专题04 算法、推理证明、排列、组合与二项式定理(命题猜想)-2016年高考数学(理)命题猜想与

命题猜想四 算法、推理证明、排列、组合与二项式定理

【考向解读】

1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查；

2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.

2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.

3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型及相互独立事件的概率；

4.二项分布、正态分布的应用是考查的热点；

5.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.

6.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现.

【命题热点突破一】程序框图

(1)（2015·全国卷Ⅰ）执行图 所示的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

(2)执行如图 所示的程序框图，其输出结果是( )

A ．－54 B.12 C.54 D ．－12

【感悟提升】程序框图中单纯的顺序结构非常简单，一般不出现在高考中，在高考中主要出现的是以“条件结构”和“循环结构”为主的程序框图．以“条件结构”为主的程序框图主要解决分段函数求值问题，以“循环结构”为主的程序框图主要解决数列求和、统计求和、数值求积等运算问题，这两种类型的程序框图中，关键因素之一就是“判断条件”，在解题中要切实注意判断条件的应用．

【变式探究】

某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的S的值为72，则判断框内填入的条件可以是()

A．n≤8? B．n≤9? C．n≤10? D．n≤11?

【命题热点突破二】合情推理与演绎推理

例2、(1)（2015·山东卷）观察下列各式：

C01＝40；

C03＋C13＝41；

C05＋C15＋C25＝42；

C07＋C17＋C27＋C37＝43；

……

照此规律，当n∈N*时，

＝________．

C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－1

2n－1

(2)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法可以求出过点A(－2，3)，且法向量为n ＝(－1，2)的直线方程为(－1)×(x ＋2)＋2×(y －3)＝0，化简得x －2y ＋8＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n ＝(－1，2，－3)的平面的方程为________．

【感悟提升】由特殊结论得出一般结论的推理是归纳推理，归纳出的一般性结论要包含已知的特殊结论；根据已有结论推断相似对象具有相应结论的推理就是类比推理．归纳和类比得出的结论未必正确，其正确性需要通过演绎推理进行证明．合情推理和演绎推理在解决数学问题中是相辅相成的．

【变式探究】

已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14，cos π7cos 2π7·cos 3π7＝18

，……根据以上等式，可猜想的一般结论是________________．

【命题热点突破三】排列与组合

例3、四名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有( )

A ．24种

B ．36种

C ．48种

D ．60种

【感悟提升】

解决排列组合问题的基本方法有直接法和间接法．直接法就是采用分类、分步的方法逐次求解，间接法是从问题的对立面求解．不论是直接法还是间接法，都要遵循“特殊元素、特殊位置优先考虑”的原

则．注意几种典型的排列组合问题：相邻问题(捆绑法)、不相邻问题(插空法)、定序问题(组合法)、分组分配问题(先分组后分配)等．

【变式探究】

已知直线x a ＋y b

＝1(a ，b 是非零常数)与圆x 2＋y 2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线有________条.

【命题热点突破四】二项式定理

例4、(1)（2015·天津卷）在⎝⎛⎭

⎫x －14x 6

的展开式中，x 2的系数为________． (2)若⎝

⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式的二项式系数之和为64，则其常数项为( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20

【感悟提升】

(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．(2) 二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．

【变式探究】（2015·全国卷Ⅱ）(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________．

【高考真题解读】

1．(2015·重庆，7)执行如图所示的程序框图，输出的结果为()

A．(－2，2) B．(－4，0)

C．(－4，－4) D．(0，－8)

2．(2015·福建，6)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为()

A．2 B．1 C．0 D．－1

3．(2015·北京，3)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是()

A ．s ≤34

B ．s ≤56

C ．s ≤1112

D ．s ≤2524

4．(2015·新课标全国Ⅱ，8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )

A ．0

B ．2

C ．4

D ．14

5．(2015·山东，13)执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为________.

6．(2015·广东，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答)．

7．(2015·北京，9)在(2＋x )5的展开式中，x 3的系数为________(用数字作答)．

8．(2015·天津，12)在⎝⎛⎭

⎫x －14x 6

的展开式中，x 2的系数为________． 9．(2015·四川，6)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有