,b ⊂α,则a ∥α ②若a ∥α,b ∥α,则a ∥b③若a ∥b ,b ∥α,则a ∥α ④若a ∥α,b ⊂α,则a ∥b其中正确命题的个数是( )(A )0个(B )1个 (C )2个(D )3个2、已知a ∥α,b ∥α,则直线a ,b 的位置关系①平行;②垂直不相交;③垂直相交;④相交;⑤不垂直且不相交.其中可能成立的有( )(A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个3、如果平面α外有两点A 、B ,它们到平面α的距离都是a ,则直线AB 和平面α的位置关系一定是( )(A )平行 (B )相交 (C )平行或相交 (D )AB ⊂α4、已知m ,n 为异面直线,m ∥平面α,n ∥平面β,α∩β=l ,则l ( )(A )与m ,n 都相交 (B )与m ,n 中至少一条相交(C )与m ,n 都不相交 (D )与m ,n 中一条相交5、已知直线m 、n 与平面α、β,给出下列三个命题:①若m ∥α,n ∥α,则m ∥n ;②若m ∥α,n ⊥α,则n ⊥m ;③若m ⊥α,m ∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是( )A .0B .1 C.2 D .36、若a 、b 为空间两条不同的直线,α、β为空间两个不同的平面,则a α⊥的一个充分条件是( )A .//a β且αβ⊥B .a β⊂且αβ⊥C .a b ⊥且//b αD.a β⊥且//αβ 8、对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是( )A .若,,m m n α⊥⊥则n α∥B .若m αα∥,n ∥,则m ∥nC .若,m n αα⊂∥,则m ∥nD .若m 、n 与α所成的角相等,则m ∥n9、若直线a 与平面α不垂直,那么在平面α内与直线a 垂直的直线( )A .只有一条B .有无数条C .所有直线D .不存在10、经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )A .0个B .1个C .无数个D .1个或无数个11、已知直线a ,b 和平面α,下列命题中正确的是( )A .若b a b a //,,//则αα⊂B .若b a b a //,//,//则ααC .若αα//,,//a b b a 则⊂D .若ααα//,//,//b b a b a 或则⊂12、已知直线m ⊥平面α,直线⊂n 平面β,下列说法正确的有( )①若n m ⊥则,//βα②若βα⊥,则m //n ③若m //n ,则βα⊥④若βα//,则n m ⊥ A .1个 B .2个 C .3个 D .4个13、已知平面α内有无数条直线都与平面β平行,那么( ) A .α∥β B .α与β相交 C .α与β重合 D .α∥β或α与β相交14、经过平面外两点与这个平面平行的平面 ( ) A .只有一个 B .至少有一个 C .可能没有D .有无数个 15、已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,下列命题中正确的是( )A .,,m n m n αα若则‖‖‖B .,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C .,,m m αβαβ若则‖‖‖D .,,m n m n αα⊥⊥若则‖16、对两条不相交的空间直线a 与b ,必存在平面α,使得( )A.αα⊂⊂b a ,B.b a ,α⊂∥αC.αα⊥⊥b a ,D.αα⊥⊂b a ,17、设b 、c 表示两条直线,α、β表示两个平面,下列命题中真命题是( )A .若b ⊂α,c ∥α,则b ∥cB .若b ⊂α,b ∥c ,则c ∥α 或α⊆cC .若c ∥α c ⊂β,则α⊥βD .若c ∥α α⊥β c ⊂β18、设α,β,γ为不同的平面,m ,n ,l 为不同的直线,则m ⊥β的一个充分条件是( )A .α⊥β,α∩β=l ,m ⊥lB .α∩γ=m ,α⊥γ,β⊥γC .α⊥γ,β⊥γ, m ⊥αD .n ⊥α,n ⊥β, m ⊥α19、设n m ,是不同的直线,α、β、γ是不同的平面,有以下四个命题①γβγαβα//////⇒⎭⎬⎫;②βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥m m //;③βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥//m m ;④αα////m n n m ⇒⎭⎬⎫⊂; 其中正确的命题是( )A.①④; B.②③; C.①③; D.②④;20、已知直线m 、n ,平面α、β,给出下列命题:①若,m n αβ⊥⊥,且m n ⊥,则αβ⊥ ②若//,//m n αβ,且//m n ,则//αβ ③若,//m n αβ⊥,且m n ⊥,则αβ⊥ ④若,//m n αβ⊥,且//m n ,则//αβ 其中正确的命题是( )A .①③B .②④C .③④D .①21、已知α、β是平面,m 、n 是直线,则下命题不正确的是( ).A .若m ∥n , m ⊥α, 则n ⊥α B. 若,m ⊥α, m ⊥β, 则α∥βC.若m ⊥α, m ∥n , n ⊂β, 则α⊥βD. .若m ∥α, α ∩β=n 则m ∥n22、设α、β、γ是三个不同的平面,a 、b 是两条不同的直线,给出下列4个命题: ①若a ∥α,b ∥α,则a ∥b ; ②若a ∥α,b ∥β,a ∥b ,则α∥β;③若a ⊥α,b ⊥β,a ⊥b ,则α⊥β;④若a 、b 在平面α内的射影互相垂直,则a ⊥b . 其中正确命题是( ) A. ③ B. ④ C. ①③ D. ②④23、直线a ∥平面α的一个充分条件是( )A .存在一条直线b ,b ∥α,a ∥bB .存在一个平面β,,β⊆a α∥βC .存在一个平面β,a ∥β,α∥βD .存在一条直线b ,b ⊂α,a ∥b24、已知直线m 、l ,平面α、β,且m ⊥α, l ⊂β,给出下列命题:①若α∥β,则m ⊥l ;②若α⊥β,则m ∥l ;③若m ⊥l ,则α∥β;④若m ∥l ,则α⊥β.其中正确命题的个数是( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )425、设a ,b ,c 是空间三条直线,α,β是空间两个平面,下列命题中,逆命题不成立...的是( )A.当c ⊥α时,若c ⊥β,则α∥βB.当α⊂b ,且c 是a 在α内的射影时,若b ⊥c ,则a ⊥bC .当α⊂b 时,若b ⊥β,则βα⊥D .当α⊂b ,且α⊄c 时,若c ∥α,则b ∥c26、直线l ,m 与平面γβα,,,满足l =γβ⋂, l //α,α⊂m ,γ⊥m ,则必有( )A. γα⊥且β//mB. γα⊥且m l ⊥C. β//m 且m l ⊥D. βα//且γα⊥27、已知直线m ,n 和平面α,则m//n 的必要非充分条件是( )A m//α且n//αB m ⊥α且 n ⊥αC m//α且α⊂nD m ,n 与α成等角28、设βα、是两个平面,m l 、是两条直线,下列命题中,可以判断α∥β的是( )A .l m l 且,,αα⊂⊂∥β,m ∥βB .l m l 且,,βα⊂⊂∥mC .l ∥α,m ∥β,且l ∥mD .,,βα⊥⊥m l 且 l ∥m29、已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m 、n ,有下列四个命题①若m //n ,m ⊥α,则n ⊥α; ②若m ⊥α,m ⊥β,则α//β;③若m ⊥α,m //n ,n ⊂ β,则α⊥β; ④若m //α,α⋂β=n ,则m //n .其中正确命题的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个30、已知直线l ⊥平面α,直线m ⊂平面β,有下面四个命题:①α∥β⇒l ⊥m ; ②α⊥β⇒l ∥m ; ③l ∥m ⇒α⊥β;④l ⊥m ⇒α∥β其中正确的两个命题是( )A.①②B.③④C.②④D.①③ 31、若αβ、是两个不重合的平面,给定以下条件:①αβ、都垂直于平面γ;②α内有不共线的三点到β的距离相等;③l m 、是α内的两条直线,且l ∥β,m ∥β;④l m 、是两条异面直线,且l ∥α,l ∥β,m ∥α,m ∥β. 其中可以判断α∥β的是( )A.①②B.②③C.②④D.④32、已知βα,是平面,m ,n 是直线,给出下列命题:①若βαβα⊥⊂⊥,则m m ,;②若βαββαα//,////,,则,n m n m ⊂⊂;③如果ααα与是异面直线,那么、n n m n m ,,⊄⊂相交;④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且,则,且⊄⊄=⋂其中正确命题的个数是( )A .4B .3C .2D .133、已知三条不重合的直线m 、n 、l ,两个不重合的平面βα,,有下列命题①若αα//,,//m n n m 则⊂; ②若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥;③若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂; ④若αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,, ; 其中正确的命题个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .434、若l 、m 、n 是互不相同的空间直线,,αβ是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是( ) A .若α∥β,,l a n β⊂⊂,则l ∥n B .若α⊥β,l a ⊂,则l ⊥βC .若l ⊥n ,m ⊥n ,则l ∥mD .若l ⊥α, l ∥β,则α⊥β。
高二数学同步单元双基双测“AB”卷(2)专题04空间点线面之间的关系(B卷)Word版含解析
(测试时间:120分钟总分值:150分)第|一卷 (共60分 )一、选择题:本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.(2021安徽蚌埠高二期中)以下表达中错误的选项是()A.假设P∈α∩β,且α∩β=l,那么P∈lB.三点A,B,C确定一个平面C.假设直线a∩b =A,那么直线a与b能够确定一个平面D.假设A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,那么l⊂α答案:B2.在三棱锥A -BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,假设EF∩HG =P,那么点P()A.一定在直线BD上B.一定在直线AC上C.在直线AC或BD上D.不在直线AC上,也不在直线BD上解析:如图,∵EF⊂平面ABC,HG⊂平面ACD,EF∩HG =P,∴P∈平面ABC,P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD =AC,∴P∈AC,应选B.答案:B3.α,β,γ是平面,a,b,c是直线,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,假设a∩b =P,那么()A.P∈cB.P∉cC.c∩a =⌀D.c∩β=⌀解析:答案:A4.(2021四川德阳高二期中)如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,那么直线PQ与RS是异面直线的一个图是()解析:易知选项A,B中PQ∥RS,选项D中RS与PQ相交,只有选项C中RS与PQ是异面直线.答案:C5.异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至||少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行解析:如图,a'与b异面,但a'∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;假设a∥c,b∥c,那么a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.答案:C6.在空间四边形ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,那么以下判断正确的选项是()A.MN≥(AC +BD)B.MN≤(AC +BD)C.MN =(AC +BD)D.MN<(AC +BD)解析:取BC的中点Q,那么MN<MQ +NQ =.答案:D7.α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,以下推理错误的选项是()A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂βB.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MNC.A∈α,A∈β⇒α∩β=AD.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合解析:两平面有公共点,那么两平面有一条交线,故C错.答案:C8.(2021山西太原高二月考)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,那么以下命题正确的选项是()A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面答案:B9. (2021安徽安庆高二期中)以下说法正确的选项是()A.假设直线a不平行于平面α,那么直线a与平面α相交B.直线a和b是异面直线,假设直线c∥a,那么c与b一定相交C.假设直线a和b都和平面α平行,那么a和b也平行D.假设直线c平行直线a,直线b⊥a,那么b⊥c解析:假设直线a不平行于平面α,那么直线a与平面α相交,或a⊂α,故A错误;假设直线a和b 是异面直线,假设直线c∥a,那么c与b相交或异面,故B错误;假设直线a和b都和平面α平行,那么a和b可能平行,可能相交,也可能异面,故C错误;假设直线c平行直线a,直线b⊥a,那么b ⊥c,故D正确.应选D.答案:D10.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有条.A.5B.6C.7D.8解析:由异面直线的定义,正方体ABCD -A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共6条.答案:B11.如图,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,A1A =AB,E,F分别是BD1和AD中点,那么异面直线CD1,EF所成的角的大小为.A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°∴EF∥DG,答案:C12.一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为.A.①③B.①②③C.①②D.①②③④解析:把正方体平面展开图复原到原来的正方体,如下列图,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.答案:A第二卷(共90分)二、填空题 (本大题共4小题 ,每题5分 ,总分值20分 ,将答案填在答题纸上 )13.平面α,β相交,在α,β内各取两点,这四点都不在交线上,那么这四点最||多能确定个平面.解析:当四点共面时能确定1个平面,假设这四点不共面,那么任意三点可确定1个平面,故可确定4个平面.答案:414.如图,ABCD -A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,那么以下结论错误的选项是.(填序号)①A,M,O三点共线;②A,M,O,A1四点共面;③A,O,C,M四点共面;④B,B1,O,M四点共面.解析:因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共线,从而易知①②③均正确.答案:④15.平面α∩平面β=l,点M∈α,N∈α,点P∈β,且P∉l,又MN∩l =R,过M,N,P三点所确定的平面记为γ,那么β∩γ=.解析:如图,MN⊂γ,R∈MN,∴R∈γ.又R∈l,∴R∈β.又P∈γ,P∈β,∴β∩γ=PR.答案:直线PR16.(2021四川德阳高二期中)如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,假设E,F,G分别为棱BC,C1C,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中|心,那么以下各组中的四个点在同一个平面上的是.①A,C,O1,D1;②D,E,G,F;③A,E,F,D1;④G,E,O1,O2.答案:①③④三、解答题 (本大题共6小题 ,共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. )17.直线a,平面α,β,且a∥α,a∥β,那么平面α与β的位置关系可能是哪些情况 ?解析:因为a∥α,a∥β,所以平面α与β相交(如图①)或平行(如图②).所以可能是相交或平行18.过三棱柱ABC -A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有多少条 ?解析:如图,与平面ABB1A1平行的直线有6条:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1.所以共有6条19.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,假设MN 与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线.∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.20.如图,在四面体A -BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且=2.求证:直线EG,FH,AC相交于同一点.证明:设两腰EG,FH的延长线相交于一点P,∵EG⊂平面ABC,FH⊂平面ACD,∴P∈平面ABC,P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD =AC,∴P∈AC,故直线EG,FH,AC相交于同一点.21.如图,△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O,且.(1)求证:A'B'∥AB,A'C'∥AC,B'C'∥BC;(2)求的值.(1)证明:∵AA'∩BB' =O,且,∴AB∥A'B'.同理AC∥A'C',BC∥B'C'.(2)解:∵A'B'∥AB,A'C'∥AC,且AB和A'B',AC和A'C'方向相反,∴∠BAC =∠B'A'C'.同理∠ABC =∠A'B'C',∠ACB =∠A'C'B',∴△ABC∽△A'B'C',且,∴.22.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD =BC =a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面EGFH的面积最||大?最||大面积是多少?公众号:惟微小筑。
2021学年高二数学同步单元双基双测“”卷(2)专题04空间点线面之间的关系(卷)版含解析
(测试时间:120分钟总分值:150分)第|一卷 (共60分 )一、选择题:本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.(2021安徽蚌埠高二期中)三条两两平行的直线可以确定平面的个数为()A.0B.1C.0或1D.1或3答案:D2.A,B是点,a,b,l是直线,α是平面,如果a⊂α,b⊂α,l∩a =A,l∩b =B,那么以下关系中成立的是()A.l⊂αB.l∈αC.l∩α=AD.l∩α=B解析:由公理1或画图可知:l⊂α.答案:A3.空间中四点可确定的平面有()A.1个B.3个C.4个D.1个或4个或无数个解析:当这四点共线时,可确定无数个平面;当这四点不共线且共面时,可确定一个平面;当这四点不共面时,其中任三点可确定一个平面,此时可确定4个平面.答案:D4.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能解析:答案:D5.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A.相交B.异面C.异面或相交D.平行解析:如图有两种情况.答案:C6.假设∠AOB =∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,那么以下结论中正确的选项是()A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B1C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行解析:如图①,∠AOB =∠A1O1B1,且OA∥O1A1,但OB与O1B1不平行,故排除A,B;如图②,∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,此时OB∥O1B1,故排除C.图①图②答案:D7.如下列图,在三棱锥S -MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,那么EF与HG的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行或异面解析:∵E,F分别是SN和SP的中点,∴EF∥PN.同理可证HG∥PN,∴EF∥HG.答案:A8.三棱锥的四个面中,任两个面的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.不确定解析:三棱锥的四个面中,任两个面相交,交线分别是三棱锥的棱.答案:A9.直线a,b都与平面α相交,那么a,b的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.以上都有可能解析:答案:D10.在长方体ABCD -A1B1C1D1的六个外表与六个对角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个解析:如图,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.答案:B11.假设直线a不平行于平面α,且a不在平面α内,那么以下结论成立的是()A.a与α内的所有直线异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内的直线与a都相交答案:B12.如果空间的三个平面两两相交,那么()A.不可能只有两条交线B.必相交于一点C.必相交于一条直线D.必相交于三条平行线解析:空间三个平面两两相交,可能相交于一点,也可能相交于一条直线,还可能相交于三条平行线,应选A.答案:A第二卷(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每题5分,总分值20分,将答案填在答题纸上)13.假设直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,那么O,C,D三点的位置关系是.解析:如图,∵AC∥BD,∴AC与BD确定一个平面,记作平面β,那么α∩β=直线CD.∵l∩α=O,∴O∈α.又O∈AB⊂β,∴O∈直线CD,∴O,C,D三点共线.答案:共线14.(2021浙江杭州高二联考)如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,那么异面直线EF 与GH所成的角等于.答案:60°15.平面α∥平面β,直线a⊂α,那么直线a与平面β的位置关系为.解析:∵α∥β,∴α与β无公共点.∵a⊂α,∴a与β无公共点,∴a∥β.答案:a∥β16.以下命题正确的有.(填序号)①假设直线与平面有两个公共点,那么直线在平面内;②假设直线l上有无数个点不在平面α内,那么l∥α;③假设直线l与平面α相交,那么l与平面α内的任意直线都是异面直线;④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,那么另一条直线一定与该平面相交;⑤假设直线l与平面α平行,那么l与平面α内的直线平行或异面.解析:①显然是正确的;②中,直线l还可能与α相交,所以②是错误的;③中,直线l和平面α内过l 与α交点的直线都相交而不是异面,所以③是错误的;④中,异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定,它们可以相交,可以平行,还可以在该平面内,所以④是错误的;⑤中,直线l 与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以⑤是正确的.答案:①⑤三、解答题 (本大题共6小题 ,共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. )17.将符号语言表示的关系用文字语言予以表达,并且用图形语言予以表示.α∩β=l,A∈l,AB⊂α,AC⊂β.解:文字语言表达:点A在平面α与平面β的交线l上,AB,AC分别在平面α,β内.图形语言:如图.18.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,判断以下说法是否正确,并说明理由.(1)直线AC1在平面CC1B1B内;(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中|心分别为O,O1,那么平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1;(3)由A,C1,B1确定的平面是ADC1B1;(4)由A,C1,B1确定的平面与由A,C1,D确定的平面是同一个平面.∴A,B1,C1,D共面.19.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱CC1,BB1,DD1的中点,试证明∠BGC =∠FD1E.∴∠BGC =∠FD1E.20.在空间四边形ABCD中,AB =CD,AB与CD成30°角,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角.解:取BD的中点G,连接EG,FG,∵E,F分别为BC,AD的中点,∴EG CD,GF AB.∴EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角.∵AB =CD,∴△EFG为等腰三角形.又AB与CD所成角为30°,∴∠EGF =30°或150°.∵∠GFE就是EF与AB所成的角,∴EF与AB所成角为75°或15°.21.如图,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何?BD,B1D1与BD无公共点,∴B1D1与平面ABCD无公共点,∴B1D1∥平面ABCD.22.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系,并证明你的结论.解:a∥b,a∥β.证明如下:由α∩γ=a知a⊂α,且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β,且b⊂γ.∵α∥β,a⊂α,b⊂β,∴a,b无公共点.又∵a⊂γ,且b⊂γ,∴a∥b.∵α∥β,∴α与β无公共点.又a⊂α,∴a与β无公共点,∴a∥β.。
人教A版高中数学必修二内蒙古自治区单元测试空间点线面之间的关系理新
内蒙古自治区新人教A 版数学高三单元测试15【空间点线面之间的关系】本卷共100分,考试时间90分钟一、选择题 (每小题4分,共40分)1. 若,a b 为两条异面直线,AB 为其公垂线,直线//l AB ,则l 与,a b 两直线的交点个数为( ) A .0个B .1个C .最多1个D .最多2个2. 已知a ,b 是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,下列命题中正确的是( ) (A ) //a b ,//b α,则//a α(B ) a ,b α⊂,//a β,//b β,则//αβ (C ) a α⊥,//b α,则a b ⊥(D ) 当a α⊂,且b α⊄时,若b ∥α,则a ∥b3. 设,αβ是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是( ) A .若,l ααβ⊥⊥,则l β⊂ B .若//,//l ααβ,则l β⊂C .若,//l ααβ⊥,则l β⊥D .若//,l ααβ⊥,则l β⊥ 4. 若直线⊆m 平面α,则条件甲:直线α//l 是条件乙:m l //的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5. 已知三条不重合的直线,,m n l 和两个不重合的平面α、β,有下列命题( ) ①若//,,//;m n n m αα⊂则 ②若,//,;l m l αβααβ⊥⊥且则③若,,//l n m m l m ⊥⊥则④若,,,,.m n n m m αβαββα⊥=⊂⊥⊥则A .4B .3C .2D .16. 正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,异面直线AC 与B 1C 1所成的角是( )A .300B .600C .900D .12007. 如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1,线段11B D 上有两个动点E ,F ,且12EF =,则下列结论中错误的是 (A )AC BE ⊥(B )//EF ABCD 平面(C )三棱锥A BEF -的体积为定值 (D )AEF BEF ∆∆的面积与的面积相等 8. 空间四边形ABCD ,若AB 、AC 、AD 与平面BCD 所成角相等,则A 点在平面BCD 的射影为B C D ∆的 ( ) A .外心 B .内心 C .重心 D .垂心9. 在正四棱锥P-ABCD 中,点P 在底面上的射影为O ,E 为PC 的中点,则直线AP 与OE 的位置关系是( )A .平行B .相交C .异面D .都有可能10. 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动,并且总保持AP ⊥BD 1,则动点P 的轨迹( )A 线段B 1C B BB 1的中点与CC 1中点连成的线段 C 线段BC 1D CB 中点与B 1C 1中点连成的线段二、填空题 (每小题4分,共16分)11. 如图,E 、F 分别是正方体1111D C B A ABCD -的棱A A 1、C C 1的中点,则四边形E BFD 1在该正方体的面上的垂直投影可能是 。
高中数学必修2:点线面的关系
必修Ⅱ点、线、面的位置关系
一、有关平面的公理
1、公理1:(直线在平面内)
2、公理2:(确定一个平面)
推论1:
推论2:
推论3:
3、公理3:(两平面相交)
4、空间中两直线的位置关系:
5、空间中两平面的位置关系:
6、空间中直线与平面的关系:
二、空间中的平行关系
1、平行线公理:(平行线的传递性)
等角定理:
2、线面平行的判定定理:
线面平行的性质定理:
3、面面平行的判定定理:
面面平行的性质定理:
三、空间中的垂直关系
1、两直线垂直的定义:(异面垂直于相交垂直)
直线与平面垂直的定义:
两平面垂直的定义:
2、线面垂直的判定定理:
线面垂直的性质定理:
线面垂直的性质1:(一垂面两垂线)线面垂直的性质1:(一垂线两垂面)3、面面垂直的判定定理:
面面垂直的性质定理:
4、三垂线定理:
三垂线逆定理:
四、空间中的角
1、异面直线所成的角定义(线线角):
2、斜线与平面所成的角定义(线面角):
3、二面角的平面角的定义(面面角):
4、求空间中的角的步骤:
①做:由定义做出相应的角②证:证明做出的角为所求③算:在相应的三角形中运算。
高中数学必修二单元测试:空间点、线、面之间的位置关系word版含答案
空间点、线、面之间的位置关系单元测试一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.“点P在直线m上,m在平面α内”可表示为( )A.P∈m,m∈αB.P∈m,m⊂αC.P⊂m,m∈αD.P⊂m,m⊂α解析:选B 点在直线上用“∈”,直线在平面上用“⊂”,故选B.2.(2018·平阳期末)已知a,b是异面直线,直线c∥直线a,那么c与b( )A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线解析:选C 由平行直线公理可知,若c∥b,则a∥b,与a,b是异面直线矛盾.所以c与b不可能是平行直线.3.空间四边形两对角线的长分别为6和8,所成的角为45°,连接各边中点所得四边形的面积是( ) A.6 2 B.12C.12 2 D.24 2解析:选A 如图,已知空间四边形ABCD,设对角线AC=6,BD=8,易证四边形EFGH为平行四边形,∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的45°角,故S四边形EFGH=3×4·sin 45°=62,故选A.4.如图所示,平行六面体ABCDA1B1C1D1中,既与AB共面又与CC1共面的棱有________条;与AB异面的棱有________条.解析:依题意,与AB和CC1都相交的棱有BC;与AB相交且与CC1平行有棱AA1,BB1;与AB平行且与CC1相交的棱有CD,C1D1.故符合条件的有5条.与AB异面的棱有CC1,DD1,B1C1,A1D1,共4条.答案:5 45.如图,在三棱锥ABCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是________.解析:如图所示,连接DN,取线段DN的中点,连接M ,C .∵M 为AD 的中点,∴M ∥AN ,∴∠ MC 为异面直线AN ,CM 所成的角.∵AB =AC =BD =CD =3,AD =BC =2,N 为BC 的中点,由勾股定理易求得AN =DN =CM =22,∴M = 2.在Rt △C N 中,C = 2 2+12= 3.在△C M 中,由余弦定理,得cos ∠ MC =2 2+ 22 2-3 22×2×22=78. 答案:78二保高考,全练题型做到高考达标1.已知A ,B ,C ,D 是空间四点,命题甲:A ,B ,C ,D 四点不共面,命题乙:直线AC 和BD 不相交,则甲是乙成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 解析:选A 若A ,B ,C ,D 四点不共面,则直线AC 和BD 不共面,所以AC 和BD 不相交;若直线AC 和BD 不相交,若直线AC 和BD 平行时,A ,B ,C ,D 四点共面,所以甲是乙成立的充分不必要条件.2.(2018·宁波模拟)如图,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是BC 1,CD 1的中点,则下列说法错误的是( )A .MN 与CC 1垂直B .MN 与AC 垂直 C .MN 与BD 平行D .MN 与A 1B 1平行解析:选D 如图,连接C 1D ,在△C 1DB 中,MN ∥BD ,故C 正确;因为CC 1⊥平面ABCD ,所以CC 1⊥BD , 所以MN 与CC 1垂直,故A 正确;因为AC ⊥BD ,MN ∥BD ,所以MN 与AC 垂直,故B 正确;因为A 1B 1与BD 异面,MN ∥BD ,所以MN 与A 1B 1不可能平行,故D 错误.3.下列命题中,真命题的个数为( )①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这两个平面重合;②两条直线可以确定一个平面;③空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内;④若M ∈α,M ∈β,α∩β=l ,则M ∈l .A .1B .2C .3D .4解析:选B 根据公理2,可判断①是真命题;两条异面直线不能确定一个平面,故②是假命题;在空间,相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角),故③是假命题;根据平面的性质可知④是真命题.综上,真命题的个数为2.4.如图,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,M 为棱D 1C 1的中点.设AM 与平面BB 1D 1D 的交点为O ,则( )A .三点D1,O ,B 共线,且OB =2OD 1B .三点D 1,O ,B 不共线,且OB =2OD 1C .三点D 1,O ,B 共线,且OB =OD 1D .三点D 1,O ,B 不共线,且OB =OD 1解析:选A 连接A 1M 与B 1D 1交于点H ,连接OH .因为△MD 1H 与△A 1B 1H 相似,所以D 1HHB 1=D 1M A 1B 1=MH A 1H =12.因为OH ∥A 1A ,所以OH AA 1=MH MA 1=13,所以OH =13AA 1,所以OH =13B 1B ,且OH ∥BB 1,所以由三角形相似可知,D 1,O ,B 三点共线,且OB =2OD 1.5.已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是A 1D 1,A 1C 1的中点,则异面直线AE 和CF 所成的角的余弦值为() A.32 B .33010C.3010 D.12解析:选C 如图,设正方体的棱长为a ,取线段AB 的中点M ,连接CM ,MF ,EF .则MF綊AE,所以∠CFM即为所求角或所求角的补角.在△CFM中,MF=CM=52a,CF=62a,根据余弦定理可得cos∠CFM=30 10,所以可得异面直线AE与CF所成的角的余弦值为3010.故选C.6.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的对数为________对.解析:平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则AB,CD,EF和GH在原正方体中,显然AB 与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行.故互为异面的直线有且只有3对.答案:37.(2018·福建六校联考)设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线.上述命题中正确的命题是_______(写出所有正确命题的序号).解析:由公理4知①正确;当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行或异面,故②错;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③错;a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④错.答案:①8.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________.解析:取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以AD∥BC,所以直线AC 1与AD 所成角等于异面直线AC 1与BC 所成角,因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点,所以C 1D ⊥圆柱下底面,所以C 1D ⊥AD ,因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形,所以C 1D =2AD ,所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2,所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2. 答案: 29.(2018·舟山模拟)在空间四边形ABCD 中,已知AD =1,BC =3,且AD ⊥BC ,对角线BD =132,AC =32,求AC 和BD 所成的角.解:如图,分别取AD ,CD ,AB ,BD 的中点E ,F ,G ,H ,连接EF ,FH ,HG ,GE ,GF .由三角形的中位线定理知,EF ∥AC ,且EF =34, GE ∥BD ,且GE =134,GE 和EF 所成的锐角(或直角)就是AC 和BD 所成的角. 同理,GH ∥AD ,HF ∥BC ,GH =12,HF =32. 又AD ⊥BC ,所以∠GHF =90°,所以GF 2=GH 2+HF 2=1.在△EFG 中,GE 2+EF 2=1=GF 2,所以∠GEF =90°,即AC 和BD 所成的角为90°.10.如图所示,在三棱锥P ABC 中,PA ⊥底面ABC ,D 是PC 的中点.已知∠BAC =90°,AB =2,AC =23,PA =2.求:(1)三棱锥P ABC 的体积;(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值.解:(1)S △ABC =12×2×23=23, 故三棱锥P ABC 的体积为V =13·S △ABC ·PA =13×23×2=433. (2)如图所示,取PB 的中点E ,连接DE ,AE ,则DE ∥BC ,所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角.在△ADE 中,DE =2,AE =2,AD =2,则cos ∠ADE =DE 2+AD 2-AE 22DE ·AD =22+22-22×2×2=34. 即异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34. 三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.如图是三棱锥D ABC 的三视图,点O 在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO 和AB 所成角的余弦值等于( )A.33 B .12C. 3D.22 解析:选A 由三视图及题意得如图所示的直观图,从A 出发的三条线段AB ,AC ,AD 两两垂直且AB =AC =2,AD =1,O 是BC 中点,取AC 中点E ,连接DE ,DO ,OE ,则OE =1,又可知AE =1,由于OE ∥AB ,故 ∠DOE 即为所求两异面直线所成的角或其补角.在直角三角形DAE 中,DE =2,由于O 是中点,在直角三角形ABC 中可以求得AO =2,在直角三角形DAO 中可以求得DO = 3.在三角形DOE 中,由余弦定理得cos ∠DOE =1+3-22×1×3=33,故所求余弦值为33. 2.如图所示,三棱柱ABC A 1B 1C 1,底面是边长为2的正三角形,侧棱A 1A ⊥底面ABC ,点E ,F 分别是棱CC 1,BB 1上的点,点M 是线段AC 上的动点,EC =2FB =2.(1)当点M 在何位置时,BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ,判断BM 与EF 的位置关系,说明理由;并求BM 与EF 所成的角的余弦值.解:(1)法一:如图所示,取AE的中点O,连接OF,过点O作OM⊥AC于点M.因为侧棱A1A⊥底面ABC,所以侧面A1ACC1⊥底面ABC.又因为EC=2FB=2,所以OM∥FB∥EC且OM=12EC=FB,所以四边形OMBF为矩形,BM∥OF.因为OF⊂平面AEF,BM⊄平面AEF,故BM∥平面AEF,此时点M为AC的中点.法二:如图所示,取EC的中点P,AC的中点Q,连接PQ,PB,BQ.因为EC=2FB=2,所以PE綊BF,所以PQ∥AE,PB∥EF,所以PQ∥平面AFE,PB∥平面AEF,因为PB∩PQ=P,PB,PQ⊂平面PBQ,所以平面PBQ∥平面AEF.又因为BQ⊂平面PBQ,所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M,此时点M为AC的中点.(2)由(1)知,BM与EF异面,∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角.易求AF=EF=5,MB=OF=3,OF⊥AE,所以cos∠OFE=OFEF=35=155,所以BM与EF所成的角的余弦值为155.。
高中数学必修二 点线面间的位置关系检测题及参考答案
高中数学必修二阶段质量检测(二)点、直线、平面之间的位置关系(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为()A.平行B.相交C.异面D.垂直【答案】B。
【解析】因为两平行平面没有公共点,所以两直线没有公共点,所以两直线不可能相交.2.设BD1是正方体ABCD-A1B1C1D1的一条对角线,则这个正方体中面对角线与BD1异面的有()A.0条B.4条C.6条D.12条【答案】C。
【解析】每个面中各有一条对角线与BD1异面,它们是:AC,A1C1,B1C,A1D,AB1,DC1.3.下列说法不正确的是()A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B.同一平面的两条垂线一定共面C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【答案】D。
【解析】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥平面DCC1D1,因此平面ABCD、平面AA1D1D均与平面DCC1D1垂直,而且平面AA1D1D∩平面ABCD=AD,显然选项D不正确,故选D.4.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是() A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面【答案】D。
【解析】A项,α,β可能相交,故错误;B项,直线m,n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误;C项,若m⊂α,α∩β=n,m∥n,则m∥β,故错误;D项,假设m,n垂直于同一平面,则必有m∥n,所以原命题正确,故正确.5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.AC B.BD C.A1D D.A1D1【答案】选B【解析】CE⊂平面ACC1A1,而BD⊥AC,BD⊥AA1,∴BD⊥平面ACC1A1,∴BD⊥CE.6.已知在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点,若AB=2,CD=4,EF ⊥AB,则EF与CD所成的角的度数为()A.90°B.45°C.60°D.30°【答案】D【解析】取BC的中点G,连接EG,FG,则EG=1,FG=2,EF⊥EG,则EF与CD所成的角等于∠EFG,为30°.7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,D,E分别是棱BC,AB的中点,点F在棱CC1上,AB=BC=CA=CF=2,AA1=3,则下列说法正确的是() A.设平面ADF与平面BEC1的交线为l,则直线EC1与l相交B.在棱A1C1上存在点N,使得三棱锥N-ADF的体积为3 7C.设点M在BB1上,当BM=1时,平面CAM⊥平面ADFD.在棱A1B1上存在点P,使得C1P⊥AF【答案】C【解析】连接CE交AD于点O,则O为△ABC的重心,连接OF.由已知得OF∥EC1,则EC1∥l,故A错;若在A1C1上存在点N,则V N-ADF=V D-AFN,当N与C1重合时,V D-AFN取最小值为36,故B错;当BM=1时,可证得△CBM≌△FCD,则∠BCM+∠CDF=90°,即CM⊥DF.又∵AD⊥平面CBB1C1,CM⊂平面CBB1C1,∴AD⊥CM.∵DF∩AD=D,∴CM⊥平面ADF.∵CM⊂平面CAM,∴平面CAM⊥平面ADF,故C正确;过C1作C1G∥FA交AA1于点G.若在A1B1上存在点P,使得C1P⊥AF,则C1P⊥C1G.又∵C1P⊥GA1,C1G∩GA1=G,∴C1P⊥平面A1C1G.∵A1C1⊂平面A1GC1,∴C1P⊥A1C1,矛盾,故D错.故选C.8.在四面体ABCD 中,已知棱AC 的长为 2 ,其余各棱长都为1,则二面角A -CD -B 的余弦值为( ) A.12 B.13 C.33 D.23【答案】C【解析】取AC 的中点E ,CD 的中点F ,则EF =12,BE =22,BF =32, ∴△BEF 为直角三角形,cos θ=EF BF =33. 9.如图,平面α⊥平面β,A ∈α,B ∈β,AB 与平面α,β所成的角分别为45°和30°,过A ,B 分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A ′,B ′,若AB =12,则A ′B ′等于( )A .4B .6C .8D .9【答案】B【解析】连接AB ′,BA ′,则∠BAB ′=45°,∠ABA ′=30°.在Rt △ABB ′中,AB =12,可得BB ′=6 2.在Rt △ABA ′中,可得BA ′=6 3.故在Rt △BA ′B ′中,可得A ′B ′=6.10.矩形ABCD 中,AB =4,BC =3,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B -AC -D ,则四面体ABCD 的外接球的体积为( )A.125π12B.125π9C.125π6D.125π3【答案】C【解析】球心O 为AC 中点,半径为R =12AC =52,V =43πR 3=125π6. 11.如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AD =AB ,∠BCD =45°,∠BAD =90°,将△ABD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,构成四面体ABCD ,则在四面体ABCD 中,下列结论正确的是( )A .平面ABD ⊥平面ABCB .平面ADC ⊥平面BDCC .平面ABC ⊥平面BDCD .平面ADC ⊥平面ABC【答案】D【解析】易知△BCD中,∠DBC=45°,∴∠BDC=90°,又平面ABD⊥平面BCD,而CD⊥BD,∴CD⊥平面ABD,∴AB⊥CD,而AB⊥AD,CD∩AD=D,∴AB⊥平面ACD,∴平面ABC⊥平面ACD.12.(2019·全国卷Ⅲ)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线【答案】B【解析】如图,取CD的中点F,DF的中点G,连接EF,FN,MG,GB.∵△ECD是正三角形,∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD=CD,EF⊂平面ECD,∴EF⊥平面ABCD.∴EF⊥FN.不妨设AB=2,则FN=1,EF=3,∴EN=FN2+EF2=2.∵EM=MD,DG=GF,∴MG∥EF且MG=12EF,∴MG⊥平面ABCD,∴MG⊥BG.∵MG=12EF=32,BG=CG2+BC2=2235222⎛⎫+=⎪⎝⎭,∴BM=MG2+BG2=7,∴BM≠EN.连接BD,BE,∵点N是正方形ABCD的中心,∴点N在BD上,且BN=DN,∴BM,EN是△DBE的中线,∴BM,EN必相交.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设正三角形ABC的边长为a,PA⊥平面ABC,PA=AB,则A到平面PBC的距离为________. 【答案】217a 【解析】如图所示,取BC 中点E ,连接AE ,PE ,则AE ⊥BC ,又BC ⊥PA ,∴BC ⊥平面PAE .∴平面PAE ⊥平面PBC .在平面PAE 内过A 作AF ⊥PE ,垂足为F ,则AF ⊥平面PBC .则AF =PA ·AE PE =217a . 14.如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱AA 1和AB 上的点,若∠B 1MN 是直角,则∠C 1MN 等于________.【答案】90°【解析】∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1,MN ⊂平面A 1ABB 1,∴B 1C 1⊥MN ,又∠B 1MN 为直角.∴B 1M ⊥MN ,而B 1M ∩B 1C 1=B 1.∴MN ⊥平面MB 1C 1,又MC 1⊂平面MB 1C 1,∴MN ⊥MC 1,∴∠C 1MN =90°.15.如图,圆锥SO 中,AB 、CD 为底面圆的两条直径,AB ∩CD =O ,且AB ⊥CD ,SO =OB =2,P 为SB 的中点,则异面直线SA 与PD 所成角的正切值为________.【答案】 2【解析】连接PO ,则PO ∥SA ,∴∠OPD 即为异面直线SA 与PD 所成的角,且△OPD 为直角三角形,∠POD 为直角,∴tan ∠OPD =OD OP =22= 2. 16.(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB =90°,P 为平面ABC 外一点,PC =2,点P 到∠ACB 两边AC ,BC 的距离均为3,那么P 到平面ABC 的距离为________.【答案】 2【解析】如图,过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ,则PO 为P 到平面ABC 的距离.再过O 作OE ⊥AC 于E ,OF ⊥BC 于F ,连接PC,PE,PF,则PE⊥AC,PF⊥BC.又PE=PF=3,所以OE=OF,所以CO为∠ACB的平分线,即∠ACO=45°.在Rt△PEC中,PC=2,PE=3,所以CE=1,所以OE=1,所以PO=PE2-OE2=(3)2-12= 2.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且E、F分别是AB、BD的中点.求证:(1)EF∥平面ACD;(2)平面EFC⊥平面BCD.证明:(1)∵E,F分别是AB,BD的中点,∴EF是△ABD的中位线,∴EF∥AD,∵EF⊄平面ACD,AD⊂平面ACD,∴EF∥平面ACD.(2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD.∵CB=CD,F是BD的中点,∴CF⊥BD.又EF∩CF=F,∴BD⊥平面EFC.∵BD⊂平面BCD,∴平面EFC⊥平面BCD.18.(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)如图,直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求点C到平面C1DE的距离.解:(1)证明:连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=12B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=12A1D.由题设知A1B1綊DC,可得B1C綊A1D,故ME綊ND,因此四边形MNDE为平行四边形,所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE,所以MN∥平面C1DE.(2)过点C作C1E的垂线,垂足为H.由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C,所以DE⊥平面C1CE,故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE,故CH的长即为点C到平面C1DE的距离.由已知可得CE=1,C1C=4,所以C1E=17,故CH=41717.从而点C到平面C1DE的距离为41717.19.(本小题满分12分)矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点,沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置,使平面D1AE⊥平面ABCE.(1)若F为线段D1A的中点,求证:EF∥平面D1BC;(2)求证:BE⊥D1A.证明:(1)取AB的中点G,连接EG、FG,则EG∥BC,FG∥D1B,且EG∩FG=G,EG、FG⊂平面EFG;D1B∩BC=B,D1B、BC⊂平面D1BC.∴平面EFG∥平面D1BC,注意到EF⊂平面EFG,∴EF∥平面D1BC.(2)易证BE⊥EA,平面D1AE⊥平面ABCE,平面D1AE∩平面ABCE=AE,∴BE⊥平面D1AE,且D1A⊂平面D1AE,∴BE⊥D1A.20.(本小题满分12分)在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E,又SA=AB,SB=BC.(1)求证:BD⊥平面SAC;(2)求二面角E-BD-C的大小.解:(1)证明:如图,∵DE⊥SC,且E为SC的中点,又SB=BC,∴BE⊥S C.又DE∩BE=E,根据直线与平面垂直的判定定理知SC⊥平面BDE,BD⊂平面BDE,∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,∴SA⊥BD.又SA∩SC=S,∴BD⊥平面SAC.(2)由(1)知∠EDC为二面角E-BD-C的平面角,又△SAC∽△DEC,∴∠EDC=∠ASC.在Rt△SAB中,∠SAB=90°,设SA=AB=1,则SB= 2.由SA⊥BC,AB⊥BC,AB∩SA=A,∴BC⊥平面SAB,SB⊂平面SAB,∴BC⊥SB.在Rt△SBC中,SB=BC=2,∠SBC=90°,则SC=2.在Rt△SAC中,∠SAC=90°,SA=1,SC=2.∴cos∠ASC=SASC=12.∴∠ASC=60°,即二面角E-BD-C的大小为60°.21.(本小题满分12分)如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF ∥AC,AB=2,CE=EF=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE.证明:(1)设AC与BD交于点O,连接EO,∵EF∥AC,且EF=1,AO=12AC=1,∴四边形AOEF为平行四边形,∴AF∥OE.∵OE⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,∴AF∥平面BDE.(2)连接FO,∵EF∥CO,EF=CO=1,且CE=1,∴四边形CEFO为菱形,∴CF⊥EO.∵四边形ABCD为正方形,∴BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,∴BD⊥平面ACEF,∴CF⊥BD. 又BD∩EO=O,∴CF⊥平面BDE.22.(本小题满分12分)如图,已知空间几何体ABCDE中,△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形,△ABC为腰长为3的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC ⊥平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线,使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行,并给出详细证明;(2)求三棱锥E-ABC的体积.解:(1)取DC的中点N,取BD的中点M,连接MN,EN,EM,则直线MN即为所求.取BC的中点H,连接AH,∵△ABC为腰长为3的等腰三角形,H为BC的中点,∴AH⊥BC.又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AH⊂平面ABC,∴AH⊥平面BCD,同理,可证EN⊥平面BCD,∴EN∥AH.∵EN⊄平面ABC,AH⊂平面ABC,∴EN∥平面ABC.又M,N分别为BD,DC的中点,∴MN∥BC.∵MN⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,∴MN∥平面ABC.又MN∩EN=N,MN⊂平面EMN,EN⊂平面EMN,∴平面EMN∥平面ABC.又EF⊂平面EMN,∴EF∥平面ABC.(2)连接DH,取CH的中点G,连接NG,则NG∥DH,NG=12DH,由(1)可知,EN∥平面ABC,∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等.又△BCD是边长为2的等边三角形,∴DH⊥BC,又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,DH⊂平面BCD,∴DH⊥平面ABC,∴NG⊥平面ABC.又DH=3,∴NG=3 2.又AC=AB=3,BC=2,∴AH=22,∴S△ABC=12·BC·AH=22,∴V E-ABC=V N-ABC=13·S△ABC·NG=63.。
【名师一号】(新课标版)高二数学必修2双基限时练 第二章 第一节 空间点、直线、平面之间的位置关系8 Word
双基限时练(八)1.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1, OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是( ) A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B1C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行解析可借见长方体找出反例.答案 D2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与直线BD异面且成60°角的面对角线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条解析画图易知它们是AD1,AB1,CB1,CD1共四条.答案 D3.“a,b是异面直线”是指:①a∩b=∅,且aD b;②a⊂平面α,b⊂平面β,且a∩b=∅;③a⊂平面α,b⊂平面β,且α∩β=∅;④a⊂平面α,b⊄平面α;⑤不存在平面α,使a⊂α,且b⊂α成立.上述说法中( )A.①④⑤正确B.①③④正确C.②④正确D.①⑤正确解析说法①等价于a与b既不相交,又不平行,所以a与b为异面直线.①正确;说法⑤等价于a与b不同在任何一个平面内,即a,b异面,⑤正确.答案 D4.一条直线和两条异面直线的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交答案 B5.在空间,下列命题中正确的个数为( )①有两组对边相等的四边形是平行四边形;②四边相等的四边形是菱形;③平行于同一条直线的两条直线平行;④有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等.A.1 B.2C.3 D.4解析①、②不正确,③、④正确.因此选B.答案 B6.下图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是( )A.①②③B.②④C.③④D.②③④解析把展开图还原为正方体,便知③、④正确.答案 C7.设a,b,c表示直线,给出以下四个论断:①a⊥b;②b⊥c;③a⊥c;④a∥c.以其中任意两个为条件,另外的某一个为结论,写出你认为正确的一个命题______________.答案④①⇒②8.如图所示,M,N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1,B1C1的中点.(1)则MN与CD1所成角为________.(2)则MN与AD所成的角为________.解析(1)由图易知MN∥AD1,∵△ACD1构成正三角形.∴AD1与CD1成60°角,∴MN与CD1成60°角.(2)AD1与AD成45°角,而MN∥AD1,∴MN与AD成45°角.答案(1)60°(2)45°9.已知a,b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a、b在α上的射影有可能是:①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.在上面结论中,正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号).解析由正投影的定义可知,正确的结论是①④.答案①④10.如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点.若EF =2,求AD,BC所成的角.解取BD的中点H,连接EH,FH,因为E是AB的中点,且AD=2,∴EH∥AD,EH=1.同理FH∥BC,FH=1,∴∠EHF是异面直线AD,BC所成的角,又因为EF=2,∴△EFH是等腰直角三角形,EF是斜边,∴∠EHF=90°,即AD,BC所成的角是90°.11.如图,直线a,b是异面直线,A,B,C为直线a上三点,D,E,F是直线b上三点,A′,B′,C′,D′,E′分别为AD,DB,BE,EC,CF的中点.求证:(1)∠A ′B ′C ′=∠C ′D ′E ′; (2)点A ′,B ′,C ′,D ′,E ′共面. 证明 (1)A ′,B ′是AD ,DB 的中点⎭⎪⎬⎪⎫⇒A ′B ′∥a 同理C ′D ′∥a⎭⎪⎬⎪⎫⇒A ′B ′∥C ′D ′同理B ′C ′∥D ′E ′⇒ ∠A ′B ′C ′的两边和∠C ′D ′E ′的两边平行且方向相同⇒∠A ′B ′C ′=∠C ′D ′E ′.⎭⎪⎬⎪⎫A ′B ′∥C ′D ′⇒A ′,B ′,C ′,D ′共面α 同理B ′,C ′,D ′,E ′共面β⇒α,β都经过点B ′,C ′,D ′a ,b 异面⇒B ′,C ′,D ′三点不共线⇒过B ′,C ′,D ′有且只有一个平面⇒平面α,β重合⇒A ′、B ′,C ′,D ′,E ′共面. 12.已知异面直线a 与b 所成的角θ=60°,P 为空间一点,则 (1)过P 点与a 和b 所成角为45°的直线有几条? (2)过P 点与a 和b 所成角为60°的直线有几条? (3)过P 点与a 和b 所成角为70°的直线有几条?解 (1)过P 点在平面α外的左、右两侧存在两条直线与a 1,b 1所成的角为45°,则与a ,b 所成的角为45°的直线有2条.(2)过P 点在平面α内120°的角平分线存在一条直线与a 1,b 1所成的角为60°;过P 点在平面α外的左右两侧存在两条直线与a 1,b 1所成的角为60°,则与a ,b 所成的角为60°的直线有3条.(3)过P 点在平面α外左右两侧存在两条直线与a 1,b 1所成的角为70°,过P 点在平面α外前、后两侧存在两条直线与a 1,b 1所成的角为70°,则与a,b所成的角为70°的直线有4条.。
高中数学必修二点线面的位置关系与线面平行判定及其性质(精华试题版)
D1 A1
C1 B1
求证:∠ MD 1N=∠EDF .
D
A
E
C
F B
精选考题
1. 空间不共线的四点,可以确定平面的个数是(
A.0
B. 1
C.1 或 4
2. 直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的(
A.一条直线不相交 B.两条直线不相交
C.任意一条直线不相交 D.无数条直线不相交
) D.无法确定
)
①EC 和 BH 是
直线;② BD 和 FH 是
③BH 和 DC 是
直线
(2) 与棱 AB 所在直线异面的棱共有
条?
( 3)长方体的棱中共有多少对异面直线?
G F
C B
例 2: 如图,在长方体 ABCD-A 1 B1C1D1 中,已知 E、 F 分别是 AB、 BC 的中点.
(1)求证: EF//A 1C1 . (2)求证:四边形 EF A 1C1是梯形. (3)若 M 、 N 分别是 A1 B1、 B1C1 的中点,
A. b //
B. b
C. b 与平面 相交 D.以上都有可能
7. 若直线 a 与直线 b 是异面直线,且 a // 平面 ,则 b 与平面 的位置关系是(
)
A. b //
B. b 与平面 相交
C. b
D .不能确定
8 已知 a // 平面 ,直线 b
,则直线 a 与直线 b 的关系是( )
A .相交
3. 若 a // b ,且 a 与平面 相交,那么直线 b 与平面 的位置关系是(
)
A .必相交
B.有可能平行
C.相交或平行 D.相交或在平面内
4. 正方体 ABCD A1 B1 C1 D 1 中, P、Q 分别为 AA 1 , CC 1 的中点,则四边形 D 1 PBQ 是( )
推荐高三数学同步单元双基双测“AB”卷江苏 专题2 空间点线面的位置关系B卷 含解析
级 姓名 学号 分数(测试时间:120分钟 满分:160分)一、填空题(共14小题,每小题5分,共70分)1.已知,a b 是两条直线,,αβ为两个不同平面,则下列四个结论正确的个数为_______. ①若,,//a b a b αα⊥⊥则②若,//,a a αβαβ⊥⊥则③若,,//a a βαβα⊥⊥则④若,,,a b a b αβαβ⊥⊥⊥⊥则【答案】1考点:线面平行垂直的判定与性质2.命题:(1)一直线上有两点到同一平面的距离相等说明直线与平面平行;(2)与同一直线所成角相等的两平面平行;(3)与两两异面的三直线都相交的直线有无数条;(4)四面体的四个面都可能是直角三角形;以上命题正确的是: .【答案】(3)(4)【解析】试题分析:一直线上有两点到同一平面的距离相等时直线可与平面平行,也可与平面相交;与同一直线所成角相等的两平面可平行,也可相交;从一直线上可作无数条相互异面的直线,所以与两两异面的三直线都相交的直线有无数条;四面体PABC 中,,PA AB PA AC AB BC ⊥⊥⊥,则其四个面都是直角三角形,所以选(3)(4).考点:线面关系3.设α、β是空间两个不同的平面,m 、n 是平面αβ外的两条不同直线.从“①m ⊥n ;②α⊥β;③n ⊥β;④m ⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:____________.(填序号).【答案】①③④⇒②(或②③④⇒①)考点:线面关系4.如图所示,ABCD 是空间四边形,,,,E F G H 分别是四边上的点,并且AC 面EFGH ,BD 面EFGH ,2AC =,4BD =,当EFGH 是菱形时,AE EB的值是 .【答案】12【解析】试题分析:因为AC 面EFGH ,,AC EF 在平面ABC 内,所以,AC EF BEF BAC ∴,BE EF BA AC ∴=,同理得DH HG DA AC =,有EF HG =,BE DH BA DA∴=,,,EH AE EH BD AEHABD BD AB ∴∴∴=①,同理得EF BE AC AB =②,又EH EF =∴①②,得2142AC AE BD BE ===.考点:空间中直线与直线之间的位置关系5.在长方体1111ABCD A B C D -的棱所在直线中,与直线AB 异面的条数为________.【答案】4【解析】试题分析:与直线AB 异面的直线有111111,,,A D B C DD CC 共4条考点:异面直线6.如图所示,1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体,,M N 分别是下底面的棱1111A B B C ,的中点,P 是上底面的棱AD 上的一点,3a AP =,过,,P M N 的平面交上底面于PQ ,Q 在CD 上,则PQ =__________.【答案】223a .考点:1、平面与平面平行的性质定理.7.设l ,m 是不同的直线,α,β,γ是不同的平面,则下列命题正确的是______________. ①若l ⊥m ,m ⊥α,则l ⊥α或 l ∥α②若l ⊥γ,α⊥γ,则l ∥α或 l α③若l ∥α,m ∥α,则l ∥m 或 l 与m 相交④若l ∥α,α⊥β,则l ⊥β或l β【答案】②【解析】试题分析:若,考虑与两种情形,时,条件都满足,时,推出正确,所以答案应填:②.考点:1、直线与面垂直性质;2、面与面垂直性质;3、直线与面平行判定.【方法点晴】本题主要考查的是空间线、面的位置关系,属于中档题.解题时一定要依据平行垂直的判定定理和性质定理,考虑全面,特别是特殊情形, 否则很容易出现错误.解决空间线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心,除了作理论方面的推导论证外,利用特殊图形进行检验,也可作必要的合情推理.8.如图,矩形ABCD 中,2AB AD =,E 为边AB 的中点,将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆,若M 为线段1AC 的中点,则在ADE ∆翻折过程中,下面四个选项中正确的是 (填写所有的正确选项)(1)||BM 是定值(2)点M 在某个球面上运动(3)存在某个位置,使1DE A C ⊥(4)存在某个位置,使//MB 平面1A DE【答案】(1)(2)(4).考点:立体几何中的动态问题.【思路点睛】折叠、展开问题一定要关注“变量”和“不变量”在证明和计算中的应用:折叠时位于棱同侧的位置关系和数量关系不变,位于棱两侧的位置关系与数量关系变,折前折后的图形结合起来使用.9.,αβ是两平面,,AB CD 是两条线段,已知EF αβ=,AB α⊥于B ,CD α⊥于D ,若增加一个条件,就能得出BD EF ⊥,现有下列条件:①AC β⊥;②AC 与,αβ所成的角相等;③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上;④//AC EF .其中能成为增加条件的序号是 .【答案】①③.【考点】本题主要考查线面垂直的判定与性质. 10.设n m ,是不同的直线,γβα,,是不同的平面,有以下四个命题:①γβγαβα//////⇒⎭⎬⎫ ②βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥m m // ③βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥//m m ④αα////m n n m ⇒⎭⎬⎫⊂ 其中,正确的命题是【答案】①③【解析】试题分析:①中平行于同一平面的两平面平行是正确的;②中,m β可能平行,相交或直线在平面内;③中由面面垂直的判定定理可知结论正确;④中,m α可能线面平行或线在面内 考点:空间线面平行垂直的判定11.已知α,β是两个不同的平面,l ,m 是两条不同直线,l⊥α,m ⊂β.给出下列命题: ①α∥β⇒l⊥m; ②α⊥β⇒l ; ③m∥α⇒l⊥β; ④l⊥β⇒m∥α.其中正确的命题是 . (填.写所有正确命题的........序号..). 【答案】①④考点:线面关系判定12.设l ,m 是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,给出下列四个命题: ①若α∥β,l α⊥,则l β⊥②若l ∥m ,l α⊂,m β⊂,则α∥β③若m α⊥,l m ⊥,则l ∥α④若l ∥α,l β⊥,则αβ⊥其中真命题的序号..有 .(写出所有正确命题的序号..) 【答案】①④【解析】试题分析:①中由面面平行的性质可知结论成立;②中两面,αβ可能平行可能相交;③中直线l 可能在平面α内;④由面面垂直的判定定理和线面平行的性质可知结论正确考点:线面平行垂直的判定13.如图,AB 为圆O 的直径,点C 在圆周上(异于点A ,B ),直线PA 垂直于圆O 所在的平面,点M 为线段PB 的中点.有以下四个命题:①PA ∥平面MOB ;②MO ∥平面PAC ;③OC ⊥平面PAC ;④平面PAC ⊥平面PBC .其中正确的命题是 (填上所有正确命题的序号)【答案】②④.线面平行的判定;3.面面垂直的判定定理..用一个边长为2的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,半的鸡蛋(视为球体)放入其中,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为 .【答案】312+ 【解析】 试题分析:由题意知折起后原正方形顶点距离最远的两个相差为1,如下方平面图中的DC ,折起后原正方形顶点到底面的距离为,如下方平面图中的BC ,由下图知鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离OF =F OB C考点:空间几何体二、解答题(本大题共6分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步如图,三棱柱ABC-A ,AC=BC ,D 、E 、F 分别为棱AB 、BC 、A 1C 1的中点。
高中数学必修2 立体图形 空间点、直线、平面之间的位置关系 常见例题考题及答案
空间点、直线、平面之间的位置关系一.相关知识点1.平面的基本性质(1)⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。
(2)平行公理:公理4:平行于同一直线的两条直线互相平行——空间平行线的传递性。
(3)等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
(4)异面直线所成的角:①定义:设a 、b 是两条异面直线,经过空间任一点O 作直线a ′∥a ,b ′∥b ,把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)。
②范围:⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π2。
3.直线与平面的位置关系一、细品教材1.(必修2P49练习题)若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是() A.α内的所有直线与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线与a都相交D.α内存在唯一的直线与a平行2.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN是异面直线。
以上四个命题中,正确命题的序号是()A.①②③B.②④C.③④D.②③④二、基础自我检测1.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c()A.一定平行B.一定相交C.一定是异面直线D.一定垂直2.下列命题正确的个数为()①经过三点确定一个平面②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面A.0个B.1个C.2个D.3个3.如图所示,已知在长方体ABCD-EFGH中,AB=23,AD=23,AE=2,则BC和EG所成角的大小是________,AE和BG所成角的大小是________。
4.已知空间四边形ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列判断:①MN≥1 2(AC+BD);②MN>12(AC+BD);③MN=12(AC+BD);④MN<12(AC+BD)。
高二数学同步单元双基双测“AB”卷(必修2)专题04 空间点线面之间的关系(A卷)
(测试时间:120分钟满分:150分)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2016安徽蚌埠高二期中)三条两两平行的直线可以确定平面的个数为()A.0B.1C.0或1D.1或3答案:D2.已知A,B是点,a,b,l是直线,α是平面,如果a⊂α,b⊂α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列关系中成立的是()A.l⊂αB.l∈αC.l∩α=AD.l∩α=B解析:由公理1或画图可知:l⊂α.答案:A3.空间中四点可确定的平面有()A.1个B.3个C.4个D.1个或4个或无数个解析:当这四点共线时,可确定无数个平面;当这四点不共线且共面时,可确定一个平面;当这四点不共面时,其中任三点可确定一个平面,此时可确定4个平面.答案:D4.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能解析:答案:D5.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A.相交B.异面C.异面或相交D.平行解析:如图有两种情况.答案:C6.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是()A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B1C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行解析:如图①,∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,但OB与O1B1不平行,故排除A,B;如图②,∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,此时OB∥O1B1,故排除C.图①图②答案:D7.如图所示,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行或异面解析:∵E,F分别是SN和SP的中点,∴EF∥PN.同理可证HG∥PN,∴EF∥HG.答案:A8.三棱锥的四个面中,任两个面的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.不确定解析:三棱锥的四个面中,任两个面相交,交线分别是三棱锥的棱.答案:A9.已知直线a,b都与平面α相交,则a,b的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.以上都有可能解析:答案:D10.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个解析:如图,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.答案:B11.若直线a不平行于平面α,且a不在平面α内,则下列结论成立的是()A.a与α内的所有直线异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内的直线与a都相交答案:B12.如果空间的三个平面两两相交,那么()A.不可能只有两条交线B.必相交于一点C.必相交于一条直线D.必相交于三条平行线解析:空间三个平面两两相交,可能相交于一点,也可能相交于一条直线,还可能相交于三条平行线,故选A.答案:A第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是.解析:如图,∵AC∥BD,∴AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=直线CD.∵l∩α=O,∴O∈α.又O∈AB⊂β,∴O∈直线CD,∴O,C,D三点共线.答案:共线14.(2016浙江杭州高二联考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于.答案:60°15.已知平面α∥平面β,直线a⊂α,则直线a与平面β的位置关系为.解析:∵α∥β,∴α与β无公共点.∵a⊂α,∴a与β无公共点,∴a∥β.答案:a∥β16.下列命题正确的有.(填序号)①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;③若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线;④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;⑤若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面.解析:①显然是正确的;②中,直线l还可能与α相交,所以②是错误的;③中,直线l和平面α内过l 与α交点的直线都相交而不是异面,所以③是错误的;④中,异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定,它们可以相交,可以平行,还可以在该平面内,所以④是错误的;⑤中,直线l 与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以⑤是正确的.答案:①⑤三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.将符号语言表示的关系用文字语言予以叙述,并且用图形语言予以表示.α∩β=l,A∈l,AB⊂α,AC⊂β.解:文字语言叙述:点A在平面α与平面β的交线l上,AB,AC分别在平面α,β内.图形语言:如图.18.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列说法是否正确,并说明理由.(1)直线AC1在平面CC1B1B内;(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O,O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1;(3)由A,C1,B1确定的平面是ADC1B1;(4)由A,C1,B1确定的平面与由A,C1,D确定的平面是同一个平面.∴A,B1,C1,D共面.19.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱CC1,BB1,DD1的中点,试证明∠BGC=∠FD1E.∴∠BGC=∠FD1E.20.在空间四边形ABCD中,AB=CD,AB与CD成30°角,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB 所成的角.解:取BD的中点G,连接EG,FG,∵E,F分别为BC,AD的中点,∴EG CD,GF AB.∴EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角.∵AB=CD,∴△EFG为等腰三角形.又AB与CD所成角为30°,∴∠EGF=30°或150°.∵∠GFE就是EF与AB所成的角,∴EF与AB所成角为75°或15°.21.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何?BD,B1D1与BD无公共点,∴B1D1与平面ABCD无公共点,∴B1D1∥平面ABCD.22.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系,并证明你的结论.解:a∥b,a∥β.证明如下:由α∩γ=a知a⊂α,且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β,且b⊂γ.∵α∥β,a⊂α,b⊂β,∴a,b无公共点.又∵a⊂γ,且b⊂γ,∴a∥b.∵α∥β,∴α与β无公共点.又a⊂α,∴a与β无公共点,∴a∥β.。
高中数学立体几何初步单元测试二点线面之间的位置关系北师大版必修2
单元测试二点、线、面之间的地点关系班级 ____姓名____考号____分数____本试卷满分100 分,考试时间90 分钟.一、选择题:本大题共 10 小题,每题 4 分,共 40 分.在以下各题的四个选项中,只有一个选项是吻合题目要求的.1.若点 M在直线 a 上, a 在平面α内,则 M、 a、α间的关系可记为()A.M∈a,a∈ αC.M? a,a?αB.M∈a,a?αD.M? a,a∈ α答案: B2.以下说法正确的选项是()A.经过空间三点有且只有一个平面B.经过圆心和圆上两点有且只有一个平面C.若三条直线两两订交,则这三条直线共面D.经过两条平行直线有且只有一个平面答案: D3. a、b 是异面直线,则()A.存在α ⊥a,α ⊥bB.必定存在a? α且 b⊥αC.必定存在a? α且α∥bD.必定存在α∥a且α⊥b答案: C分析: A 与线面垂直性质定理矛盾; B 当a与b不垂直时不成立;4.若平面α外有一条直线l 与α内的两条平行线都垂直,则( A.l⊥ αB.l∥ αC.l与α斜交D.以上都有可能D不必定成立.)答案: D分析:由于平面外的直线与α内的两条平行线垂直,因此不可以确立关系,它们可能垂直,也可能斜交或平行.5.以下说法不正确的选项是()l 与α的详尽地点A.同一平面内没有公共点的两条直线平行B.已知a,b,c,d是四条直线,若a∥b,b∥c,c∥d,则a∥dC.在正方体ABCD- A1B1C1D1中, E 是BC的中点, F 是 CC1的中点,则直线AE, D1F异面D.梯形必定是平面图形答案: C6.直线l 不垂直于α,则α内与l垂直的直线有()A.0条B.1条C.无数条D.α内全部直线答案: C分析:无论 l 与平面α关系如何,过 l 必定可找到一平面β,在β内可做向来线l ′⊥ l ,而后将 l ′平行平移到α内,再在α内作l′的平行线,由空间两直线垂直的定义可知,在α内有无数条直线与l 垂直.应选C.7.对于直线m、 n 和平面α、β,能得出α⊥ β的一个条件是 ()A.m⊥n,m∥ α,n∥ βB.m⊥n,α ∩ β=m,n?αC.m∥n,n⊥ β,m?αD.m∥n,m⊥ α,n⊥ β答案: C分析:两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.8.如右图所示, A∈ α,B∈l ,C∈l ,D∈ β,AB⊥BC,BC⊥CD, AB= BC= 1,CD= 2,P是棱 l 上的一个动点,则AP+PD的最小值为 ()A.5B.22C.3D.10答案: D分析:把α、β睁开成一个平面,如图,作 AE∥BC,延长 DC交 AE于 E,则 AE=BC=1,EC= 1,∴在Rt△AED中有 AD= 32+12= 10.9.已知三平面α、β、γ相互平行,两条直线l ,m分别与平面α,β,γ订交于点DE1A, B, C 和 D, E, F,若 AB=10,DF=2,则 AC等于 ()A.5B.10C.15D.20答案: D分析:连接 AF 交β于 G,连接 AD, BG, GE, CF,在△ ACF 中,由β∥ γ得 BG∥CF,AB AGα∥ β得 AD∥GE,∴AG DE AB DE1∴ =,在△ AFD 中,由=,∴==,又 AB=10,∴ AC AC AF AF DF AC DF2=20.10.在以下四个正方体中( 以以下图 ) ,能得出 AB⊥CD的是 ()答案: A分析:由线面垂直可判断异面直线能否垂直.二、填空题:本大题共 3 小题,每题 4 分,共 12 分.把答案填在题中横线上.11.在棱长都相等的三棱锥P- ABC中,相互垂直的棱的对数为__________ .答案: 312.已知∠ ABC=120°,∠ ABC 与∠A1B1C1的两边分别平行,则∠A1B1C1=________.答案: 60°或 120°13.已知三条订交于一点的线段 PA、PB、 PC 两两垂直,且 A、 B、 C 在同一平面内, P 在平面 ABC外, PH⊥平面 ABC于 H,则垂足 H 是△ ABC的 ________.( 填心里、外心、垂心、重心中的一个 )答案:垂心分析:以以下图,∵PA⊥P B,PA⊥PC,∴PA⊥平面PBC, BC? 平面 PBC,∴BC⊥PA.又∵ BC⊥PH∴BC⊥平面PAH, AH? 平面 PAH∴AH⊥BC,同理BH⊥AC,CH⊥AB.∴H是△ ABC的垂心.三、解答题:本大题共 5 小题,共 48 分,此中第 14 小题 8 分,第 15~ 18 小题各 10 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.14.以以下图,已知三角形 ABC中∠ ACB=90°, SA⊥面 ABC,AD⊥SC,求证: AD⊥面 SBC.证明:∵∠ ACB=90°,∴ BC⊥AC.又 SA⊥面 ABC,∴SA⊥BC. ∴BC⊥面 SAC,∴BC⊥AD.又 SC⊥AD,SC∩BC= C,∴AD⊥面 SBC.15.在正方体 ABCD—A1B1C1D1中,棱长为 a, M、 N 分别为 A1B 和 AC上的点, A1M= AN.求证: MN∥平面BB1C1C.证明:以以下图作 NE∥AB 交 BC于 E,作 MF∥AB 交 B1B 于 F,连接 EF,则 NE∥MF.NE CN∵NE∥A B,∴AB=CA又 MF∥AB∥A1B1,MF BM∴=A1B1BA1∵CA= BA1, AN= A1 M,∴CN= BM.NE MF∴=.AB A1B1又 AB= A1B1,∴ NE= MF.∴四边形 MNEF是平行四边形,∴ MN 綊 EF.又 MN?平面 B1BCC1, EF? 平面 B1BCC1,∴MN∥平面 B1BCC1.16.以以下图, AD⊥平面ABC,CE⊥平面 ABC, AC= AD= AB= 1,BC=2,CE= 2,G、 F 分别为 BE、 BC的中点.求证:(1)AB ⊥平面 ACED;(2) 平面 BDE⊥平面 BCE.解: (1) ∵AD⊥平面ABC,AD? 平面 ACED,∴平面ABC⊥平面 ACED,222∵BC= AC+ AB,∴ AB⊥AC,∵平面 ABC∩平面ACED=AC, AB? 平面 ABC,∴ AB⊥平面ACED.(2) ∵AB= AC,F 为 BC的中点,∴ AF⊥BC.∵CE⊥平面ABC,∴ CE⊥AF,又∵ BC∩CE=C,∴ AF⊥平面BCE,1又 GF是△ BCE的中位线,∴ GF 綊2CE.1∵AD⊥平面ABC,CE⊥平面ABC, AD= 1, CE= 2,∴ AD 綊2CE,∴AD綊 GF,∴四边形GFAD为平行四边形,∴ AF∥GD,∴GD⊥平面BCE,又 GD? 平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 BCE.17.D 为底边AB 的中点,E 为侧棱如图,在三棱柱ABC- A1B1C1中,每个侧面均为正方形,CC1的中点.(1)求证: CD∥平面 A1EB;(2)求证: AB1⊥平面 A1EB.解: (1) 设 AB1和 A1B 的交点为O,连接 EO、 OD,1∵O为 AB1的中点, D 为 AB的中点,∴ OD∥BB 1,且 OD=2BB1.又 E是 CC1中点,1∴EC∥BB1,且 EC= BB1,∴ EC∥OD 且 EC= OD.2∴四边形 ECDO为平行四边形,∴ EO∥CD.又 CD?平面 A1BE,EO? 平面 A1BE,则 CD∥平面 A1BE.(2) ∵三棱柱各侧面都是正方形,∴ BB 1⊥AB, BB1⊥BC.∴BB1⊥平面 ABC.∵C D? 平面 ABC,∴ BB1⊥CD.由已知得 AB= BC= AC,∴ CD⊥AB,∴ CD⊥平面A1ABB1.由 (1) 可知 EO∥CD,∴ EO⊥平面 A1ABB1,∴ EO⊥AB1.∵侧面是正方形,因此 AB1⊥A1B.又 EO∩A1B= O, EO? 平面 A1EB, A1B? 平面 A1EB,∴AB1⊥平面 A1BE.18.某高速公路收费站进口处的安全表记墩如图 1 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P-EFGH,下半部分是长方体 ABCD- EFGH图. 2、图 3 分别是该表记墩的正 ( 主 ) 视图和俯视图.(1)请画出该安全表记墩的侧 ( 左 ) 视图;(2)证明:直线 BD⊥平面 PEG.解: (1) 该安全表记墩左视图,以以下图.(2)证明:由题设知四边形 ABCD和四边形 EFGH均为正方形,∴FH⊥EG,又 ABCD- EFGH为长方体,∴BD∥FH,设点 O是 EFGH的对称中心,∵P- EFGH是正四棱锥,∴PO⊥平面EFGH,而 FH? 平面 EFGH,∴PO⊥FH.∵F H⊥PO,FH⊥EG,PO∩EG=O, PO? 平面 PEG,EG? 平面PEG,∴FH⊥平面 PEG.而 BD∥FH,故 BD⊥平面 PEG.。
空间点、直线、平面之间的位置关系(B卷提升篇)高二数学选择性必修第二册同步单元卷(新教材人教A版)
专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系(B 卷提升篇) (浙江专用)参考答案与试题解析第Ⅰ卷(选择题)一.选择题(共10小题,满分50分,每小题5分)1.(2020·全国高一)下列命题正确的是( )A .空间任意三点确定一个平面B .两条垂直直线确定一个平面C .一条直线和一点确定一个平面D .两条平行线确定一个平面【答案】D【解析】根据平面的概念和性质依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于A ,若三点共线,则此三点无法确定一个平面,A 错误;对于B ,两条直线垂直,有可能两条直线为异面直线,此时无法确定一个平面,B 错误;对于C ,若点在直线上,则这条直线和这个点无法确定一个平面,C 错误;对于D ,两条平行直线可确定唯一的一个平面,D 正确.故选:D .2.(2021·全国高一课时练习)如图,正方体1111ABCD A B C D 的棱AB ,BC ,CD ,1CC 所在的直线中,与直线1BC 成异面直线的是( )A .直线ABB .直线BC C .直线CD D .直线1CC【答案】C【解析】 由异面直线的概念,逐项判断即可得解.【详解】由题意,直线AB 、BC 、1CC 均与直线1BC 相交,由异面直线的概念可得直线CD 与直线1BC 成异面直线.故选:C.3.(2021·江苏高一课时练习)如图所示,用符号语言可表述为( )A .α∩β=m ,n ⊂α,m ∩n =AB .α∩β=m ,n ∈α,m ∩n =AC .α∩β=m ,n ⊂α,A ⊂m ,A ⊂nD .α∩β=m ,n ∈α,A ∈m ,A ∈n【答案】A【解析】根据点、线、面的位置关系的符号表示可得答案.【详解】根据点、线、面的位置关系的符号表示可得α∩β=m ,n ⊂α,m ∩n =A ,故选:A4.(2021·陕西咸阳市·高一期末)已知平面//α平面β,m α⊂,n β⊂,则下列结论一定正确的是( ) A .m ,n 是平行直线 B .m ,n 是异面直线C .m ,n 是共面直线D .m ,n 是不相交直线【答案】D【解析】利用面面平行的性质定理判断.【详解】因为平面//α平面β,m α⊂,n β⊂,所以m ,n 无公共点,所以m ,n 是不相交直线,故选:D5.(2020·合肥市第十一中学高二期中(文))若直线l 与平面α平行,直线a α⊂,则l 与a 位置关系:( )A .平行B .异面C .相交D .没有公共点【答案】D【解析】 根据直线与平面平行的性质可判断.【详解】若直线l 与平面α平行,直线a α⊂,则直线l 与a 可能平行或异面,不可能相交,即没有公共点. 故选:D.6.(2020·上海浦东新区·高三一模)下列命题中正确的是( )A .三点确定一个平面B .垂直于同一直线的两条直线平行C .若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直,则直线l α⊥D .若a b c 、、是三条直线,//a b 且与c 都相交,则直线a b c 、、共面.【答案】D【解析】利用空间点、线、面位置关系直接判断.【详解】A.不共线的三点确定一个平面,故A 错误;B.由墙角模型,显然B 错误;C.根据线面垂直的判定定理,若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直,则直线l 与平面α垂直,若直线l 与平面α内的无数条平行直线垂直,则直线l 与平面α不垂直,故C 错误;D.因为//a b ,所以a b 、确定唯一一个平面,又c 与a b 、都相交,故直线a b c 、、共面,故D 正确; 故选:D.7.(2020·浙江杭州市·高一期末)如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,体对角线1AC 与面对角线BD 的位置关系一定是( )A .平行B .相交C .异面D .共面【答案】C【解析】 根据异面直线的判定定理可得答案.【详解】因为BD ⊂平面ABCD ,1AC ⊄平面ABCD ,1A AC ∈,A BD ∉,所以根据异面直线的判定定理可知1AC 与BD 为异面直线.故选:C8.(2021·浙江省杭州第二中学高三开学考试)已知,αβ为不同的平面,,,a b c 为不同的直线,则下列说法正确的是( )A .若,a b αβ⊂⊂,则a 与b 是异面直线B .若a 与b 是异面直线,b 与c 是异面直线,则a 与c 也是异面直线C .若,a b 不同在平面α内,则a 与b 是异面直线D .若,a b 不同在任何一个平面α内,则a 与b 是异面直线【答案】D【解析】根据空间中线面的位置关系,结合异面直线的定义,逐一分析选择,即可得答案.【详解】对于A :若,a b αβ⊂⊂,则a ,b 可平行可异面可相交,故A 错误;对于B :若a 与b 是异面直线,b 与c 是异面直线,则a 与c 可平行可异面可相交,故B 错误;对于C:若,a b不同在平面α内,则a与b可平行可异面可相交,故C错误;对于D:根据异面直线的定义可知D是正确的,故选:D.9.(2021·浙江绍兴市·高三期末)已知空间互不重合的三条直线m,n,l.则“m,n,l在同一平面内”是“m,n,l两两平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】根据充分必要条件的定义判断.【详解】三棱柱的所有侧棱两两平行,它们不在同一平面内,因此不必要,同理,三棱柱的的所有侧棱不在同一平面内,但它们相互平行,因此不充分,应为既不充分也不必要条件.故选:D.10.(2021·扶风县法门高中高一期末)如图,将一个正方体的表面展开,直线AB与直线CD在原来正方体中的位置关系是()A.平行B.相交并垂直C.异面D.相交且成60︒角【答案】D【解析】还原正方体即可得出答案.【详解】将正方体还原后如图,A 与C 重合,连接BD ,则BDC 是等边三角形,∴直线AB 与直线CD 在原来正方体中的位置关系是相交且成60︒角,故选:D.第Ⅱ卷(非选择题)二.填空题(共7小题,单空每小题4分,两空每小题6分,共36分)11.(2020·江苏淮安市·高一月考)平面,αβ相交,在α内取两点A ,B ,在β内取两点C ,D ,这四点都不在交线上,则直线AB 与直线CD 的位置关系为_______.【答案】相交或平行或异面【解析】作图,设设l αβ=,结合图象分类讨论AB 与l 、CD 与l 的关系,由此可得答案. 【详解】解:如图,设l αβ=,当//AB l ,//CD l 时,//AB CD ;当AB 与l 相交、CD 与l 相交时,若交点相同,则直线AB与CD相交;若交点不同,则直线AB与CD异面;故答案为:相交或平行或异面.12.(2020·宁乡市第七高级中学高二月考)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的___________条件.【答案】充分不必要【解析】“直线a和直线b相交”,则“平面α和平面β相交”;如果“平面α和平面β相交”则“直线a和直线b相交”不一定成立.即得解.【详解】直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”,则“平面α和平面β相交”;如果“平面α和平面β相交”则“直线a和直线b相交”不一定成立.∴“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.故答案为:充分不必要13.(2020·全国高三专题练习(文))给出下列四个命题:①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点;②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交,则α与β相交;③若一条直线和两条平行线都相交,则这三条直线共面;④若三条直线两两相交,则这三条直线共面.其中真命题的序号是________.【答案】①②③【解析】利用点线面之间的位置关系知识点判断即可.【详解】①正确,因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面,所以最多有一个公共点;②正确,a,b有交点,则两平面有公共点,则两平面相交;③正确,两平行直线可确定一个平面,又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上,所以过这两交点的直线也在平面内,即三线共面;④错误,这三条直线可以交于同一点,但不在同一平面内.14.(2021·江苏高一课时练习)(1)空间任意4点,没有任何3点共线,它们最多可以确定________个平面. (2)空间5点,其中有4点共面,它们没有任何3点共线,这5个点最多可以确定________个平面.【答案】4 5【解析】(1)以三棱锥为载体,可得结果.(2)以四棱锥为载体,可得结果.【详解】(1)可以想象三棱锥的4个顶点,它们总共确定4个平面.(2)可以想象四棱锥的5个顶点,它们总共确定5个平面.故答案为:(1)4;(2)5.15.(2020·全国高一专题练习)在底面为正六边形的六棱柱中,互相平行的面视为一组,则共有______组互相平行的面,与其中一个侧面相交的面共有______个.【答案】4. 6.【解析】由六棱柱的两底面平行,每个侧面与其正对的侧面平行,即可得出第一空答案;与某一个侧面平行的平面只有与其相对的平面,其它的与该侧面相交,即可得出第二空答案.【详解】六棱柱的两个底面互相平行,每个侧面与其直接相对的侧面平行,故共有4组互相平行的面.六棱柱共由8个面围成,在其余的7个面中,与某个侧面平行的面有1个,其余6个面与该侧面均为相交的关系. 故答案为:4;616.(2021·全国高一课时练习)(1)平面1AB 平面11AC =_______;(2)平面11AC CA ⋂平面AC =________.【答案】11A B AC【解析】利用平面与平面相交为直线,结合图像即可求解.【详解】由图可知,(1)平面1AB 平面11AC =11AB , (2)平面11AC CA ⋂平面AC = AC故答案为:(1)11A B ;(2)AC17.(2020·全国高一课时练习)如图,,,,A B C D 为不共面的四点,,,,E F G H 分别在线段,,,AB BC CD DA 上. (1)如果EH FG P ⋂=,那么点P 在直线_______上;(2)如果EF GH Q ⋂=,那么点Q 在直线_______上.【答案】BD AC【解析】(1)由两个不重合的平面有一个公共点,则两平面相交于过这一点的一条直线,因为平面ABD ⋂平面BCD BD =,所以P BD ∈;(2)由两个不重合的平面有一个公共点,则两平面相交于过这一点的一条直线,因为平面ABC 平面ACD AC =,所以Q AC ∈.【详解】解:(1)连接BD ,若EH FG P ⋂=,则P ∈平面ABD ,且P ∈平面BCD .∵平面ABD ⋂平面BCD BD =,∴P BD ∈.(2)连接AC .若EF GH Q ⋂=,则Q ∈平面ABC ,且Q ∈平面ACD .∵平面ABC 平面ACD AC =,Q AC ∈.三.解答题(共5小题,满分64分,18--20每小题12分,21,22每小题14分)18.(2020·全国高一课时练习)用符号语言表示下列语句.(1)三个平面,,αβγ交于一点P ,且平面α与平面β交于直线PA ,平面α与平面γ交于直线PB ,平面β与平面γ交于直线PC ;(2)平面ABD 与平面BCD 相交于直线BD ,平面ABC 与平面ACD 相交于直线AC .【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】(1)根据文字语言的描述,结合相关符号进行表示;(2)根据文字语言的描述,结合相关符号进行表示.【详解】(1),,,P PA PB PC αβγαβαγβγ⋂⋂=⋂=⋂=⋂=.(2)平面ABD ⋂平面BCD =直线BD ,平面ABC 平面ACD =直线AC .19.(2020·全国高一课时练习)在长方体1111ABCD A B C D -中,请写出:(1)三对平行的平面;(2)三对垂直的平面;(3)直线1AD 与平面1BC 的位置关系;(4)直线AD 与平面1AB 的位置关系.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)平行;(4)垂直相交.【解析】作出图形进行观察可得.【详解】 如图,(1)平面1AB 与平面1DC ,平面1AD 与平面1BC ,平面AC 与平面11A C 分别平行.(2)平面1AB 与平面AC ,平面1AB 与平面1AD ,平面AC 与平面1BC 分别垂直(答案不唯一). (3)直线1AD 平行于平面1BC .(4)直线AD 垂直于平面1AB .20.(2020·全国高一课时练习)如图1所示,在梯形ABCD 中,//AB CD ,E ,F 分别为BC ,AD 的中点,将平面CDFE 沿EF 翻折起来,使CD 到达C D ''的位置(如图2),G ,H 分别为AD ',BC '的中点,求证:四边形EFGHEFGH 为平行四边形.图1 图2【答案】证明见详解.【解析】通过证明EF //GH ,且EF =GF ,即可证明.【详解】在题图1中,∵四边形ABCD 为梯形,//AB CD ,E F ,分别为BC AD ,的中点,∴//EF AB 且()12EF AB CD =+. 在题图2中,易知////C D EF AB ''.∵,G H 分别为AD ',BC '的中点,∴//GH AB 且()()1122GH AB C D AB CD ''=+=+, ∴//GH EF ,GH EF =,∴四边形EFGH 为平行四边形.即证.21.(2020·全国高一课时练习)如图,,,,AB B A a B a ααα⋂=∉⊂∉.直线AB 与a 具有怎样的位置关系?为什么?【答案】异面直线,原因见解析【解析】【解析】用反证法证明两直线是异面直线【详解】解:直线AB 与a 是异面直线.理由如下:若直线AB 与直线a 不是异面直线,则它们相交或平行.设它们确定的平面为β,则,B a ββ∈⊂.由于经过点B 与直线a 有且仅有一个平面α,因此平面α与β重合,从而AB α⊂,进而A α∈,这与A α矛盾.所以直线AB 与a 是异面直线.22.(2020·全国高一课时练习)如图所示,ABC ∆与111A B C △不在同一个平面内,如果三条直线111,,AA BB CC 两两相交,求证:三条直线111,,AA BB CC 交于一点.【答案】证明见解析【解析】由于1AA 、1BB 、1CC 两两相交,每两条相交直线可设一个平面,共可设三个平面;接下来通过其中两条交于一点,再证明此点在另外一条直线上,即可解答此题.【详解】证明:设1BB 与1CC ,1CC 与1AA ,1AA 与1BB 分别确定平面,,αβγ, 1AA 与1BB 的交点为P ,因为1P AA ∈,1P BB ∈,1AA β⊂,1BB α⊂,所以P α∈,P β∈, 即P αβ∈⋂.又1CC αβ⋂=,所以1P CC ∈,所以三条直线1AA ,1BB ,1CC 交于一点.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
(测试时间:120分钟满分:150分)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2016安徽蚌埠高二期中)下列叙述中错误的是()
A.若P∈α∩β,且α∩β=l,则P∈l
B.三点A,B,C确定一个平面
C.若直线a∩b=A,则直线a与b能够确定一个平面
D.若A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,则l⊂α
答案:B
2.在三棱锥A-BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF∩HG=P,则点P()
A.一定在直线BD上
B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上
D.不在直线AC上,也不在直线BD上
解析:如图,
∵EF⊂平面ABC,HG⊂平面ACD,EF∩HG=P,
∴P∈平面ABC,P∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD=AC,∴P∈AC,故选B.
答案:B
3.已知α,β,γ是平面,a,b,c是直线,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,若a∩b=P,则()
A.P∈c
B.P∉c
C.c∩a=⌀
D.c∩β=⌀
解析:
答案:A
4.(2016四川德阳高二期中)如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()
解析:易知选项A,B中PQ∥RS,选项D中RS与PQ相交,只有选项C中RS与PQ是异面直线.答案:C
5.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,则直线c一定()
A.与a,b都相交
B.只能与a,b中的一条相交
C.至少与a,b中的一条相交
D.与a,b都平行
解析:
如图,a'与b异面,但a'∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b 异面矛盾,故D错.
答案:C
6.已知在空间四边形ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列判断正确的是()
A.MN≥错误!未指定书签。
(AC+BD)
B.MN≤错误!未指定书签。
(AC+BD)
C.MN=错误!未指定书签。
(AC+BD)
D.MN<错误!未指定书签。
(AC+BD)
解析:取BC的中点Q,则MN<MQ+NQ=错误!未找到引用源。
.
答案:D
7.已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是()
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN
C.A∈α,A∈β⇒α∩β=A
D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合
解析:两平面有公共点,则两平面有一条交线,故C错.
答案:C
8.(2016山西太原高二月考)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()
A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3
B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面
D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面
答案:B
9. (2016安徽安庆高二期中)以下说法正确的是()
A.若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交
B.直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b一定相交
C.若直线a和b都和平面α平行,则a和b也平行
D.若直线c平行直线a,直线b⊥a,则b⊥c
解析:若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交,或a⊂α,故A错误;若直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b相交或异面,故B错误;若直线a和b都和平面α平行,则a和b可能平行,可能相交,也可能异面,故C错误;若直线c平行直线a,直线b⊥a,则b⊥c,故D正确.故选D.
答案:D
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有条.
A.5
B.6
C.7
D.8
解析:由异面直线的定义,正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共6条.
答案:B
11.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为.
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
∴EF∥DG,
答案:C
12.一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为.
A.①③
B.①②③
C.①②
D.①②③④
解析:
把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.
答案:A
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.平面α,β相交,在α,β内各取两点,这四点都不在交线上,则这四点最多能确定个平面.
解析:当四点共面时能确定1个平面,若这四点不共面,则任意三点可确定1个平面,故可确定4个平面.
答案:4
14.如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是.(填序号)
①A,M,O三点共线;②A,M,O,A1四点共面;③A,O,C,M四点共面;④B,B1,O,M四点共面.
解析:因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共线,从而易知①②③均正确.
答案:④
15.平面α∩平面β=l,点M∈α,N∈α,点P∈β,且P∉l,又MN∩l=R,过M,N,P三点所确定的平面记为γ,则β∩γ=.
解析:如图,MN⊂γ,R∈MN,
∴R∈γ.
又R∈l,∴R∈β.
又P∈γ,P∈β,∴β∩γ=PR.
答案:直线PR
16. (2016四川德阳高二期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,C1C,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则下列各组中的四个点在同一个平面上的是.
①A,C,O1,D1;②D,E,G,F;③A,E,F,D1;④G,E,O1,O2.
答案:①③④
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知直线a,平面α,β,且a∥α,a∥β,则平面α与β的位置关系可能是哪些情况?
解析:因为a∥α,a∥β,所以平面α与β相交(如图①)或平行(如图②).
所以可能是相交或平行
18.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有多少条?
解析:如图,与平面ABB1A1平行的直线有6条:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1.
所以共有6条
19.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF 交于点Q,求证:D,A,Q三点共线.
∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.
20.如图,已知在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且错误!未找到引用源。
=2.求证:直线EG,FH,AC相交于同一点.
证明:
设两腰EG,FH的延长线相交于一点P,
∵EG⊂平面ABC,FH⊂平面ACD,
∴P∈平面ABC,P∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD=AC,
∴P∈AC,故直线EG,FH,AC相交于同一点.
21.如图,△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O,且错误!未找到引用源。
.
(1)求证:A'B'∥AB,A'C'∥AC,B'C'∥BC;
(2)求错误!未找到引用源。
的值.
(1)证明:∵AA'∩BB'=O,且错误!未找到引用源。
,∴AB∥A'B'.
同理AC∥A'C',BC∥B'C'.
(2)解:∵A'B'∥AB,A'C'∥AC,且AB和A'B',AC和A'C'方向相反,∴∠BAC=∠B'A'C'.
同理∠ABC=∠A'B'C',∠ACB=∠A'C'B',
∴△ABC∽△A'B'C',且错误!未找到引用源。
,
∴错误!未找到引用源。
.
22.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面EGFH的面积最大?最大面积是多少?
2019-2020学年。