平面镶嵌

一教学媒体应用指导思想：

我们不是将信息技术作为简单的教学演示工具，而是作为教师和学生探索神奇的数学世界，表达各种数学思维，获取大量相关资料的工具。

二教学设计思想：

本节课是一堂探索活动课，在设计上体现出数学实验与论证的有机结合，体现知识的发生、形成和发展的整个过程。教学中提供精心设计的数学实验设备，让学生积极参与到数学实验活动中；提供大量资源来拓宽学生知识面，培养多种能力、全面提高素质。

三教学目的：

1、通过对平面镶嵌问题的探究，经历实验、观察、猜想、论证等过程，体会有关数学知识在平面镶嵌问题中的应用，并会运用平面镶嵌的知识解决生活中的实际问题，体会“数学来源于生活，并可以指导生活”的数学观。

2、在实验活动的过程中，体验研究问题的方法。

3、“运用多种平面图形进行镶嵌设计，拓宽学生的数学和美术知识”。

四教学重点：

学生在计算机上动手实验，用边长相等的正多边形“拼”出各种平面镶嵌图形。

五教学难点：

在实验的基础上探索哪些边长相等的正多边形可以用于平面镶嵌，如何用边长相等的正多边形进行平面镶嵌。

六教学过程及教学设计意图：

1、初步了解平面镶嵌

观察我们周围的事物，就能发现许多用各种材料铺砌而成的美丽的图案（如下图）。

设计意图：这一部分通过展示一些镶嵌图形，让学生初步体验到平面镶嵌图形的美妙，对即将要研究的问题产生强烈的学习动机。

2、理解平面镶嵌的数学定义

这种用形状相同或不同的平面封闭图形，把一块地面无缝隙、又不重叠地全部覆盖，在几何里叫做平面镶嵌。

3、了解数学中研究镶嵌的史料

据说，早在毕达哥拉斯时代，就已有人研究过多边形的镶嵌问题。而且，在著名的希尔伯特23个问题中，第18个就是用全等的多面体构造空间，是本节课所研究的问题的三维化。可见这个问题不仅源远流长，而且在现在也极有价值。

设计意图：这一部分通过讲授一些镶嵌的史料，让学生体会到镶嵌问题的复杂性及镶嵌问题所具有的价值，进一步激发学生的强烈的学习动机。

4、探索用一种正多边形能否进行平面镶嵌

在网络实验室中，向学生提供实验所需的几何画板软件和相关课件。组织学生动手实验、探索。要求学生在动手操作，得到平面镶嵌图形的同时，还要思考几个问题：

（1）为什么可以这样进行平面镶嵌？

（2）有没有其他的平面镶嵌方式？

实验1 请您动手探索以下问题，仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面？将实验结果填在下面表格中。

正多边形的边数平面镶嵌图案

3

4

6

我的结论

在实验获得了一定的经验的基础上，教师引导学生找出用一种正多边形进行平面镶嵌的基本规律，将此问题归结为一个不定方程的正整数解问题，从而使学生对于用一种正多边形进行平面镶嵌问题的认识由感性上升到理性。

设计意图：数学知识的发生、发展离不开数学实践，其中实验性的数学实践对于学生的数学知识的形成尤为重要。因此我恰当地使用信息技术设计了这样一个动手、动脑的操作实验，让学生在一种浓厚的科学研究气氛中体验数学、发现数学。

当然，经验如果能够上升到理论，就可以更好的指导实践。所以，我及时地引导学生将经验上升到理论，通过恰当地设置未知数建立不定方程求解。

5、探索用两种或三种正多边形能否进行平面镶嵌

实验2 请您动手探索以下问题，允许用两种正多边形组合起来镶嵌，由哪两种正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？将探索的结果填在下表中。

第一种正多边形的边数第二种正多边形的边数平面镶嵌图案

48

510

………………

我的结论

实验3 请您动手探索以下问题，允许用三种正多边形组合起来镶嵌，由哪三种正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？将探索的结果填在下表中。

正多形1正多形2正多边形3平面镶嵌图案

4612

346

……………………

我的结论

以上两个实验结束后，教师引导学生找出用两或三种正多边形进行平面镶嵌的基本规律，再次使学生对于用两或三种正多边形进行平面镶嵌的理解由感性上升到理性。

设计意图：在进行实验1时，学生在动手操作中就存在一定的盲目性，但由于问题较为简单，因而也能较快地得到答案。但对于实验2、3，如果只是碰运气地乱试一通，是很难得到较多结论的，这就迫使学生在动手的同时还要动脑，思考应当如何恰当地组合几种正多边形，才能进行平面镶嵌。

七课外作业：

由于受到课堂时间的限制，学生大都无法将以上三个表格填写完整，因此布置学生在课后进一步完善以上的三个表格，找出其中的一些规律，并就此次探究性活动谈一谈自己的体会。

设计意图：让学生带着疑问走进课堂，带着更多更高层次的疑问离开课堂，激发学生进一步探究的欲望。从学生课后作业的反馈情况来看，是达到了这一目的的。许多学生都深入地思考了这一问题，得到了很多教师事先都没有想到的结论。

杜莹映同学写道：做这份作业是要有技巧的，在这次实验中我运用最多的正三角形与正六边形内角的度数关系。即：一个正三角形的内角为60°，一个正六边形的内角为120°。两个正三角形可以取代一个正六边形，其中（3，3，3，3，3，3）（6，6，6）（3，3，6，6）和（3，3，3，3，6）是根据这种方法推出来的。又如：如果我们找到了（3，3，3，3，4，4）这组解，便马上可推出（3，4，4，6）……仔细观察内角关系，可助我们轻松解决这次的问题。

何广安同学写道：……通过实验，我发觉由三种（正）多边形组成的平面镶嵌图形，其结构中必有最基本的两种（正）多边形——（正）三角形和正方形。这两种图形或一起出现或各自出现，反正出现频率很高，在我找到的17种方案中，竟有15种有（正）三角形和正方形的参与。而且我还发现图形越是漂亮，其参与组合的（正）多边形最多边数多边形与最边数