基于神经网络响应面法的随机结构动力可靠度分析

样本中心点
x(k + 1) m
取为设计 验算点
x*
(k), 仍按 ( xm
∃
f x )选取新的样本点, 重新确定拟合函数, 并求解新的
可靠指标和设计验算点。如 此循环, 直至可靠度求解
结果满足规定为止。
单壁问题 (界限值为 L )的可靠度可根据可靠指标
和可靠度的对应关系求得:
Pr = % ( ∀)
( 16)
第 26卷第 1 期
振 动与 冲 击 JOU RNAL O F V IBRAT ION AND SHOCK
V o.l 26 N o. 1 2007
基于神经网络响应面法的随机结构动力可靠度分析
陈 颖, 宁佐贵
(中国工程物理研究院 结构力学研究所, 绵阳 621900)
摘 要 在对神经网络响应面法的原理和算法进行研究的基础上, 建立了基于神经网络响应面法的随机结构 动力
对于对称双壁问题 (界限值为 ∃ L ), 由于在平稳随
机过程中结构穿越 + L 和穿越 - L 的概率是相同的, 可
靠度的计算式为:
P r = 1 - 2 % [ 1 - % ( ∀) ]
( 17)
式中 % ( ∀ )为标准正态分布的概率密度函数。
综上所述, 基于神经网络响应面法的随机结构动
力可靠度分析步骤如下:
( 9)
i= 1
u
! cj = f2
Vrj ∀ br + !j ( j = 1, m )
r= 1
( 10)
其中 Wir为 LA 层节点 ai 到 LB 层节点 br 之间的连接
权, Vrj为 LB 层节点 br 到 LC 层节点 cj 间的连接权, T r
为 LB 层节点的阈值, !j 为 LC 层节点的阈值。 f1、f2 为
非线 性 激 活 函 数, 可 选 择 S 型 函 数, 双 曲 正 切 函
数等 [ 9] 。
用以上神经网络映射关系作为拟合函数, 得到式
( 8)的拟合表达式为:
y # = g #(x 1, x2, xn ) =
u
n
! ! f2
Vr ∀ f1
W ir ∀ xi + T r + !
r= 1
i= 1
( 11)
出, 因此根据上式求解可靠度的关键就是要求得 y 随
结构参数变化的规律。
2 神经网络响应面法的原理和算法
y 是关于结构参数的隐式函数, 如果通过大量抽
样并进行有限元分析或根据随机有限元摄动法来求解
都是非常复杂的 [ 3, 4] 。因此, 可考虑通过响应面法建立
起 y 和结构参数之间的显式函数关系, 这样就能方便 地求解可靠度。
典型的三层 BP 神经网络的拓朴结构如图 1所示。
分为输入层 LA、隐蔽层 LB 和输出层 LC。同层节点无
关联, 异层神经元前向连接。其中 LA 层含有 n 个输入
节点; LC 层含有 m 个输出节点; LB层节点的数目 u可
根据需要设置。它们之间的函数关系为:
n
! br = f1
Wir ∀ ai + T r ( r = 1, u)
具有良好的拟合精度和计算效率。但对于工程中各种
复杂结构, 多项式的拟合 精度问题不能得以保证。董
聪等人指出, 无论作为一个理论问题还是作为一个应 用问题, 响应面函数构建精度问题一直悬而未决 [ 5] 。
近年来随着人工神经网络 技术的飞速发展, 为响
应面函数的构建提供了新的思路。学者们开始考虑用
神经网络映射关系作为拟合函数, 神经网络响应面法 的研究由此而生 [ 7, 8] 。由于神经网络自适应性强, 且具
f xi, , xn ), 通过有限元分析求得对应的响应总均方 根值 y;
) 以样本点作为神经网络输入, 将通过网络映射 得到的 y 与有限元计算得到的 y 相比较, 计算网络 误差;
∗ 判断误差是否满足给定精度, 如果满足, 跳到
第 + 步; 如果不满足, 反向分 配前面各单元的误差, 调
整各层连接权的阈值;
价值。
关键词: 神经网络, 响应面法, 随机结构, 动力可靠度
中图分类号: TU 311, O242
文献标识码: A
由于工程实际结构的复杂性和所用材料在统计上 的离散性以及测量、加工、制 造误差的存在, 结构参数 在许多方面都具有随机性, 会给结构动力响应分析结 果带来不容忽略的影响, 在一定条件下还可能成为主 导因素 [ 1, 2] 。因此具有随机参数的结构 ( 以下简称随机 结构 )在随机振动载荷下的动力可靠度分析问题越来 越受到国内外学者的重视。
于其中的每一组样本取值, 都对应了一种响应总均方 根值, 因此 y 应描述为随结构参数取值而变化的随机 变量。
66
振 动与 冲击
2007年第 26卷
将式 ( 4)代入式 ( 3), 得到随机结构在随机载荷下
的动力可靠度功能函数为:
Z= L-p y
( 7)
其中 p、 y 均为随机变量。 p 的统计特性前面已经给
个规定的上限值或下限值, 则认为结构遭到破坏 ), 参
照确定性结构在平稳随机载荷下响应极大值的推导过
程, 将 y m ax ( t )表示为:
t [ 0, T ]
y m ax ( t ) = p y
( 4)
t [ 0, T ]
上式 中, p 为 随机 变 量, 其 均值、方 差 和分 布 函数 分
别为:
, 返回到第 )步, 循环学习, 直至网络误差满足 要求为止;
+ 按确定的神经网络映射关系, 通过式 ( 12)得到 功能函数的拟合函数式;
− 按式 ( 14)、( 15)求解可靠指标 ∀( k) 和设计验算 点 x* ( k) ;
. 判断 | ∀( k) - ∀( k- 1) |是否满足, 如果不满 足, 以 设计验算点作为新的样本中心点, 返回第 ( 步, 直至收 敛为止;
有柔软性, 可以生成任意形状, 因此它比多项式形式更
为灵活, 能够拟合输入与输出之间复杂的函数关系。
图 1 三层 BP神经网络
人工神经网络经过不断的 发展, 现已有多种模型 和算法。 BP 神经网 络, 即误差传播神经网 络, 是目前 最常使用, 也 是人们研 究最多、认知最 清楚的 一类网 络。一般需要三层即可得到很好的拟合效果。本文选 用三层 BP神经网络来作为响应面拟合函数。
p
=
(
2
lnv+0
T
)
1 2
+
0. 5772
(
2
lnv+0
T
)
1 2
( 5)
2
2 p
=
6 ( 2lnv+0 T )- 1
F (p)
=
exp - v+0 T exp
-
p2 2
( 6)
v0+ 为 结构的正 斜率期望 穿零率, 计算方 法详见 文献
[ 12] 。
y 为结构在随机振动载荷下的响应总均方根值。 对于确定性结构来说, y 是定值; 对于随机结构来说, 由于结构的材料常数、尺寸、阻尼比等是随 机变量, 对
67
本计算公式为:
n
! ∀ =
(
i= 1
x i - x*i
)
#g #x
#
i
x*
n
!(
i= 1
xi
#g# x* #x i
)2
x*i = uxi + ∃i ∀ xi
式中 ∃i 为灵敏系数, 计算式为
( 14) ( 15)
∃i =
#g # #x x i
i x*i
n
!
i= 1
#g # #xi x*i
2
xi 。
Z # = L - p #y =
u
! L - pf2
Vrj ∀ f1
r= 1
n
! W ir ∀ x i + T r + !
i= 1
( 12)
上式中的 W、V、T、!通过对样本点的学习来确定。
学习时, 按 2水平因子设计法选取 2n + 1组样本点 ( x1, x2, xn )和 (x1, , xi ∃ f xi, xn ) [ 6 ] , f 取 1. 0~ 3. 0, 作 为神经网络的输入, 输入层数目为 n; 将这些样本点通
1 随机结构的动力可靠度功能函数的建立
在随机结构的静力可靠度分析中, 常用到的结构
功能函数为:
Z= L-Y
( 1)
基金项目: 中国工程物理研究院院内基金资助项目 ( 20030653) 收稿日期: 2005 - 11- 10 修改稿收到日期: 2006- 01- 04 第一作者 陈 颖 男, 硕士生, 工程师, 1975年 3 月生
假设结构有 n个参数随机变量 ( x1, x2, , xn )。进 行可靠度分析时, 结构的功能函数往往是关于这些随
机变量的隐式函数:
y = g ( x1, x2, xn )
( 8)
用响应面法对 y 进行拟 合, 关键是要选择合适的
拟合函数形式。目前工程中多采用不含交叉项的二次
多项式作为拟合函数形式 [ 6 ] , 这种函数式在多数情况
& 取各结构参数随机变量的均值, 通过有限元分
析求出响应的正斜率期望穿零率 v+0 , 按式 ( 5)计算变
量 p 的均值、方差;
∋
取各随机变 量的均值点为 样本中心 点
x( 1 ) m
=
( x1, , xn ); ( 选取 2n + 1 组样本点 ( x 1, , xn ) 和 ( x1, xi ∃
0.
2+
x - xm in xm ax - xm in
% 0. 6
( 13)
使用误差传递法对样本进行学习, 确定神经网络
映射关系, 从而确定出拟合函数的显式表 达式。然后 可用一次二阶矩方法 [ 11] 计算可靠指标 ∀和设计验算点 x* 。对于正态分布的随机变量, 一次二阶矩方法的基
第 1期
陈 颖等: 基于神经网络响应面法的随机结构动力可靠度分析
可靠度分析方法。首先, 基于首次超越破坏准则, 参照静力可靠度的功能函数 模式, 建立了随机结构的动力可靠度功 能函
数; 然后引入响 应面法, 以三层 BP 神经网络作为拟合函 数, 推导了 功能函 数的拟合 表达式; 最 后结合 一次二 阶矩方法 求
解可靠指标。算例分析表明了本文方法有较 好的计 算精度 和计算 效率, 在复杂 结构的 动力可 靠度分 析中有 较强的实 用
变换, 得到:
Zm in ( t) = m in( L - Y ( t) ) = L - y m ax ( t ) ( 3) t [ 0, T ]
y m ax ( t)是结构响应 y ( t)在时间区域 [ 0, T ]内的 t [ 0, T ]
极大值。本文讨论动载荷为平稳随机过程的情况。采 用首次超越破坏准则 [ 12 ] (即结构的响应首次超过了一
目前常用的随机结构动力响应和可靠度分析是基 于随机有限元方法进行 [ 1 ~ 4] , 但它 需要推导复杂的计 算公式, 特别是其中求解结构特性关于各随机量的偏 导往往是非常麻烦的。而且随机有限元难以与现有有 限元分析商用软件如 ANSYS、NASTRAN 等结合, 需要 搭建自己的计算分析平台, 大大限制了其在复杂工程 结构中的实用性。
对于非正态随机变量的情况, 可按 JC 法 [ 11] 的思想
对其进行当量正态化处理,
为了使响应面函数在设计验算点附近能更可能地
逼近真实的函数, 在求出可靠指标和设计验算点后, 应 对样本中心点进行调整。假设 ∀( k) 和 x* ( k) 是第 k 次响
应面拟合求得的可靠指标和设计验算点, 将新一轮的
过有限元分析求得相应的响应总均方根值 y, 作为神 经网络的输出, 输出层数目为 1; 中间层数目根据具体
情况确定。
为了减少网络的学习时间, 提高计算效率, 可参照
文献 [ 8 ] 的 方法, 将 输 入量 和 输出 量 的数 值 变换 到
[ 0. 2~ 0. 8] 之间, 变换计算公式如下:
x*
=
近年来响应面法 ( R SM ) [ 5, 6] 的蓬勃兴起, 为该问题 的解决提供了新的思路。本文在建立了随机结构动力 可靠度功能函数的基础上, 引入响应面法来对功能函 数进行拟合求解, 使整个可靠度分析过程中无需对随 机参数作数学处理, 并可使用现有商用软件进行有限 元分析。在响应面函数的构 建问题上, 对新兴的神经 网络响应面法 [ 7, 8] 进行了研究, 引入三层 BP 神经网络 作为响应面函数, 推导了相应的功能函数拟合表达式 和可靠指标求解公式。最后通过算例分析表明了本文 方法的有效性。
通过样本学习确定了权值 W、V 和阈值 T、!后, 上
式是一个显 式函数表 达式。学习 方法采 用误差 传递
法, 学习步骤参见文献 [ 9] 。
3 基于神经网络响应面法的随机结构动力可 靠度分析
采用如式 ( 11) 所示的神经 网络响应面函数对 y
进行拟合, 得到随机结构动力可靠度功能函数的拟合
表达式为:
其中 L 为界限值, Y 为某种响应值, 求可靠度实际
上就是求 Z > 0的概率。
现将这种模式扩展到动力分析中。在随机振动载
荷下, 结构的响应是随时间变化的随机过程, 因此功能 函数也与时间有关, 称为功能随机过程 [ 10] :
Z ( t) = L - Y ( t)
( 2)
在某个时间区域 [ 0, T ] 内式 ( 2)进行功能极小化