优化探究高考数学一轮复习 第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业 理 新人教A版

【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第八章 第四节 直线与圆、

圆与圆的位置关系课时作业 理 新人教A 版

A 组 考点能力演练

1．(2016·洛阳二练)已知圆C ：x 2

＋y 2

＝4，若点P (x 0，y 0)在圆C 外，则直线l ：x 0x ＋y 0y ＝4与圆C 的位置关系为( )

A ．相离

B ．相切

C ．相交

D ．不能确定

解析：由题意：圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝4

x 20＋y 20

，∵点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2

＝4

外，∴x 2

0＋y 2

0>4，∴d ＝

4

x 20＋y 2

<2，∴直线l 与圆相交．

答案：C

2．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2

＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )

A ．(x ＋2)2

＋(y －2)2

＝1 B ．(x －2)2

＋(y ＋2)2

＝1 C ．(x ＋2)2

＋(y ＋2)2

＝1 D ．(x －2)2

＋(y －2)2

＝1

解析：C 1：(x ＋1)2

＋(y －1)2

＝1的圆心为(－1,1)，所以它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2

＋(y ＋2)2

＝1.

答案：B

3．(2015·长春二模)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2

＋(y －1)2

＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )

A ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)

B ．(－∞，－22]∪[22，＋∞)

C ．[2－22，2＋22]

D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：由直线与圆相切可知 |m ＋n |＝

m ＋

2

＋n ＋

2

，

整理得mn ＝m ＋n ＋1，由mn ≤⎝ ⎛⎭

⎪⎫m ＋n 22

可知m ＋n ＋1≤14

(m ＋n )2

，

解得m ＋n ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)，故选A. 答案：A

4．过点(－2,3)的直线l 与圆x 2

＋y 2

＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )

A ．x －y ＋5＝0

B ．x ＋y －1＝0

C ．x －y －5＝0

D ．2x ＋y ＋1＝0

解析：本题考查直线与圆的位置关系．由题意得圆的标准方程为(x ＋1)2

＋(y －2)2

＝5，则圆心C (－1，2)，过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝

3－2

－2－－

＝－1.当直线l

与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0，故选A.

答案：A

5．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －2)2

＋y 2

＝5上的任意一点，点Q (2a ，a ＋2)，其中a ∈R ，则线段PQ 长度的最小值为( )

A.55

B. 5

C.35

5

D.

65

5

解析：设点Q (x ，y )，则x ＝2a ，y ＝a ＋2，∴x －2y ＋4＝0，∴点Q 在直线x －2y ＋4＝0上．由于圆心(2,0)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|2－0＋4|1＋4＝65

5，所以PQ 长度的最小

值为d －5＝

655－5＝5

5

，故选A. 答案：A

6．圆x 2

＋y 2

＋x －2y －20＝0与圆x 2

＋y 2

＝25相交所得的公共弦长为________． 解析：公共弦的方程为(x 2

＋y 2

＋x －2y －20)－(x 2

＋y 2

－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x 2

＋y 2

＝25的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|

5

＝5，而半径为5，故公共弦长为

252－

5

2

＝4 5.

答案：4 5

7．(2016·泰安调研)已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________．

解析：因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两平行直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|

3＋1

＝3.又直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径

r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.

答案：25π

8．(2016·福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2

＋(y －3)2

＝4相交于A 、B 两点，则CA →·CB →

的值为________．

解析：依题意得，点C 的坐标为(3,3)．

由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝x ＋2，x －2

＋y －

2

＝4，

解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝3

y ＝5或⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝1，

y ＝3，

可令A (3,5)，B (1,3)，∴CA →＝(0,2)，CB →

＝(－2,0)， ∴CA →·CB →

＝0. 答案：0

9.如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两

点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且|MN |＝3.

(1)求圆C 的方程；

(2)过点M 任作一直线与圆O ：x 2

＋y 2

＝4相交于A ，B 两点，连接AN ，

BN ，求证：k AN ＋k BN 为定值．

解：(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m >0)，

则圆C 的半径为m ，又|MN |＝3，所以m 2＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝254，解得m ＝52，所以圆C 的方程为⎝ ⎛⎭

⎪

⎫x －522

＋(y －2)2

＝254

.

(2)由(1)知M (1,0)，N (4,0)，当直线AB 的斜率为0时，易知k AN ＝k BN ＝0，即k AN ＋k BN ＝0. 当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x ＝1＋ty ，将x ＝1＋ty 代入x 2

＋y 2

－4＝0，并

整理得，(t 2＋1)y 2

＋2ty －3＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧

y 1

＋y 2

＝－2t

t 2

＋1，y 1y 2

＝－3

t 2

＋1，

则k AN ＋k BN ＝

y 1x 1－4

＋

y 2x 2－4

＝

y 1ty 1－3＋y 2

ty 2－3＝

2ty 1y 2－

y 1＋y 2ty 1－ty 2－

＝

－6t t 2

＋1＋6t

t 2＋1ty 1－ty 2－

＝0.

综上可知，k AN ＋k BN 为定值．