圆中不唯一解的问题举例

圆中不唯一解的问题举例河北省围场县天卉中学（068451）赵平邮箱 h121206@ 圆是我们大家非常熟悉的一个完美图形，它是边数无穷多的正多边形，因此它具备正多边形的所有性质，它不仅是轴对称图形，有无数条对称轴，同时它又是中心对称图形，还具有独特的旋转不变性．正是由于圆的如此特性，因此，在解决与圆有关的问题时，往往造成因答案不完整而丢分的现象，为了避免这一为题，在解答时一定要注意分类讨论，确保不漏解、不丢解，把题目解答完整、完美．现将圆中常见的不唯一解的问题进行归纳举例如下，与各位同仁共赏．一、当点与圆的位置关系不确定时，圆的半径不唯一．例1已知：点P到圆上的点的最大距离是5㎝，最小距离是3㎝，则⊙O的半径为㎝．简析：点与圆的位置关系有三种，点在圆外、点在圆上、点在圆内，根据题意知点P 不在圆上，因此，应分点P在⊙O内或点P在⊙O外两种情况来考虑．当点P在⊙O内时，如图1，AP=5㎝，PB=3㎝．AB=5＋3=8（㎝）．所以⊙O的半径为4㎝；当点P在⊙O外时，如图2，AP=5㎝，PB=3㎝, AB=5-3=2（㎝），所以⊙O的半径为1㎝．综上可知⊙O的半径为4㎝或1㎝．例2 从不在⊙O上的一点A作⊙O的割线，交⊙O于点B、C，且AB²AC=64，OA=10，求⊙O的半径r的值．简析：因为点A不在⊙O上，所以应分点A在圆外和点A在圆内两种情况来考虑．当点A在圆外时如图3，根据切割线定理得AB²AC=AE²AF=64,又OA=10，OE=OF=r，则AE=10-r，AF=10+r，即64=(10-r)( 10+r)，解得16r=，26r=-（舍去）．当点A在圆内时如图4，根据相交弦定理得AB²AC=AE²AF=64, 又OA=10，OE=OF=r，则AE= r-10，AF=r+10，即64=(r-10)(r+10)，解得3r=4r=-O的半径r的值为6或二、当点在优弧或劣弧上的位置不确定时，以该点为顶点的圆周角的度数不唯一．例3 已知：AB,AC与⊙O相切于点B、C, ∠A=50°, 点D为异于B、C的一动点，则∠BDC的度数为 .简析：动点D的位置有两种可能，一是点D在优弧BDC上，如图5；二是点D在劣弧BC 上，如图6. 连接OB,OC,由切线的性质得OB ⊥AB,OC⊥AC,利用四边形的内角和为360°,求得∠BOC=130°.再由圆周角定理求得∠BA图1AF图3 图4图6 图5BDC=∠BOC=65°或∠BDC=（360°-∠BOC ）=115°即∠BDC 的度数为65°或115°.三、当弦所对的弧不确定时 ，弦所对的圆周角不唯一．例4 已知：如图7，半径为2的圆中，长度为2的弦所对的圆周角的度数为 . 简析：如图5，⊙O 的半径为2，弦AB=2，则弦AB 所对的圆周角有两类，即一类为劣弧AB 所对的圆周角如∠ACB ，另一类为优弧AB 所对的圆周角如∠ADB.连结OA ，OB ，则△OAB 为等边三角形，所以∠AOB =60°,根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半可知∠ACB=30°,再根据圆内接四边形的性质，可以求出∠ADB=150°，所以半径为2的圆中，长度为2的弦所对的圆周角的度数为30°或150°.四、当弦所对的弧不确定时，弓形的高不唯一.例5 已知圆的半径为5，弦AB=8，则弦AB 与其所对的弧构成的弓形的高为 . 简析：由于没有明确是弦AB 所对的优弧，还是劣弧所形成的弓形，因此分为图8和图9两种情况来考虑.图8中，因为OA=OC=5,AD=4，所以在Rt △AOD 中，OA 2=AD 2+(5-CD)2,即25=16+(5-CD)2,解得CD 1=2，CD 2=-8（舍去）.如图9，弦AB 与其所对的优弧构成的弓形的高为DE ，前面已求得DC=2，所以DE=10-2=8.所以弦AB 与其所对的弧构成的弓形的高为2或8.五、平行弦的位置不确定时，两平行弦之间的距离不唯一.例6 半径为5的圆内有两条平行弦，长度分别为6和8，求这两条弦之间的距离. 简析：第一种情况如图9两弦在圆心的同侧，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为6，弦CD 的长为8，且AB ∥CD ，过点O 作O E ⊥AB 于点E ，交CD 于点F ，由AB ∥CD 知O E ⊥CD 于点F ，所以由垂径定理得EB=3，FD=4，于是在Rt △OEB ，和△OFD 中又知OD=OB=5，所以可以求出OE=4,OF=3, 所以EF=4-3=1，即弦AB 、CD 之间的距离为1．第二种情况如图10两弦在圆心的异侧，其他条件均无变化，根据前面的分析不难求出OE=4,OF=3,所以EF=4+3=7，所以此题的答案为1或7．六、当射线与圆的位置关系不确定时，半径的取值范围不唯一． 例7 已知：∠ABC=30°，点O 为BC 上的一点，且OB=6，若以点O 为圆心，以r 为半径的圆与射线BA 只有一个公共点，则r 的取值范围是 ．简析：当⊙O 与射线BA 只有一个公共点时，会有两种可能的情况：一是⊙O 与射线BA 相切，如图11；二是⊙O 与射线BA 只相交于一点，如图12．在图11中，连结接圆心O 和BA 与⊙O 的切点D ，得OD ⊥BA ，因为∠ABC=30°，在Rt △DBO 中可求得OD=3；即r=3；在图12中，由观察可知，当r ＞6时，⊙O 与射线BA 只有一个公共点，所以r 的取图11CCB图12图7图9图8图9值范围是：r=3或r ＞6．七、当两圆的位置关系不确定时，圆心距的取值范围不唯一．例8 已知：⊙O 1的半径为2㎝，⊙O 2 的半径为5㎝ ，两圆无公共点，则两圆心距d 的取值范围是 .简析：因两圆无公共点，则⊙O 1与⊙O 2 外离或内含.当两圆外离时，d ＞2＋5=7（㎝）；当两圆内含时，0≤d＜5-2=3（㎝），故d 的取值范围是：d ＞7㎝或0㎝≤d＜3㎝.八、当两圆相切的关系不确定时，圆心距得值不唯一.例9 两圆的半径分别为3和5，若两圆相切，则圆心距为 .简析：此题没有明确两圆究竟是内切还是外切，所以要分情况考虑，当两圆内切时，圆心距为5-3=2，当两圆外切时，圆心距为5+3=11，即圆心距为2或11.九、当圆心与两弦的位置不确定时，两弦的夹角不为一.例10 在半径为1的⊙O 中，弦BAC= . 简析：圆心与两弦的位置关系可考虑两种情况： 一是圆心在两弦之间，如图13；二是圆心在两弦同侧，如图14.连接OA,OC, 由勾股定理的逆定理可知△AOC 为Rt △,进而求得∠DAC =45°；延长AO 交⊙O 于点D ，连接BD,因AD 为直径，所以△ABD 为Rt △，由解Rt △的知识求得∠BAD=30°,从而求得∠BAC=45°＋30°=75°或∠BAC=45°-30°=15°.即∠BAC=75°或15°.十、当相交两圆的公共弦与两圆心的位置不确定时, 圆心距的值不唯一. 例11 若相交两圆的半径分别是15㎝和13㎝，公共弦长为24㎝，则两圆的圆心距为 ㎝.简析：对于两个不等的圆相交时，公共弦的位置有两种可能的情况：一是公共弦在两圆心之间，如图15；二是公共弦在两圆心同侧，如图16.连接O 1A,O 2A,O 1O 2的延长线交公共弦AB 于点C.由相交两圆的性质得O 1O 2⊥AB,AC=CB=12AB=12㎝,由勾股定理得O 1C=9，O 2C=5，所以O 1O 2=（9＋5）㎝=14㎝或O 1O 2=（9-5）㎝ =4㎝.即两圆的圆心距为14㎝4㎝.十一、方程的解不确定时，两圆的位置关系不唯一． 例12 设两圆的半径分别为R 和r （R> r ），圆心距为d ，且满足d 2+R 2－r 2=2Rd ，试确定这两圆的位置关系．简析：把等式变形后得到d 与R 、r 之间的关系即可确定两圆的位置关系．由d 2+R 2-r 2=2Rd 得，d 2－2Rd + R 2 =r 2，进而变形为(d －R)2= r 2，所以d －R =±r ，所以d=R ±r ，当d=R+r 时，两圆相外切，当d=R －r 时，两圆相内切，即定这两圆的位置关系为内切或外切．十二、两圆的位置不确定时，圆心距的值不唯一． 例13 两圆的半径分别为4和2，如果它们有两条公切线互相垂直，求这两圆的圆B图13图14图16图15图17 图19心距，并画出图形．简析：如图17，图18，图19均符合题目要求．（一）图14中，O1O2==（二）图15中，O1O2=（三）图16中，O1O2==综上这两圆的圆心距为或十三、其他情境中，关于圆的为题解不唯一．例13．如图9，在10³6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B内切，那么⊙A由图示位置需向右平移个单位长．简析：在整个运动过程中，显然⊙A与⊙B内切有两次，⊙A由图示位置需向右平移的单位数分别为4或6．例14 如图3，已知O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个简析：首先我们确定到直线AB的距离为2的所有点所构成的图形为平行于AB，且到AB得距离为2的两条直线，也就是符合题目要求的点，既在这样的直线上，又在圆上，于是我们就来找这样的直线与圆的交点，在AB上方的直线显然与圆有两个交点，而在AB下方的直线与圆的交点，就要判定该直线与圆的位置关系，根据题目给出的条件O到弦AB的距离为3，而AB下方直线上的点到AB得距离为2，所以点O到这样的直线的距离为5，恰好等于O的半径，即该直线与O相切，即直线与圆有一个公共点，综上满足条件的点共有3个，故选C．总之，在解决与圆有关的问题时，一定要纵观全局，不要一叶障目不见森林，当某些因素不确定时，要注意运用分类讨论的思想加以考虑，防止漏解致错.图3。