2018版高中数学人教版A版必修五2.1 数列的概念与简单表示法(一)

[学习目标] 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式．知识点一数列的概念1．数列与数列的项按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第n项．2．数列的表示方式数列的一般形式可以写成a1，a2，…，a n，…，简记为{a n}．3．数列中的项的性质：(1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性．思考1数列的项和它的项数是否相同？答案数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.思考2数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与{1，2，3，4，5}有什么区别？答案数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．知识点二数列的分类(1)根据数列的项数可以将数列分为两类：①有穷数列——项数有限的数列．②无穷数列——项数无限的数列．(2)根据数列的每一项随序号变化的情况分类：①递增数列——从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；②递减数列——从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；③常数列——各项相等的数列；④摆动数列——从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．(3)根据其他原则，还可将数列分为有(无)数列、周期数列等．思考 判断正误(1)数列1，2，3，4，…，2n 是无穷数列( )(2)由所有的自然数构成的数列均为递增数列( )答案 (1)× (2)×解析 (1)中的数列是有穷数列，共有2n 个数．(2)中“由自然数构成的数列”是否递增，取决于这些自然数排列的顺序，未必全是递增的，如2，1，3，4，5……并不是递增数列．知识点三 数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．思考1 数列的通项公式有什么作用？答案 (1)可以求得这个数列的任一项，即可以根据通项公式写出数列；(2)可以确定这个数列是有穷数列还是无穷数列，还可以知道这个数列是递增(减)数列、摆动数列，还是常数列；(3)可以判断一个数是不是数列中的项．思考2 数列{a n }的通项公式a n ＝－58＋16n －n 2，则( )A ．{a n }是递增数列B ．{a n }是递减数列C ．{a n }先增后减，有最大值D ．{a n }先减后增，有最小值答案 C解析 易于看出a n 是关于n 的二次函数，对称轴为n ＝8，故{a n }先增后减，有最大值．题型一 数列的概念与分类例1 (1)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A ．1，12，13，14，… B ．sin π7，sin 2π7，sin 3π7，… C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，21(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(94，3)B ．[94，3) C ．(1，3) D ．(2，3) 答案 (1)C (2)D解析 (1)中，A 是递减数列，B 是摆动数列，D 是有穷数列，故选C.(2)中，结合函数的单调性，要证{a n }递增，则应有⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，a 7＝（3－a ）×7－3<a 8＝a 8－6，解得2<a <3，选D.反思与感悟 (1)有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．(2)数列的单调性：若满足a n <a n ＋1，则是递增数列；若满足a n >a n ＋1，则是递减数列；若满足a n ＝a n ＋1，则是常数列；若a n 与a n ＋1的大小不确定时，则是摆动数列．跟踪训练1 已知下列数列：(1)2000，2004，2008，2012；(2)0，12，23，…，n －1n，…； (3)1，12，14，…，12n －1，…； (4)1，－23，35，…，（－1）n －1·n 2n －1，…； (5)1，0，－1，…，sin n π2，…； (6)3，3，3，3，3，3.其中有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是______，摆动数列是________．(将正确答案的序号填在横线上)答案 (1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6)(4)(5)题型二 观察法写数列的一个通项公式例2 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式．(1)23，415，635，863，…；(2)12，2，92，8，252，…； (3)－1，2，－3，4，…；(4)2，22，222，2222，….解 (1)分子均为偶数，分母分别为1×3，3×5，5×7，7×9，…是两个相邻奇数的乘积． 故a n ＝2n （2n －1）（2n ＋1）. (2)将分母统一成2，则数列变为12，42，92，162，252，…，其各项的分子为n 2，∴a n ＝n 22. (3)该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，故a n ＝(－1)n ·n .(4)由9，99，999，9999，…的通项公式可知，所求通项公式为a n ＝29(10n －1)． 反思与感悟 (1)用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，具体可参考以下几个思路：①先统一项的结构，如都化成分数、根式等．②分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系式． ③对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)k 或(－1)k ＋1处理符号． ④对于周期数列可以考虑拆成几个简单数列之和的形式或利用周期函数来解决．(2)熟记一些基本数列的通项公式，如：①数列－1，1，－1，1，…的通项公式是a n ＝(－1)n .②数列1，2，3，4，…的通项公式是a n ＝n .③数列1，3，5，7，…的通项公式是a n ＝2n －1.④数列2，4，6，8，…的通项公式是a n ＝2n .⑤数列1，2，4，8，…的通项公式是a n ＝2n －1. ⑥数列1，4，9，16，…的通项公式是a n ＝n2.跟踪训练2 已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．(1)1，3，7，15，31，…；(2)4，44，444，4444，…；(3)－114，329，－5316，7425，－9536，…； (4)2，－45，12，－411，27，－417，…； (5)1，2，1，2，1，2，….解 答案不唯一．(1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项为2n ，故原数列的通项公式为a n ＝2n －1.(2)各项乘94，变为9，99，999，…，各项加上1后，数列变为10，100，1000，…，新数列的通项为10n ，故原数列的通项公式为a n ＝49(10n －1)． (3)所给数列有这样几个特点：①符号正、负相间；②整数部分构成奇数列；③分母为从2开始的自然数的平方；④分子依次大1.综合这些特点写出表达式，再化简即可．由所给的几项可得数列的通项公式为：a n ＝(－1)n ⎣⎡⎦⎤（2n －1）＋n （n ＋1）2， 所以a n ＝(－1)n 2n 3＋3n 2＋n －1（n ＋1）2. (4)数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为42，－45，48，－411，…，再把各分母分别加上1，数列又变为43，－46，49，－412，…， 所以a n ＝4×（－1）n ＋13n －1. (5)a n ＝32＋(－1)n ⎝⎛⎭⎫12或者可写成分段函数形式：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，n ∈N *，2，n 为偶数，n ∈N *.题型三 通项公式的应用例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋2）(n ∈N *)，则 (1)计算a 3＋a 4的值；(2)1120是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 解 (1)∵a n ＝1n （n ＋2）， ∴a 3＝13×5＝115，a 4＝14×6＝124， ∴a 3＋a 4＝115＋124＝13120. (2)若1120为数列{a n }中的项，则1n （n ＋2）＝1120， ∴n (n ＋2)＝120，∴n 2＋2n －120＝0，∴n＝10或n＝－12(舍)，即1120是数列{a n}的第10项．反思与感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项a n与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．跟踪训练3已知数列{a n}的通项公式为a n＝－n2＋n＋110.(1)20是不是{a n}中的一项？(2)当n取何值时，a n＝0?解(1)令a n＝－n2＋n＋110＝20，即n2－n－90＝0，∴(n＋9)(n－10)＝0，∴n＝10或－9(舍)．∴20是数列{a n}中的一项，且为数列{a n}中的第10项．(2)令a n＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0，∴(n－11)(n＋10)＝0，∴n＝11或n＝－10(舍)，∴当n＝11时，a n＝0.1．下列数列的关系是()(1)1，4，9，16，25；(2)25，16，9，4，1；(3)9，4，1，16，25.A．都是同一个数列B．都不相同C．(1)，(2)是同一数列D．(2)，(3)是同一数列答案 B解析三个数列中的数字相同，但排列的顺序不同，故三个数列均不相同．2．下列数列中，是有穷数列的是()(1)1，1，1，1，…；(2)6，5，4，3，…；(3)110，18，16，14，12；(4)2，－2，2，－2.A．(2)，(3) B．(2)，(3)，(4) C．(1)，(2)，(3)，(4) D．(3)，(4)答案 D解析 (1)，(2)是无穷数列，(3)，(4)是有穷数列．3．数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋1，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝1>0，∴{a n }为递增数列．4．数列－1，85，－157，249，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝(－1)n·n 2＋n 2n ＋1 B ．a n ＝(－1)n·n 2＋32n －1 C ．a n ＝(－1)n·（n ＋1）2－12n －1 D ．a n ＝(－1)n ·n （n ＋2）2n ＋1答案 D解析 数列的奇数项为负，偶数项为正，分母是3，5，7，9，可表示为2n ＋1，分子可调整为1×3，2×4，3×5，4×6，…故通项a n ＝(－1)n n （n ＋2）2n ＋1. 5．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…，则35是它的( )A ．第28项B ．第24项C ．第23项D ．第22项答案 C解析 数列的通项公式为a n ＝2n －1. 令2n －1＝35，∴n ＝23.6．已知数列{a n }的前4项分别为2，0，2，0，…，则下列各式不可以作为数列{a n }的通项公式的一项是( )A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1B ．a n ＝2sin n π2C ．a n ＝1－cos n πD ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数 答案 B解析 将n ＝1，2，3，4代入各选择项，验证得a n ＝2sin n π2不能作为通项公式．1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些“数”的排列次序也有关．2．观察法写通项公式的注意事项据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．3．并非每一个数列均有通项公式，如2的不同近似值，依不同的近似值，可得数列1，1.4，1.41，1.414，…，便无通项公式，有些数列通项公式也不唯一．。