高三数学二轮复习 高考小题专攻练 4 数列 理 新人教版

高考小题专攻练 4.数列

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一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=( )

A.-1

B.1

C.3

D.7

【解析】选B.因为a1+a3+a5=105，即3a3=105，所以a3=35.同理可得a4=33，所以公差d=a4-a3=-2，所以a20=a4+(20-4)×d=1.

2.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( )

A. B.- C. D.-

【解析】选C.设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.

3.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( )

A. B.- C.± D.±3

【解析】选A.依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.

4.等差数列{a n}中,a1>0,公差d<0,S n为其前n项和,对任意自然数n,若点(n,S n)在以下4条曲线中的某一条上,则这条曲线应是( )

【解析】选C.因为S n=na1+d,所以S n=n2+n,又a1>0,公差d<0,所以点(n,S n)所在抛物线开口向下,对称轴在y轴右侧.

5.设等差数列{a n}的前n项和为S n,S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m等于( )

A.3

B.4

C.5

D.6

【解析】选C.由S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,得a m=2,a m+1=3,所以d=1,因为S m=0,故ma1+d=0,故a1=-,因为a m+a m+1=5,故a m+a m+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5,即m=5.

6.已知数列{a n}的通项公式是a n=,其前n项和S n=,则项数n等

于( )

A.13

B.10

C.9

D.6

【解析】选D.因为a n=1-,所以S n=+++…

+=n-=n-=n-1+.因为S n=,所以

n-1+==5+,所以n=6.

7.下面是关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题:p1:数列{a n}是递增数列;p2:数列{na n}是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列{a n+3nd}是递增数列.

其中的真命题为( )

A.p1,p2

B.p3,p4

C.p2,p3

D.p1,p4

【解析】选D.设a n=a1+(n-1)d=dn+a1-d,它是递增数列,所以p1为真命题;若a n=3n-12,则满足已知,但na n=3n2-12n并非递增数列,所以p2为假命题;若a n=n+1,则满足已知,但=1+是递减数列,所以p3为假命题;a n+3nd=4dn+a1-d,它是递增数列,所以p4为真命题.

8.在等差数列{a n}中,满足3a4=7a7,且a1>0,S n是数列{a n}前n项的和,若S n取得最大值,则n= ( )

A.7

B.8

C.9

D.10

【解析】选 C.设公差为d,由题设3(a1+3d)=7(a1+6d),所以d=-a1<0.解不等式a n>0,即a1+(n-1)>0,所以n<,则n≤9,当n≤9时,a n>0,同理可得n≥10时,a n<0.故当n=9时,S n取得最大值.

9.已知函数f(x)是定义在R上的单调增函数且为奇函数,数列{a n}是等差数列,a1009>0,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2016)+f(a2017)的值( )

A.恒为正数

B.恒为负数

C.恒为0

D.可正可负

【解析】选A.因为{a n}是等差数列,所以a1+a2017=a2+a2016=…=2a1009>0,得a1>-a2017,a2>-a2016,…,

又f(x)是定义在R上的单调增函数,且f(-x)=-f(x),所以f(a1)>-f(a2017),即f(a1)+f(a2017)>0,同理,f(a2)+f(a2016)>0,…,所以f(a1)+f(a2)+…+f(a2016)+f(a2017)的值恒为正数.

10.已知数列{a n}的通项公式为a n=(-1)n(2n-1)·cos+1(n∈N*),其前n项和为S n,则S60= ( )

A.-30

B.-60

C.90

D.120

【解析】选D.由题意可得,当n=4k-3(k∈N*)时,a n=a4k-3=1;当n=4k-2(k∈N*)时,a n=a4k-2=6-8k;当n=4k-1(k∈N*)时,a n=a4k-1=1;当n=4k(k∈N*)时,a n==8k.所以a4k-3+a4k-2+a4k-1+=8,所以S60=8×15=120.

11.已知f(x)=x+1,g(x)=2x+1,数列{a n}满足a1=1,a n+1=

则a2016= ( )

A.22016-2016

B.21007-2016

C.22016-2

D.21009-2

【解析】选D.a 2n+2=a2n+1+1=(2+1)+1=2+2.即a2n+2+2=2(+2),所以{+2}是以2为公比,a 2+2=4为首项的等比数列.所以+2=4×2n-1=2n+1.所以=2n+1-2.所以

a2016=21009-2.

12.设函数f1(x)=x,f2(x)=log2016x,a i=(i=1,2,…,2016),记

I k=|f k(a2)-f k(a1)|+|f k(a3)-f k(a2)|+…+|f k(a2016)-f k(a2015)|,k=1,2,则( )

A.I1

B.I1=I2

C.I1>I2

D.I1与I2的大小关系无法确定

【解析】选A.依题意知,f1(a i+1)-f1(a i)=a i+1-a i=-=,

因此I1=|f1(a2)-f1(a1)|+|f1(a3)-f1(a2)|+…+|f1(a2016)-f1(a2015)|=.

因为f2(a i+1)-f2(a i)=log2016a i+1-log2016a i=log2016-log2016>0,

所以I2=|f2(a2)-f2(a1)|+|f2(a3)-f2(a2)|+…+|f2(a2016)-f2(a2015)|