优化探究高考数学一轮复习 第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业 理 新人教A版
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【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第八章 第四节 直线与圆、
圆与圆的位置关系课时作业 理 新人教A 版
A 组 考点能力演练
1.(2016·洛阳二练)已知圆C :x 2
+y 2
=4,若点P (x 0,y 0)在圆C 外,则直线l :x 0x +y 0y =4与圆C 的位置关系为( )
A .相离
B .相切
C .相交
D .不能确定
解析:由题意:圆C 的圆心到直线l 的距离d =4
x 20+y 20
,∵点P (x 0,y 0)在圆x 2+y 2
=4
外,∴x 2
0+y 2
0>4,∴d =
4
x 20+y 2
<2,∴直线l 与圆相交.
答案:C
2.已知圆C 1:(x +1)2+(y -1)2
=1,圆C 2与圆C 1关于直线x -y -1=0对称,则圆C 2的方程为( )
A .(x +2)2
+(y -2)2
=1 B .(x -2)2
+(y +2)2
=1 C .(x +2)2
+(y +2)2
=1 D .(x -2)2
+(y -2)2
=1
解析:C 1:(x +1)2
+(y -1)2
=1的圆心为(-1,1),所以它关于直线x -y -1=0对称的点为(2,-2),对称后半径不变,所以圆C 2的方程为(x -2)2
+(y +2)2
=1.
答案:B
3.(2015·长春二模)设m ,n ∈R ,若直线(m +1)x +(n +1)y -2=0与圆(x -1)2
+(y -1)2
=1相切,则m +n 的取值范围是( )
A .(-∞,2-22]∪[2+22,+∞)
B .(-∞,-22]∪[22,+∞)
C .[2-22,2+22]
D .(-∞,-2]∪[2,+∞) 解析:由直线与圆相切可知 |m +n |=
m +
2
+n +
2
,
整理得mn =m +n +1,由mn ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫m +n 22
可知m +n +1≤14
(m +n )2
,
解得m +n ∈(-∞,2-22]∪[2+22,+∞),故选A. 答案:A
4.过点(-2,3)的直线l 与圆x 2
+y 2
+2x -4y =0相交于A ,B 两点,则|AB |取得最小值时l 的方程为( )
A .x -y +5=0
B .x +y -1=0
C .x -y -5=0
D .2x +y +1=0
解析:本题考查直线与圆的位置关系.由题意得圆的标准方程为(x +1)2
+(y -2)2
=5,则圆心C (-1,2),过圆心与点(-2,3)的直线l 1的斜率为k =
3-2
-2--
=-1.当直线l
与l 1垂直时,|AB |取得最小值,故直线l 的斜率为1,所以直线l 的方程为y -3=x -(-2),即x -y +5=0,故选A.
答案:A
5.在平面直角坐标系xOy 中,设点P 为圆C :(x -2)2
+y 2
=5上的任意一点,点Q (2a ,a +2),其中a ∈R ,则线段PQ 长度的最小值为( )
A.55
B. 5
C.35
5
D.
65
5
解析:设点Q (x ,y ),则x =2a ,y =a +2,∴x -2y +4=0,∴点Q 在直线x -2y +4=0上.由于圆心(2,0)到直线x -2y +4=0的距离为d =|2-0+4|1+4=65
5,所以PQ 长度的最小
值为d -5=
655-5=5
5
,故选A. 答案:A
6.圆x 2
+y 2
+x -2y -20=0与圆x 2
+y 2
=25相交所得的公共弦长为________. 解析:公共弦的方程为(x 2
+y 2
+x -2y -20)-(x 2
+y 2
-25)=0,即x -2y +5=0,圆x 2
+y 2
=25的圆心到公共弦的距离d =|0-2×0+5|
5
=5,而半径为5,故公共弦长为
252-
5
2
=4 5.
答案:4 5
7.(2016·泰安调研)已知直线3x -y +2=0及直线3x -y -10=0截圆C 所得的弦长均为8,则圆C 的面积是________.
解析:因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8,所以圆心到直线的距离d 为两平行直线距离的一半,即d =12×|2+10|
3+1
=3.又直线截圆C 所得的弦长为8,所以圆的半径
r =32+42=5,所以圆C 的面积是25π.
答案:25π
8.(2016·福州质检)若直线x -y +2=0与圆C :(x -3)2
+(y -3)2
=4相交于A 、B 两点,则CA →·CB →
的值为________.
解析:依题意得,点C 的坐标为(3,3).
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y =x +2,x -2
+y -
2
=4,
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x =3
y =5或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x =1,
y =3,
可令A (3,5),B (1,3),∴CA →=(0,2),CB →
=(-2,0), ∴CA →·CB →
=0. 答案:0
9.如图,已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2),与x 轴的正半轴交于两
点M ,N (点M 在点N 的左侧),且|MN |=3.
(1)求圆C 的方程;
(2)过点M 任作一直线与圆O :x 2
+y 2
=4相交于A ,B 两点,连接AN ,
BN ,求证:k AN +k BN 为定值.
解:(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0,2),可设圆心的坐标为(m,2)(m >0),
则圆C 的半径为m ,又|MN |=3,所以m 2=4+⎝ ⎛⎭⎪⎫322=254,解得m =52,所以圆C 的方程为⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x -522
+(y -2)2
=254
.
(2)由(1)知M (1,0),N (4,0),当直线AB 的斜率为0时,易知k AN =k BN =0,即k AN +k BN =0. 当直线AB 的斜率不为0时,设直线AB :x =1+ty ,将x =1+ty 代入x 2
+y 2
-4=0,并
整理得,(t 2+1)y 2
+2ty -3=0.
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 所以⎩⎪⎨⎪⎧
y 1
+y 2
=-2t
t 2
+1,y 1y 2
=-3
t 2
+1,
则k AN +k BN =
y 1x 1-4
+
y 2x 2-4
=
y 1ty 1-3+y 2
ty 2-3=
2ty 1y 2-
y 1+y 2ty 1-ty 2-
=
-6t t 2
+1+6t
t 2+1ty 1-ty 2-
=0.
综上可知,k AN +k BN 为定值.