数列求通项与求和总结(精)

数列求和方法

等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通项变形，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法来求和.

下面我们结合具体实例来研究求和的方法. 一、直接求和法（或公式法）

将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前n 项和公式求得. 例1 求22222222

12345699100-+-+-+--+L ．

解：原式2

2

2

2

2

2

2

2

(21)(43)(65)(10099)3711199=-+-+-++-=++++L L ．

由等差数列求和公式，得原式50(3199)

50502

⨯+=

=．

二、倒序相加法

此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.

例2 求2222

2

222

2222123101102938101

++++++++L 的和． 分析：由于数列的第k 项与倒数第k 项的和为常数1，故采用倒序相加法求和．

解：设2222

2

2222222123101102938101

S =++++++++L 则2222

2

222

2222109811012938101

S =++++++++L ． 两式相加，得 2111105S S =+++=∴=L ，

． 小结：对某些具有对称性的数列，可运用此法. 三、裂项相消法

如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n 项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k 项之积，且分子为常数的分式型数列的求和.

例3 已知2

2

2

1

12(1)(21)6

n n n n +++=

++L ， 求 22

2222222

35721()11212312n n n

*

+++++∈++++++N L L 的和． 分析：首先将数列的通项公式化简，然后注意到它可写成两项的差，在求和的过程中，中间的项相

互抵消了，从而可求出原数列的前n 项和.

解：222

21216

112(1)(1)(21)6

n n n a n n n n n n ++=

==++++++Q L ，

11161223(1)111116122311611ln .1

n S n n n n n n ⎡⎤

∴=+++

⎢⎥⨯⨯+⎣⎦

⎡⎤

⎛⎫⎛⎫=-+-++-

⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛

⎫=- ⎪+⎝⎭=+L L

小结：如果数列{}n a 的通项公式很容易表示成另一个数列{}n b 的相邻两项的差，即1n n n a b b +=-，则有11n n S b b +=-.这种方法就称为裂项相消求和法. 四、错位相减法

源于等比数列前n 项和公式的推导，对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为

等比数列，均可用此法.

例4 求2

3

35(21)n

x x x n x ++++-L 的和．

解：当1x ≠时，211

22(1)(21)1(1)1n n n x x x n x S x x x

-+--=+----；

当1x =时，2

n S n =．

小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{}n b 的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和公式求和. 五、分组求和法

若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求. 例5 求数列11

111

246

248162

n n ++L ，，，，，L 的前n 项和n S ． 分析：此数列的通项公式是1122n n a n +=+，而数列{2}n 是一个等差数列，数列112n +⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

是一个等比数列，故采用分组求和法求解． 解：23411111111(2462)(1)222222n n n S n n n ++⎛⎫=+++++++++=++-

⎪⎝⎭

L L ． 小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成

等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和.

求通项公式的十种方法

一、公式法

例1 已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n

n n a a +=+⨯两边除以12n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n

n

a 是

以1222

a 1

1==为首项，以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222

n

n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n

n n a a +=+⨯转化为

113

222

n n n n a a ++-=，说明数列{}2

n n

a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3

1(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、利用

{

1(2)1(1)

n n S S n S n n a --≥==

例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数

2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；

解

：

22(1)

4

2

31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=--Q 23435T S n n n n n ∴=+=--……

2分 当1,35811n T b ===--=-时 当2,62

6 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分

练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等

比数列，求数列{a n }的通项a n

解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，②

由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2)

当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;

当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3

2．（2006年全国卷I ）设数列{}n a 的前n 项的和