松江二中期末数学试卷(高一上学期)

一、填空题：
1、已知扇形的圆心角为
π32，面积为π3
25
，则扇形的弧长为_______. 2、已知α∈}3,2,1,2
1,21,1,2⎩
⎨⎧
---，若幂函数f(x)=x a
为偶函数，且在(0，+∞)上严格递减，则a=________. 3、方程)2,0(,2
1
cos πθθ∈=
的解集是_______. 4、已知集合}{
21|y x
y M -
==，集合}{1)(1|2
+==x g y y N ，则N M ⋂=_____.
5、已知角a 终边上一点P(4a,3a),(a<0),求值
a
a cos 1
sin +=______.
6、若⎪⎩⎪⎨⎧≥<=),
(,1),
(,)(f 2
2a x g a x x x x 若4)2(f =，则a 的取值范围是_______.
7、若存在实数x 便不等式_____a 31的取值范围是成立，则实数≤-+-x a x . 8、定义域为R 的函数)(x f y =，当x>0时，x x f x
-=2
)(，则当x<0时f(x)=_______.
9、若函数)1()(log -=
ax x f a
在区间(2,3)上严格递减，则实数a 的取值范围是________.
10、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-=1
,11
,)(2
x ax x ax x f x ，若存在x x x x R 2121,,≠∈,使得)
()(21x x f f =成立，则实数a 的取值范围是________.
11、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=2
,52
,1)(2x x x x f x ，若有不相等的实数a 、b 、c 满足)()()(c f b f a f ==，
则
222
c
b a
++的取值范围是________.
12、设[]x 表示不超过x 的最大整数，用数组⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⋯⋯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡1001001001001003212
222，，，
，组成集合A ，则集合A 的元素个数是_________.
二、选择题：
13.设P 和Q 是两个集合，定义集合}{,|Q x P x x Q P ∉∈=-且如果
}
{,1|log 2
<=x x P }{,12||<-=x x Q 那么=-Q P ______.
A. (0,1)
B. (]1,0
C. (-∞,1)
D. (]1-，
∞
14. 设a 和b 都是非零实数，则不等式a>b 和
b
a 1
1>同时成立的充要条件是________. A. a>b B. 0>a>b C. a>b>0 D. a>0>b 15. 函数5)(2
1
-+=
-x x f x 的零点所在的区间是________.
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,4)
16. 对于定义在R 上的函数)(x f y =，若存在函数a 、b,使得b x f a x f +≤+)()(对一切
R x ∈均成立，则称)(x f y =是”控制增长函数”，现有两个命题：
①函数1)(2
++=x x f x
是”控制正常函数”；
②函数x x f =
)(是”控制增长函数”。

下列判断正确的是_________.
A. ①和②都是真命题。

B. ①是真命题，②是假命题
C. ①和②都是假命题。

D. ①是假命题，②是真命题
三、解答题：
17、已知3)(tan -=-a π， (1) 求a tan 的值； (2) 求
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--+--a a a a a a 23cos 2sin )
cos()2sin()cos()sin(πππππ的值。

18、已知函数2
)
1()(--=
x x a x f ，a 为常数. (1) 若有2)(>x f 的解集为(2,3)，求a 的值;
(2) 若3)(-<x x f 对任意)2(∞+∈，恒成立；求a 的取值范围。

19、松江有轨电车通车后将给市民出行带来了便利。

已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t (单位：分钟) 满足202≤≤t ，市场调研测试，电车载客客量与发车时间间隔t 相关，当2010≤≤t 时电车为满载状态，载客为400人，当102≤≤t 时，载客量会少，少的人数与)10(t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客为272人，记电车载客为)(t P . (1) 求)(t P 的表达式;
(2) 若该线路分钟的净收益为601500
)(6--=t
t p Q (元)，问当发车时间间隔为多少时，该
线路每分钟的净收益最大？
20、若函数)(x f y =满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量
x
，都有函数值
D f x ∈)(0，则称函数)(x f 在D 上封闭。

(1) 若下列函数：
1)(,
12)(22
1
-=-=x
x x x f
f
的定义域为D=(0,1)，试判断其中哪些在D
上封闭，并说明理由。

(2) 若函数2
5)(+-=
x a
x x g 的定义域为(1,2)，是否存在实数a,使得)(x g 在其定义域(1,2)上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明；若不存在，请说明理由。

(3) 已知函数)(x f y =在其定义域D 上封闭，且严格递增，若x x x f f D 0
))((=∈且，
求证：x
x f 0
)(
=.
21、已知函数c b x x f ax
++-=
2)(2
为偶函数，且值域为[)∞+，
0. (1) 试求出实数a 、b 、c 满足的条件，并说明理由；
(2) 求函数)(x f 在[)∞+，
1上的最小值)(a g ； (3) 定义在[]q p ,上的一个函数)(x m ，用分法T:
q p x x x x x n i i =⋯<<<⋯<=-110,将区间[]q p ,任意划分为n 个小区间，如果存在一个常数M>0,使得不等式
M m m m m m m m m x x x x x x x x n n i ≤-+⋯+-+⋯+-+---)()()()()()()()(1111201恒
成立，则称函数)(x m 为在[]q p ,上的有界变差函数。

若点(0,1)在函数)(x f 的图像上，试判断)(x f 是否为在[]3,1-上的有界变差函数？若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由。