2020年上海市嘉定区高考数学一模试卷

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2020年上海市高考数学模拟试卷6套(附答案解析)

高考数学一模试卷一二三总分题号得分一、选择题（本大题共4 小题，共20.0 分）1.若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）A. 0＜a＜1B. C. D.2.下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（）A. B. f（x）=|x|-2cos xC. D. f（x）=10|lg x|3.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足的是（）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面4.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，-π＜φ＜π，下列判断错误的是（）A. 当a＞0，b＞0 时，辅助角B. 当a＞0，b＜0 时，辅助角C. 当a＜0，b＞0 时，辅助角D. 当a＜0，b＜0 时，辅助角二、填空题（本大题共12 小题，共54.0 分）5.若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=______．6.已知，则λ=______．7.函数y=3x-1（x≤1）的反函数是______．8.2019 年女排世界杯共有12 支参赛球队，赛制采用12 支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有______场球赛．9.以抛物线y2=-6x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是______．10.在（1-x）5（1+x3）的展开式中，x3 的系数为______．（结果用数值表示）11.不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6 的解集是______．12.已知方程x2-kx+2=0（k∈R）的两个虚根为x、x，若|x-x|=2，则k=______．1 2 1 213.已知直线l过点（-1，0）且与直线2x-y=0 垂直，则圆x2+y2-4x+8y=0 与直线l相交所得的弦长为______．14.有一个空心钢球，质量为142g，测得外直径为5cm，则它的内直径是______cm（钢的密度为7.9g/cm3，精确到0.1cm）．15.已知{a}、{b}均是等差数列，c=a•b，若{c}前三项是7、9、9，则c=______．n n n n n n1016.已知a＞b＞0，那么，当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为______．三、解答题（本大题共5 小题，共76.0 分）17.在直四棱柱ABCD-A B C D中，底面四边形ABCD是边长1 1 1 1为2 的菱形，∠BAD=60°，DD1=3，E是AB的中点．（1）求四棱锥C1-EBCD的体积；（2）求异面直线C1E和AD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若f（x）=a在区间上有两个解x、x，求a的取值范围及x+x的值．1 2 1 219.一家污水处理厂有A、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%．（1）A池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1 小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、B两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定．（精确到1 小时）20.已知直线l：x=t（0＜t＜2）与椭圆象限，M是椭圆上一点．相交于A、B两点，其中A在第一（1）记F、F是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB过F，当M到F的距离与到直1 2 2 1线AB的距离相等时，求点M的横坐标；（2）若点M、A关于y轴对称，当△MAB的面积最大时，求直线MB的方程；（3）设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明：|OP|•|OQ|为定值．21.已知数列{a}满足a=1，a=e（e是自然对数的底数），且，令n 1 2b=ln a（n∈N*）．n n（1）证明：（2）证明：；是等比数列，且{b n}的通项公式是；（3）是否存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立？若存在，求t的取值范围，否则，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：函数在区间（1，e）上为增函数，∵f（1）=ln1-1+a＜0，f（e）=ln e- +a＞0，可得＜a＜1故选：C．判断函数的单调性，利用零点判断定理求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的零点的判断，是基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D错；A：f（-x）=log2（4-x+1）+x=log2+x=log （4x+1）-log 22x+x=log （4x+1）-x=f（x）；2 2 2f（x）=log2（4x+1）-x=log2号成立，故A正确；=log （2x+ ）≥log2=1，当且仅当2x= ，即x=0 时等2 2B：x＞0 时，f（x）=x-2cos x，令f′（x）=1-2sin x＞0，得x∈（0，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+2π）（k∈N*），故B不正确；C：x≠0时，x2+ ≥2，当且仅当x2= ，即x=±1时，等号成立，∴不满足在[0，+∞）上单调递增，故C不正确；故选：A．由偶函数的定义，及在[0，+∞）上单调即可求解；考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于低档题；3.【答案】B【解析】解：平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，所以直线a、b、c在三个平面内，不会是共面直线，所以：当直线两两平行时，a、b、c为共面直线．与已知条件整理出的结论不符．故选：B．直接利用直线和平面的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线和平面之间的关系的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：因为cosφ=，sinφ=⇒tanφ=，对于A，因为a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限⇒0＜φ＜，因为＞0，φ=arctan＞0，故A选项正确；对于B，因为a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限⇒- ＜φ＜0；，故φ=π-arctan（- ）=π+arctan＞0，故B选项错误；对于C，因为a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限⇒⇒＜φ＜π；＜0，故φ═π-arctan（- ）=π+arctan＞0，故C选项正确；对于D，因为a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限⇒-π＜φ＜- ，＞0，故φ=arctan，又因为φ∈（-π，π]，故φ=arctan-π＜0，故D选项正确；故选：B．分别判断出a，b的值，对辅助角φ的影响．①a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限；②a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限；③a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限；④a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限．本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力；属于中档题．5.【答案】【解析】解：∵复数z满足z（1+i）=2i，∴（1-i）z（1+i）=2i（1-i），化为2z=2（i+1），∴z=1+i．∴|z|= ．故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：=（λ-4）+2λ=5，解之得λ=3，故答案为：3．由行列式的公式化简求解．本题考查行列式，属于基础题．7.【答案】y=1+log3x，x∈（0，1]【解析】解：y=3x-1（x≤1），y∈（0，1]，得x-1=log3y，x，y对换，得y=1+log3x，x∈（0，1]，故答案为：y=1+log3x，x∈（0，1]，利用反函数的求法，先反解x，再对换x，y，求出即可．本题考查了反函数的求法，属于基础题．8.【答案】66【解析】解：根据题意利用组合数得．故答案为：66．直接利用组合数的应用求出结果．本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】（x+ ）2+y2=9【解析】解：抛物线y2=-6x的焦点坐标为：（- ，0）准线的方程为x= ，所以叫点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：故答案为：首先求出抛物线的交点坐标和准现方程，进一步求出圆的方程．．．本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】6【解析】解：（1-x）5•（1+x）3=（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3=（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6）∴展开式中x3 的系数为（-2）•（-3）=6．故答案为：6．把（1-x）5•（1+x）3 化为（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3，再化为（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6），由此求出展开式中x3 的系数．本题考查了二项式系数的性质与应用问题，解题时应根据多项式的运算法则合理地进行等价转化，是基础题目．11.【答案】（-4，+∞）【解析】解：不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6 转换为不等式|x2-x+2|＞x2-3x-6，由于函数y=x2-x+2 的图象在x轴上方，所以x2-x+2＞0 恒成立，所以x2-x+2＞x2-3x-6，整理得x＞-4，故不等式的解集为（-4，+∞）．故答案为（-4，+∞）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】±2【解析】解：∵方程程x2-kx+2=0 的两个虚根为x、x，1 2可设x=a+bi，x=a-bi（a，b∈R）．1 2∴x+x=2a=k，x x=a2+b2=2，1 2 1 2∵|x-x|=2，∴|2bi|=2，1 2联立解得：b=±1，a=±1．∴k=±2．故答案为：±2．由题意设x=a+bi，x=a-bi（a，b∈R），利用根与系数的关系结合|x-x|=2 求得a与b1 2 1 2的值，则k可求．本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：由题意可得，l的方程为x+2y+1=0，∵x2+y2-4x+8y=0 可化为（x-2）2+（y+4）2=20，圆心（2，-4），半径r=2 ，∴圆心（2，-4）到l的距离d= = ，∴AB=2 =2 =2 ．故答案为：2 ．先求出直线l的方程，再求出圆心C与半径r，计算圆心到直线l的距离d，由垂径定理求弦长|AB|．本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，是基础题．14.【答案】4.5【解析】解：设钢球的内半径为r，所以7.9××3.14×[- ]=142，解得r≈2.25．故内直径为4.5cm．故答案为：4.5．直接利用球的体积公式和物理中的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】-47【解析】解：设c=a•b=an2+bn+c，n n n则，解得∴c10=-1×102+5×10+3=-47，故答案为：-47．{a}、{b}均是等差数列，故{c}为二次函数，设c=an2+bn+c，根据前3 项，求出a，b n n n n，c的值，即可得到c10．本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】（2，）【解析】解：因为a＞b＞0：∴b（a-b）≤= ；所以≥a2+ ≥2=16．当且仅当，）．⇒时取等号，此时P（a，b）的坐标为：（2故答案为：（2 ，）．先根据基本不等式得到b（a-b）≤= ；再利用一次基本不等式即可求解．本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题型．17.【答案】解：（1）在直四棱柱ABCD-A B C D中，1 1 1 1∵底面四边形ABCD是边长为2 的菱形，∠BAD=60°，∴B到DC边的距离为，又E是AB的中点，∴BE=1，则．∵DD1=3，∴= ；（2）在直四棱柱ABCD-A B C D中，1 1 1 1∵AD∥B C，∴∠B C E即为异面直线C E和AD所成角，1 1 1 1 1连接B E，在△C B E中，B C=2，，1 1 1 1 1= ．∴cos∠B C E= ，1 1∴异面直线C1E和AD所成角的大小为arccos ．【解析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱ABCD-A B C D中，由题意可得AD∥B C，则∠B C E即为异面直线1 1 1 1 1 1 1 1C1E和AD所成角，求解三角形得答案．本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.【答案】解：（1）函数= == ．所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．（2）由于，所以，在区间上有两个解x、x，1 2所以函数时，函数的图象有两个交点，故a的范围为[0，）．由于函数的图象在区间上关于 x = 对称，故．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数 a 的范围和 x +x 的值． 1 2本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（1）A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的 10%，剩余原来的 90%，设 A 池要用 t 小时才能把污物的量减少一半，则 0.9x =0.5，可得 x = ≈7，则 A 池要用 7 小时才能把污物的量减少一半；（2）设 A 、B 两池同时工作，经过 x 小时后把两池水混合便符合环保规定， B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的 19%，剩余原来的 81%，可得 =0.1，即 0.92x +0.9x -0.2=0，可得 0.9x = 可得 x =， ≈17．则 A 、B 两池同时工作，经过 17 小时后把两池水混合便符合环保规定．【解析】（1）由题意可得 A 池每小时剩余原来的 90%，设 A 池要用 t 小时才能把污物的量减少一半，则 0.9x =0.5，两边取对数，计算可得所求值；（2）设 A 、B 两池同时工作，经过 x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池每小时剩余原来的 81%，可得=0.1，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值．本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）设 M （x ，y ），-2≤x ≤2，F 1（-过 F 2，），F 2（，0），直线 AB所以 t = 由题意得：=|x - |⇒y 2=-4 x ，联立椭圆方程： + =1⇒y 2=2- ，解得 x =-6+4 即 M 的横坐标是：-6+4 （2）设 A （t ，y ），B （t ，-y ），M （-t ，y ），，． 1 1 1则 S △MAB = 2t •|2y |=2t •|y |，而 A 在椭圆上，所以， + =1 1 1 ∴1≥2• ⇒ty 1≤ ，∴S △MAB ≤2 ，当且仅当 t = ，即 t = y 1 时取等号，∴t = ，这时 B （，-1），M （- ，1），所以直线 MB 方程：y =- x ；（3）设点A（t，y），B（t，-y），M（x，y），则直线MA：y= •（x-t）+y1，1 1 0 0所以P的坐标（同理直线MB：y= 所以|OP|•|OQ|=| 代入|OP|•|OQ|=|，0）（x-t）-y1，所以Q的坐标（|，又因为A，M在椭圆上，所以y2=2- t2，y2=2- x2，0）1 0 0 |=4，恒为定值．【解析】（1）由题意可得焦点F，F的坐标，进而可求出A的坐标，设M的坐标，1 2注意横坐标的范围[-2，2]，在椭圆上，又M到F1 的距离与到直线AB的距离相等，可求出M的横坐标；（2）M，A，B3 个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB的方程；（3）设M，A的坐标，得出直线MA，MB的方程，进而求出两条直线与x轴的交点坐标，用M，A的坐标表示，而M，A又在椭圆上，进而求出结果．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难度题．21.【答案】（1）证明：由已知可得：a n＞1．∴ln a n+1+ln a n≥2，∴ln≥，∵，b=ln a（n∈N*）．n n∴ln a n+2≥，∴．（2）证明：设c n=b n+1-b n，∵，b=ln a（n∈N*）．∴= =n n= =- ．∴是等比数列，公比为- ．首项b-b=1．2 1∴b n+1-b n= ．∴b=b+（b-b）+（b-b）+……+（b-b）n 1 2 1 3 2 n n-1=0+1+ =+ +……+ = ．∴{b n}的通项公式是；（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．∴n=1 时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，∵= = =1- ．取得最小值，= ．当n=2 时，∴t≤．【解析】（1）由已知可得：a n＞1．利用基本不等式的性质可得：ln a n+1+ln a n≥2，可得ln ≥，代入化简即可得出．（2）设c n=b n+1-b n，由，b=ln a（n∈N*）．可得= =- ．即n n可证明是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．n=1 时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，利用单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．高考数学三模试卷题号得分一二三总分一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）1. 关于三个不同平面 α，β，γ 与直线 l ，下列命题中的假命题是（）A. 若 α⊥β，则 α 内一定存在直线平行于 βB. 若 α 与 β 不垂直，则 α 内一定不存在直线垂直于 βC. 若 α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l ，则 l ⊥γD. 若 α⊥β，则 α 内所有直线垂直于 β2. 在一次化学测试中，高一某班 50 名学生成绩的平均分为 82 分，方差为 8.2，则下列四个数中不可能是该班化学成绩的是（）A. 60B. 70C. 80D. 100 3. 已知双曲线：，过点作直线，使与有且仅有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（）A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条4. 有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种A. 48B. 72C. 78D. 84 二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 5. 若全集为实数集 R ，，则∁R M =______ 的准线方程为______． =0 的解为______ ．的反函数 f -1（x ）=______ 6. 抛物线7. 关于 x 方程8. 函数 f （x ）=2sin x +1，9. 函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是______ ，则二项式（x -2a ）10 展开式的系数和是______10. 若 11. 某校要从名男生和名女生中选出人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示).12. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是______13.设实数x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则2a+3b的值为______14.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A、B两点，则线段AB的长是______15.定义在R上的偶函数f（x）对任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x），且当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．若函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上有四个零点，则a的值为______ ．16.已知向量、满足三、解答题（本大题共5 小题，共60.0 分）17.如图，已知多面体ABC-A B C，A A，B B，C C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，，，则的取值范围是______1 1 1 1 1 1A A=4，C C=1，AB=BC=B B=2．1 1 1（1）证明：AB⊥平面A B C；1 1 1 1（2）求直线AC与平面ABB所成的角的正弦值．1 118. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sin A的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．19. 某单位有员工1000 名，平均每人每年创造利润10 万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后这x名员工他们平均每人创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000 名员工创造的年总利润，则最多调整多少名员工从事第三产业？（2）设x≤400，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a的最大值．20. 如图，以椭圆=1（a＞1）的右焦点F为圆心，1-c为半径作圆F（其中c为2 2已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T．（1）若a= ，P为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；（2）设圆F2 与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若|PT|≥（a-c）恒成立，且OA⊥OB．求：①c的取值范围；②直线l被圆F2 所截得弦长的最大值．21. 给定数列{a}，记该数列前i项a，a，…，a中的最大项为A，即A=max{a，an 1 2 i i i 1 2，…，a}；该数列后n-i项a，a，…，a中的最小项为B，即B=min{a，ai i+1 i+2 n i i i+1 i+2，…，a}；d=A-B（i=1，2，3，…，n-1）n i i i（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d，d，d；1 2 3（2）若S是数列{a}的前n项和，且对任意n∈N*，有，n n其中λ为实数，λ＞0 且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a}对应的d满足d＞d对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2 恒成立，n i i+1 i求实数λ的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：对于A，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故A正确；对于B，假设α内存在直线a垂直于β，则α⊥β，与题设矛盾，故假设错误，故B正确；对于C，设α∩γ=c，β∩γ=d，在γ内任取一点P，作PM⊥c于点M，PN⊥d于点N则PM⊥α，PN⊥β，且PM、PN不可能共线．又l⊂α，l⊂β，∴PM⊥l，PN⊥l．又PM∩PN=P，PM⊂γ，PN⊂γ，∴l⊥γ．故C正确．对于D，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故D错误．故选：D．根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明．本题主要考查了直线与平面位置关系的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．2.【答案】A【解析】解：高一某班50 名学生成绩的平均分为82 分，方差为8.2，根据平均数、方差的意义，可知60 分不可能是该班化学成绩．故选A．根据平均数、方差的意义，可知结论．本题考查平均数、方差的意义，比较基础．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生数形结合和转化和化归的思想的运用，属于一般题.先确定双曲线的右顶点，进而根据图形可推断出当l垂直x轴时与C相切，与x轴不垂直且与C相切，与渐近线平行且与C较与1 点（两种情况）满足l与C有且只有一个公共点．【解答】解：根据双曲线方程可知a=1，①当直线l斜率不存在时，直线l方程为：x=1，满足与曲线C只有一个公共点；②当直线l斜率存在时，设直线l方程为：y-1=k(x-1),即：y=k(x-1)+1，联立,整理可得：，当,即k= 时，此时方程有且仅有一个实数根，∴直线l: 与曲线C有且仅有一个公共点，当时，,解得：∴直线l: ,与曲线C有且仅有一个公共点，综上所述：满足条件的直线l有4 条．故选：D.4.【答案】A【解析】解：将五个球排成一行共有种不同的排法，当两个红色球相邻共有当两个黄色球相邻共有种不同的排法，种不同的排法，当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法，则将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有- - +=120-48-48+24=48（种），故选：A．由排列组合及简单的计数问题得：将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有- - + =48（种），得解．本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题．5.【答案】【解析】解：∵∴；．故答案为：．可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，对数函数的单调性及对数函数的定义域，以及补集的运算．6.【答案】y=1【解析】解：由，得x2=-4y，∴2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y= =1．故答案为：y=1．化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．本题考查抛物线的简单性质，是基础题．7.【答案】x= 或x= ，k∈Z【解析】解：由=0，得4sin x cosx-1=0，即sin2x= ．∴2x= 则x= 或x=或x=，，k∈Z．或x=故答案为：x= ，k∈Z．由已知可得sin2x= ．求出2x的值，则原方程的解可求．本题考查二阶矩阵的应用，考查了三角函数值的求法，是基础题．8.【答案】，x∈[1，3]【解析】解：由y=2sin x+1，得sin x=，∴x=把x与y互换，可得f-1（x）=故答案为：，x∈[1，3]．，∵，，x∈[1，3]．由已知利用反正弦求得x，把x与y互换得答案．本题考查三角函数的反函数的求法，注意原函数的定义域是关键，是基础题．9.【答案】【解析】解：=（sin x+cos x）cos x== ，所以f（x）的周期T= ，所以f（x）的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，故答案为：．化简f（x），然后根据f（x）图象相邻的两条对称轴之间的距离为即可得到结果．本题考查了三角函数的图象与性质，属基础题．10.【答案】1024【解析】解：由，知a≠1，∴= == ，∴a= ，∴（x-2a）10=（x+1）10，∴其展开式系数之和为C100+C101+C102+…+C1010=210=1024，故答案为：1024．根据数列的极限求出a的值，然后代入二项式（x-2a）10 中求其展开式的系数和即可．本题考查了数列的极限和二项式展开式系数和的求法，属基础题．11.【答案】【解析】【分析】本题考查等可能事件的概率计算，在求选出的志愿者中，男、女生都有的情况数目时，可以先求出只有男生、女生的数目，进而由排除法求得．根据题意，首先计算从2 名男生和4 名女生中选出4 人数目，再分析选出的4 人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从2 名男生和4 名女生中选出4 人，有C64=15 种取法，其中全部为女生的有C44=1 种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4 名志愿者中，男、女生都有的情况有15-1=14 种，则其概率为.故答案为.12.【答案】【解析】解：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），= ，其底面积：S= ×2×1+高h=3，故棱锥的体积V= = ，故答案为：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），代入锥体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度中档．13.【答案】1【解析】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=- x+，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率- ＜0，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得y=- x+ ，由图象可知当直线y=- x+经过点B时，直线y=- x+ 的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，6），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即4a+6b=2，即2a+3b=1，故答案为：1．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，即可得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：由得x2+ =1，将代入到x2+ =1 并整理得：t2+4t=0，设A，B对应的参数为t，t，1 2则t=0，t=- ，1 2∴|t-t|=1 2故答案为：．联立直线的参数方程与曲线C的普通方程，利用参数的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．15.【答案】【解析】【分析】由已知中f（x+1）=f（1-x），故可能函数是以2 为周期的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，结合当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．我们易得函数f（x）的图象，最后利用图象研究零点问题即可．本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，属于中档题．【解答】解：由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（1-x）成立，可得f（x+2）=f（-x）=f（x），∴函数f（x）是定义在R上的周期为2 的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．函数y=f（x）-log x在（0，+∞）上的零点个数等于函数y=f（x）和函数y=log x的图象a a在（0，+∞）上的交点个数，如图所示：当y=log x的图象过点A（4，-1）时，函数y=f（x）-log x在（0，+∞）上有四个零点，a a∴-1=log a4，∴a= ．故答案为：．16.【答案】【解析】解：向量、满足，，由题意可设，=（0，1）、=（x，y）；、满足则：+ =（x，1+y）；- =（-x，1-y）；，，且x2+y2=4；则= +转换成所求为点（x．y）到（0，-1）与点（0，1）的距离之和大小，且（x，y）可看成在x2+y2=4 表示的圆周上的点；由数形结合法知即：当（x，y）在（2，0）或（-2，0）时，则值最小为3+1=4；当（x，y）在（0，2）或（0，-2）时，则值最大为2 =2 ；则的取值范围是故答案为：．利用设向量、的坐标表示法，利用向量模长转换成函数求最值，利用数形结合法求转换后的最值即可．本题考查了向量模长应用的问题，采用数形结合法，分类讨论解题时应根据平面向量的线性运算法则进行化简．．17.【答案】（1）证明：由余弦定理得，所以，∵A A⊥平面ABC，B B⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，1 1∴AA∥BB，AB⊥BB，1 1 1∵AA=4，BB=2，AB=2，1 1∴A B= =2 ，1 1又AB1= =2 ，∴，∴AB⊥A B，1 1 1, ,即即AB⊥B C，1 1 1又A B∩B C=B，A B，B C平面A B C，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1∴AB⊥平面A B C．1 1 1 1（2）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A C于D，1 1∵AB=BC，∴OB⊥OC，以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，- ，0），B（1，0，0），B（1，0，2），C（0，，1），1 1∴=（1，，0），=（0，0，2），=（0，2 ，1），设平面ABB1 的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1 可得=（- ，1，0），∴cos = = = ．设直线AC与平面ABB所成的角为θ，则sinθ=|cos|= ．1 1∴直线AC与平面ABB所成的角的正弦值为．1 1【解析】本题主要考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，考查计算能力与空间想象能力，属于中档题．（1）利用勾股定理的逆定理证明AB⊥A B，AB⊥B C，从而可得AB⊥平面A B C；1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）以AC的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB1 的法向量，计算与的夹角即可得出线面角的正弦值．18.【答案】解：（1）由题意可得=cos[（A-B）+B]=cos A=∴sin A= = ；（2）由正弦定理可得∴sin B= = ，∵a＞b，∴A＞B，∴B= ，由余弦定理可得解得c=1，或c=-7（舍去），故向量方向上的投影为=cos（A-B）cos B-sin（A-B）sin B，，== ，在cos B=c cos B=1×= ．【解析】（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cos A= ，由同角三角函数的基本关系可得sin A；（2）由正弦定理可得sin B=，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．，结合大边对大角可得B值本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．19.【答案】解：（1）由题意得：10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2-500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500 名员工从事第三产业．（2）由题意得：10x（a- ）≤10（1000-x）（1+0.2x%），即ax≤+1000+x，因为x＞0，所以a≤在（0，400]恒成立，令f（x）= ，则f（x）= ≥2×2+1=5，当仅当时取等，此时x=500，但因为x≤400，且函数f（x）= 在（0，500）上单调递减，所以x=400 时，f（x）取最小值为f（400）= ，所以a最大值为．【解析】本题考查函数的实际应用，涉及不等式、函数基本性质等知识点，属于中档题．（1）根据题意列出不等式10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，求出解集即可；（2）根据题意可列10x（a- ）≤10（1000-x）（1+0.2x%），化成a≤在（0，400]恒成立，构造函数令f（x）= 20.【答案】解：（1）由a= ，得c= ，则当P为椭圆的右顶点时|PF2|=a-c= ，故此时的切线长|PT|=，利用对勾函数性质求出最值即可．；（2）①当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF| =a-c，2 min由|PT|≥（a-c）恒成立，得≥（a-c），解得≤c＜1；②由题意Q点的坐标为（1，0），则直线l的方程为y=k（x-1），代入，得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，设A（x，y），B（x，y），1 12 2则有可得，，= ，又OA⊥OB，则=0，得k=a．可得直线l的方程为ax-y-a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d= ，半径r=1-c，则直线l被圆F2 所截得弦长为L=2设1-c=t，则0＜t≤，= ，又= ，∴当t= 时，的最小值为，。

2019-2020学年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷

功
∴数列{an}是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列， ∴an=1+（n﹣1）=n，
成
到 ∴bn=（﹣1）n
=（﹣1）n•
=（﹣1）n•（ + ），
数列{bn}的前 n 项和 Tn=﹣（1+ ）+（ + ）﹣（ + ）+…+（﹣1）n•（ +
），
当 n 为偶数时，Tn=﹣1+ ，当 n 为奇数时，Tn=﹣1+ ﹣（ +
到 1（x）），n=1，2，3，…．则满足方程 fn（x）=x 的根的个数为（
A．2n 个 B．2n2 个 C．2n 个 D．2（2n﹣1）个【解答】解：当 x∈[0， ]时，f1（x）=f（x）=2x=x，解得 x=0；
）
马当 x∈（，1]时，f1（x）=f（x）=2﹣2x=x，解得 x= ，
（a）表达式；
马（3）若关于 x 的不等式 mf（x）≤2﹣x+m﹣1 在 x∈（0，+∞）时恒成立，求实
数 m 的取值范围．
考 21．（18 分）已知数列{an}满足：a1=1，高（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前 n 项和为 Sn，且满足
，n∈N*．，试确定 b1
您的值，使得数列{bn}为等差数列；
到【解答】解：∵y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），
∴函数 y=f（x）的图象过点（4，2），
又 f（x）=1+logax， ∴2=1+loga4，即 a=4．故答案为：4．
马考
高 7．（5 分）若数列{an}为等比数列，且 a5=3，则
= 18 ．

2024届上海嘉定区高三一模数学试卷和答案

2023-2024学年上海嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷(考试时间120分钟，满分150分)一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.1.不等式260x x --<的解集为.2.已知()2,1a = ，()1,2b =- ，则23a b +=.3.函数sin πy x =的最小正周期为.4.已知tan 2α=，则πtan 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.5.双曲线22145x y -=的离心率为.6.已知事件A 和B 独立，()14P A =,()113P B =,则()P A B = .7.已知实数a 、b 满足6ab =-，则22a b +的最小值为.8.已知()612x +的二项展开式中系数最大的项为．9.关于x 的方程232=x x mx -+有三个不同的实数解，则实数m 的值为.10.已知11个大小相同的球，其中3个是红球，3个是黑球，5个是白球，从中随机取出4个形成一组，其中三种颜色都有的概率为.11.已知复平面上一个动点Z 对应复数z ,若4i 2z -≤,其中i 是虚数单位，则向量OZ扫过的面积为.12.正四棱台1111ABCD A B C D -,3AB =,111A B =,12AA =,M 是11C D 的中点，在直线1AA 、BC 上各取一个点P 、Q ，使得M 、P 、Q 三点共线，则线段PQ 的长度为.二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.13.直线倾斜角的取值范围为……（）A.π02⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B.π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[)0,π D.[]0,π14.两位跳水运动员甲和乙，某次比赛中的得分如下表所示，则正确的选项为……（）第一跳第二跳第三跳第四跳第五跳甲85.59686.475.994.4乙79.58095.794.0586.4A.甲和乙的中位数相等，甲的均分小于乙B.甲的均分大于乙，甲的方差大于乙C.甲的均分大于乙，甲的方差等于乙D.甲的均分大于乙，甲的方差小于乙15.已知等差数列{}n a ，公差为d ，12()f x x a x a =-+-，则下列命题正确的是……（）A.函数()y f x =（x ∈R ）可能是奇函数B.若函数()y f x =（x ∈R ）是偶函数，则0d =C.若0d =，则函数()y f x =（x ∈R ）是偶函数D.若0d ≠，则函数()y f x =（x ∈R ）的图像是轴对称图形16.已知四面体ABCD ,AB BC =,AD CD =.分别对于下列三个条件:①AD BC ⊥；②AC BD =；③2222AB CD AC BD +=+,是AB CD ⊥的充要条件的共有几个……（）A.0B.1C.2D.3三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．已知三角形ABC ，1CA CB ⋅=- ，三角形的面积12S =，（1）求角C 的值；（2）若3sin cos 4A A =，求c .18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n n =+，其中n N ∈,1n ≥.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n H .19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验.房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示.（图片引自梁思成《营造法式.注释》卷五）材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W 来刻画梁的承重能力.对于两个截面积相同的梁，称W 较大的梁的截面形状更好.三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，圆形截面正方形截面矩形截面条件r 为圆半径a 为正方形边长h 为矩形的长，b 为矩形的宽，h b>抗弯截面系数31π4W r =3216W a =2316W bh =（1）假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；（2）宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点.考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D ,如下图所示,请问:h b 为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理.20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．抛物线24y x =上有一动点(),P s t ，0t >.过点P 作抛物线的切线l ，再过点P 作直线m ，使得m l ⊥，直线m 和抛物线的另一个交点为Q .（1）当1s =时，求切线l 的直线方程；（2）当直线l 与抛物线准线的交点在x 轴上时，求三角形OPQ 的面积（点O 是坐标原点）；（3）求出线段PQ 关于s 的表达式，并求PQ 的最小值.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知()e x x f x =，()ln xg x x=.（1）求函数()y f x =、()y g x =的单调区间和极值；（2）请严格证明曲线()y f x =、()y g x =有唯一交点；（3）对于常数10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若直线y a =和曲线()y f x =、()y g x =共有三个不同交点()1,x a 、()2,x a 、()3,x a ，其中123x x x <<，求证：1x 、2x 、3x 成等比数列.2023-2024学年第一学期高三年级质量调研数学参考答案一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.(1)()2,3-(2)()1,8(3)2(4)12-(5)32(6)152(7)12(8)4240x (9)3-(10)611(11)83(12)275二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.(13)C(14)B(15)D(16)C三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．解（1）1cos 1CA CB ab C ⋅=-⇒=-，1sin 12S ab C =⇒=，两式相除得：tan 1C =-，所以3π4C =.(2)sin cos sin 222A A A =⇒=，所以π6A =或π3(舍)，所以π6A =所以π12B =，62sin 4B =由正弦定理得，sin sin a c C A =，sin sin b c C B=,所以22sin sin sin abc C A B=,由（1）ab =，所以22c =即c =18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.解(1)()()221112n n S n n S n n n -=+⇒=-+-≥()122n n n a S S n n -=-=≥，又112a S ==，所以2n a n =.(2)1111141n n a a n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以n H 111111142231n n ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭+……+，所以()1114141n nH n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭=.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．解：(1)假设截面面积均为正常数S，31π=44S W r r ===，321666S W a a ===，23166S W bh h ==，所以326W W =>==，又因为3<π，所以，所以21W W >，综上，321W W W >>，于是矩形截面的梁的截面形状最好.(2)()()322223110666b D b W bh b D b b -+==-=>,导函数22336b D W -+'=，所以当b =时，3W 取到最大值，此时h =: 2.83:2h b =≈，:3:2h b =的结论与抗弯系数理论的结论不同，但比较接近，是合理的，应肯定李诫从实践中总结的经验的实用价值.20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．解（1）因为0st >，所以(),P s t在曲线y =y '=l，所以l的直线方程为)y x s -=-，将1s =代入，则l 的直线方程为1y x =+.(2)设()22,Q x y ，将()1,0-代入方程)y x s -=-，得1s =，而直线m的方程为)y x s -=-，将1s =代入，则直线m 的方程为3y x =-+，联立24y x =，则24120y y +-=，由韦达定理得124y y +=-，而12y t ===，所以26y =-，所以三角形OPQ 的面积()1326122S =⋅⋅--=⎡⎤⎣⎦.(3)设()22,Q x y，)y x s -=-联立方程24y x =，得2840y y s +--=，因为t =，所以2y =-,所以244x s s=++，因为(,P s,44,Q s s ⎛++- ⎝,所以()322116s PQ s +=.对于2133231s u s s s -+==+，55233321213332s u s s s ---⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭，因为2s =，0u '=；02s <<，0u '<；2s >，0u '>，所以2133min 22u -=+，2316=PQ u ，()213332min 131622163210842=PQ -⎛⎫+=+++= ⎪⎝⎭，min PQ =.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．解（1）对于()y f x =，()1xx f x e -'=，对于()y g x =，()21ln xg x x -'=，严格增区间(],1-∞；严格减区间[)1+∞，；严格增区间(]0e ，；严格减区间[)e +∞，；1x <1x =1x >()0f x '>()0f x '=()0f x '>极大值0e x <<e x =e x >()0g x '>()0g x '=()0g x '>极大值极大值为1e极大值为1e（2）对于函数()()y f x g x =-，()0,x ∈+∞，设()()()h x f x g x =-，()211ln e x x xh x x--'=-，当[]1,e x ∈时，()0h x '<，严格递减，()()111110e h h e e e e -⎛⎫=⋅-< ⎪⎝⎭，存在一个零点0x ；当()0,1x ∈时，()0f x >，()0g x <，()()()0h x f x g x =->，无零点；当()e,+x ∈∞时，由（1）得1()e g x <，ln 1xx<，所以1ln x x e <<<，所以()()ln ()f x f x g x <=，所以()()()0h x f x g x =-<，无零点；综上所述，曲线()y f x =、()y g x =有唯一交点，且横坐标()01,x e ∈.(3)因为()y f x =在()0,1上严格单调递增，值域为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以y a =和()y f x =在()0,1x ∈上有一个交点，同理y a =和()y f x =在()1,+∞上有另一个交点；因为()y g x =在()1,e 上严格单调递增，值域为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以y a =和()y g x =在()1,e 上有一个交点，同理y a =和()y g x =在(),e +∞上有另一个交点，由题意，共有三个不同交点，则上述四个交点中有两个重合，于是y a =和()y f x =交点横坐标为1x 、2x ，y a =和()y g x =交点横坐标为2x 、3x ，其中()10,1x ∈，()21,x e ∈，()3,x e ∈+∞，由题意12312223ln ln x x x x x x e e x x ===，而222ln 2ln ln x x x x e=，因为()10,1x ∈、()2ln 0,1x ∈，又因为()y f x =在()0,1上严格单调递增，所以12ln x x =即12x x e =，同理23ln x x =，综上，113322ln x x x e x x x ==，所以1x 、2x 、3x 成等比数列.。

2020年上海市嘉定区高考理科数学一模卷答案

上海市嘉定区2020届高三一模数学试题（理科）一．填空题（每小题4分，满分56分）1．i -2 2．}12{-<<-x x 3．π 4．25．⎥⎦⎤ ⎝⎛710,45 6．37 7．1511 8．2433R π 9．2412+=x y 10．2 11．2112．213．45 14．)2,1[二．选择题（每小题5分，满分20分） 15．A 16．C 17．B 18．D 三．解答题 19．（本题满分12分）方程0222=+-x x 的根为i x ±=1．………………（3分）因为z 在复平面内对应的点在第一象限，所以i z +=1，………………（5分）所以⎩⎨⎧=+=-1)cos 1(21sin 422θθa ，解得21cos -=θ，因为),0(πθ∈，所以32πθ=，……（8分）所以43sin 2=θ，所以4sin 4122=+=θa ，故2±=a ．…………（11分）所以3πθ2=，2±=a ．…………（12分）20．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）（1）取PA 中点E ，PB 中点F ，BC 中点G ，连结EF ，FG ，EG ，则EF ∥AB ，FG ∥PC ，所以EFG ∠就是异面直线AB 与PC 所成的角（或其补角）．…………（2分）连结AG ，则522=+=CG AC AG ，……（3分）622=+=AG EA EG ， …………（4分）又22==PC AB ，所以2==FG EF ．…………（5分）在△EFG 中，212cos 222-=⋅-+=∠FG EF EG FG EF EFG ，……（7分）故︒=∠120EFG ．所以异面直线AB 与PC 所成角的大小为︒60．…………（8分）（2）因为⊥PA 底面ABC ，所以AB PA ⊥，BC PA ⊥，AC PA ⊥，又AC BC ⊥，所以⊥BC 平面PAC ，所以PC BC ⊥，…………（2分）所以△ABC 、△PAB 、△PBC 、△PAC 都是直角三角形．……（3分）所以，24421212121+=⋅+⋅+⋅+⋅=AC PA PC BC AB PA BC AC S ．……（6分） G P ABFE21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）（1）将)1,1(与⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,26代入椭圆C 的方程，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+143231112222b a b a ，…………（2分）解得32=a ，232=b ．…………（5分）所以椭圆C 的方程为132322=+y x ．…………（6分）（2）由||||MB MA =，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称．①若点A 、B 在椭圆的短轴顶点上，则点M 在椭圆的长轴顶点上，此时2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫⎝⎛+=++=++b a a b b OM OB OA ．……（1分）同理，若点A 、B 在椭圆的长轴顶点上，则点M 在椭圆的短轴顶点上，此时2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++b a b a a OM OB OA ．……（2分） ②若点A 、B 、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为kx y =（0≠k ），则直线OM 的方程为x ky 1-=．设),(11y x A ，),(22y x M ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=132322y x kx y ，解得221213k x +=，2221213k k y +=，……（4分）所以2221212221)1(3||||k k y x OB OA ++=+==，同理可得2222)1(3||kk OM ++=，所以2)1(3)2(2)1(321)1(321||2||1||1222222222=++++++++=++k k k k k k OM OB OA ．……（7分）综上，222||2||1||1OM OB OA ++为定值2．…………（8分）22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）OABMxy（1）由题意，得⎩⎨⎧+=+=q pS S qpa S 2312，……（2分）即⎩⎨⎧+=-++=q p p q q p 33323 ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==221q p ．…………（4分）（2）由（1）知，2211+=+n n S S ①当2≥n 时，2211+=-n n S S ② …………（1分）①－②，得n n a a 211=+（2≥n ），又1221a a =，…………（3分）所以数列}{n a 是首项为2，公比为21的等比数列．…………（4分）所以}{n a 的通项公式为221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n a （*N ∈n ）．…………（6分）（3）由（2），得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n S 2114，…………（1分）由1221+<--+m m n n m S m S ，得122211421141+<-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+m m n n m m ，即12222)4(42)4(+<-⋅--⋅-mm nn m m ，即12122)4(2+>-⋅-mn m ．因为012>+m，所以22)4(>⋅-n m ，所以4<m 且422)4(21+<⋅-<+m nm ，（*）因为*N ∈m ，所以1=m 或2或3．……………………（2分）当1=m 时，由（*）得8232<⨯<n，所以1=n ； …………（3分）当2=m 时，由（*）得12222<⨯<n，所以1=n 或2； …………（4分）当3=m 时，由（*）得2022<<n，所以2=n 或3或4． …………（5分）综上可知，存在符合条件的正整数m 、n ，所有符合条件的有序整数对),(n m 为：)1,1(，)1,2(，)2,2(，)2,3(，)3,3(，)4,3(． …………（6分）。

2020-2021学年上海市嘉定区高三年级一模考试数学试卷

2020-2021学年上海市嘉定区高三年级一模考试数学试卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合{}4,2,0=A ，()∞+=，0B ，则=B A ____________．【答案】{}4,2【解析】=B A {}4,22．抛物线x y 42=的焦点坐标为____________．【答案】()0,1【解析】24,2p p ==焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭3．不等式014≤xx 的解为____________．【答案】22≤≤-x 【解析】由014≤xx 可得240x -≤，所以22≤≤-x4．已知复数z 满足()2i 1=⋅+z （i 为虚数单位），则=z ___________．【答案】2【解析】由()2i 1=⋅+z 可得()21i z =+ 5．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点)4,3(P ，则=+)2πtan(α____________．【答案】43-【解析】由题可得4tan 3α=，πtan()-cot 2αα+= 6．设函数)12)(1>-=+a ax f x （的反函数为)(1x fy -=，若()121f -=，则=)2(f ____________．【答案】6【解析】由()121f -=可得()12f =，所以2a =，所以3(2)2-2=6f =7．设各项均为正数的无穷等比数列{}n a 满足：121321=+=a a a ，，则数列{}n a 2的各项的和为____________．【答案】32【解析】由121321=+=a a a ，可得11()2n n a -=，则数列{}n a 2的首项为12，公比为14，由等比数列所有项和公式22lim 1314n n a S →∞==-可得答案为328．在ABC △中，9034A AB AC ∠=︒==，，，将ABC △绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为____________．【答案】15π【解析】将ABC △绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ是高为4，底面半径为3，母线长为5的圆锥，所以由公式S rl π=侧可得侧面积为15π 9．在ABC △中，2,1==AC AB ，3261+=，则=⋅BC AE ____________．【答案】21【解析】=⋅()12116336AC CE BC AC CB CA BC AC BC BC ⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 222211111()()(21)36662AC BC AC AB AC AB ⎛⎫--=-=-= ⎪⎝⎭10．甲和乙等五名志愿者参加进博会A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则共有_______种不同的参加方法（结果用数值表示）．【答案】216【解析】由题意可知，一共有2454240C A =种不同的分配方案，甲，乙在同一岗位有4424A =种不同的分配方案，所以甲和乙不在同一岗位服务有216种11．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，首项01>a ，公差0<d ，若对任意的*N ∈n ，总存在*N ∈k ，使n k S k S )12(12-=-，则n k 3-的最小值为_____________．【答案】8-【解析】由题意可得，()()()12121212k n k a a k S --+=-，所以k n a S =，令2n =得，12a k d-=，因为首项10a >，公差0d <，则2k <，又因为()()1212n n k --=+，所以4n =或5时，n k 3-最小为8-12．已知函数x a x x x f 3||)(+-=．若存在]4,3[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a tf x f =有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是____________．【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛4849,1 【解析】由题意可得，()()()223,3,x a x x af x x a x x a⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，且关于()3f x at =有三个不相等的实数根，（1）当-33a ≤≤时，33-22a a a -+≤≤且33022a a -+-≤≤，此时不存在；（2）当3<a 4≤时，33022a a a -+<-<<，因为()f x 在()3-,2a a +⎛⎫∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，上是单调递增函数，在3,2a a +⎛⎫⎪⎝⎭是单调递增函数，所以当且仅当()23324a a at +<<时，()3f x at =有三个不相等的实数根，可得t 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛4849,1 二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知0≠x ，*N ∈n ，则“2=n ”是“nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项展开式中存在常数项”的（）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】“2=n ”可以得到“n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项展开式中存在常数项”，但“nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项展开式中存在常数项” 不一定“2=n ”14．已知R ∈b a 、，且b a >，则下列不等式恒成立的是（）．A ．ba 11< B ．b a ln ln > C ．22b a > D ．b a 22> 【答案】D【解析】y=2x在R 上是单调递增函数，所以R ∈b a 、，且b a >，不等式恒成立的是b a 22>15．过双曲线12222=-by a x C ：（0,0>>b a ）的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、以2为半径的圆经过O A 、两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为（）．A ．1322=-y x B ．1322=-y x C ．12222=-y x D ．16222=-y x 【答案】B【解析】因为右顶点为(),a o ，右焦点为(),0F c ，(),A a b ，所以2AF OF c ===，解得1,3a b ==，所以双曲线C 的方程为：1322=-y x 16．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，点P 是该正方体棱上一点．若满足m PC PB =+1||（0>m ）的点P 的个数为4，则m 的取值范围是（）．A ．]4,22[B ．]322,4[+C ．]24,4[D ．]24322[，+ 【答案】B【解析】先计算正方体的8个顶点到B ，1C 两点的距离，当P 分别在棱1111,,,BB BC CC B C 上运动时，m 的取值范围是22,4⎡⎤⎣⎦；当P 分别在棱11C D AB ，上运动时，m 的取值范围是222+23⎡⎤⎣⎦，；当P 分别在棱11,A B CD 上运动时，m 的取值范围是442⎡⎤⎣⎦，；当P 分别在棱1111,,,A D DD AD AA 上运动时，m 的取值范围是2+2342⎡⎤⎣⎦，，所以满足m PC PB =+1||（0>m ）的点P 的个数为4，m 的取值范围是]322,4[+三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长为2，41=D A ．（1）求该正四棱柱的表面积和体积；（2）求异面直线D A 1与AC 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．【答案】()18S =+全V = ；()2arccos 4【解析】（1）由题意得 322211=-=AD D A AA则该正四棱柱的表面积为 31684322222+=⋅⋅+⋅=全S ，体积为 383222=⋅=V ．（2）联结111,DC C A ，则AC ∥11C A ，所以直线D A 1与11C A 所成的角就是异面直线D A 1与AC 所成的角．在11DC A △中，22,321111===C A DC D A ,由余弦定理得1112121121112cos C A D A DC C A D A C DA ⨯⨯-+=∠ 4222424)22(4222=⨯⨯-+=，则得42arccos 11=∠C DA ，所以，异面直线D A 1与AC 所成的角的大小42arccos． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数)(cos )(x x f ω= （0>ω）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数)()4π(3)(x f x f x g --=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 的值域；（2）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ， 21)(-=A f ，ABC △的面积为33，2=-c b ，求a 的值．【答案】（1）2=ω，[]2,1-；（2）4=a ．【解析】（1）因为函数)(cos )(x x f ω=的最小正周期为π，由 π||π2==ωT，2||=ω，又因为0>ω，所以2=ω．此时x x f 2cos )(=，则得 x x x g 2cos 4π2cos 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=，即 x x x g 2cos 2sin 3)(-=，即)6π2sin(2)(-=x x g ．当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-65π,6π6π2x ，[]2,1)6π2sin(2-∈-x ，所以所求函数的值域为[]2,1-．（2）由题意得 212cos -=A ．因为⎪⎭⎫⎝⎛∈2π,0A ，则得 ()π,02∈A ，所以 32π2=A ，解得 3π=A ．因为ABC △的面积为33，则得 33sin 21=A bc ，即 333πsin 21=bc ，即 12=bc ．又因为 2=-c b ，由余弦定理，得 bc c b A bc c b a -+=-+=2222cos 2bc c b +-=2)(41222=+=，所以 4=a ．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=12020,14060,20050x x kx v ，（R ∈k ）．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数,单位：辆/小时）满足v x y ⋅=，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．【答案】（1）800≤<x ；（2）3250辆/小时，87辆/千米【解析】（1）由题意知当120=x （辆/千米）时，0=v （千米/小时），代入 x kv --=14060 得 120140600--=k ，解得 1200=k ，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=.12020,140120060,20050x x x v ，当200≤<x 时，4050≥=v ，符合题意；当12020≤<x 时，令 40140120060≥--x，解得 80≤x ，所以 8020≤<x ．综上，800≤<x ．答：若车流速度v 不小于40千米/小时，则车流密度x 的取值范围是800≤<x ．（2）由题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=.12020,140120060,20050x x xx x x y ，当200≤<x 时，x y 50=为增函数，所以10005020=⨯≤y ，等号当且仅当20=x 成立；当12020≤<x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=x x x x x x y 1402060140120060⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=x x x 1402800)140(2060 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=x x 14028002060()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=x x 140280014016060 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯--≤x x 1402800140216060()74016060-=3250≈，即 3250≤y ，等号当且仅当xx -=-1402800140，即]120,20(87720140∈≈-=x 成立．综上，y 的最大值约为3250，此时x 约为87．答：隧道内车流量的最大值约为3250辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：的长轴长为6，且经过点）3,23(Q ．A 为左顶点，B 为下顶点，椭圆上的点P 在第一象限，PA 交y轴于点C ，PB 交x 轴于点D ．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若02=+OC OB ，求线段AP 的长；（3）试问：四边形ABDC 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）14922=+y x ；（2）810；（3）是，6 【解析】（1）解：由题意得 62=a ，解得 3=a 分把点Q 的坐标代入椭圆C 的方程 12222=+b y a x ，得134922=+b a ，由于 3=a ，解得 2=b ．所以所求的椭圆的标准方程为 14922=+y x ．（2）解：因为02 =+OC OB ，则得 )1,0(21=-=OB OC ，即)1,0(C ，又因为 )0,3(-A ，所以直线AP 的方程为 )3(31+=x y ．由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=149)3(3122y x x y 解得 ⎩⎨⎧=-=03y x （舍去）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==15241527y x ，即得），（15241527P ．所以 ()151024152431527||22=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=AP =810，即线段AP 的长为810．（3）【解法一】由题意知，直线PB 的斜率存在，可设直线2-=kx y PB ：（32>k ）．令0=y ，得)0,2kD （．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=149,222y x kx y 得 036)94(22=-+kx x k ，解得 0=x （舍去）或29436k k x +=，所以 2294818kk y +-=，即)94818,9436222k k k k P +-+（．于是直线AP 的方程为)3(3413694818222+⨯+++-=x k k k k y ，即 )3()233)23(2++-=x k k y （．令0=x ,得23)23(2+-=k k y ，即⎪⎭⎫⎝⎛+-23)23(2,0k k C ．所以四边形ABDC 的面积等于||||21BC AD ⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=223)23(23221k k k 623122321=+⋅+⋅=k kk k ，即四边形ABDC 的面积为定值．【解法二】由题意知，设),(00y x P （20,3000<<<<y x ），则直线PB 的方程为 )0(2200-+=+x x y y ，即2200-⋅+=x x y y ．令0=y ，得)0,2200+y x D （．又直线PA 的方程为)3(300++=x x y y ，令0=x ,得3300+=x y y ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+33,000x y C ．所以四边形ABDC 的面积等于||||21BC AD ⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅=233322210000x y y x )2()3)632(2100200+⋅+++⋅=y x y x （ )2()3363624129421000000202+⋅++++++⋅=y x y x y x y x （（*）因为点P 在椭圆Γ上，则得 1492020=+y x ，所以 20204369x y -=，代入（*）得 6)2()3)2()36)2()336362412942100000000002020=+⋅++⋅+=+⋅++++++⋅y x y x y x y x y x y x （（（，即四边形ABDC 的面积为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若项数为k 的有穷数列{}n a 满足：k a a a a <⋅⋅⋅<<<≤3210()3,*≥∈k k N ，且对任意的()1i j i j k ≤≤≤、，j i a a +与i j a a -至少有一个是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 具有性质P ．（1）判断数列8,4,2,1是否具有性质P ，并说明理由；（2）设项数为()*,3k k k ∈≥N 的数列{}n a 具有性质P ，求证：)(2121k k k a a a a ka ++⋅⋅⋅++=-；（3）若项数为()*,3k k k ∈≥N 的数列{}n a 具有性质P ，写出一个当4=k 时，{}n a 不是等差数列的例子，并证明当4>k 时，数列{}n a 是等差数列.【答案】（1）不具有；（2）见解析；（3）5,4,1,0（答案不惟一），证明见解析【解析】（1）数列8,4,2,1不具有性质P ．因为84210<<<≤，但是514=+、314=-，它们均不是数列8,4,2,1中的项，所以数列8,4,2,1不具有性质P ．（2）证明：因为M a a k k ∉+，所以M a a k k ∈-，即 M ∈0，所以01=a ．设k i ≤≤2，因为M a a i k ∉+，所以M a a i k ∈-．则得12210a a a a a a a a a a k k k k k k k k -<-<⋅⋅⋅<-<-<-=--．因为12310k k a a a a a -≤<<<⋅⋅⋅<<，所以1k k a a a -=，12k k a a a --=，23k k a a a --=，…….，21k k a a a --=，1k k a a a -=，将上面的式子相加得k k k k k k a a a a a a a a a a ka +⋅⋅⋅+++=++⋅⋅⋅+++----13211221)(，所以 )(2121k k k a a a a ka ++⋅⋅⋅++=-．（3）数列5,4,1,0具有性质P ，但该数列不是等差数列．（答案不惟一）下面证明当4>k ，即5≥k 时，数列{}n a 是等差数列．由（2）得 01=a ．①设2i k ≤≤，由（2）知 12210a a a a a a a a a a k k k k k k k k -<-<⋅⋅⋅<-<-<-=--．因为12310k k a a a a a -≤<<<⋅⋅⋅<<，所以1k k a a a -=，12k k a a a --=，23k k a a a --=，…….，21k k a a a --=，1k k a a a -=，因此 ()111k k i i a a a i k -+-=≤≤-． (*)②设23-≤≤k i ，则112k i k k a a a a a --+>+=，所以1k i a a M -+∉，得1k i a a M --∈．由111213320k k k k k k k a a a a a a a a a ------=-<-<⋅⋅⋅<-<-=及123320k k a a a a a --≤<<<⋅⋅⋅<<，可得 111k k a a a ---=，122k k a a a ---=，133k k a a a ---=，…….，133k k a a a ---=．所以 )31(1-≤≤=---k i a a a i i k k ．因为5k ≥，由上知，111k k a a a ---=，且 122k k a a a ---=，所以111k k a a a ---=，且122k k a a a ---=，所以)11(1-≤≤=---k i a a a i i k k ． (**)由(*)知 ()111k k i i a a a i k -+-=≤≤-，两式相减得()1111k k i i a a a a i k -+-=-≤≤-，所以当4>k 时，123,,,,k a a a a ⋅⋅⋅是等差数列．。

2020年上海市嘉定区高考理科数学一模卷

2020学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（理科）一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若i ii z +=11（i 为虚数单位），则=z ___________． 2．已知集合},0)1)(2({R ∈<-+=x x x x A ，},01{R ∈<+=x x x B ，则=B A I _____________． 3．函数1)cos (sin )(2++=x x x f 的最小正周期是___________．4．一组数据8，9，x ，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是_________．5．在等差数列}{n a 中，101-=a ，从第9项开始为正数，则公差d 的取值范围是__________________．6．执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值为_____________．7．小王同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，则这2本书属于不同学科的概率为______________（结果用分数表示）．8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R 的半圆，则这个圆锥的体积是________． 9．点M 是曲线1212+=x y 上的一个动点，且点M 为线段OP 的中点，则动点P 的轨迹方程为__________________． 10．在△ABC 中，已知41tan =A ，53tan =B ，且△ABC 最大边的长为17，则△ABC 最小边的长为____________．11．将直线1l ：01=-+y x ，2l ：0=-+n y nx ，3l ：0=-+n ny x （*N ∈n ，2≥n ）围成的三角形面积记为n S ，则=∞→n n S lim ___________．12．已知a ρ、b ρ是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c ρ满足0)()(=-⋅-c b c a ρρρρ，则||c ρ的最大值是___________．13．观察下列算式：113=，开始4←a0←i 结束3<i1+←i i22-+←a a a输出a是否（第6题图）5323+=，119733++=，1917151343+++=，… … … …若某数3m 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则=m _______． 14．设m 、R ∈n ，定义在区间],[n m 上的函数|)|4(log )(2x x f -=的值域是]2,0[，若关于t 的方程0121||=++⎪⎭⎫⎝⎛m t （R ∈t ）有实数解，则n m +的取值范围是___________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知R ∈x ，条件p ：x x <2，条件q ：11≥x，则p 是q 的…………………（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 16．以下说法错误的是………………………………………………………………………（） A ．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是),0[πB ．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π C ．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是),0[πD ．空间两条直线所成角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π 17．在平面直角坐标系内，设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l 的方程为0=++c by ax ， cby ax cby ax ++++=2211δ．有四个命题：①存在实数δ，使点N 在直线l 上；②若1=δ，则过M 、N 两点的直线与直线l 平行；③若1-=δ，则直线l 经过线段MN 的中点；④若1>δ，则点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 的延长线相交．上述命题中，全部真命题的序号是……………………………………………………………（） A ．① ② ③ B ．② ③ ④ C ．① ③ ④ D ．① ② ③ ④ 18．设函数)(x f y =是定义在R 上以1为周期的函数，若函数x x f x g 2)()(-=在区间]3,2[上的值域为]6,2[-，则)(x g 在区间]12,12[-上的值域为……………………（）A ．]6,2[-B ．]28,24[-C ．]32,22[-D ．]34,20[-三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）设复数i a z ⋅++-=)cos 1(2)sin 4(22θθ，其中R ∈a ，),0(πθ∈，i 为虚数单位．若z 是方程0222=+-x x 的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，BC AC ⊥，2===PA BC AC ．（1）求异面直线AB 与PC 所成角的大小；（2）求三棱锥ABC P -的表面积S ．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）经过)1,1(与⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,26两点，过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 上一点M 满足||||MB MA =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：222||2||1||1OM OB OA ++为定值．P A B C OABMxy。

上海2020年长宁嘉定区高三数学一模试卷

上海市长宁（嘉定金山）区2020届高三一模数学试卷2019.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,3,4,5}A =，{2,4,6,8}B =，则A B =I 2. 方程23x =的解为3. 行列式2112-的值为4. 计算2lim1n nn →∞=+5. 若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的母线长为6. 已知向量1(2AB =uu u r ，1)2AC =uuu r ，则BAC ∠=7. 2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有种8. 已知点(2,)y -在角α终边上，且()tan πα-=sin α=9. 近年来，人们支付方式发生巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯，某企业为了解该企业员工A 、B 两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况，发现样本中A 、B 两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A 、B 两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下：依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率为10. 已知非零向量a r 、b r 、c r 两两不平行，且a r ∥()b c +r r ，b r ∥()a c +r r ，设c xa yb =+r r r，,x y ∈R ，则2x y +=11. 已知数列{}n a 满足：11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=12. 已知函数1()||f x x a x =++，若对任意实数a ，关于x 的不等式()f x m ≥在区间1[,3]2上总有解，则实数m 的取值范围为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知x ∈R ，则“0x >”是“1x >”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 下列函数中，值域为(0,)+∞的是（）A. 2xy = B. 12y x = C. ln y x = D. cos y x = 15. 已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b ，对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；②过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都成45°角，以下判断正确的是（） A. ①为真命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题16. 某港口某天0时至24时的水深y （米）随时间x （时）变化曲线近似满足如下函数模型：0.5sin() 3.24(06)y x πωπω=++>，若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（）A. 16时B. 17时C. 18时D. 19时三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，底面为矩形的直棱柱1111ABCD A B C D -满足：14AA =，3AD =，2CD =. （1）求直线1A C 与平面11AA D D 所成的角θ的大小；（2）设M 、N 分别为棱1BB 、CD 上的动点，求证：三棱锥1N A AM -的体积V 为定值，并求出该值.18. 在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位.（1）112i z =+，234i z =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅uuu r uuur；（2）设1i z a b =+，2i z c d =+（,,,a b c d ∈R ），求证：2121||||OZ OZ z z ⋅≤⋅u u u r u u u r，并指出向量1OZ uuu r 、2OZ uuur满足什么条件时该不等式取等号.DB 1ABCD1A1B1C1DMN19. 如图，某城市有一矩形街心广场ABCD ，如图，其中4AB =百米，3BC =百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN 种植荷花，其中点M 在BC 边上，点N 在AB 边上，要求4MDN π∠=.（1）若2AN CM ==百米，判断△DMN 是否符合要求，并说明理由；（2）设CDM θ∠=，写出△DMN 面积的S 关于θ的表达式，并求S 的最小值.20. 已知数列{}n a 各项均为正数，n S 为其前n 项的和，且n a 、n S 、2n a （*n ∈N ）成等差数列.（1）写出1a 、2a 、3a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式n a ；（2）证明（1）中的猜想；（3）设1n n b ta =-（0t >），n T 为数列{}n b 的前n 项和，若对于任意*n ∈N ，都有*{|}n m T b m ∈∈N , 求实数t 的值.21. 已知函数()||f x x x a =-，其中a 为常数. （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）已知()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =，若0a <，且35()24g =，求函数()y g x =（[1,2]x ∈）的反函数；（3）若在[0,2]上存在n 个不同的点i x （1,2,,i n =⋅⋅⋅，3n ≥），12n x x x <<<L ，使得12231|()()||()()||()()|8n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=，求实数a 的取值范围.ABCDMN参考答案一. 填空题1. {2,4}2. 2log 3x =3. 54. 25. 26. 6π7. 72 8. 39. 310 10. 3- 11. 1078 12. 2(,]3-∞二. 选择题13. B 14. A 15. B 16. D三. 解答题17. 解：（1）由直棱柱知1A A ABCD ⊥，所以1A A CD ⊥又因为AD CD ⊥，所以直线CD ⊥平面11A ADD ， ……………2分所以1CA D ∠即直线1A C 与平面11AA D D 的所成角θ ……………4分由题意15A D =，2CD =，所以2tan 5θ=所以直线1A C 与平面11AA D D 的所成角2arctan5θ=． ……………6分（2）记点N 到平面1A AM 的距离为d ，三角形1A AM 的面积为1A AM S ∆，则1113N A AM A AM V V d S -∆==⋅⋅， ………………3分由已知3d =，14A AM S ∆=， ………………6分所以4V =为定值. ………………8分18. 解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+ ……………3分()11,2OZ =u u u u r ，()23,4OZ =-u u u u r所以125OZ OZ ⋅=-u u u u r u u u u r……………6分证明（2）()1,OZ a b =u u u u r ，()2,OZ c d =-u u u u r12OZ OZ ab cd ⋅=+u u u u r u u u u r ，()2212OZ OZ ab cd ⋅=+u u u u r u u u u r ……………3分()()22212z z ac bd ad bc ⋅=-+-()22212120z z OZ OZ ab cd ⋅-⋅=-≥u u u u r u u u u r所以 1212OZ OZ z z ⋅≤⋅u u u u r u u u u r……………6分当ab cd =时取“=”，此时12//OZ OZ u u u u r u u u u r. ……………8分19. 解：（1）由题意MN =，DN =DN =， …………3分所以cos 2MDN ∠==≠ 所以4MDN π∠≠，DMN ∆不符合要求 ……………6分（2）CDM θ∠=，=4ADN πθ∠-，所以3cos DM θ=，4cos()4DN πθ=-1sin 24cos cos()4S DN DM ππθθ=⋅⋅=-， …………3分()cos cos()cos sin 42πθθθθθ-=+)11sin 2cos 21sin(2)424424πθθθ=++=++≤+所以)121S ≥，S的最小值为)121. …………8分20. （1）解：由已知22n nn a a S +=， …………1分所以11a =，22a =，33a =， …………3分猜想n a n = …………4分证明（2）当2n ≥时，22n n n a a S +=，21112n n n a a S ---+=所以2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=- 得()()1110n n n n a a a a --+--=， …………3分因为()*0n a n >∈N ，所以11n n a a --=数列{}n a 为等差数列，又由（1）11a =，22a =所以()*n a n n =∈N …………6分（3）解：由（2）知1m b mt =-，()12n n n T t n +=-. 若m n b T =，则()112n n n m t+-=-，因为,m n 都是整数，所以对于任意*n N ∈，1n t -都是整数，进而1t是整数所以1,t k Z k=∈，此时()()112n n m k n +=--， ………2分设2m b T =，则30m k =->，所以1k =或2 ………4分①当1k =时，对于任意*n N ∈，()*112n n m N -=+∈ ②当2k =时，对于任意*n N ∈，()*322n n m N -=+∈ 所以实数t 取值的集合为1{,1}2………6分21. 解：（1）解不等式12x x -<当1x ≥时，220x x --<，所以12x ≤< 当1x <时，220x x -+>，所以1x <，综上，该不等式的解集为(),2-∞ ………4分（每行1分）（2）当01x ≤≤时，()g x x x a =-，因为()g x 是以2为周期的偶函数，所以31111()()()22222g g g a =-==-，由35()24g =，且0a <，得2a =-， ………2分所以当01x ≤≤时，()(2)g x x x =+ 所以当12x ≤≤时，()()()()()[]2240,3g x g x g x x x =-=-=--∈ ………4分所以函数()[]()1,2y g x x =∈的反函数为[])30,3y x =∈ ………6分（3）①当0a ≤时，在[]0,2上()()f x x x a =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得2a ≤-； ………2分 ②当4a ≥时，在[]0,2上()()f x x a x =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得6a ≥； ………4分 ③当04a <<时，()f x 在[]0,2上不单调，所以()()()()()()()12231max 2n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-≤ 2()424a a f =<，()2224f a =-<，在[]0,2上，()()max max{(),2}42af x f f =<.()()()()()()()12231max 28n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-≤<，不满足.综上，a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞U . ………8分 ③当42<≤a 时，则221<≤a ，所以)(x f 在]2,0[a 上单调递增，在]2,2[a上单调递减，于是)()()()()()(13221n n x f x f x f x f x f x f -+⋅⋅⋅+-+--242)0()2(2)(222max a a f a f x f =⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-=≤ 令 822≥a ，解得 4-≤a 或4≥a ，不符合题意； ④当20<<a 时，)(x f 分别在]2,0[a 、]2,[a 上单调递增，在],2[a a上单调递减，)()()()()()(13221n n x f x f x f x f x f x f -+⋅⋅⋅+-+--()422)2(242)2()2(2)()2()0()2(222+-=-+⨯=+=-+⎪⎭⎫⎝⎛-≤a a a a f a f a f f f a f 令84222≥+-a a ，解得322-≤a 或322+≥a ，不符合题意．综上，所求实数a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞U。

2020届上海市嘉定区高三一模数学试题(wd无答案)

2020届上海市嘉定区高三一模数学试题一、填空题(★) 1. 已知集合，则________．(★) 2. 方程的解为________． (★) 3. 行列式的值为________． (★★) 4.___________(★★) 5. 已知母线长为的圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的底面半径为________． (★★) 6. 已知向量，，则 ________．(★★) 7. 2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种. (★★) 8. 已知点在角终边上，且，则______.(★★) 9. 近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工、两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况.发现样本中，两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了、两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下：支付金额（元）支付方式大于2000使用18人29人23人使用 10人 24人21人依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月、两种支付方式都使用过的概率为______.(★★★) 10. 已知非零向量、、两两不平行，且，，设，，则______.(★★★) 11. 已知数列满足：，（），记数列的前项和为，若对所有满足条件的，的最大值为，最小值为，则________ (★★★) 12. 已知函数，若对任意实数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的取值范围为______.二、单选题(★★) 13. 已知，则“ ”是“ ”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件(★★) 14. 下列函数中，值域为的是（）A．B．C．D．(★★★) 15. 已知正方体，点是棱的中点，设直线为，直线为.对于下列两个命题：①过点有且只有一条直线与、都相交；②过点有且只有一条直线与、都成角.以下判断正确的是（）A．①为真命题，②为真命题B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题D．①为假命题，②为假命题(★★★★) 16. 某港口某天0时至24时的水深（米）随时间（时）变化曲线近似满足如下函数模型（）.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（）A．16时B．17时C．18时D．19时三、解答题(★★★) 17. 如图，底面为矩形的直棱柱满足：，，.（1）求直线与平面所成的角的大小；（2）设、分别为棱、上的动点，求证：三棱锥的体积为定值，并求出该值.(★★★) 18. 在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位. （1），，计算与；（2）设，（），求证：，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号.(★★★) 19. 如图，某城市有一矩形街心广场，如图.其中百米，百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求.（1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由；（2）设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值.(★★★★) 20. 已知数列各项均为正数，为其前项的和，且成等差数列.（1）写出、、的值，并猜想数列的通项公式；（2）证明（1）中的猜想；（3）设，为数列的前项和.若对于任意，都有，求实数的值.(★★★★) 21. 已知函数，其中为常数.（1）当时，解不等式；（2）已知是以2为周期的偶函数，且当时，有.若，且，求函数的反函数；（3）若在上存在个不同的点，，使得，求实数的取值范围.。

上海市嘉定区2019-2020学年高考第一次模拟数学试题含解析

上海市嘉定区2019-2020学年高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆2222:1x y C a b+=的短轴长为2，焦距为12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（） A ．[]1,2 B． C．⎤⎦D ．[]1,4【答案】D 【解析】【分析】先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到124PF PF +=，利用二次函数的性质可求1214PF PF ≤≤，从而可得1211PF PF +的取值范围. 【详解】由题设有1,b c ==2a =，故椭圆22:14x C y +=，因为点P 为C 上的任意一点，故124PF PF +=.又()12121212111144=4PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF ++==-，因为122PF ≤≤，故()11144PF PF ≤-≤，所以121114PF PF ≤+≤. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，点P 为C 上的任意一点，则有122PF PF a +=，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.2．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】做出函数(),()f x g x 的图象，问题转化为函数(),()f x g x 的图象在[5,5]-有7个交点，而函数(),()f x g x 在[5,0]-上有3个交点，则在[0,5]上有4个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】作出函数(),f x ()g x 的图象如图所示，由图可知方程()()f x g x =在[5,0]-上有3个不同的实数根，则在[0,5]上有4个不同的实数根，当直线y kx =经过(4,1)时，14k =；当直线y kx =经过(5,1)时，15k =，可知当1154k ≤<时，直线y kx =与()f x 的图象在[0,5]上有4个交点，即方程()()f x g x =，在[0,5]上有4个不同的实数根. 故选:D. 【点睛】本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.3．已知α322sin αα=，则cos2α等于（） A ．23B ．29C ．13-D ．49-【答案】C 【解析】【分析】22sin αα=可得cos α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos α=所以221cos22cos 1133αα=-=-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题. 4．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．2B ．32C ．2D ．12【答案】C 【解析】【分析】化简得到1322z i =-+，1322z i =--，再计算复数模得到答案.【详解】(1)12i z i +=+，故()()()()121121313111222i i i i z i i i i +++-+====-+++-，故1322z i =--，z =. 故选：C . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.5．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下：嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（） A ．122x x x +=B ．122x x x +>C ．122x x x +<D ．12122x x x x x +>>>【答案】C 【解析】【分析】计算出1x 、2x ，进而可得出结论. 【详解】由表格中的数据可知，196959689979895.176x +++++=≈，由频率分布直方图可知，2750.2850.3950.588x =⨯+⨯+⨯=，则12x x >，由于场外有数万名观众，所以，12212x x x x x +<<<. 故选：B. 【点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.6．下列函数中，图象关于y 轴对称的为（） A ．2()1f x x =+B ．727)2(f x x x =+-，[]1,2x ∈-C ．si 8)n (f x x =D ．2()x xe ef x x-+= 【答案】D 【解析】【分析】图象关于y 轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解. 【详解】图象关于y 轴对称的函数为偶函数； A 中，x ∈R ，2()()()1f x f x x -==--+，故2()1f x x =+为奇函数；B 中，727)2(f x x x =++-的定义域为[]1,2-，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；C 中，由正弦函数性质可知，si 8)n (f x x =为奇函数；D 中，x ∈R 且0x ≠，2((()))x x e f f e x x x -+==--，故2()x xe ef x x-+=为偶函数. 故选：D. 【点睛】本题考查判断函数奇偶性. 判断函数奇偶性的两种方法:(1)定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x 都有()=()f x f x --，则函数()f x 是奇函数；都有()=()f x f x -，则函数()f x 是偶函数(2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y 轴)对称．7．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元【答案】D 【解析】【分析】直接根据折线图依次判断每个选项得到答案. 【详解】由图可知月收入的极差为903060-=，故选项A 正确；1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B 正确；易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：D . 【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.8．要得到函数2sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 22y x x =-的图像（）A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向右平移3π个单位【答案】A 【解析】【分析】运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得2sin 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭以及2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,按四个选项分别对2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变形，整理后与2sin 23y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭对比，从而可选出正确答案. 【详解】解：1sin 22sin 22sin 22sin 22233y x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 222sin 2cos 22sin 2223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭===-. 对于A ：可得2sin 22sin 22sin 22333y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选:A. 【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数. 9．设ln3a =，则lg3b =，则（）A ．a b a b ab +>->B ．a b ab a b +>>-C ．a b a b ab ->+>D ．a b ab a b ->>+ 【答案】A 【解析】【分析】根据换底公式可得ln 3ln10b =，再化简,,a b a b ab +-，比较ln 3,ln101,ln101-+的大小，即得答案. 【详解】10ln 3lg3log 3ln10b ===Q ， ()()ln 3ln101ln 3ln101ln 3ln 3ln 3,ln 3ln10ln10ln10ln10a b a b +-∴+=+=-=-=， ln 3ln 3ln10ab ⨯=.ln 30,ln100>>Q ，显然a b a b +>-.()310,ln 3ln10e e <∴<Q ,即ln 31ln10,ln 3ln101+<∴<-，()ln 3ln101ln 3ln 3ln10ln10-⨯∴<，即ab a b <-. 综上，a b a b ab +>->. 故选：A . 【点睛】本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.10．已知全集{},1,2,3,4,U Z A ==()(){}130,B x x x x Z =+->∈，则集合()U A C B ⋂的子集个数为（） A ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】C 【解析】【分析】先求B.再求U C B ，求得()U A C B ⋂则子集个数可求【详解】由题()(){}{}130,1x 3,U C B x x x x Z x x Z =+-≤∈=-≤≤∈={}1,0,1,2,3=-, 则集合(){}1,2,3U A C B ⋂=,故其子集个数为328=故选C 【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题11．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得. 【详解】为得到11sin 222y cosx x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），故可得1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；再将1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 向左平移6π个单位长度，故可得111sin sin 236222y x x cosx πππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）． A ．(]1,2 B ．(]1,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】B 【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．【详解】由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点，则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离4a d c==， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4ce a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4，故选：B ．【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

★试卷3套汇总★上海市嘉定区2020年高考数学统考试题

【详解】
由题意知复数，则，所以A选项不正确；复数的共轭复数是，所以B选项不正确；，所以C选项不正确；，所以D选项正确.
故选：D
【点睛】
本小题考查复数的几何意义，共轭复数，复数的模，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想.
4．B
【解析】
,选B
5．A
【解析】
16．平面直角坐标系中,O为坐标原点,己知A(3,1),B(-1,3),若点C满足 ,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某公司欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格) (单位:万元)是每日产量 (单位:吨)的函数: .
A． B．
C． D．
7．已知函数，，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值是( )
A．3B．2C．4D．5
8．已知类产品共两件，类产品共三件，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时，检测结束，则第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为（）
（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.
21．（6分）已知椭圆经过点，离心率为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于、两点，若，在线段上取点，使，求证：点在定直线上.
22．（8分）已知函数 .
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若函数没有零点，求实数的取值范围.
A． B． C． D．
9．如图，在等腰梯形中，，，，为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合为点，则三棱锥的外接球的体积是（）

2020届上海市嘉定区高三一模数学试题(解析版)

2020届上海市嘉定区高三一模数学试题一、单选题1．已知x ∈R ，则“0x >”是“1x >”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【详解】解：由题意可知，x ∈R ，{}|0x x >⫌{}|1x x >∴“0x >”是“1x >”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，是基础题． 2．下列函数中，值域为()0,∞+的是（） A ．2xy = B ．12y x =C ．ln y x =D ．cos y x =【答案】A【解析】由指数函数，幂函数，对数函数及余弦函数的性质直接得解．【详解】解：选项A.2xy =的值域为()0,∞+，选项B. 12y x =的值域为[)0,+∞，选项C.ln y x =的值域为R ，选项D. cos y x =的值域为[]1,1-．故选：A ．【点睛】本题考查常见函数的值域，属于简单题．3．已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b .对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；②过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都成45︒角.以下判断正确的是（）A ．①为真命题，②为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①为假命题，②为假命题【答案】B【解析】作出过P 与两直线相交的直线l 判断①；通过平移直线a ，b ，结合异面直线所成角的概念判断②．【详解】解：直线AB 与A 1D 1 是两条互相垂直的异面直线，点P 不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取BB 1的中点Q ，则PQ ∥A 1D 1，且 PQ ＝A 1D 1，设A 1Q 与AB 交于E ，则点A 1、D 1、Q 、E 、P 共面，直线EP 必与A 1D 1 相交于某点F ，则过P 点有且只有一条直线EF 与a 、b 都相交，故①为真命题；分别平移a ，b ，使a 与b 均经过P ，则有两条互相垂直的直线与a ，b 都成45°角，故②为假命题．∴①为真命题，②为假命题．故选：B ．【点睛】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题．4．某港口某天0时至24时的水深y （米）随时间x （时）变化曲线近似满足如下函数模型0.5sin 3.246y x πωπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0>ω）.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（） A ．16时 B．17时C ．18时D ．19时【答案】D【解析】本题是单选题，利用回代验证法，结合五点法作图以及函数的最值的位置，判断即可．【详解】解：由题意可知，0x =时，0.5sin 0 3.24 3.496y πωπ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭，由五点法作图可知：如果当16x =时，函数取得最小值可得：51662ππωπ+=，可得748ω=，此时函数70.5sin 3.24486y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数的周期为：296147748T ππ==≈，该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足，如果当19x =时，函数取得最小值可得：51962ππωπ+=，可得757ω=，此时函数70.5sin 3.24576y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数的周期为：21147757T ππ==， 24x =时，70.5sin 24 3.243576y ππ⎛⎫=⨯++> ⎪⎝⎭，如图：该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，不满足，故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的模型以及应用，三角函数的周期的判断与函数的最值的求法，考查转化思想以及数形结合思想的应用，是难题．二、填空题5．已知集合{}{}1,2,3,4,5,1,3,5,7A B ==，则AB =________．【答案】{}1,3,5【解析】利用交集定义直接求解．【详解】解：∵集合{}{}1,2,3,4,5,1,3,5,7A B ==， ∴{}1,3,5AB =．故答案为：{}1,3,5．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集的运算等基础知识，是基础题． 6．方程27x =的解为________．【答案】2log 7x =【解析】利用指对数的互化即可解答. 【详解】根据对数的概念可得方程27x =的解为：2log 7x =，故答案为：2log 7x =．【点睛】本题考查了对数的概念，属于基础题． 7．行列式2113-的值为________．【答案】7【解析】直接展开二阶行列式得答案．【详解】解：21231(1)713-=⨯-⨯-=．故答案为：7．【点睛】本题考查行列式的运算，是基础题． 8．23lim1n n n →∞+=+___________【答案】2【解析】上下同除以n 求解即可.【详解】32232lim lim 21111n n n n n n→∞→∞++===++ 故答案为2 【点睛】本题主要考查分式类的极限,属于基础题型.9．已知母线长为6cm 的圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的底面半径为________cm ．【答案】2【解析】设底面半径为r ，由两个面积的关系可得底面半径的值．【详解】解：设底面半径为r ，则由题意，可得213262r r ππ=⨯⨯，解得2r ，故答案为：2．【点睛】本题考查圆锥的侧面积及圆的面积公式，属于基础题．10．已知向量1,22AB ⎛= ⎝⎭，3122AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则BAC ∠=________．【答案】6π【解析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出AB 、AC 的夹角的余弦值，进而可求得BAC∠的大小. 【详解】由平面向量的数量积的坐标运算可得3442AB AC ⋅=+=，1AB AC ==， 3cos AB AC BAC AB AC⋅∴∠==⋅ 0BAC π≤∠≤，6BAC π∴∠=．故答案为：6π 【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．11．2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种. 【答案】72【解析】根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，有336A =种情况，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有2412A =种情况，则2位女生不相邻的排法有61272⨯=种；故答案为：72 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 12．已知点()2,y -在角α终边上，且()tan πα-=sin α=______.【答案】3【解析】结合三角函数的定义及诱导公式可求y ，然后即可求解．【详解】解：由题意可得，tan 2y α=-， ()tan tan παα-=-=tan 2y α∴=-=-解得y =sin 3α∴==故答案为：3．【点睛】本题考查三角函数定义及同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查．13．近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工A 、B 两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况.发现样本中A ，B 两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A 、B 两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下：依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率为______. 【答案】310【解析】根据题意，计算出两种支付方式都使用过的人数，即可得到该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率．【详解】解：依题意，使用过A 种支付方式的人数为：18292370++=，使用过B 种支付方式的人数为：10242155++=，又两种支付方式都没用过的有5人，所以两种支付方式都用过的有()()7055100530+--=，所以该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率30310010p ==．故答案为：310．【点睛】本题考查了古典概型的概率，主要考查计算能力，属于基础题．14．已知非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()a b c //+，()//b a c +，设c xa yb =+，,x y ∈R ，则2x y +=______.【答案】－3【解析】先根据向量共线把c 用a 和b 表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解．【详解】解：因为非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()//a b c +，()//b a c +，(),0a m b c m ∴=+≠， 1c a b m∴=- (),0b n a c n ∴=+≠ 1c b a n∴=-1111m n ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩c xa yb =+1x y ∴==- 23x y ∴+=-故答案为：3-．【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题，属于基础题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________【答案】1078【解析】由11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），分别令2,3,4,5n =，求得{}n a 的前5项，观察得到最小值12310m =++++，最大值291222M =++++，计算可得M m +的值. 【详解】由11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），可得211a a a -=，解得2122a a ==，又3212{,}a a a a -∈，可得3213a a a =+=或3224a a ==，又43123{,,}a a a a a -∈，可得4314a a a =+=或5； 4325a a a =+=或6；4326a a ==或8；又541234{,,,}a a a a a a -∈，可得5415a a a =+=或6或7；5426a a a =+=或7或8；5437a a a =+=或8或9或10或12；5328a a ==或9或10或12或16，综上所示可得10S 的最大值为()10291121222102312M ⨯-=++++==-，最小值为()1101012310552m +⨯=++++==，所以1023551078M m +=+=. 故答案为：1078 【点睛】本题是一道数列的新定义，考查了根据递推关系式求数列中的项以及等差数列、等比数列的求和公式，属于中档题. 16．已知函数()1f x x a x=++，若对任意实数a ，关于x 的不等式()f x m ≥在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上总有解，则实数m 的取值范围为______. 【答案】2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】本题要根据数形结合法将函数1y x x=+的图象向下平移到一定的程度，使得函数()1f x x a x=++的最大值最小．再算出具体平移了多少单位，即可得到实数m 的取值范围．【详解】解：由题意，1y x x =+在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示：根据题意，对任意实数a ，关于x 的不等式()f x m ≥在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上总有解，则只要找到其中一个实数a ，使得函数()1f x x a x=++的最大值最小即可，如图，函数1y x x=+向下平移到一定才程度时，函数()1f x x a x =++的最大值最小．此时只有当()()13f f =时，才能保证函数()f x 的最大值最小．设函数1y x x=+图象向下平移了t 个单位，（0t >）． ()1023t t ∴-=--，解得83t =. ∴此时函数()f x 的最大值为1082333-=．根据绝对值函数的特点，可知实数m 的取值范围为：2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故答案为：2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【点睛】本题主要考查了数形结合法的应用，平移的知识，绝对值函数的特点，以及简单的计算能力．本题属中档题．三、解答题17．如图，底面为矩形的直棱柱1111ABCD A B C D -满足：14AA =，3AD =，2CD =.（1）求直线1A C 与平面11AA D D 所成的角θ的大小；（2）设M 、N 分别为棱1BB 、CD 上的动点，求证：三棱锥1N A AM -的体积V 为定值，并求出该值. 【答案】（1）2arctan5θ=；（2）证明详见解析，4V =. 【解析】（1）说明1CA D ∠即直线1A C 与平面11AA D D 的所成角θ，通过求解三角形，推出结果即可．（2）记点N 到平面1A AM 的距离为d ，由于底面积和高都不变，故体积不变. 【详解】解：（1）由直棱柱知1A A ⊥平面ABCD ，所以1A A CD ⊥，又因为AD CD ⊥，所以直线CD ⊥平面11A ADD ，所以1CA D ∠即直线1A C 与平面11AA D D 的所成角θ 由题意15A D =，2CD =，所以2tan 5θ=所以直线1A C 与平面11AA D D 的所成角2arctan5θ=. （2）记点N 到平面1A AM 的距离为d ，三角形1A AM 的面积为1A AM S ∆，则1113N A AM A AM V V d S -∆==⋅⋅，由已知3d =，112442A MM S ∆=⨯⨯=,所以13443V =⨯⨯=为定值.【点睛】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．18．在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅；（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，并指出向量1OZ 、2OZ 满足什么条件时该不等式取等号.【答案】（1）12112z z i ⋅=+，125OZ OZ ⋅=-；（2）证明详见解析，当ab cd =时. 【解析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，可知()11,2OZ =，()23,4OZ =-，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，以及复数的几何意义表示出1OZ 、2OZ 计算其数量积，利用作差法比较221212,||z z OZ OZ ⋅⋅的大小，并得出何时取等号. 【详解】解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+()11,2OZ =，()23,4OZ =-所以125OZ OZ ⋅=- 证明（2）1z a bi =+，2z c di =+()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅()()22212z z ac bd ad bc ∴⋅=-++()1,OZ a b =，()2,OZ c d =12OZ OZ ac bd ∴⋅=+，()2212OZ OZ ac bd ⋅=+()()()222221212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++ ()()2240ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ .【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．19．如图，某城市有一矩形街心广场ABCD ，如图.其中4AB =百米，3BC =百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN 种植荷花，其中点M 在BC 边上，点N 在AB边上，要求4MDNπ∠=.（1）若2AN CM==百米，判断DMN∆是否符合要求，并说明理由；（2）设CDMθ∠=，写出DMN∆面积的S关于θ的表达式，并求S的最小值.【答案】（1）不符合要求，理由详见解析；（2）32cos cos4Sπθθ=⎛⎫-⎪⎝⎭，最小值为)1221.【解析】（1）通过求解三角形的边长，利用余弦定理求解MDN∠，判断MDN∆是否符合要求，即可．（2）CDMθ∠=，4ADNπθ∠=-，求出132sin24cos cos4S DN DMππθθ=⋅⋅=⎛⎫-⎪⎝⎭，利用两角和与差的三角函数求解最值即可．【详解】解：（1）由题意5MN13DN=25DN=所以2cos22251365MDN∠==≠⨯⨯所以4MDNπ∠≠，DMN∆不符合要求（2）CDMθ∠=，4ADNπθ∠=-，所以cos4DMθ=，3cos4DNπθ=⎛⎫-⎪⎝⎭132sin24cos cos4S DN DMππθθ=⋅⋅=⎛⎫-⎪⎝⎭，()cos cos cos sin 42πθθθθθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭)sin 2cos 214θθ=++11sin 224424πθ⎛⎫=++≤+⎪⎝⎭所以)121S ≥，S 的最小值为)121.【点睛】本题考查三角形的解法与实际应用，余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20．已知数列{}n a 各项均为正数，n S 为其前n 项的和，且()2*,,n n n a S a n N∈成等差数列.（1）写出1a 、2a 、3a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式n a ；（2）证明（1）中的猜想；（3）设1(0)n n b ta t =->，n T 为数列{}n b 的前n 项和.若对于任意*n N ∈，都有{}*|n m T b m N ∈∈，求实数t 的值.【答案】（1）11a =，22a =，33a =，n a n =；（2）详见解析；（3）1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【解析】（1）代入22n nn a a S +=，求出1a ，2a ，3a ，猜想出即可；（2）利用等差数列的定义证明即可；（3）由（2）知1m b mt =-，(1)2n n n T t n +=-，因为m ，n 都是整数，所以对于任意*n N ∈，1n t -都是整数，进而1t 是整数，所以1t k=，k Z ∈，此时()()112n n m k n +=--，因为n 的任意性，不妨设2m b T =，求出即可．【详解】（1）解：由已知22n nn a a S +=，所以11a =，22a =，33a =，猜想n a n =证明（2）当2n ≥时，22n n n a a S +=，21112n n n a a S ---+=所以2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为()*0n a n >∈N ，所以11n n a a --=数列{}n a 为等差数列，又由（1）11a =，22a = 所以()*n a n n =∈N（3）解由（2）知1m b mt =-，(1)2n n n T t n +=-. 若m n b T =，则()112n n n m t+-=-，因为m ，n 都是整数，所以对于任意*n N ∈，1n t-都是整数，进而1t 是整数所以1t k =，k Z ∈，此时()()112n n m k n +=--，设2m b T =，则30m k =->，所以1k =或2 ①当1k =时，对于任意*n N ∈，()*112n n m N -=+∈ ②当2k =时，对于任意*n N ∈，()*322n n m N -=+∈ 所以实数t 取值的集合为1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】考查数列的递推公式，等差数列的通项公式，含参问题的数列前n 项和公式的应用，中档题．21．已知函数()f x x x a =-，其中a 为常数. （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）已知()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =.若0a <，且3524g ⎛⎫=⎪⎝⎭，求函数()y g x =[]()1,2x ∈的反函数；（3）若在[]0,2上存在n 个不同的点()1,2,,.3i x i n n =⋅⋅⋅≥，12n x x x <<⋅⋅⋅<，使得()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(),2-∞；（2）[])30,3y x =∈；（3）(][),26,-∞-+∞.【解析】（1）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．（2）利用函数的周期和函数的关系式的应用求出函数的反函数．（3）利用绝对值不等式的应用和函数的性质的应用，利用分类讨论思想的应用求出结果．【详解】解：（1）解不等式12x x -<当1≥x 时，220x x --<，所以12x ≤< 当1x <时，220x x -+>，所以1x <，综上，该不等式的解集为(),2-∞ （2）当01x ≤≤时，()g x x x a =-，因为()g x 是以2为周期的偶函数，所以3111122222g g g a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由3524g ⎛⎫=⎪⎝⎭，且0a <，得2a =-，所以当01x ≤≤时，()()2g x x x =+ 所以当12x ≤≤时，()()()()()[]2240,3g x g x g x x x =-=-=--∈，所以函数()[]()1,2y g x x =∈的反函数为[])30,3y x =∈（3）①当0a ≤时，在[]0,2上()()f x x x a =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得2a ≤-；②当4a ≥时，在[]0,2上()()f x x a x =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得6a ≥；③当04a <<时，()f x 在[]0,2上不单调，所以()()()()()()()1223m 1ax 2n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-≤2424a a f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()2224f a =-<，在[]0,2上，()()max max ,242a f x f f ⎧⎫⎛⎫=<⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. ()()()()()()()12231max 28n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-≤<，不满足.综上，a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞.③当24a ≤<时，则122a ≤<，所以()f x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，于是()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-()22max 22(0)2242a a a f x f f ⎛⎫⎛⎫≤=-=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令282a ≥，解得4a ≤-或4a ≥，不符合题意；④当02a <<时，()f x 分别在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦、[],2a 上单调递增，在,2aa ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-()()()2(0)22a f f f f a ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222222224242a a a f f a a ⎛⎫=+=⨯+-=-+ ⎪⎝⎭令22482a a -+≥，解得2a ≤-2a ≥+.综上，所求实数a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞.【点睛】本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，函数的性质的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．。

【精校】2020年上海市长宁区、嘉定区高考一模数学

2020年上海市长宁区、嘉定区高考一模数学一、填空题1.已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A ∩B=_____. 解析：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}， ∴A ∩B={2，4}. 答案：{2，4}2.不等式1x x ≤+的解集为_____.解析：∵01x x ≤+，∴010x x ≤⎧⎨+⎩＞或010x x ≥⎧⎨+⎩＜，解得：﹣1＜x ≤0，答案：(﹣1，0]3.已知4sin 5α＝，则()cos 2πα+=_____.解析：∵sinα=45， ∴cos(2π+α)=﹣sinα=﹣45.答案：﹣454.131lim 31nn n +→∞-+=_____. 解析：()()1113311lim lim331133n nn nn n +→∞→∞--==++，∴1311lim 331n n n +→∞-=+.答案：135.已知球的表面积为16π，则该球的体积为_____. 解析：一个球的表面积是16π，所以球的半径为：2，所以这个球的体积为：3432233ππ⨯=.答案：323π6.已知函数f(x)=1+log a x ，y=f ﹣1(x)是函数y=f(x)的反函数，若y=f ﹣1(x)的图象过点(2，4)，则a 的值为_____.解析：∵y=f ﹣1(x)的图象过点(2，4)， ∴函数y=f(x)的图象过点(4，2)，又f(x)=1+log a x ， ∴2=1+log a 4，即a=4. 答案：47.若数列{a n }为等比数列，且a 5=3，则2738a a a a -=_____.解析：根据题意，2738a a a a -=a 2·a 8﹣a 3·(﹣a 7)=a 2·a 8+a 3·a 7，又由数列{a n }为等比数列，且a 5=3，则有a 2·a 8=a 3·a 7=9，则2738a a a a -=9+9=18；答案：188.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a+b+c)(a ﹣b+c)=ac ，则B=_____. 解析：△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∵(a+b+c)(a ﹣b+c)=ac ，即a 2+c 2﹣b 2=﹣ac ，又2221cos 22a cb B ac +-==-，∴B=23π.答案：23π9.若()12nx x+的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为_____.解析：由题意可知，2n=256，解得n=8.∴()()8112=2n x x x x ++，其展开式的通项()()8882188122rr r r rr r T C x C x x---+⋅⋅=⋅⋅＝，令8﹣2r=0，得r=4.∴该展开式中常数项的值为445821120T C ⋅＝＝.答案：112010.已知函数f(x)是定义在R 上且周期为4的偶函数，当x ∈[2，4]时，()()43log 2f x x -＝，则()12f 的值为_____.解析：∵函数f(x)是定义在R 上且周期为4的偶函数， ∴()()()()111742222f f f f -==-=，又当x ∈[2，4]时，()()43log 2f x x -＝，∴()()()44lg 2lg 217731log log 22222lg 42lg 22f f ==-=＝＝＝.答案：1211.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，2S n =a n ·a n+1(n ∈N *).若()1211nn n n n b a a ++=-⋅，则数列{b n }的前n 项和T n =_____.解析：∵2S n =a n ·a n+1(n ∈N *). 当n ≥2时，2S n ﹣1=a n ﹣1·a n ， ∴2a n =2S n ﹣2S n ﹣1=a n (a n+1﹣a n ﹣1)， ∵a 1=1， ∴a n ≠0∴a n+1﹣a n ﹣1=2，∴(a n+1﹣a n )+(a n ﹣a n ﹣1)=2， ∴a n ﹣a n ﹣1=1，∴数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n =1+(n ﹣1)=n ， ∴()()()()()121211111111n n nnn n n n b a a n n n n +++=-=-=-⋅+⋅++，数列{b n }的前n 项和()()()()()111111111223341nn T nn =+++-⋅++-+⋯++﹣，当n 为偶数时，11n T n =+-1+，当n 为奇数时，()1111111n T nnn n =-+=--++-1+，综上所述()11nn T n -=+-1+，答案：()11nn -+-1+12.若不等式x 2﹣2y 2≤cx(y ﹣x)对任意满足x ＞y ＞0的实数x 、y 恒成立，则实数c 的最大值为_____.解析：∵不等式x 2﹣2y 2≤cx(y ﹣x)对任意满足x ＞y ＞0的实数x 、y 恒成立，∴2222222x y x y c xy x x x y y ⎛⎫ --⎪⎝⎭⎛⎫=⎝--⎪⎭≤，令1x t y=＞， ∴()222t c f t t t -≤=-， ()()(()222222242t t t t f t t t t t --+-+'==--，当t＞2(t)＞0，函数f(t)单调递增；当1＜t＜2(t)＜0，函数f(t)单调递减.∴当t=2f(t)取得最小值，(24f +＝.∴实数c的最大值为4.答案：4二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13.设角α的始边为x轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件解析：∵角α的始边为x轴正半轴，∴“α的终边在第一、二象限”⇒“sinα＞0”，“sinα＞0”⇒“α的终边在第一、二象限或α的终边在x轴正半轴”，∴“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的充分非必要条件.答案：A14.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交解析：A.l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B.l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C.l可以和l1，l2都相交，如下图：∴该选项错误；D.“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确.答案：D15.对任意两个非零的平面向量αu r和βu r，定义||||cos ααβθβ⊗u r u ru r u r ＝，其中θ为αu r和βu r 的夹角，若两个非零的平面向量a r 和b r 满足：①||||a b ≥r r ；②a r 和b r 的夹角()04πθ∈，；③a b ⊗r r 和b a ⊗r r 的值都在集合{}2|n x x n N ∈＝，中，则a b ⊗r r 的值为( )A.52 B.32C.1D.12解析：∵|||||||cos c 2|os 2a b a b b a b n m a θθ⊗=⊗==r rr r r r r r ＝，，m ∈N ，由αu r 与βu r 的夹角θ∈(0，4π)，知2cos 4mn θ=∈(12，1)，故mn=3，m ，n ∈N ，∵||||a b ≥r r ，∴012b ma ⊗=r r ＜＜，∴m=1，n=3，∴32a b ⊗r r ＝，答案：B16.已知函数()120212212x x f x x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-≤⎩，＝，＜，且f 1(x)=f(x)，f n (x)=f(f n ﹣1(x))，n=1，2，3，….则满足方程f n (x)=x 的根的个数为( )A.2n 个B.2n 2个 C.2n个D.2(2n﹣1)个解析：当x ∈[0，12]时，f 1(x)=f(x)=2x=x ，解得x=0；当x ∈(12，1]时，f 1(x)=f(x)=2﹣2x=x ，解得x=23，∴f 的1阶根的个数是2. 当x ∈[0，14]时，f 1(x)=f(x)=2x ，f 2(x)=4x=x ，解得x=0；当x ∈(14，12]时，f 1(x)=f(x)=2x ，f 2(x)=2﹣4x=x ，解得x=25；当x ∈(12，34]时，f 1(x)=2﹣2x ，f 2(x)=﹣2+4x=x ，解得x=23；当x ∈(34，1]时，f 1(x)=2﹣2x ，f 2(x)=4﹣4x=x ，解得x=45. ∴f 的2阶根的个数是22.依此类推∴f 的n 阶根的个数是2n. 答案：C三.解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分) 17.如图，设长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=3，AA 1=4. (1)求四棱锥A 1﹣ABCD 的体积；(2)求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)解析：(1)A 1到平面ABCD 的距离d=AA 1=4，S 正方体ABCD =AB ×BC=9，由此能求出四棱锥A 1﹣ABCD 的体积.(2)由A 1B ∥D 1C ，知∠D 1CB 1是异面直线A 1B 与B 1C 所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线A 1B 与B 1C 所成角.答案：(1)∵A 1到平面ABCD 的距离d=AA 1=4，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=3， ∴S 正方体ABCD =AB ×BC=3×3=9， ∴四棱锥A 1﹣ABCD 的体积111491233ABCD V AA S =⨯⨯=⨯⨯正方体＝. (2)∵A 1B ∥D 1C ，∴∠D 1CB 1是异面直线A 1B 与B 1C 所成角(或所成角的补角)，∵11B D =B 1C=D 1=5，∴2221111111125251816cos 225525B C D C B D D CB B C D C +-+-∠===⨯⨯⨯⨯， ∴∠D 1CB 1=arccos 1625.∴异面直线A 1B 与B 1C 所成角为arccos 1625.18.已知复数z满足z =z 2的虚部为2.(1)求复数z ；(2)设z 、z 2、z ﹣z 2在复平面上的对应点分别为A 、B 、C ，求△ABC 的面积.解析：(1)设z=a+bi(a ，b ∈R)，由已知列关于a ，b 的方程组，求解可得复数z ； (2)分类求得A 、B 、C 的坐标，再由三角形面积公式求解. 答案：(1)设z=a+bi(a ，b ∈R)，由已知可得：22ab ⎪⎩＝2221a b ab =⎩+⎧⎨＝，解得11a b ⎧⎨⎩＝＝或11a b ⎧⎨⎩＝-＝-. ∴z=1+i 或z=﹣1﹣i ；(2)当z=1+i 时，z 2=2i ，z ﹣z 2=1﹣i ， ∴A(1，1)，B(0，2)，C(1，﹣1)，故△ABC 的面积S=12×2×1=1；当z=﹣1﹣i 时，z 2=2i ，z ﹣z 2=﹣1﹣3i ， ∴A(﹣1，﹣1)，B(0，2)，C(﹣1，﹣3)，故△ABC 的面积S=12×2×1=1. ∴△ABC 的面积为1.19.一根长为L 的铁棒AB 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m. (1)设∠BOD=θ，试将L 表示为θ的函数； (2)求L 的最小值，并说明此最小值的实际意义.解析：(1)利用直角三角形中的边角关系，求得L 的解析式.(2)求导，分析导函数的符号，进而可得L 的最值，进而得到最值的含义. 答案：(1)∵走廊的宽AC=BD=2m. ∠BOD=∠BAC=θ，∴22sin cos L θθ+＝；(2)∵22sin cos L θθ+＝∴222cos 2sin sin cos L θθθθ-'+＝.∵θ∈(0，4π)，L′＜0，L 为减函数； θ∈(,42ππ)，L′＞0，L 为增函数； ∴θ=4π时，L取最小值该最小值表示：超过.20.已知函数f(x)=2x +2﹣x.(1)求证：函数f(x)是偶函数；(2)设a ∈R ，求关于x 的函数y=22x +2﹣2x﹣2af(x)在x ∈[0，+∞)时的值域g(a)表达式；(3)若关于x 的不等式mf(x)≤2﹣x+m ﹣1在x ∈(0，+∞)时恒成立，求实数m 的取值范围. 解析：(1)利用奇偶性的定义，可得函数f(x)是偶函数；(2)令t=f(x)=2x +2﹣x .则t ≥2，22x +2﹣2x =t 2﹣2，y=22x +2﹣2x ﹣2af(x)=t 2﹣2at ﹣2，结合二次函数的性质分类讨论，可得不同情况下，函数的值域；(3)若关于x 的不等式mf(x)≤2﹣x +m ﹣1在x ∈(0，+∞)时恒成立，即21221xxxm ---≤+-在x ∈(0，+∞)时恒成立，求出21221xx x ---+-的最小值，可得答案. 答案：(1)∵函数f(x)=2x +2﹣x的定义域关于原点对称，且f(﹣x)=2﹣x +2x =2x +2﹣x=f(x)，故函数f(x)是偶函数；(2)令t=f(x)=2x +2﹣x.则t ≥2，22x +2﹣2x =t 2﹣2 y=22x +2﹣2x ﹣2af(x)=t 2﹣2at ﹣2，当a ≤2时，当t=2时，函数取最小值2﹣4a ，无最大值；此时函数的值域为[2﹣4a ，+∞)，a ＞2时，当t=a 时，函数取最小值﹣a 2﹣2，无最大值；此时值域为[﹣a 2﹣2，+∞)；(3)若关于x 的不等式mf(x)≤2﹣x+m ﹣1在x ∈(0，+∞)时恒成立即m(2x +2﹣x )≤2﹣x+m ﹣1在x ∈(0，+∞)时恒成立即()2212111221221221x x x x x x x x m ------≤=-=-+-+--+在x ∈(0，+∞)时恒成立当x=1时，2﹣x=12，此时(2﹣x )2﹣2﹣x+1取最小值34，故()21221xx---+取最大值43，故()211221xx ----+取最小值13-故13m ≤-.21.已知数列{a n }满足：a 1=1，11n a +，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足212211683n n n n S S n n a a +++--＝，试确定b 1的值，使得数列{b n }为等差数列；(3)将数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的部分项按原来顺序构成新数列{c n }，且c 1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{c n }.解析：(1)由a 1=1，两边平方化简可得22111n n a a +-=4，则数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求得21n a ，即可求得数列{a n }的通项公式；(2)由(1)可得化简整理14143n n S S n n +-+-=1，得利用等差数列的通项公式可得：43nS n -=b 1+n ﹣1，即S n =(b 1+n ﹣1)(4n ﹣3)，当n ≥2时，b n =S n ﹣S n ﹣1，化为b n =4b 1+8n ﹣11，取n=1即可得出；(3)解法1：令等比数列{c n }的公比q=4m (m ∈N *)，则c n =c 1q n ﹣1=5×4m(n ﹣1)，设k=m(n ﹣1)，可得5×4m(n ﹣1)=3[5(1+4+42+…+4k ﹣1)+2]﹣1，….因为5(1+4+42+…+4k ﹣1)+2为正整数，可得数列{c n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，进而证明结论. 解法2：设c 2=4k 2﹣3(k 2≥3)，所以公比q=2435k -，由等比数列{c n }的各项为整数，则q 为整数，取q=4m+1，故c n =5·(4m+1)n ﹣1，利用等差数列定义可得k n 是正整数，因此以数列{c n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，即可证明. 答案：(1)11n a +，则22111n n a a +-=4，n ∈N * ∴数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以4为公差的等差数列，则21n a =1+4(n ﹣1)=4n ﹣3，∴n a =，∴数列{a n }的通项公式n a =； (2)由(1)可得n a =， ∵212211683n n n n S S n n a a +++--＝，∴(4n ﹣3)S n+1=(4n+1)S n +16n 2﹣8n ﹣3， ∴14143n n S Sn n +-+-=1， ∴数列43n S n ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为S 1，公差为1.∴43nS n -=b 1+n ﹣1， ∴S n =(b 1+n ﹣1)(4n ﹣3)，当n ≥2时，b n =S n ﹣S n ﹣1=(b 1+n ﹣1)(4n ﹣3)﹣(b 1+n ﹣2)(4n ﹣7)，化为b n =4b 1+8n ﹣11，若数列{b n }为等差数列，则上式对于n=1时也成立， ∴b 1=4b 1﹣3，解得b 1=1.∴b n =8n ﹣7为等差数列. ∴b 1=1，数列{b n }为等差数列； (3)证明：由(1)可得21n a =4n ﹣3.解法1：令等比数列{c n }的公比q=4m(m ∈N *)，则c n =c 1qn ﹣1=5×4m(n ﹣1)，设k=m(n ﹣1)，因为1+4+42+…+4k ﹣1=413k -，所以5×4m(n ﹣1)=5×[3(1+4+42+…+4k ﹣1)+1]，=3[5(1+4+42+…+4k ﹣1)+2]﹣1，因为5(1+4+42+…+4k ﹣1)+2为正整数，所以数列{c n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m (m ∈N *)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{c n }有无数个.解法2：设c 2=4k 2﹣3(k 2≥3)，所以公比q=2435k . 因为等比数列{b n }的各项为整数，所以q 为整数，取k 2=5m+2(m ∈N*)，则q=4m+1，故c n =5·(4m+1)n ﹣1，由4k n ﹣3=5·(4m+1)n ﹣1得，k n =14[5(4m+1)n ﹣1+3](n ∈N*)，而当n ≥2时，k n ﹣k n ﹣1=54[(4m+1)n ﹣1﹣(4m+1)n ﹣2]=5m(4m+1)n ﹣2，即k n =k n ﹣1+5m(4m+1)n ﹣2，又因为k 1=2，5m(4m+1)n ﹣2都是正整数，所以k n 也都是正整数，所以数列{c n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m+1(m ∈N *)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{c n }有无数个.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

2021届嘉定区官方标答

ABC1A 1C 1D 1B D 嘉定区2020学年高三年级第一次质量调研测试数学试卷参考答案与评分标准说明：1．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但不超过后继部分给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误，就不给分．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．{}4,2 2．()0,1 3．22≤≤-x 4．2 5．43-6．6 7．32 8．15π 9．21 10．216 11．8- 12．⎪⎭⎫ ⎝⎛4849,1二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．A 14．D 15．B 16．B三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意得 322211=-=AD D A AA ，………………………………2分则该正四棱柱的表面积为31684322222+=⋅⋅+⋅=全S ，………………………4分体积为 383222=⋅=V ．……………………………6分（2）联结111,DC C A ，则AC ∥11C A ，所以直线D A 1与11C A 所成的角就是异面直线D A 1与AC 所成的角．………………………………2分在11DC A △中，22,321111===C A DC D A ,……………4分由余弦定理得1112121121112cos C A D A DC C A D A C DA ⨯⨯-+=∠ 4222424)22(4222=⨯⨯-+=，则得42arccos 11=∠C DA ，………………………………………………………………7分所以，异面直线D A 1与AC 所成的角的大小42arccos．………………………………8分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为函数)(cos )(x x f ω=的最小正周期为π，由 π||π2==ωT ，2||=ω，又因为0>ω，所以2=ω． ……………………………………………………………2分此时x x f 2cos )(=，则得 x x x g 2cos 4π2cos 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=，即x x x g 2cos 2sin 3)(-=，即)6π2sin(2)(-=x x g ． ………………………4分当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-65π,6π6π2x ，[]2,1)6π2sin(2-∈-x ，所以所求函数的值域为[]2,1-． ………………………………………………………6分（2）由题意得 212cos -=A ．因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ，则得 ()π,02∈A ，所以 32π2=A ，解得 3π=A ．……………2分因为ABC △的面积为33，则得33sin 21=A bc ，即 333πsin 21=bc ，即 12=bc ．………………………………………………………………………………4分又因为 2=-c b ，由余弦定理，得 bc c b A bc c b a -+=-+=2222cos 2bc c b +-=2)( …6分41222=+=，所以 4=a ． ……………………………………………………………………………8分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意知当120=x （辆/千米）时，0=v （千米/小时），代入 x kv --=14060 得 120140600--=k ，解得 1200=k ，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=.12020,140120060,20050x x x v ，… …………………………………………………2分当200≤<x 时，4050≥=v ，符合题意； …………………………………………3分当12020≤<x 时，令 40140120060≥--x，解得 80≤x ，所以 8020≤<x ．……5分综上，800≤<x ．答：若车流速度v 不小于40千米/小时，则车流密度x 的取值范围是]80,20(．……6分（2）由题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=.12020,140120060,20050x x xx x x y ，当200≤<x 时，x y 50=为增函数，所以10005020=⨯≤y ，等号当且仅当20=x 成立； …………………………………3分当12020≤<x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=x x x x x x y 1402060140120060⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=x x x 1402800)140(2060 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=x x 14028002060()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=x x 140280014016060 …………………………5分 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯--≤x x 1402800140216060()74016060-=3250≈，即 3250≤y ，等号当且仅当xx -=-1402800140，即 2800)140(2=-x ，即720140±=-x ，]120,20(87720140∈≈-=x 成立．综上，y 的最大值约为3250，此时x 约为87．答：隧道内车流量的最大值约为3250辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米．………………………………………8分20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）由题意得 62=a ，解得 3=a ．…………………………………………1分把点Q 的坐标代入椭圆C 的方程 12222=+b y a x ，得134922=+ba ，由于 3=a ，解得 2=b ． …………………………………………………………3分所以所求的椭圆的标准方程为 14922=+y x ．……………………………………4分（2）因为02 =+，则得 )1,0(21=-=OB OC ，即)1,0(C ，…………1分又因为 )0,3(-A ，所以直线AP 的方程为 )3(31+=x y ．由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=149)3(3122y x x y 解得 ⎩⎨⎧=-=03y x （舍去）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5859y x ，即得），（5859P ．所以 ()510858359||22=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=AP ，即线段AP 的长为5108．……………………………………………………………6分（3）由题意知，直线PB 的斜率存在，可设直线2-=kx y PB ：（32>k ）．令0=y ，得)0,2kD （． ………………………………………………………………1分由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=149,222y x kx y 得 036)94(22=-+kx x k ，解得 0=x （舍去）或29436k k x +=，所以 2294818kk y +-=，即)94818,9436222k k k k P +-+（． ………………………………2分于是直线AP 的方程为)3(3413694818222+⨯+++-=x k k k k y ，即 )3()233)23(2++-=x k k y （．令0=x ,得23)23(2+-=k k y ，即⎪⎭⎫⎝⎛+-23)23(2,0k k C ． …………………………………3分所以四边形ABDC 的面积等于||||21BC AD ⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=223)23(23221k k k 623122321=+⋅+⋅=k k k k ，即四边形ABDC 的面积为定值6．………………………………………………………6分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）数列8,4,2,1不具有性质P ．………………………………………………………1分因为84210<<<≤，但是514=+、314=-，它们均不是数列8,4,2,1中的项，所以数列8,4,2,1不具有性质P ．……………………………………………………………4分（2）证明：因为M a a k k ∉+，所以M a a k k ∈-，即 M ∈0，所以01=a ．设k i ≤≤2，因为M a a i k ∉+，所以M a a i k ∈-． ………………………………2分则得12210a a a a a a a a a a k k k k k k k k -<-<⋅⋅⋅<-<-<-=--．因为12310k k a a a a a -≤<<<⋅⋅⋅<<，所以1k k a a a -=，12k k a a a --=，23k k a a a --=，…….，21k k a a a --=，1k k a a a -=，………………………………………………………4分将上面的式子相加得k k k k k k a a a a a a a a a a ka +⋅⋅⋅+++=++⋅⋅⋅+++----13211221)(，所以 )(2121k k k a a a a ka ++⋅⋅⋅++=-．………………………………………………6分（3）数列5,4,1,0具有性质P ，但该数列不是等差数列．（答案不惟一） …………2分下面证明当4>k ，即5≥k 时，数列{}n a 是等差数列．由（2）得 01=a ． ①设2i k ≤≤，由（2）知 12210a a a a a a a a a a k k k k k k k k -<-<⋅⋅⋅<-<-<-=--．因为12310k k a a a a a -≤<<<⋅⋅⋅<<，所以1k k a a a -=，12k k a a a --=，23k k a a a --=，…….，21k k a a a --=，1k k a a a -=，因此 ()111k k i i a a a i k -+-=≤≤-． (*) …………………………………………2分 ②设23-≤≤k i ，则112k i k k a a a a a --+>+=，所以1k i a a M -+∉，得1k i a a M --∈．由111213320k k k k k k k a a a a a a a a a ------=-<-<⋅⋅⋅<-<-= 及123320k k a a a a a --≤<<<⋅⋅⋅<<，可得 111k k a a a ---=，122k k a a a ---=，133k k a a a ---=，…….，133k k a a a ---=．所以 )31(1-≤≤=---k i a a a i i k k ．……………………………………………………4分因为5k ≥，由上知，111k k a a a ---=，且 122k k a a a ---=，所以111k k a a a ---=，且122k k a a a ---=，所以)11(1-≤≤=---k i a a a i i k k ． (**) ………………………6分由(*)知 ()111k k i i a a a i k -+-=≤≤-，两式相减得()1111k k i i a a a a i k -+-=-≤≤-，所以当4>k 时，123,,,,k a a a a ⋅⋅⋅是等差数列． ………………………………………8分。

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2020年上海市嘉定区高考数学一模试卷
安逸数学工作室2019.12
一、填空题（本题满分54分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。

1. 已知集合}8,6,4,2{},5,4,3,2,1{==B A ，则=B A I __________. 2. 方程32=x
的解为_________. 3. 行列式
2
1
12−的值为_________.
4. 计算=+∞→1
2lim
n n
n _________.
5. 若圆锥的侧面面积为π2，底面面积为π，则该圆锥的母线长为__________.
6. 已知向量2
1
,23(),23,
21(==AC AB ，则=∠BAC ________. 7. 2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有_______种. 8. 已知点),2(y −在角α终边上，且22)tan(=−απ，则=αsin __________.
9. 近年来，人们支付方式发生巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯，某企业为了该企业员工A,B 两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况，发现样本中A,B 两种支付情况都没有使用过的有5人，使用A,B 两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下：
依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月A,B 两种支付方式都使用过的概率为__________.
10. 已知非零向量c b a ,,两两平行，且)//(c b a +，)//(c a b +，设b y a x c +=，且R y x ∈,，则=+y x 2_________.
11. 已知数列}{n a 满足：)}(,...,,{,12111∗
+∈∈−=N n a a a a a a n n n ，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，若对所有满足条件的}{n a ，10S 的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M _____. 12. 已知函数|1
|)(a x
x x f ++
=，若对任意的实数a ，关于x 的不等式m x f ≥)(在区间 ]3,2
1
[上总有解，则实数m 的取值范围为__________. 二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．已知R x ∈，则“0>x ” 是“1>x ”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
14．下列函数中，值域为),0(+∞的是（） A ．x
y 2=
B ．2
1x y =
C ．x y ln =
D ．x y cos =
15．已知正方体1111D C B A ABCD −，点P 是棱1CC 的中点，设直线b D A a AB 为，为11 ，对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与b a ,都相交；②过点P 有且只有一条直线l 与b a ,都成45°角，以下判断正确的是（）
A ．①为真命题，②为真命题
B ．①为真命题，②为假命题
C ．①为假命题，②为真命题
D ．①为假命题，②为假命题
16．某港口某天0时至24时的水深y （米）随时间x （时）变化曲线近似满足如下函数模型：
)0(24.3)6
sin(5.0>++=ωπ
ωπx y ，若该港口在该天0至24时内，有且只有3个时刻水
深为3米，则此港口该天水最深的时刻不可能为（） A ．16时
B ．17时
C ．18时
D ．19时
三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列名题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤。

17．（14分）如图，底面为矩形的直棱柱1111D C B A ABCD −满足：2,3,41===CD AD AA ；
（1）求直线C A 1与平面D D AA 11所成的角θ的大小；（2）设N M ,分别为棱CD BB ,1上的动点，求证：三棱锥
AM A N 1−的体积V 为定值，并求出该定值.
18．（14分）在复平面内复数21,z z 所对应的点为21,Z Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位；（1）若i z i z 43,2121−=+=，计算21z z ⋅与21OZ OZ ⋅;
（2）设),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=，求证：≤⋅||21OZ OZ ||21z z ⋅，并指出向量
21OZ OZ ，满足什么条件时该不等式取等号.
19．（14分）如图，某城市有一矩形街心广场ABCD ，如图，其中AB = 4百米，BC = 3百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN 种植荷花，其中点M 在BC 边上，点N 在AB 边上，要求4
π
=
∠MDN ；
（1）若AN=CM=2百米，判断DMN ∆是否符合要求，并说明理由；
（2）设θ=∠CDM ，写出DMN ∆面积的S 关于θ的表达式，并求出S 的最小值.
20．（16分）已知数列}{n a 各项均为正数，n S 为其前n 项的和，且)(,,2
∗
∈N n a S a n n n 成等差数列；
（1）写出321,,a a a 的值，并猜想数列}{n a 的通项公式；（2）证明（1）中的猜想；
（3）设)0(1>−=t ta b n n ，n T 为数列}{n b 的前n 项和，对于任意的∗
∈N n ，都有
}|{∗∈∈N m b T m n ，求实数t 的值.
21．（18分）已知函数||)(a x x x f −=，其中a 为常数；（1）当1=a 时，解不等式2)(<x f ；
（2）已知)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，若0<a ，且
4
5
)23(=g ，求函数）（]2,1[)(∈=x x g y 的反函数；（3）若在]2,0[上存在n 个不同的点)3;,...,3,2,1(≥=n n i x i ，n x x x <<<...21，使得
8|)()(|...|)()(||)()(|13221=−++−+−−n n x f x f x f x f x f x f ，求实数a 的取值范围.
参考答案
1.}42{，；
2. 3log 2=x ；
3. 5；
4. 2；
5. 2；
6.
6
π
； 7.72； 8.
322； 9.103
； 10. 3− ； 11.7810； 12.3
2,(−∞； 13.B 14.A 15.B 16.D
17.（1）5
2arctan
=θ；（2） 4=V ； 18.（1）i z z 21121+=⋅；521−=⋅OZ OZ ;；（2）证明略；cd ab =时，取等号； 19.（1）不符合要求；（2）)12(124
2
)42sin(2123−≥++=
πθS ；
20.（1）3,2,1321===a a a ；猜想n a n = （2）略；（3）}1,2
1
{∈t ； 21.（1）)2,(−∞；（2）]3,0[,13∈+−=x x y ；（3）),6[]2,(+∞−−∞∈U a ；。