巧用概率模型证明等式和不等式
利用概率方法证明等式与不等式
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证明 ! 建立一个随机模型：设有 & 个人参加集会，他们将帽子放在一起，会后每人任取一顶帽
1.研究区的区域尺度确定模型由洪积含水层系统和基岩裂隙含水层系统组成。场址区包气带岩性已经发生变化，可以视为均匀介质；场 址区其余含水层均未发生岩性突变，为典型非均匀介质。
2.采用Markov链转移概率方法，建立了研究区洪积扇地质结构的100个随机模型。 3.研究区粘土-粉砂的渗透系数与分形维数的关系为：K-42.981D2-213.47D+265.06纵向弥散度与分形维数的关系为：α，=36.982D2182.46D+225.18。且分形维数、渗透系数、纵向弥散度均服从正态分布。 4.将随机参数模拟结果应用于研究区的核素迁移模拟，模拟了研究区包气带和含水层中3H和Sr的迁移。对于包气带中核素迁移，建立了 研究区包气带1维均质数学模型，运用waterm程序计算得到包气带流场，并运用Nesor程序模拟了90Sr和3H在包气带中的迁移，结果表明，研 究区场址包气带能有效阻止90Sr的运移，对于3H，其浓度峰值在约第6年的时间穿过包气带进入含水层。对于含水层中核素迁移，建立了含 水层3维数学模型，对得到的每个洪积含水层随机地质结构模型，结合其岩性分布矩阵采用Monte-Carlo方法赋相应的渗透系数和弥散度值 ，使用GMS中的Modflow模块，模拟得到了研究区含水层流场。使用GMS中的MT-3D模块，选取3H模拟了其在含水层中的迁移。结果表明，对于 3H，在生成的100个随机模型中，50a后平均浓度峰值开始接近河流。 本文的研究表明，选用确定方法和随机方法耦合，能够综合多种资料，克服研究区单一水文资料缺乏的困难，更准确地描述水文地质结 构不同尺度下的非均质性，将其与地下水流及溶质运移模型结合，建立起的随机参数模型，可以在有限资料的情况下，更加准确的得到相应 的结果，为科研、决策提供支持。
概率方法在不等式证明中的应用
sin3 β sin γ
+
sin3 γ sin α
,
Εξ
= sin2 α
+ sin2 β
+ sin2 γ
= 1,
由 ，得 Εξ 2 ≥ (Εξ )2
sin3 α sin β
+
sin3 β sin γ
+
sin3 γ sin α
≥ 1.
由上面的例子可以看出，利用期望证明分等式时，关键在于灵活构造随机变量的概率分
. x12
+
x22
+ ...... +
xn2
≥
1 n
【例 】求证： 6
1
+
1
+
ex sin
x
+
1 + 1 + cos x + x2
4
−
1
+
ex sin
x
− 1 + cos x x2
≤3
2.
【解析】 因为题目中还出现超越函数和三角函数，若采用一般代数方法很难证明上式.
3
《尖子生培养系列》
因此需要另辟新径，可将不等式左边看作一个变量 t,并将其视为 ∑n xi 的形式. i =1 证明: 建立概率模型：设一组数据 x1， x2 ， x3 ，令
《尖子生培养系列》
概率方法在不等式证明中的应用
著名数学家王梓坤院士曾指出：“用概率的方法来证明一些关系式或解决其它数学分析 中重的点问，题也，是是一概个率难论点的.用重概要率研论究的方思向想之、一方.法”在解中决一学些数数学学中不，等不式等的式证的明证，明思问路题别一开直生是面一，个 过程简洁直观，往往会给人耳目一新之感.本文介绍几种用概率思想证明不等式的方法.
利用概率方法证明不等式
利用概率方法证明不等式引言在数学中，不等式是一种常见的数学结论，在证明和解决问题的过程中起着重要的作用。
在本文中，我们将介绍一种利用概率方法证明不等式的思路，并结合具体的例子介绍如何应用这种方法。
概率方法的基本思路在概率方法中，我们将某个事件的概率定义为其发生的次数除以总的试验次数。
例如，假设我们投掷一枚硬币，并且我们希望得到正面的概率。
如果我们进行了100次投掷实验，其中有60次出现正面，那么正面出现的概率就是60/100，即0.6。
概率方法证明不等式的基本思路是，将不等式中的变量看作某个随机事件发生的次数，并计算该事件发生的概率。
例如，在证明柯西-施瓦茨不等式时，我们将两个向量中的每个元素看作随机变量，并计算它们的内积的期望值。
通过这种方式，我们可以将不等式中的变量转化为随机事件发生的次数，从而可以应用概率论中的相关定理证明不等式。
例子: 柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是一种用于计算向量内积的方法。
具体来说，假设我们有两个向量a和b，它们的长度都是n。
那么它们的内积可以表示为:$$\\langle a,b \\rangle=\\sum_{i=1}^{n}a_i b_i$$柯西-施瓦茨不等式可以表示为：$$\\langle a,b \\rangle\\leq \\|a\\|\\|b\\|$$其中，$\\|a\\|$表示a向量的长度，$\\|b\\|$表示b向量的长度。
接下来，我们将介绍如何用概率方法证明柯西-施瓦茨不等式。
步骤1: 将向量元素看做随机变量我们将向量a和b中的每个元素看作随机变量，记为$a_1,a_2,\\ldots,a_n$和$b_1,b_2,\\ldots,b_n$。
假设这些随机变量都是独立同分布的，且它们的期望值为0。
同时，我们定义指示函数X i(a,b)如下：$$ X_i(a,b)=\\left\\{ \\begin{aligned} 1, \\ a_i b_i\\geq 0\\\\ 0, \\ a_i b_i<0 \\end{aligned} \\right. $$步骤2: 计算内积的期望值我们将$\\langle a,b \\rangle$看作是将向量a和b中的元素相乘之后的求和。
不等式与概率的联系
不等式与概率的联系在数学领域中，不等式和概率是两个重要的概念。
不等式是用来描述数值大小关系的数学工具，而概率则是用来描述事件发生可能性的度量。
本文将探讨不等式与概率之间的联系，以及它们在实际问题中的应用。
一、不等式的基本概念不等式是数学中描述数值大小关系的一种工具。
常见的不等式符号包括“>”（大于）、“<”（小于）、“≥”（大于等于）和“≤”（小于等于）。
在解不等式的过程中，我们通常需要确定未知数的取值范围。
例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以通过移项和化简得到x > 2，表示未知数x的取值范围大于2。
二、概率的基本概念概率是度量事件发生可能性的一种工具。
概率的取值通常介于0和1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
对于某一事件A的概率，我们用P(A)来表示。
例如，对于一枚均匀的硬币来说，正面朝上的概率和反面朝上的概率均为0.5。
三、不等式与概率的联系不等式和概率之间存在着密切的联系。
首先，我们可以利用概率的性质来解决一些不等式问题。
例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以将其转化为一个概率问题，即求解事件2x + 3 > 7的概率。
通过化简不等式和确定未知数的取值范围，我们可以求得x的取值范围。
其次，概率理论也可以应用于不等式证明中。
例如，我们可以使用概率的思想来证明某些不等式的成立。
通过构建适当的概率空间和事件，我们可以推导出不等式的正确性。
这种方法在一些高级数学领域中得到广泛应用，例如概率论与数理统计中的各种不等式定理的证明。
四、不等式与概率的应用举例不等式和概率的联系在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 统计学中的不等式应用：在统计学中，不等式常常应用于描述数据的变异性。
例如，切比雪夫不等式可以用来估计一个随机变量落在一定距离区间内的概率。
2. 金融风险评估：金融风险评估是另一个应用领域。
不等式可以用来描述投资组合的回报和风险之间的关系。
不等式的几种证明方法及其应用
不等式的几种证明方法及其应用不等式的证明方法多种多样，常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、凹凸性等方法．本文将对其中一些典型证法给出系统的归纳与总结，并以例题的形式展示这些方法的应用．1 利用构造法证明不等式“所谓构造思想方法就是指在解决数学问题的过程中，为完成从条件向结论的转化，利用数学问题的特殊性设计一个新的关系结构系统，找到解决原问题的具体方法．利用构造思想方法不是直接解决原问题，而是构造与原问题相关或等价的新问题．”)52](1[P 在证明不等式的问题中，构造思想方法常有以下几种形式：1.1 构造函数证明不等式构造函数指根据所给不等式的特征，巧妙地构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式．1.1.1 利用判别式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若根据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能通过等价形式转化为一元二次函数的，都可考虑使用判别式法．例1 设R z y x ∈,,，证明0)(322≥+++++z y x z y xy x 成立． 解 令22233)3()(z yz y x z y x x f +++++=为x 的二次函数． 由2222)(3)33(4)3(z y z yz y z y +-=++-+=∆知0≤∆，所以0)(≥x f ． 故0)(322≥+++++z y x z y xy x 恒成立．对于某些不等式，若能根据题设条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数)(x f =(11b x a -)2＋(x a 2－22)b ＋…＋2)(n n b x a -，由0)(≥x f 得出0≤∆，从而即可得出所需证的不等式．例2 设+∈R d c b a ,,,，且1=+++d c b a ，求证614141414<+++++++d c b a )18](2[P ．证明 令)(x f =(x a 14+－1)2＋(114-+x b )2＋)114(-+x c 2＋)114(-+x d 2=4)14141414(282++++++++-x d c b a x (因为1=+++d c b a )．由0)(≥x f 得0≤∆ 即0128)14141414(42≤-+++++++d c b a ．所以62414141414<≤+++++++d c b a ．1.1.2 利用函数有界性若题设中给出了所证不等式中各个变量的变化范围，可考虑利用函数的有界性来证明，具体做法是将所证不等式视为某个变量的函数．例3 设,1,1,1<<<c b a 求证1->++ca bc ab )18](2[P ． 证明 令1)()(+++=ac x c a x f 为x 的一次函数． 因为,1,1<<c a 所以0)1)(1(1)1(>++=+++=c a ac c a f ，0)1)(1(1)()1(>--=+++-=-c a ac c a f ．即∀)1,1(-∈x ，恒有0)(>x f ．又因为)1,1(-∈b ，所以0)(>b f ， 即01>+++ca bc ab ． 1.1.3 利用函数单调性在某些问题中，若各种式子出现统一的结构，这时可根据这种结构构造函数，把各种式子看作同一函数在不同点的函数值，再由函数的单调性使问题得到解决．例４ 求证121212121111n n n na a a a aa a a a a a a +++≤++++++++++)53](1[P ．分析 通过观察可发现式中各项的结构均相似于式子M M +1，于是构造函数xxx f +=1)()0(≥x ．证明 构造函数xxx f +=1)( )0(≥x ． 因为0)1(1)(2'>+=x x f ， 所以)(x f 在),0[+∞上严格递增．令n a a a x +++= 211，n a a a x +++= 212． 因为21x x ≤，所以)()(21x f x f ≤． 所以≤+++++++nn a a a a a a 21211nn a a a a a a +++++++ 21211=+++++na a a a 2111++++++ n a a a a 2121nna a a a ++++ 211nna a a a a a ++++++≤1112211 ．1.1.4 利用函数奇偶性 例５ 求证221xx x <-)0(≠x ．证明 设)(x f 221x x x --=，对)(x f 进行整理得)(x f )21(2)21(xx x -+=， )(x f -＝)21(2)21(xx x ---+-＝)12(2)12(-+-x x x ＝)21(2)21(x x x -+＝)(x f ， 所以)(x f 是偶函数．当0>x 时，12>x ，所以021<-x，所以0)(<x f ． 由偶函数的图象关于y 轴对称知，当0<x 时，0)(<x f ． 即 当0≠x 时，恒有0)(<x f ，即221xx x <- )0(≠x ． 注意 由以上几种情况可以看出，如何构造适当的函数并利用函数的性质来证明不等式是解题的关键．1.2 构造几何图形证明不等式构造几何图形，就是把题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种数量关系得以在图中表现出来，然后借助几何图形的直观性或几何知识来寻求问题的解答．一般是在问题的条件中数量关系有明显的几何意义，或可以通过某种方式与几何形（体）建立联系时宜采用此方法.)52](1[P 这种方法十分巧妙且有效，它体现了数形结合的优越性．下面将具体介绍用几何法证明不等式的几种途径：1.2.1 构造三角形)1](3[P例６ 已知z y x ,,为正数，求证22y xy x ++＋22z xz x ++＞22z yz y ++．分析 注意到︒-+=++120cos 22222xy y x y xy x ，于是22y xy x ++可看作是以y x ,为两边，夹角为︒120的三角形的第三边，由此，易得出下面的证明:证 如图1 ，在BC A ∆内取一点O ，分别连接OC OB OA ,,，使图1B︒=∠=∠=∠120COA BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,则22y xy x AB ++=，22z xz x AC ++=，22z yz y BC ++=．由BC AC AB >+， 即得所要证明的不等式．注 该题可做如下推广:已知z y x ,,为正数，πα<<0，πβ<<0，πγ<<0，且πγβα2=++，求证++-22cos 2y xy x α>+-22cos 2z xz x β22cos 2z yz y +-γ，令γβα,,为满足条件的特殊角可设计出一系列的不等式．例7 已知正数k n m c b a ,,,,,满足p k c n b m a =+=+=+,求证2p cm bk an <++． 证明 如图2，构造边长为p 的正三角形ABC ，在边BC AB ,,上依次截取 n FA b CF k EC c BE m DB a AD ======,,,,,．因为ABC FEC DBE ADF S S S S ∆∆∆∆<++所以243434343p bk cm an <++， 即2p cm bk an <++． 1.2.2 构造正方形)1](3[P例8 已知+∈R x ,d c b a ,,,均是小于x 的正数，求证+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c x a x d 4)(22<-+．分析 观察不等式的左边各式，易联想到用勾股定理，每个式子代表一直角三角形的一斜边，且)()()()(d x d c x c b x b a x a -+=-+=-+=-+，所以可构造边长为x 的正方形．证明 如图3，构造边长为x 的正方形ABCD ，在边DA CD BC AB ,,,上 依次截取,a AE =,a x EB -=,d BF =c CG d x FC =-=,，b DHc x GD =-=,，b x HA -=．则四边形EFGH 的周长为+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c 22)(a x d -+．由三角形两边之和大于第三边知，四边形EFGH 的周长小于正方形ABCD 的周长， 从而命题得证．1.2.3 构造矩形图2x-c 图3例9 已知z y x ,,为正数，证明))((z y y x yz xy ++≤+．分析 两个数的乘积，可看作以这两个数为边长的矩形的面积，也可以看成以这两个数为直角边长的三角形面积的两倍．证明 如图4 ，造矩形ABCD ，使,y CD AB ==,x BE =,z EC =设α=∠AED ．由AED ECD ABE ABCD S S S S ∆∆∆++=矩形知 =+)(z x y ++yz xy 2121αsin ))((21z y y x ++． 化简得αsin ))((z y y x yz xy ++=+．因为1sin 0≤<α，所以))((z y y x yz xy ++≤+(当且仅当︒=90α时，等号成立)．1.2.4 构造三棱锥例10 设,0,0,0>>>z y x 求证22y xy x +->+-+22z yz y 22x zx z +-)129](4[P ．分析 注意到22y xy x +-︒-+=60cos 222xy y x ，可以表示以y x ,为边， 夹角为︒60的三角形的第三边，同理22z yz y +-，22x zx z +-也有类似意义．证明 如图5，构造顶点为O 的四面体ABC O -，使︒=∠=∠=∠60AOC BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,，则有22y xy x AB +-=，22z yz y BC +-=，22x xz z AC +-=．在ABC ∆中AC BC AB >+，即得原不等式成立．注 该题还可做如下推广:已知z y x ,,为正数，,0πα<<,0πβ<<πγ<<0时πγβα20<++<且,βαγβα+<<-求证22cos 2y xy x +-α+22cos 2z xz x +-β>22cos 2z yz y +-γ.例10便是当︒===60γβα时的特殊情况．1.3 构造对偶式证明不等式对偶思想是根据矛盾双方既对立又统一的二重性，巧妙地构造对偶数列，从而将问题解决的一种思想．⌒ADCBE y x +图4图5OAC例11 求证1212124321+<-⨯⨯⨯n nn ．分析 令=P nn 2124321-⨯⨯⨯ ，由于P 中分子为奇数、分母为偶数，则由奇数的对偶数为偶数可构造出关于P 的一个对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．证明 设=P n n 2124321-⨯⨯⨯ ，构造P 的对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．因为Q P <<0，所以=<PQ P 2)2124321(n n -⨯⨯⨯ 121)1225432(+=+⨯⨯⨯n n n ．所以121+<n P ，即原不等式成立．注 构造对偶式的途径很多，本题是利用奇偶性来构造对偶式，此外，还可利用倒数关系、相反关系、对称性关系等来构造对偶式．1.4 构造数列证明不等式这种方法一般用于与自然数有关的不等式证明，当问题无法从正面入手时，可考虑将它转化为数列，然后利用数列的单调性来证明．例12 求证:不等式!21n n ≤-，对任何正整数n 都成立)55](1[P ．分析 不等式可变形为,1!21≤-n n n 是正整数，所以可构造数列{},n a 其中1,!211==-a n a n n ，则只需证1a a n ≤即可．对于任意正整数n ，=-+=--+!2)!1(211n n a a n n n n 0)!1(2)1()!1()1(2211≤+-=++---n n n n n n n ， 所以{}n a 是递减数列．所以1a a n ≤，即原命题成立．1.5 构造向量证明不等式向量由于其自身的形与数兼备的特性，使得它成了数形结合的桥梁，也是解决一些问题的有利工具．对于某些不等式的证明，若能借助向量模的意义、数量积的性质等，可使不等式得到较易的证明．1.5.1 利用向量模的性质 例13 已知,,,,R d c b a ∈求证++++2222c b b a 2222a d d c +++)(2d c b a +++≥．证明 在原点为O 的直角坐标系内取四个点：()(),,,,c b b a B b a A ++(),,d c b c b a C ++++(),,a d c b d c b a D ++++++则原问题可转化为+，该不等式显然成立．1.5.2 利用向量的几何特征例14 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，求证)31](5[12.022.02.0log 2log log P n n n S S S ++>+． 分析 可将上述不等式转化为,212++<⋅n n n S S S 构造向量，用平行四边形的几何特征来证明．证明 设该等比数列的公比为q ，如图6，构造向量(),,11a a OA =(),,1n n qS qS OB +=()()12111,,+++=++=n n n n S S qS a qS a OC ，则OB OA OC +=，故B C A O ,,,构成平行四边形．由于OB OA ,在对角线OC 的两侧，所以斜率OB OA k k ,中必有一个大于OC k ，另一个小于OC k ．因为{}n a 是由正数组成的等比数列，所以OA n n OC k S S k =<=++121， 所以OC OB k k <， 即<+1n n S S 21++n n S S ． 所以212++<⋅n n n S S S ． 此外，还可以利用向量的数量积证明不等式，一般是根据向量的数量积公式θb a =⋅找出不等关系，如b a ≤⋅≤等，然后利用不等关系证明不等式，在此对这种方法不再举例说明．综上所述，利用构造思想证明不等式时，需对题目进行全面分析，抓住可构造的因素，并借助于与之相关的知识，构造出所求问题的具体形式或是与之等价的新问题，通过解决所构造的问题使原问题获得解决．就构造的对象来说它的表现形式是多样的，这就需要我们牢固的掌握基础知识和解题技巧，综合运用所学知识将问题解决．2 利用换元法证明不等式换元法是数学解题中的一种重要方法，换元的目的是通过换元达到减元，或通过换元得到熟悉的问题形式．换元法主要有以下几种形式：图6O xyABC2.1 三角换元法例15 已知,122≤+y x 求证2222≤-+y xy x ．证明 设θθsin ,cos r y r x ==()10≤≤r ，则=-+222y xy x θθθθ22222sin sin cos 2cos r r r -+θθθ222sin 2sin cos -+=r224sin 22sin 2cos 222≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=r r r πθθθ．注 这种方法一般是已知条件在结构上与三角公式相似时宜采用．若题设为,12=+y x 可设;sin 2,cos θθ==y x 题设为,122=-y x 可设θθtan ,sec ==y x 等．2.2 均值换元法例16 设,1,,,=++∈z y x R z y x 求证31222≥++z y x )12](2[P ．证明 设,31α+=x ,31β+=y ,31γ+=z 其中0=++γβα 则 =++222z y x ++2)31(α++2)31(β=+2)31(γ31)(231222≥++++++γβαγβα(当且仅当γβα==时取等号)．2.3 增量换元法这种方法一般用于对称式(任意互换两个字母顺序，代数式不变)和给定字母顺序的不等式的证明．例17 已知,0>>y x 求证 yx y x -<-)55](6[P ．证明 由,0>>y x 可令t y x += )0(>t ． 因为2)(2t y yt t y t y +=++<+， 所以t y t y +<+， 即y x y x -<-．总之，证明不等式时适当的引进换元，可以比较容易的找到解题思路，但具体使用何种代换，则因题而异，总的目的是化繁为简．3 利用概率方法证明不等式)51](7[P利用概率方法证明不等式，主要是根据实际问题，构造适当的概率模型，然后利用有关结论解决实际问题．3.1利用概率的性质：对任意事件A ，1)(0≤≤A P ，证明不等式例18 证明若,10,10≤≤≤≤b a 则1+≤+≤ab b a ab ．分析 由,10,10≤≤≤≤b a 可把a 看做事件A 发生的概率，b 看做事件B 发生的概率． 证明 设事件A 与B 相互独立，且,)(,)(b B P a A P ==则ab b a B A P B P A P B A P -+=-+=)()()()( ．因为,1)(0≤≤B A P 所以10≤-+≤ab b a ，所以1+≤+≤ab b a ab ．3.2 利用Cauchy-Schwarz 不等式：2))((ξηE ≤22ηξE E 例19 设0>i a ，0>i b ，,2,1=i …n ,， 则 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．证明 设随机变量ξηηξ,,满足下列要求ξ概率分布:P (ξ=i a )=n 1(n i ,,2,1 =)，η概率分布:P (η=i b )=n1(n i ,,2,1 =)，ξη概率分布:⎪⎩⎪⎨⎧≠=== )(0)(1)(j i j i nb a P j i ξη， 则 2ξE ＝∑=n i i a n 121，2ηE ＝∑=n i i b n 121，)(ξηE ＝∑=n i i i b a n 11．由2))((ξηE ≤22ηξE E 得 212)(1∑=n i i i b a n ≤)1)(1(1212∑∑==n i i n i i b n a n ．即 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．用概率证明不等式比较新颖，开辟了证明不等式的又一途径．但该法用起来不太容易，因为读者必须对概率这部分知识熟悉掌握，才能选择适当的结论加以利用，因此对这种方法只做简单了解即可．4 用微分方法证明不等式在高等数学中我们接触了微分, 用微分方法讨论不等式,为不等式证明方法开辟了新的视野． 4.1利用微分中值定理微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，下面仅给出拉格朗日中值定理、泰勒定理的应用：拉格朗日中值定理)120](8[P 若函数)(x f 在[]b a ,上连续，()b a ,内可导，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得)('ξf ＝ab a f b f --)()(．例20 已知0>b ,求证b b bb<<+arctan 12． 证明 函数x arctan 在[]b ,0上满足拉格朗日中值定理的条件，所以有b arctan －0arctan ＝)0()(arctan '-=b x x ξ＝21ξ+b，),0(b ∈ξ． 而b bx b <+<+2211ξ， 故原不等式成立．泰勒定理)138](8[P 若函数)(x f 在[]b a , 上有直至n 阶的连续导数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的0,x x ()b a ,∈，使得10)1(00)(200''00'0)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-+-+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 该式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式．例21 设函数)(x f 在[]b a ,上二阶可导，且M x f ≤)(''，,1,0)2(=-=+a b ba f 试证 4)()(M b f a f ≤+)69](9[P ．证明 将函数)(x f 在点20ba x +=展成二阶泰勒公式 ++-+++=)2)(2()2()('b a x b a f b a f x f 2'')2)((21b a x f +-ξ＝)2)(2('ba xb a f +-+＋2'')2)((21b a x f +-ξ． 将b a x ,=代入上式得)21)(2()('b a f a f +-=＋)(811''ξf ，)(81)21)(2(')(2''ξf b a f b f ++=． 相加得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +=+． 取绝对值得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +≤+≤4M ．4.2 利用极值例22 设12ln ->a 为任一常数，求证xeax x <+-122()0>x )188](10[P ．证明 原问题可转化为求证012)(2>-+-=ax x e x f x)0(>x ．因为0)0(=f ,所以只需证022)('>+-=a x e x f x．由02)(''=-=xe xf 得)('x f 的稳定点2ln =x ．当2ln <x 时，0)(''<x f ． 当2ln >x 时，0)(''>x f ． 所以 02)2ln 1(222ln 22)2(ln )(min ''>+-=+-==>a a f x f x ．所以原不等式成立．4.3 利用函数的凹凸性定义)193](10[P )(x f 在区间I 上有定义，)(x f 称为I 上的凸（凹）函数，当且仅当：21,x x ∀∈I ，有)2(21x x f +≤2)()(21x f x f + （)2(21x x f +≥2)()(21x f x f +）． 推论)201](10[P 若)(x f 在区间I 上有二阶导数，则)(x f 在I 上为凸（凹）函数的充要条件是：0)(''≥x f （0)(''≤x f ）．例23 证明na a a n +++ 21≥n n a a a 21 ),,2,1,0(n i a i =>)125](11[P ．证明 令,ln )(x x f =则01)(,1)(2'''<-==xx f x x f ，所以 x x f ln )(=在()+∞,0上是凹函数，对),0(,,,21+∞∈n a a a 有)ln ln (ln 1ln 2121n n a a a nn a a a +++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ ，所以na a a n +++ 21≥nn a a a 21．例24 对任意实数,,b a 有)(212b ab a e e e+≤+)80](12[P ．证明 设xe xf =)(，则),(,0)(''+∞-∞∈>=x e x f x，所以)(x f 为),(+∞-∞上凸函数．从而对b x a x ==21,有2)()()2(b f a f b a f +≤+． 即)(212b ab a e e e+≤+． 5 利用几个著名的不等式来证明不等式5.1 均值不等式)133](4[P定理 1 设n a a a ,,,21 是n 个正数，则)()()()(n Q n A n G n H ≤≤≤称为均值不等式，其中,111)(21na a a nn H +++=,)(21n n a a a n G =,)(21na a a n A n+++=na a a n Q n22221)(+++=分别称为n a a a ,,,21 的调和平均值，几何平均值，算术平均值，均方根平均值．例25 已知,10<<a ,02=+y x 求证812log )(log +≤+a yx a a a ． 证明 由,10<<a ,0,0>>yxa a 有y x y x y x a a a a a +=⋅≥+22，从而得22log )2(log )(log yx a a a a y x a y x a ++=≤++， 故现在只需证812≤+y x 或 41≤+y x 即可． 而4141)21(22≤+--=-=+x x x y x (当21=x 时取等号)，所以812log )(log +≤+a yx a a a ．5.2 Cauchy 不等式 定理2)135](4[P 设),,2,1(,n i R b a i i =∈，则∑∑∑===≥⋅n i ni i i ni ii b a ba 121122,)(当且仅当nn a b a b a b === 2211时等号成立. 例26 证明三角不等式 2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ≤2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i a ＋2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i b )33](12[P ．证明 因为∑=+ni i ib a12)(＝∑=+ni i i i a b a 1)(＋∑=+ni i i i b b a 1)(根据Cauchy 不等式，可得∑=+ni i i ia b a1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i n i i i a b a ． （1）∑=+ni i i i b b a 1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i ni i ib b a ． （2） 把（1）（2）两个式子相加，再除以2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ，即得原式成立．5.3 Schwarz 不等式Cauchy 不等式的积分形式称为Schwarz 不等式． 定理3)271](10[P )(),(x g x f 在[]b a ,上可积，则⎰⎰⎰≤b ababadx x g dx x f dx x g x f .)()())()((222若)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，其中等号当且仅当存在常数βα,，使得)()(x g x f βα≡时成立(βα,不同时为零)．例27 已知)(x f 在[]b a ,上连续，,1)(=⎰badx x f k 为任意实数，求证2)cos )((⎰bakxdx x f 1)sin )((2≤+⎰b akxdx x f )272](10[P ．证明 上式左端应用Schwarz 不等式得2)cos )((⎰bakxdx x f 2)cos )(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰badx kx x f x f⎰⎰⋅≤babakxdx x f dx x f 2cos )()(⎰=bakxdx x f 2cos )(． (1)同理2)sin )((⎰bakxdx x f ⎰≤bakxdx x f 2sin )(． (2)由(1)+(2)即得原不等式成立． 5.4 利用W.H.Young 不等式 定理4)288](10[P 设)(x f 单调递增，在),0[+∞上连续，,0)0(=f )(,0,1x fb a ->表示)(x f 的反函数，则⎰⎰-+≤bady y f dx x f ab 010,)()(其中等号当且仅当b a f =)(时成立．例28 设,0,>b a ,1>p ,111=+qp 试证q b p a ab q p +≤)290](10[P ．证明 因为,1>p 所以1)(-=p xx f 单调递增且连续 (当0≥x 时)，1111)(---==q p y yy f )111(-=-q p ． 应用W.H.Young 不等式有 qb p a dy y f dx x f ab qp ba+=+≤⎰⎰-01)()(．。
概率方法在不等式证明中的若干应用
本科毕业论文题目：概率方法在不等式证明中的若干应用学生：学号：学院：数学与计算科科学学院专业：数学与应用数学入学时间： 2009 年 09 月指导教师：职称：完成日期： 2013 年 4 月 15诚信承诺我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《概率方法在不等式证明中的若干应用》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。
承诺人（签名）：2013 年 4 月 15 日概率方法在不等式证明中的若干应用摘要:概率论是数学的重要分支之一。
利用概率方法研究解决非概率问题，是概率论的一个重要研究方向。
本文通过建立适当的概率模型将一些数学不等式问题转化成为了概率问题，利用概率论中概率的加法公式、方差公式、Jensen不等式等相关理论知识，证明了一些代数、三角函数、积分等数学不等式。
利用概率方法证明数学不等式，不但简单巧妙而且易于理解，体现了不同学科之间的交叉渗透，更是体现了概率论的广泛应用性。
关键词：概率方法；概率模型；不等式Probability Method in inequality proof of some applicationAbstract: Probability theory is one of the important branch of mathematics. Using the probability method to solve the probability problem, is one of the important research direction of probability theory. This article through the establishment of the appropriate probability model to some mathematical inequality problem into the problem of probability, and the probability formula of probability addition, the variance in the formula, the Jensen inequality related theory knowledge, proved that some algebraic, trigonometric functions and integral inequality. Mathematical inequality is proved using probability method, not only ingeniously simple and easy to understand, embodies the cross-fertilization between different disciplines, but also embodies the probability theory is widely applied.Key words:probability method;probability model;ineualities目录1引言 (3)2利用概率的加法公式 (3)3 利用方差公式 (5)4利用J en se n不等式 (8)小结 (10)参考文献 (11)1.引言概率方法可以解决数学中的其他非概率问题，它在级数求和、求积分、求极限、组合恒等式证明等问题中效果显著（参见文献[1][2]）。
概率模型与Cauchy-Schwarz不等式
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率模型去解 决一些 表面看 来并 不属于概率 论范 围的问题 的解题 方法叫 概率模型 法 关 键是建 立一个适 当的概率 模型 假如
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不等式证明的方法及应用
不等式证明的方法及应用不等式是数学中最重要的一种关系，其中证明不等式更是数学学科中的基础问题。
不等式证明的研究领域十分广泛，包括基础的不等式证明、几何不等式证明、代数不等式证明等多个方面。
本文将简要介绍不等式证明的方法及其应用。
一、基础技巧不等式证明最根本的思路是化式子不等式为我们熟知的公式或者形式。
这里介绍几个基本的技巧。
1.相加相等对于不等式$a_1+b_1\geqslant c_1$ 和$a_2+b_2\geqslant c_2$ ，通常可以将它们相加：$$ a_1+a_2+b_1+b_2\geqslant c_1+c_2 $$2.分组求和对于不等式$a_1+a_2+\dots+a_n\geqslant b_1+b_2+\dots+b_n$ ，如果不易处理，可以将所有的项分为两组，再相加：$$ (a_1+b_1)+(a_2+b_2)+\dots+(a_k+b_k)\geqslant(b_{k+1}-a_{k+1})+\dots+(b_n-a_n) $$得到：$$ a_1+a_2+\dots+a_k+b_{k+1}+\dots+b_n\geqslantb_1+b_2+\dots+b_k+a_{k+1}+\dots+a_n $$3.均值不等式对于正数 $a_1,a_2,\dots,a_n$ ，有$$ \frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\geqslant\sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n} $$特别地，当$n=2$时，称为算术平均数和几何平均数的不等式：$$ \frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab} $$4.平方差对于正实数 $a_1,a_2,\dots,a_n$ ，有$$ \frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n}\geqslant\left(\frac{a_1+a _2+\cdots+a_n}{n}\right)^2 $$5.约去当 $a_1\geqslant b_1$ 且 $a_2\geqslant b_2$ 时，有$$ \frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}\geqslant\frac{a_1+a_2}{b_1 +b_2} $$二、复杂技巧除了上述基本技巧之外，还有一些较为高级的技巧，需更深入学习才能掌握。
等式或不等式的概率方法证明
等式或不等式的概率方法证明
概率方法证明（probabilistic proof）是一种特殊类型的数学证明，主要用来证明等式或不等式的结果。
这种方法有利于证明原本复杂的问题，尤其是隐藏在许多条件之下的问题。
这种方法是将证明困难的问题转化为概率模型来描述，然后用分析概率模型来证明这一问题，确定某一条件下该问题是成立的。
概率方法证明由统计学家和数学家Thomas Bayes发明，其工作与现代概率论有莫大关系，也是数理逻辑学和数学基础理论的重要组成部分。
应用于等式或不等式的证明，概率方法就是通过对相关概率模型的分析，确定某种条件下结果的可能性，又因此证明了结果的真实性。
首先，概率方法证明是与广义的概率论联系在一起的，概率论是衡量不确定性的一种科学办法，不涉及任何物理现象。
然而，实际问题往往存在不确定性，有很多不可预见的因素，这种不确定性就需要采用概率方法来弥补因素不可预测带来的语言困难。
其次，在证明等式或不等式时，我们需要从一系列条件下证明结果，同时需要考虑每个条件下结果的可能性，而概率方法就可以用来计算这一可能性，如果可能性较低则可以认定结果不存在，反之可以认定结果存在，所以，用概率方法证明等式或不等式的任务就容易许多。
最后，概率方法存在一定的内在风险，比如误报或false positive，这种事件都是难以避免的，因为概率方法在描述某一物理现象时，往往只能给出有限的结果，而这种结果不一定可以帮助我们得出精确的结论，从而可能会发生失误。
总的来说，概率方法证明等式或不等式的结果是一种有用的工具，可以在复杂的条件下证明结果，只要谨慎使用，可以得到准确的结果。
但同时也要防止误报的出现，以避免影响结论的正确性。
用概率方法证明不等式
用概率方法证明不等式作者：阳州彭文宇谢思彭莉莉
来源：《新一代》2020年第10期
摘要：構造适当的概率模型，利用概率论的基本性质、均值、方差、函数的凹凸性等来证明不等式。
关键词：不等式;概率模型;期望;方差;凹凸性
一直以来，不等式的证明题型是各类数学考试中的高频考点，由于不等式的证明具有一定的复杂性与灵活性，对一些中高考生来说，一些复杂的不等式证明题目会让他们头疼，难以提起解答的兴趣，因此寻求一种新的证明不等式的方法已经迫在眉睫。
我们通过查阅相关资料并对用概率的方法来证明不等式的某些题目加以分析，发现用到概率论的方法主要涉及概率的性质、期望、方差等内容。
用概率论的方法来证明不等式可以先根据不等式的结构来构造相应的概率模型，利用概率论的相关性质、定理来证明，用这种方法可以使得不等式的证明简单化，减少解题的难度，有利于提升学生的学习兴趣。
参考文献：
[1]杨建奇，胡学平，《概率论与数理统计》，上海交通大学出版社，2015.
[2]李慧琼，陈振龙.不等式证明中的概率方法研究[J].长江大学学报（自然科学版）理工卷，2008（01）：173-176.。
妙用概率方法证明不等式
妙用概率方法证明不等式作者：张为民来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2008年第11期湖南师范大学数学与计算机科学学院 410081摘要：某些不等式运用常规数学方法进行证明比较困难，但运用概率方法进行证明则较为简单. 如通过构造随机事件的概率、古典概型、离散型随机变量的概率分布，并运用概率加法公式、数学期望、方差等概率知识对某些不等式加以证明.关键词：概率思想; 不等式; 构造法不等式的证明方法灵活多样，常规方法有: 比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法、数学归纳法等. 某些不等式用这些常规方法证明很困难，本文介绍一种证明不等式的新方法——概率方法，旨在拓宽解题思路、提高创新思维能力、追求最简捷的解决问题的方法. 下面举例说明如何利用概率论中的概念、定理、性质、结论等来证明不等式.[⇩]类比联想，概率合情概率的取值范围和概率加法公式是概率论中最基础的知识，它们在证明某些不等式时发挥着不同寻常的作用，使得证明思路自然，运算简单，且不需为这些不等式该如何变形而冥思苦想，绞尽脑汁.例1 已知0≤a≤1，0≤b≤1，0≤c≤1. 求证：ab+bc+ca≤a+b+c+abc≤1+ab+bc+ca.证明由a，b，c的取值范围可联想到随机事件概率的取值范围，且发现待证不等式符合概率加法公式的基本形式.设随机事件A，B，C相互独立，且P（A）=a，P（B）=b，P（C）=c. 由概率的加法公式有：P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）－P（AB）－P（BC）－P（CA）＋P （ABC）.因为P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）·P（C），P（CA）=P（C）P（A），P （ABC）=P（A）·P（B）P（C），所以P（A＋B＋C）＝a＋b＋c－ab－bc－ca＋abc.又因为0≤P（A＋B＋C）≤1，所以0≤a+b+c－ab－bc－ca+abc≤1，即ab+bc+ca≤a+b+c+abc≤1+ab+bc+ca.点评利用概率加法公式证明不等式的关键在于合理地构造随机事件发生的概率，本题中构造了P（A）=a， P（B）=b，P（C）=c.例2 证明：若0≤ai≤1（i=1，2，3），则a1a2a3≥a1+a2+a3－2.证明设事件A1，A2，A3相互独立，且P（A1）=a1，P（A2）=a2，P（A3）=a3.因为P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）－P（A1A2）≤1，所以P（A1A2）≥P（A1）+P（A2）－1.又因为P（A1A2+A3）=P（A1A2）+P（A3）－P（A1A2A3）≤1，所以P（A1A2A3）≥P（A1A2）+P（A3）－1，故P（A1A2A3）≥P（A1）+P（A2）+P（A3）－2.由于P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3），因此a1a2a3≥a1+a2+a3－2.点评类似可证明命题：若0≤ai≤1（i=1，2，…，n），则a1a2…an≥a1+a2+…+an－（n－1）.[⇩]式子生动，模型精彩含有排列数、组合数的式子很容易让人联想到摸彩票、掷骰子之类的随机试验，这时构造一个概率模型的思路就显得自然而然，水到渠成.例3 已知：k，m，n是正整数，且1证明从对称的角度把待证不等式转化为设有k个不同的球，每个球都能等可能地被放到N个不同的盒子中的任意一个里面（k≤N）. 记事件A为“恰好每个球单独放在一个盒子里”，则事件A发生的概率PN（A）=.当N=m时， Pm（A）=；当N=n时，Pn（A）=.显然，当k>1时，盒子的数量越多（即N越大），每个球单独放在一个盒子里的可能性（即概率）越大.即当1点评（1）当k=1时，Pm（A）=Pn（A）=1.（2）通过构造概率模型，可以将抽象的、枯燥的数学问题转化为具体的、有趣的生活常识，将无具体含义的实数运算转化为具有概率背景的概率运算.[⇩]观察先行，方差助力一提到随机变量的方差，脑海里立刻能涌现出它的最基本特征，即方差非负，这孕育着一个重要的不等式. 根据随机变量方差的公式Dξ=E（ξ－Eξ）2=Eξ2－（Eξ）2及Dξ≥0可得（Eξ）2≤Eξ2，当且仅当ξ=Eξ，即ξ的取值必须且只须为某个常数时等号成立. 利用（Eξ）2≤Eξ2证明不等式的关键在于构造恰当的离散型随机变量的概率分布.例4 已知≤x≤5. 求证：2++证明设随机变量ξ的概率分布为：P（ξ=）=，P（ξ=）=，P（ξ=）=. 则Eξ2=（x+1）×+（2x－3）×+（15－3x）×=，Eξ=×+×+×.由（Eξ）2≤Eξ2得，×+×+×≤≤，即2++≤2.因为==无实数解，即ξ的取值不能为常数，所以上式等号不成立. 故2++点评上述解法通过计算Eξ2去掉了根号，再利用（Eξ）2≤Eξ2使得复杂的无理不等式的证明问题得以简捷解决.例5 已知：a1，a2，a3＞0. 求证：++≥.证明设随机变量ξ的概率分布为Pξ==，Pξ==，Pξ==, 其中s=a1+a2+a3，则Eξ=.Eξ2=++=+++.由（Eξ）2≤Eξ2并整理得++≥.点评类似可证明该结论的推广形式：如果ai＞0，i=1，2，…，n，n≥2，s=ai，那么≥.[⇩]分析结论，期望恰当离散型随机变量的数学期望是该随机变量取值的平均数，这一基本特征使得有关数学期望的一些性质变得形象起来，很容易被接受，它用于证明不等式时也很方便.例6 已知：向量ai的模ai=1（i=1，2）. 求证：存在εi=±1使得ε1a1+ε2a2≤.证明因为Eξ是ξ取值的平均数，所以必然存在ξ的某个取值使得ξ≤Eξ，也存在ξ的某个取值使得ξ≥Eξ.设εi可独立地依次从集合｛-1，1｝中取值，且P（εi=-1）=P（εi=1）=，则E（εi）=－1×+1×=0，E（ε）=E（ε）=1，E（ε1ε2）=E（ε1）E（ε2）=0.再令ξ=ε1a1+ε2a22，则ξ=2ε1ε2a1a2+εa+εa. 因此Eξ=2a1a2E（ε1ε2）+aE（ε）+aE（ε）=0+1+1=2.所以，存在ξ的某个取值使得ξ≤Eξ=2，即存在εi=±1使得ε1a1+ε2a2≤.点评类似可证明该命题的推广形式：若向量ai的模ai=1（i=1，2，…，n），则存在εi=±1，使得ε1a1+ε2a2+…+εnan≤.例7 证明：若a1，a2，…，an为n个正数，则≤≤≤.证明设随机变量ξ的概率分布为P（ξ=ai）=（i=1，2，…，n）.由（Eξ）2≤Eξ2得≤. 又因为E（lnξ）≤ln（Eξ），所以lnai≤ln，即≤.再令随机变量η的概率分布为Pη=述，≤≤≤.点评（1）因为函数y=lnx是上凸函数，所以其函数值的平均数小于或等于自变量平均数的函数值. 将数学期望理解成随机变量取值的平均数，便可得E（lnξ）≤ln（Eξ），当且仅当ξ的取值为（0，+∞）中的某个常数时等号成立.（2）类似可证明该命题的推广形式：如果ai＞0， pi∈［0，1］， i=1，2，…，n，pi=1，那么≤a≤piai≤.从以上七道例题可见，我们可以根据已知条件和待证不等式的特征，巧妙构造随机事件、古典概型或离散型随机变量的概率分布，并且恰当选择概率的取值范围、概率加法公式、（Eξ）2≤Eξ2、E（lnξ）≤ln（Eξ）等概率知识来证明不等式. 需要特别指出，除本文涉及的以外，还有很多概率知识可用于证明不等式，例如：若f（x）是下凸函数，则E（f（ξ））≥f （Eξ），2EξEη≤Eξ2+Eη2（ξ，η独立），（EξEη）2≤Eξ2Eη2（ξ，η独立）等.。
巧用数列方法解决概率问题——2023年新高考1卷第21题的一点思考
巧用数列方法解决概率问题——2023年新高考1卷第21题的一点思考引言：2023年高考已落下帷幕，本轮考试中继续在反套路，反机械刷题上下功夫，充分落实中国高考评价体系中“四层四翼”的考查要求，合理控制考题的难度，进一步科学引导教学.今年的高考题中又再一次继2019年后利用数列的递推公式公式解决概率问题，此类题型在新教材中也有体现，也进一步体现教考衔接，引导广大师生要在高三复习备考中要回归课本，回归基本方法，注意章节知识之间的灵活应用。
关键词：概率递推数列一、2023年高考真题再现例：甲、乙两人投篮，每次由其中一位投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求.分析:研究每一次（第2次起）是谁投篮是需要知道上一次是谁投篮的，因为甲乙投篮的命中率不一样，会关系到下一轮是谁投篮，所以需要弄清楚它们的关系，利用树状图就非常清晰。
解：（1）略（2）.求第投篮是甲是要弄清楚第次投篮的是谁，其可以分为甲和乙，设表示第次投篮是甲的概率.第次投篮是甲的概率来自两个方面，若果前一次是甲的话（概率为），那么第次投篮是甲的概率为；若果前一次是乙的话（概率为），那么第次投篮是甲的概率为，故第次投篮是甲的概率可表示为，进而又可以根据数列的知识化为，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以第次投篮的人是甲的概率.用数列的递推公式求概率问题是一个比较抽象的问题，需要学生较强逻辑推理和归纳概括的能力，在概率题中特别需要让学生体会表格和树状图的作用，它常常能帮助我们理清它们的关系，在高三复习备考中要关注培养学生的这些能力.第（3）问给出的公式在考场短时间上很多学生不能轻易理解其中含义，因而也就无法知道这个公式计算的就是期望，其实我们还是可以根据自己对均值的理解来帮助理解这个公式的意义，采用特殊到一般的思路获得两点分布中的均值等于每个表示成功的随机变量与相应概率之积的和来理解.如：设第次甲投篮的概率为P①当前1次中甲投篮的次数的分布列为:②当前2次中甲投篮的次数的分布列为:P③当前3次中甲投篮的次数的分布列为:P由不完全归纳可以得出前次投篮中甲投篮次数的均.这样也能帮助我们进一步理解问题中给的公式就是计算期望的.所以.事实上给出的公式还是可以这样来理解的：前次中甲投篮次数的均值可以理解为前边的n次中每次投篮贡献的均值之和，而第二问求出的概率刚好又是每次投篮的概率，所以前边n次投篮中每次投篮在均值中的贡献可用下面这个表格来表示:.当然更进一步的问题也可以改为前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮成功的次数为，求.这样就会对甲每次投篮成功的概率有关系了.二、探寻2023年高考概率题的“源”其实，在新教材中二项分布和超几何分布都对均值有了明确的阐述，也对其结果进行了证明.而今年的高考题第21题无论是方法还是过程都可以参考二项分布中均值的方法进行，都是采用归纳推理的思想。
巧用概率模型解决代数问题
巧用概率模型解决代数问题摘要】概率论是数学研究的一个重要分支，能够通过其独特的定义、方法，运用一定的模型解决其他数学分支的难题.代数是学生数学学习中的重要内容，由于代数问题的抽象性，常常使学生对代数的学习产生一种畏难心理，阻碍学生进一步的数学学习.基于此，文章通过将概率模型与代数问题相结合，通过构造一定的概率模型来解决代数难题，使学生能够将抽象的代数问题运用直观的概率模型加以表现、解决.本文试图从概率模型在数列问题、代数恒等式问题、代数不等式问题以及排列组合中的应用来介绍如何通过构建概率模型直观地解决代数问题.【关键词】概率模型；代数问题；解决【基金工程】区级科研工程，工程名称：基于校企合作模式的嵌入式实训平台研究与建设，工程编号：KY2021LX101；院级教改工程，工程名称：面向应用型本科的?线性代数?的教学研究.一、概率模型在数列问题中的应用数列求和问题是学生在代数学习中经常遇到的问题，也是常常困扰他们的难题.有些学生通过公式记忆来解决这类问题，导致遇到新题型时往往不知变通.但如果仔细研究不难发现，有些数列问题可以通过构建一定的概率模型加以解决.例1数列的级数求和：求证∑∞n=1n〔n+1〕！=1.解题思路：构造与之相应的概率模型：假设这是一个概率实验，在一个重复、独立的实验条件下，假设其每次只可能有两种实验结果，即A发生和A不发生.nn+1为第n次试验中A可能发生的概率，在实验中假设A发生那么整个试验成功，那么题目就转换成为计算试验成功率的概率问题，进而用概率方法和原那么对问题求解.对上述试验的分析得知：〔1〕假设在第一次试验中A就发生，那么其发生的概率可能性为12；〔2〕假设在第二次试验中A发生，第一次试验中A不发生，那么事件发生的概率可能性为1-12×23=23！；〔3〕假设在第三次试验中A发生，第一次实验中A不发生、第二次试验中A也不发生，那么该事件的概率可能性为1-121-23×34=34！；如果这个实验在这种情况下一直循环进行下去，那么事件成功的可能性，也即成功的概率可以表示为：12！+23！+34！+…+n〔n+1〕！+…=∑∞n=1n〔n+1〕！.由于每一个试验并不总是成功，因此，我们将在每一次试验中失败的概率依次表示为1-12，1-23，…，1-nn+1，….在此根底上，我们将每一次试验都失败的概率表示为limn→∞1-121-23…1-nn+1=limn→∞1n！=0.通过这个模型可以得出结论，试验失败的概率为0，据此我们可以得出试验成功的概率为1-0=1，用公式模型表示出来就是∑∞n=1n〔n+1〕！=1.二、概率模型在代数恒等式中的应用代数恒等式的证明方法有许许多多，诸如几何法、代数法、定理证明法等等.但随着学生数学学习难度的加大，越来越多的代数恒等式的求证问题用传统常规的运算方法很难求解，无法快速有效地切中问题的命脉，找出问题的核心所在进而快速解决该数学难题；另一方面，随着学生数学学习内容的不断扩大与加深，尤其是在对概率论不断学习的根底上，如果能巧妙地运用所学到的概率论知识，在求解代数恒等式难题时构建相应的概率模型，找出问题的核心要点，就能够巧妙迅速地解决数学难题，进而进一步激发数学学习的热情.例2求证以下代数恒等式成立：∑nr=0Crn+r[〔1-x〕n+1xr+xn+1〔1-x〕r]=1.解题思路：将该模型看作是一个现实生活中实际的概率应用模型.假设A和B两个队伍共同参加一项体育竞赛，在整个竞赛中，谁先赢得n+1场胜利谁所在的队伍就将在整场比赛中优先胜出，在整个比赛中不存在平局的现象.由此，我们设x是A队在每一次竞赛中胜出B队的概率可能性，由此可以推出，1-x是B队在每一次竞赛中胜出A队的概率可能性.在n+1+r 场比赛中〔r=1，2，3，4，…，n〕，A队要想最后获得冠军，必须要在最后一轮竞赛中战胜B队，在此前提下，还必须要在前n+r场比赛中取得n场胜利.由此，我们可以将A队在n+1+r 场比赛中获胜的可能性用概率公式表示出来，即P〔A〕=∑nr=0Cnn+rxn+1〔1-x〕r.依据A队胜出的概率模型的构建，我们可以用同样的方法构建B队在n+1+r场比赛中胜出可能性的概率模型P〔B〕=∑nr=0Cnn+r〔1-x〕n+1xr.在此根底上，我们可以很清楚地看到P〔A〕+P〔B〕=1，很容易就将整个代数恒等式求证出来.三、概率模型在证明代数不等式中的应用不等式的证明求解也是代数学习中常常遇到的问题，有些不等式常常由于其复杂的变量构成及数量关系，很难用之前所学的代数、几何、定理求解法求解，而且在代数不等式问题中多是涉及一些抽象的变量，进一步加深了学生的学习理解难度.为此，在不等式证明中引入概率模型的求解方法，将问题不等式中的假设干变量设置成应用模型或试验中的假设干相互独立存在的事件的概率，通过一定的假设，将这些事件中的和事件看作概率论中样本空间的一个子集，使之成为一个整体，这样便能够使事件概率小于或等于1，有利于在实际操作中得到題目要求的不等式.例3证明以下不等式成立：a2bc+ab2c+abc2+1≤ab+ac+bc+a2b2c2，其中a≥1，b≥1，c≥1.解题思路：假设想用概率模型求解，首先，要将不等式的总和小于或等于1，为此，先将不等式进行变形，由观察可得，不等式两端同时除以a2b2c2，得到如下不等式：1ab+1ac+1bc+1a2b2c2≤1abc2+1ab2c+1a2bc+1，移项得1ab+1ac+1bc-1abc2-1a2bc-1ab2c+1a2b2c2≤1.〔1〕根据整理后的不等式构造相应求解的概率模型如下：假设共有三个口袋，ab球在1号口袋中，ac球在2号口袋中，bc球在3号口袋中，其中在三个袋子中都会有一枚红球.现在要求试验者从每一个袋子中各取出一枚球.为方便起见，我们记A={从第i号袋中取出红球}，i=1，2，3，那么用概率中的事件表示模型可以将式子列为P〔A1〕=1ab，P〔A2〕=1ac，P〔A3〕=1bc.A1，A2，A3在事件中是相互独立的事件，进一步的将式子变为：P〔A1∪A2∪A3〕=P〔A1〕+P〔A2〕+P〔A3〕-P〔A1A2〕-P〔A1A3〕-P〔A2A3〕+P〔A1A2A3〕=1ab+1bc+1ac-1a2bc-1abc2-1ab2c+1a2b2c2.又由题设可知P〔A1∪A2∪A3〕≤1.由此〔1〕式成立，〔1〕式是原题中不等式的简单移项变形，因此，可得原不等式成立.四、概率模型在排列组合中的应用在概率问题的求解中假设想要求出题目要求的事件概率A，首先，要知道根本领件总数n以及事件A在总事件中发生的频數m，这其中的变量m，n我们可以将其看作排列组合中的数量关系.反之，在这种思维模式导向下，我们在解排列组合应用题时，也可以将所求的应用题目转化为相应的概率模型进行求解，通过这种转化，可以将之前抽象的代数数量关系转化成为直观的概率模型，便于学生的学习理解.我们在将排列组合转化为概率模型时，首先，要通过一定的转化将所求的排列组合问题归结为某一类等可能事件组成的概率模型，事件A 出现的频数为m，P〔A〕是事件A发生的概率，n表示事件的总数，那么据此就可以求出m=nP〔A〕是所要求的排列组合的解.例4有六名学生在站路队，由于特殊原因这六名学生中有一名学生的位置既不能在排头、也不能在排尾，问在这样的情况下，共有多少种可能的站法？解题思路：将这个排列组合问题转化成概率问题求解，就可以将这六名学生的站路队现象看成一个随机试验，n=A66=720，表示该试验所包含的根本领件的总数.记A={既不能站在排头也不能站在排尾的学生}，B={站在排头的某一名学生}，C={站在排尾的某一名学生}，联系实际情况可知6名学生站在排头排尾的情况是等可能现象，由此可以得出式子：P〔B〕=P〔C〕=16，P〔A〕=1-[P〔B〕+P〔C〕]=1-16+16=23，由此式子可以进一步得到m=nP〔A〕=720×23=480.例5证明Ckn+1=Ckn+Ck-1n.解题思路：首先，要将排列组合的模型转化成为概率小于或等于1的一个根本领件，为此，首先要对原式进行相应的变形：CknCkn+1+Ck-1nCkn+1=1.接下来就要构造相应的随机试验：假设n+1是一批待出厂的产品的总量，假设工厂的工人不小心将一个废品混入其中，现要求试验者随机从这批产品中抽取k个产品出来，求试验者抽取的产品中废品的概率是多少？抽取k个产品中没有抽取到废品的概率又是多少？证明：为了方便起见，我们设事件A1={抽取的k件产品中没有废品}与A2={抽取的k件产品中有废品}为两个对立事件.P〔A1〕=CknCkn+1，P〔A2〕=P〔A1〕=C11Ck-1nCkn+1.本文通过将概率模型应用在数列问题、代数恒等式问题、代数不等式问题以及排列组合等问题的解题过程中，可以看出，在解决数学学习中的代数问题时，我们可以用构造概率模型的方法创新解题思路，将抽象化的代数数学模型转化成为相应的更为直观的概率解题模型，这种方法既需要不依赖相应的代数解题公式，又能够在一定程度上开拓、创新学生的解题思维，使学生的数学学习不只是枯燥的记忆公式，以及遵循传统的解题思路和解题方法.由此可以看出，概率模型与代数问题的完美融合为解决复杂、抽象的代数问题提供了一种解题的新思路和解题方法.这种创新的解题思路和解题方法能够不断地激发学生学习和探索数学奥秘的热情，使学生逐渐养成一种自主学习的好习惯.【参考文献】【1】刘婉茹，徐信之.概率与统计[M].北京：高等教育出版社，1989.【2】刘云，王阳.巧用概率模型解决代数问题[J].和田师范专科学校学报，2021〔02〕：215-216.【3】黄旭玲.构造概率模型，巧妙解决数学问题[J].玉林师范学院学报，2021〔03〕：9-13.【4】刘维先，孙莹.建立概率模型解代数问题[J].南阳师范学院学报，2021〔03〕：114-116.【5】侯凤丹.线性代数里的几个概率问题[D].郑州：郑州大学，2021.。
概率不等式的思路与应用
概率不等式的思路与应用概率不等式是概率论中的重要概念，它可以帮助我们更好地理解随机事件发生的规律性。
在实际问题中，概率不等式也有着广泛的应用，能够帮助我们进行风险评估、决策制定等方面的工作。
本文将从概率不等式的基本概念入手，探讨其思路与应用。
一、概率不等式的基本概念概率不等式是指在概率论中，用来描述随机变量取值与其期望值之间关系的一类不等式。
常见的概率不等式包括马尔可夫不等式、切比雪夫不等式、杰式不等式等。
这些不等式在不同情况下有着不同的应用，但它们的基本思想是类似的，即通过概率的性质来推断随机变量的取值范围。
以马尔可夫不等式为例，对于一个非负随机变量X和任意大于0的实数a，马尔可夫不等式可以表示为：P(X ≥ a) ≤ E(X) / a这个不等式告诉我们，随机变量X取值大于等于a的概率不会超过其期望值与a的比值。
通过这样的不等式，我们可以对随机变量的取值范围有一个初步的了解，从而进行进一步的分析和推断。
二、概率不等式的思路概率不等式的思路主要是通过概率的性质和随机变量的特点，推导出随机变量取值的一些概率上界或下界。
在实际问题中，我们可以利用这些不等式来评估风险、制定决策等。
例如，在金融领域中，我们可以利用概率不等式来评估投资的风险，制定合理的投资策略；在通信领域中，我们可以利用概率不等式来评估信道的容量，设计有效的通信系统等。
概率不等式的思路还可以帮助我们更好地理解随机事件的规律性。
通过对随机变量取值范围的估计，我们可以更好地把握随机事件发生的可能性，从而做出更为准确的预测和判断。
三、概率不等式的应用概率不等式在实际问题中有着广泛的应用。
其中，切比雪夫不等式是一种常用的概率不等式，它可以帮助我们评估随机变量与其期望值之间的偏离程度。
切比雪夫不等式可以表示为：P(|X - E(X)| ≥ ε) ≤ Var(X) / ε^2这个不等式告诉我们，随机变量X与其期望值之间的偏离程度不会超过方差与ε的平方的比值。
概率不等式的思路与应用
概率不等式的思路与应用一、引言概率不等式是概率论中的重要内容，它提供了描述随机变量波动程度的上下界，对于分析随机事件发生的概率以及估计误差具有重要意义。
本文将从概率不等式的基本概念入手，结合实际问题，探讨概率不等式的思路和应用。
二、基本概念概率不等式是指在概率论中描述随机变量取值偏离其均值的程度的不等式。
常见的概率不等式包括切比雪夫不等式、马尔可夫不等式、杰拉西姆科不等式等。
这些不等式可以帮助我们估计随机变量偏离其均值的程度，为分析随机事件提供了重要工具。
三、切比雪夫不等式切比雪夫不等式是概率论中最为常用的不等式之一，它描述了随机变量与其均值之间的偏离程度。
假设X是一个随机变量，E(X)表示X 的数学期望，则对于任意大于0的ε，有P(|X-E(X)|>=ε) <= Var(X)/ε^2其中Var(X)表示X的方差。
这个不等式告诉我们，随机变量偏离其均值的程度受到方差的限制，方差越大，则随机变量偏离其均值的可能性越大。
四、马尔可夫不等式马尔可夫不等式是另一个重要的概率不等式，它描述了非负随机变量取值超过某一正数的概率上界。
对于非负随机变量X和任意大于0的ε，有P(X>=ε) <= E(X)/ε这个不等式告诉我们，非负随机变量取值超过一个正数ε的概率受到数学期望的限制，数学期望越大，则随机变量取较大值的可能性越大。
五、杰拉西姆科不等式杰拉西姆科不等式是用来估计随机变量取较大值概率的一个重要工具。
对于非负随机变量X和任意λ>0，有P(X>=λ) <= exp(-λE(X))这个不等式表明了随机变量取较大值的概率受到数学期望的指数约束，数学期望越大，则随机变量取较大值的可能性越小。
六、应用范例1. 金融风险管理中的应用在金融领域中，概率不等式常常被用来估计投资组合收益的波动情况。
通过切比雪夫不等式可以得到投资组合收益偏离其均值的上下界，帮助投资者评估投资风险。
2. 数据科学中的应用在数据科学中，概率不等式可以应用于异常检测和数据清洗。
概率论在等式与不等式中的应用
概率论在等式与不等式中的应用摘要：概率论的思想已广泛应用于其它学科，用概率论中的方法解决其它学科中的一些问题是一个非常有趣的课题．本文利用概率论中方法证明恒等式和不等式，从中可看出它们之间的联系以及应用概率论方法解题的美妙之处．应用的基本思路是：根据所要解决的问题，首先构造一个适当的概率模型，然后应用概率中的已知结论解决所讨论的问题．如何构造适当的概率模型是解决问题的难点所在，也是关键所在。
关键词：随机变量；数学期望；方差；恒等式；不等式The applications of probability theory in the proofs of equalities and inequalitiesAbstract: The thought of probability theory has already been applied to many other subjects extensively. It is very interesting to solve some problems in other subjects by using probability theory. In th is paper, some methods in probability theory are used to prove several equalities and inequalities in Mathematics. By this, we can see the close relationship between them. It is also very valid to solve problems by using probability theory. Our method is as follows: according to the problem, we first construct their proper probability models, then use some known conclusions in probability theory to solve them. How to construct their probability models is the difficult point as well as the key point.Key words: random variable; mathematical expectation; variance; equality; inequality概率论是从数量上研究随机现象的规律性的学科。
利用“期望与方差”巧证不等式（文章）
利用“期望与方差”巧证不等式“随机变量的概率分布”是现行高中数学教材中的选修内容。
本文将这部分内容与传统不等式进行有机整合，互为所用，拓展其应用范围。
利用“期望与方差”知识来证明不等式，旨在为不等式的证明开辟一条新的途径，并希望能够对大家学习“期望与方差”有所帮助。
1.利用02≥s 证明不等式样本n x x x ,,,21⋯的方差为212)(1x x n s n i i ∑=-=，其中n x x x x n +⋯++=21，利用02≥s 可以证明一类不等式。
【例1】设n a a a ⋯,,21为n个正实数，且满足121=⋯++n a a a ，求证：na a a n 122221≥⋯++。
证明：视n a a a ⋯,,21为一组样本值，其平均值na a a n x n 1121=⋯++=）（，样本方差为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∙=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-∙=∑∑==n i i n i i n a n x n a n s 122122111，由02≥s 得，n a n i i 112≥∑=，从而不等式na a a n 122221≥⋯++成立。
（友情提示：另设参数；利用公式())(2233b ab a b a b a +-+=+=1以及方差不等式）2.利用）（X )(22E X E ≥证明不等式设x 是一个取有限个值的离散随机变量，它的分布列为k i p x x p ==)(，,,,2,1n k ⋯=则不等式）（X )(22EX E ≥一定成立（当且仅当)(21x E x x x n ==⋯==时等号成立）（试一试：这个不等式你会证明吗？其中的原理是什么呢？）。
利用该结论可证明一类不等式。
【例2】设,,,*R c b a ∈求证：23≥+++++b a c a c b c b a 。
证明：设随机变量x 的分布列为m c b c b m x p 2)(+==，m a c a c m x p 2)(+==，所以，m b a b a m m a c a c m m c b c b m X E 2)(2(2()(2222+∙++∙++∙+=)(2)(2a c m c b m ++++=23)21++++++=b a c a c b c b a （，显然，23)(=x E ，将以上结果代入）（X )(22E X E ≥，即得23≥+++++b a c a c b c b a ，从而，原不等式成立。
概率在证明不等式中的应用1
概率在证明不等式中的应用不等式的证明方法很多，不仅可以用高等数学的方法证明，而且也可以用初等数学的方法证明，技巧十分灵活多变，当然也有不少问题需要几种方法综合使用才能解决。
作为研究随机现象数学领域中的一个重要分支，概率论与数学各个分支之间有着十分广泛的联系，通过对不等式的探讨他们之间的联系具有十分重要的意义。
概率论与不等式融会贯通、互为所用，如何利用根据不同的数学问题建立相应的随机概率模型是概率论方法证明不等式的关键，然后运用概率、函数之间的相关性质给出问题的结果。
下面对不等式证明中的各种概率论方法进行进一步研究:1.运用概率论的性质证明不等式1.1 运用随机变量的数字特征证明其不等式定理 设X 是一只取有限个值的离散型随机变量，其分布列为 P{X=k x }=i p , k=1,2,…,n, 则 2E (X) £ E （2X ）, 当且仅当1x =2x =…=n x =E(X)时，等式成立. 证 由E （2X ）-2E (X) = D(X) = ∑()2i x E X 轾-臌≥0即得证.下面简举几例应用在数学方面,如下：题1 求证 ()()()2222226a b c b c a c a b abc +++++> ，其中,,a b c R +Î，且,,a b c 全不相等证 ()()()2222226a b c b c a c a b abc +++++>Û6b c c a a ba b c+++++> 假设随机变量X 的分布列为,,s a s b s cP X P X P X a s b s cs 轾轾轾======犏犏犏犏犏犏臌臌臌其中,s a b c =++则有，() 3.s a s b s cE X a s b s c s=++= 2222()sa sb scE X a s b s c s 轾轾轾=++犏犏犏犏犏犏臌臌臌s s s b c c a a ba b c a b c+++=++=+++3 最后由引理2E (X) £ E （2X ）即可得()()()2222226a b c b c a c a b abc +++++>. 题2 求证 32a b c b c c a a b ++ +++其中,,a b c ,为正数. 证 设随机变量X 的分布列为,,22s b c s c a sP X P X P X b c s c a s a b 轾轾轾++=====犏犏犏犏犏犏+++臌臌臌=2a b s +, 其中s a b c =++，由引理2E (X) £ E （2X ） E ()X =222s b c s c a s a b b c s c a s a b s ++++++++=32E （2X ）= 222222sb c sc a sa bb c s c as a bs骣骣骣+++琪琪琪++琪琪琪+++桫桫桫 222222sb c sc a sa b b c s c a s a bs骣骣骣+++琪琪琪++琪琪琪+++桫桫桫³94 进而32a b c b c c a a b ++ +++得证。
29. 如何用不等式解决概率问题？
29. 如何用不等式解决概率问题？29、如何用不等式解决概率问题？在数学的广阔领域中，概率问题一直是一个引人入胜且具有重要实际应用价值的部分。
而不等式作为数学中的有力工具，在解决概率问题时往往能发挥出意想不到的作用。
首先，我们来明确一下什么是概率。
概率简单来说，就是衡量某个事件发生可能性大小的数值。
其取值范围在 0 到 1 之间，0 表示事件绝对不会发生，1 则表示事件肯定会发生。
那么，不等式又是怎么和概率问题产生联系的呢？我们通过一个简单的例子来感受一下。
假设在一个抽奖活动中，一等奖的中奖概率不超过 01。
现在已知参与抽奖的总人数为 1000 人，那么可以得出，获得一等奖的人数最多不超过 100 人。
这里就用到了不等式：设获得一等奖的人数为 x，就有 x ≤ 1000 × 01，即x ≤ 100。
再来看一个稍微复杂一点的例子。
有一个袋子里装有红、蓝两种颜色的球，已知红球的数量不少于蓝球数量的两倍。
假设袋子中球的总数为 n，蓝球的数量为 x，那么红球的数量至少为 2x。
因为球的总数等于红球数量加蓝球数量，所以就有 n ＝ x ＋ y（y 表示红球数量），同时y ≥ 2x。
通过这些不等式关系，我们可以进一步分析和计算与概率相关的问题。
在解决概率问题时，运用不等式常常需要结合一些常见的概率公式和定理。
比如全概率公式、贝叶斯定理等。
以全概率公式为例，假设事件 B 可以在不同的条件 A1、A2、、An 下发生，且这些条件两两互斥且概率之和为 1，那么事件 B 发生的概率可以表示为 P(B) ＝P(A1)P(B|A1) ＋ P(A2)P(B|A2) ＋＋ P(An)P(B|An)。
在某些情况下，我们可以根据已知条件构建关于这些概率的不等式关系，从而求解问题。
另外，在实际问题中，还经常会遇到对概率的范围进行估计的情况。
这时候不等式就大显身手了。
比如，已知某种疾病在人群中的发病率在 005 到 01 之间，现在对一个 500 人的群体进行检测，我们可以通过不等式来估计患病的人数范围。
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巧用概率模型证明等式和不等式
作者：马建华， MA Jian-hua
作者单位：淮北煤炭师范学院数学系,安徽,淮北,235000
刊名：
淮北煤炭师范学院学报（自然科学版）
英文刊名：JOURNAL OF HUAIBEI COAL INDUSTRY TEACHERS COLLEGE(NATURAL SCIENCE)
年，卷(期)：2008，29(2)
被引用次数：0次
1.魏宗舒概率论与数理统计教程 1983
2.复旦大学概率论 1979
3.茆诗松.程依明概率论与数理统计教程 2004
4.盛骤.谢式千概率论与数理统计 1979
1.期刊论文刘心华构建概率模型证明等式-池州师专学报2002,16(3)
在数学等式证明中,人们很少把等式中的数字或符号形象化、具体化,给等式建立起一个形象,直观的数学模型.而许多等式运用常规方法也难以证明或根本不能证明,更说不上给等式建立起数学模型.本文从构建数学模型的基本思想出发,对某些特殊类型的等式通过构建概率模型,给出它们的一种概率证法.
2.期刊论文杨晓华利用概率方法证明恒等式-科技信息2010,""(6)
针对不同的恒等式,本文通过建立适当的概率模型,应用概率方法将其证明,起到事半功倍的效果,并且解决问题的方法及过程直观、清晰,具有直观的概率背景,易于掌握.
3.期刊论文刘军.望清凤.Liu Jun.Wang Qingfeng数学分析中一些等式的概率方法证明-三峡大学学报（自然科学版）2005,27(3)
证明数学分析中等式和极限式的方法多种多样,通过对几个具体例子的证明来说明构造概率模型证明一类等式和极限式的概率方法,这样把概率论的知识与其他数学分支,高等数学与初等数学联系起来,从而拓宽了解题思路,显示出概率方法在应用上的广泛性和优越性.
4.期刊论文斯日古楞.Seriguleng数学期望的应用-内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版)2000,29(1)
通过构造概率模型或引进随机变量,给出数学期望的简单应用.
5.期刊论文姚仲明恒等式证明的概率模型法-安庆师范学院学报(自然科学版)2003,9(4)
本文利用建立概率模型,证明几个重要的恒等式.有些恒等式用常用的分析方法证明是很不易的,但建立了概率模型后,通过求概率或求数学期望,很方便地把恒等式证明出来.
6.学位论文王笑蓉蚁群优化的理论模型及在生产调度中的应用研究2003
该文定义了蚁群算法考虑结点模式和弧模式信息索分布的解构造图,并把蚁群算法的解构造过程形象为蚂蚁在解构成元素组成的解构造图上按照分布在弧或者结点上的信息素指引进行概率性旅行的问题,并提出了蚁群算法基于解构造图的解空间参数化概率分布模型并在此模型上提出了蚁群算法的统一框架.基于解空间参数化概率分布模型,首先提出了一个以概率1收敛于最优解的解空间概率分布的迭代更新过程,然后提出了通过最小化不同分布间的交互熵距离以及蒙特卡洛采样来逼近此迭代过程的最小交互熵信息素更新规则,接着分别给出了弧模式以及结点模式信息素分布模型下的最小交互熵等式.该章最后提出了解决并行机调度问题的蚁群算法,该算法把并行机调度问题映射为无约束矩阵解构造图,并在算法的信息素更新过程中应用了无约束矩阵解构造图的局部归一化蚂蚁种子信息素更新规则,与其他几个高性能算法的仿真对比试验证明这种方法是非常有效的.把组合优化问题描述为一个多阶段序列决策问题,并对蚁群优化算法中解构造过程所对应的有限状态马尔科夫决策过程用强化学习理论的框架进行描述,同时说明了所有蚁群算法均满足强化学习理论中基于马尔科夫状态的不完全信息的广义策略迭代算法框架.提出了Flowshop问题的一个局部归一化蚂蚁种子算法ACO_NORM,一个引入停滞状态脱离机制以及信息素踪迹限制机制的ACO_STAG算法和一个基于资格迹的Ant-Q(λ)算法.提出了一种ACO-BATCH算法,用于解决有限批量流水线分批与优化调度问题.在考虑与批处理顺序相关的批处理设备准备时间和产品批在处理设备间的传输时间基础上,提出了无中间存储策略(NIS)和零等待存储策略(ZW)下流水作业工序流程的仿真模型和基于此模型的完成时间算法.一组60个仿真测试问题的求解结果说明了算法的有效性.
7.期刊论文刘维先.孙莹建立概率模型解代数问题-南阳师范学院学报2003,2(3)
通过建立概率模型,求解数列、排列组合等代数问题.
8.期刊论文邵红离散型随机变量数学期望的推广及其应用-中国科教创新导刊2008,""(14)
本文基于概率中有限离散型随机变量数学期望的理论,给出证明数学不等式的概率模型法.
9.会议论文李春兰.张丽娜一个新的组合公式及其概率模型2008
本文在传统组合公式的基础上,归纳出一个新的组合恒等式,利用函数幂级数展开式给出了证明。
并利用该 公式描述了一类有限总体无放回抽样的概率模型。
10.期刊论文刘云.王阳巧用概率模型解决代数问题-和田师范专科学校学报2008,28(2)
本文从数列求和,证明代数恒等式、证不等式、解排列组合应用题四个方面介绍如何设计概率模型,利用概率方法求解代数问题.显示概率论思想在解决某些数学问题时所具有的独特而简洁的功效.
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下载时间：2010年8月9日。