离散数学6课件
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离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念, 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ,自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容,包括集合的交、并、差、补等基本运算,以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生,1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的,那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的,那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A,存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}, 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n),且E1∪E2∪...∪En=S,那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用,如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ,是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用,掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力,对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法,它是 一个二维矩阵,其中行和列对应于图中的节 点,如果两个节点之间存在一条边,则矩阵 中相应的元素为1,否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法,它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
离散数学 第六章的 ppt课件
符号化表示为:B A x ( xB xA ) B ⊈ A x ( xB xA )
例如N Z Q R C,但Z ⊈ N。显然对任何集合A都有A A。
定义6.2 设A,B为集合,如果A B且B A,则称A与B相等,记作A=B。 如果A与B不相等,则记作A≠B。
符号化表示为: A = B A B B A
1. 集合的广义并与广义交
定义6.10 设A为集合,A的元素的元素构成的集合称为A的广 义并,记为∪A。符号化表示为
广义并 A = { x | z ( zA xz )}
定义6.11 设A为非空集合,A的所有元素的公共元素构成的 集合称为A的广义交,记为∩A。符号化表示为
广义交 A= { x | z ( zA xz )}
A B=B A
(6.29)
(A B) C=A (B C) A =A A A= A B=A C B=C
(6.30) (6.31) (6.32) (6.33)
离散数学 第六章的
25
书本88页
例6.5 设A={{a},{a,b}}
计算∪∪A,∩∩A和∩∪A∪(∪∪A-∪∩A)。
解: ∪A={a,b}
∩A={a}
∪∪A=a∪b
∩∩A=a
∩∪A=a∩b
∪∩A=a
∩∪A∪(∪∪A-∪∩A)
=(a∩b)∪((a∪b)-a)
=(a∩b)∪(b-a)
=b
所以∪∪A=a∪b,∩∩A=a,∩∪离散A∪数学(∪第∪六A章-的 ∪∩A)=b。
26
6.4 集合恒等式(P92)
集合算律 1.只涉及一个运算的算律:
离散数学 第六章的
12
集合运算的表示
文氏图
A
B
AB
例如N Z Q R C,但Z ⊈ N。显然对任何集合A都有A A。
定义6.2 设A,B为集合,如果A B且B A,则称A与B相等,记作A=B。 如果A与B不相等,则记作A≠B。
符号化表示为: A = B A B B A
1. 集合的广义并与广义交
定义6.10 设A为集合,A的元素的元素构成的集合称为A的广 义并,记为∪A。符号化表示为
广义并 A = { x | z ( zA xz )}
定义6.11 设A为非空集合,A的所有元素的公共元素构成的 集合称为A的广义交,记为∩A。符号化表示为
广义交 A= { x | z ( zA xz )}
A B=B A
(6.29)
(A B) C=A (B C) A =A A A= A B=A C B=C
(6.30) (6.31) (6.32) (6.33)
离散数学 第六章的
25
书本88页
例6.5 设A={{a},{a,b}}
计算∪∪A,∩∩A和∩∪A∪(∪∪A-∪∩A)。
解: ∪A={a,b}
∩A={a}
∪∪A=a∪b
∩∩A=a
∩∪A=a∩b
∪∩A=a
∩∪A∪(∪∪A-∪∩A)
=(a∩b)∪((a∪b)-a)
=(a∩b)∪(b-a)
=b
所以∪∪A=a∪b,∩∩A=a,∩∪离散A∪数学(∪第∪六A章-的 ∪∩A)=b。
26
6.4 集合恒等式(P92)
集合算律 1.只涉及一个运算的算律:
离散数学 第六章的
12
集合运算的表示
文氏图
A
B
AB
离散数学课件 离散6.1-6.2节PPT
k ∶= 0 for i1 ∶= 1 to n1
k ∶= k + 1 for i2 ∶= 1 to n2
k ∶= k + 1 ⋮ for im ∶= 1 to nm
k ∶= k + 1
4 / 15
Combining the product and sum rules
In a version of BASIC, a variable name is a string of 1 or 2 alphanumeric chars, where uppercase and lowercase letters are not distinguished. Moreover, a variable name must begin with a letter and must be different from the 5 strings of chars reserved for programming use. How many different variable names are there? Each user on a computer system has a password, which is 6 to 8 characters long, where each character is an uppercase letter or a digit. Each password must contain at least one digit. How many possible passwords are there?
3 / 15
Compare two Leabharlann rograms with loops
What is the value of k at the end of each program:
k ∶= k + 1 for i2 ∶= 1 to n2
k ∶= k + 1 ⋮ for im ∶= 1 to nm
k ∶= k + 1
4 / 15
Combining the product and sum rules
In a version of BASIC, a variable name is a string of 1 or 2 alphanumeric chars, where uppercase and lowercase letters are not distinguished. Moreover, a variable name must begin with a letter and must be different from the 5 strings of chars reserved for programming use. How many different variable names are there? Each user on a computer system has a password, which is 6 to 8 characters long, where each character is an uppercase letter or a digit. Each password must contain at least one digit. How many possible passwords are there?
3 / 15
Compare two Leabharlann rograms with loops
What is the value of k at the end of each program:
《离散数学》课件第6章 (2)
〈SS, , 〈Σ*, τ〉不是可交换半群。
定义 6.1.3 含有关于*运算的幺元的半群〈S, *〉, 称
它为独异点(monoid), 或含幺半群, 常记为〈S, *, e〉(e是
幺元)。
第六章 几个典型的代数系统
【例6.1.4】
〈Z, +〉是独异点, 幺元是0, 〈Z, +, 0〉;
〈Z, ×〉是独异点, 幺元是1, 〈Z, ×, 1〉;
(4) A≠ , 〈P(A), ∩〉是半群, 幺元为A, 非空集合无逆
元, 所以不是群。
(5) A≠ , 〈P(A), 是S, 所以是群。
S∈P(A), S的逆元
(6) 〈Q+, ·〉(正有理数与数乘)为一群, 1为其幺元。 〈Q, ·〉不是群, 因为数0无逆元。
因为零元无逆元, 所以含有零元的代数系统就不会是群。
逻辑关系见图6.1.1。
第六章 几个典型的代数系统
图6.1.1
第六章 几个典型的代数系统
定义 6.1.1 设〈S, *〉是代数系统, *是二元运算, 如果*运算满足结合律, 则称它为半群(semigroups)。
换言之, x, y, z∈S, 若*是S上的封闭运算且满足 (x*y)*z=x*(y*z), 则〈S, *〉是半群。
设半群〈S, *〉中元素a(简记为a∈S)的n次幂记为an, 递 归定义如下:
a1=a an+1=an*a1 n∈Z+ 即半群中的元素有时可用某些元素的幂表示出来。
因为半群满足结合律, 所以可用数学归纳法证明
am*an=am+n, (am)n=amn。
第六章 几个典型的代数系统
普通乘法的幂、 关系的幂、 矩阵乘法的幂等具体的代 数系统都满足这个幂运算规则。
离散数学第六章的课件
05 离散随机变量
随机变量的定义与性质
随机变量定义
随机变量是从样本空间到实数的可测 函数,用于描述随机现象的结果。
随机变量性质
随机变量具有可测性、可加性和可数 性等性质,这些性质在概率论和统计 学中具有重要应用。
离散概率分布
离散概率分布定义
离散概率分布描述的是随机变量取离散值时的概率规律,通 常用概率质量函数或概率函数表示。
离散概率分布性质
离散概率分布具有非负性、归一性和可数性等性质,这些性 质是离散概率分布的基本要求。
期望与方差
期望定义
期望是随机变量所有可能取值 的概率加权和,是描述随机变 量取值“平均水平”的重要指
标。
期望性质
期望具有线性性、可加性和正 定性等性质,这些性质在概率 论和统计学中具有重要应用。
方差定义
感谢您的观看
THANKS
方差是描述随机变量取值分散 程度的重要指标,是随机变量 与期望之差的平方的期望。
方差性质
方差具有非负性、归一性和可 加性等性质,这些性质是方差
的基本要求。
06 离散概率论的应用
蒙提霍尔问题
总结词
蒙提霍尔问题是一个著名的概率论问题,涉 及到概率论中的独立性概念和组合数学。
详细描述
蒙提霍尔问题是一个经典的组合数学问题, 它涉及到概率论中的独立性概念。该问题问 的是,如果有n个盒子,每个盒子被选中的 概率是1/2,那么在最优策略下,选中至少 一个盒子的最有可能的盒子数是多少?这个 问题涉及到概率论中的独立性概念和组合数
学。
抓阉问题
要点一
总结词
抓阉问题是一个经典的离散概率论问题,涉及到概率论中 的随机性和独立性概念。
要点二
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如,利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等,可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科, 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策,离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ,可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起,形成一个新的集合。
详细描述
例如,{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如,对于集合{1, 2, 3},{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
)的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系,强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如,集合{1, 2, 3}的基数是3,即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向,即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向,即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子(如necessity、possibility)的语义和语法。
离散数学6——8章ppt
一、路径,回路。 1、路径 (回路) —— G 中顶点和边的交替序列
(v ,v (无向图), ,其中 e v e v e e v i i 1 i) 0112 l l
或e v 0 ——始点, i v i 1,v i (有向图),
v l ——终点,称 为 v 0 到 v l 的通路。当 v 0 v l
并且 e 与 e ' 重数相同,则称 G 1 与 G 2 同构, 记作 G1 ≌ G2 。
例 4、
b
(1) (2)
a d c (3) e c
e
v1
v4 v5 v2
(4)
v3
a
v1 v2 v3 v4
(7)
v6 v5
f
(5)
b
(6)
d
例5、(1) 画出4个顶点,3条边的所有非同构 的无向简单图。 解:只有如下3个图:
…………
例1、(1)
图(1)中,从 v 1 到 v 6 的路径有:
v e v e v e v 1 1125576
v e v e v e v e v e v e v 2 1 1 2 2 3 3 4 4 2 5 5 7 6
基本路径 简单路径 复杂通路
v e v e v e v e v e v e v 3 1 1 2 5 5 6 4 4 2 5 5 7 6
2、图的表示法。
有向图,无向图的顶点都用小圆圈表示。
无向边 ( a , b )
——连接顶点 a , b 的线段。
有向边 a , b ——以 a 为始点,以 b 为终点的有向线段。
例1、(1) 无向图 G V, E , V v , vvvv ,3 ,4 ,5 1 2
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程,包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ,包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中,参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法,用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究,最初是为了解决当时的一些实际 问题,如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象(如集合、 图、树、逻辑等)的数学分支,它不 涉及连续的变量或函数。
联结词:如与(&&)、或(||)、非(!)等,用 于组合简单命题。
03
04
命题公式:由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程,包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ,包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中,参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法,用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究,最初是为了解决当时的一些实际 问题,如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象(如集合、 图、树、逻辑等)的数学分支,它不 涉及连续的变量或函数。
联结词:如与(&&)、或(||)、非(!)等,用 于组合简单命题。
03
04
命题公式:由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
精品课程《离散数学》PPT课件(全)
言1
为什么学习离散数学?
离散数学是现代数学的一个重要分支,是计算机科学与技术 的理论基础,所以又称为计算机数学,是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标,其研 究对象一般是有限个或可数个元素,因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课?
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数: (3) 只有 a能被2整除, a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除, a才能被2整除。
解: 令r: a能被4整除, s: a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
26
19
1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题,复合命题“p或q” 称为p与q的析取式,记作p ∨ q,符号∨称 为析取联结词。 运算规则:
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
20
1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点:只有参与运算的二命题全为假时,运算结果才 为假,否则为真。 相容或:二者至少有一个发生,也可二者都发生 排斥或:二者只有一个发生,即非此即彼 例如: (1)小王爱打球或爱跑步。 设p:小王爱打球。 q:小王爱跑步。 则上述命题可符号化为:p ∨ q (2)张晓静是江西人或湖南人。 设p:江西人。 q:湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为:p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)
(1)星期天天气好,带儿子去了动物园; (2)星期天天气好,却没带儿子去动物园; (3)星期天天气不好,却带儿子去了动物园; (4)星期天天气不好,没带儿子去动物园。
离散数学第六章PPT课件
对任意e∈E(G) , 若G – e仍连通,则说明G中含
有回路,此与(4)矛盾,故G – e不连通。
2021/3/9
授课:XXX
10
少条边就会不连通的图是树
只须证G中无回路。 若G中含回路C,取e=xy∈E(C) ,则 C – e仍连 通,任取u,v∈V(G) ,因G连通,故G中有(u,v)––通 路P。若P不含e,则u,v在G – e中仍连通;若 P中 含e,则P中的e可以用C – e中的(x,y)––通路代替, 从而u,v在G – e中仍连通。总之,u与v在G – e中 连通,此与(5)矛盾。故G无回路,因此,G是树
(因为在树中,q = p–1) 此为矛盾,故结论成立。
2021/3/9
授课:XXX
14
§6.2 生成树
图的生成树
生成树:G是一个图,若G的生成子图T是 树, 则称T为G的生成树。(G的生成树可能 不唯一。) 一个图G的生成树是 ⑴G的生成子图,因此它包含了G的全部 顶点; ⑵无回路的连通图(树)。
2021/3/9
授课:XXX
9
树若减条边就会不连通
证明:任取u,v ∈V(G) , 若uv∈E(G) , 则u和v 是连通的;若uv E(G) , 则有(4)知,G+uv有
唯一的回路C。由于G中无回路,所以,u,v必 在回路C上,显然,C – uv是G的连通子图,从 而G中含(u,v)–通路,即uv,故G是连通图。
2021/3/9
授课:XXX
8
树若添条边就会有回路
证明:设G有k个连通分支,由于G无回路,所 以G的每个连通分支均是树,于是,
k
k
qi=pi-1(i=1,…,k) ,q =qi = (pi-1)= p – k
有回路,此与(4)矛盾,故G – e不连通。
2021/3/9
授课:XXX
10
少条边就会不连通的图是树
只须证G中无回路。 若G中含回路C,取e=xy∈E(C) ,则 C – e仍连 通,任取u,v∈V(G) ,因G连通,故G中有(u,v)––通 路P。若P不含e,则u,v在G – e中仍连通;若 P中 含e,则P中的e可以用C – e中的(x,y)––通路代替, 从而u,v在G – e中仍连通。总之,u与v在G – e中 连通,此与(5)矛盾。故G无回路,因此,G是树
(因为在树中,q = p–1) 此为矛盾,故结论成立。
2021/3/9
授课:XXX
14
§6.2 生成树
图的生成树
生成树:G是一个图,若G的生成子图T是 树, 则称T为G的生成树。(G的生成树可能 不唯一。) 一个图G的生成树是 ⑴G的生成子图,因此它包含了G的全部 顶点; ⑵无回路的连通图(树)。
2021/3/9
授课:XXX
9
树若减条边就会不连通
证明:任取u,v ∈V(G) , 若uv∈E(G) , 则u和v 是连通的;若uv E(G) , 则有(4)知,G+uv有
唯一的回路C。由于G中无回路,所以,u,v必 在回路C上,显然,C – uv是G的连通子图,从 而G中含(u,v)–通路,即uv,故G是连通图。
2021/3/9
授课:XXX
8
树若添条边就会有回路
证明:设G有k个连通分支,由于G无回路,所 以G的每个连通分支均是树,于是,
k
k
qi=pi-1(i=1,…,k) ,q =qi = (pi-1)= p – k
离散数学第六章课件
2018/11/12 4
2.格
定义6-1.1格:设<A,≤>是一个偏序集,如果 A中任意两个元素都存在着最大下界和最小上 界,则称<A,≤>是格。
以上5个图中,任何两个元素都有最小上界和最大下界
2018/11/12 5
格的判定
例6-1.1 判断下列偏序集是否是格?
e
e d
f b c
d
c
a b
2018/11/12 3
最小上界、最大下界
最小上界:设<A,≤>为一偏序集且BA,a为 B的任一上界,若对B的所有上界y均有a≤y,则 称a为B的最小上界(上确界),记作LUB B
最大下界:若b为B的任一下界,若对B的所有 下界z,均有z≤b,则称b为B的最大下界(下确 界),记作GLB B 把具有两个元素集合{a,b}的最小上界(最大 下界)称为元素a,b的最小上界(最大下界)
2018/11/12 15
6.格相关的性质定理
定理6-1.1 在一个格<A,≤>,对于任意的a,b 结论很有用!!! A,都有 a≤a∨b, b≤a∨b a∧b≤a, a∧b≤b
证明: a和b的并是a、b的最小上界,所以 a≤a∨b 同理 b≤a∨b 由对偶原理: a∧b≤a, a∧b≤b
子格判定
注意证明方法
例6-1.4:<s,≤>是一个格,任取a s,构造s的 子集:T={x|xs且x≤a},则<T,≤>是<s,≤>的 子格.
证明:对于任意的x,yT,必有x≤a,y≤a a是x,y的上界,最小上界≤任一上界 x∨y≤a x∧y≤x≤a 所以x∨yT, x∧yT <T,≤>是<s,≤>的子格
2.格
定义6-1.1格:设<A,≤>是一个偏序集,如果 A中任意两个元素都存在着最大下界和最小上 界,则称<A,≤>是格。
以上5个图中,任何两个元素都有最小上界和最大下界
2018/11/12 5
格的判定
例6-1.1 判断下列偏序集是否是格?
e
e d
f b c
d
c
a b
2018/11/12 3
最小上界、最大下界
最小上界:设<A,≤>为一偏序集且BA,a为 B的任一上界,若对B的所有上界y均有a≤y,则 称a为B的最小上界(上确界),记作LUB B
最大下界:若b为B的任一下界,若对B的所有 下界z,均有z≤b,则称b为B的最大下界(下确 界),记作GLB B 把具有两个元素集合{a,b}的最小上界(最大 下界)称为元素a,b的最小上界(最大下界)
2018/11/12 15
6.格相关的性质定理
定理6-1.1 在一个格<A,≤>,对于任意的a,b 结论很有用!!! A,都有 a≤a∨b, b≤a∨b a∧b≤a, a∧b≤b
证明: a和b的并是a、b的最小上界,所以 a≤a∨b 同理 b≤a∨b 由对偶原理: a∧b≤a, a∧b≤b
子格判定
注意证明方法
例6-1.4:<s,≤>是一个格,任取a s,构造s的 子集:T={x|xs且x≤a},则<T,≤>是<s,≤>的 子格.
证明:对于任意的x,yT,必有x≤a,y≤a a是x,y的上界,最小上界≤任一上界 x∨y≤a x∧y≤x≤a 所以x∨yT, x∧yT <T,≤>是<s,≤>的子格
离散数学课件 离散6.3-6.4节PPT
Example: Let S = {1, 2, 3}. The sequence 3,1,2 is a permutation of S. The sequence 3,1 is a 2-permutation of S.
Theorem: Let P (n, r) denote the number of r-permutations
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Corollaries
Corollary 1: ∑nj=0 C(n, j) = 2n combinatorial proof
Corollary 2: ∑nj=0(−1)jC(n, j) = 0 Corollary 3: ∑nj=0 2jC(n, j) = 3n
Example: How many permutations of the letters ABCDEFGH contain the string ABC?
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Combinations (|Ü)
Definition: An unordered selection of r elements of a set is called an r-combination.
Assignment 1 due in two weeks
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Review of last time
Basic counting principles: the product, sum, substraction and division rules Tree diagrams The pigeonhole principle and its generalized version
How many bit strings of length n contain exactly r 1s?
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注:真子集的符号化:BA (BA)∧(B A)。
§6.1 集合的基本概念
5.空集(Def6.4):不含任何元素的集合称为空集,记为Ø 注: 1. 空集的符号化:Ø ={x|x x }。 2. Th6.1 空集是一切集合的子集。(证明见教材P85)。 3. Cor 空集是唯一的。(证明见教材P85)。
§6.3 有穷集的计数
集合间的关系与运算的表示:文氏图(Venn Diagrams)
E
B
A
E
AB
E
AB
E
AB
A∩B=
E
AB
A∩B
A∩B=A
E
A
~A
A-B
E
AB
AB
A={a,b,…,z}
Z={0,-1,1,-2,2,…}
D={a,{a},{a,b}}集合中的元素还可以是集合。
谓词表示法:用谓词来描述集合中元素的性质。
如:B={x | x∈R ∧(x-1=0)} 描述法
={x | F(x)∧G(x)}
谓词描述法
设F(x):x∈R ,G(x):x-1=0 .
集合的性质:
第六章Biblioteka 集合代数6.1 集合的基本概念 6.2 集合的运算 6.3 有穷集合的计数 6.4集合恒等式
§6.1 集合的基本概念
1.集合:将一些事物汇集到一起组成的整体,其中每个事物称为这个集合 的元素。
注:如果x是集合A的元素,则记为xA 。
集合的表示方法:列元素法和谓词表示法
列元素法:列出集合的所有元素或部分元素,可用于有限集和有一定 规律的无限集。如:
6.n元集:含有n个元素的集合。它共有2n个子集合。 例 6.1 设A={1,2,3},求A的所有子集合。 7.集合A的幂集(Def6.5):由A的所有子集作为元素形成的集合。记为P(A)或2A 。
注:幂集的符号化:P(A)= { B | B A}。
续例 6.1 设A={1,2,3},求P(A)。
例6.2设A={{a, b, c}, {a, c, d}, {a, e, f}}, B={{a}}, C={a, {c, d}}.
解:∪A= {a, b, c, d, e, f}
∪B= {a}
∪C= a∪{c, d}
∪Ø = Ø
∩A= {a}
∩B= {a}
∩C= a∩{c,d}
∩Ø 不是集合
集合运算的进一步推广
符号化 ∪A={x| z ( z∈A∧x∈z ) } 若A={A1,A2,…,An} 则∪A=A1∪A2∪…∪An。 定义6.11 设A为非空集合,A的所有元素的公共元素构成的集合称为A的广 义交,记为∩A。
符号化 ∩A={x|z(z∈A→x∈z)} 若A={A1,A2,…,An} 则∩A=A1∩A2∩…∩An。
(1)集合的元素是彼此不同的,相同的元素应该认为是同一个元素。
(2)集合的元素是无序的。如:{1,2,3}={2,3,1}
§6.1 集合的基本概念
注:元素与集合的关系是属于∈和不属于 。 本书规定集合的元素都是集合。对任何集合A,都有AA .
2.子集合(Def 6.1):若集合B中的元素都在集合A中,则称B是A的子集合(简 称子集)。这时也称B被A包含,或A包含B。记为B A。 如果B不被A包含,则记为BA。
§6.2 集合的运算
一. 集合的基本运算
设A,B是集合(def6.7~~6.9) 1.A与B的并:A∪B = { x | x A∨ x B } 2.A与B的交:A∩B = { x | x A ∧ x B } 3.A与B的差(B对A的相对补):A – B = { x | x A∧ x B } 4.A与B的对称差:A⊕B=(A – B)∪(B–A)=(A∪B) – (A∩B) 5.A的补集(或称绝对补):~A = E – A = { x | x E∧ x A }
一类运算:广义并,广义交,幂集,绝对补
二类运算:并,交,相对补,对称差 集合运算的优先顺序: 一类运算优于二类运算; 一类运算由右向左顺序进行;
二类运算由括号决定先后顺序。
例6.3 设A={{a}, {a, b}},计算: ∪∪A, ∩∩A, ∩∪A∪(∪∪A-∪∩A). 解:∪A={a,b}
∩A={a} ∪∪A=a∪b ∩∩A=a ∩∪A=a∩b ∪∩A=a ∩∪A∪(∪∪A-∪∩A) =(a∩b)∪((a∪b)-a) =(a∩b)∪(b-a) =b
注: (1)“并”和“交”运算可以推广到有(无)限个集合:
n
A i A 1 A 2 A n { x x A 1 x A 2 x A n }
i 1
n A i A 1 A 2 A n { x x A 1 x A 2 x A n }
i 1
集合运算的进一步推广
定义6.10 设A为集合,A的元素的元素构成的集合称为A的广义并,记为 ∪A。
注:(1)包含的符号化:BAx(xB→xA)。 (2)对任何集合A,都有AA。
3.集合的相等(Def6.2):如果 AB且BA,则称集合A与B相等,记为A=B。 注:相等的符号化:A=B AB∧BA。
4.真子集(Def6.3):对符号A,B,若BA且BA, 则称B是A的真子集,记为BA 。 如果B不是A的真子集,则记为BA 。
8.全集(Def6.6):如果一个问题中所涉及的集合都是某一集合的子集,则称该集 合为全集。全集一般记为E。
注:不同问题有不同的全集,同一问题也可以取不同的全集。一般 总是将全集取得尽可能小,以便描述和处理问题更加简便。
§6.1 集合的基本概念
例:判断真伪。 (1){x}{x} (2){x}∈{x} (3){x}∈{x ,{x}} (4){x}{x ,{x}} (5){x}{x}x (6)若x∈A , A∈P(B), 则x∈P(B) (7)若x A , A P(B), 则x P(B) 例:求下列集合的幂集合。 (1){Ø,{Ø}} (2){Ø {Ø}} (3){{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}} 解: (1) P({Ø,{Ø}})={Ø, {Ø},{{Ø}}, {Ø,{Ø}}}. (2) P({Ø {Ø}})=P({{Ø}})={ Ø,{{Ø}}}. (3) P({{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}})=P({{1,2}})={ Ø,{{1,2}}}.
§6.1 集合的基本概念
5.空集(Def6.4):不含任何元素的集合称为空集,记为Ø 注: 1. 空集的符号化:Ø ={x|x x }。 2. Th6.1 空集是一切集合的子集。(证明见教材P85)。 3. Cor 空集是唯一的。(证明见教材P85)。
§6.3 有穷集的计数
集合间的关系与运算的表示:文氏图(Venn Diagrams)
E
B
A
E
AB
E
AB
E
AB
A∩B=
E
AB
A∩B
A∩B=A
E
A
~A
A-B
E
AB
AB
A={a,b,…,z}
Z={0,-1,1,-2,2,…}
D={a,{a},{a,b}}集合中的元素还可以是集合。
谓词表示法:用谓词来描述集合中元素的性质。
如:B={x | x∈R ∧(x-1=0)} 描述法
={x | F(x)∧G(x)}
谓词描述法
设F(x):x∈R ,G(x):x-1=0 .
集合的性质:
第六章Biblioteka 集合代数6.1 集合的基本概念 6.2 集合的运算 6.3 有穷集合的计数 6.4集合恒等式
§6.1 集合的基本概念
1.集合:将一些事物汇集到一起组成的整体,其中每个事物称为这个集合 的元素。
注:如果x是集合A的元素,则记为xA 。
集合的表示方法:列元素法和谓词表示法
列元素法:列出集合的所有元素或部分元素,可用于有限集和有一定 规律的无限集。如:
6.n元集:含有n个元素的集合。它共有2n个子集合。 例 6.1 设A={1,2,3},求A的所有子集合。 7.集合A的幂集(Def6.5):由A的所有子集作为元素形成的集合。记为P(A)或2A 。
注:幂集的符号化:P(A)= { B | B A}。
续例 6.1 设A={1,2,3},求P(A)。
例6.2设A={{a, b, c}, {a, c, d}, {a, e, f}}, B={{a}}, C={a, {c, d}}.
解:∪A= {a, b, c, d, e, f}
∪B= {a}
∪C= a∪{c, d}
∪Ø = Ø
∩A= {a}
∩B= {a}
∩C= a∩{c,d}
∩Ø 不是集合
集合运算的进一步推广
符号化 ∪A={x| z ( z∈A∧x∈z ) } 若A={A1,A2,…,An} 则∪A=A1∪A2∪…∪An。 定义6.11 设A为非空集合,A的所有元素的公共元素构成的集合称为A的广 义交,记为∩A。
符号化 ∩A={x|z(z∈A→x∈z)} 若A={A1,A2,…,An} 则∩A=A1∩A2∩…∩An。
(1)集合的元素是彼此不同的,相同的元素应该认为是同一个元素。
(2)集合的元素是无序的。如:{1,2,3}={2,3,1}
§6.1 集合的基本概念
注:元素与集合的关系是属于∈和不属于 。 本书规定集合的元素都是集合。对任何集合A,都有AA .
2.子集合(Def 6.1):若集合B中的元素都在集合A中,则称B是A的子集合(简 称子集)。这时也称B被A包含,或A包含B。记为B A。 如果B不被A包含,则记为BA。
§6.2 集合的运算
一. 集合的基本运算
设A,B是集合(def6.7~~6.9) 1.A与B的并:A∪B = { x | x A∨ x B } 2.A与B的交:A∩B = { x | x A ∧ x B } 3.A与B的差(B对A的相对补):A – B = { x | x A∧ x B } 4.A与B的对称差:A⊕B=(A – B)∪(B–A)=(A∪B) – (A∩B) 5.A的补集(或称绝对补):~A = E – A = { x | x E∧ x A }
一类运算:广义并,广义交,幂集,绝对补
二类运算:并,交,相对补,对称差 集合运算的优先顺序: 一类运算优于二类运算; 一类运算由右向左顺序进行;
二类运算由括号决定先后顺序。
例6.3 设A={{a}, {a, b}},计算: ∪∪A, ∩∩A, ∩∪A∪(∪∪A-∪∩A). 解:∪A={a,b}
∩A={a} ∪∪A=a∪b ∩∩A=a ∩∪A=a∩b ∪∩A=a ∩∪A∪(∪∪A-∪∩A) =(a∩b)∪((a∪b)-a) =(a∩b)∪(b-a) =b
注: (1)“并”和“交”运算可以推广到有(无)限个集合:
n
A i A 1 A 2 A n { x x A 1 x A 2 x A n }
i 1
n A i A 1 A 2 A n { x x A 1 x A 2 x A n }
i 1
集合运算的进一步推广
定义6.10 设A为集合,A的元素的元素构成的集合称为A的广义并,记为 ∪A。
注:(1)包含的符号化:BAx(xB→xA)。 (2)对任何集合A,都有AA。
3.集合的相等(Def6.2):如果 AB且BA,则称集合A与B相等,记为A=B。 注:相等的符号化:A=B AB∧BA。
4.真子集(Def6.3):对符号A,B,若BA且BA, 则称B是A的真子集,记为BA 。 如果B不是A的真子集,则记为BA 。
8.全集(Def6.6):如果一个问题中所涉及的集合都是某一集合的子集,则称该集 合为全集。全集一般记为E。
注:不同问题有不同的全集,同一问题也可以取不同的全集。一般 总是将全集取得尽可能小,以便描述和处理问题更加简便。
§6.1 集合的基本概念
例:判断真伪。 (1){x}{x} (2){x}∈{x} (3){x}∈{x ,{x}} (4){x}{x ,{x}} (5){x}{x}x (6)若x∈A , A∈P(B), 则x∈P(B) (7)若x A , A P(B), 则x P(B) 例:求下列集合的幂集合。 (1){Ø,{Ø}} (2){Ø {Ø}} (3){{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}} 解: (1) P({Ø,{Ø}})={Ø, {Ø},{{Ø}}, {Ø,{Ø}}}. (2) P({Ø {Ø}})=P({{Ø}})={ Ø,{{Ø}}}. (3) P({{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}})=P({{1,2}})={ Ø,{{1,2}}}.