拉氏积分变换L
三角函数拉氏变换常用公式
三角函数拉氏变换常用公式
拉氏变换（Laplace transform）是应用数学中常用的一种积分变换，其符号为L[f(t)]。
拉氏变换是一个线性变换，可将一个有实数变数的函数转换为一个变数为复数s的函数：
拉氏变换在大部份的应用中都是对射的，最常见的f(t)和F(s)组合常印制成表，方便查阅。
拉氏变换和傅立叶变换有关，不过傅立叶变换将一个函数或是信号表示为许多弦波的叠加，属于「频域变换」；而拉氏变换则是将一个函数表示为许多矩的叠加，属于「时域变换」。
拉氏变换的好处就是能够将复杂的积分与微分的问题，变换成比较容易计算的代数方法，为什么要进行变换？因为很多时候频域变换比时域变换直观得多。
因此，拉氏变换较多被用于解决：
(1).常数系数的线性微分或积分方程式；
(2).分析线性非时变系统的输入输出信号。
实务上，拉氏变换在物理及工程上常用来分析线性非时变系统，可用来分析电子电路、谐振子、光学仪器及机械设备，在这些分析中，拉氏变换可以作时域和频域之间的转换，在时域中输入和输出都是时间的函数，在频域中输入和输出则是复变角频率的函数。
简述拉氏变换的微分定理、积分定理和比例定理
简述拉氏变换的微分定理、积分定理和比例定理拉氏变换（Laplace transform）是一种重要的数学变换方法，广泛应用于控制理论、信号处理、电路分析和数学物理等领域。
拉氏变换可以将一个函数（时域函数）转换为另一个函数（复频域函数），从而简化了微分方程的求解和信号的处理。
拉氏变换的微分定理是指：对于一个函数f(t)及其拉氏变换F(s)，如果函数f(t)在某一点t=a处连续可微，则有如下关系成立：L{f'(t)} = sF(s) - f(0+)其中，L表示拉氏变换，f'(t)表示函数f(t)的导数，s表示拉氏变换后的复变量。
f(0+)是函数f(t)在点t=0+处的右极限值。
根据微分定理，可以将函数的微分转换为复变量s与函数拉氏变换的乘积。
这个定理的应用非常广泛，特别是在求解微分方程的过程中，可以通过拉氏变换将微分方程转化为代数方程，从而简化了计算过程。
拉氏变换的积分定理是指：对于一个函数f(t)及其拉氏变换F(s)，如果函数f(t)在t=0处连续，并且存在某个常数C，使得对于所有s>C，有如下关系成立：L{∫f(t)dt} = F(s)/s其中，∫f(t)dt表示函数f(t)的不定积分。
利用积分定理，可以将函数的积分转换为拉氏变换的商。
积分定理为计算一些复杂函数的拉氏变换提供了便利，尤其是对于那些已知的函数F(s)的拉氏变换，可以通过积分定理得到函数f(t)的拉氏变换。
拉氏变换的比例定理是指：对于一个函数f(t)及其拉氏变换F(s)，如果函数f(at)（a为常数）在t=0处连续，则有如下关系成立：L{f(at)} = (1/a)F(s/a)根据比例定理，可以通过对函数进行时间缩放的方式来求解函数的拉氏变换。
这个定理的应用非常广泛，特别是在信号处理中，可以通过时间缩放来处理信号的延时和时间扩展问题。
综上所述，拉氏变换的微分定理、积分定理和比例定理为我们求解微分方程、计算复杂函数的拉氏变换提供了重要的工具和方法。
拉氏变换的数学方法解答
拉氏变换的数学方法解答拉氏变换是一种重要的数学工具，用于求解微分方程和积分方程。
它通过将时间域的函数转换为频率域的函数，从而简化了微分方程和积分方程的求解过程。
在本文中，我们将介绍拉氏变换的定义、性质以及如何使用拉氏变换来求解常见的微分方程。
首先，我们来介绍拉氏变换的定义。
拉氏变换是一种积分变换，它将一个在时间域上定义的函数f(t)转换为一个在复平面上定义的函数F(s)。
具体地，拉氏变换定义为：F(s) = L(f(t)) = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，s 是复变量，e^(-st) 是指数函数。
拉氏变换的结果 F(s) 是一个复函数，它描述了函数 f(t) 在频率域上的性质。
下面我们来介绍拉氏变换的一些基本性质。
首先，拉氏变换是线性的，即对于任意的函数f(t)和g(t)，以及任意的常数a和b，有：L(af(t) + bg(t)) = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的拉氏变换。
其次，拉氏变换有一个重要的性质，即微分等式在变换后变为乘法等式。
具体地，对于一个函数f(t)和它的导数f'(t)，有：L(f'(t))=sF(s)-f(0)其中，f(0)是函数f(t)在t=0时的值。
另外，拉氏变换还有一个重要的性质，即积分等式在变换后变为除法等式。
具体地，对于函数f(t)的积分F(t)和它的拉氏变换F(s)，有：L(F(t))=1/sF(s)通过上述性质，我们可以将微分方程和积分方程通过拉氏变换转化为更简单的代数方程，从而求解微分方程和积分方程。
接下来，我们来介绍如何使用拉氏变换来解决常见的微分方程。
对于一个线性常系数微分方程：a_n*y^(n)(t)+a_(n-1)y^(n-1)(t)+...+a_1*y'(t)+a_0*y(t)=b(t)其中，y(t)是未知函数，a_i和b(t)是已知函数或常数。
我们可以将该微分方程转化为一个代数方程，通过拉氏变换求解。
拉普拉斯积分变换
f
(t)
L1
s
2
s
1
s est 2s
s
j
s 2s
e
st
s j
1 (e jt ejt ) cost, t 0 2
37
例2： 求 F(s) 1
的逆变换。
s(s 1)2
解: s=0 为一级极点，s=1为二级极点，拉氏反演积
分公式得
f (t)
3s 2
1
e st
4s 1
s0
lim s1
33
等式两边乘以 e t，并考虑到它与积分变量
无关，则
f (t) 1
F ( j)e( j)t d, t 0
2
令 j s ，有
f (t) 1
j
F (s)est ds, t 0
2 j j
这就是从象函数F(s)求它的象原函数f(t)的一般公式， 右端的积分称为拉氏反演积分。
L (t)
(t) est dt
0
(t) est dt 0
(t) est dt est
t0 1
10
例7 求函数 f (t) e t (t) e tu(t)( 0)
的拉氏变换。
解 L f (t) f (t) estdt 0 e t (t) e tu(t) estdt 0
34
此公式是一个复变函数的积分，通常计算起来 比较困难，但当F(s)满足一定条件时，可以用 留数学方法来计算这个反演积分，特别当F(s) 为有理函数时更为简单。
35
定理
若 s1, s2 , sn 是函数 F(s) 的所有奇点（适当选
取 使这些奇点全在 Re(s) 的范围内）， 且当 s 时，F(s) 0 ，则有
拉氏积分变换L
X ( s) = 1 s +8 s−2 (s + 2 ) X ( s ) + 2Y ( s ) = s − 2 解得： Y ( s ) = 3 − 2 X ( s ) + ( s + 1)Y ( s ) = 3s + 1 s−2 s−2 作反变换，得：x(t ) = e 2t , y (t ) = 3 ⋅ e 2t
其中 k i = F ( s ) ⋅ ( s − pi ) | s = p i ，则：f (t ) = k1 e p1t + k 2 e p 2t + .... + k n e p nt 2，当解出s等于一对共轭复根，即 s = p1,2 = σ ± jw ，则： 1 1 1 F (s) = = = ( s − p1)( s − p 2) s 2 − ( p1 + p 2) s + p1 p 2 s 2 − 2σs + (σ 2 + w2)
拉氏变换公式表
f (t ) = −u (t ) + t + e−t = −1 + t + e−t , (t ≥ 0 )
若F(s)不是有理真分式，则化为 多项式与真分式之和。
例2：已知 F (s ) =
as + b c 解：令F (s ) = 2 + (s + 2s + 3) s + 2
(s2 + 2s + 3)(s + 2) ，求其反变换。
1 f (t )满足divichlet条件。 ） 2）若f (t )是指数阶函数，则必须存在M > 0，使当t > t 0 时， (t ) ≤ M ⋅ ect f
拉氏变换常用公式
拉氏变换常用公式拉氏变换是一种重要的数学工具，常被用于信号处理、系统分析、电路设计等领域。
在进行拉氏变换时，我们常用到一些常用的公式，这些公式是解决问题的关键。
本文将介绍一些常用的拉氏变换公式，以及其在实际应用中的意义和用法。
1. 基本定义拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的方法。
它定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞)e^(-st) f(t) dt其中，F(s)表示拉氏变换结果，L表示拉氏变换算子，f(t)表示时域函数，s表示复频域变量。
2. 常见公式以下是一些常用的拉氏变换公式：2.1 常数函数L{1} = 1/s2.2 单位阶跃函数L{u(t)} = 1/s2.3 指数函数L{e^(at)} = 1/(s-a)，其中a为常数2.4 正弦函数L{sin(at)} = a/(s^2 + a^2)2.5 余弦函数L{cos(at)} = s/(s^2 + a^2)2.6 钟形函数L{rect(t)} = 1/sinc(s/2)，其中sinc(x) = sin(x)/x2.7 基本运算拉氏变换具有一些基本运算规则，如时移、倍乘和微分等。
这些运算可以用于求解更复杂的函数对应的拉氏变换。
详细的运算规则可以参考相应的数学教材。
3. 实际应用拉氏变换在信号处理、系统分析和电路设计等领域有着广泛的实际应用。
3.1 信号处理在信号处理中，常常需要对信号进行滤波、频域分析等操作。
通过将信号进行拉氏变换，可以将复杂的时域信号转换为频域函数，便于对信号特性的分析和处理。
3.2 系统分析拉氏变换在系统分析中有着重要的作用。
通过将系统的输入和输出进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，进而分析系统的频率响应、稳定性等性质。
3.3 电路设计在电路设计中，拉氏变换可以用于求解电路的导纳、阻抗等参数。
通过将电路的输入和输出进行拉氏变换，可以得到电路的传输函数，进而进行电路的设计和优化。
综上所述，拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、系统分析、电路设计等领域。
拉氏积分变换L
, 式中 f 1 ( t ) f ( t ) dt
f (t )
dt
n
f
1
(0 )
s
n
f
2
(0 )
s
n t0
n 1
.....
f
n
(0) s
，
f
n
( 0 ) ...
n 重积分
f (t )
n
dt
b )若
f
(0 )
f
2
( 0 ) ......
u(t) 1
L [ ( t )] 1
2)单位阶跃信号 a) 数学表达式
0
1 u (t ) 0
b) 拉氏变换
t0 t0
t
L [ u ( t )]
1 s
3)单位斜坡/速度信号 a) 数学表达式
xi(t)
t xi (t ) 0
b) 拉氏变换
t0 t0
1
0
1
t
L [ x i ( t )]
n 1
( 0 ) 0，
f
n
(t )
s
n
F (s)
4）积分定理： L [ f ( t ) dt ]
推论： a ) L ... n 重积分 式中
1
F (s) s
f 1 ( 0 )
s
F (s) n s
e
0
[ f ( t ) dt ]
0
1 s
d ( e st )
e st 0
[ f ( t ) dt ]
电路分析中拉氏变换如何理解与计算
电路分析中拉氏变换如何理解与计算拉氏变换是一种在电路分析中常用的数学工具，用于将微分方程转换为代数方程，从而简化电路分析的过程。
它基于拉氏变换的定义和拉氏变换的性质进行计算。
下面将详细介绍拉氏变换的概念、计算方法以及其在电路分析中的应用。
一、拉氏变换的概念与定义1.拉氏变换的定义拉氏变换是一种线性、时不变的积分变换，它将一个函数f(t)转换为复数域的函数F(s)。
拉氏变换定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[e^(-st) * f(t)] dt其中，f(t)是定义在t≥0时间域上的函数，F(s)是定义在复平面上的函数，s=σ+jω是一个复数，σ和ω分别表示实部和虚部。
2.拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，这些性质是进行拉氏变换计算的基础。
以下是几个常用的性质：线性性质：对于常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有L{a*f(t)+b*g(t)}=a*F(s)+b*G(s)。
时延性质：对于函数f(t)和其时延h(t)=f(t-τ)，有L{h(t)}=e^(-sτ)*F(s)。
因果性质：对于定义在t≥0时间域上的函数f(t)，如果f(t)=0当t<0，那么F(s)只在Re(s)>σ0的区域存在，其中σ0是f(t)中所有极点的实部的最大值。
二、拉氏变换的计算方法在实际计算中，为了将一个函数f(t)进行拉氏变换，通常需要先将其分解为更简单的函数的组合。
常用的计算方法有积分法、查表法和拉氏变换的性质。
1.积分法积分法是根据拉氏变换的定义进行计算，将函数 f(t) 乘以 e^(-st) 后积分。
这种方法适用于简单的函数，如指数函数、幂函数等。
2.查表法拉氏变换的常见函数对应关系可以通过查找拉氏变换表来获得。
在查表法中，将函数f(t)的拉氏变换直接从表格中找到。
这种方法适用于常见函数的变换计算，如单位阶跃函数、脉冲函数等。
3.拉氏变换的性质根据拉氏变换的性质，可以将一个复杂的函数分解成多个简单的函数，然后利用已知的变换对这些简单函数进行变换。
拉氏变换的基本性质
频移性质表明信号在时域中乘以指数函数对应于频域中的平移。
微分性质
微分定理
若$f(t)$的拉氏变换为$F(s)$，则$f'(t)$的拉氏变换为$sF(s)-f(0^-)$。
微分性质的意义
微分性质建立了信号时域微分与频域之间的关系，便于通过拉氏变换求解微分方 程的初值问题。
积分性质
积分定理
拉氏变换的基本性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的基本性质 • 拉氏变换的收敛域 • 拉氏反变换 • 拉氏变换在电路分析中的应用 • 拉氏变换在信号处理中的应用
01 引言
拉氏变换的定义
拉氏变换是一种线性积分 变换
它将一个有实数变量t（t≥0）的函数转换为 一个复数变量s的函数。
转换公式
对于实数变量t的函数f(t)，其拉氏变换F(s)定 义为F(s)=∫[0,∞)f(t)e^(-st)dt，其中s为复数
电路分析
在电路分析中，拉氏反变换常用 于将电路的频率响应转换回时域 响应，以便分析电路的动态行为。
控制系统
在控制系统中，拉氏反变换可用于 将控制系统的传递函数转换回时域， 以便分析系统的稳定性和性能。
信号处理
在信号处理中，拉氏反变换可用于 将信号的频谱转换回时域信号，以 便进行信号的重构和分析。
05 拉氏变换在电路分析中的 应用
确定收敛域。
收敛域与函数性质的关系
函数增长性与收敛域
函数增长越快，其拉氏变换的收敛域越小；反之，函数增长越慢， 其收敛域越大。
函数奇偶性与收敛域
对于偶函数，其拉氏变换的收敛域关于实轴对称；对于奇函数，其 收敛域关于原点对称。
函数周期性与收敛域
周期性函数的拉氏变换在相应的周期内收敛，而在其他区域可能发 散。
拉氏变换 (3)
拉氏变换1. 简介拉氏变换（Laplace Transform）是一种用于解决常微分方程（ODE）的数学工具。
它将一个随时间变化的函数转换为一个复数域中的函数，使得常微分方程可以转化为代数方程来求解。
通过拉氏变换，我们可以将时域中的问题转化到频域中，从而简化问题的分析和求解。
拉氏变换的应用非常广泛，在控制系统、通信系统、信号处理等领域中起着重要的作用。
通过拉氏变换，我们可以分析系统的稳定性、阻尼特性、频率响应等性能指标。
2. 定义与性质拉氏变换是对一个函数f(t)的积分变换。
给定一个函数f(t)和复数s，拉氏变换可以用如下公式来表示：L{f(t)} = F(s) = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，e是自然常数，s是复变量。
拉氏变换有许多重要的性质。
以下是一些常见的性质：•线性性质：即拉氏变换满足线性运算。
对于任意常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有 L{a f(t) + b g(t)} = a F(s) + b G(s)。
•积分性质：对于函数f(t)的导数，有L{f’(t)} = sF(s) - f(0)，其中f(0)为f(t)在t=0时的初始值。
类似地，对于f(t)的n阶导数，有 L{f^(n)(t)} = s^n F(s) - s^(n-1) f(0) -s^(n-2) f’(0) - … - f^(n-1)(0)。
•初值定理：初值定理指出，当s趋于无穷大时，拉氏变换是函数f(t)的初始值的一阶逼近。
即lim(s→∞) sF(s) = f(0)。
•终值定理：终值定理指出，当s趋于零时，拉氏变换是函数f(t)的稳态值的一阶逼近。
即lim(s→0) sF(s) =lim(t→∞) f(t)。
3. 拉氏变换的应用3.1. 控制系统在控制系统中，拉氏变换被广泛应用于系统的稳定性分析、阻尼特性分析等。
通过将系统的微分方程转化为拉氏域的代数方程，可以求解系统的传递函数，从而分析系统的频率响应和稳定性。
拉普拉斯积分变换
实数）。
解
L f (t)
ektest dt
e (sk )t dt
0
0
积分在 Re(s) k 时收敛，且有
e(sk )t dt
1
0
sk
所以 L ekt 1
(Re(s) k)
sk
5
2. 拉氏变换的存在定理
可以看出，拉氏变换存在的条件要比 傅氏变换存在的条件弱得多。对于一个函 数，满足什么条件时，它的拉氏变换一定 存在呢？
3
例1
求单位阶跃函数 u(t)
0,
t
0
的拉氏变换。
1,t 0
解 由拉氏变换的定义
Lu(t)
est dt
0
此积分在 Re(s) 0时收敛，且
e -st dt 0
1 est s
0
1 s
所以 Lu(t) 1 （Re(s) 0）
s
4
例2 求指数函数 f (t) ekt 的拉氏变换（k为
L f (t) sF (s), L f (t) s2F (s),, L f (n) (t) sn F(s)
此性质使我们有可能将 f (t)的微分方程转化为F(s)的 代数方程，因此它对分析线性系统有着重要的作用。
15
例 求函数 f (t) coskt 的拉氏变换。
解 由于
f (0) 1, f (0) 0, f (t) k 2 cos kt
(Re(s) c)
这个性质表明：一个函数求导后取拉氏变换 等于这个函数的拉氏变换乘以参变数s，再减 去函数的初值。
14
推论:
L f (n) (t) snF (s) sn1 f (0) sn2 f (0) f (n1) (0)
拉氏变换微分积分推导
拉氏变换微分积分推导
拉氏变换是一种将时间域函数转换为复频率域函数的数学工具。
它在信号处理、控制理论以及电路分析等领域有着广泛的应用。
拉氏变换的核心思想是将一个时间域函数表示为复数域的积分。
通过拉氏变换，我们可以将一个复杂的微分方程转化为一个简单的代数方程，从而便于分析和求解。
拉氏变换的公式为：
F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞]f(t)e^(-st)dt
其中，F(s)表示拉氏变换后的函数，f(t)表示原函数，s表示复频率。
通过拉氏变换，我们可以将微分方程转化为代数方程。
这样做的好处是，我们可以通过代数方程来分析系统的稳定性、频率响应等性质。
同时，拉氏变换还可以用于解决初始值问题，即通过已知的初始条件来求解微分方程。
在控制理论中，拉氏变换可以用于分析系统的传递函数和频率响应。
通过对系统的输入和输出进行拉氏变换，我们可以得到系统的传递函数。
传递函数可以描述系统对不同频率的输入信号的响应情况，从而帮助我们设计稳定的控制系统。
在电路分析中，拉氏变换可以用于求解电路中的电压和电流。
通过对电路中的电压和电流进行拉氏变换，我们可以得到电路的复频率响应，从而帮助我们分析电路的稳定性和频率特性。
拉氏变换是一种强大的数学工具，可以帮助我们解决复杂的微分方程和分析系统的性质。
它在信号处理、控制理论和电路分析等领域有着重要的应用。
通过深入理解和应用拉氏变换，我们可以更好地理解和解决实际问题。
补充：拉氏积分变换L
0
e e f (t) ( jw)tdt s jw f (t) stdt
0
0
1.定义：设f (t)为定义在[0, )上的实值函数。如果对于复变量
s jw，F(s) f (t)estdt存在，则称F(s)为f (t)的拉氏变换。 0
Beihua University
北华大学机械工程学院 15
控制工程基础
补充：拉氏变换
2)证明：L[
f
(t
)]
f
(t
) est
dt
0
e s
f
(t
) es(t )
d (t
)
0
令xt es
f
(x) esx dx
(s p )(s p )(s p )...(s p ) (s p )(s p ) (s p ) (s p )
1
2
3
n
1
2
3
n
式中，A1和A2可按下式求解：
p p F(s)(s
)(s
1
) 2 或ssp1 p2
p p
A1s A2
p p p p (s
补充：拉氏变换
例5
求解微分方程组：x(2t )x(t2) x(ty)(t )2yy((tt))170ee22tt
x(0) 1 ；初始条件： y(0) 3
解：令X (s) L[x(t)],Y (s) L[ y(t)]
得：sX (s) x(0) 2X 2X (s) sY (s)
积分变换第二章拉氏变换
则：
∞ f (t ) L = ∫s F ( s )d s . t
∞ ∞ ∞ f (t ) 一般地 , 有L n = ∫ d s ∫ d s⋯ ∫ F ( s )d s s s s t n次
17
例9 求函数
sht f (t ) = t
d L [ f ( t )] = −L [ tf ( t )] Re( s ) > c ds
推论
d n n L [ f ( t )] = ( −1) L[t f ( t )] Re( s ) > c n ds
n
10
f ( t ) = t 2 cos kt (k为实数 的拉氏变换 为实数) 例4 求 为实数 的拉氏变换.
2
2.拉氏变换的存在定理 若函数 (t)满足 拉氏变换的存在定理 若函数f 满足 满足: (1) 在t ≥ 0的任一有限区间上分段连续 的任一有限区间上分段连续; 的任一有限区间上分段连续 (2) 当t→+∞时, f (t)的增长速度不超过某一指数函数 即存 →+∞时 的增长速度不超过某一指数函数, →+∞ 的增长速度不超过某一指数函数 在常数 M > 0及c ≥ 0, 使得 及 |f (t)|≤ M e ct, 0≤ t <+∞ ≤ ≤ +∞ (t)的拉氏变换 则 f (t)的拉氏变换
f ( n) ( t ) = s n F ( s ) L
( Re s > c ) ( n = 1,2,⋯)
此性质可以使我们有可能将f 的微分方程 此性质可以使我们有可能将 (t)的微分方程 转化为F(s)的代数方程 的代数方程. 转化为 的代数方程
积分变换第6讲----拉氏变换的性质
(2.3)
证 根据分部积分公式和拉氏变换公式
b
u
a
d
v
uv
|ba
-
b
vdu
a
L [ f (t)] f (t) e-std t e-std f (t)
0
0
e-st
f (t) -
f (t) de-st
0
0
- f (0) s f (t) e-std t sL [ f (t)] - f (0) 0
1
-
1 e
-
st
(Re(s) c)
23
例9 求如图所示的单个半正弦波f(t)的拉氏变换
f1(t)
f(t)
E
E
OT
T
t
2
O
Tt 2
f2(t) E
O TT
t
2
24
由前图可知, f(t)=f1(t)+f2(t), 所以
L [ f (t)] L [ f1(t)] L [ f2 (t)]
EL
sin
0
f (t) d t
1 sL
f (t) 1 F (s)
s
11
重复应用(2.8)式, 就可得到:
{ } L
t
dt
t dt
t
f (t) d t
0 0 0
1 sn F(s)
(2.9)
n次
12
由拉氏变换存在定理, 还可得象函数积分性质:
若L [f(t)]=F(s), 则
F(s)d s
33
例11 若 L [ f (t)] 1 ,求f (0), f (). sa
根据初值定理和终值定理,
f (0) lim sF (s) lim s 1
积分变换 拉氏变换
dx(t ) st lim e dt limsX ( s ) x(0) s s dt 0 0 lim sX ( s) lim x(0)
s s
lim x(t ) lim sX ( s)
t 0 s
lim x ( t ) lim sX ( s ) 6）终值定理 t s 0
6 (0) 5sY ( s) y (0) 6Y ( s) s Y ( s) sy (0) y s 2s 2 12s 6 1 5 4 Y ( s) s( s 2)(s 3) 5e 2t 4e 3t
st e Lx(t ) x(t )e st dt x(t )d s 0 0 st e st e x(t ) dx(t ) s 0 0 s
x(0) 1 dx(t ) st e dt s s 0 dt x ( 0) 1 d L x(t ) s s dt d L x(t ) sX ( s ) x(0) dt
(t ) 8 y (t ) 32y(t ) 4 (t ) y 例：解方程 解：将方程两边取拉氏变换，得
(0) y(0) 0 y
8s 32 Y ( s ) 4 4 4 Y (s) 2 s 8s 32 s 4 2 4 2 4 Lsin(4t ) 2 s 42 y (t ) e 4t sin(4t )
0
t 0
1
t 0
0 0
F (t ) (t )e jwt dt e jwt
0
1
x(t ) (t )dt lim
[数学]拉氏变换
![[数学]拉氏变换](https://img.taocdn.com/s3/m/6c09399a69dc5022abea0018.png)
t
0
1 f ( )d ] F (s) s
st0
则： L[ f (t t0 ) (t t0 )] e F (s)
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5.拉普拉斯的卷积定理
若： L[ f1 (t )] F1 (s) L[ f 2 (t )] F2 (s)
则： L[ f1 (t ) f 2 (t )] L f1 (t ) f 2 ( )d
①由换路前的电路计算uc(0-) , iL(0-) ； ②画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附 加电源的作用； ③应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数；
④反变换求原函数。
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14.6
网络函数的定义
1. 网络函数H（s）的定义
线性线性时不变网络在单一电源激励下，其 零状态响应的像函数与激励的像函数之比定义为 该电路的网络函数H(s)。
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小结 电路的运算形式
① 电压、电流用象函数形式； ② 元件用运算阻抗或运算导纳表示； ③ 电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。
例 给出图示电路的运算电路模型。
解 t=0 时开关打开 uc(0-)=25V iL(0-)=5A 时域电路 1F +
20 iL uC
+
50V
5
-
③ 电容C的运算形式 C i( t) + u ( t) + -
I(s) 1/sC
+
u (0 ) s
-
时域形式： 1 t u u (0 ) i( ) d C 0 取拉氏变换,由积分性质得 u (0 ) 1 U ( s) I ( s) sC s
积分变换第二章拉氏变换
解 根据拉氏变换的定义, 有
L[ f (t )] ektestd t e(sk )td t
0
0
这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有
e(sk )td t 1 e (sk )t 1
0
sk
0 sk
所以 L[ekt ] 1 (Re(s) k). sk
1.线性性质:
La1 f1(t ) a2 f2(t ) a1F1(s) a2F2(s), L1 b1F1(s) b2F2(s) b1 f1(t ) b2 f2(t )
6
例3 求 f (t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换
解 L[sin kt] sin kt estd t 0 1 (ejkt e jkt )e std t 2j 0
（或L-1[est F (s)] f (t t ))
函数f (tt)与f (t)相比, f (t)从t = 0开始有非零数值.而
f (tt)是从t =t 开始才有非零数值. 即延迟了一个时间t.
从它的图象讲, f (tt)是由f (t)沿 t 轴向右平移t 而得, 其拉
氏变换也多一个因子est.
n 1,2,L
特别当 f 0 f 0 L f n1 0 0 时，有
L
f
n
t
snF
s
此性质可以使我们有可能将f (t)的微分方程 转化为F(s)的代数方程.
9
像函数的微分性：
d L f (t) L [ tf (t)] Re(s) c
f(t)
f(tt)
O
t
t
14
拉氏变换积分定理
拉氏变换积分定理拉氏变换积分定理是信号与系统领域中的重要定理之一，它建立了时域函数和频域函数之间的关系。
通过拉氏变换积分定理，我们可以在频域中对信号进行分析和处理，从而更好地理解和处理各种信号。
拉氏变换积分定理的基本思想是将时域函数转换为频域函数。
在信号处理中，时域函数通常表示为时间的函数，而频域函数则表示为频率的函数。
通过拉氏变换积分定理，我们可以将时域函数转换为频域函数，从而在频域中对信号进行分析和处理。
具体来说，拉氏变换积分定理表明，一个函数的拉氏变换可以通过对其拉氏变换后的频域函数在复平面上的积分来计算。
这个积分可以通过复数的虚部和实部来表示，实际上就是对频域函数的实部和虚部进行积分。
拉氏变换积分定理的应用非常广泛。
在通信系统中，我们经常需要对信号进行频域分析，以便更好地理解信号的特性和性能。
通过拉氏变换积分定理，我们可以将时域信号转换为频域信号，并对其进行分析。
例如，在音频信号处理中，我们可以将声音信号转换为频域信号，以便更好地理解和处理声音的特性。
拉氏变换积分定理还在控制系统设计和信号滤波等领域中有着重要的应用。
在控制系统设计中，我们经常需要对系统的输入和输出信号进行分析和处理。
通过拉氏变换积分定理，我们可以将系统的输入和输出信号转换为频域信号，并对其进行分析和处理，以便更好地设计和优化控制系统。
在信号滤波中，我们经常需要对信号进行滤波处理，以去除噪声或改变信号的频率特性。
通过拉氏变换积分定理，我们可以将信号转换为频域信号，并对其进行滤波处理，以实现对信号的去噪或频率特性改变。
拉氏变换积分定理是信号与系统领域中的重要定理，它建立了时域函数和频域函数之间的关系。
通过拉氏变换积分定理，我们可以将时域信号转换为频域信号，并在频域中对信号进行分析和处理。
这为信号处理、控制系统设计和信号滤波等应用提供了重要的理论基础。
同时，了解和掌握拉氏变换积分定理，也有助于我们更好地理解和应用信号与系统的知识。
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s
s
而时域函数f (0)与s无关，得：lim f (t) lim s F (s)
t 0
s
6)证明：拉氏变换定义：L[
f
' (t )]
0
f
'(t) est
dt
由微分定理：L[ f '(t)] s F (s) f (0)
f
'(t) est
将式F (s) A1s A2 A3 An
(s s1)(s s2 ) s s3
s sn
两边同乘(s s1)(s s2 )，并令s s1或s s2 ,得
F (s)(s s1)(s s2 ) ss1或ss2 A1s A2 ss1或ss2 此式为复数相等，令其实部、虚部分别相等
u
C
dt
定义复域容抗：Z
c
U (s) I (s)
1 sC
i
u L di(t) 拉氏变换U (s) L s I (s)
u
L
dt
定义复域感抗：Z
L
U (s) I (s)
sL
sL
Ui（s）
R
1 sC
Uo（s）
求解uo (t)时，将电路变换到复域，有：
1
U o (s) sC U i (s) sL R
复变函数F (s)。
2、拉氏变换性质
1)线性性质(叠加定理 ) :
f F f 若 (t) 1
(s),
1
2 (t) F2 (s),
则：af
(t) b
1
f
(t)
2
F a 1(s) bF2 (s)
2）延迟性质：
若f (t) F (s)，则对任意正实数a，有
e f (t a) as F (s)
拉普拉斯变换
1、定义：设f (t)为定义在[0,)上的实值函数,
t为实变量，若对于复变量s jw，线性积分
e F (s) f (t) stdt存在，
0
则称F (s)为f (t)的拉氏变换。
记为：F(s)或L[ f (t)]，即
F(s) L[ f (t)] f (t)estdt 0
dt
s
F (s)
f
(0)
0
等式两边取s 0的极限：
lim
[
f '(t) est dt]
lim
[s F(s)
f (0)]
s0 0
s0
当s
0时，e st
1,
得
:
f
'
(t
)dt
lim
[s F(s)
f (0)]，
0
s0
lim f (t) f (0) lim s F (s) f (0)
用拉氏变换求解微分方程： （1）对线性微分方程中的每一项进行拉氏变换， 使微分方程变成s的代数方程——变换方程； （2）解变换方程，求出系统输出变量的象函数表 达式； （3）利用部分分式法，结合查表，进行拉氏反变 换，得到微分方程的时域解。
例2：求解微分方程
••
x(t) 4x(t) 3sin t 10cos3t
n
F (s)
n
1
(0) n
2
(0) n1 .....
n
(0) ，
s
式中 f n (0) ... f (t) dt n
n重积分
t 0
f f f b)若
1
(0)
2
(0) ......
n (0) 0，
则L ... n重积分
；
•
初始条件：x(0) 2, x(0) 3
解：
••
L[ x(t )]
s2
X
(s)
sx(0)
•
x(0)
s2
X
(s)
2s
3
s
2
X
(s)
2s
3
4
X
(s)
s
3 2 1
10s s2 9
X
(s)
1 s2 1
2 s2
4
2s s2
9
x(t) sin t sin 2t 2 cos3t
1
s2
LC
1 sRC
1
sC
已知U
i
(s)
L[ui
(t)]
1 s
则U
o
(s)
s2
LC
1 sRC
1
1 s
拉氏反变换 uo
(t)
2)证明：L[
f
(t
)]
f
(t
) est
dt
0
e s
f
(t
) es(t )
d (t
L
例3：
ui
求uo。
R C
1,t 0
u0
已知：u i
0,
, else
解：
解：首先求电路中各元件的复域电抗ZR，ZL，ZC。零初态时，有：
i
u i R 拉氏变换U (s) R I (s)
u
R
定义复域阻抗：Z
R
U (s) I (s)
R
i
i C du(t) 拉氏变换 I (s) C s U (s)
则当t 时, f (t) est 0；
当t 0时，f (t) est f (0),
则上式
f
(0)
s
f
(t) est
dt
s F(s)
f
(0)
0
5)证明：定义 :
L[
f
' (t )]
0
f
'(t) est
dt
微分定理 : L[ f '(t)] s F (s) f (0)
xi(t)
a) 数学表达式
t t 0 1
xi (t) 0
t0
0
b) 拉氏变换
L[xi (t)]
1 s2
1
t
4)单位加速度信号
xi(t)
a) 数学表达式
xi
(t
)
1 2
t
2
t0
0 t 0
0
t
b) 拉氏变换
L[xi (t)]
1 s3
5)指数函数信号 a) 数学表达式
)
0
令xt es
f
(x) esx dx
e s
F(s)
0
4)证明：L[
f
(t)dt]
[
f
(t)dt] est
dt
0
[
0
f
(t)dt] 1 s
d (est)
[
f
(t)dt] est s
0
0
est
— —理想单位脉冲信号， 记做（t）
工程上：
(t
)
1 0
t0 t0
c)理想单位脉冲信号的拉氏变换
u(t)
L[ (t)] 1 1
2)单位阶跃信号
a) 数学表达式
0 t
1 t 0 u(t) 0 t 0
b) 拉氏变换 L[u(t)] 1 s
3)单位斜坡/速度信号
其中f (t a)为延时函数
3）微分性质：
若f (t)在[0,)上存在导数f '(t)，且L f (t) F(s) 则L f '(t) s F(s) f (0)
其中：f (0)为t 0时刻的值，即初始值。
推论：
f s s s f a)L
n (t) n F (s) n1 f (0) n2 f '(0) ....
j
F
(
s)e
st
ds
2j j
2、部分分式法
基本思想：复杂象函数F(s)→若干简单有理分式之 和→查表求简单有理分式原函数→F(s)原函数
F(s)一般式：
F(s)
B(s) A(s)ຫໍສະໝຸດ bm s m an s n
bm1sm1 ... b1s b0 an1sn1 ... a1s a0
3、典型信号拉氏变换
f(t)
1)单位脉冲信号
1/ε
a)单位脉冲信号数学表达式
1
xi (t)
0t
0
ε
t
0 t 0,t
x2 (t)dt 1
称单位脉冲信号
b)理想单位脉冲信号数学表达式
0，则
xi (t) 0
t0 t0
f (t)
dt
n
F (s)
sn
5）初值定理：lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
6）终值定理：lim f (t) lim sF(s)