基本统计方法

基本统计方法

3.1总体和样本

知识梳理

1.总体与个体：在统计问题中，我们把研究对象的全体叫做总体，总体中的每一个成员

叫做个体.总体的情况可用数据表表示，也可用各种图表表示，有条形图、线形图、频数图、圆形（饼）图和散点图等等.

（1）总体平均数：设总体有N个个体，它们的值分别为，则总体平均数

.

（2）总体中位数：将N个个体从小到大排列，如果N为奇数，则位于正中位置的数叫做总体中位数；如果N为偶数，位于该数列正中位置的两个数的平均数叫做总体中位数.

（3）总体方差：

（4）总体标准差：

2. 样本：从总体中抽出的一部分个体所组成的集合叫做样本（也叫做子样），样本中所含个体的个数叫做样本容量，抽取样本的过程叫做抽样.

（1）样本平均数：设样本中有个元素，分别为，则样本平均数

.

（2）样本中位数：将个样本从小到大排列，如果为奇数，则位于该数列正中位置的数叫做样本中位数；如果为偶数，位于该数列正中位置的两个数的平均数叫做样本中位数.

（3）样本方差：

（4）样本标准差：

例题点拨

【例1】已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5。若要使该总体的方差最小，则的取值分别是 .

〖思路分析〗本题考查中位数、方差的意义,会用相关公式分析问题、解决问题.

〖解〗由中位数意义，可知，依题意，总体中个体的数量为，

∴总体平均数，

于是总体方差，当且仅当时等号成立。所以。

事实上方差是描述全体数据偏离平均值的程度的量，要使方差最小，只须各数据大小应尽可能地接近，故.

〖点评〗本题关键是建立总体的方差关于的关系，因为总体的平均值是常数，要使方差最小，只要最小，其实本题如果理解了方差的本质，根本无需求最小值，而只需要找到方差最小时的条件即可。

【例2】某居民小区所有263户家庭族人口数分组列表如下：

求总体平均数，总体中位数，总体方差和标准差.

〖思路分析〗该题通过表格给出总体中各个体的数值，即家庭人口数数，从中可知，如果将263户家庭的人口数从小到大排列，可得数列：

共263个个体数值，由此根据各统计量的定义求解.

〖解〗（1）总体平均数，即平均每户家庭人口数为人.

（2）N=263是奇数，，

那么132为数列的正中位置.

因为，

所以第132个数属于每户4人的那个组.故总体中位数

（3）总体方差：

（4）总体标准差：.

〖点评〗求中位数时注意先将按从小到大的顺序排成一数列，总体的个体是偶数或奇数，再根据中位数的定义求解.本题中的中位数，并不是表格中间位置上的数“5”和“6”的平均数，这是最容易错的地方；至于方差和标准差的计算，可直接在计算器上输入

，利用计算器的功能求出.

3.2抽样技术

知识梳理

1.简单随机抽样：设一个总体的个体数为N．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.

⑴用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为；

⑵简单随机抽样的特点是，逐个抽取，且各个个体被抽到的概率相等,是不放回抽样.

⑶简单随机抽样方法，体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样方法的基础．

2.抽签法：先将总体中的所有个体（共有N个）编号（号码可从1到N），并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可用小球、卡片、纸条等制作），然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本.

适用范围：总体的个体数不多时.

优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法.

3.随机数表法：随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号；第二步，选定开始的数字；第三步，获取样本号码.

4.系统抽样:当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样.

系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，它与简单随机抽样的联系在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；

与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的．

总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除在进行系统抽样.

5.分层抽样: 当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫做层.

6.常用的抽样方法及它们之间的联系和区别：

7.不放回抽样和放回抽样:在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样；如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样．

随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样.

例题点拨

【例1】在下列问题中，各采用什么抽样方法抽取样本较为妥当？

（1）从30件产品中抽取5件进行质量检验；

（2）某文化宫共有35排座位，每排有42个座位（座位号为1～42），一次报告会坐满了听众，会后为听取意见留下了所有座位号为13的35名听众进行座谈；

（3）某公司有200名员工，其中有业务人员135人，管理人员25人，后勤服务人员40人，从中抽取一个容量为5的样本.

〖思路分析〗本题考察随机抽样的有关概念，每一选项须仔细斟酌、辨别.

〖解〗（1）总体中个体数较小，采用简单随机抽样较为妥当.

（2）因为总体中个数较多，又是“等距离”抽取，所以采用系统抽样较为妥当.

（3）因为总体中个体差异较大，所以采用分层抽样较为妥当.

〖点评〗本例虽小，但其中概念性很强，尤其第3小题，使用分层抽样，最敏感的字就是“层”，它源于“样本”差异，差异大了，就要考虑分层了.