相似三角形(含练习有答案、例题和知识点)

第27章：相似

一、基础知识

(一).比例

1.第四比例项、比例中项、比例线段；

2.比例性质：

（1）基本性质：

bc ad d c b a =⇔= ac b c b

b a =⇔=2 （2）合比定理：d d

c b b a

d c b a ±=

±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b b

a

n d b m c a n m d c b a

~

3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．

4．平行线分线段成比例定理

(二)相似

1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.

2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.

3.相似三角形的判定

（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

】 （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.

相似三角形的性质

（1）对应边的比相等，对应角相等. （2）相似三角形的周长比等于相似比.

（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.

~ （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.

5.三角形中位线定义:

连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线.

三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.

梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:

１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； …

B

２、利用三角形相似，求线段的长等

3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建

筑物的高度等。

(三)位似:

位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.

位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比

二、经典例题

例1.如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．*

（1）填空：∠ABC=______，BC=_______．

（2）判定△ABC与△DEF是否相似？

[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.

[参考答案]①135°，22②能判断△ABC与△DEF相似，

∵∠ABC=∠DEF=•135°，AB BC

DE EF

==2

【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断．

例2.如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．

?

[考点透视]本例主要是考查相似的判定

[参考答案]∠1=∠B或∠2=∠C，或AD AE AB AC

=

点评：结合判定方法补充条件．

例3. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD•的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（）

A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米

[考点透视]本例主要是考查相似的应用

[参考答案] B

\

【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中

介比，它是解题的桥梁，如该题中“1.5 AB

”．

例4. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，•要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，•这个正方形零件的边长是多少？

[考点透视]本例主要是考查相似的实际应用

[参考答案] 48mm

【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，•一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答．

例5.如图所示，在△ABC 中，AB=AC=1，点D 、E 在直线BC 上运动，设BD=x ，CE=y ．

（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y 与x 之间的函数关系式；

·

（2）如果∠BAC 的度数为α，∠DAE 的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y 与x•之间的函数关系式还成立，试说明理由．

[考点透视]本例主要是考查相似与函数的综合运用.

[参考答案]解:在△ABC 中，AB=AC=1，∠BAC=30°，∠ABC=•∠ACB=75°，∠ABD=

∠ACE=105°．

又∠DAE=105°，∴∠DAB+∠CAE=75°．• 又∠DAB+•∠ADB=∠ABC=75°，

∴∠CAE=∠ADB ，∴△ADB ∽△EAC ，

∴1,1AB BD x EC AC y ==即，∴y=1

x

．

。

当α1β满足β-

2

α =90°，y=1

x 仍成立．

此时∠DAB+∠CAE=β-α，∴∠DAB+∠ADB=β-α， ∴∠CAE=∠ADB ．

又∵∠ABD=∠ACE ，∴△ADB ∽△EAC ，∴y=

1

x

． 【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系． 例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm ×3.5cm ，放映的荧屏的规格为2m ×2m ，若放映机的光源距胶片20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？

解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答．

[考点透视]本例主要是考查位似的性质.

【

[参考答案]

807

m 【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质．

三．适时训练

（一）精心选一选

1．梯形两底分别为m 、n ，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线

段长为（ ）（A ）

mn n m + （B ）n m mn +2 （C ）n m mn + （D ）mn

n

m 2+ 2．如图，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且AC AD ＝3

1

，AE ＝BE ，则（ ）

（A ）△AED ∽△BED （B ）△AED ∽△CBD （C ）△AED ∽△ABD （D ）△BAD ∽△BCD

{