高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3_2复数代数形式的四则运算(第1课时)预习导航新人教A版
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(第一课时)复数的加减与乘法运算讲义
复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算复数的加减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋d i)(a＋b i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z 1z 2＝z 2z 1.1．复数的乘法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i(a ，b ，c ，d ∈R )．2．复数乘法的运算律 对于任意z 1、z 2、z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3共轭复数问题：复数3＋4i 与3－4i ，a ＋b i 与a －b i(a ，b ∈R )有什么特点？ 提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作z －，即z －＝a －b i.3．当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝z －，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[对应学生用书P38]复数的加减运算[例1] 计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)；(2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨]解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析](1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通]复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________.解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝2，则x＋y＝________. 解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.复数的乘法[例2] 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨]应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析](1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.[一点通](1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数X围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(某某高考改编)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________.解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i－i2＝－1＋3i.答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a＋b i，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝________.解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i＝a＋b i，∴a＝1，b＝3，故a＋b＝4.答案：46．计算下列各题．(1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)；(3)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (3)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)＝⎝⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.共轭复数的概念[例3]已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .[思路点拨]设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )―→z ＝a －b i(a ，b ∈R )―→代入等式利用复数相等的条件求解.[精解详析]设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝________. 解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ， ∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ， ∴a －b i ＋2a i ＋2b ＝4＋3i ， 即(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i. 答案：2＋i9．已知复数z ＝1＋i ，某某数a ，b 使az ＋2b z ＝(a ＋2z )2成立． 解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a ，b 都是实数， ∴由az ＋2b z＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2).两式相加，整理得a 2＋6a ＋8＝0.解得a 1＝－2，a 2＝－4，对应得b 1＝－1，b 2＝2.∴所某某数为a＝－2，b＝－1 或a＝－4，b＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z＝a＋b i看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．[对应学生用书P40]一、填空题1．计算(－i＋3)－(－2＋5i)的结果为________．解析：(－i＋3)－(－2＋5i)＝－i＋3＋2－5i＝－6i＋5.答案：5－6i2．若复数z＝1－2i，(i为虚数单位)则z·z＋z的实部是________．解析：∵z＝1－2i，∴z＝1＋2i，∴z·z＝(1－2i)(1＋2i)＝5，∴z·z＋z＝5＋1－2i＝6－2i.答案：63．已知3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)，则z＝________.解析：∵3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)∴z＝3＋i－(4＋3i)＋(6＋7i)＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i＝5＋5i.答案：5＋5i4．(高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 解析：(x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，由复数相等的定义知x ＝2. 答案：25．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 解析：∵z 2＝t ＋i ， ∴z 2＝t －i ，∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i ；(3)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.8．(某某高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z .解：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1. 又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1. 故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i又z ＋z ＝2.∴z －z ＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2， ∴z ＝1－i.。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的四则运算212数学
1.复数加法(jiāfǎ)与减法的运算法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝
(a＋c)＋(b，＋zd1)－i z2＝
(a－. c)＋(b－d)i
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝ ，z2(＋z1z＋1 z2)＋z3＝
z1＋(z.2＋z3)
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第3章——
数系的扩充 与复数的引入 (kuòchōng)
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3.2 复数(fùshù)的四则运算
[学习目标] 1.理解(lǐjiě)复数代数形式的四则运算法则.
2.能运用运算法则进行复数的四则运算.
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1 预习导学
点落实
2 课堂讲义(jiǎngyì)
个击破
3 当堂检测(jiǎn cè)
实部与虚部的和. 解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z· z＝a2＋b2，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i， 即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，
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a2＋b2－2b＝8，
a＝3，
∴
解得
2a＝6，
b＝1，
∴a＋b＝4，
∴复数(fùshù)z的实部与虚部的和是4.
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由①②联立，解得ab＝ ＝5453，，
或ab＝ ＝－ －4535， .
所以 z ＝45－35i，或 z ＝－45＋35i.
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规律方法 本题使用了复数问题(wèntí)实数化思想，运用待定系
数法，化解了问题(wèntí)的难点.
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跟踪(gēnzōng)演练4 已知复数z满足：zz· ＋2iz＝8＋6i，求复数z的
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算
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由于2－z i是实数，则 15（x－4）＝0 ②， 解得 x＝4，(5 分) 所以 z＝4－2i，(6 分) 所以(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2 ＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.(8 分) 由(z＋ai)2 在复平面内对应的点在第一象限可得 12＋4a－a2>0，且 8(a－2)>0，③(9 分) 解得 2<a<6，(11 分) 所以实数 a 的取值范围是(2，6)．(12 分)
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2．复数乘法(chéngfǎ)的运算律 复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配 律： 交换律：z1·z2＝z2·z1； 结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)； 分配律：z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3.
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●规律方法 共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质 的 (xìngzhì) 复数，应注意它的几何特征：关于实轴对称；代数特征： 实部相等，虚部互为相反数．
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变式训练
2．(1)设 i 是虚数单位，－z 是复数 z 的共轭复数，若 z·－z i＋
2＝2z，则 z 等于
(2)1－1 i＝1＋2 i＝12＋12i，其共轭复数为12－12i，对应的点为
12，－12，故选 D.
答案(dáàn) (1)A
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(2)D
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短板补救案·素养培优
规范解答(十一) 复数的运算(yùn suàn)与几何意义的综合应用
典题示例
【典例】 (12 分)已知 z是复数，z＋2i，2－z i均为实数 ， 且 复数（z＋ai）2在复平面内对应的点在第一象限 ，求实数 a 的取值范围．
高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3....》88PPT课件 一等奖名师
A．－2
B．2
C．－1
D．1
解析：z1＋z2＝(2＋i)＋(3＋ai)＝5＋(1＋a)i
又 z1＋z2 所对应的点在实轴上．
∴1＋a＝0，则 a＝－1.
答案：C
四、复数加法的几何意义: y
uuuur
如图：向量OuuZuur1与复数a bi对应
z2 (c, d )
向量OZ2与复数c di对应
uuuur
设z1 a bi, z2 c di是任意两个复数,那么
a bi c di a c b d i
思考：对任意z1 a bi, z2 c di, z3 m ni
z1 z2 ？ z2 z1 z1 z2 z3 ？ z1 z2 z3 .
满足加法交换律
满足加法结合律
即：x yi （a bi）c di
(a c) (b d)i
2.复数的减法法则：
a bi c di a c b d i
例：若复数Z满足Z (3 i) 3 i 则 Z 等于（D ）
A. 0
B. 2i
C. 6 D. 6 2i
P57
例1 计算5 6i 2 i 3 4i.
2、复数加法的运算律：
复数的加法满足交换律和结合律
例1.计算
(1) (2 4i) (3 4i)
(2) 5 (3 2i)
解：(2 4i) (3 4i) (2 3) (3 2i) (5 3) (0 2)i 8 2i
实部相加减作为实部，虚部相加减作为虚部
P58 1.计算:
(2) 5 (3 2i) (3) (3 4i) (2 i) (1 5i)
2 2i
2 2i
(4) (2 i) (2 3i) 4i
练习二、
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高中数学第三章数系的扩充和复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算讲义
高中数学第三章数系的扩充和复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算讲义新人教A 版选修22123003111．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝□01(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i 2换成□02－1，并且把实部和虚部分别合并．2．复数的乘法运算律设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，有 交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1；结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)； 分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3. 3．共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为□03共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫□04共轭虚数． 4．复数除法的法则(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝□05ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i (c ＋d i≠0)． 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数．共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称． (2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z －⇔z ∈R . 利用这个性质，可以证明一个复数是实数． (3)z ·z －＝|z |2＝|z －|2∈R .z 与z －互为实数化因式．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( ) (2)若z 1，z 2∈C ，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( ) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)复数3i ＋1＝________.(2)复平面内，复数z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于第________象限． (3)复数2－1i 的共轭复数是________．答案 (1)32－32i (2)四 (3)2－i探究1 复数的乘除运算例1 (1)复数3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i ＝( )A ．0B ．2C ．－2iD ．2i(2)若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)·i 的实部为________．[解析] (1)解法一：3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i ＝3＋2i2＋3i －3－2i 2－3i2－3i 2＋3i＝6＋13i －6－6＋13i ＋64＋9＝26i13＝2i.解法二：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝i 2－3i 2－3i －－i 2＋3i2＋3i＝i ＋i ＝2i.(2)(z 1－z 2)·i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]·i＝(－2＋20i)·i＝－20－2i ， ∴(z 1－z 2)·i 的实部为－20. [答案] (1)D (2)－20 拓展提升(1)复数的乘法可以把i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．(2)实数集中的乘法公式、幂的运算律，因式分解方法等在复数集中仍成立．【跟踪训练1】 计算：(1)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. 解 (1)原式＝－2＋3i 1＋2i ＝－2＋3i1－2i1＋2i 1－2i＝－2＋6＋3＋4i 12＋22＝45＋75i. (2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i. 探究2 共轭复数例2 z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋iD ．1－i[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，又z ＋z －＝2，即(a ＋b i)＋(a －b i)＝2，所以2a ＝2，解得a ＝1.又(z －z －)i ＝2，即[(a ＋b i)－(a －b i)]·i＝2，所以b i 2＝1，解得b ＝－1.所以z ＝1－i.[答案] D 拓展提升(1)复数的代数形式为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a 为实部、b 为虚部．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数就是z －＝a －b i(a ，b ∈R )．(2)对于复数的四则运算：加、减、乘运算按多项式运算法则计算，除法运算需把分母实数化来进行．【跟踪训练2】 已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z －＝(a ＋2z )2. 解 因为z ＝1＋i ，所以az ＋2b z －＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.因为a ，b 都是实数，所以由az ＋2b z －＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4a ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，b 1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－4，b 2＝2.所以所求实数为a 1＝－2，b 1＝－1或a 2＝－4，b 2＝2. 探究3 复数i n的周期性运算 例3 计算：(1)2＋2i 1－i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2020； (2)1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2019.[解] (1)2＋2i 1－i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2020＝2＋2i －2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1010＝i(1＋i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1010＝－1＋i ＋(－i)1010＝－1＋i －1＝－2＋i.(2)解法一：∵i n＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0，n ∈N *，∴1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2019＝1＋i ＋i 2＋(i 3＋i 4＋i 5＋i 6)＋(i 7＋i 8＋i 9＋i 10)＋…＋(i2015＋i2016＋i2017＋i2018)＋i2019＝1＋i ＋i 2＋i 3＝0.解法二：1＋i ＋i 2＋…＋i 2019＝1－i 20201－i ＝1－i 505×41－i ＝1－11－i＝0.拓展提升i n (n ∈N *)的性质根据复数乘法法则，容易得到i 的n 次幂的计算法则， 即n ∈N *时，i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，其中i 0＝1，i －n ＝1in (n ∈N *)．另外，i 4n＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i 4n ＋3＝0.【跟踪训练3】 (1)当z ＝－1－i 2时，z 100＋z 50＋1的值等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i (2)计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i的值为________．答案 (1)D (2)－1＋i解析 (1)∵z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－2i 2＝－i ，∴z 100＋z 50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1 ＝[(－i)2]25＋(－i)＋1＝－1－i ＋1＝－i.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i226＋2＋3i 3＋2i3＋2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.1.复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.2.共轭复数性质可以用来解决一些复数问题.3.复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.1．复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案 A解析 i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.选A. 2．复数21－i等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 答案 A 解析21－i ＝21＋i 1－i 1＋i＝21＋i2＝1＋i ，∴选A. 3．(1＋i)2－2－i 2＋i ＝________.答案 －35＋145i解析 (1＋i)2－2－i 2＋i ＝2i －2－i25＝－35＋145i.4．(1－2i)(3＋4i)(－1＋i)＝________. 答案 －9＋13i解析 (1－2i)(3＋4i)(－1＋i)＝(11－2i)(－1＋i)＝－9＋13i.5．把复数z 的共轭复数记作z －，已知i·z －＝4＋3i ，求z z－.解 由i·z －＝4＋3i 得z －＝4＋3ii ＝3－4i ，所以z ＝3＋4i.所以z z－＝3＋4i 3－4i ＝3＋4i 23－4i 3＋4i ＝－7＋24i25.。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学过程一、推进新课1.复数的加法探究新知我们规定，复数的加法法则如下：设bi a z +=1,di c z +=2是任意两个复数，那么()()()()i d b c a di c bi a +++=+++提出问题问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗?问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法？活动设计:学生独立思考，口答。
活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。
2．一致。
3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。
设计意图：加深对复数加法法则的理解,且与实数类比，了解规定的合理性。
提出问题:实数加法有交换律、结合律，复数满足吗?并试着证明。
活动设计：学生先独立思考，然后小组交流.活动成果：满足,对任意的,,,321C z z z ∈有交换律:1221z z z z +=+结合律：()()321321z z z z z z ++=++证明:设bi a z +=1，di c z +=2,()()i d b c a z z +++=+21x O y()b a Z ,1 ()d c Z ,2 Z ()()i b d a c z z +++=+12显然，1221z z z z +=+同理可得，()()321321z z z z z z ++=++设计意图:引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及
2018-2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义检测新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义检测新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义A级基础巩固一、选择题1．设m∈R，复数z＝（2m2＋3i）＋（m－m2i）＋（－1＋2m i），若z为纯虚数，则m等于（）A．12B．3C．－1 D．－1或3解析：z＝（2m2＋m－1)＋(3＋2m－m2)i，依题意，2m2＋m－1＝0，且3＋2m－m2≠0,解得m ＝错误!.答案：A2．设a，b∈R，z1＝2＋b i， z2＝a＋i,当z1＋z2＝0时，复数a＋b i为( ）A．1＋i B．2＋iC．3 D．－2－i解析：由于z1＋z2＝(a＋2)＋（b＋1）i＝0.所以错误!得错误!故a＋b i＝－2－i.答案：D3．在复平面内，复数z1＝错误!i，z2＝错误!i－2，z＝z1＋z2，则复数z对应的点位于( ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为z＝z1＋z2＝错误!i＋错误!i－2＝－2＋i,所以实部小于0，虚部大于0,故复数z对应的点位于第二象限．答案:B4．若在复平面上的▱ABCD中，错误!对应复数为6＋8i，错误!对应复数为－4＋6i,则错误!对应的复数是（)A．2＋14i B．1＋7iC．2－14i D．－1－7i解析:设错误!，错误!对应的复数分别为z1与z2,则由复数加减法的几何意义，得错误!所以z2＝1＋7i，因此向量错误!对应的复数为－z2＝－1－7i.答案：D5．A,B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2｜＝|z1－z2｜，则三角形AOB一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析:根据复数加(减）法的几何意义，知以错误!，错误!为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．答案：B二、填空题6．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋（1－i)在复平面内的对应点在第________象限．解析：由z＝3－4i，得｜z｜＝错误!＝5，所以z－|z｜＋（1－i）＝－1－5i在复平面内对应点(－1，－5)在第三象限．答案：三7．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量错误!,错误!对应的复数分别是3＋i,－1＋3i，则错误!对应的复数是________．解析:因为错误!，错误!对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，所以错误!对应的复数为（3＋i)－(－1＋3i）＝4－2i。
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(一)课件 苏教版选修1-2
交换律 结合律 乘法对加法的分配律
z1z2＝_z2_z_1 (z1z2)z3＝_z_1(_z_2z_3_)_ z1(z2＋z3)＝_z_1_z_2＋__z_1_z_3 _
知识点三 共轭复数
思考
复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？试求z1·z2的积. 答案 两复数实部相等，虚部互为相反数，z1·z2＝a2＋b2，积为 实数.
思考2
复数的加法满足交换律和结合律吗？ 答案 满足.
答案
梳理
(1)复数的加法、减法法则 ①条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数). ②加法法则：z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i ， 减法法则：z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i . (2)运算律 ①交换律：z1＋z2＝ z2＋z1 . ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) .
3.理解共轭复数的性质
(1)z∈R⇔ z＝z.
(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，这是虚数问题实数化的一个 重要依据.
本课结束
课件制作-Q老师
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2021/11/22
知识点二 复数的乘法
思考
如何规定两个复数相乘？ 答案 类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关 于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚 部分别合并.
答案
梳理
(1)复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i . (2)乘法运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有
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解析 答案
3. 设 复 数 z1 ＝ x ＋ 2i ， z2 ＝ 3 － yi(x ， y∈R) ， 若 z1 ＋ z2 ＝ 5 － 6i ， 则 z1 － z2 ＝ __－__1_＋__1_0_i___.
高中数学第三章数系的扩充和复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其
高中数学第三章数系的扩充和复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义讲义新人教A 版选修22123003101．复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝□01(a ±c )＋(b ±d )i. (2)复数加法的运算律复数的加法满足□02交换律、□03结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1；(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→的□06终点，并指向被减向量的向量Z 2Z 1→所对应的复数． (3)复平面内的两点间距离公式：d ＝□07|z 1－z 2|. 其中z 1，z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数，d 为Z 1和Z 2间的距离．1．两点间的距离公式结合模的知识可得复平面上两点间的距离公式，设z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ，则|Z 2Z 1→|＝|z 1－z 2|＝|(x 1＋y 1i)－(x 2＋y 2i)|＝|(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)i|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.2．复数模的两个重要性质(1)||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|； (2)|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(3)已知向量OZ 1→对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．答案 (1)6＋i (2)－11i (3)1－i探究1 复数的加减运算例1 计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i ＝－4－10i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. 拓展提升复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．【跟踪训练1】 计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解 (1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i) ＝－1＋i ＋1＋(1＋i)＝1＋2i. 探究2 复数加减运算的几何意义例2 已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．[解] 解法一：设D 点对应复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )． 又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)，∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.解法二：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ， 又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i. 由已知AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即点D 对应的复数为3＋5i.[条件探究] 若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i ，－i,2＋i ，求第四个顶点对应的复数．[解] 设1＋3i ，－i,2＋i 对应A ，B ，C 三点，D 为第四个顶点，则①当ABCD 是平行四边形时，D 点对应的复数是3＋5i.②当ABDC 是平行四边形时，D 点对应的复数为1－3i.③当ADBC 是平行四边形时，D 点对应复数为－1＋i.拓展提升(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能． 【跟踪训练2】 已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)， 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.所以sin B ＝752＝7210，所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7.所以平行四边形ABCD 的面积为7. 探究3 复数加减运算的几何意义的应用 例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.[解] 解法一：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1，① (a －c )2＋(b －d )2＝1.② 由①②得2ac ＋2bd ＝1. ∴|z 1＋z 2|＝a ＋c2＋b ＋d2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3. 解法二：设O 为坐标原点，z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点分别为A ，B ，C .∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴△OAB 是边长为1的正三角形，∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.拓展提升掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．【跟踪训练3】若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．解解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)．因为|z＋i|＋|z－i|＝2，所以x2＋y＋12＋x2＋y－12＝2，又x2＋y＋12＝2－x2＋y－12≥0，所以0≤1－y＝x2＋y－12≤2，即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2.所以x＝0且－1≤y≤1，则z＝y i(－1≤y≤1)．所以|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝12＋y＋12≥1，等号在y＝－1即z＝－i时成立．所以|z＋i＋1|的最小值为1.1.复数的加法规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加，两个复数的和仍是一个复数，这一法则可以推广到多个复数相加.2.因为复数可以用向量来表示，所以复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.3.复数的减法可根据复数的相反数，转化为复数的加法来运算.1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 ∵z 1－z 2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i ， ∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第一象限． 2．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D．4i 答案 B解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 为纯虚数，得x ＝0，且y ≠－3，又|z |＝x 2＋y 2＝|y |＝3，∴y ＝3.故选B.3．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量O A →，O B →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则( ) A ．O A →＝O B → B ．|O A →|＝|O B →| C ．O A →⊥O B →D ．O A →，O B →共线答案 C解析 如图，由向量的加法及减法法则可知，O C →＝O A →＋O B →，B A →＝O A →－O B →.由复数加法及减法的几何意义可知，|z 1＋z 2|对应O C →的模，|z 1－z 2|对应B A →的模．又|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以四边形OACB 是矩形，则O A →⊥O B →.4．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i答案 A解析 z ＝2i ＋(1－i)＝1＋i.故选A.5．如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO →对应的复数； (2)向量CA →对应的复数； (3)向量OB →对应的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以向量AO →对应的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以向量CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以向量OB →对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形
答案：B
3．向量O→Z1对应的复数是 5－4i，向量O→Z2对应的复
数是－5＋4i，则O→Z1＋O→Z2对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．0
D．10＋8i
解析：O→Z1＋O→Z2对应的复数为(5－4i)＋(－5＋4i)＝
0.
答案：C
解：由题意知，点 M 为 OB 的中点，则O→M＝12O→B， 由探究 1 中点 B 坐标为(1，6)得点 M 坐标为12，3， 所以点 M 对应的复数为12＋3i， 且zM＝12＋3i＝ 237.
归纳升华 1．根据复数的几何意义可知：复数的加减运算可以 转化为点的坐标运算或向量运算． 2．复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四 边形法则和三角形法则．
3．复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在 复数中的应用提供了可能．对于一些较复杂的复数运算问 题，特别是与模有关的问题，将复数向点及向量加以转化 可有助于问题的解决．
解析：z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1 ＋a)i.因为 z1＋z2 所对应的点在实轴上，所以 1＋a＝0，所 以 a＝－1.
答案：－1
类型 1 复数的加减运算(自主研析)
[典例 1] 设 z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且 z1 ＋z2＝5－6i，求 z1－z2.
解析：(1)错，正确说法是：复数 z＝a＋bi 与平面向 量O→Z＝(a，b)一一对应．
(2)错，复数的减法满足结合律． (3)错，如 z1＝2＋2i，z2＝1＋2i，有 z1－z2＝1>0，但 复数 z1 与 z2 不能比较大小． 答案：(1)× (2)× (3)×
高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3....》329PPT课件
例3．计算 (1 2i) (3 4i)
(1 2i) (3 4i) 1 2i (1 2i)(3 4i) 3 4i (3 4i)(3 4i0
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
（第一课时）
隆安县第三中学 韦贞平
教学目标：
（1）知识目标：能进行复数代数形式的乘除运算 （2）过程与方法目标：从实数的乘除运算及其运算
律出发，对比引出复数的的乘除法定义及其运算律， 通过实现实数与虚数的转化，培养学生转化的思想。 （3）情感与能力目标：通过复数的乘除法的学习，
(4)若x-2+yi和3x-i互为共轭复数，则实数
x=______,y=________.
(5)设复数z满足 1 2i i,则z _____. z
课后作业
课本第61页 习题3. 2 A组4，5
(2) 共轭复数:实部相等，虚部互为相反数的两个复数， 叫做共轭复数。
(3)复数代数形式的除法运算法则:通常先将除法写成分式 的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化 简后可得，类似于以前学习的分母有理化.
三、巩固练习：
(1)(3 4i)(2 3i)
(2) 2i 2i
(3)(1 i)( 1 3 i)(1 i) 22
通常记复数z=a+bi的共轭复数为 z a 。bi
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数
1 2i,3 4i,3 i,1 3i,i,3.
③计算 1
2
2, 3
而1 2 怎样算呢？ 2-i
试比较写出复数的除法法则。
高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3....》108PPT课件
4.复数的乘法仍然满足交换律、结合 律、分配律.
5.一般地，当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时，这两个复数叫 做互为共轭复数.
6.复数z=a+bi的共轭复数记作
z, 即 z = a - bi.
7.复数的除法是乘法的逆运算.
8.复数的除法法则：
(a
+
bi)
(c
3.2.2
馆陶一中：石雨松
回顾旧知
复数加减法的运算法则是什么？
回
两个复数相加(减)就是实
忆 部与实部,虚部与虚部分别相
加(减).
…
复数加法和减法运算的几何意义是什么？
复数的加、减法可以按照向量 的加、减法来进行.
新课导入
实数能进行加、减、乘、 除运算，那么复数呢？
其实，复数除了 可以相加相减之外，它 还可以乘除呢！这也是 我们这节课的重点.
对于任意z1, z2 , z3 ∈C有 交换律：z1z2 = z2z1 结合律：(z1z2 )z3＝z1(z2z3 ) 分配律：z1(z2 + z3 )＝z1z2＋z1z3
例题1
计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i)
提示
复数的乘法与多项式的乘法是 类似的,我们知道多项式的乘法用乘 法公式可迅速展开, 运算,类似地, 复数的乘法也可大胆运用乘法公式 来展开运算.
进入我们 今天学习 的内容.
学习目标
1.理解复数代数形式的四则运算，并能用运算律进行 复数的四则运算。
2.能根据所给的运算形式选择恰当的方法进行四则运 算。
3.掌握类比的数学方法。
多项式的乘法运算 ？
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代
复数代数形式的加减运算及其几何意义教学目标：知识与技能：掌握复数的加法运算及理解其几何意义．过程与方法：通过类比实数的四则运算的规律或向量的运算规律，得到复数加减运算的法则，同时了解复数加减法运算的几何意义．情感、态度与价值观：通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比，理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律．教学重点：复数加减法运算及其应用．教学难点：复数加减法运算的几何意义．教具准备：多媒体、实物投影仪等．教学过程：①复数z=a+bi（a、b∈R），其中a是实部，b是虚部．当且仅当b=0 时，z是实数；当且仅当a=0且b≠0 时，z为纯虚数；②如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d③复数z=a+bi与复平面内所有的点是一一对应关系；与平面向量也呈一一对应关系．④如果已知向量，则，引入了一个新数，我们最关心是它是如何运算的，我们先来研究复数的加法．即，那么根据复数是实数的推广，实数也是复数的概念，举出复数（实数）相加的特例，如2+3=5．①因为实数是复数的特殊情况，那么复数是如何进行加减运算的呢？2+3=？这个式子能不能写成复数形式呢？若能，从复数的概念角度如何解释？②复数还有其它特殊情形吗？是什么？对这类复数的加法，你有什么想法？举例说明．（纯虚数是复数的另一类特殊情形．z1=2i z2=3i，即z1=0+2i，z2=0+3i 猜想z1+z2=(0+0)+(2+3)i=0+5i=5i．）③你对一般的两个复数相加有什么猜想，即④引导学生从向量的角度上去理解加法法则猜想的正确性结论：两个复数相加等于它们的实部与实部相加，虚部与虚部相加．⑤复数的加法满足加法交换律，满足加法结合律吗？复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)⑥那么复数的减法法则如何推导出来呢？可以利用复数减法是加法逆运算的规定来推导．例题：例1．课本题57页例2．若复数与的差是纯虚数，那么实数．例3．若复数与的和位于复平面的第一象限，则实数的范围是．例4．已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？例5．复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．（备用）小结：从知识上小结：加减法法则从思想方法上小结：由特殊到一般，普遍联系，相互转化的思想。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的
复数代数形式的加减运算及其几何意义教学目标：知识与技能：掌握复数的加法运算及理解其几何意义．过程与方法：通过类比实数的四则运算的规律或向量的运算规律，得到复数加减运算的法则，同时了解复数加减法运算的几何意义．情感、态度与价值观：通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比，理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律．教学重点：复数加减法运算及其应用．教学难点：复数加减法运算的几何意义．教具准备：多媒体、实物投影仪等．教学过程：①复数z=a+bi（a、b∈R），其中a是实部，b是虚部．当且仅当b=0 时，z是实数；当且仅当a=0且b≠0 时，z为纯虚数；②如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d③复数z=a+bi与复平面内所有的点是一一对应关系；与平面向量也呈一一对应关系．④如果已知向量，则，引入了一个新数，我们最关心是它是如何运算的，我们先来研究复数的加法．即，那么根据复数是实数的推广，实数也是复数的概念，举出复数（实数）相加的特例，如2+3=5．①因为实数是复数的特殊情况，那么复数是如何进行加减运算的呢？2+3=？这个式子能不能写成复数形式呢？若能，从复数的概念角度如何解释？②复数还有其它特殊情形吗？是什么？对这类复数的加法，你有什么想法？举例说明．（纯虚数是复数的另一类特殊情形．z1=2i z2=3i，即z1=0+2i，z2=0+3i 猜想z1+z2=(0+0)+(2+3)i=0+5i=5i．）③你对一般的两个复数相加有什么猜想，即④引导学生从向量的角度上去理解加法法则猜想的正确性结论：两个复数相加等于它们的实部与实部相加，虚部与虚部相加．⑤复数的加法满足加法交换律，满足加法结合律吗？复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)⑥那么复数的减法法则如何推导出来呢？可以利用复数减法是加法逆运算的规定来推导．例题：例1．课本题57页例2．若复数与的差是纯虚数，那么实数．例3．若复数与的和位于复平面的第一象限，则实数的范围是．例4．已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？例5．复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．（备用）小结：从知识上小结：加减法法则从思想方法上小结：由特殊到一般，普遍联系，相互转化的思想。
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〔跟踪练习 3〕
(2016·全国卷Ⅲ文，2)若
z＝4＋3i，则 z ＝( |z|
D
)
A．1
B．－1
C．4＋3i 55
D．4－3i 55
[解析]
z |z|＝
44－2＋3i32＝45－35i，故选 D.
1．已知 i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( B )
A．－3＋i
B．－1＋3i C．－3＋3i D．－1＋i
（2）
2 i (2 i)(1 2i) 2 2 i 4i 5i i
1 2i (1 2i)(1 2i)
5
5
∴其共轭复数为－i，选 C.
(3)∵(z－3)(2－i)＝5，∴z－3＝2－5 i＝2－52i＋2＋i i＝2＋i，
∴z＝5＋i，－z ＝5－i.选 D
〔跟踪练习 2〕
(1)(2015·全国Ⅰ，文)已知复数 z 满足(z－1)i＝1＋i，则 z＝( C )
互动探究学案
命题方向1 ⇨复数的乘法与乘方
• 典例 1 计算：(1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i；
•
(2)(1－i)2(1＋i)2＋4.
• [思路分析] 应用复数的乘法法则及运算律求解．
• [解析] (1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i • ＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i • ＝(4－i2)(1＋2i)－5i • ＝5(1＋2i)－5i • ＝5＋10i－5i＝5＋5i. • (2)(1－i)2(1＋i)2＋4 • ＝[(1－i)(1＋i)]2＋4 • ＝(1－i2)2＋4＝22＋4＝8.
• 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1、z2、z3∈C，有
交换律 结合律 分配律
z1·z2＝__z_2_·z_1_ (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝_z_1_z_2＋__z_1_z_3
高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3....》136PPT课件 一等奖比赛优质课
第1页共5页3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义一、教学内容分析：本课是高中数学选修1－2第三章《复数》第二节《复数代数形式的加减运算及其几何意义》，主要内容是复数的加减运算及其几何意义，是学生首次接触复数集中的运算。
学生的知识基础是已经学习的复数的概念和坐标表示以及实数与平面向量加减运算，在这节内容中，借助向量的加减法解释和“形化”了复数的加减法，充分体现了复数的“数”和“形”的双重特征，揭示了复数的加减运算与平面向量的加减法具有完全等价的法则。
在教学中，既要求学生掌握复数代数形式的加减运算法则，又要理解和初步应用加减法的几何意义，为进一步运用复数运算几何意义奠定基础。
二、学情分析：学生基础普遍比较薄弱，学习习惯较差。
学生习惯于老师讲，自己记，复习背，对概念、定理、公理的本质属性缺乏正确的认识，不重视思维训练，导致数学学习能力下降，心理压力增大，恶性循环。
因此培养学生良好的学习习惯与严谨的逻辑思维能力相当重要。
三、教学目标：1、知识与技能目标：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义。
2、过程与方法目标：在问题探究过程中，体会和学习类比，数形结合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程。
3、情感、态度与价值观目标：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用。
四、教学重点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题。
五、教学难点：复数加减法的几何意义及其应用六、教具准备：多媒体、实物投影仪。
七、教学过程：课前准备：学生自主阅读、理解教材，并解决问题第2页共5页（课前1天）阅读教材57-59页，解决下列问题：（一）、温故而知新：1、对于复数,zabiabR，当且仅当，z是实数，当，z是虚数，当，z为纯虚数，当且仅当，z是实数0。
高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3....》115PPT课件 一等奖比赛优质课
1教学设计复数代数形式的加减运算及其几何意义教学目标重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则．难点:复数加法、减法的几何意义.知识点:1.掌握复数代数形式的加、减运算法则;2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义.能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力．教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想.在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神.自主探究点：如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题.考试点：会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题.易错易混点：复数的加法与减法的综合应用.拓展点：复数与其他知识的综合.一、引入新课复习引入1.虚数单位i：它的平方等于1,即2i1;2.对于复数i,zababR：当且仅当0b时,z是实数a;当0b时,z为虚数;当0a且0b时,z为纯虚数;当且仅当0ab时,z就是实数0.3.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.4.复数几何意义：我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫.复数i,zababR复平面内的点,abZ一一对应一一对应复数i,zababR复平面内的向量=,OZab2二、探究新知探究一:复数的加法1.复数的加法法则我们规定,复数的加法法则如下:设1izab,2i(,,,)zcdabcdR是任意两个复数,那么：12(i)(i)()()izzabcdacbd提出问题：(1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?(2)当=0,0bd时,与实数加法法则一致吗?(3)它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法?学生明确:(1)仍然是个复数,且是一个确定的复数;(2)一致;(3)实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神．2.复数加法的运算律实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗?对任意的123,,zzzC,有1221zzzz（交换律）,123123()()zzzzzz（结合律）.【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力．3.复数加法的几何意义复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗?设12,OZOZ分别与复数i,iabcd对应,则有12(,),(,)OZabOZcd,由平面向量的坐标运算有12(,)OZOZacbd.这说明两个向量12OZOZ与的和就是与复数()+()iacbd对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示：2(,)Zcd1(,)Zab由图可以看出,以1OZ、2OZ为邻边画平行四边形12OZZZ,其对角线OZ所表示的向量OZ就是复数ZOyx3()+()iacbd对应的向量.【设计意图】通过向量的知识,让学生体会从数形结合的角度来认识复数的加减法法则,训练学生的形象思维能力,也培养了学生的数形结合思想.另外,当两复数的对应向量共线时,可直接运算;当不共线时,可类比向量加法的平行四边形,也培养了学生的类比思想.探究二:复数的减法类比复数的加法法则,你能试着推导复数减法法则吗?1.复数的减法法则我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足(i)(i)icdxyab的复数ixy叫做复数iab减去icd的差,记作(i)(i)abcd.根据复数相等的定义,有,cxadyb,因此,xacybd,所以i()()ixyacbd,即(i)(i)()()iabcdacbd.这就是复数的减法法则,所以两个复数的差是一个确定的复数.【设计意图】复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法,是学生体会数学思想的素材.让学生自己动手推导减法法则,有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯.考查学生的类比思想,提高学生主动发现问题,探究问题的能力．2.复数减法的几何意义设12,OZOZ分别与复数i,iabcd对应,则这两个复数的差12zz—与向量12OZOZ—（即21ZZ）对应,这就是复数减法的几何意义.如图所示.【设计意图】两个复数的差12zz—（即12OZOZ—）与连接两个终点1Z,2Z,且指向被减数的向量对应,这与平面向量的几何解释是一致的;它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能,也使数和形得到了有机的结合．注意：只有将差向量平移至以原点为起点时,其终点才能对应该复数.三、理解新知1.复数的加减法法则:设1izab,2i(,,,)zcdabcdR是任意两个复数,规定：12()()izzacbd;yx2Z1ZO412()()izzacbd.2.复数加、减法的几何意义：(1)复数的加法按照向量加法的平行四边形法则;(2)复数的减法按照向量减法的三角形法则.3.几点说明:(1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来;(2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减;(3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减．(4)复平面内的两点间距离公式:12dzz—.其中12,zz是复平面内的两点1Z和2Z所对应的复数,d为点1Z和点2Z间的距离.即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离．【设计意图】加深对复数加(减)法法则的理解,从不同的角度总结,既学到知识,又学到了数学方法,使知识更加系统化,学生的思维将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,作必要的铺垫.培养学生的归纳概括能力,使学生对所学的知识有一个整体的认识,解决问题时可以信手拈来.四、运用新知例1.计算：(1)(23i)(5i);(2)(12i)(12i);(3)(23i)(52i);(4)(56i)(2i)(34i);解:(1)(23i)(5i)(25)(31)i32i;(2)(12i)(12i)(11)(22)i0;(3)(23i)(52i)(25)(32)i35i;(4)(56i)(2i)(34i)(523)(614)i11i.【设计意图】直接运用复数的加、减法运算法则进行,就是将它们的实部、虚部分别相加、减,实数范围的运算律在复数范围内仍然成立.变式训练:计算(12i)(23i)(34i)(45)i(19992000i)(20002001i).解：（解法一）原式(12345619992000)(2345620002001)i 10001000i.（解法二）(12i)(23i)1i;(34i)(45i)1i;…(19992000i)(20002001i)1i.将上列1000个式子累加,得1000(1i)10001000i.【设计意图】复数的加减法,相当于多项式加减中的合并同类项的过程;如果根据给出复数求和的特征从局部入手,抓住了式子中相邻两项之差是一个常量这一特点,适当地进行组合,从而可简化运算.进一步巩固5Z2Z1OyxZZ2Z1Oyx复数加减运算,并带有一定的规律性.例2.(1)设12,OZOZ分别与复数1253i,14izz对应,计算12zz,并在复平面内作出12OZOZ,(2)设12,OZOZ分别与复数1213i,2izz对应,计算12zz+,并在复平面内作出12OZOZ.解：图1图2(1)12=(5+3i)(14i)(51)(34)i4izz.（如图1所示）;(2)12(13i)(2i)(12)(31)i34izz+.（如图2所示）.【设计意图】由复数的几何意义知,复数1z,2z所对应的的点分别为12,ZZ.12OZOZ就是表示向量21ZZ,而12OZOZ可利用平行四边形法则作出.变式训练:已知复数213(5)izaa,221(21)i()zaaaaR分别对应向量12,OZOZ（O为坐标原点）,若向量12ZZ对应的复数为纯虚数,求a的值.答案：1a.例3.已知关于x的方程：2(6i)9i0()xxaaR有实数根b.(1)求实数,ab的值;(2)若复数z满足i20zabz,求z的最小值．解：(1)由题意,得2(6i)9i0bba,即2(69)()i0bbab.由复数相等的定义得26900bbab,解得3ab.(2)设i(,)zxyxyR,由i20zabz,得(3)(3)i2xyz,即222(3)(3)4()xyxy,整理得22(1)(1)8xy,。
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3.2.2复数代数形式的乘除运算教学设计教学目标：1.类比多项式乘法，掌握复数乘法法则；类比根式除法分母有理化，掌握复数除法法则。
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律。
3.理解共轭复数的概念学情分析:本节课是学生在学习了复数代数形式的加减运算，对复数的四则运算有了理性的一些认识后，学生可通过类比来进一步学习复数代数形式的乘除运算，复数的乘法法则是规定的，其合理性表现在：这种规定与实数乘法的法则是一致的，而且实数乘法的有关运算律在这里仍然成立．由除法是乘法的逆运算的这种规定，可以得到复数除法的运算法则。
教材在内容编排上使用问题探究式的方法，引导学生能够自己探究新知，发现新知，理解新知．学生不仅学到了知识，而且培养了学习兴趣，提高了学习积极性。
重点：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．难点：复数除法的运算法则．教学过程：一、知识回顾：1.已知两复数12,()zabizcdiabcR、、，那么（1）、加法法则：12()()zzacbdi（2）、减法法则：12()()zzacbdi即：两个复数相加（减）就是类比多项式加（减）法，按i 合并同类项2.复数加法运算的几何意义——向量加法的平行四边形法则3.复数减法运算的几何意义——向量减法的三角形法则二、新课导入：根据以前所学知识，完成下题()()?abxcdx类比多项式乘法，尝试完成下题()()?abicdi（一）复数乘法法则：总结出复数乘法法则：类比多项式乘法法则展开，看到2i换成1，再按i合并同类项说明：（1）两个复数的积仍然是一个确定的复数（2）复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对于任何123zzzC、、，有1221zzzz123123()()zzzzzz1231213()zzzzzzz例1.(12)(34)(2)iii练习1.计算(2)(32)(13)iii例2.（1）(34)(34)ii（2）2(1)i说明：类比多项式的乘法法则用乘法公式可迅速展开运算，复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算例2（1）中，34i和34i有一定的关系，即实部相等，虚部互为相反数，那这样的两个复数有怎样的名称呢？共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数，叫做共轭复数。
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高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四
则运算（第1课时）预习导航 新人教A 版选修1-2
1．复数的加、减法运算法则及运算律
(1)复数的加、减法运算法则
设复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i.两个复数的和、差仍然是一个确定的复数．
(2)复数加法满足的运算律
对任意z 1，z 2，z 3∈C ，满足交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1，结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．
思考1 若复数z 1，z 2满足z 1－z 2＞0，能否认为z 1＞z 2?
提示：不能．如2＋i －i ＞0，但2＋i 与i 不能比较大小．
2．复数加法的几何意义
如图，若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为两邻边的
平行四边形的对角线OZ →所对应的复数，即复数的加法可以按照向量的加法来进行，即OZ →＝OZ 1
→＋OZ 2→，这就是复数加法的几何意义．
提醒：因为复数具有数与形的双重性，因此复数加法也应从数与形两个方面来领会．代数形式上，复数加法类似于多项式加法的合并同类项；几何形式上，复数加法类似于向量加法．
3．复数减法的几何意义
设OZ 1→，OZ 2→分别与复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )对应，且OZ 1→，OZ 2→不共
线，则这两个复数的差z 1－z 2与向量OZ 1→－OZ 2→(即Z 2Z 1→)对应，这就是复数减法的几何意义．如
图所示．
这表明两个复数的差z 1－z 2(即OZ 1→－OZ 2→)与连接两个向量的终点Z 1，Z 2，且指向被减数
的向量对应．
思考2 从上图看，|z 1－z 2|的意义是什么？
提示：表示点Z 1与Z 2之间的距离．。