优化探究高考数学一轮复习 第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业 理 新人教A版

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【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第八章 第四节 直线与圆、

圆与圆的位置关系课时作业 理 新人教A 版

A 组 考点能力演练

1.(2016·洛阳二练)已知圆C :x 2

+y 2

=4,若点P (x 0,y 0)在圆C 外,则直线l :x 0x +y 0y =4与圆C 的位置关系为( )

A .相离

B .相切

C .相交

D .不能确定

解析:由题意:圆C 的圆心到直线l 的距离d =4

x 20+y 20

,∵点P (x 0,y 0)在圆x 2+y 2

=4

外,∴x 2

0+y 2

0>4,∴d =

4

x 20+y 2

<2,∴直线l 与圆相交.

答案:C

2.已知圆C 1:(x +1)2+(y -1)2

=1,圆C 2与圆C 1关于直线x -y -1=0对称,则圆C 2的方程为( )

A .(x +2)2

+(y -2)2

=1 B .(x -2)2

+(y +2)2

=1 C .(x +2)2

+(y +2)2

=1 D .(x -2)2

+(y -2)2

=1

解析:C 1:(x +1)2

+(y -1)2

=1的圆心为(-1,1),所以它关于直线x -y -1=0对称的点为(2,-2),对称后半径不变,所以圆C 2的方程为(x -2)2

+(y +2)2

=1.

答案:B

3.(2015·长春二模)设m ,n ∈R ,若直线(m +1)x +(n +1)y -2=0与圆(x -1)2

+(y -1)2

=1相切,则m +n 的取值范围是( )

A .(-∞,2-22]∪[2+22,+∞)

B .(-∞,-22]∪[22,+∞)

C .[2-22,2+22]

D .(-∞,-2]∪[2,+∞) 解析:由直线与圆相切可知 |m +n |=

m +

2

+n +

2

整理得mn =m +n +1,由mn ≤⎝ ⎛⎭

⎪⎫m +n 22

可知m +n +1≤14

(m +n )2

解得m +n ∈(-∞,2-22]∪[2+22,+∞),故选A. 答案:A

4.过点(-2,3)的直线l 与圆x 2

+y 2

+2x -4y =0相交于A ,B 两点,则|AB |取得最小值时l 的方程为( )

A .x -y +5=0

B .x +y -1=0

C .x -y -5=0

D .2x +y +1=0

解析:本题考查直线与圆的位置关系.由题意得圆的标准方程为(x +1)2

+(y -2)2

=5,则圆心C (-1,2),过圆心与点(-2,3)的直线l 1的斜率为k =

3-2

-2--

=-1.当直线l

与l 1垂直时,|AB |取得最小值,故直线l 的斜率为1,所以直线l 的方程为y -3=x -(-2),即x -y +5=0,故选A.

答案:A

5.在平面直角坐标系xOy 中,设点P 为圆C :(x -2)2

+y 2

=5上的任意一点,点Q (2a ,a +2),其中a ∈R ,则线段PQ 长度的最小值为( )

A.55

B. 5

C.35

5

D.

65

5

解析:设点Q (x ,y ),则x =2a ,y =a +2,∴x -2y +4=0,∴点Q 在直线x -2y +4=0上.由于圆心(2,0)到直线x -2y +4=0的距离为d =|2-0+4|1+4=65

5,所以PQ 长度的最小

值为d -5=

655-5=5

5

,故选A. 答案:A

6.圆x 2

+y 2

+x -2y -20=0与圆x 2

+y 2

=25相交所得的公共弦长为________. 解析:公共弦的方程为(x 2

+y 2

+x -2y -20)-(x 2

+y 2

-25)=0,即x -2y +5=0,圆x 2

+y 2

=25的圆心到公共弦的距离d =|0-2×0+5|

5

=5,而半径为5,故公共弦长为

252-

5

2

=4 5.

答案:4 5

7.(2016·泰安调研)已知直线3x -y +2=0及直线3x -y -10=0截圆C 所得的弦长均为8,则圆C 的面积是________.

解析:因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8,所以圆心到直线的距离d 为两平行直线距离的一半,即d =12×|2+10|

3+1

=3.又直线截圆C 所得的弦长为8,所以圆的半径

r =32+42=5,所以圆C 的面积是25π.

答案:25π

8.(2016·福州质检)若直线x -y +2=0与圆C :(x -3)2

+(y -3)2

=4相交于A 、B 两点,则CA →·CB →

的值为________.

解析:依题意得,点C 的坐标为(3,3).

由⎩

⎪⎨⎪⎧

y =x +2,x -2

+y -

2

=4,

解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

x =3

y =5或⎩

⎪⎨

⎪⎧

x =1,

y =3,

可令A (3,5),B (1,3),∴CA →=(0,2),CB →

=(-2,0), ∴CA →·CB →

=0. 答案:0

9.如图,已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2),与x 轴的正半轴交于两

点M ,N (点M 在点N 的左侧),且|MN |=3.

(1)求圆C 的方程;

(2)过点M 任作一直线与圆O :x 2

+y 2

=4相交于A ,B 两点,连接AN ,

BN ,求证:k AN +k BN 为定值.

解:(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0,2),可设圆心的坐标为(m,2)(m >0),

则圆C 的半径为m ,又|MN |=3,所以m 2=4+⎝ ⎛⎭⎪⎫322=254,解得m =52,所以圆C 的方程为⎝ ⎛⎭

⎫x -522

+(y -2)2

=254

.

(2)由(1)知M (1,0),N (4,0),当直线AB 的斜率为0时,易知k AN =k BN =0,即k AN +k BN =0. 当直线AB 的斜率不为0时,设直线AB :x =1+ty ,将x =1+ty 代入x 2

+y 2

-4=0,并

整理得,(t 2+1)y 2

+2ty -3=0.

设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 所以⎩⎪⎨⎪⎧

y 1

+y 2

=-2t

t 2

+1,y 1y 2

=-3

t 2

+1,

则k AN +k BN =

y 1x 1-4

y 2x 2-4

y 1ty 1-3+y 2

ty 2-3=

2ty 1y 2-

y 1+y 2ty 1-ty 2-

-6t t 2

+1+6t

t 2+1ty 1-ty 2-

=0.

综上可知,k AN +k BN 为定值.

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