七年级分式方程专题研究

初一分式方程专题研究

一、知识要点梳理

1. 分式方程的概念

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2. 如何解分式方程

（1）解分式方程用到了“转化”的数学思想，即把分式方程的分母去掉，使分式方程化成整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了。

（2）解分式方程的步骤：

①转化：在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；

②解这个整式方程；

③检验：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根

是原方程的增根，必舍去。

（3）“增根”是怎样产生的？

把分式方程“转化”为整式方程时，需要用最简公分母乘方程的两边，如果所得的解恰好使最简公分母为零，那么这个根就是“增根”。

（4）注意的问题：

①把分式方程“转化”为整式方程的条件是去掉分式方程中的分母。如何去掉分式方程

中的分母是解分式方程的“关键”步骤。

②用分式方程中各式的最简公分母乘方程的两边，从而约去分母。但要注意用最简公

分母乘方程两边的每一分式或项，切勿漏项。

③解分式方程可能产生“增根”的情况，那么验根就是解分式方程必要的步骤。

3. 分式方程的应用：

解分式方程应用题的分析方法，解题步骤与解一元一次方程或二元一次方程组应用题基本相同，不同之处在于它侧重于用分式表示数量关系列代数式和寻找等量关系列方程。其方法和步骤可归纳如下：

①审清题意，分清已知量和未知量；

②设未知数；

③根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程；

★★★根据增根确定分式中字母的值

例2. 如果方程有增根x ＝1，则k ＝_______

例3 （2011中考）分式方程11(1)(2)

x m x x x -=--+有增根，则m 的值为_____

例4 （2011中考）关于x 的方程

211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是______

例5 （2011中考）关于x 的分式方程

3111m x x

+=--的解为正数，则m 的取值范围是______

④ 解方程，并验根；

⑤ 写出答案。

二、典型例题分析

★解分式方程

例1. 解方程

★分式方程应用题

例3. （2003年吉林省）如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上。小明家到王老师家的路程为3km ，王老师家到学校的路程为0.5km 。由于小明的父亲战斗在抗击“非典”第一线，为了使小明能按时到校，王老师每天骑自行车接他上学。已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用20min 。问王老师步行的速度及骑自行车的速度各是多少？

解：设王老师步行的速度为x km/h ，则骑自行车的速度为3x km/h

由题意，得_____________

解这个方程，得x ＝_______，

经检验x ＝______是原方程的根。

则3x ＝_______

答：王老师步行的速度______km/h ，骑自行车的速度为______km/h 。

三、跟踪训练

一、填空题

1.当x= 时，

5-x x 与62--x x 相等. 2.方程1

13-=x x 的解是 . 3.若关于x 的方程81=+x mx 的解为x=4

1，则m . 4.若方程42123=----x

x x 有增根，则增根是 . 5.如果b a b a +=+111，则=+b

a a

b . 6.关于x 的分式方程4

42212-=++-x x k x 有增根x=-2，则k=

7. 已知23=-+y x y x ，那么xy

y x 2

2+= . 8 当a ＝ 时，关于x 的方程5

3221+-=-+a a x x 的解为0。 9 已知y

x 11-＝3，那么y xy x y xy x ----22142的值是 。

11 全路全长m 千米，骑自行车b 小时到达，为了提前1小时到达，自行车每小时应多走 千米.

12有一项工程，甲独做x 天完成，乙独做比甲多用4天完成任务，那么乙独做需要 天完成。甲一天完成总工程的 ，乙一天完成总工程的 。甲、乙合做一天完成总工程的 。若合做2天完成总工程的15

8，则可列方程：

13农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x 千米/时，则所列方程为 。

14、若对于实数a ，b 定义一种运算：a ☆b ＝ab

b a -+1，则当2☆x ＝－1时，x ＝ 。 15、甲、乙两人承包一项工程，合做10天完成，若他们单独做，甲比乙少用8天，设甲单独做需要x 天完成，则所列方程是 。

16、某打字员经过培训后，打字效率相当于原来的3倍，现在打900个所用的时间比原来少用30分，设现在这个打字员每分打个字，则依题意可列方程是

二、列方程解下列各题

17、甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，甲单独整理需要40分完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需要再单独整理20分才能完工。问：乙单独整理需多少分钟完工？

18、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900千克和1500千克，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300千克，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克？

19、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地。已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。求步行的速度和骑自行车的速度。

20、小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去18.40元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多，问：她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？

21、某商店经销一种纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售，5月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。

⑴求这种纪念品4月份的销售价格。

⑵若4月份销售这种纪念品获利800元，问：5月份销售这种纪念品获利多少元？

22、王明和李刚各自加工15个零件，王明每小时比李刚多加工1个，结果比李刚少用半小时完成任务，问：两人每小时各加工多少个零件？