基于Lyapunov理论的海底采矿车点镇定控制_李力
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第 45 卷第 8 期 2014 年 8 月
中南大学学报(自然科学版) Journal of Central South University (Science and Technology)
Vol.45 No.8 Aug. 2014
基于 Lyapunov 理论的海底采矿车点镇定控制
李力 1, 2，张正 1，陈铭 2，潘珏承 1 (1. 中南大学 机电工程学院，湖南 长沙，410083； 2. 深海矿产资源开发利用技术国家重点实验室，湖南 长沙，410012)
K1 cos 2 K K3 sin 1 cos sin P e K2 K1 sin cos
海底采矿车由左右两侧履带差动驱动以实现行走 和转向。由于采矿车受实际结构的影响，其所能达到 的最大线速度和转向角速度将受到限制。因此，式(5) 所示的前进速度 v 和转向角速度 ω 可能会因为超过实
T
由式 (3) 可得采矿车位姿误差模型的位姿误差动 力学方程为
v cos v eP sin v sin
(1)
(4)
分 ， ， P 为采矿车的ຫໍສະໝຸດ Baidu姿误差变化率； 其中：e
通信作者：李力(1963−)，女，湖南益阳人，教授，从事机械电子工程、海洋采矿技术研究；电话：13873176735；E-mail：lilicsu@vip.sina.com
第8期
李力，等：基于 Lyapunov 理论的海底采矿车点镇定控制
2625
控制更加困难。对于海底采矿车这类非完整约束下的 运动控制，Brockett 证明了不存在连续的时不变反馈 控制律将其位姿(位置和姿态)稳定到原点。为此，人 非连续反馈控制律 们提出了连续时变反馈控制律 、
海底采矿车作为海洋矿产资源开采系统的重要组 成部分，其行走可控性直接影响整个采矿系统的工作 效率 。由于富存于数千米海底的海洋矿产资源(如多 金属结核、 富钴结壳和多金属硫化物等)的产出丰度不 同，在采矿过程中，不同丰度区域的采矿需要采用不 同的采矿路径规划，采矿车需要在不同的规划路径之
收稿日期：2013−08−10；修回日期：2013−10−09 基金项目：国家重点基础研究发展计划(“973”计划)项目(2014CB0463005)
和综合两者的混合控制律 这 3 类针对非完整系统的 镇定控制律。在此，本文作者以我国海底采矿车比例 为 1:20 的模型车为研究对象， 对采矿车在点镇定过程 中 的 位姿 误差 进 行适 当转 换 ，从 而提 出 一种 基于 Lyapunov 直接法的连续时变控制律， 并对在该控制律 控制作用下的误差收敛情况进行证明。同时，以此为 基础， 设计一种点镇定控制器， 利用 MATLAB/simulink 和 ADAMS/ATV 平台， 建立海底采矿车模型车的机械 与控制协同仿真模型，对海底采矿车模型车的点镇定 协同仿真进行研究。
(6)
际限制范围。为了使控制输入有实际意义，引入采矿 车的速度和角速度限制模块，且将有助于减小因控制 速度变化太大而引起的打滑等问题。 2.3 点镇定控制框图 海底采矿车的点镇定控制是以采矿车的实时位姿 作为反馈量的闭环控制系统。 以式(1)和(3)为基础设计 位姿误差模块，以式(5)所示的基于 Lyapunov 理论的
图1
海底采矿车位姿误差示意图 seabed mining vehicle
Fig. 1 Position and direction error schematic diagram of
(5)
2626
中南大学学报(自然科学版)
第 45 卷
其中：K1，K2 和 K3 均为大于 0 的常数。将式(5)代入 式(4)，可得采矿车位姿误差的动力学方程表示为
摘要：以我国海底采矿车为研究对象，针对其非完整性和非线性的特点，基于 Lyapunov 理论，提出海底采矿车 点镇定控制系统的控制律，证明在此控制律作用下海底采矿车位姿误差是收敛的；设计基于 Lyapunov 理论的点 镇定控制器，采用 ADAMS/ATV 履带车模块和 MATLAB/simulink 软件，建立海底采矿车的多刚体动力学模型和 基于 Lyapunov 理论的点镇定控制模型及二者的协同仿真模型，对海底采矿车的点镇定控制仿真进行研究。研究 结果表明：海底采矿车在基于 Lyapunov 理论所设计的点镇定控制器作用下，能快速而平稳地镇定到目标位置和 姿态，所提出的控制律和所设计的控制器对于海底采矿车行走控制是有效的。 关键词：海底采矿车；点镇定；Lyapunov 理论；协同仿真 中图分类号：TP273 文献标志码：A 文章编号：1672−7207(2014)08−2624−05
Point stabilization of seabed mining vehicle based on Lyapunov theory
LI Li1, 2, ZHANG Zheng1, CHEN Ming2, PAN Juecheng1
(1. School of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China; 2．State Key Laboratory of Deep Sea Mineral Resources Development and Utilization Technology, Changsha 410012, China) Abstract: According to the underactuated and nonlinear characteristics of the seabed mining vehicle in China, the kind of control law based on the Lyapunov theory in the point stabilization controlling system was put forward. And it was proved that the position and direction error of seabed mining vehicle was converged during the action of this control law. The point stabilization controller was designed. Using ADAMS/ATV module and MATLAB/simulink software, the co-simulation model based on multi-rigid-body dynamics model and point stabilization control model of seabed mining vehicle was established. And the point stabilization control co-simulation of seabed mining vehicle was carried out. The results show that the seabed mining vehicle can move rapidly and steadily to the target position and direction during the action of the controller based on Lyapunov theory, and the proposed control law and the designed controller are effective for moving control of the seabed mining vehicle. Key words: seabed mining vehicle; point stabilization; Lyapunov theory; co-simulation
(2)
其中：ρ 为采矿车当前位置与目标位置之间的距离；α 为采矿车的视角，即采矿车前进方向与当前位置和目
为采矿车目标方向角与当前方 标位置的连线的夹角；
向角差值。 参考文献[9]可知，当 0 即采矿车还没有到达 目标位置时，在极坐标下的位姿误差均可以转化为式 (2)来表示，且 ρ，α 和分量相互独立。为了简化控制 律的设计及其证明，令 ，则 ρ，α 和 β 分量 也将是相互独立的，式(2)转变成式(3)。因此，采矿车 的点镇定控制问题是将使采矿车在一定的控制律作用 下平稳快速地移动至指定的目标点，且保持指定的方 向角，即使式(3)的误差能够快速平稳地收敛至 0。
别为 ρ，α，β 的变化率；v 为采矿车前进速度；ω为 采矿车转向角速度。
f ( x) 的非线性系统， 参考文献[10]，对于形如 x
状态空间为 x， x X I ，若存在相应的 Lyapunov 候选 函数，则系统在原点处是全局一致渐近稳定的。 依据式(1)和(3)，结合 Lyapunov 直接方法，以采 矿车运动过程中的位姿误差(ρ，α 和 β)为变量，设计 点镇定控制系统的控制律 U 为 v U K1 cos K 3 sin K1 sin cos K1 cos sin K2
选择 Lyapunov 候选函数 V 为
1 V K1 2 K 2 (1 cos ) (1 cos ) 2
[6] [4] [5] [3]
其中：xe，ye 和 θe 分别表示在笛卡尔坐标系中采矿车 当前位姿与目标位姿在 XI 方向、YI 方向和方向角上的 误差。参照式(1)，将采矿车在笛卡尔坐标下的位姿误 差转换到极坐标下[8]，则可表示为
xe 2 ye 2 e arctan 2( ye , xe ) e
[1]
间转换行走，要求采矿车从规划路径的末点平稳、快 速地移动至另一规划路径起点，且保持在指定的方向 上。此类行走控制问题属于点镇定问题。海底采矿车 采用履带式行走方式，其行走由 2 条履带差动驱动， 属于非线性复杂系统[2]，同时，其没有侧移的特性决 定了它是一个非完整系统。因此，海底采矿车的镇定
(3)
x，y 和 θ 分别为采矿车当前位姿的 XI 坐标、YI 坐标和 方向角； xr， yr 和 θr 分别为采矿车目标位姿的 XI 坐标、 YI 坐标和方向角。则采矿车当前位姿与点镇定目标位 姿的误差为
xr x Pe Pr P [ xe , ye , e ] yr y r
图 1 所示为海底采矿车位姿误差示意图[7]。在笛
卡 尔 坐 标 系 XIOYI 中 ， 设 采 矿 车 的 当 前 位 姿 为
P [ x, y, ]T ， P R 3 ；任意给定的目标点位姿为
Pr [ xr , yr , r ]T ， Pr R 3 为确定的常数向量。其中，
xe 2 ye 2 eP arctan 2( ye , xe ) arctan 2( ye , xe ) r
1
点镇定控制理论基础
中南大学学报(自然科学版) Journal of Central South University (Science and Technology)
Vol.45 No.8 Aug. 2014
基于 Lyapunov 理论的海底采矿车点镇定控制
李力 1, 2，张正 1，陈铭 2，潘珏承 1 (1. 中南大学 机电工程学院，湖南 长沙，410083； 2. 深海矿产资源开发利用技术国家重点实验室，湖南 长沙，410012)
K1 cos 2 K K3 sin 1 cos sin P e K2 K1 sin cos
海底采矿车由左右两侧履带差动驱动以实现行走 和转向。由于采矿车受实际结构的影响，其所能达到 的最大线速度和转向角速度将受到限制。因此，式(5) 所示的前进速度 v 和转向角速度 ω 可能会因为超过实
T
由式 (3) 可得采矿车位姿误差模型的位姿误差动 力学方程为
v cos v eP sin v sin
(1)
(4)
分 ， ， P 为采矿车的ຫໍສະໝຸດ Baidu姿误差变化率； 其中：e
通信作者：李力(1963−)，女，湖南益阳人，教授，从事机械电子工程、海洋采矿技术研究；电话：13873176735；E-mail：lilicsu@vip.sina.com
第8期
李力，等：基于 Lyapunov 理论的海底采矿车点镇定控制
2625
控制更加困难。对于海底采矿车这类非完整约束下的 运动控制，Brockett 证明了不存在连续的时不变反馈 控制律将其位姿(位置和姿态)稳定到原点。为此，人 非连续反馈控制律 们提出了连续时变反馈控制律 、
海底采矿车作为海洋矿产资源开采系统的重要组 成部分，其行走可控性直接影响整个采矿系统的工作 效率 。由于富存于数千米海底的海洋矿产资源(如多 金属结核、 富钴结壳和多金属硫化物等)的产出丰度不 同，在采矿过程中，不同丰度区域的采矿需要采用不 同的采矿路径规划，采矿车需要在不同的规划路径之
收稿日期：2013−08−10；修回日期：2013−10−09 基金项目：国家重点基础研究发展计划(“973”计划)项目(2014CB0463005)
和综合两者的混合控制律 这 3 类针对非完整系统的 镇定控制律。在此，本文作者以我国海底采矿车比例 为 1:20 的模型车为研究对象， 对采矿车在点镇定过程 中 的 位姿 误差 进 行适 当转 换 ，从 而提 出 一种 基于 Lyapunov 直接法的连续时变控制律， 并对在该控制律 控制作用下的误差收敛情况进行证明。同时，以此为 基础， 设计一种点镇定控制器， 利用 MATLAB/simulink 和 ADAMS/ATV 平台， 建立海底采矿车模型车的机械 与控制协同仿真模型，对海底采矿车模型车的点镇定 协同仿真进行研究。
(6)
际限制范围。为了使控制输入有实际意义，引入采矿 车的速度和角速度限制模块，且将有助于减小因控制 速度变化太大而引起的打滑等问题。 2.3 点镇定控制框图 海底采矿车的点镇定控制是以采矿车的实时位姿 作为反馈量的闭环控制系统。 以式(1)和(3)为基础设计 位姿误差模块，以式(5)所示的基于 Lyapunov 理论的
图1
海底采矿车位姿误差示意图 seabed mining vehicle
Fig. 1 Position and direction error schematic diagram of
(5)
2626
中南大学学报(自然科学版)
第 45 卷
其中：K1，K2 和 K3 均为大于 0 的常数。将式(5)代入 式(4)，可得采矿车位姿误差的动力学方程表示为
摘要：以我国海底采矿车为研究对象，针对其非完整性和非线性的特点，基于 Lyapunov 理论，提出海底采矿车 点镇定控制系统的控制律，证明在此控制律作用下海底采矿车位姿误差是收敛的；设计基于 Lyapunov 理论的点 镇定控制器，采用 ADAMS/ATV 履带车模块和 MATLAB/simulink 软件，建立海底采矿车的多刚体动力学模型和 基于 Lyapunov 理论的点镇定控制模型及二者的协同仿真模型，对海底采矿车的点镇定控制仿真进行研究。研究 结果表明：海底采矿车在基于 Lyapunov 理论所设计的点镇定控制器作用下，能快速而平稳地镇定到目标位置和 姿态，所提出的控制律和所设计的控制器对于海底采矿车行走控制是有效的。 关键词：海底采矿车；点镇定；Lyapunov 理论；协同仿真 中图分类号：TP273 文献标志码：A 文章编号：1672−7207(2014)08−2624−05
Point stabilization of seabed mining vehicle based on Lyapunov theory
LI Li1, 2, ZHANG Zheng1, CHEN Ming2, PAN Juecheng1
(1. School of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China; 2．State Key Laboratory of Deep Sea Mineral Resources Development and Utilization Technology, Changsha 410012, China) Abstract: According to the underactuated and nonlinear characteristics of the seabed mining vehicle in China, the kind of control law based on the Lyapunov theory in the point stabilization controlling system was put forward. And it was proved that the position and direction error of seabed mining vehicle was converged during the action of this control law. The point stabilization controller was designed. Using ADAMS/ATV module and MATLAB/simulink software, the co-simulation model based on multi-rigid-body dynamics model and point stabilization control model of seabed mining vehicle was established. And the point stabilization control co-simulation of seabed mining vehicle was carried out. The results show that the seabed mining vehicle can move rapidly and steadily to the target position and direction during the action of the controller based on Lyapunov theory, and the proposed control law and the designed controller are effective for moving control of the seabed mining vehicle. Key words: seabed mining vehicle; point stabilization; Lyapunov theory; co-simulation
(2)
其中：ρ 为采矿车当前位置与目标位置之间的距离；α 为采矿车的视角，即采矿车前进方向与当前位置和目
为采矿车目标方向角与当前方 标位置的连线的夹角；
向角差值。 参考文献[9]可知，当 0 即采矿车还没有到达 目标位置时，在极坐标下的位姿误差均可以转化为式 (2)来表示，且 ρ，α 和分量相互独立。为了简化控制 律的设计及其证明，令 ，则 ρ，α 和 β 分量 也将是相互独立的，式(2)转变成式(3)。因此，采矿车 的点镇定控制问题是将使采矿车在一定的控制律作用 下平稳快速地移动至指定的目标点，且保持指定的方 向角，即使式(3)的误差能够快速平稳地收敛至 0。
别为 ρ，α，β 的变化率；v 为采矿车前进速度；ω为 采矿车转向角速度。
f ( x) 的非线性系统， 参考文献[10]，对于形如 x
状态空间为 x， x X I ，若存在相应的 Lyapunov 候选 函数，则系统在原点处是全局一致渐近稳定的。 依据式(1)和(3)，结合 Lyapunov 直接方法，以采 矿车运动过程中的位姿误差(ρ，α 和 β)为变量，设计 点镇定控制系统的控制律 U 为 v U K1 cos K 3 sin K1 sin cos K1 cos sin K2
选择 Lyapunov 候选函数 V 为
1 V K1 2 K 2 (1 cos ) (1 cos ) 2
[6] [4] [5] [3]
其中：xe，ye 和 θe 分别表示在笛卡尔坐标系中采矿车 当前位姿与目标位姿在 XI 方向、YI 方向和方向角上的 误差。参照式(1)，将采矿车在笛卡尔坐标下的位姿误 差转换到极坐标下[8]，则可表示为
xe 2 ye 2 e arctan 2( ye , xe ) e
[1]
间转换行走，要求采矿车从规划路径的末点平稳、快 速地移动至另一规划路径起点，且保持在指定的方向 上。此类行走控制问题属于点镇定问题。海底采矿车 采用履带式行走方式，其行走由 2 条履带差动驱动， 属于非线性复杂系统[2]，同时，其没有侧移的特性决 定了它是一个非完整系统。因此，海底采矿车的镇定
(3)
x，y 和 θ 分别为采矿车当前位姿的 XI 坐标、YI 坐标和 方向角； xr， yr 和 θr 分别为采矿车目标位姿的 XI 坐标、 YI 坐标和方向角。则采矿车当前位姿与点镇定目标位 姿的误差为
xr x Pe Pr P [ xe , ye , e ] yr y r
图 1 所示为海底采矿车位姿误差示意图[7]。在笛
卡 尔 坐 标 系 XIOYI 中 ， 设 采 矿 车 的 当 前 位 姿 为
P [ x, y, ]T ， P R 3 ；任意给定的目标点位姿为
Pr [ xr , yr , r ]T ， Pr R 3 为确定的常数向量。其中，
xe 2 ye 2 eP arctan 2( ye , xe ) arctan 2( ye , xe ) r
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点镇定控制理论基础