随机信号分析与处理习题解答罗鹏飞.pdf

故有
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n
n
∑ 所以 X = Xi 服从参数为 n，p 的二项分布。 i =1
且有 E( Xi ) = 1⋅ P{Xi = 1}+ 0 ⋅ P{Xi = 0} = p ，
E
(
X
2 i
)
= 12
⋅
P{ X i
= 1}+
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n ， 0 < p < 1
求 X 的均值和方差。 解法一：直接按照定义计算
n
n
∑ ∑ E( X ) = mP{X = m} = mCnm pm (1− p)n−m
m=0
m=0
∑n
=m
n!
pm (1− p)n−m
第 1 章 随机变量基础
1.1 设有两个随机变量 X 和 Y，证明
fY|X ( y | x) =
f (x, y) f X (x)
，
f X |Y
(x
|
y)
=
f (x, y) fY (y)
y x+Δx
∫ ∫ f (x, y)dxdy
提示：首先证明 F ( y | x < X ≤ x + Δx) = −∞ x
02
⋅
P{ X i
=
0}
=
p
，
D(Xi )
=
E
(
X
2 i
)
−
E2(Xi)
=
p
−
p2
=
p(1 −
p)
n
∑ 根据 Xi 相互之间的独立性，所以对于服从二项分布的 X = Xi 有 i =1
n
n
E( X ) = E(∑ Xi ) = ∑ E( Xi ) = np
i =1
i =1
n
n
D( X ) = D(∑ Xi ) = ∑ D( Xi ) = np(1− p)
∑ ∑ 注意：根据多项式展开式 (a + b)n
=
n i=0
Cni aibn−i
=
n i=0
n! a bi n−i i!(n − i)!
∑ = n n(n −1)(n − 2) (n − i +1)aibn−i
i=0
i!
所以有
∑n−1 (n −1)(n − 2) [(n −1) − m +1] pm (1− p)[(n−1)−m] = [ p + (1− p)]n−1
m=0 m!(n − m)!
∑ = n m n(n −1)(n − 2) (n − m +1) pm (1− p)n−m
m=0
m!
∑ = n m n(n −1)(n − 2) (n − m +1) pm (1− p)n−m
m=1
m!
∑ = np n (n −1)(n − 2) [n − (m −1)] pm−1(1− p)[(n−1)−(m−1)]
D( X ) = E( X 2 ) − E 2 ( X ) = n(n − 1) p 2 + np − (np)2 = np(1 − p)
解法二：设 X1, X 2 ,…, X n 相互独立，且都服从 (0 −1) 分布，分布规律为 P{Xi = 0} = 1− p ， P{Xi = 1} = p ， i = 1, 2,…, n ，
在上式中，假定 x1 = x ， x2 = x + Δx ( Δx 无穷小量)，则
x + Δx
∫ fY|x<X ≤x+Δx ( y | x < X
≤ x + Δx) =
f (x, y)dx
x
FX (x + Δx) − FX (x)
≈
f (x, y)Δx f X (x)Δx
因此
同理可得
fY|X
(y
|
x)
m=0
m!
类似地可得
E( X 2 ) = E[ X ( X −1) + X ] = E[ X ( X −1)] + E( X )
n
∑ =
m( m
−
1)C
m n
pm
(1 −
p)n−m
+
np
m=0
= n(n −1) p 2[ p + (1 − p)]n−2 + np
= n(n −1) p 2 + np
所以 X 的方差为
i =1
i =1
1.3 设随机变量 Y 与 X 满足如下函数关系
Y = g( X ) = sin( X + θ)
其中θ是已知常量，求 Y 的概率密度。
解答：显然，若 y > 1，则 fY ( y) = 0 。若 y ≤ 1，这时对于任意的 y ，有无穷多个 x 值与
之对应，即
x2n = arcsin y −θ + 2π n ， n = 0, ±1, ±2,… x2n+1 = π − arcsin y −θ + 2π n ， n = 0, ±1, ±2,…
=
lim
Δx→0
fY|x< X ≤x+Δx ( y
|
x
<
X
≤ x + Δx) =
f (x, y) f X (x)
于是有
f X |Y (x | y) =
f (x, y) fY (y)
f (x, y) = f X |Y (x | y) fY ( y) = fY|X ( y | x) f X (x)
1.2 设随机变量 X 服从二项式分布，其概率分布律为
，然后对 y 求导得，
FX (x + Δx) − FX (x)
x + Δx
∫ fY|x<X ≤x+Δx ( y | x < X
≤ x + Δx) =
f (x, y)dx
x
≈
FX (x + Δx) − FX (x)
f (x, y)Δx f X (x)Δx
最后求Δx→0 的极限。
∫ ∫ 解答：
F(y
|
x1
n
∑ 则 X = Xi 服从参数为 n，p 的二项分布，即 P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m 。 i =1 X 的所有可能取值为 0,1, 2,…, n 。由独立性可知，X 以特定的方式取 m（如前 m 个取
1，后 m 个取 0）的概率为 pm (1− p)n−m 。而 X 取 m 的两两互不相容的方式有 Cnm 种可能，
m=1
(m −1)!
∑ = np n−1 (n −1)(n − 2) (n − m) pm (1− p)[(n−1)−m]
m=0
m!
∑ = np n−1 (n −1)(n − 2) [(n −1) − m +1] pm (1− p)[(n−1)−m]
m=0
m!
= np[ p + (1 − p)]n−1 = np
<
X
≤
x2 )
=
P{Y ≤ y, x1 < X ≤ x2} P{x1 < X ≤ x2}
=
y x2 f (x, y)dxdy
−∞ x1
FX (x2 ) − FX (x1 )
上式对 y 求导，得
∫x2 f (x, y)dx
fY|x1< X ≤x2 ( y |
x1
<
X
≤
x2 )
=
x1
FX (x2 ) − FX (x1 )