高考文数题型秘籍【31】数列求和解析版

专题三十一 数列求和

【高频考点解读】

熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式．

【热点题型】

题型一 非等差、等比数列求和的常用方法

例1、已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和 S n ＝32164

，则项数n 等于( ) A ．13 B ．10

C ．9

D ．6

【提分秘籍】

1．倒序相加法

如果一个数列{a n }，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的．

2．分组转化求和法

若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．

3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的．

4．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

5．解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路

(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来

完成；

(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．

2．等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决．

【举一反三】

11×4＋14×7＋17×10

＋…＋1n －n ＋等于( ) A.n 3n ＋1 B.3n 3n ＋1

C ．1－1n ＋1

D ．3－13n ＋1

【热点题型】

题型二 分组转化求和

例2、设等差数列{a n }的首项为1，其前n 项和为S n .公比是正整数的等比数列{b n }的首项为3，其前n 项

和为T n .若a 3＋b 3＝17，T 3－S 3＝12，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n ＋23b n 的前n 项和为________．

【提分秘籍】

注意熟记以下几个常用的求和公式

(1)12＋22＋32＋…＋n 2＝16

n (n ＋1)(2n ＋1)； (2)13＋23＋33＋…＋n 3＝14

n 2(n ＋1)2. 【热点题型】

题型三 裂项求和

例3、 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上．