【配套K12】2018届高考数学二轮复习专题三平面向量三角函数三角形课时作业六平面向量理
高考数学二轮复习专题三平面向量三角函数三角形课时作业八三角变换与解三角形理86.doc
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解析：(1)由已知可得tanA＝－ ，所以A＝ .
在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos ，即c2＋2c－24＝0，
解得c＝－6(舍去)，c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝ ，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝ .
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
C. D．0
解析：因为sin ＝cos ，所以 cosα－ sinα＝ cosα－ sinα，即 sinα＝－ cosα，所以tanα＝ ＝－1，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝ ＝ ＝0.
答案：D
3．(2017·合肥市第一次教学质量检测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝ ，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为()
课时作业(八)三角变换与解三角形
1．(2017·陕西省高三教学质量检测试题(一))设角θ的终边过点(2,3)，则tan ＝()
A. B．－
C．5D．－5
解析：由于角θ的终边过点(2,3)，因此tanθ＝ ，故tan ＝ ＝ ＝ ，选A.
答案：A
2．已知sin ＝cos ，则cos2α＝()
A．1B．－1
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c.则C＝()
A. 或 B.
C. 或 D.
解析：cos(A－C)＋cosB＝1，故cos(A－C)－cos(A＋C)＝1,2sinAsinC＝1.
又由已知a＝2c，根据正弦定理得，sinA＝2sinC，
∴sinC＝ ，∴C＝ 或 .∵a>c，∴A>C，∴C＝ .
2018年高考理科数学二轮复习 讲学案：考前专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第3讲 平面向量
第3讲 平面向量1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档．2．考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现．热点一 平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1 (1)(2017届河南息县第一高级中学检测)已知平行四边形ABCD 的对角线分别为AC ，BD ，且AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点，则( )A.FE →＝－112AB →－512AD →B.FE →＝112AB →－512AD →C.FE →＝512AB →－112AD →D.FE →＝－512AB →－112AD →答案 C解析 AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点， ∴FO →＝14DB →，OE →＝16AC →，∴FE →＝FO →＋OE →＝14DB →＋16AC →，∵AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →， ∴FE →＝14(AB →－AD →)＋16(AB →＋AD →)＝512AB →－112AD →.故选C. (2)(2017届湖南师大附中月考)O 为△ABC 内一点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，AD →＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( ) A.13 B.14 C.12 D.23 答案 A解析 由AD →＝tAC →，得OD →－OA →＝t (OC →－OA →)， 所以OD →＝tOC →＋(1－t )OA →，因为B ，O ，D 三点共线，所以BO →＝λOD →， 则2OA →＋OC →＝λt OC →＋(1－t )λOA →，故有⎩⎪⎨⎪⎧2＝(1－t )λ，1＝λt ，t ＝13，故选A.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4 答案 B解析 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k ⎝⎛⎭⎫15AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 5AC →， 且AP →＝mAB →＋25AC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＝m ，k 5＝25，解得k ＝2，m ＝－1，故选B.(2)(2017届福建连城县二中期中)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4)答案 B解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，所以m ＋4＝0，m ＝－4,2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故选B. 热点二 平面向量的数量积 1．数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. 2．三个结论(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)若非零向量a ＝(x 1，y 1)，非零向量b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.例2 (1)(2017届湖北省部分重点中学联考)若等边△ABC 的边长为3，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则AM →·MB →的值为( ) A ．2 B ．－152C.152D. －2答案 A解析 因为AM →＝CM →－CA →，MB →＝CB →－CM →，则AM →·MB →＝⎝⎛⎭⎫13CB →－12CA →⎝⎛⎭⎫23CB →－12CA →， 即AM →·MB →＝29CB →2－12CA →·CB →＋14CA →2＝2－94＋94＝2，故选A.(2)(2017届河北省衡水中学六调)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|a ＋2b |等于( ) A ．2 2B.17C.15 D ．2 5答案 B解析 向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)， 可得|a －b |2＝5，即|a |2＋|b |2－2a ·b ＝5，解得a ·b ＝0. |a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋16＝17， 所以|a ＋2b |＝17.故选B.思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义． (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算． 跟踪演练2 (1)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32 C ．－43 D ．－1答案 B解析 方法一 (解析法)建立平面直角坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0,3)，B (－1,0)，C (1,0)．图①设P 点的坐标为(x ，y )， 则P A →＝(－x ，3－y )， PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y ) ＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32.当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32.故选B. 方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →.图②要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →|·|PD →|的最大值． 又|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34，当且仅当|P A →|＝|PD →|时取等号，∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.(2)(2017届湖北重点中学联考)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，则|a ＋2b |＝________. 答案 2解析 因为|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝2π3，故a ·b ＝2cos 〈a ，b 〉＝－1，则(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4－4＋4＝4，即|a ＋2b |＝2. 热点三 平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3 (2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32， 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．跟踪演练3 已知平面向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，x ∈R ，函数f (x )＝a·(b －c )．(1)求函数f (x )的单调递减区间； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝22，求sin α的值．解 (1)因为a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )， c ＝(－cos x ，－sin x )，所以b －c ＝(sin x ＋cos x ，sin x －cos x )，f (x )＝a·(b －c )＝sin x (sin x ＋cos x )＋cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x ＋2sin x cos x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 当2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z 时，函数f (x )为减函数．所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z . (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 又f ⎝⎛⎭⎫α2＝22，则2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝22，sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝12. 因为sin 2⎝⎛⎭⎫α－π4＋cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝±32. 又sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π4sin π4， 所以当cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32时， sin α＝12×22＋32×22＝2＋64；当cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－32时， sin α＝12×22－32×22＝2－64.综上，sin α＝2±64.真题体验1．(2017·北京改编)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的___________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件． 方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件．2．(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 答案33解析 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0， |3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2.同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. 3．(2017·天津)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．答案311解析 由题意知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.4．(2017·北京)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________． 答案 6解析 方法一 根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )． 由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)． AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ， |AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2， cos θ＝|AQ →||AP →|＝x ＋2(x ＋2)2＋y2，所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]． 所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.方法二 如图所示，因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以可设P (cos α，sin α)(0≤α＜2π)， 所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)， AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”号成立． 押题预测1．如图，在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →，则AN →等于( )A.12(a ＋b ) B.13(a ＋b ) C.16(a ＋b ) D.18(a ＋b ) 押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础． 答案 C解析 因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ， 则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝ADAB .因为AD →＝13AB →，所以AN →＝13AM →.因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )．故选C.2．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49押题依据 数量积是平面向量最重要的概念，平面向量数量积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式． 答案 B解析 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝⎛⎭⎫132＋0－1＝－89.3．在△ABC 中，AB →＝(cos 32°，cos 58°)，BC →＝(sin 60°sin 118°，sin 120°sin 208°)，则△ABC 的面积为( ) A.14 B.38 C.32 D.34押题依据 平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热点． 答案 B 解析 |AB →|＝cos 232°＋cos 258°＝cos 232°＋sin 232°＝1，BC →＝⎝⎛⎭⎫32cos 28°，－32sin 28°，所以|BC →|＝⎝⎛⎭⎫32cos 28°2＋⎝⎛⎭⎫－32sin 28°2＝32. 则AB →·BC →＝cos 32°×32cos 28°－sin 32°×32sin 28°＝32(cos 32°cos 28°－sin 32°sin 28°) ＝32cos(32°＋28°)＝32cos 60°＝34， 故cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝341×32＝12.又〈AB →，BC →〉∈[0°，180°]，所以〈AB →，BC →〉＝60°， 故B ＝180°－〈AB →，BC →〉＝180°－60°＝120°. 故△ABC 的面积为 S ＝12·|AB →|·|BC →|sin B＝12×1×32×sin 120°＝38.故选B.4．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是________．押题依据 本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中． 答案 －116解析 因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋BP →2.又因为∠AOB ＝60°，OA ＝OB ，所以∠OBA ＝60°，OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝⎝⎛⎭⎫|BP →|－142－116≥－116，当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →取得最小值－116.A 组 专题通关1. 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.2．(2017届广西省教育质量诊断性联合考试)设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( ) A ．－112B.112 C ．－292D.292答案 C解析 由已知可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，xλ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14⇒λ＋x ＝－292，故选C.3．已知向量a ，b ，其中a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，则b 在a 上的投影为( ) A.43 B ．－43C.23 D ．－23答案 C解析 由a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )， 得a ·(a －3b )＝0＝a 2－3a·b ＝4－3a·b ，a·b ＝43，所以b 在a 上的投影为a·b |a |＝432＝23，故选C.4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE →＝2EC →，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝3，则AE →·BF →的值为()A ．4 B.833 C ．0 D ．－4答案 D解析 如图所示，BE →＝2EC →⇒BE ＝23BC ＝233，AB →·AF →＝3⇒AF cos ∠BAF ＝1⇒DF ＝1，以点A 为原点建立平面直角坐标系，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，则B (0,3)，F (3，1)，E (233，3)，因此BF →＝(3，－2)，AE →·BF →＝233×3－2×3＝2－6＝－4.5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，若B ＝2C ，则向量BC →在BA →方向上的投影是( ) A ．－75B ．－77125C.77125D.75答案 B解析 由正弦定理得AC sin B ＝AB sin C ⇒6sin 2C ＝5sin C ⇒cos C ＝35， 由余弦定理得cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22AC ·BC ⇒BC ＝115或5，经检验知BC ＝5不符合，舍去，所以BC ＝115，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－725，则|BC →|cos B ＝－77125，故选B.6．(2017届吉林省普通中学调研)在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ，D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，若∠ACD ＝60°，则t 的值为( ) A.3－12 B.3－1 C.3－22D.3＋12 答案 A解析 因为D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，所以BD →＝tBA →，不妨设AC ＝BC ＝1，则AB ＝2，AD ＝2(1－t )，在△ACD 中，∠ACD ＝60°，∠CAD ＝45°，则∠ADC ＝75°，由正弦定理，得1sin 75°＝2(1－t )sin 60°，解得t ＝3－12.故选A.7．(2017届河南南阳一中月考)已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则△ABC 的面积为( ) A.85 B.75 C.65 D.45答案 C解析 如图所示，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，由3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，可得3OA →＋4OB →＝－5OC →，两边平方可得9＋24OA →·OB →＋16＝25，所以OA →·OB →＝0，因此OA →⊥OB →.同理3OA →＋5OC →＝－4OB →，4OB →＋5OC →＝－3OA →，两边分别平方可得cos 〈OB →，OC →〉＝－45，cos 〈OA →，OC →〉＝－35，根据同角三角函数基本关系可得sin 〈OB →，OC →〉＝35，sin 〈OA →，OC →〉＝45，所以S △ABC ＝S △AOB ＋S △AOC ＋S △OBC＝12×1×1＋12×1×1×45＋12×1×1×35＝65，故选C. 8．已知向量OA →＝(1,1)，OB →＝(1，a )，其中O 为原点，若向量OA →与OB →的夹角在区间⎣⎡⎦⎤0，π12内变化，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎣⎡⎦⎤33，3解析 因为OA →＝(1,1)，OB →＝(1，a )， 所以OA →·OB →＝1＋a .又OA →·OB →＝2·1＋a 2cos θ， 故cos θ＝1＋a2(1＋a 2)，因为θ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，故cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋24，1， 即1＋a2(1＋a 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋24，1，解得33≤a ≤ 3. 9．(2017·辽宁省大连市双基测试)已知平面内三个单位向量OA →，OB →，OC →，〈OA →，OB →〉＝60°，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是______． 答案233解析 由已知条件OC →＝mOA →＋nOB →，两边平方可得1＝m 2＋mn ＋n 2＝(m ＋n )2－mn ，∴(m ＋n )2－1＝mn ，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m ，n >0，∴(m ＋n )2－1＝mn ≤14(m ＋n )2，当且仅当m ＝n 时取等号，∴34(m ＋n )2≤1，则m ＋n ≤233，即m ＋n 的最大值为233. 10．(2017届陕西西安铁一中三模)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝⎛⎭⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m .(1)求f (x )的单调递减区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积S . 解 (1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12＝1－cos 2x 2＋1＋32sin 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2. 由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )． (2)由(1)知f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＋2， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6， 由正弦函数图象可知，当2x －π6＝π2时f (x )取得最大值3.所以2A －π6＝π2，A ＝π3.由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得12＝b 2＋16－2×4b ×12，所以b ＝2.所以S ＝12bc sin A ＝12×2×4sin 60°＝2 3.B 组 能力提高11. (2017届江西师大附中、临川一中联考)在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CA ＝CB ＝1，P 为AB 边上的点，AP →＝λAB →，若CP →·AB →≥P A →·PB →，则λ的最大值是( ) A.2＋22B. 2－22C ．1 D. 2答案 C解析 因为CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →， PB →＝AB →－AP →＝AB →－λAB →， 故由CP →·AB →≥P A →·PB →，可得2λ－1≥－2λ(1－λ)，即2λ－1≥－2λ＋2λ2， 也即λ2－2λ≤－12，解得1－22≤λ≤1＋22，由于点P ∈AB ，所以1－22≤λ≤1， 故选C.12．(2017届荆、荆、襄、宜四地七校联考)如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…，P 10, 记m i ＝AB →2·AP →i (i ＝1,2，…，10)，则m 1＋m 2＋…＋m 10的值为( )A ．15 3B ．45C ．60 3D ．180 答案 D解析 因为AB 2与B 3C 3垂直，设垂足为C ，所以AP i →在AB 2→上的投影为AC ，m i ＝AB 2→·AP i →＝|AB 2→||AC →|＝23×33＝18，从而m 1＋m 2＋…＋m 10的值为18×10＝180.故选D.13.(2017届江西上饶一模)已知在Rt △AOB 中，AO ＝1，BO ＝2，如图，动点P 是在以O 点为圆心，OB 为半径的扇形内运动(含边界)且∠BOC ＝90°.设OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值范围是__________． 答案 [－2,1]解析 由已知图形可知OP →，OA →的夹角∠AOP ∈[90°，180°]，所以x ≤0， OP →，OB →的夹角∠BOP ∈[0°，90°]，所以y ≥0，由平行四边形法则可知，当点P 沿着圆弧CB 由C 到B 移动时，负数x 逐渐增大，正数y 逐渐增大，所以当点P 在C 处时x ＋y 取得最小值，因为OC ＝2OA ，OC ⊥OB ，所以x ＝－2，y ＝0，所以x ＋y ＝－2，当点P 在点B 处时x ＋y 取得最大值，因为OA ⊥OB ，所以x ＝0，y ＝1，所以x ＋y ＝1，所以x ＋y 的取值范围为[－2,1]．14．(2017届云南曲靖一中月考)已知向量a ＝(－1,0)，b ＝(cos α，sin α)，c ＝(cos β，sin β)． (1)求|a ＋c |的最大值；(2)若α＝π4，且向量b 与向量(a ＋c )垂直，求cos β的值．解 (1)a ＋c ＝(cos β－1，sin β)， |a ＋c |＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2－2cos β，当cos β＝－1时，|a ＋c |＝2，|a ＋c |的最大值为2. (2)若α＝π4，则b ＝⎝⎛⎫22，22，a ＋c ＝(cos β－1，sin β)， ∵向量b 与向量a ＋c 垂直， ∴22(cos β－1)＋22sin β＝0， ∴sin β＋cos β＝1，故sin 2β＝(1－cos β)2＝1－2cos β＋cos 2β， cos 2β－cos β＝0，∴cos β＝0或1.当cos β＝1时，sin β＝0，a ＋c ＝(0,0)不符合条件，∴cos β＝0.。
2018年高考数学(理)二轮复习讲练测专题03三角函数与平面向量(讲)含解析
2018年高考数学（理）二轮复习讲练测专题三三角函数与平面向量考向一三角恒等变形【高考改编☆回顾基础】1．【同角三角函数、二倍角公式】【2017课标3改编】已知4sin cos3αα-=，则sin2α= .A．B．29-C．29D．79【答案】7 9 -【解析】()2sin cos17 sin22sin cos19ααααα--===--.2.【三角函数的定义、诱导公式】【2017北京，文9】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sinα=13，则sinβ=_________．【答案】1 3【解析】3.【三角函数的同角公式、两角和差的三角函数】【2017课标1，文15】已知π(0)2a∈，，tan α=2，则πcos()4α-=__________．【解析】【命题预测☆看准方向】三角部分主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换及解三角形等基本知识.三角函数与解三角形相结合或三角函数与平面向量相结合是考向的主要趋势,试题难度为中低档.三角恒等变换是高考的热点内容,主要考查利用各种三角函数进行求值与化简,其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点,切化弦、角的变换是常考的三角变换思想. （1）预计2018年高考仍将在角的变换、角的范围方面对三角恒等变形进行考查，对两角和与差、二倍角公式将重点考查；（2）对三角恒等变换的考查力度可能会加大，对角的变换的考查，使问题更具有综合性，复习时需加强这方面的训练；（3）通过三角恒等变换，化简三角函数式，进一步研究函数的性质、解三角形等是常考题型.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点，，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为__________． 【答案】【解析】设射线OB 与轴正半轴的夹角为，有已知有，所以，且，C 点坐标为.【趁热打铁】已知角α的张终边经过点(,22P m ， 22sin α=且α为第二象限． （1）求m 的值；（2）若tan 2β=，求()()sin cos 3sin sin 2cos cos 3sin sin παβαβπαβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+--的值．【答案】（1）1m =-；（22【解析】（1）由三角函数的定义可得22222sin 8m α==+，解得1m =±，又α为第二象限角，所以1m =-。
2018年高考数学(理二轮复习讲学案考前专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第3讲平面向量(含答案解析)
第3讲 平面向量1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档．2．考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现．热点一 平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1 (1)(2017届河南息县第一高级中学检测)已知平行四边形ABCD 的对角线分别为AC ，BD ，且AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点，则( )A.FE →＝－112AB →－512AD →B.FE →＝112AB →－512AD →C.FE →＝512AB →－112AD →D.FE →＝－512AB →－112AD →答案 C解析 AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点， ∴FO →＝14DB →，OE →＝16AC →，∴FE →＝FO →＋OE →＝14DB →＋16AC →，∵AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →， ∴FE →＝14(AB →－AD →)＋16(AB →＋AD →)＝512AB →－112AD →.故选C. (2)(2017届湖南师大附中月考)O 为△ABC 内一点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，AD →＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A.13B.14C.12D.23 答案 A解析 由AD →＝tAC →，得OD →－OA →＝t (OC →－OA →)， 所以OD →＝tOC →＋(1－t )OA →，因为B ，O ，D 三点共线，所以BO →＝λOD →， 则2OA →＋OC →＝λt OC →＋(1－t )λOA →，故有⎩⎪⎨⎪⎧2＝(1－t )λ，1＝λt ，t ＝13，故选A.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( ) A ．－4 B ．－1C ．1 D ．4 答案 B解析 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 5AC →，且AP →＝mAB →＋25AC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＝m ，k 5＝25，解得k ＝2，m ＝－1，故选B.(2)(2017届福建连城县二中期中)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4)答案 B解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，所以m ＋4＝0，m ＝－4,2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故选B. 热点二 平面向量的数量积1．数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. 2．三个结论(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若非零向量a ＝(x 1，y 1)，非零向量b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 例2 (1)(2017届湖北省部分重点中学联考)若等边△ABC 的边长为3，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则AM →·MB →的值为( ) A ．2 B ．－152C.152 D. －2答案 A解析 因为AM →＝CM →－CA →，MB →＝CB →－CM →，则AM →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13CB →－12CA →⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →，即AM →·MB →＝29CB →2－12CA →·CB →＋14CA →2＝2－94＋94＝2，故选A.(2)(2017届河北省衡水中学六调)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|a ＋2b |等于( ) A ．2 2 B.17 C.15 D ．2 5答案 B解析 向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)， 可得|a －b |2＝5，即|a |2＋|b |2－2a ·b ＝5，解得a ·b ＝0. |a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋16＝17， 所以|a ＋2b |＝17.故选B.思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义． (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．跟踪演练2 (1)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43 D ．－1答案 B解析 方法一 (解析法)建立平面直角坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0,3)，B (－1,0)，C (1,0)．图①设P 点的坐标为(x ，y )， 则PA →＝(－x ，3－y )， PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y ) ＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－34≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32.当且仅当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32.故选B. 方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →.图②要使PA →·PD →最小，则PA →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2PA →·PD →)min ＝－2|PA →||PD →|，问题转化为求|PA →|·|PD →|的最大值．又|PA →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|PA →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA →|＋|PD →|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34， 当且仅当|PA →|＝|PD →|时取等号，∴[PA →·(PB →＋PC →)]min ＝(2PA →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.(2)(2017届湖北重点中学联考)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，则|a ＋2b |＝________.答案 2解析 因为|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝2π3，故a ·b ＝2cos 〈a ，b 〉＝－1，则(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4－4＋4＝4，即|a ＋2b |＝2. 热点三 平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3 (2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32，于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．跟踪演练3 已知平面向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，x ∈R ，函数f (x )＝a·(b －c )．(1)求函数f (x )的单调递减区间； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，求sin α的值． 解 (1)因为a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，所以b －c ＝(sin x ＋cos x ，sin x －cos x )，f (x )＝a·(b －c )＝sin x (sin x ＋cos x )＋cos x (sin x －cos x )＝sin 2x ＋2sin x cos x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.当2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z 时，函数f (x )为减函数．所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12. 因为sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝±32. 又sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32时， sin α＝12×22＋32×22＝2＋64；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－32时， sin α＝12×22－32×22＝2－64.综上，sin α＝2±64.真题体验1．(2017·北京改编)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的___________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°，∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件． 方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件．2．(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 答案33解析 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33. 3．(2017·天津)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．答案311解析 由题意知|AB →|＝3，|AC →|＝2，AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.4．(2017·北京)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________． 答案 6解析 方法一 根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )． 由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)．AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ，|AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2， cos θ＝|AQ →||AP →|＝x ＋2(x ＋2)2＋y 2， 所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]． 所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.方法二 如图所示，因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以可设P (cos α，sin α)(0≤α＜2π)， 所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)，AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”号成立． 押题预测1．如图，在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →，则AN →等于( )A.12(a ＋b ) B.13(a ＋b ) C.16(a ＋b ) D.18(a ＋b ) 押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础． 答案 C解析 因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ， 则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝ADAB.因为AD →＝13AB →，所以AN →＝13AM →.因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )．故选C.2．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49押题依据 数量积是平面向量最重要的概念，平面向量数量积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式． 答案 B解析 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.3．在△ABC 中，AB →＝(cos 32°，cos 58°)，BC →＝(sin 60°sin 118°，sin 120°sin 208°)，则△ABC 的面积为( )A.14B.38C.32D.34押题依据 平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热点． 答案 B解析 |AB →|＝cos 232°＋cos 258°＝cos 232°＋sin 232°＝1，BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫32cos 28°，－32sin 28°，所以|BC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 28°2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32sin 28°2＝32. 则AB →·BC →＝cos 32°×32cos 28°－sin 32°×32sin 28°＝32(cos 32°cos 28°－sin 32°sin 28°) ＝32cos(32°＋28°)＝32cos 60°＝34，故cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝341×32＝12.又〈AB →，BC →〉∈[0°，180°]，所以〈AB →，BC →〉＝60°， 故B ＝180°－〈AB →，BC →〉＝180°－60°＝120°. 故△ABC 的面积为S ＝12·|AB →|·|BC →|sin B＝12×1×32×sin 120°＝38.故选B. 4．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是________．押题依据 本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中． 答案 －116解析 因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋BP →2.又因为∠AOB ＝60°，OA ＝OB ，所以∠OBA ＝60°，OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|BP →|－142－116≥－116，当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →取得最小值－116.A 组 专题通关1. 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.2．(2017届广西省教育质量诊断性联合考试)设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( )A ．－112B.112 C ．－292D.292答案 C解析 由已知可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，xλ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14⇒λ＋x ＝－292，故选C.3．已知向量a ，b ，其中a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，则b 在a 上的投影为( ) A.43 B ．－43C.23 D ．－23答案 C解析 由a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，得a ·(a －3b )＝0＝a 2－3a·b ＝4－3a·b ，a·b ＝43，所以b 在a 上的投影为a·b |a |＝432＝23，故选C.4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE →＝2EC →，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝3，则AE →·BF →的值为()A ．4 B.833C ．0D ．－4答案 D解析 如图所示，BE →＝2EC →⇒BE ＝23BC ＝233，AB →·AF →＝3⇒AF cos∠BAF ＝1⇒DF ＝1，以点A 为原点建立平面直角坐标系，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，则B (0,3)，F (3，1)，E (233，3)，因此BF →＝(3，－2)，AE →·BF →＝233×3－2×3＝2－6＝－4.5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，若B ＝2C ，则向量BC →在BA →方向上的投影是( ) A ．－75B ．－77125C.77125D.75答案 B解析 由正弦定理得ACsin B＝ABsin C ⇒6sin 2C ＝5sin C ⇒cos C ＝35，由余弦定理得cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22AC ·BC ⇒BC ＝115或5，经检验知BC ＝5不符合，舍去，所以BC ＝115，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－725，则|BC →|cos B ＝－77125，故选B.6．(2017届吉林省普通中学调研)在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ，D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，若∠ACD ＝60°，则t 的值为( ) A.3－12 B.3－1C.3－22D.3＋12答案 A解析 因为D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，所以BD →＝tBA →，不妨设AC ＝BC ＝1，则AB ＝2，AD ＝2(1－t )，在△ACD 中，∠ACD ＝60°，∠CAD ＝45°，则∠ADC ＝75°，由正弦定理，得1sin 75°＝2(1－t )sin 60°，解得t ＝3－12.故选A. 7．(2017届河南南阳一中月考)已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则△ABC 的面积为( ) A.85 B.75C.65 D.45 答案 C解析 如图所示，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，由3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，可得3OA →＋4OB →＝－5OC →，两边平方可得9＋24OA →·OB →＋16＝25，所以OA →·OB →＝0，因此OA →⊥OB →.同理3OA →＋5OC →＝－4OB →，4OB →＋5OC →＝－3OA →，两边分别平方可得cos 〈OB →，OC →〉＝－45，cos 〈OA →，OC →〉＝－35，根据同角三角函数基本关系可得sin 〈OB →，OC →〉＝35，sin 〈OA →，OC →〉＝45，所以S △ABC ＝S △AOB ＋S △AOC ＋S △OBC＝12×1×1＋12×1×1×45＋12×1×1×35＝65，故选C. 8．已知向量OA →＝(1,1)，OB →＝(1，a )，其中O 为原点，若向量OA →与OB →的夹角在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12内变化，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3 解析 因为OA →＝(1,1)，OB →＝(1，a )， 所以OA →·OB →＝1＋a .又OA →·OB →＝2·1＋a 2cos θ， 故cos θ＝1＋a2(1＋a 2)， 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，故cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋24，1，即1＋a2(1＋a 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋24，1，解得33≤a ≤ 3. 9．(2017·辽宁省大连市双基测试)已知平面内三个单位向量OA →，OB →，OC →，〈OA →，OB →〉＝60°，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是______．答案233解析 由已知条件OC →＝mOA →＋nOB →，两边平方可得1＝m 2＋mn ＋n 2＝(m ＋n )2－mn ，∴(m ＋n )2－1＝mn ，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m ，n >0，∴(m ＋n )2－1＝mn ≤14(m ＋n )2，当且仅当m ＝n 时取等号，∴34(m ＋n )2≤1，则m ＋n ≤233，即m ＋n 的最大值为233. 10．(2017届陕西西安铁一中三模)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m .(1)求f (x )的单调递减区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积S . 解 (1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12＝1－cos 2x 2＋1＋32sin 2x ＋12 ＝32sin 2x －12cos 2x ＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋2， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，由正弦函数图象可知，当2x －π6＝π2时f (x )取得最大值3.所以2A －π6＝π2，A ＝π3.由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得12＝b 2＋16－2×4b ×12，所以b ＝2.所以S ＝12bc sin A ＝12×2×4sin 60°＝2 3.B 组 能力提高11. (2017届江西师大附中、临川一中联考)在Rt△ABC 中，∠BCA ＝90°，CA ＝CB ＝1，P 为AB 边上的点，AP →＝λAB →，若CP →·AB →≥PA →·PB →，则λ的最大值是( ) A.2＋22B. 2－22C ．1 D. 2答案 C解析 因为CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，PB →＝AB →－AP →＝AB →－λAB →，故由CP →·AB →≥PA →·PB →，可得2λ－1≥－2λ(1－λ)，即2λ－1≥－2λ＋2λ2， 也即λ2－2λ≤－12，解得1－22≤λ≤1＋22，由于点P ∈AB ，所以1－22≤λ≤1， 故选C.12．(2017届荆、荆、襄、宜四地七校联考)如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…，P 10, 记m i ＝AB →2·AP →i (i ＝1,2，…，10)，则m 1＋m 2＋…＋m 10的值为( )A ．15 3B ．45C ．60 3D ．180 答案 D解析 因为AB 2与B 3C 3垂直，设垂足为C ，所以AP i →在AB 2→上的投影为AC ，m i ＝AB 2→·AP i →＝|AB 2→||AC →|＝23×33＝18，从而m 1＋m 2＋…＋m 10的值为18×10＝180.故选D.13.(2017届江西上饶一模)已知在Rt△AOB 中，AO ＝1，BO ＝2，如图，动点P 是在以O 点为圆心，OB 为半径的扇形内运动(含边界)且∠BOC ＝90°.设OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值范围是__________． 答案 [－2,1]解析 由已知图形可知OP →，OA →的夹角∠AOP ∈[90°，180°]，所以x ≤0，OP →，OB →的夹角∠BOP ∈[0°，90°]，所以y ≥0，由平行四边形法则可知，当点P 沿着圆弧CB 由C 到B 移动时，负数x 逐渐增大，正数y 逐渐增大，所以当点P 在C 处时x ＋y 取得最小值，因为OC ＝2OA ，OC ⊥OB ，所以x ＝－2，y ＝0，所以x ＋y ＝－2，当点P 在点B 处时x ＋y 取得最大值，因为OA ⊥OB ，所以x ＝0，y ＝1， 所以x ＋y ＝1，所以x ＋y 的取值范围为[－2,1]．14．(2017届云南曲靖一中月考)已知向量a ＝(－1,0)，b ＝(cos α，sin α)，c ＝(cos β，sin β)． (1)求|a ＋c |的最大值；(2)若α＝π4，且向量b 与向量(a ＋c )垂直，求cos β的值．解 (1)a ＋c ＝(cos β－1，sin β)，|a ＋c |＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2－2cos β， 当cos β＝－1时，|a ＋c |＝2，|a ＋c |的最大值为2.(2)若α＝π4，则b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，a ＋c ＝(cos β－1，sin β)，∵向量b 与向量a ＋c 垂直， ∴22(cos β－1)＋22sin β＝0， ∴sin β＋cos β＝1，故sin 2β＝(1－cos β)2＝1－2cos β＋cos 2β， cos 2β－cos β＝0，∴cos β＝0或1.当cos β＝1时，sin β＝0，a ＋c ＝(0,0)不符合条件， ∴cos β＝0.。
高考数学二轮复习专题三平面向量三角函数三角形课时作业八三角变换与解三角形理
1．(2017·陕西省高三教学质量检测试题(一))设角θ的终边过点(2,3)，则tan ＝()
A. B．－
C．5D．－5
解析：由于角θ的终边过点(2,3)，因此tanθ＝ ，故tan ＝ ＝ ＝ ，选A.
答案：A
2．已知sin ＝cos ，则cos2α＝()
A．1B．－1
A．4πB．8π
C．9πD．36π
解析：c＝bcosA＋acosB＝2，由cosC＝ 得sinC＝ ，再由正弦定理可得2R＝ ＝6，所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π，故选C.
答案：C
4．△ABC中，a＝ ，b＝ ，sinB＝ ，则符合条件的三角形有()
A．1个B．2个
C．3个D．0个
解析：∵asinB＝ ，∴sinB<b＝ <a＝ ，∴符合条件的三角形有2个．
答案：A
7．(2017·张掖市第一次诊断考试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsinB－asinA＝ asinC，则sinB为()
A. B.
C. D.
解析：由bsinB－asinA＝ asinC，且c＝2a，得b＝ a，∵cosB＝ ＝ ＝ ，
∴sinB＝ ＝ .
答案：A
A．36B．37
C．38D．39
解析：
由正弦定理，知 ＋ ＝2c2，即2＝2sin2C，
∴sinC＝1，C＝ ，∴sinA(1－cosC)＝sinBsinC，即sinA＝sinB，∴A＝B＝ .以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则M(2,4)，设∠MPC＝θ，θ∈ ，则MP2＋MQ2＝ ＋ ＝(sin2θ＋cos2θ) ＝20＋4tan2θ＋ ≥36，当且仅当tanθ＝ 时等号成立，即MP2＋MQ2的最小值为36.
高考数学二轮复习专题三平面向量三角函数三角形课时作业八三角变换与解三角形理86(1).doc
＝( －cosx,1－sinx)，
所以f(x)＝ ( －cosx)＋1－sinx＝4－2sin ，
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为f(A)＝4，所以sin ＝0，则x＋ ＝kπ，k∈Z，即x＝－ ＋kπ，k∈Z，因为0<A<π，所以A＝ ，
因为△ABC的面积S＝ bcsinA＝ ，所以bc＝3.
解析：在Rt△ABM中，AM＝ ＝ ＝ ＝ ＝20 .
易知∠MAC＝30°＋15°＝45°，又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM＝30°.
在△AMC中，由正弦定理得 ＝ ，解得MC＝40 .
在Rt△CMD中，CD＝MC×sin60°＝60，故通信塔CD的高为60m.
答案：60
答案：B
9．在△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知4sin2 －cos2C＝ ，且a＋b＝5，c＝ ，则△ABC的面积为()
A. B.
C. D.
解析：因为4sin2 －cos2C＝ ，所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝ ，2＋2cosC－2cos2C＋1＝ ，cos2C－cosC＋ ＝0，解得cosC＝ ，由于0<C<π，故sinC＝ .根据余弦定理有cosC＝ ＝ ，ab＝a2＋b2－7，
解析：由正弦定理，得 ＝ ，
∴sinB＝ .
又∵c＞b，∴ B＝45°，
∴ A＝180°－60°－45°＝75°.
答案：75°
14．如图，一栋建筑物的高为(30－10 )m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为________m.
2018届高三数学理二轮复习专题集训：专题三三角函数与平面向量3-2 含解析 精品
A 级1．(2016·全国卷甲)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B ．15C ．－15D ．－725解析： 因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725. 答案： D2．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32 B ．34 C.36D ．38 解析： 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3＝B ，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.答案： B3．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则cos 2α＝( ) A ．1 B ．－1 C.12D ．0解析： 因为sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝⎛⎭⎫12－32sin α＝－⎝⎛⎭⎫12－32cos α，所以tan α＝sin αcos α＝－1，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0.答案： D4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析： 因为b cos C ＋c cos B ＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a 22a＝a ＝a sin A ，所以sin A ＝1. 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．答案： B5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos A c＝2cos C ，则c ＝( )A ．27B ．2 3C ．4D ．3 3 解析： 因为a cos B ＋b cos A c ＝sin A cos B ＋sin B cos A sin C ＝sin (A ＋B )sin (A ＋B )＝1，所以2cos C ＝1，所以C ＝π3.又S △ABC ＝23，则12ab sin C ＝23，所以ab ＝8.因为a ＋b ＝6，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝62－3×8＝12，所以c ＝2 3.答案： B6．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.解析： 法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理， 得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A . ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B . ∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B ． 又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3.法二：∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ，∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝12.又0＜B ＜π，∴B ＝π3.答案： π37．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.解析： 分析题意可知，设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理得AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2·3h ·h 3·⎝⎛⎭⎫－12，解得h ＝1039，故塔的高度为1039m. 答案： 10398．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 对应的三边分别为a ，b ，c ，若(2a －c )·BA →·BC →＋c ·CB →·AC →＝0，则cos B 的值为________．解析： 已知可化为(2a －c )·ca cos B ＋c ·ab cos(π－C )＝0，即(2a －c )cos B －b cos C ＝0，2a cos B ＝c cos B ＋b cos C ，由正弦定理得，2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ，即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，∵sin A ≠0，∴cos B ＝22. 答案：229．已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－7210.(1)求cos 2α的值； (2)求2α－β的值．解析： (1)因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2α＝15.所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－35.(2)因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 又cos 2α＝－35<0，故2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin 2α＝45. 由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝45×⎝⎛⎭⎫－7210－⎝⎛⎭⎫－35×210＝－22.又2α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4. 10．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解析： (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.B 级1．已知△ABC 中，三内角A ，B ，C 对应的三边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，sin C ＝2sin B 且sin A cos B ＋3sin A sin B ＝sin C ＋sin B ，则c 的值为( )A.33B ．233C. 3D ．433解析： sin A cos B ＋3sin A sin B ＝sin C ＋sin B 可化为sin A cos B ＋3sin A sin B ＝sinA cosB ＋cos A sin B ＋sin B ，即sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12，∴A ＝π3，又sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin B ，则tan B ＝33，B ＝π6，则C ＝π2，c ＝a sin A ＝433，故选D. 答案： D2．(2017·咸阳模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2sin 2A ＋b 2sin 2B＝2c 2，sin A (1－cos C )＝sin B sin C ，b ＝6，AB 边上的点M 满足AM →＝2MB →，过点M 的直线与射线CA ，CB 分别交于P ，Q 两点，则MP 2＋MQ 2的最小值是( )A ．36B ．37C ．38D ．39解析： 由正弦定理，知a 2sin 2A ＋b 2sin 2B ＝2c 2，即2＝2sin 2C ，∴sin C ＝1，C ＝π2，∴sin A (1－cos C )＝sin B sin C ，即sin A ＝sin B ，∴A ＝B ＝π4.以C 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则M (2,4)，设∠MPC ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则MP 2＋MQ 2＝16sin 2θ＋4cos 2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)⎝⎛⎭⎫16sin 2θ＋4cos 2θ＝20＋4tan 2θ＋16tan 2θ≥36，当且仅当tan θ＝2时等号成立，即MP 2＋MQ 2的最小值为36.答案： A3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，向量m ＝(2sin A ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎫cos 2A ，2cos 2A2－1，且m ∥n . (1)求A 的大小；(2)如果a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解析： (1)由m ∥n ，可得2sin A ·⎝⎛⎭⎫2cos 2A 2－1＋3cos 2A ＝0，即2sin A ·cos A ＋3cos 2A ＝0，所以sin 2A ＝－3cos 2A ，即tan 2A ＝－ 3.因为A 为锐角，故0°<2A <180°，所以2A ＝120°，A ＝60°.(2)如果a ＝2，在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤4，所以S ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，故△ABC 面积的最大值为 3.4．如图，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声检测点，B 、C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、B 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求出x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解析： (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.在△P AB 中，AB ＝20，cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，∴3x ＋325x ＝25x ，解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中， 由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．。
【配套K12】2018届高考数学二轮复习专题三平面向量三角函数三角形课时作业七三角函数的图象与性质理
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在 单调递减
解析：A项，因为f(x)＝cos 的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确．B项，因为f(x)＝cos 图象的对称轴为直线x＝kπ－ (k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称，B项正确．C项，f(x＋π)＝cos .令x＋ ＝kπ＋ (k∈Z)，得x＝kπ－ π，当k＝1时，x＝ ，所以f(x＋π)的一个零点为x＝ ，C项正确．D项，因为f(x)＝cos 的递减区间为2kπ－ ，2kπ＋ (k∈Z)，递增区间为2kπ＋ ，2kπ＋ (k∈Z)，所以 是减区间， ，π是增区间，D项错误．故选D.
则sin ＝()
A．－ B．1
C. D．－
解析：由题意知当x＝ 时，y0＝－ 或y0＝ ，即sinα＝－ 或sinα＝ ，又因为sin ＝cos2a＝1－2sin2α，所以sin ＝1－2× ＝－ .
答案：A
3．某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是()
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝－cos
解析：不妨令该函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，由图知A＝1， ＝ － ＝ ，于是 ＝ ，即ω＝ ， 是函数的图象递减时经过的零点，于是 × ＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ可以是 ，选C.
答案：C
4．(2017·福建省普通高中质量检查)若将函数y＝3cos 的图象向右平移 个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是()
答案：C
12．(2017·太原市模拟试题)已知函数f(x)＝sinωx－ cosωx(ω>0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为()
高考数学二轮复习专题三平面向量三角函数三角形课时作业七三角函数的图象与性质理88
解析：不妨令该函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，由图知A＝1， ＝ － ＝ ，于是 ＝ ，即ω＝ ， 是函数的图象递减时经过的零点，于是 × ＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ可以是 ，选C.
答案：C
4．(2017·福建省普通高中质量检查)若将函数y＝3cos 的图象向右平移 个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是()
＝sin(2x－π)＝－sin2x的图象，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g(x)＝－sinx的图象．函数y＝g(x)的图象与直线x＝－ ，x＝ ，x轴围成的图形面积S＝ － (－sinx)dx－∫ 0(－sinx)dx＝cosx －cosx ＝1－ ＝ ，故选B.
答案：
14．(2017·武汉市武昌区调研考试)函数f(x)＝sin －5sinx的最大值为________．
解析：f(x)＝cos2x－5sinx＝1－2sin2x－5sinx＝－2 2＋ ，当sinx＝－1时，f(x)max＝1－2＋5＝4.
答案：4
15．已知f(x)＝sin2x－ cos2x，若对任意实数x∈ ，都有|f(x)|<m，则实数m的取值范围是________．
答案：B
8．将函数y＝cos 的图象向右平移 个单位长度后所得图象的一条对称轴的方程是()
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析：将函数y＝cos 的图象向右平移 个单位长度后所得图象的函数解析式为y＝cos ＝cos ＝cos2 ，
因为函数在函数图象的对称轴处取得最值，经检验x＝ 成立，故选A.
课时作业(七)三角函数的图象与性质
1．(2017·成都市第一次诊断性检测)已知α为锐角，且sinα＝ ，则cos(π＋α)＝()
2018届高考数学理二轮专题复习课时作业：专题三 平面
9．(2017·湖南省五市十校联考)△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足AB＝2a， ＝2a＋b，则向量a，b的夹角为()
A．30°B．60°
C．120°D．150°
解析：设向量a，b的夹角为θ， ＝ － ＝2a＋b－2a＝b，∴| |＝|b|＝2，| |＝2|a|＝2，∴|a|＝1， 2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝8＋8cosθ＝4，∴cosθ＝－ ，θ＝120°.
课时作业
1．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，解得m＝－6，则m＝－6时，a＝(－1,2)，a＋b＝(2，－4)，所以a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.
A. B.
C. D.
解析：法一 ＋ 是以OA，OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量 ， － 是对角线向量 ，由已知可得，对角线相等，则平行四边形OADB为矩形．故OA⊥OB.因此 · ＝0，所以sinθ－cosθ＝0，所以锐角θ＝ .
法二 ＋ ＝(sinθ－1，cosθ＋1)， － ＝(－sinθ－1，cosθ－1)，由| ＋ |＝| － |可得(sinθ－1)2＋(cosθ＋1)2＝ 2＋(cosθ－1)2，整理得sinθ＝cosθ，于是锐角θ＝ .
答案：A
8．(2017·惠州市第三次调研考试)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足( － )·( ＋ －2 )＝0，则△ABC的形状为()
A．等腰三角形B．直角三角形
【配套K12】2018届高考数学二轮复习专题三平面向量三角函数三角形课时作业八三角变换与解三角形理
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解析：(1)由已知可得tanA＝－ ，所以A＝ .
在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos ，即c2＋2c－24＝0，
解得c＝－6(舍去)，c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝ ，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝ .
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c.则C＝()
A. 或 B.
C. 或 D.
解析：cos(A－C)＋cosB＝1，故cos(A－C)－cos(A＋C)＝1,2sinAsinC＝1.
又由已知a＝2c，根据正弦定理得，sinA＝2sinC，
∴sinC＝ ，∴C＝ 或 .∵a>c，∴A>C，∴C＝ .
答案：A
11．(2017·长沙市统一模拟考试)化简： ＝________.
解析： ＝ ＝ ＝4sinα.
答案：4sinα
12．(2017·新疆第二次适应性检测) 的值是________．
解析：依题意得 ＝ ＝ ＝ ＝2.
答案：2
13．(2017·课标全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝ ，c＝3，则A＝________.
3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，ab＝6.
所以S＝ absinC＝ ×6× ＝ .
答案：A
10．(2017·咸阳二模)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ＋ ＝2c2，sinA(1－cosC)＝sinBsinC，b＝6，AB边上的点M满足 ＝2 ，过点M的直线与射线CA，CB分别交于P，Q两点，则MP2＋MQ2的最小值是()
高考数学二轮复习专题三平面向量三角函数三角形课时作业七三角函数的图象与性质理8.doc
令P(cosx，sinx)，A(2,1)，
则kPA＝ ，因为x∈(0，π)，所以－1<cosx<1,0<sinx≤1，令a＝cosx，b＝sinx，则点P是上半圆a2＋b2＝1(0<b≤1)上任意一点，如图，可知0≤kPA<1，所以0<1－ ≤1，即0<－ ≤1，故t≤－1，实数t的最大值是－1.
答案：－1
则sin ＝()
A．－ B．1
C. D．－
解析：由题意知当x＝ 时，y0＝－ 或y0＝ ，即sinα＝－ 或sinα＝ ，又因为sin ＝cos2a＝1－2sin2α，所以sin ＝1－2× ＝－ .
答案：A
3．某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是()
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
答案：B
13．(2017·长春一模)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinβ的值为________．
解析：2tan(π－α)－3cos ＋5＝0化为－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1化为tanα－6sinβ＝1，因而sinβ＝ .
解析：因为f(x)＝sin2x－ cos2x＝2sin ，
x∈ ，所以 ∈ ，
所以2sin ∈(－ ，1]，
所以|f(x)|＝ < ，所以m≥ .
答案：[ ，＋∞)
16．(2017·合肥市第二次教学质量检测)已知关于x的方程(t＋1)cosx－tsinx＝t＋2在(0，π)上有实根，则实数t的最大值是________．
课时作业(七)三角函数的图象与性质
高考数学二轮复习专题三平面向量三角函数三角形课时作业六平面向量理87(1).doc
1．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，解得m＝－6，则m＝－6时，a＝(－1,2)，a＋b＝(2，－4)，所以a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.
A. B.
C. D.
解析：法一 因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1× ×cos ＝3，所以|a＋2b|＝ ，又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1× ×cos ＋2× ＝ ＋ ＝ ，所以cos〈a＋2b，b〉＝ ＝ ＝ ，所以a＋2b与b的夹角为 .故选A.
法二 设a＝(1,0)，b＝ ＝ ，则(a＋2b)·b＝ · ＝ ，|a＋2b|＝ ＝ ，所以cos〈a＋2b，b〉＝ ＝ ＝ ，所以a＋2b与b的夹角为 ，故选A.
答案：A
8．(2017·惠州市第三次调研考试)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足( － )·( ＋ －2 )＝0，则△ABC的形状为()
A．等腰三角形B．直角三角形
C．正三角形D．等腰直角三角形
解析：( － )·( ＋ －2 )＝0，即 ·( ＋ )＝0，∵ － ＝ ，∴( － )·( ＋ )＝0，即| |＝| |，∴△ABC是等腰三角形，故选A.
答案：A
2．在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若 ＝m ＋n (m，n∈R)，则 ＝()
A．－3B．－
C. D．3
解析：过点A作AE∥CD，交BC于点E，则BE＝2，CE＝4，所以m ＋n ＝ ＝ ＝ ＋ ＝－ ＋ ＝－ ＋ ，所以 ＝ ＝－3.
高考数学二轮复习专题三平面向量三角函数三角形课时作业八三角变换与解三角形理86(1)
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈ 时，f(x)≥－ .
解析：(1)f(x)＝ cos2x＋ sin2x－sin2x
＝ sin2x＋ cos2x＝sin ，
所以f(x)的最小正周期T＝ ＝π.
(2)证明：因为－ ≤x≤ ，
答案：A
11．(2017·长沙市统一模拟考试)化简： ＝________.
解析： ＝ ＝ ＝4sinα.
答案：4sinα
12．(2017·新疆第二次适应性检测) 的值是________．
解析：依题意得 ＝ ＝ ＝ ＝2.
答案：2
13．(2017·课标全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝ ，c＝3，则A＝________.
由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得b2＋c2＝6，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝12，即b＋c＝2 .
所以△ABC的周长为3＋2 .
＝1.
又△ABC的面积为 ×4×2sin∠BAC＝2 ，
所以△ABD的面积为 .
18．(2017·东北四市高考模拟)已知点P( ，1)，Q(cosx，sinx)，O为坐标原点，函数f(x)＝ · .
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若A为△ABC的内角，f(A)＝4，BC＝3，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．
课时作业(八)三角变换与解三角形
1．(2017·陕西省高三教学质量检测试题(一))设角θ的终边过点(2,3)，则tan ＝()
A. B．－
C．5D．－5
解析：由于角θ的终边过点(2,3)，因此tanθ＝ ，故tan ＝ ＝ ＝ ，选A.
高考数学二轮复习专题三三角函数、平面向量2.3.3平面向量学案理
2.3.3 平面向量1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0[解析] 因为|a |＝1，a ·b ＝－1，所以a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3.故选B.[答案] B2．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5 D ．2[解析] 分别以CB 、CD 所在的直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A (2,1)，B (2,0)，D (0,1)．∵点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上， ∴可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ，25sin θ. 则AB →＝(0，－1)，AD →＝(－2,0)，AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫25cos θ－2，25sin θ－1.又AP →＝λAB →＋μAD →， ∴λ＝－25sin θ＋1，μ＝－15cos θ＋1，∴λ＋μ＝2－25sin θ－15cos θ＝2－sin(θ＋φ)，其中tan φ＝12，∴(λ＋μ)max ＝3.[答案] A3．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.[解析] 由已知得2a ＋b ＝(4,2)．又c ＝(1，λ)，c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，解得λ＝12.[答案] 124．(2018·上海卷)在平面直角坐标系中，已知点A (－1,0)、B (2,0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则AE →·BF →的最小值为________．[解析] 设E (0，m )，F (0，n )， 又A (－1,0)，B (2,0)， ∴AE →＝(1，m )，BF →＝(－2，n )．∴AE →·BF →＝－2＋mn ，又知|EF →|＝2，∴|m －n |＝2.①当m ＝n ＋2时，AE →·BF →＝mn －2＝(n ＋2)n －2＝n 2＋2n －2＝(n ＋1)2－3.∴当n ＝－1，即E 的坐标为(0,1)，F 的坐标为(0，－1)时，AE →·BF →取得最小值－3.②当m ＝n －2时，AE →·BF →＝mn －2＝(n －2)n －2＝n 2－2n －2＝(n －1)2－3.∴当n ＝1，即E 的坐标为(0，－1)，F 的坐标为(0,1)时，AE →·BF →取得最小值－3.综上可知，AE →·BF →的最小值为－3. [答案] －35．(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB→(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．[解析] 解法一：如图，由BD →＝2DC →得AD →＝13AB →＋23AC →，所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝13λAB →·AC →－13AB →2＋23λAC →2－23AB →·AC →，又AB →·AC →＝3×2×cos60°＝3，AB →2＝9，AC →2＝4，所以AD →·AE →＝λ－3＋83λ－2＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.解法二：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，因为AB ＝3，AC ＝2，∠A ＝60°，所以B (3,0)，C (1，3)，又BD →＝2DC →，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，所以AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，而AE →＝λAC →－AB →＝λ(1，3)－(3,0)＝(λ－3，3λ)，因此AD →·AE →＝53(λ－3)＋233×3λ ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.[答案]3111.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．2．有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识相交汇综合命题，难度中等．。
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∵0<a<1，∴当a＝ 时， · 取得最小值 ，又 · <2，故 · 的取值范围为 .
答案：C
12．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ的最大值为()
解析：因为a⊥(a－b)，所以a2－a·b＝0，又|a|＝1，所以a·b＝1，设向量a与向量b的夹角为θ，由cosθ＝ ＝ ＝ ，可得θ＝ ，即向量a与b的夹角为 .
答案：
14．在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若 · ＝6，则| |的最小值是________．
解析：如图，在△AOB中，
答案：C
6．在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝30°，CD是边AB上的高，则 · ＝()
A．－ B.
C. D．－
解析：依题意得| |＝ ， · ＝0， · ＝ ·( ＋ )＝ · ＋ · ＝ · ＝| |·| |·cos60°＝3× × ＝ ，故选B.
答案：B
7．(2017·成都市第二次诊断性检测)已知平面向量a，b的夹角为 ，则|a|＝1，|b|＝ ，则a＋2b与b的夹角是()
＝ ＝ × ( ＋ )＝ ( ＋ )，
又 · ＝| || |·cos60°＝6，
∴| || |＝12，
∴| |2＝ ( ＋ )2
＝ (| |2＋| |2＋2 · )
＝ (| |2＋| |2＋12)≥ ×2(| |·| |＋12)＝ ×36＝4(当且仅当| |＝| |时取等号)．
∴| |≥2，故| |的最小值是2.
A．1 B.
C. D．4
解析：∵a＝(m,1)，b＝(m，－1)，∴a＋b＝(2m,0)，a－b＝(0,2)，又|a＋b|＝|a－b|，∴|2m|＝2，∴m＝±1，∴|a|＝ ＝ .故选C.
答案：C
5．已知A(－1，cosθ)，B(sinθ，1)，若| ＋ |＝| － |(O为坐标原点)，则锐角θ＝()
答案：A
8．(2017·惠州市第三次调研考试)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足( － )·( ＋ －2 )＝0，则△ABC的形状为()
A．等腰三角形B．直角三角形
C．正三角形D．等腰直角三角形
解析：( － )·( ＋ －2 )＝0，即 ·( ＋ )＝0，∵ － ＝ ，∴( － )·( ＋ )＝0，即| |＝| |，∴△ABC是等腰三角形，故选A.
又因为 ＝m ＋n ，
所以 ＝m ， ＝n ，
所以| |＝m，| |＝n.
在△COD中，由正弦定理得 ＝ ＝ ，
因为sin∠ODC＝sin(180°－α－∠OCD)
＝sin(α＋∠OCD)＝ ，
即 ＝ ＝ ，
所以n＝ ，m＝ ，所以m＋n＝3.
法二：由tanα＝7可得cosα＝ ，sinα＝ ，则 ＝ ＝ ，
答案：A
9．(2017·湖南省五市十校联考)△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足AB＝2a， ＝2a＋b，则向量a，b的夹角为()
A．30°B．60°
C．120°D．150°
解析：设向量a，b的夹角为θ， ＝ － ＝2a＋b－2a＝b，∴| |＝|b|＝2，| |＝2|a|＝2，∴|a|＝1， 2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝8＋8cosθ＝4，∴cosθ＝－ ，θ＝120°.
答案：C
10．称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则()
A．a⊥bB．b⊥(a－b)
C．a⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)
解析：由于d(a，b)＝|a－b|，因此对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，即|a－tb|≥|a－b|，即(a－tb)2≥(a－b)2，t2－2ta·b＋(2a·b－1)≥0对任意的t∈R都成立，因此有(－2a·b)2－4(2a·b－1)≤0，即(a·b－1)2≤0，得a·b－1＝0，故a·b－b2＝b·(a－b)＝0，故b⊥(a－b)．
∵ ＝λ ＋μ ＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，
∴μ＝ x0＝1＋ cosθ，λ＝y0＝1＋ sinθ.
两式相加，得
λ＋μ＝1＋ sinθ＋1＋ cosθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3
，
当且仅当θ＝ ＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.
故选A.
答案：A
13．(2017·广州市综合测试(一))已知|a|＝1，|b|＝ ，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角是________．
课时作业(六)平面向量
1．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，解得m＝－6，则m＝－6时，a＝(－1,2)，a＋b＝(2，－4)，所以a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.
A. B.
C. D.
解析：法一 因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1× ×cos ＝3，所以|a＋2b|＝ ，又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1× ×cos ＋2× ＝ ＋ ＝ ，所以cos〈a＋2b，b〉＝ ＝ ＝ ，所以a＋2b与b的夹角为 .故选A.
法二 设a＝(1,0)，b＝ ＝ ，则(a＋2b)·b＝ · ＝ ，|a＋2b|＝ ＝ ，所以cos〈a＋2b，b〉＝ ＝ ＝ ，所以a＋2b与b的夹角为 ，故选A.
A. B.
C. D.
解析：法一 ＋ 是以OA，OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量 ， － 是对角线向量 ，由已知可得，对角线相等，则平行四边形OADB为矩形．故OA⊥OB.因此 · ＝0，所以sinθ－cosθ＝0，所以锐角θ＝ .
法二 ＋ ＝(sinθ－1，cosθ＋1)， － ＝(－sinθ－1，cosθ－1)，由| ＋ |＝| － |可得(sinθ－1)2＋(cosθ＋1)2＝ 2＋(cosθ－1)2，整理得sinθ＝cosθ，于是锐角θ＝ .
答案：
16.
(2017·江苏卷)如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为1,1， ， 与 的夹角为α，且tanα＝7， 与 的夹角为45°.若 ＝m ＋n (m，n∈R)，则m＋n＝________.
解析：
法一：因为tanα＝7，
所以cosα＝ ，sinα＝ .
过点C作CD∥OB交OA的延长线于点D，则 ＝ ＋ ，∠OCD＝45°.
由cos∠BOC＝ 可得 ＝ ＝ ，
cos∠AOB＝cos(α＋45°)＝cosαcos 45°－sinαsin 45°＝ × － × ＝－ ，
则 · ＝－ ，则m－ n＝ ，－ m＋n＝1，
则 C. D．2
解析：建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．
设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.
∵CD＝1，BC＝2，
∴BD＝ ＝ ，
EC＝ ＝ ＝ ，
即圆C的半径为 ，
∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝ .
设P(x0，y0)，则 (θ为参数)，
而 ＝(x0，y0)， ＝(0,1)， ＝(2,0)．
答案：2
15．(2017·石家庄市教学质量检测(一))已知 与 的夹角为90°，| |＝2，| |＝1， ＝λ ＋μ (λ，μ∈R)，且 · ＝0，则 的值为________．
解析：
根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，所以 ＝(0,2)， ＝(1,0)， ＝(1，－2)．设M(x，y)，则 ＝(x，y)，所以 · ＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又 ＝λ ＋μ ，即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以 ＝ ＝ .
答案：A
2．在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若 ＝m ＋n (m，n∈R)，则 ＝()
A．－3B．－
C. D．3
解析：过点A作AE∥CD，交BC于点E，则BE＝2，CE＝4，所以m ＋n ＝ ＝ ＝ ＋ ＝－ ＋ ＝－ ＋ ，所以 ＝ ＝－3.
答案：A
3．(2017·湖南湘中名校联考)已知向量a＝(x， )，b＝(x，－ )，若(2a＋b)⊥b，则|a|＝()
答案：B
11．(2017·宝鸡市质量检测(一))在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足| |＝ ，则 · 的取值范围为()
A. B.
C. D.
解析：以等腰直角三角形的直角边BC为x轴，BA为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则B(0,0)，直线AC的方程为x＋y＝2.
A．1 B.
C. D．2
解析：因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0，即(3x， )·(x，－ )＝3x2－3＝0，解得x＝±1，所以a＝(±1， )，|a|＝ ＝2，故选D.
答案：D
4．(2017·安徽省两校阶段性测试)已知向量a＝(m,1)，b＝(m，－1)，且|a＋b|＝|a－b|，则|a|＝()