02第二章 机电系统的数学模型

L[ f (t )] F (s)


f (t )e st dt
0
是实数； 是角频率(rad/s）。 式中 s j 为复数，
L 为运算符号，称为拉普拉斯变换算子；
F ( s) 为函数 f (t ) 的拉普拉斯变换。
常用的拉氏变换可以参见表2.2。
2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法
则上式可改写为：
如果电机轴上的转动惯量Ja和电枢电阻Ra忽略不计，则方程变为：
此时电枢电压ua与电机的转速成正比，这就是测速发电机的原理。
2.1
例2.4
微分方程的建立
令：
则天线方位角伺服系统的运动微分方程式:
或:
2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法
2.2.1 拉普拉斯变换的定义 如果一个以时间 t为自变量的函数f（t），它的 定义域是t 0，那么，拉普拉斯变换为
第二章
机电系统的数学模型
主 要 内 容
2.1 微分方程的建立 2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换 求解方法 2.3 传递函数与方框图 2.4 状态空间模型
2.1
微分方程的建立
1.建立系统微分方程式的一般步骤




分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，将系统划 分为若干个环节（或元件），确定每一环节的输入信号和 输出信号。 根据支配系统动态特性的定律，从输入端开始，按照信号 的传递顺序，列出各个元件描述输出信号和输入信号相互 关系的动态方程式，一般为微分方程组； 消去中间变量，最后得到只包含系统输入量和输出量的微 分方程式，即系统的数学模型； 将方程式化为标准形式，即将与输入有关的各项放在等号 右边，与输出有关的各项放在等号的左边，并且各导数项 要按降幂排列，最后将系数归化为反映系统动态特性的参 数，如时间常数等。
k
则系统的方程为:
Fi
m
上式经整理，可得系统的微分方程为:
f
y
2.1
微分方程的建立
例2. 2 机械转动系统

已知机械转动系统如图2.2所示，系统由惯性负载和粘性摩擦阻尼器组 成。系统的输入以外力矩M，系统的输出为角速度ω 。试列出系统运动 方程式。 f 解: 牛顿第二定律可以表示为 ：
M
M
J
式中J 为惯性负载的转动惯量，ω为角速度，M 为外加到系统的转动 力矩。代入元件方程，可得 或 若系统的输出为转角θ， 据ω = dθ/ dt
2.2.3 拉氏变换基本定理 1. 常数定理 2. 线性定理
L[ Af (t )] AF( s)
L[a f1 (t ) b f 2 (t )] a F1 ( s) b F2 (s)
3. 衰减定理 4. 延迟定理
L[e
at (t )] e s F (s)
2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法
2.2.3 拉氏变换基本定理 5. 微分定理
df (t ) L[ ] sF(s) f (0) dt
d 2 f (t ) 2 L[ ] s F ( s) sf (0) f (0) 2 dt
L[ d n f (t ) d
n
] s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f (0) f
f

Fi

m
y
不同的系统，其数学模 型均为二阶微分方程，即 相似的数学模型。亦即是 说各物理系统的特性参数 间也存在着一定的运动相 似性。
R
L
ui
i
C
uo
2.1

微分方程的建立
机电系统的相似性

机电系统方程
2.1

微分方程的建立
例2.4天线方位角伺服系统如图2. 4所示，试列出以电枢电压ua为 输入信号，跟踪卫星的天线的方位角θ为输出信号的运动方程式。
2.1

微分方程的建立
2.典型元件
2.1

微分方程的建立
典型元件
2.1

微分方程的建立
典型元件
2.1
微分方程的建立
网络方程——元件连接原则
电气系统 : 基尔霍夫电压定理 基尔霍夫电流定理 机械系统:





空间连续律
达朗贝尔静力平衡原理

2.1
微分方程的建立
例2. 1 机械平移系统 设弹簧-质量-阻尼组成的简单的机械平移系统如图所示， 列出以F为输入，以质量的位移y为输出的运动方程式（不 计重力）。 解：根据牛顿第二定律可得

3. 系统方程
2.1
例2.4
微分方程的建立
输入为电枢电压ua，输出为天线旋转角速度的二阶微分方程为：
工程简化：电动机电枢电感La通常比较小，因此可以忽略La； 在 M d 可作为干扰信号来处理 工程实践中， M c f 和
2.1
例2.4 如果设
微分方程的建立
则可得到一阶线性微分方程为：
若以电动机转角为输出，即
ke——反电动势系数V/rad/s） Ja ——电动机转子的转动惯量（kg· m2） b——阻尼系数（N· m/rad/s） Ma——电动机的电磁转矩（N· m） Md——风力产生的阻力矩（N· m） kc——电机转矩系数（N· m/A）
2.1
例2.4

微分方程的建立
1． 电网络平衡方程
其中

2． 机械平衡方程
n 1
(0)
2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法
2.2.3 拉氏变换基本定理 6. 积分定理 7. 初值定理
F (s) f 1 (0) L[ f (t )dt] s s

t 0
lim f ( t ) f ( 0 ) lim sF ( s) s
R L
a
a
u
a
ia
J
a a
e
M
m
? M i
f
d
图2. 4天线方位角伺服系统
2.1
例2.4
u R
a
微分方程的建立
L
a
a
ia
J
a a
e
M
m
? M i
f
d

解 ： 符号定义： ua——电动机的电枢电压（V） em——电动机的反电势（V） Ia ——电动机的电枢电流（A） Ra——电枢绕组的电阻（Ω） La——电枢绕组的电感（H） ω ——电动机轴的转速（rad/s）
2.1
微分方程的建立
例2.3 电气系统
设有一个以电阻R、电感L和电容C组成的R-L-C电路如图所示。试列写 以ui为输入，uo为输出的微分方程式。
R L
解: 根据基尔霍夫定律写出 电路方程
ui
i
C
uo
其中
亦即
消去中间变量 i得输入-输出的运动方程式
2.1

微分方程的建立
k
机电系统的相似性
例2.1 例2.3