三角函数公式、练习二

公式自我推导——和差化积
sin(A+B)+sin(A-B) = sin(A+B)-sin(A-B) = cos(A+B)+cos(A-B) = cos(A+B)-cos(A-B) = sinA+sinB= cosA+cosB=
tanA+tanB=
公式自我推导——积化和差公式
sinAsinB= cosAcosB= sinAcosB=
一、选择题：
1、函数y=sinxcosx+3 cos 2
x －
2
3
的最小正周期是（ ） A ．π B ．2π C ．
4
π
D ．
2
π 2、函数f(x) =
x
x
x cos cos 3cos -的值域为（ ） A ．(]0,4- B ．[)0,4- C ．[－4,0] D ．[0,4]
3、设t = sin θ+cos θ,且sin 3
θ+cos 3
θ<0,则t 的取值范围是
（ ）
A ．[－2 ,0]
B ．(－1,0)∪(1, 2 )
C ．[－2 , 2 ]
D ．(－3,0)∪(3 ,+ ∞)
4、已知tan(α+β) =
53 , tan(β－4π )=41 ,那么tan(α+4
π
)为 （ ）
A ．1813
B ．23
13 C ．227 D ．183
5、已知关于x 的方程2cosx+6sinx+1=0的两根分别为α、β,且α、β∈(0,2π),α≠β,则
sin(α+β)等于（ ）A ．
21 B ．2
3
C ．53
D ．32 6、设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是 （ ）
A ．tan αtan β<1
B ．sin α+sin β<2
C ．cos α+cos β>1
D ．
21tan(α+β)<tan 2
β
α+ 7、在ΔABC 中，3sinA ＋4cosB ＝6，4sinB ＋3cosA ＝1，则C 的大小为 （ ）
A ．
6π
B ．
65π C ．6
π或65π D ．
3π或32π
8、 已知函数f(x)=2asin 2
x －2 3sinxcosx+a+b(a<0)的定义域是[0, 2
π ],值域为[－5,1],则a 、b 值分别为
（ ）A ．a=2, b=－5 B ．a ＝－2,b=2 C ．a=－2, b=1 D ．a=1,b=－2 二、填空题：
9、设α、β均为锐角，cos α＝
71 ，cos(α+β）=－4
11
,则cos β＝＿＿＿. 10、 tan300°+cot405°的值为_______.
11、(1+3 tan α)(1+tan β)= 4,且α,β都是锐角,则α+β=______.
12、化简：α
α
ααα22sin 21cos sin )45(tan 1)45tan(-⨯
+-+ = ________. 三、解答题：
13、已知α,β∈(0,π),且tan α,tan β是方程x 2
－5x+6=0的两根. ①求α+β的值.
②求cos(α－β)的值.
14、已知,4
0,1312)4
sin(
ππ
<<=
-x x 且求)
4
cos(2cos x x +π
.
15、是否存在锐角α和β，使得①α+2β=
32π； ②tan β=(2－3 )cot 2
α同时成立？若存在,请求出α和β的值；若不存在,请说明理由.
16、二次函数f(x)=x 2
+bx+c(b,c ∈R),已知无论α,β为任何实数,f(sin α)≥0,f(2+cos β)≤0. ①求证：b+c= －1. ②求证：c ≥3
③若f(sin α)的最大值为8,求f(x)的解析式.
一、AAACC DAC 二、（9）
21 （10）31- （11）3π （12）4
1
- 三、（13）①由根与系数的关系得：
βαβ
αβαβαβαtan tan 1tan tan )tan()
2(6tan tan )1(5tan tan -+=+∴⎩⎨
⎧==+ .
43),,0(),2
,0(,),,0(,,0tan ,0tan .1615π
βαπβαπ
βαπβαβα=+∈+∈∴∈>>-=-=
所以且又
②由（1）得)3(2
2
sin sin cos cos )cos( -
=-=+βαβαβα 由（2）得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧===102cos cos 523sin sin )4)(3()4(cos cos 6sin sin βαβαβαβα得联立
32)33(tan ,2
tan .33tan 2tan 32tan 2tan 3tan 2
tan 1tan 2tan )2tan(,32,,)15(.
1310)4
cos(2cos ,1312)4sin(4
2sin )4cos(,169120)4cos()
4
sin(2)22sin(2cos ,135)4(sin 1)4cos(,440,4
0,1312)4sin()14.(1027sin sin cos cos )cos(22=-+---=+-==-+=+=+=+∴=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=--=-==--=-<-<<<=-=
+=-∴x x x x x x x x x x x x x x x x 是一元二次方程显然上式得代入
又则存在假设所求的而得由βα
βαβαβαβ
α
βαπβαβαπππππππππππππ
πβαβαβα的两个根，解得：
.
34)(,34
01)1(81)1(.)(sin ,1sin 22
1
,4)1()21(sin sin )1(sin )(sin 3
0)1(3939)12()3(.
1,
01)1(.0)1(,0)1(0)1(.0)cos 2(,0)(sin ,3cos 21,1sin 1)
16.(4
,6,6232,
4
,1tan ,322
tan
,12
tan
,4
2
0.32,122221+-=∴⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=++==+-=--=≥++-++-
=++-=≥∴≤+--+=++=+=-=+∴=++=∴=∴⎩⎨⎧≤≥∴≤+≥≤+
≤≤≤-===-=
=
∴=-=≠<
<
-==x x x f c b c b f c b f f c c c c c c f c c c c b f f c b c b f f f f f f x x 即有最大值当而又两式同时成立使即存在从而有由于ααααααβαβαπ
βπαπβπαπ
ββα
α
π
α
①② ① ③
②。