(名师整理)数学九年级上册第21章《一元二次方程》单元检测试题(含答案解析)
人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程》单元测试卷(含答案)
人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程》单元测试卷[考试时间90分钟，共100分]一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=2 若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B 。
1k >-且2210kx x --=0k ≠ C.1k < D.1k <且0k ≠3．关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．94.方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）A ．12B ．12或15C ．15D ．不能确定5、不解方程，01322=-+x x 的两个根的符号为（ ）（A ）同号 （B ）异号 （C ）两根都为正 （D ）不能确定6、已知一元二次方程()002≠=+m n mx ，若方程有解，则必须（ ）A 、0=nB 、同号mnC 、的整数倍是m nD 、异号mn7、若的值为则的解为方程10522++=-+a a ，x x a （ ）A 、12B 、6C 、9D 、168、某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ）A 、%10B 、%15C 、%20D 、%25二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、已知两个数的差等于4，积等于45，则这两个数为 和 。
2、当m 时，方程()05122=+--mx x m 不是一元二次方程，当m 时，上述方程是一元二次方程。
3、用配方法解方程0642=--x x ，则___6___42+=+-x x ，所以_______,21==x x 。
人教版九年级上第21章《一元二次方程》单元测试题(含答案解析)
二、填空题
13．请写出一个根为x＝1，另一个根满足－1<x<1的一元二次方程______________．
14．如果关于x的方程x2+2ax﹣b2+2=0有两个相等的实数根，且常数a与b互为倒数，那么a+b=_____．
15．某药品经两次降价后，从原来每箱 元降为每箱 元，则平均每次的降价率为________．
（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．
22．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快件总件数分别是5万件和 万件，现假定该公司每月投递的快件总件数的增长率相同．
求该公司投递快件总件数的月平均增长率；
【详解】
把x=1代入把x=1代入x2+px+1=0，得
1+p+1=0，
∴p=-2.
故选D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解得定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键.
3．C
【解析】
【分析】
先计算△=b2-4ac的值，再根据计算结果判断方程根的情况即可．
【详解】
∵△=b2-4ac=1-8=-7＜0，
∴一元二次方程2x2-x+1=0没有实数根．x2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
D、是一元二次方程，故此选项正确；
九年级上册数学 第二十一章《一元二次方程》单元测试卷含答案解析
第二十一章《一元二次方程》单元测试卷一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A. ax2+bx+c=0B. x2﹣2=（x+3）2C. 2x+3x﹣5=0D. x2﹣1=02．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A. k＜1且k≠0 B. k≠0 C. k＜1 D. k＞13．已知a﹣b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一个根是（）A. 1B. ﹣2C. 0D. ﹣14．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0，原方程应变形为（）A. （x﹣1）2=2B. （x+1）2=2C. （x﹣1）2=1D. （x+1）2=15．方程x（x﹣1）=x的解是（）A. x=0B. x=2C. x1=0，x2=1D. x1=0，x2=26．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A. B. C. D.7．设x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则＝（）A. 6B. 8C. 10D. 128．方程的根的情况是（）.A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 有一个实数根D. 没有实数根9．关于x的方程的两根为－2和3，则m＋n的值为A. 1B. －7C. －5D. －610．某商店6月份的利润是2500元，8月份的利润达到3600元.设平均每月利润增长的百分率是，则可以列出方程（）A. B.C. D.11．某种童鞋原价为100元，由于店面转让要清仓，经过连续两次降价处理，现以64元销售，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A. 19%B. 20%C. 21%D. 22%12．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于的方程是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.二、填空题13．若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是____．14．一元二次方程3x2－x＝0的解是_____________________．15．x²-3x+____=(x-___)².16．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为__________________________. 17．已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.三、解答题18．若是方程的一个根，求代数式的值．19．用适当的方法解下列方程：(1)x2＋2x＋1＝4；(2)x2－x＝－.20．解方程（1）（x﹣5）2=16（直接开平方法）（2）x2﹣4x+1=0（配方法）（3）x2+3x﹣4=0（公式法）（4）x2+5x﹣3=0（配方法）21．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2=0．（1）已知x=2是方程的一个根，求m的值；（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当△ABC 是等腰三角形，求此时m的值.22．随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？23．要在长32m，宽20m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，六块绿地面积共570m2，问道路宽应为多宽？参考答案1．D2．A【解析】分析：由方程有两个不相等的实数根，可知∆>0,且二次项系数不等于0，据此列式求解即可.详解：由题意得，，解之得，k＜1且k≠0 .故选A.点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.3．D【解析】分析：一元二次方程ax2+bx+c=0中几个特殊值的特殊形式：x=1时，a+b+c=0；x=﹣1时，a﹣b+c=0．只需把x=﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c=0中验证a﹣b+c=0即可．详解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c=0中得：a﹣b+c=0，所以当a﹣b+c=0，且a≠0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根是﹣1．故选D．点睛：本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义．解题的关键是要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0中几个特殊值的特殊形式：x=1时，a+b+c=0；x=﹣1时，a﹣b+c=0．4．A【解析】分析：先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边利用完全公式表示即可．详解：x2﹣2x=1，x2﹣2x +1=2，（x﹣1）2=2．故选A．点睛：本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．5．D【解析】分析：首先移项，然后提取公因式x，即可得到x（x﹣1﹣1）=0，则可得到两个一次方程：x=0或x﹣2=0，继而求得答案．详解：∵x（x﹣1）=x，∴x（x﹣1）﹣x=0，∴x（x﹣1﹣1）=0，即x=0或x﹣2=0，解得：x1=0，x2=2．故选D．点睛：本题考查了因式分解法解一元二次方程．此题比较简单，解题的关键是找到公因式x，利用提取公因式法求解．6．D【解析】分析：由一元一次方程的系数，即可根据一元二次方程根的判别式△=b2-4ac求解判断即可.详解：①由a=1，b=0，c=-4，可得△=0+16=16＞0，有两个不相等的实数根，故不正确；②由x（x-1）=0，可得x2-x=0，即a=1，b=-1，c=0，所以△=1＞0，有两个不相等的实数根，故不正确；③由题意可得a=1，b=1，c=-1，所以△=1+4=5＞0，故有两个不相等的实数根，故不正确；④由题意可得a=1，b=1，c=1，所以△=1-4=-3＜0，方程没有实数根，故正确.故选：D.点睛：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.7．C【解析】分析：首先根据韦达定理得出，，最后根据完全平方公式的转化得出答案．详解：根据题意可得：，，∴，故选C．点睛：本题主要考查的是一元二次方程的韦达定理以及完全平方公式的转化，属于中等难度的题型．本题的方程比较简单，我们也可以直接通过求解的方法得出方程的解，然后代入进行计算．8．A【解析】分析：判断方程的根的情况,只要看根的判别式△=b²-4ac 的值的符号就可以了.详解：∵a=1,b=-4,c=-3 ,∴△=b²-4ac=(-4)²-4×1×(-3)=28>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选A.点睛：本题考查了根的判别式:一元二次方程的根与△=b²-4ac 有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根.9．B【解析】分析:根据一元二次方程根与系数关系可求出m和n的值，然后代入到m＋n计算即可.详解: ∵-2+3=-m，∴m=-1.∵-2×3=n,∴n=-6,∴m+n=-1+(-6)=-7.故选B.点睛: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1,x2为方程的两个根，则x1,x2与系数的关系式：， .10．C【解析】分析：代入利润类问题的公式：a（1+x）n=b（a表示的是起始数据，b表示最后达到的水平，x表示增长率，n表示增长的次数）即可．详解：每月利润增长的百分率为x，则7月份的利润为：2500×(1+x)，8月份的利润为：2500×(1+x)(1+x)=2500×(1+x)2因为8月份的利润是3600，所以：2500×(1+x)2=3600故选：C.点睛：本题主要考查根据等量关系列出函数关系式.列函数关系式通常是利用“公式”或“方程的思想”来寻找等量关系的,同时还要注意哪个变量是自变量,哪个变量是因变量.列函数关系式时通常把因变量写在等号的左边,自变量和常数写在等号的右边,并把因变量的系数化为1. 11．B【解析】分析：设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1-x），第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x）（1-x），即100（1-x）2元，从而列出方程，求出答案．详解：设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1-x）2元，根据题意，得100（1-x）2=64即（1-x）2=0.64解之，得x1=1.8，x2=0.2．因x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故选B．点睛：此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．12．C【解析】解：对于一元二次方程是蝴蝶方程知，又∵，∴，∴，∴，．故选．13．3【解析】分析：根据一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式，解不等式求得a的取值范围，然后找出此范围内的最大整数即可．详解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴25-4（3+a）≥0，且a+3≠0，即且a≠－3.∴整数a的最大值是3.故答案为：3.点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14．x1＝0，x2＝【解析】分析：利用因式分解法解方程即可.详解：3x2－x＝0，x（3x-1）=0，x=0或3x-1=0，∴x1＝0，x2＝.故答案为：x1＝0，x2＝.点睛：本题主要考查了一元二次方程的解法—因式分解法，用因式分解法解一元二次方程的步骤为：①将方程右边化为0，左边因式分解；②根据“若a·b＝0，则a＝0或b＝0”，得到两个一元一次方程；这两个一元一次方程的根就是原方程的根.15．,【解析】分析：根据配方法可以解答本题．详解：∵x2﹣3x+=（x﹣）2，故答案为：，．点睛：本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法．16．x（x-1）=110x-件礼物，【解析】试题解析：有x个小朋友参加聚会,则每人送出()1x x-=由题意得, ()1110.x x-=故答案为：()1110.17．x2-7x+12=0或x2+7x+12=0【解析】分析：先根据“两数的积是12，这两数的平方和是25”求出这两个数的值，然后根据根与系数的关系写出所求方程．详解：设这两个数为α、β．由题意，得：αβ=12，α2+β2=25．又∵α2+β2+2αβ﹣2αβ=（α+β）2﹣2αβ=25，∴（α+β）2﹣2×12=25，解得：α+β=±7．根据根与系数的关系可得：x2﹣7x+12=0或x2+7x+12=0．故答案为：x2﹣7x+12=0或x2+7x+12=0．点睛：将根与系数的关系与代数式变形相结合是一种经常使用的解题方法．18．17.【解析】试题分析：由题意把x=2代入方程变形得到m2-4m=2，再将代数式用乘法公式变形得到，然后代入m2-4m=2，即可求得代数式的值.试题解析：将代入，得：∴，∴，，，，．19．（1）x1=-3，x2=1；（2）x1=x2=【解析】分析：(1)、将方程的左边进行配方，利用直接开平方法的方法可以得出答案；(2)、首先进行移项，然后利用配方法求出方程的解．详解：(1)、，则x+1=±2，x=－1±2，解得：，．(2)、，则，解得：．点睛：本题主要考查的是一元二次方程的解法，属于基础题型．理解各种解方程的方法是解决这个问题的关键．20．（1）x 1=9，x 2=1；（2）x 1，x 2=2（3）x 1=1，x 2=﹣4；（4）x 1，x 2． 【解析】试题分析：（1）按要求利用直接开平方法进行求解即可；（2）按要求利用配方法根据配方法的步骤进行求解即可；（3）按要求利用公式法进行求解即可；（4）按要求利用配方法根据配方法的步骤进行求解即可.试题解析：（1）（x ﹣5）2=16，x-5=±4，x-5=4或x-5=-4，∴x 1=9，x 2=1；（2）x 2﹣4x+1=0，x 2﹣4x=-1，x 2﹣4x+4=-1+4，（x-2）2=3，x-，∴x 1，x 2=2（3）x 2+3x ﹣4=0，a=1，b=3，c=-4，b 2-4ac=32-4×1×(-4)=25>0，352x -±==， ∴x 1=1，x 2=﹣4；（4）x 2+5x ﹣3=0，x 2+5x=3，x 2+5x+252⎛⎫ ⎪⎝⎭=3+252⎛⎫ ⎪⎝⎭，253724x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，52x +=∴x 1，x 2．21．（1）m =0或m =1； (2)当12m m =-=-或时，△ABC 是等腰三角形.【解析】（1）将x =2代入方程即可得到关于m 的方程，解之即可得出答案；（2）利用求根公式用含m 的式子表示出方程的两个根，再根据等腰三角形两边相等分类讨论，即可得出答案.（1）∵x =2是方程的一个根，∴22﹣2(2m +3)+m 2+3m +2=0.∴m 2-m =0，∴m =0，m =1.(2) ∵()()22234321m m m ⎡⎤∆=-+-++=⎣⎦ ∴()2312m x +±=， ∴x =m +2，x =m +1.∵AB 、AC （AB ＜AC ）的长是这个方程的两个实数根，∴AC =m +2，AB =m +1.∵BC =，△ABC 是等腰三角形，∴当AB =BC 时，有1m +=∴1m =-当AC=BC 时，有+2m =2.m ∴=-综上所述，当12m m =-=-或时，△ABC 是等腰三角形.22．（1）10%；（2）不能，增加2名．【解析】试题分析：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x ，根据今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据3月份完成投递的快递总件数结合完成投递的快递总件数即可算出今年4月份的快递投递总件数，再根据投递快递总件数=每人投递件数×人数即可算出该公司现有的21名快递投递业务员最多能够完成的任务量，二者比较后即可得出结论．试题解析：(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x ，由题意，得()210112.1x ⨯+=，解得： 1210%,210%.x x ==-答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%.(2)4月：12.1×1.1=13.31(万件)21×0.6=12.6<13.31，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务。
人教版数学九年级上册第21章《一元二次方程》单元检测题含答案解析
九年级数学第21章《一元二次方程》单元检测题分值：120分时间：90分钟一、选择题（本大题共12道小题，共36分）1.关于x的方程是一元二次方程的条件是A. B. C. D. a为任意实数2.把一元二次方程化成一般形式，其中a，b，c分别为A. 2，3，B. 2，，C. 2，，1D. 2，3，13.已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是A. 1B.C. 0D. 无法确定4.若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是A. 1，0B. ，0C. 1，D. 无法确定5.用配方法解一元二次方程，配方正确的是A. B. C. D.6.一元二次方程的根的情况为A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根7.已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，，则a，b的值分别是A. ，1B. 3，1C. ，D. ，18.关于x的方程的两个根是和1，则的值为A. B. 8 C. 16 D.9.王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为A. B.C. D.11.某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2019年起到2021年累计投入4250万元，已知2019年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是A.B.C.D.12.关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出三个结论：这两个方程的根都是负根；；其中正确结论的个数是A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（本大题共6小题，共18分）13.已知关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是______．14.已知方程的一根为，则方程的另一根为______．15.已知，是一元二次方程的两实数根，则的值是______．16.在中，，，，且关于x的方程有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为．17.某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元假设该公司2、3月每个月生产成本的下降率都相同，则每个月生产成本的下降率是．18.定义符号的含义为：当时，当时，，如：，，则方程的解是______．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19.解下列方程：．20.已知关于x的一元二次方程，求证：无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；若方程有一个根的平方等于1，求m的值．21.若要建一个矩形养鸡场，养鸡场的一面靠墙，如图所示，墙长18 m，墙对面有一个2 m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33 m，且围成的养鸡场的面积为，则鸡场的长和宽各为多少米．22.已知实数a，b，c满足：，，又，为方程的两个实根，试求的值．23.某生物实验室需培育一群有益菌现有60个活体样本，经过两轮培植后，有益菌总和达24000个，其中每个有益菌每一轮可分裂出若干个相同数目的有益菌．每轮分裂中每个有益菌可分裂出多少个有益菌按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌24.某菜市场有平方米和4平方米两种摊位，平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费．菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，平方米和4平方米两种摊位的商户分别有和参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加，毎个摊位的管理费将会减少；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加，每个摊位的管理费将会减少这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少，求a的值．25.己知的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根：为何值时，是以BC为斜边的直角三角形；为何值时，是等腰三角形，并求的周长．参考答案一、选择题（本大题共12道小题，共36分）1-5 CBBCA 6-10 BDCCC 11-12 DD二、填空题（本大题共6小题，共18分）13、14、15、616、217、18、或三、解答题（本大题共7小题，共66分）19、解：因式分解，得．或．，；移项，得．提公因式，得．解得，；将看作一个整体，分解因式，得，即．解得．20、证明：，，所以无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；解：方程有一个根的平方等于1，此根是，当根是1时，代入得：，即，此时m为任何数；当根是时，，解得：．21、解：设养鸡场的宽为xm，根据题意得：，解得：，，当时，，当时，舍去，答：养鸡场的宽是10m，长为15m．22、解：，即，，2 ab为方程的两根，，由得，或即，由根与系数的关系得：23、设每轮分裂中每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题意，得．解得，不合题意，舍去．答：每轮分裂中每个有益菌可分裂出19个有益菌．个．答：经过三轮培植后共有480000个有益菌．24、解：设该菜市场共有x个4平方米的摊位，则有2x个平方米的摊位，依题意，得：，解得：．答：该菜市场共有25个4平方米的摊位．由可知：5月份参加活动一的平方米摊位的个数为个，5月份参加活动一的4平方米摊位的个数为个．依题意，得：整理，得：，解得：舍去，．答：a的值为50．25、解：因为，所以方程总有两个不相等的实数根．根据根与系数的关系：，，则，即，解得或．根据三角形的边长必须是正数，因而两根的和且两根的积，解得，．若时，5是方程的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，当时，，则周长是；当时，则周长是．。
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元测试卷(含答案)
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元测试卷（含答案）一、选择题 （每题3分，共30分）1.若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2m =±B ．m =2C ．m= -2D ．2m ≠±2．一元二次方程()224260m x mx m --+-=有两个相等的实数根，则m 等于（ ）A. -6B. 1C. 2D. -6或1 3．对于任意实数x ,多项式x 2-5x+8的值是一个（ ）A ．非负数B ．正数C ．负数D ．无法确定 4．已知代数式3x -与23x x -+的值互为相反数，则x 的值是（ ）A ．-1或3B ．1或-3C ．1或3D ．-1和-3 5．如果关于x 的方程ax 2+x –1= 0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞–14B ．a ≥–14C ．a ≥–14且a ≠0 D ．a ＞–14且a ≠0 6．方程x 2+ax +1=0和x 2－x －a=0有一个公共根，则a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 7.已知m 方程210x x --=的一个根，则代数式2m m -的值等于（ ）A.-1B.0C.1D.28.从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2，则原来的正方形铁皮的面积是（ ） A.9cm 2B.68cm 2C.8cm 2D.64cm 29.县化肥厂第一季度增产a 吨化肥,以后每季度比上一季度增产x %,则第三季度化肥增产的吨数为（ ）A 、 2(1)a x +B 、2(1)a x +%C 、2(1%)x +D 、2(%)a a x +10. 一个多边形有9条对角线,则这个多边形有多少条边（ ）A 、6B 、7C 、8D 、9二、填空题 （每题3分，共30分）11.若方程mx 2+3x -4=3x 2是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 .12．一元二次方程（x +1）(3x －2)=10的一般形式是 . 13.方程23x x =的解是＿＿＿＿14．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是＿＿＿＿＿＿ 15．已知4)2)(1(2222=-+-+y x y x ，则22x y +的值等于 .16．已知2320x x --=，那么代数式32(1)11x x x --+-的值为 .17.若一个等腰三角形的三边长均满足方程x 2-6x +8=0，则此三角形的周长为 . 18．k ＝ 时，二次三项式x ２－2（k ＋1）x ＋k ＋7是一个x 的完全平方式．19．当k ＜1时，方程2（k +1）x 2＋4kx +2k -1=0的根的情况为： ．20．已知方程x 2－b x + 22 = 0的一根为b ＝ ，另一根为＝ ．三、解答题21．解方程（每小题5分，共20分）① 2430x x --= ② 2(3)2(3)0x x x -+-=(3) 2(1)4x -= (4) 3x 2+5(2x+1)=022.（本题10分）有一面积为150平方米的矩形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35米.求鸡场的长和宽.23．（本题10分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？24．（本题10分）一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽．25．（本题10分）美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某市近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）．（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：2003年底的绿地面积为 公顷，比2002年底增加了 公顷；在2001年，2002年，2003年这三个中，绿地面积最多的是 年；（2）为满足城市发展的需要，计划到2005年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求这两年（2003~2005）绿地面积的年平均增长率．答案：一、选择题1．B 2．D 3．B 4．A 5．B 6．C 7．C 8．D 9．B ；10．A ；11．m ≠3 12．23120x x +-= 13．3,021==x x 14．3和5或—3和—5 15．416．2 17.10 18．-3或2； 19．有两个不相等的实数根；20．10，21．①1222x x ==-；②121,3x x ==； (3)．解：开平方，得12x -=±， 即1212x x -=-=-或， 所以123,1x x ==-.(4)．解：移项，得 23(5)2(5)0x x -+-=，(5)[3(5)2]0,x x --+=即(5)(313)0,x x --= 503130,x x -=-=或12135,3x x ==. 22．解：设鸡场的一边长为x 米，则另一边长为（35—2x ），列方程，得 (352)150,x x -=解得1210,7.5x x ==，当x =10时，35—2x =15<18，符合题意； 当x =7.5时，35—2x =20>18，不符合题意，舍去. 答：鸡场的长为15米，宽为10米.23．解：设每件童装应降价x 元，则(40)20812004x x ⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭，解得1220,10x x ==.因为要尽快减少库存，所以x =20. 答：每件童装应降价20元. 24．台布的长为8cm ，宽为6cm ；25．60，4，2003，2005～2006年的年平均增长率为10%．人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元检测题（有答案）(6)一、选择题1．已知x=1是一元二次方程x 2-2mx+1=0的一个解，则m 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．0或-12．已知a 、b 为一元二次方程0922=-+x x 的两个根，那么b a a -+2的值为（ ）（A ）-7 （B ）0 （C ）7 （D ）113．根据下列表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）的一个解x 的范围是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ．6.18 6.19x << Ｄ．6.19 6.20x <<4．等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ） A.8 B.10 C.8或10 D.不能确定5．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2016年销量为50.7万辆，销量逐年增加，到2018年销量为125.6万辆．设年平均增长率为x ，可列方程为（ ）A ．50.7（1+x ）2＝125.6B ．125.6（1﹣x ）2＝50.7C ．50.7（1+2x ）＝125.6D ．50.7（1+x 2）＝125.66．现定义某种运算()a b a a b ⊗=>，若2(2)2x x x +⊗=+，那么x 的取值范围是（ ）（A ）12x -<<（B ）2x >或1x <-（C ）2x >（D ）1x <-7、已知a b ，是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两实数根，则式子b aa b+的值是（ ） A ．22n +B ．22n -+C ．22n -D ．22n --8、已知a b ，是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两实数根，则式子b aa b+的值是（ ） A ．22n +B ．22n -+C ．22n -D ．22n --9、关于x 的一元二次方程222310x x a --+=的一个根为2，则a 的值是（ ）A ．1B C ．D ．10、一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x 2﹣8x +15＝0的一根，则此三角形的周长是（ ） A ．16 B ．12 C ．14 D ．12或16 二、填空题11．已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 （填上你认为正确的一个方程即可）． 12．已知实数x 满足4x 2-4x+l=O ，则代数式2x+x21的值为________． 13．如果αβ、是一元二次方程23 1 0x x +-=的两个根，那么2+2ααβ-的值是___________14．已知2是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是 ．15.已知01a a b x ≠≠=，，是方程2100ax bx +-=的一个解，则2222a b a b--的值是 ．16．在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为22b a b a -=＊，根据这个规则，方程05)2(=+＊x 的解为17、《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 步．18、已知三个连续奇数，其中较大的两个数的平方和比最小数的平方的3倍还小25，则这三个数分别为_________19、甲、乙两同学解方程x 2+px+q=0，甲看错了一次项系数，得根为2和7；乙看错了常数项，得根为1和-10，则原方程为20、如图1，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了 元钱？三、解答题 21、我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个．．，并选择你认为适当的方法解这个方程． ①2310x x -+=；②2(1)3x -=；③230x x -=；④224x x -=．22、关x 的一元二次方程(x-2)(x-3)=m 有两个不相等的实数根x 1、x 2，则m 的取值范围是 ；若x 1、x 2满足等式x 1x 2-x 1-x 2+1=0，求m 的值.图123、利用图象解一元二次方程230x x +-=时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线2y x =和直线3y x =-+，两图象交点的横坐标就是该方程的解． （1）填空：利用图象解一元二次方程230x x +-=，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y = 和直线y x =-，其交点的横坐标就是该方程的解．（4分） （2）已知函数6y x =-的图象（如图9所示），利用图象求方程630x x-+=的近似解（结果保留两个有效数字）．（6分）24．已知下列n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：()x x x x x x n x n n 2222101202230310-=<>+-=<>+-=<>+--=<>……（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、<n>；（2）请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。
人教版数学九年级上册第21章《一元二次方程》单元检测题含答案解析
九年级数学第21章《一元二次方程》单元检测题分值：120分时间：90分钟一、选择题（本大题共12道小题，共36分）1.下列方程是关于x的一元二次方程的是A. B.C. D.2.若关于x的方程中不含一次项，则A. 0B. 4C.D.3.方程的左边配成完全平方后所得方程为A. B. C. D.4.一元二次方程的根的情况为A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根5.若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为A. 1B.C.D. 06.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程的一个实数根，则此三角形的周长是A. 24B. 24或16C. 16D. 227.若一元二次方程式的两根为a、b，且，则的值为A. B. 63 C. 179 D. 1818.若是方程的一个根，则的值是A. 1B.C. 2D. 无法确定9.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为A. B.C. D.10.关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则k的值为A. 0或2B. 或2C. 2D.11.对于实数a，b，定义一种新运算“”当时，当时，，若，则实数m等于12.若关于x的一元二次方程必有一根为0，则k的值是A. 3或B. 或2C. 3D.二、填空题（本大题共6小题，共18分）13.一元二次方程的根是______．14.如果关于x的一元二次方程没有实数根，那么m的取值范围是______．15.已知关于x的方程的一个解为，则它的另一个解是______．16.小明将环保倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发后又邀请n个互不相同的好友转发，依次类推，已知经过两轮传播后，共有111人参加了传播，则．17.若且则的值为_______．18.定义符号的含义为：当时，当时，，如：，，则方程的解是______．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19.用适当的方法解下列方程：．20.已知方程．当m为何值时，它是一元二次方程？当m为何值时，它是一元一次方程？21.已知关于x的一元二次方程有实数根．求m的取值范围；若该方程的两个实数根为、，且，求m的值．22.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出件．但物价局限定每次商品加价不能超过进价的，商品计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价应该是多少元？23.已知、是方程的两个实根．求实数m的取值范围；如果、满足不等式，且m为整数，求m的值．24.今年9月8日，重庆首家海底捞在来福士广场正式开始试营业，由于重庆人偏好麻辣口味，海底捞来福士店在原有番茄、红汤牛油、菌菇等多种常规锅底的基础上，专门为重庆人私人订制了一种“双椒锅底”开业当天，人气爆满，番茄锅和双椒锅成为最受欢迎的两种锅底，总计销售300份，销售总额为9800元．其中双椒锅的销售单价是42元，番茄锅的销售单价为28元．求开业当天番茄锅销售数量；试营业一段时间后，商家发现番茄锅和双椒锅的日均销量之比为3：为了庆祝国庆，回馈广大顾客，海底捞在国庆期间推出了优惠活动，在原有售价的基础上将番茄锅降价，双椒锅降价进行销售．10月1日当天，番茄锅的销量比日均销量增加了，而双椒锅的销量比日均销量增加了，结果当天这两种锅底的销售总额比日均销售总额多了，求a的值．25.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．通过计算，判断方程是不是“邻根方程”已知关于x的方程是常数是“邻根方程”，求m的值若关于x的方程b是常数，是“邻根方程”，令，试求t的最大值．参考答案一、选择题（本大题共12道小题，共36分）1-5 CBADA 6-10 ADABC 11-12 BC二、填空题（本大题共6小题，共18分）13、，14、15、016、1017、118、或三、解答题（本大题共7小题，共66分）19、解：，，，．移项，得．配方，得．整理，得．开平方，得或．，．，，，．．，．因式分解，得，，或，即，．20、解：方程为一元二次方程，，解得：，所以当m为或时，方程方程为一元二次方程；方程为一元一次方程，或解得，或，故当m为2或时，方程方程为一元一次方程．21、解：关于x的一元二次方程有实数根，，解得：．方程的两个实数根为、，，，22、解：由题意得每件商品售价a元，才能使商店赚400元，根据题意得，整理得：，解得，．，而，，舍去，则取．当时，．故该商店要卖出100件商品，每件售25元．23、解：，，．．、是方程的两个实根，，即．整理不等式，得．由一元二次方程根与系数的关系，得，．代入整理后的不等式得，解得．又，且m为整数．的值为，．24、解：设开业当天番茄锅销售数量为x份，则双椒锅的销售数量为份，由题意得：，解得，答：开业当天番茄锅销售数量为200份．番茄锅和双椒锅的日均销量之比为3：2，设番茄锅和双椒锅的日均销量分别为3 m和2 m，根据题意得：化简得：设，则有：舍去或．25、解：，解得，，是“邻根方程”．方程是常数是“邻根方程”，或，或．关于x的方程、b是常数，是“邻根方程”，，．，．，时，t的值最大，为16．。
人教版初中数学九年级上册《第21章 一元二次方程》单元测试卷(含答案解析
人教新版九年级上学期《第21章一元二次方程》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．关于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2=0是一元二次方程，则（）A．a≠±1B．a=1C．a=﹣1D．a=±12．已知x=1是方程x2+px+1=0的一个实数根，则p的值是（）A．0B．1C．2D．﹣23．一元二次方程（x+2017）2=1的解为（）A．﹣2016，﹣2018B．﹣2016C．﹣2018D．﹣20174．用配方法解方程x2+2x﹣3=0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2=2B．（x﹣1）2=4C．（x+1）2=2D．（x+1）2=4 5．方程x2=4x的根是（）A．x=4B．x=0C．x1=0，x2=4D．x1=0，x2=﹣4 6．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定7．若实数x，y满足（x﹣y）（x﹣y+3）=0，则x﹣y的值是（）A．﹣1或﹣2B．﹣1或2C．0或3D．0或﹣38．某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）A．2%B．4.4%C．20%D．44%9．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x=32B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32C．（10﹣x）（6﹣x）=32D．10×6﹣4x2=3210．设M=﹣x2+4x﹣4，则（）A．M＜0B．M≤0C．M≥0D．M＞0二．填空题（共6小题）11．一元二次方程4x2+3x﹣1=0的二次项系数是．12．方程x2+3x+1=0的解是：x1=，x2=．13．若等腰三角形的两边长是方程x2﹣9x+20=0的两个根，则这个三角形的周长为．14．一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+2x1x2的值为．15．用配方法将方程x2+10x﹣11=0化成（x+m）2=n的形式（m、n为常数），则m+n=．16．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为．三．解答题（共11小题）17．用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）2﹣9=0（2）5x2+2x﹣1=0．18．解方程：x2+2x﹣5=0 （用公式法解）19．用合适的方法解下列一元二次方程（1）（x+6）2﹣9=0；（2）2x2﹣8x+4=0（用配方法解）；（3）4x2﹣3x+2=0；（4）（x﹣1）（x+3）=12；（5）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）+2=0；（6）x2﹣5x+2=0．20．已知：关于x的一元二次方程x2+4x﹣m2=0（1）若方程有一个根是1，求m的值；（2）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．21．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．22．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m=0．（1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程一个根是2，求m的值．24．已知x2+4x+y2﹣6y+13=0，求的值．25．如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园，它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏，已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？26．已知关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）当m为何值时，使得x1（x2+x1）+x22的值为．27．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？人教新版九年级上学期《第21章一元二次方程》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．关于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2=0是一元二次方程，则（）A．a≠±1B．a=1C．a=﹣1D．a=±1【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：∴a=﹣1故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．2．已知x=1是方程x2+px+1=0的一个实数根，则p的值是（）A．0B．1C．2D．﹣2【分析】把x=1代入方程，即可求出答案．【解答】解：把x=1代入方程x2+px+1=0得：1+p+1=0，即p=﹣2，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，能理解一元二次方程的解的定义是解此题的关键．3．一元二次方程（x+2017）2=1的解为（）A．﹣2016，﹣2018B．﹣2016C．﹣2018D．﹣2017【分析】利用直接开平方法解方程．【解答】解：x+2017=±1，所以x1=﹣2018，x2=﹣2016．故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．4．用配方法解方程x2+2x﹣3=0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2=2B．（x﹣1）2=4C．（x+1）2=2D．（x+1）2=4【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：∵x2+2x﹣3=0∴x2+2x=3∴x2+2x+1=1+3∴（x+1）2=4故选：D．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．方程x2=4x的根是（）A．x=4B．x=0C．x1=0，x2=4D．x1=0，x2=﹣4【分析】原式利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：x（x﹣4）=0，可得x=0或x﹣4=0，解得：x1=0，x2=4，故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．6．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定【分析】先计算判别式得到△=（k+3）2﹣4×k=（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．【解答】解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，∵（k+1）2≥0，∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．7．若实数x，y满足（x﹣y）（x﹣y+3）=0，则x﹣y的值是（）A．﹣1或﹣2B．﹣1或2C．0或3D．0或﹣3【分析】根据已知方程得出x﹣y=0，x﹣y+3=0，求出x﹣y即可．【解答】解：（x﹣y）（x﹣y+3）=0，x﹣y=0，x﹣y+3=0，x﹣y=0或﹣3，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．8．某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）A．2%B．4.4%C．20%D．44%【分析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据题意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x=32B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32C．（10﹣x）（6﹣x）=32D．10×6﹣4x2=32【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）=32．故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．设M=﹣x2+4x﹣4，则（）A．M＜0B．M≤0C．M≥0D．M＞0【分析】利用配方法可将M变形为﹣（x﹣2）2，再根据偶次方的非负性即可得出M≤0．【解答】解：M=﹣x2+4x﹣4=﹣（x﹣2）2．∵（x﹣2）2≥0，∴﹣（x﹣2）2≤0，即M≤0．故选：B．【点评】本题考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，利用配方法将M变形为﹣（x﹣2）2是解题的关键．二．填空题（共6小题）11．一元二次方程4x2+3x﹣1=0的二次项系数是4．【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项可得答案．【解答】解：一元二次方程4x2+3x﹣1=0的二次项系数是4，故答案为：4．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，必须先化为一元二次方程的一般形式．12．方程x2+3x+1=0的解是：x1=，x2=．【分析】套用求根公式列式计算可得．【解答】解：∵a=1、b=3、c=1，∴△=9﹣4×1×1=5＞0，则x=，即x1=、x2=，故答案为：、．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．13．若等腰三角形的两边长是方程x2﹣9x+20=0的两个根，则这个三角形的周长为13或14．【分析】先解方程求出x的值，即求出等腰三角形的边长，然后再求三角形的周长就容易了，注意要分两种情况讨论，以防漏解．【解答】解：∵x2﹣9x+20=0，∴（x﹣4）（x﹣5）=0，∴x1=4，x2=5，当等腰三角形的边长是4、4、5时，这个三角形的周长是：4+4+5=13；当等腰三角形的边长是5、5、4时，这个三角形的周长是5+5+4=14．故答案为13或14．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的性质，解题的关键是求出方程的两根，此题比较简单，易于掌握．14．一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+2x1x2的值为2．【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x12﹣4x1=﹣2、x1x2=2，将其代入x12﹣4x1+2x1x2中即可求出结论．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1、x2，∴x12﹣4x1=﹣2，x1x2=2，∴x12﹣4x1+2x1x2=﹣2+2×2=2．故答案为：2．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．15．用配方法将方程x2+10x﹣11=0化成（x+m）2=n的形式（m、n为常数），则m+n=41．【分析】方程常数项移到右边，两边加上25配方得到结果，求出m与n的值即可．【解答】解：∵x2+10x﹣11=0，∴x2+10x=11，则x2+10x+25=11+25，即（x+5）2=36，∴m=5、n=36，∴m+n=41，故答案为：41．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．16．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为m＜5且m≠1．【分析】由一元二次方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+1=0有两个不相等的实数根，∴△＞0且m﹣1≠0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）＞0且m≠1，解得m＜5且m≠1，故答案为：m＜5且m≠1．【点评】本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．三．解答题（共11小题）17．用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）2﹣9=0（2）5x2+2x﹣1=0．【分析】（1）根据因式分解，可得答案；（2）根据公式法，可得答案．【解答】解（1）因式分解，得（x﹣1+3）（x﹣1﹣3）=0于是，得x+2=0或x﹣4=0，解得x1=﹣2，x2=4；（2）a=5，b=2，c=﹣1，△=b2﹣4ac=4﹣4×5×（﹣1）=24＞0，x==，x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．18．解方程：x2+2x﹣5=0 （用公式法解）【分析】利用求根公式解方程．【解答】解：x2+2x﹣5=0∵a=1，b=2，c=﹣5∵b2﹣4ac=22﹣4×1×（﹣5）=24＞0∴x==﹣1，∴．【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解题的关键．19．用合适的方法解下列一元二次方程（1）（x+6）2﹣9=0；（2）2x2﹣8x+4=0（用配方法解）；（3）4x2﹣3x+2=0；（4）（x﹣1）（x+3）=12；（5）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）+2=0；（6）x2﹣5x+2=0．【分析】（1）直接开平方法求解可得；（2）配方法求解可得；（3）公式法求解可得；（4）整理后因式分解法求解可得；（5）因式分解法求解可得；（6）因式分解法求解可得．【解答】解：（1）（x+6）2﹣9=0，（x+6）2=9，∴x+6=3或x+6=﹣3，解得：x=﹣3或x=﹣9；（2）2x2﹣8x=﹣4，x2﹣4x=﹣2，x2﹣4x+4=﹣2+4，即（x﹣2）2=2，∴x﹣2=或x﹣2=﹣，解得：x=2+或x=2﹣；（3）∵a=4，b=﹣3，c=2，∴△=9﹣4×4×2=﹣23＜0，∴原方程无解；（4）整理，得：x2+2x﹣15=0，∴（x﹣3）（x+5）=0，∴x﹣3=0或x+5=0，解得：x=3或x=﹣5；（5）因式分解可得：（2x﹣1+1）（2x﹣1+2）=0，即2x（2x+1）=0，∴2x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣；（6）x2﹣5x+2=0，因式分解得：（x﹣）（x﹣2）=0，∴x﹣=0或x﹣2=0，解得：x=或x=．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．20．已知：关于x的一元二次方程x2+4x﹣m2=0（1）若方程有一个根是1，求m的值；（2）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．【分析】（1）代入x=1可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值；（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4m2+16＞0，由此即可证出：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：将x=1代入原方程，得1+4﹣m2=0，即m2=5，解得：m=±．（2）证明：△=42﹣4×1×（﹣m2）=4m2+16．∵m2≥0，∴4m2+16＞0，即△＞0，∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，解题的关键是：（1）代入x=1求出m的值；（2）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”．21．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．【分析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据矩形的面积公式，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△=﹣16＜0，由此得出假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．【解答】解：（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x（32﹣2x）=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y（36﹣2y）=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=（﹣18）2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．【解答】解：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．【点评】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m=0．（1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程一个根是2，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=（m+1）2+8＞0，由此即可证出：无论实数m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）将x=2代入原方程，即可求出m的值．【解答】（1）证明：△=[﹣（m+3）]2﹣4×1×m=（m+1）2+8．∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+8＞0，即△＞0，∴无论实数m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：当x=2时，原方程为4﹣2（m+3）+m=0，解得：m=﹣2．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=2求出m的值．24．已知x2+4x+y2﹣6y+13=0，求的值．【分析】已知等式变形后，利用非负数的性质求出x与y的值，即可确定出所求式子的值．【解答】解：∵x2+4x+y2﹣6y+13=0，∴（x+2）2+（y﹣3）2=0，∴x+2=0，y﹣3=0，即x=﹣2，y=3，则=﹣．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．25．如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园，它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏，已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？【分析】设宽为xm，则长为（20﹣2x）m，然后根据长方形的面积公式列出方程，求出x的值，再根据已知条件，把不合题意的解舍去，即可得出围成矩形的长和宽．【解答】解：设宽为x m，则长为（20﹣2x）m．由题意，得x•（20﹣2x）=48，解得x1=4，x2=6．当x=4时，长为20﹣2×4=12＞9（舍去），当x=6时，长为20﹣2×6=8m．答：围成矩形的长为8m、宽为6m．【点评】此题是利用一元二次方程解决实际问题，解题关键是找到关键描述语，从而找到等量关系准确的列出方程．26．已知关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）当m为何值时，使得x1（x2+x1）+x22的值为．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1，x2，得出b2﹣4ac≥0，然后代入求解即可；（2）根据根与系数的关系得x1+x2=﹣2m，x1•x2=m2+3m﹣2，再把x1（x2+x1）+x22进行变形，即可得出x1（x2+x1）+x22=（x1+x2）2﹣x1x2=，解方程即可求得m 的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1，x2，∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×（m2+3m﹣2）≥0，∴﹣12m+8≥0，∴m≤．故m的取值范围为m≤；（2）∵x1+x2=﹣2m，x1•x2=m2+3m﹣2，∴x1（x2+x1）+x22=（x1+x2）2﹣x1x2=4m2﹣（m2+3m﹣2）=，解得m=．故m为时，使得x1（x2+x1）+x22的值为．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．27．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；（2）根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+80．当x=23.5时，y=﹣2x+80=33．答：当天该水果的销售量为33千克．（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）=150，解得：x1=35，x2=25．∵20≤x≤32，∴x=25．答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．。
新人教版九年级上《第21章一元二次方程》单元测试含答案解析
《第21章一元二次方程》一、选择题:1．方程(m﹣2)x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则( ) A．m≠±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠22．一元二次方程x2﹣4=0的解是( )A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=，x2=﹣3．下列方程中是一元二次方程的有( )①=；②y(y﹣1)=x(x+1)；③=；④x2﹣2y+6=y2+x2．A．①② B．①③ C．①④ D．①③④4．若x1、x2是方程x2+3x﹣5=0的两个根，则x1•x2的值为( )A．﹣3 B．﹣5 C．3 D．55．在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是( )A．B．x(x﹣1)=90 C．D．x(x+1)=90二、填空题:6．把一元二次方程(x+1)(1﹣x)=2x化成二次项系数大于零的一般式为，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是．一元二次方程x2=2x的解为: ．7．方程x2+3x+1=0的解是．8．写出一个以﹣3和2为根的一元二次方程: ．9．如果方程x2﹣(m﹣1)x+=0有两个相等的实数根，则m的值为．10．若x2﹣4x+m2是完全平方式，则m= ．三、解答题11．解下列方程:(1)x2﹣9=0(2)(x﹣1)(x+2)=6．12．若﹣2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，求方程的另一个根和k的值．13．若关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+2x﹣1=0有实数根，求m的取值范围．14．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2020年盈利1500万元，到2020年盈利2160万元，且从2020年到2020年，每年盈利的年增长率相同．(1)该公司2020年盈利多少万元？(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2020年盈利多少万元？15．从一块正方形的木板上锯掉2米宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，求原来正方形木板的面积．16．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根，求的值．《第21章一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题:1．方程(m﹣2)x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则( )A．m≠±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠2【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义可得m﹣2≠0，再解即可．【解答】解:由题意得:m﹣2≠0，解得:m≠2，故选:D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是注意二次项的系数不等于0．2．一元二次方程x2﹣4=0的解是( )A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=，x2=﹣【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】观察发现方程的两边同时加4后，左边是一个完全平方式，即x2=4，即原题转化为求4的平方根．【解答】解:移项得:x2=4，∴x=±2，即x1=2，x2=﹣2．故选:C．【点评】(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:x2=a(a≥0)；ax2=b(a，b同号且a≠0)；(x+a)2=b(b≥0)；a(x+b)2=c(a，c同号且a≠0)．法则:要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解．(2)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．3．下列方程中是一元二次方程的有( )①=；②y(y﹣1)=x(x+1)；③=；④x2﹣2y+6=y2+x2．A ．①②B ．①③C ．①④D ．①③④【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程必须满足两个条件:(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0对各小题分析判断后利用排除法求解．【解答】解:① =是一元二次方程；②y (y ﹣1)=x(x+1)不是一元二次方程，是二元二次方程；③=，分母上含有未知数x ，不是整式方程；④x 2﹣2y+6=y 2+x 2整理后为y 2+2y ﹣6=0，是一元二次方程；综上所述，是一元二次方程的有①④．故选C ．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0(且a ≠0)．特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．4．若x 1、x 2是方程x 2+3x ﹣5=0的两个根，则x 1•x 2的值为( )A ．﹣3B ．﹣5C ．3D ．5【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系可得出x 1•x 2=，再计算即可．【解答】解:∵x 1、x 2是方程x 2+3x ﹣5=0的两个根，∴x 1•x 2==﹣5，故选B ．【点评】本题考查了根与系数的关系，掌握x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=是解题的关键．5．在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x 个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是( )A ．B ．x(x ﹣1)=90C ．D ．x(x+1)=90【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】比赛问题．【分析】如果设某一小组共有x 个队，那么每个队要比赛的场数为(x ﹣1)场，有x 个小队，那么共赛的场数可表示为x(x ﹣1)=90．【解答】解:设某一小组共有x 个队，那么每个队要比赛的场数为x ﹣1；则共赛的场数可表示为x(x ﹣1)=90．故本题选B ．【点评】本题要注意比赛时是两支队伍同时参赛，且“每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场”，以免出错．二、填空题:6．把一元二次方程(x+1)(1﹣x)=2x 化成二次项系数大于零的一般式为 x 2+2x ﹣1=0 ，其中二次项系数是 1 ，一次项系数是 2 ，常数项是 ﹣1 ．一元二次方程x 2=2x 的解为: x 1=0，x 2=2 ．【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的一般形式．【专题】计算题．【分析】先利用平方差公式把方程(x+1)(1﹣x)=2x 左边展开，再移项得到 x 2+2x ﹣1=0，然后写出二次项系数、一次项系数、常数项；利用因式分解法解方程x 2=2x ．【解答】解:一元二次方程(x+1)(1﹣x)=2x 化成二次项系数大于零的一般式为 x 2+2x ﹣1=0，其中二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是﹣1．x 2﹣2x=0，x(x ﹣2)=0，x=0或x ﹣2=0，所以x 1=0，x 2=2．故答案为 x 2+2x ﹣1=0，1，2，﹣1，x 1=0，x 2=2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．7．方程x 2+3x+1=0的解是 x 1=，x 2= ．【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】求出b 2﹣4ac 的值，再代入公式求出即可．【解答】解:这里a=1，b=3，c=1，b 2﹣4ac=32﹣4×1×1=5，x=， x 1=，x 2=， 故答案为:x 1=，x 2=． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．8．写出一个以﹣3和2为根的一元二次方程: x 2﹣x ﹣6=0 ．【考点】根与系数的关系．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，一根为3，另一个根为﹣2，则方程是(x ﹣3)(x+2)=0的形式，即可得出答案．【解答】解:根据一个根为x=3，另一个根为x=﹣2的一元二次方程是:x 2﹣x ﹣6=0；故答案为:x 2﹣x ﹣6=0．【点评】此题考查了根与系数的关系，已知方程的两根，写出方程的方法是需要熟练掌握的一种基本题型．9．如果方程x 2﹣(m ﹣1)x+=0有两个相等的实数根，则m 的值为 m=2或m=0 ．【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个相等实数根得△=0，即(m ﹣1)2﹣4×=0，解方程即可得．【解答】解:∵方程x 2﹣(m ﹣1)x+=0有两个相等的实数根，∴△=0，即(m ﹣1)2﹣4×=0，解得:m=2或m=0，故答案为:m=2或m=0．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．10．若x2﹣4x+m2是完全平方式，则m= ±2 ．【考点】完全平方式．【分析】先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可．【解答】解:∵x2﹣4x+m2=x2﹣2x•2+m2，∴m2=22=4，∴m=±2．故答案为:±2．【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项和乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．三、解答题11．解下列方程:(1)x2﹣9=0(2)(x﹣1)(x+2)=6．【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】(1)根据直接开平方法求解即可；(2)先去括号，再用公式法求解即可．【解答】解:(1)x2=9，x=±3，∴x1=3，x2=﹣3；(2)x2+x﹣8=0，a=1，b=1，c=﹣8，△=b2﹣4ac=1+32=33＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴x==，∴x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法．12．若﹣2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，求方程的另一个根和k的值．【考点】根与系数的关系．【分析】设方程的另一个根为x2，根据韦达定理得出关于x2和k的方程组，解之可得．【解答】解:设方程的另一个根为x2，根据题意，得:，解得:，∴方程的另一个根位5，k的值为﹣10．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．13．若关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+2x﹣1=0有实数根，求m的取值范围．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣2≠0且△=22﹣4(m﹣2)×(﹣1)≥0，然后解两个不等式确定它们的公共部分即可．【解答】解:根据题意得m﹣2≠0且△=22﹣4(m﹣2)×(﹣1)≥0，解得m≥1且m≠2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．14．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2020年盈利1500万元，到2020年盈利2160万元，且从2020年到2020年，每年盈利的年增长率相同．(1)该公司2020年盈利多少万元？(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2020年盈利多少万元？【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题；压轴题．【分析】(1)需先算出从2020年到2020年，每年盈利的年增长率，然后根据2020年的盈利，算出2020年的利润；(2)相等关系是:2020年盈利=2020年盈利×每年盈利的年增长率．【解答】解:(1)设每年盈利的年增长率为x ，根据题意得1500(1+x)2=2160解得x 1=0.2，x 2=﹣2.2(不合题意，舍去)∴1500(1+x)=1500(1+0.2)=1800答:2020年该公司盈利1800万元．(2)2160(1+0.2)=2592答:预计2020年该公司盈利2592万元．【点评】本题的关键是需求出从2020年到2020年，每年盈利的年增长率．等量关系为:2020年盈利×(1+年增长率)2=2160．15．从一块正方形的木板上锯掉2米宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，求原来正方形木板的面积．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设原来的正方形木板的边长为x ，锯掉2米宽厚，就变为长为x 米，宽为(x ﹣2)米的长方形，根据长方形的面积公式列方程求x ，继而可求正方形的面积．【解答】解:设原来的正方形木板的边长为x ．x(x ﹣2)=48，x=8或x=﹣6(舍去)，8×8=64(平方米)．答:原来正方形木板的面积是64平方米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解本题设出正方形木板的边长为x ，根据题意列方程求解即可．16．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根，求的值．【考点】根的判别式．【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此△=b2﹣4a=0，可得出a、b之间的关系，然后将化简后，用含a的代数式表示b，即可求出这个分式的值．【解答】解:∵ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，即b2﹣4a=0，b2=4a，∵===∵a≠0，∴===4．【点评】本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．第11页（共11页）。
人教版九年级(上册)数学第21章一元二次方程单元测试卷(含答案和解析)
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程单元测试卷考试时间：100分钟；试卷满分：120分学校__________班级_________姓名_________座号_________成绩__________一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）若代数式x2﹣2x﹣3的值等于0，则x的值是（）A．3或﹣1B．1或﹣3C．﹣1D．32．（3分）用配方法解一元二次方程m2﹣6m+8＝0，结果是下列配方正确的是（）A．（m﹣3）2＝1B．（m+3）2＝1C．（m﹣3）2＝﹣8D．（m+3）2＝9 3．（3分）将一元二次方程x2﹣6x＝2化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（）A．﹣7B．9C．11D．54．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一个根是1，则另一个根是（）A．5B．﹣5C．﹣6D．﹣75．（3分）下列方程中，两根分别为2和3的方程是（）A．x2﹣x﹣6＝0B．x2﹣6x+5＝0C．x2+x﹣6＝0D．x2﹣5x+6＝0 6．（3分）用直接开平方法解方程3（x﹣3）2﹣24＝0，得方程的根是（）A．x＝3+2B．x＝3﹣2C．x1＝3+2，x2＝3﹣2D．x＝﹣3±27．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则这个三角形的周长是（）A．11B．10C．11或10D．不能确定8．（3分）下列方程：①5x2＝2y；②2x（x+3）＝x2﹣5；③x2+x+3＝0；④﹣x2+5x＝0；⑤3x2++3＝0；⑥mx2+nx＝0．其中是一元二次方程的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（3分）已知（m2+n2）2﹣2（m2+n2）﹣3＝0，则m2+n2＝（）A．﹣1或3B．3C．﹣1D．无法确定10．（3分）方程x2+3x＝14的解是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．（4分）把方程3x2+x＝5x﹣2整理成一元二次方程的一般形式为．12．（4分）一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．13．（4分）如果x1、x2是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，那么x1+x2＝．14．（4分）已知x＝1是方程x2+mx﹣n＝0的一个根，则m2﹣2mn+n2＝．15．（4分）某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米．设花圃的宽为x米，则可列方程为，化为一般形式为．16．（4分）方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．三．解答题（共9小题，满分66分）17．（6分）解方程（1）x2﹣4x﹣5＝0（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．18．（6分）不解方程，判别方程根的情况．①3x2﹣5x+4＝0；②x2﹣2x＝5﹣x．19．（6分）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，求代数式a3﹣2a+3的值．20．（6分）从一块正方形的木板上锯掉2米宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，求原来正方形木板的面积．21．（8分）若a是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，求a2+的值．22．（8分）某商场销售一批进价为120元的名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件可盈利40元．经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降1元，每天就可多售出2件衬衫．这种衬衫的单价应降价多少元？才能使商场通过销售这批衬衫平均每天盈利1200元．23．（8分）本届政府为了解决农民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，（1）求这种药品平均每次降价的百分率是多少？（2）经调查某药店，该药品每盒降价5%，即可多销售10盒．若该药店原来每天可销售500盒，那么两次调价后，每月可销售该药多少盒？24．（9分）经市场调查发现，某种进货价格为30元的书包以40元的价格出售时，平均每月售出600个，并且书包的售价每提高1元，某月销售量就减少10个，某商场计划购进一批这种书包．当商场每月有10000元的销售利润时，（1）书包的售价应为多少元？（2）书包的月销售量为多少个？（3）为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？25．（9分）如图．用长为24m的篱笆、一面墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间有一道篱笆的长方形花圃．（1）如果花圃的面积为45m2，求花圃的宽AB的长．（2）花圃的面积能围成18m2吗？若能，请求出这时花圃的宽AB的长；若不能，请说明理由．（3）花圃的面积能围成51m2吗？若能，请求出这时花圃的宽AB的长；若不能，请说明理由．人教版九年级上册数学第21章一元二次方程单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）若代数式x2﹣2x﹣3的值等于0，则x的值是（）A．3或﹣1B．1或﹣3C．﹣1D．3【分析】根据题意得到x2﹣2x﹣3＝0，利用因式分解法解方程即可．【解答】解：依题意得：x2﹣2x﹣3＝0，整理，得（x﹣3）（x+1）＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1．故选：A．2．（3分）用配方法解一元二次方程m2﹣6m+8＝0，结果是下列配方正确的是（）A．（m﹣3）2＝1B．（m+3）2＝1C．（m﹣3）2＝﹣8D．（m+3）2＝9【分析】移项，配方，即可得出选项．【解答】解：m2﹣6m+8＝0，m2﹣6m＝﹣8，m2﹣6m+9＝﹣8+9，（m﹣3）2＝1，故选：A．3．（3分）将一元二次方程x2﹣6x＝2化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（）A．﹣7B．9C．11D．5【分析】方程配方得到结果，即可确定出k的值．【解答】解：方程x2﹣6x＝2，配方得：x2﹣6x+9＝11，即（x﹣3）2＝11，则k等于11，故选：C．4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一个根是1，则另一个根是（）A．5B．﹣5C．﹣6D．﹣7【分析】设方程x2﹣6x+k＝0的两根为α、β，由根与系数的关系可得出α+β＝6，结合α＝1即可求出β值．【解答】解：设方程x2﹣6x+k＝0的两根为α、β，则有：α+β＝6，∵α＝1，∴β＝6﹣1＝5．故选：A．5．（3分）下列方程中，两根分别为2和3的方程是（）A．x2﹣x﹣6＝0B．x2﹣6x+5＝0C．x2+x﹣6＝0D．x2﹣5x+6＝0【分析】根据方程的两根为2和3，结合根与系数的关系即可得出方程，此题得解．【解答】解：∵方程的两根分别为2和3，∴2+3＝5，2×3＝6，∴方程为x2﹣5x+6＝0．故选：D．6．（3分）用直接开平方法解方程3（x﹣3）2﹣24＝0，得方程的根是（）A．x＝3+2B．x＝3﹣2C．x1＝3+2，x2＝3﹣2D．x＝﹣3±2【分析】先移项、系数化1，则可变形为（x﹣3）2＝8，然后利用数的开方解答，求出x ﹣3的值，进而求x．【解答】解：移项得，3（x﹣3）2＝24，两边同除3得，（x﹣3）2＝8，开方得，x﹣3＝±2，所以x1＝3+2，x2＝3﹣2．故选C．7．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则这个三角形的周长是（）A．11B．10C．11或10D．不能确定【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，确定出底与腰，即可求出周长．【解答】解：方程分解得：（x﹣3）（x﹣4）＝0，解得：x1＝3，x2＝4，若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为3+4+4＝11；若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为3+3+4＝10．故选：C．8．（3分）下列方程：①5x2＝2y；②2x（x+3）＝x2﹣5；③x2+x+3＝0；④﹣x2+5x＝0；⑤3x2++3＝0；⑥mx2+nx＝0．其中是一元二次方程的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：①5x2＝2y，方程含有两个未知数，故错误；②2x（x+3）＝x2﹣5，符合一元二次方程的定义，正确；③x2+x+3＝0，符合一元二次方程的定义，正确；④﹣x2+5x＝0，符合一元二次方程的定义，正确；⑤3x2++3＝0，不是整式方程，故错误；⑥mx2+nx＝0，方程二次项系数可能为0，故错误．故选：C．9．（3分）已知（m2+n2）2﹣2（m2+n2）﹣3＝0，则m2+n2＝（）A．﹣1或3B．3C．﹣1D．无法确定【分析】设y＝m2+n2，原式化成关于y的一元二次方程，解方程即可求得．【解答】解：设y＝m2+n2，则原式化为：y2﹣2y﹣3＝0，（y﹣3）（y+1）＝0，∴y＝3或y＝﹣1，∵m2+n2≥0，∴m2+n2＝3．故选：B．10．（3分）方程x2+3x＝14的解是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【分析】把方程化为一元二次方程的一般形式，用一元二次方程的求根公式求出方程的根．【解答】解：方程整理得：x2+3x﹣14＝0a＝1，b＝3，c＝﹣14，△＝9+56＝65x＝．故选：B．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．（4分）把方程3x2+x＝5x﹣2整理成一元二次方程的一般形式为3x2﹣4x+2＝0．【分析】方程移项合并，整理为一般形式即可．【解答】解：方程整理得：3x2﹣4x+2＝0，故答案为：3x2﹣4x+2＝012．（4分）一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的二次项系数是1，一次项系数是﹣1，常数项是﹣2．【分析】找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．【解答】解：元二次方程x2﹣x﹣2＝0的二次项系数是1，一次项系数是﹣1，常数项是﹣2．故答案为：1；﹣1；﹣213．（4分）如果x1、x2是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，那么x1+x2＝7．【分析】根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得x1+x2＝7．故答案为：7．14．（4分）已知x＝1是方程x2+mx﹣n＝0的一个根，则m2﹣2mn+n2＝1．【分析】把x＝1代入方程求出m﹣n＝﹣1，根据完全平方公式得出（m﹣n）2，代入求出即可．【解答】解：∵x＝1是方程x2+mx﹣n＝0的一个根，∴代入得：1+m﹣n＝0，m﹣n＝﹣1，∴m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2＝（﹣1）2＝1，故答案为：1．15．（4分）某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米．设花圃的宽为x米，则可列方程为x（x+10）＝200，化为一般形式为x2+10x﹣200＝0．【分析】根据花圃的面积为200列出方程即可．【解答】解：∵花圃的长比宽多10米，花圃的宽为x米，∴长为（x+10）米，∵花圃的面积为200，∴可列方程为x（x+10）＝200．化为一般形式为x2+10x﹣200＝0，故答案为：x（x+10）＝200，x2+10x﹣200＝0．16．（4分）方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m＝±．【分析】根据一元二次方程的定义可得m2﹣1＝2，且m﹣1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：m2﹣1＝2，且m﹣1≠0，解得：m＝±，故答案为：m＝±．三．解答题（共9小题，满分66分）17．（6分）解方程（1）x2﹣4x﹣5＝0（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．【分析】（1）根据因式分解法可以解答本题；（2）先移项，然后提公因式可以解答此方程．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0（x﹣5）（x+1）＝0∴x﹣5＝0或x+1＝0，解得，x1＝5，x2＝﹣1；（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0（3x+2）（x﹣1）＝0∴3x+2＝0或x﹣1＝0，解得，．18．（6分）不解方程，判别方程根的情况．①3x2﹣5x+4＝0；②x2﹣2x＝5﹣x．【分析】①根据方程的系数结合根的判别式得出△＝﹣23＜0，由此得出方程无解；②根据方程的系数结合根的判别式得出△＝21＞0，由此得出方程有两个不相等的实数根．【解答】解：①∵△＝（﹣5）2﹣4×3×4＝﹣23＜0，∴该方程无解；②原方程可变形为x2﹣x﹣5＝0，∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣5）＝21＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．19．（6分）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，求代数式a3﹣2a+3的值．【分析】直接解方程求出a的值，再代入求代数式的值，是一种基本思路．但这种思路比较麻烦．另外一种思路是由已知得到：a2﹣a﹣1＝0即a2﹣a＝1用a2﹣a把已知的式子表示出来，从而求代数式的值．【解答】解：由a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根得：a2﹣a﹣1＝0，即a2﹣a＝1，∴a3﹣2a+3＝a3﹣a2+a2﹣a﹣a+3＝a（a2﹣a）+（a2﹣a）﹣a+3＝a+1﹣a+3＝4．20．（6分）从一块正方形的木板上锯掉2米宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，求原来正方形木板的面积．【分析】设原来的正方形木板的边长为x，锯掉2米宽厚，就变为长为x米，宽为（x﹣2）米的长方形，根据长方形的面积公式列方程求x，继而可求正方形的面积．【解答】解：设原来的正方形木板的边长为x．x（x﹣2）＝48，x＝8或x＝﹣6（舍去），8×8＝64（平方米）．答：原来正方形木板的面积是64平方米．21．（8分）若a是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，求a2+的值．【分析】把a代入原方程，得到关于a的一元二次方程，a2﹣5a+1＝0，代入直接求值即可．【解答】解：依题意得，a2﹣5a+1＝0，则a≠0，方程两边同时除以a，得a﹣5+＝0，∴a+＝5，两边同时平方，得：（a+）2＝25，a2++2＝25，∴a2+＝23．22．（8分）某商场销售一批进价为120元的名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件可盈利40元．经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降1元，每天就可多售出2件衬衫．这种衬衫的单价应降价多少元？才能使商场通过销售这批衬衫平均每天盈利1200元．【分析】设衬衫的单价应下降x元．则每天可售出（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元．再根据相等关系：每天的获利＝每天售出的件数×每件的盈利；列方程求解即可．【解答】解：设这种衬衫的单价应降价x元，根据题意，得（20+2x）（40﹣x）＝1200，解得：x1＝10，x2＝20．答：这种衬衫的单价应降价10元或20元，才能使商场平均每天盈利1200元．23．（8分）本届政府为了解决农民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，（1）求这种药品平均每次降价的百分率是多少？（2）经调查某药店，该药品每盒降价5%，即可多销售10盒．若该药店原来每天可销售500盒，那么两次调价后，每月可销售该药多少盒？【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），设这种药品平均每次降价的百分率是x则两个次降价以后的价格是200（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：（1）设这种药品平均每次降价的百分率是x，由题意得200（1﹣x）2＝128解得x＝1.8（不合题意舍去）x＝0.2答：这种药品平均每次降价的百分率是20%；（2）由（1）可知：该药品的降价率为×100%＝36%，500+×10＝572，572×30＝17160（盒）．24．（9分）经市场调查发现，某种进货价格为30元的书包以40元的价格出售时，平均每月售出600个，并且书包的售价每提高1元，某月销售量就减少10个，某商场计划购进一批这种书包．当商场每月有10000元的销售利润时，（1）书包的售价应为多少元？（2）书包的月销售量为多少个？（3）为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？【分析】（1）设书包的售价为x元，由这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，列出函数关系式，（2）将求得的x的值代入600﹣10（x﹣40）求值即可，（3）取使得销售量最大的未知数的取值即可．【解答】解：（1）设书包的售价应定为x元，则有（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝10000．解得x1＝50，x2＝80．所以书包的售价应定为50元或80元．（2）当售价为50元时，销售量为500个；当售价为80元，销售量为200个．（3）∵当x＝50时候，销售量为500个，最多，∴销售价格应定为50元．25．（9分）如图．用长为24m的篱笆、一面墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间有一道篱笆的长方形花圃．（1）如果花圃的面积为45m2，求花圃的宽AB的长．（2）花圃的面积能围成18m2吗？若能，请求出这时花圃的宽AB的长；若不能，请说明理由．（3）花圃的面积能围成51m2吗？若能，请求出这时花圃的宽AB的长；若不能，请说明理由．【分析】（1）设花圃的宽AB为x米，可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积为45m2，根据矩形的面积公式得出方程，求解即可．（2）设花圃的宽AB为y米，可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积为18m2，根据矩形的面积公式得出方程，求解即可．（3）设花圃的宽AB为z米，可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积为51m2，根据矩形的面积公式得出方程，求解即可．【解答】解：（1）设花圃的宽AB为x米，则BC的长为（24﹣3x）米，依题意有x（24﹣3x）＝45，解得x1＝3，x2＝5，∵当x1＝3时，24﹣3x＝15，墙的最大可用长度为10m，∴x1＝3不合题意舍去．故花圃的宽AB的长为5m．（2）设花圃的宽AB为y米，则BC的长为（24﹣3y）米，依题意有y（24﹣3y）＝18，解得y1＝4﹣，y2＝4+，∵当y1＝4﹣时，24﹣3y＝12+3，墙的最大可用长度为10m，∴y1＝4﹣不合题意舍去；当y2＝4+时，24﹣3y＝12﹣3，墙的最大可用长度为10m，∴y2＝4+．故花圃的宽AB的长为（4+）m．（2）设花圃的宽AB为z米，则BC的长为（24﹣3z）米，依题意有z（24﹣3z）＝51，z2﹣8z+17＝0，∵△＝（﹣8）2﹣4×1×17＝﹣4＜0，∴不能．。
人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程》单元检测试卷(含答案)
人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程》单元检测试卷时间：100分钟满分：100分班级：_______ 姓名：________得分:_______一．选择题（每题3分，共30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+y＝1 D．2．对于任意实数k，关于x的方程x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判定3．一元二次方程x2﹣3x+6＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．关于x的方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．m＜B．m＞C．m＝D．m＜﹣5．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断6．某中学有一块长30cm，宽20cm的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30C．30x+2×20x＝×20×30D ．（30﹣2x ）（20﹣x ）＝×20×307．如图，把长40cm ，宽30cm 的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm （纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm 2，则x 的值是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．4.8cmD ．5cm8．若a 是方程x 2﹣x ﹣1＝0的一个根，则﹣a 3+2a +2020的值为（ ）A ．2020B ．﹣2020C ．2019D ．﹣20199．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+2x ﹣2＝0没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ＜B ．m ＞C ．m ＞且m ≠1D ．m ≠110．设方程x 2﹣3x +2＝0的两根分别是x 1，x 2，则x 1+x 2的值为（ ）A ．3B ．﹣C ．D ．﹣2二．填空题（每题4分，共20分）11．已知一元二次方程x 2+2x +m ＝0的一个根是﹣1，则m 的值为 ．12．已知x 为实数，且满足（2x 2+3）2+2（2x 2+3）﹣15＝0，则2x 2+3的值为 ．13．若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+3x +m 2﹣3m +2＝0的常数项为0，则m 的值为14．若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣k ＝0无实数根，则k 的取值范围是 ．15．2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军，为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜 场．三．解答题（每题10分，共50分）16．解下列方程：（1）2x 2﹣4x ﹣1＝0（2）（x +1）2＝6x +6．17．阅读材料，解决问题：某数学学习小组在阅读数学史时，发现了一个有趣的故事；古希腊神话中的米诺斯王嫌别人为他建造的坟墓太小，命令将其扩大一倍，并说只要将每边扩大一倍就行，这当然是错误的，但这类问题却引出了著名的几何问题：倍立方问题．此时他们刚好学习了平面几何，所以甲同学提出：“任意给定一个正方形，是否存在另外一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍呢？”，对于这个问题小组成员很快给出了解答：设原正方形的边长为a，则周长为4a，面积为a2∵另一个正方形的周长为2×4a＝8a∴此时边长为2a，面积为（2a）2＝4a2≠2a2∴不存在这样的正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍．虽然甲同学的问题得到了很快的解决，但这一问题的提出触发了其他小组成员的积极思考，进一步乙同学提出：“任意给定一个矩形，是否存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍呢？”通过讨论，他们决定先研究：“已知矩形的长和宽分别为m和1，是否存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍呢？”，并给出了如下解答过程：设所求矩形的长为x，则根据题意可表示出所求矩形的宽为2（m+1）﹣x那么可建立方程：x•[2（m+1）﹣x]＝2m∵判别式△＝4m2+4＞0∴原方程有解，即结论成立．根据材料解决下列问题（1）若已知一个矩形的长和宽分别为3和1，则是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半呢？若存在，请求出此矩形的长和宽；若不存在，请说明理由；（2）若已知一个矩形的长和宽分别为m和1，且一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的k倍，求k的取值范围（写明解答过程）．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0（1）若此方程有两个相等实数根，求此时c的值及方程的根；（2）若此方程有一个根为5，求此时c的值及方程的另一根．19．缤纷科技节“玩出你的稀缺竞争力”是西大银翔一张亮丽的名片，创意无限“萝卜塔搭”就是活动项目之一，为了准备该项活动，学校到市场购买了胡萝卜和白萝卜，胡萝卜的单价是毎千克5元，白萝卜的单价是每千克2元，购买白萝卜的数量是购买胡萝卜数量的2倍，同时，为了控制成本，则买萝卜的总费用不超过450元．（1）学校最多可购买多少千克萝卜？（2）在学校购买胡萝卜最多的前提下，所购买的两种萝卜全部制作成的创意作品，并将创意作品进行销售．在制作中其他费用共花200元，学生们在成本价（购买萝卜的费用+其他费用）的基础上每件提高2a%（10＜a＜50）作为售价，但无人问津，于是学生们在售价的基础上降低a%出售．最终，在活动结束时作品全部卖完，且在本次活动中赚了a%，求a的值．20．在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发．（1）几秒后△PBQ的面积等于4cm2？（2）几秒钟后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中△PBQ的面积能否等于7cm2？请说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、2x+1＝0是一元一次方程，不符合题意；B、x2﹣3x+1＝0是一元二次方程，符合题意；C、x2+y＝1是二元二次方程，不符合题意；D、＝1是分式方程，不符合题意．故选：B．2．解：x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0，△＝b2﹣4ac＝[﹣（k+5）]2﹣4××（k2+2k+25）＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16，不论k为何值，﹣（k﹣3）2≤0，即△＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0，所以方程没有实数根，故选：B．3．解：∵x2﹣3x+6＝0，△＝（﹣3）2﹣4×1×6＝﹣6＜0，∴方程没有实数根，即一元二次方程x2﹣3x+6＝0的根的情况为没有实数根，故选：D．4．解：∵关于x的方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×1×m＝0，解得：m＝，故选：C．5．解：∵△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，∴方程有两个不相等的两个实数根．故选：A．6．解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30，故选：B．7．解：依题意，得：40×30﹣2x2﹣2x•（x+）＝950，整理，得：x2+20x﹣125＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣25（不合题意，舍去）．故选：D．8．解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1，∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．故选：C．9．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0没有实数根，∴△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣2）＜0，且m﹣1≠0，解得m＜，故选：A．10．解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，由根与系数的关系：x1+x2＝﹣＝﹣＝3．故选：A．二．填空题（共5小题）11．解：把x＝﹣1代入方程得1﹣2+m＝0，解得m＝1，故答案为1．12．解：设2x2+3＝t，且t≥3，∴原方程化为：t2+2t﹣15＝0，∴t＝3或t＝﹣5（舍去），∴2x2+3＝3，故答案为：313．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0 ∴m﹣2≠0，m2﹣3m+2＝0，解得：m＝1，故答案为：1．14．解：由题意可知：△＝4+4k＜0，∴k＜﹣1，故答案为：k＜﹣115．解：设中国队在本届世界杯比赛中连胜x场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，依题意，得：x（x+1）＝66，整理，得：x2+x﹣132＝0，解得：x1＝11，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．故答案为：11．三．解答题（共5小题）16．解：（1）∵a＝2、b＝﹣4、c＝﹣1，∴△＝16﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，则x＝＝；（2）∵（x+1）2﹣6（x+1）＝0，∴（x+1）（x﹣5）＝0，则x+1＝0或x﹣5＝0，解得：x＝﹣1或x＝5．17．解：（1）设所求矩形的长为x，则它的宽为（2﹣x）．由题可得：x（2﹣x）＝∵△＝﹣8＜0∴原方程无解∴不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半．（2）设所求矩形的长为x，则所求矩形的宽为：k（m+1）﹣x由题意得：x•[k（m+1）﹣x]＝km整理得：x2﹣k（m+1）x+km＝0△＝k2m2+k2+2k2m﹣4km∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积k倍∴△≥0 即：k2m2+2k2m﹣4km+k2≥0，整理得m2+（2﹣）m+1≥0令y＝m2+（2﹣）m+1，为开口向上的抛物线则由y ≥0，可得：（2﹣）2﹣4≤0解得：k ≥1∴当k ≥1时，结论成立18．解：（1）∵方程有两个相等实数根，∴b 2﹣4ac ＝（﹣6）2﹣4×1×c ＝36﹣4c ＝0，∴c ＝9，将c ＝9代入原方程，得x 2﹣6x +9＝0，解得 x 1＝x 2＝3；（2）∵方程有一个根为5，∴52﹣6×5+c ＝0，解得c ＝5，将c ＝5代入原方程，得x 2﹣6x +5＝0，解得 x 1＝5，x 2＝1，∴方程的另一个根为1．19．解：（1）设学校可购买x 千克胡萝卜，则购买2x 千克白萝卜， 根据题意得：5x +2×2x ≤450，解得：x ≤50．3x ≤150，答：学校最多可购买150千克萝卜．（2）设y ＝a %，根据题意得：（200+450）×（1+2y ）（1﹣y ）＝（200+450）×（1+y ）， 整理得：4y 2﹣y ＝0，解得：y ＝0.25或y ＝0（舍去），∴a %＝0.25，a ＝25．答：a 的值为25．20．解：（1）设x 秒后△PBQ 的面积等于4cm 2，由题意，得×2x （5﹣x ）＝4，解得：x1＝1，x2＝4．∵2x≤7，∴x≤3.5．∴x＝4不符合题意，舍去．∴x＝1；（2）设y秒钟后，PQ的长度等于5cm，由题意，得（2y）2+（5﹣y）2＝25，解得：y1＝2，y2＝0（舍去）．∴2秒钟后，PQ的长度等于5cm；（3）设（1）中，三角形的面积为m，移动的时间为n秒，由题意，得m＝﹣n2+5n，∴m＝﹣（n2﹣5n）＝﹣（n2﹣5n+﹣）＝﹣（n﹣）2+，∴当n＝2.5时，m最大＝．∵＜7，∴在（1）中△PBQ的面积不能等于7cm2．。
人教版九年级上册数学 第21章 一元二次方程 单元检测(含答案)
人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程》同步复习训练习题（一）一．选择题1．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（）A．﹣1或3 B．3 C．﹣3或1 D．12．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0，它的两根之积为﹣4．则k的值为（）A．﹣1 B．﹣4 C．4 D．﹣53．若x1x2＝2，+＝，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2+3x﹣2＝0 B．x2﹣3x+2＝0 C．x2﹣3x﹣2＝0 D．x2+3x+2＝04．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2+x＝0 B．x2+x﹣1＝0 C．x2﹣2＝0 D．x2﹣x+1＝05．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+3＝0通过配方可以化成（x+a）2＝b（b＞0）的形式，则k的值可能是（）A．0 B．2 C．D．36．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的矩形的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）A．8cm B．8cm2C．64cm D．64cm27．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥B．C．k＜且k≠1D．且k≠18．如图，一块矩形铁片的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是240cm3，若设原铁皮的宽为x，则可列方程（）A．2（x﹣3）（x﹣6）＝240 B．3（x﹣6）（2x﹣6）＝240C．（x﹣6）（2x﹣6）＝240 D．3（x﹣3）（2x﹣3）＝2409．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．x（x﹣1）＝110 B．x（x+1）＝110 C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝11010．国家实行“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走上了致富的道路，某地区2017年底有贫困人口50000人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至10000人．设2017年底至2019年底该地区贫因人口的平均下降率为x，根据题意列方程得（）A．50000（1﹣x）2＝10000 B．50000（1+2x）＝10000C．50000（1﹣2x）＝10000 D．50000（1+x）2＝10000二．填空题11．股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是．12．如图，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m2．道路宽为．13．学校要组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，可列方程为．14．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5＝0有实数根，则k的取值范围是．15．已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为．三．解答题16．解方程（1） 4（x﹣3）2﹣25（x﹣2）2＝0．（2）2x2+7x+3＝0．17．已知关于x的一元二次方程k2x2+（1﹣2k）x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围．（2）当k为何值时，|x1+x2|﹣2x1x2＝﹣24．18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，△PBQ 的面积等于8cm2？19．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）当通道宽a为10米时，花圃的面积＝；（2）通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3：5？如果可以，试求出此时通道的宽．20．方法介绍：同学们，生活中的很多实际问题，我们往往抽象成数学问题，然后通过数形结合建立数学模型的方式来解决．例如：学校举办足球赛，共有五个球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，问该学校一共要安排多少场比赛？这是一个实际问题，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），如图①所示，其中每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把他们连起来，其中连接线段的条数就是安排比赛的场数．这样模型就建立起来了，如何解决这个模型呢？由于每个队都要与其他各队比赛一场，即每个点都要与另外4点连接一条线段，这样5个点应该有5×4＝20条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有10条线段，所以学校一共要安排10场比赛．学以致用：（1）根据图②回答：如果有6个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排场比赛；（2）根据规律，如果有n个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排场比赛．问题解决：（1）小明今年参加了学校新组建的合唱队，老师让所有人每两人相互握手，认识彼此（每两人之间不重复握手）．小明发现所有人握手次数总和为36次，那么合唱队有多少人？（2）A、B、C、D、E五人参加一次会议，见面时他们相互握手问好，每两人之间不重复握手．已知A已经握了4次，B已经握了3次，C已经握了2次，D已经握了1次，请利用图③分析E已经和哪些人握手了．问题拓展：根据上述模型的建立和问题的解决，请你提出一个问题，并进行解答．答案一．选择题1．D．2．D．3．B．4．D．5．B．6．D．7．C．8．B．9．D．10．A．二．填空题（共5小题）11．（1﹣10%）（1+x）2＝1． 12．．2米13．x（x﹣1）＝21．14．k≥． 15．﹣1．三．解答题（共5小题）16．解：（1）变形为[2（x﹣3）]2﹣[5（x﹣2）]2＝0，即（2x﹣6）2﹣（5x﹣10）2＝0∴（2x﹣6+5x﹣10）（2x﹣6﹣5x+10）＝0，即（7x﹣16）（﹣3x+4）＝0，则7x﹣16＝0或﹣3x+4＝0，解得：x＝或x＝．（2）∵（2x+1）（x+3）＝0，∴（2x+1）＝0或（x+3）＝0，由（2x+1）＝0得x1＝﹣，由（x+3）＝0得x2＝﹣3．17．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝（1﹣2k）2﹣4k2＝1﹣4k＞0，解得：k＜．又∵k2≠0，∴k的取值范围是k＜且k≠0．（2）∵方程k2x2+（1﹣2k）x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴x1+x2＝，x1•x2＝，∵|x1+x2|﹣2x1x2＝﹣24，∴||﹣2•＝﹣24，即﹣＝﹣24，∴|2k﹣1|＝﹣24k2+2，①当2k﹣1≥0，即k≥时，与（1）中求得的k＜相矛盾，故舍去；②当2k﹣1＜0，即k＜时，有﹣（2k﹣1）＝﹣24k2+2，解得：k1＝，k2＝﹣，∵k＜，∴k1＝不合题意，故舍去．经检验k2＝﹣是方程﹣＝﹣24的解．综上，当k＝﹣时，|x1+x2|﹣2x1x2＝﹣24．18．解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2，由题意可得：2x（6﹣x）÷2＝8，解得x1＝2，x2＝4．答：2或4秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．19．解：（1）由图可知，花圃的面积为：（40﹣2×10）（60﹣2×10）＝800（平方米）．故答案为：800平方米；（2）根据题意得：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）＝×60×40，解得：a1＝5，a2＝45（舍去）．答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3：5，此时通道的宽为5米．20．解：（1）有6个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排比赛的场数是：＝15，故答案为：15；（2）n个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排场比赛，故答案为：；问题解决：（1）设合唱队有x人，则＝36，整理得，x2﹣x﹣72＝0，解得，x1＝9，x2＝﹣8（舍去）答：合唱队有9人；（2）如图，E和A，B握手了．。
人教版九年级上第21章《一元二次方程》单元测试题(含答案解析)
第二十一章《一元二次方程》单元测试题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．下列方程中一定是一元二次方程的是( )A．B．C．D．2．已知x=1是方程x2+px+1=0的一个实数根，则p的值是（）A．0B．1C．2D．﹣23．一元二次方程2x2-x+1=0的根的情况是（）A．两个不相等的实数根B．两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断4．已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（）A．0B．1C．2D．-15．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1=0时，下列变形正确的是（）A．（x﹣3）2=1B．（x﹣3）2=10C．（x+3）2=1D．（x+3）2=10 6．关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则整数k的最小值是( )A．1B．0C．2D．37．九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（）A．x（x﹣1）=28 B．x（x﹣1）=28 C．2x（x﹣1）=28 D．x（x+1）=28 8．已知a、b、c是的三边长，且方程的两根相等，则为A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．任意三角形9．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x=32B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32C．（10﹣x）（6﹣x）=32D．10×6﹣4x2=3210．已知、是方程的两个实数根，则的值为（）A．B．C．D．11．如果非零实数a是一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，－a是方程x2＋5x－m＝0的一个根，那么a的值等于( )A．0B．1C．D．512．设的两实根为，，而以，为根的一元二次方程仍是，则数对的个数是（）A．B．C．D．二、填空题13．请写出一个根为x＝1，另一个根满足－1<x<1的一元二次方程______________．14．如果关于x的方程x2+2ax﹣b2+2=0有两个相等的实数根，且常数a与b互为倒数，那么a+b=_____．15．某药品经两次降价后，从原来每箱元降为每箱元，则平均每次的降价率为________．16．方程x2＋px＋q＝0，甲同学因为看错了常数项，解得的根是6，－1；乙同学看错了一次项，解得的根是－2，－3，则原方程为_______________．17．定义新运算®：对于任意实数a、b都有：a®b=a2+ab，如果3®4=32+3×4=9+12=21，那么方程x®2=0的解为________.三、解答题18．解一元二次方程：（配方法）；（公式法）；；．19．已知关于的方程．为何值时，此方程是一元一次方程？为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．20．关于x的方程x2﹣ax+a+1=0有两个相等的实数根，求的值．21．已知方程x2﹣（k+1）x﹣6=0是关于x的一元二次方程．（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．22．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快件总件数分别是5万件和万件，现假定该公司每月投递的快件总件数的增长率相同．求该公司投递快件总件数的月平均增长率；如果平均每人每月可投递快递万件，那么该公司现有的16名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？23．某经销商经销的学生用品，他以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价1元，那么每月就可以多售出5个．降价前销售这种学习机每月的利润是多少元？经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机应降价多少元？在的销售中，销量可好，经销商又开始涨价，涨价后每月销售这种学习机的利润能达到10580元吗？若能，请求出涨多少元；若不能，请说明理由．24．如图，，是一条射线，，一只蚂蚁由以速度向爬行，同时另一只蚂蚁由点以的速度沿方向爬行，几秒钟后，两只蚂蚁与点组成的三角形面积为？参考答案1．D【解析】【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．【详解】A、是二元二次方程，故不是一元二次方程，故此选项错误；B、是一元一次方程，故此选项错误；C、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项错误；D、是一元二次方程，故此选项正确；故选D．【点睛】此题主要考查了一元二次方程，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．D【解析】【分析】把x=1代入x2+px+1=0，即可求得p的值.【详解】把x=1代入把x=1代入x2+px+1=0，得1+p+1=0，∴p=-2.故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的解得定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键.3．C【解析】【分析】先计算=b2-4ac的值，再根据计算结果判断方程根的情况即可．【详解】∵△=b 2 -4ac=1-8=-7＜0，∴一元二次方程2x 2 -x+1=0没有实数根．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．4．C【解析】【分析】将c=-a-b代入原方程左边，再将方程左边因式分解即可．【详解】依题意，得c=-a-b，原方程化为ax2+bx-a-b=0，即a（x+1）（x-1）+b（x-1）=0，∴（x-1）（ax+a+b）=0，∴x=1为原方程的一个根，故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义．方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值．5．B【解析】【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．【详解】x2﹣6x﹣1=0方程移项得：x2-6x=1，配方得：x2-6x+9=10，即（x-3）2=10，故选：B．【点睛】考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．C【解析】【分析】若一元二次方程有两不相等实数根，则根的判别式=b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围，并结合二次项系数不为0求出k的最小值．【详解】∵关于x的一元二次方程（k-1）x2+2x-2=0有两个不相等的实数根，∴△=4-4（k-1）×（-2）＞0，且k-1≠0，解得k＞，且k≠1，则k的最小整数值是2．故选C．【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是根据＞0⇔方程有两个不相等的实数根列出k的不等式，此题难度不大．7．B【解析】【分析】赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x个班比赛总场数=x（x-1）÷2，即可列方程求解．【详解】设九年级共有x个班，每个班都要赛（x-1）场，但两班之间只有一场比赛，故x（x-1）=28．故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×（队数-1）÷2，进而得出方程是解题关键．8．C【解析】【分析】方程的两根相等，即，结合直角三角形的判定和性质确定三角形的形状．【详解】原方程整理得，因为两根相等，所以，即，所以是直角三角形，故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，熟练掌握根的判别式是解题的关键.总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1)>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)<0⇔方程没有实数根．9．B【解析】分析：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．详解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32．故选：B．点睛：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是。
人教版九年级上《第21章一元二次方程》单元检测题含答案解析
《 一元二次方程》单元检测题一、单选题1．在下列方程中，有实数根的是（ ）A ． x 2+3x+1=0B ． =-1C ． x 2+2x+3=0D ． 111x x x =-- 2．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场（ ）A ． 5个B ． 6个C ． 7个D ． 8个3．一元二次方程220x x +-=的根的情况是（ ）A ． 有两个不相等的实数根B ． 有两个相等的实数根C ． 没有实数根D ． 无法确定4．关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．B ． 且C ．D ． 且5．下列一元二次方程中，没有实根的是( )A ． x 2＋2x －3＝0B ． x 2＋x ＋14＝0 C ． x 2x ＋1＝0 D ． －x 2＋3＝0 6．若方程(k －1)x 2＋ x ＝1是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是( )A ． k ≠1B ． k ≥0C ． k ≥0且k ≠1D ． k 为任意实数7．如果关于x 的方程x 2-ax +a 2-3=0至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（ ）A ． -2＜a ＜2B ． ＜a ≤2C ． − ＜a ≤2D ． − ≤a ≤28．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝10cm ，BC ＝6cm ，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 以3cm/s 的速度沿AB ，BC 向点C 运动，点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向点C 运动．设P ，Q 运动的时间是t 秒，当点P 与点Q 重合时t 的值是( )A ． 52B ． 4C ． 5D ． 6 9．有x 支球队参加 比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）A ． x （x —1）=45B ． x （x +1）=45C ． 12x （x +1）=45 D. 12x （x —1）=45 10．“山野风”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x 名同学，那么依题意，可列出的方程是( )A ． x(x+1)=210B ． x(x-1)=210C ． 2x(x-1)=210D ．12x(x-1)=210 11．一元二次方程 2340x x ++= 的实数根为（ ）A ． 没有实数根B ． x 1=-4,x 2=1C ． x 1=4,x 2=-1D ． x 1=-4,x 2=-1二、填空题12．已知两个数的差为3，它们的平方和等于65，设较小的数为x ，则可列出方程________．13．已知方程(k-2)x 2 -3x+5=0有两个实数根，则k 的取值范围_______14．关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x+1=0有实数根，则a 的取值范围是______．15．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若方程(a －c)x 2＋2bx ＋a ＋c=0有两个相等的实数根，则△ABC 是 ____三角形．16．已知方程x 2+px+q=0有两个相等的实数，则p 与q 的关系是________．三、解答题17．已知,αβ是关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，求m 的值.18．关于x 的一元二次方程（c+a ）x 2+2bx+(c-a)=0,其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状并说明理由；（2）已知a:b:c=3:4:5,求该一元二次方程的根.19．当m 为何值时，一元二次方程(m 2－1)x 2＋2(m －1)x ＋1＝0：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)没有实数根．20．已知关于x 的方程()2223410.x k x k k --+--= （1）若这个方程有实数根，求实数k 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足2212127x x x x +=+,求实数k 的值.21．已知关于 的一元二次方程 的一根为2．（1）用含的代数式表示；（2）试说明：关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根．参考答案1．A【解析】根据一元二次方程根的判别式可知：A 、由方程知a=1，b=3，c=1，所以△= b 2-4ac=9-4=5＞0，有两个不相等的实数根，故正确；B 、根据算术平方根的意义，可知结果不能为负，故不正确；C 、由方程知a=1，b=2，c=3，所以△= b 2-4ac=4-12=-8＞0，无实数根，故不正确；D 、解分式方程，去分母得x=1，当x=1时，x-1=0，原分式方程无解，故不正确.故选：A.2．B【解析】设这个航空公司共有飞机场共有x 个．x （x−1）＝15×2，解得x ₁＝6，x ₂＝−5（不合题意，舍去）．答：这个航空公司共有飞机场共有6个．故选：B ．3．A【解析】∵在一元二次方程220x x +-=中， 112a b c ===-，，，∴△=()2241412110b ac -=-⨯⨯-=>， ∴原方程有两个不相等的实数根.故选A.4．B【解析】解：∵关于x 的一元二次方程 （ ） 有两个不相等的实数根，∴，∴ ，解得：a ＞-5且a ≠-1．故选B ．点睛：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．5．C【解析】选项A ：∵△=b 2 -4ac=2 2 -4×1×（-3）=16＞0，∴有两个不相等的实根；选项B：∵△=b 2 -4ac=1 2 -4×1×14=0，∴有两个相等的实根；选项C：∵△=b 2 -4ac=）2 -4×1×1=-2<0，∴没有实数根；选项D：∵△=b 2 -4ac=0 2 -4×（-1）×3=12>0，∴有两个不相等的实根，故选C.6．C【解析】根据题意可得，解得k≥0且k≠1，故选C.【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解本题的关键是要注意k要为非负数.7．C【解析】【分析】根据方程x2-ax+a2-3=0至少有一个正根，则方程一定有两个实数根，即△≥0，关于x的方程x2-ax+a2-3=0至少有一个正根?（1）当方程有两个相等的正根，（2）当方程有两个不相等的根，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，②若方程有两个正根，结合二次方程的根的情况可求．【详解】∵△=a2-4（a2-3）=12-3a2（1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±2，若a=2，此时方程x2-2x+1=0的根x=1符合条件，若a=-2，此时方程x2+2x+1=0的根x=-1不符舍去，（2）当方程有两个根时，△＞0可得-2＜a＜2，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2-3≤0，解可得-≤a≤，而a=-时不合题意，舍去．所以-＜a≤符合条件，②若方程有两个正根，则，解可得 a＞，综上可得，-＜a≤2．故选：C【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用以及一元二次方程根的应用，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．8．C【解析】解：设当点P 与点Q 重合时t 的值是x 秒，由题意得：3x ﹣x =10，解得：x =5，故选C ．点睛：此题主要考查了一元一次方程的应用．解答本题的关键是，找出等量关系： 点P 与点Q 重合时，P 、Q 的路程之差等于AB ．9．D【解析】解：∵有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为()112x x -，∴共比赛了45场，∴()11452x x -=，故选D ． 点睛：此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．10．B【解析】设全组共有x 名同学，那么每名同学送出的图书是(x−1)本；则总共送出的图书为x(x−1)；又知实际互赠了210本图书，则x(x−1)=210.故选：B.11．A【解析】试题解析： 22434470.b ac ∆=-=-⨯=-<故方程没有实数根.故选A.12．()22365x x ++=【解析】由较小的数为x 可知较大的数为x+3，故它们的平方和为x 2+(x+3)2再根据它们的平方和是65可得x 2+(x+3)2=65，故答案为：x 2+(x+3)2=65.13．k≤4920且k≠2 【解析】∵方程()22350k x x --+=有两个实数根，∴()()220{ 34520k k -≠=--⨯⨯-≥ ，解得49k 20≤ 且k 2≠. 点睛：原方程有两个实数根，说明是一元二次方程，因此需满足两个条件：（1）二次项系数不为0；（2）根的判别式的值大于或等于0.14．a≤1且a≠0【解析】∵一元二次方程ax 2﹣2x+1=0有实数根，∴△=（﹣2）2﹣4a≥0，且a≠0，解得：a≤1且a≠0，故答案为：a≤1且a≠0．15．直角【解析】∵方程由两个相等的实数根，∴Δ=b 2－4ac =0，∴（2b ）2－4（a －c ）（a +c ）=0，整理可得a 2=b 2+c 2，所以△ABC 是直角三角形.故答案为直角.点睛：一元二次方程根的情况：（1）若b 2－4ac ＞0，则方程有两个不相等的实数根；（2）若b 2－4ac =0，则方程有两个相等的实数根；（3）若b 2－4ac ＜0，则方程没有实数根.注：若一元二次方程有实数根，则b 2－4ac ≥0.16．p 2-4q=0【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，可由方程无解，可得△=b 2-4ac ＜0，即p 2-4q=0.故答案为：p 2-4q=0.点睛：此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题时根据一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系：当b 2-4ac ＞0时，有两个不相等的实数根，当b 2-4ac=0时，有两个相等的实数根，当b 2-4ac ＜0时，无实数根，解题关键是根据根的情况求出根的判别式的取值范围.17．3m = 【解析】试题分析：先求出两根之积与两根之和的值，再将11αβ+化简成两根之积与两根之和的形式，然后代入求值．试题解析：∵方程有两个不相等的实数根，∴()22Δ2m 34m 0=+->，解得： 3m 4>-， 依题意得： ()2αβ2m 3αβm +=-+=，， ∴()22m 311αβ1αβαβm-+++===-. 解得： 12m 1m 3=-=，，经检验： 12m 1m 3=-=，是原方程的解，∵3m 4>-， ∴m 3=. 18．（1）直角三角形；（2）x 1＝x 2＝12-【解析】试题分析：（1）根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式可得出()()2440b c a c a =-+-=， 整理即可得出222c a b =+， 由此得出ABC 为直角三角形；（2）根据::3:4:5a b c =， 设3,4,5a t b t c t ===， 将其代入方程整理得24410x x ++=， 解方程求出x 值，此题得解．试题解析：(1)直角三角形，理由如下：∵方程()()220c a x bx c a +++-= 有两个相等的实数根， ∴()()2440,b c a c a =-+-= 即222c a b =+，， ∵a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长，∴△ABC 为直角三角形.(2)∵a :b :c =3:4:5，∴设a =3t ，b =4t ，c =5t ，∴原方程可变为： 24410x x ++=，解得： 121.2x x ==-19．(1) m>1且m≠-1;(2) 原方程不可能有两个相等的实数根;(3) m>1时原方程没有实数根.【解析】试题分析：需要先求m 2－1 ，(1)判别式大于0.(2)判别式等于0.（3）判别式小于0. 试题解析：(1) m 2－1 ,m ,∵Δ= （ ）∴m >1且m ≠-1(2)∵Δ= （ ）∴m =1 ∵ ∴m ≠1 ∴原方程不可能有两个相等的实数根.（3）当Δ= （ ） 时，m >1.∴m >1时原方程没有实数根.点睛：一元二次方程的根的判别式是 ,Δ=b 2-4ac,a,b,c 分别是一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项.Δ>0说明方程有两个不同实数解,Δ=0说明方程有两个相等实数解,Δ<0说明方程无实数解.实际应用中，有两种题型（1）证明方程实数根问题，需要对△的正负进行判断，可能是具体的数直接可以判断，也可能是含字母的式子，一般需要配方等技巧.(2)已知方程根的情况，利用△的正负求参数的范围20．（1）k ≤5；（2）4.【解析】试题分析：（1）根据方程有实根可得△≥0，进而可得[-2（k-3）]2-4×1×（k 2-4k-1）≥0，再解即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=2（k-3），x 1•x 2=k 2-4k-1，再由完全平方公式可得x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2，代入x 1+x 2=2（k-3），x 1•x 2= k 2-4k-1可计算出m 的值．试题解析：（1）∵x 2-2（k-3）x+k 2-4k-1=0有实数根，∴△=4（k-3）2-4（k2-4k-1）=4k2-24k+36-4k2+16k+4=40-8k≥0，解得：k≤5；（2）∵方程的两实数根分别为x1，x2，∴x1+x2=2（k-3），x1•x2= k2-4k-1．∵x12+x22=x1x2+7，∴(x1+x2)2-3x1x2-7=0，∴k2-12k+32=0，解得：k1=4，k2=8．又∵k≤5，∴k=4．21．（1）n=﹣2m﹣5；（2）理由见解析.【解析】试题分析：（1）把x=2，代入原方程就可求出m、n的关系式；（2）利用根的判别式△=b2-4ac，可求具体数值，利用数值来说明方程总有两个不相等的实数根．试题解析：（1）把x=2，代入方程x2+mx+n+1=0得4+2m+n+1=0，则n=﹣2m﹣5；（2）∵△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×n=m2﹣4（﹣2m﹣5）=m2+8m+20=（m+4）2+4＞0，∴关于y的一元二次方程y2+my+n=0总有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的意义．熟练掌握和应用是关键.。
(名师整理)数学九年级上册第21章《一元二次方程》单元检测试题(含答案解析)
第21章一元二次方程单元检测试题一、单选题（每小题2分）1．一元二次方程x2＋4x－4＝0的根的情况是（）．A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 不能确定2．若关于x的方程（x+1）2=1﹣k没有实根，则k的取值范围是（）A. k＜1 B. k＜﹣1 C. k≥1 D. k＞13．关于x的一元二次方程x2＋（m－2）x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）．A. 0B. 8C.D. 0或84．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )A. a<2B. a>2C. a<2且a≠1D. a<－25．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A. m≤3B. m＜3C. m＜3且m≠2D. m≤3且m≠26．方程有两个实数根，则m的取值范围是（）A. B. 且m≠2 C. m≥3 D. m≤3且m≠2．方程（x-2）（x+3）=0的解是（）A. x=2B. x=-3C. x1=-2，x2=3D. x1=2，x2=-38．一元二次方程x2＝5x的根是（）．A. x＝0B. x＝5C. x1＝0，x2＝5D. x1＝0，9．方程x(x-2)+x-2=0的解是( )A. 2B. -2，1C. -1D. 2，-110．方程x（x＋3）＝x＋3的根是（）．A. x1＝0，x2＝3B. x1＝1，x2＝－3C. x1＝0，x2＝－3D. x1＝1，x2＝311．已知一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为x1＝2，x2＝－3，则原方程可化为（）A. （x＋2）（x＋3）＝0B. （x＋2）（x－3）＝0C. （x－2）（x＋3）＝0D. （x－2）（x－3）＝012．方程x2－9x＋18＝0的两个根分别是等腰三角形的底边长和腰长，则这个三角形的周长为（）．A. 12B. 12或15C. 15D. 不能确定13．解方程（x－1）2－5（x－1）＋4＝0时，我们可以将x－1看成一个整体，设x－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x－1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x－1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为x1＝2，x2＝5．利用这种方法求得方程（2x＋5）2－4（2x＋5）＋3＝0的解为（）A. x1＝1，x2＝3B. x1＝－2，x2＝3C. x1＝－3，x2＝－1D. x1＝－2，x2＝－114．若方程的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2等于（）A. －4B. 3C. －D.15．设α、β是一元二次方程x2+2x-1=0的两个根，则αβ的值是（）A. 2B. 1C. -2D. -116．已知x1、x2是一元二次方程3x2=6-2x的两根，则x1-x1x2+x2的值是（）A. B. C. D.17．已知一元二次方程： x2﹣3 x﹣1=0的两个根分别是 x1、 x2，则x12 x2+ x1 x22的值为（）A. － 3B. 3C. － 6D. 6 18．若关于x的一元二次方程x2－4x－m2＝0有两个实数根x1，x2，则的值为（）A. B. C. 4 D. －419．已知实数a，b分别满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则a2＋b2的值是（）A. 28B. －28C. 44D. －4420．若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0（p≠0）的两个不相等的实数根分贝为a和b，且a2－ab＋b2＝18，则的值是（）A. 3 B. －3 C. 5 D. －5二、填空题（每小题3分）21．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式为Δ＝b2－4ac．（1）当b2－4ac________0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac________0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac________0时，方程没有实数根．22．已知关于 x的一元二次方程( m－1) x2+ x+1=0有实数根，则 m 的取值范围是________．23．方程(x-1)(x+2)=2(x+2)的根是____________．24．方程的根为________．三、主观题（每题6分）25．若关于x的方程（a－1）x2＋2（a＋1）x＋a＋5＝0有两个实数根，求正整数a的值．26．求证：不论m取何实数，方程都有两个不相等的实数根．27．已知关于x的方程mx2-(3m+2)x+2m+2＝0．（1）求证：无论m取任何实数，方程恒有实数根；（2）若方程的根为正整数，且m为整数，求m的值．28．已知x2＋xy－12y2＝0，求的值．29．用适当方法解下列方程：（1）x（2x－1）＝3（1－2x）；（2）（x－3）（x＋7）＝－9；（3）x2－3x－10＝0；（4）x（3x－2）＝2x2＋48．30．先阅读题例，再解答问题．例：解方程x2－|x|－2＝0．解：当x≥0时，x2－x－2＝0，解得x1＝－1（不合题意，舍去），x2＝2；当x＜0时，x2＋x－2＝0，解得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝－2．综上所述，原方程的解为x＝2或x＝－2．依照上例解法解方程x2－|x－3|－3＝0．31．已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，求的值．32．阅读材料：如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根，那么，，这就是著名的伟大定理．现在我们利用韦达定理解决问题：已知m和n是方程2x2－6x＋3＝0的两根．（1）填空：m＋n＝________，m·n＝________；（2）计算的值．33．已知m，n是方程x2＋2017x＋7＝0的两个根，求（m2＋2016m＋6）（n2＋2018n＋8）的值．参考答案一、单选题（每小题2分）1．A2．D3．D5．D6．B7．D8．C9．D10．B11．C12．C13．D14．D本题考查的是韦达定理有关知识，首先根据题意可知利用韦达定理直接写出两根之和即可.解：∵，是方程的两根，∴.故选D.15．D解：∵α、β是一元二次方程x2+2x-1=0的两个根，∴αβ==，故选D．根据α、β是一元二次方程x2+2x-1=0的两个根，由根与系数的关系可以求得αβ的值，本题得以解决．本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之积等于常数项与二次项系数的比值．16．D解：∵x1、x2是一元二次方程3x2=6-2x的两根，∴x1+x2=-=-，x1•x2==-2，∴x1-x1x2+x2=--（-2）=．故选D．由x1、x2是一元二次方程3x2=6-2x的两根，结合根与系数的关系可得出x1+x2=-，x1•x2=-2，将其代入x1-x1x2+x2中即可算出结果．本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x1+x2=-，x1•x2=-2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．17．A本题主要考查根与系数的关系.根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1•x2=﹣1，再变形x12x2+x1x22得到x1•x2•（x1+x2），然后利用整体代入思想计算即可.解：∵一元二次方程：x2-3x-1=0的两个根分别是x1、x2，∴x1+x2=3，x1•x2=-1，∴x12x2+x1x22=x1x2•(x1+x2)=-1×3=-3.故选A.18．D本题考查的是根与系数有关知识，首先根据题意找出两根之间的关系，然后代入计算即可解答.解：∵，是方程的两根，∴，，∴.故选D.19．A本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．根据题意，a、b可看作方程x2-6x+4=0的两根，则根据根与系数的关系得到a+b=6，ab=4，然后把原式变形得到原式=再利用整体代入的方法计算即可．解：∵a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，且a≠b，∴a，b可看作方程x2-6x+4=0的两根，∴a+b=6，ab=4，∴原式=（a+b）2-2ab=62-2×4=28，故选A．20．D本题考查了根与系数的关系、解一元一次方程以及完全平方公式的应用，解题的关键是求出p=-3，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键.根据方程的解析式结合根与系数的关系找出a+b=3、ab=p，利用完全平方公式将a2-ab+b2=18变形成（a+b）2-3ab=18，代入数据即可得出关于p的一元一次方程，解方程即可得出p的值，经验证p=-3符合题意，再将变形成，代入数据即可得出结论.解：∵a、b为方程x2-3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根，∴a+b=3，ab=p，∵a2-ab+b2=（a+b）2-3ab=32-3p=18，∴p=-3.当p=-3时，△=（-3）2-4p=9+12=21＞0，∴p=-3符合题意，.故选D.二、填空题（每小题3分）21．（1）>（2）=（3）<22．m≤且m≠123．解：(x-1)(x+2)=2(x+2)⇒ (x-1)(x+2)-2(x+2)=0⇒ (x+2)（x-3)=0⇒x+2=0或x-3=0∴ x1=-2， X2=3 ；故本题答案是：x1=-2， X2=3。
(名师整理)数学九年级上册第21章《一元二次方程》单元检测试题(含答案解析)
第21章一元二次方程单元测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.已知是关于的方程的一个解，则的值是（）A. B. C. D.2.用配方法解一元二次方程时，可配方得（）A. B.C. D.3.一元二次方程的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4.某校办厂生产的某种产品，今年产量为件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到件，若设这个百分数为，则可列方程为（）A.B.C.D.5.关于的方程有实数根，则满足（）A. B.且C.且D.6.若关于的一元二次方程的解是，则的值是（）A. B. C. D.7.关于的方程有实数根，则整数的最大值是（）A. B. C. D.8.用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（）A. B.C. D.9.方程是关于的一元二次方程，则（）A. B. C. D.10.如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）A. B.C.且D.且二、填空题（每小题3分，共30分）11.若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是________．12.一元二次方程的一般形式是________．13.方程的解为：________．14.已知两个连续奇数的积是，则这两个数是________．15.已知，则的值等于________．16.某兴趣小组的每位同学，将自己收集的植物标本向本组其他成员各赠送件，全组互赠标本共件，则全组有________名学生．17.参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了次，若设共有人参加同学聚会．列方程得________．18.已知，是方程的两根，________．19.一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，每个支干长出________个小分支．20.如果，那么的值为________．三、解答题（共60分）21.解方程．22.求证：代数式的值恒为正数．23.某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达万人次，其中第一年培训了万人次．求每年接受科技培训的人次的平均增长率．24.某商店原来平均每天可销售某种水果千克，每千克可盈利元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，则每天可所多售出千克．若要平均每天盈利元，则每千克应降价多少元？25.如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成．若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽；能围成的面积为自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．参考答案1. 【答案】C【解析】根据一元二次方程的解的定义，将代入已知方程，列出关于的一元一次方程，通过解方程即可求得的值．【解答】解：根据题意，得，即，解得，；故选．2. 【答案】C【解析】根据配方法的方法，先把常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项一般的平方，最后将等号左边配成完全平方式，利用直接开平方法就可以求解了．【解答】解：移项，得在等号两边加上，得∴．故答案正确．故选．3. 【答案】B【解析】先计算判别式得到，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：根据题意，所以方程有两个不相等的实数根．故选：．4. 【答案】B【解析】根据题意：第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量且今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数．【解答】解：已设这个百分数为．．故选．5. 【答案】A【解析】由于的方程有实数根，那么分两种情况：当时，方程一定有实数根；当时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出的取值范围．【解答】解：分类讨论：①当即时，方程变为，此时方程一定有实数根；②当即时，∵关于的方程有实数根∴，∴．∴的取值范围为．故选：．6. 【答案】D【解析】把代入已知方程求得的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．【解答】解：∵关于的一元二次方程的解是，∴，∴，∴；故选．7. 【答案】D【解析】由于关于的方程有实数根，分情况讨论：①当即时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；②当即时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此可以确定整数的最大值．【解答】解：∵关于的方程有实数根，∴①当即时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；②当即时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，∴，解之得，∴整数的最大值是．故选．8. 【答案】D【解析】配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．【解答】解：∵，∴，∴．故选．9. 【答案】B【解析】本题根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为．据此即可求解．【解答】解：由一元二次方程的定义可得，解得：．故选．10. 【答案】C【解析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：二次项系数不为零；在有实数根的情况下必须满足．【解答】解：依题意列方程组，解得且．故选．11. 【答案】【解析】一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：把方程转化成一般形式，，是二次项系数不能为，即，得．故答案为：．12. 【答案】【解析】先把一元二次方程的各项相乘，再按二次项，一次项，常数项的顺序进行排列即可．【解答】解：∵一元二次方程可化为，∴化为一元二次方程的一般形式为．13. 【答案】，【解析】首先把方程移项，把方程的右边变成，然后对方程左边分解因式，根据几个式子的积是，则这几个因式中至少有一个是，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解．【解答】解：移项得：，即，于是得：或．则方程的解为：，．故答案是：，．14. 【答案】和或和【解析】设出两个连续的奇数，根据两个连续奇数的积是这一等量关系，列出方程解答即可．【解答】解：设其中一个奇数为，则较大的奇数为，由题意得，，解得，或，所以这两个数为和或和．15. 【答案】【解析】设，则原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得即的值．【解答】解：设，则由原方程得到：，整理，得．则．∵，∴．故答案是：．16. 【答案】【解析】设全组共有名学生，每一个人赠送件，全组共互赠了件，共互赠了件，可得到方程，求解即可．【解答】解：设全组共有名学生，由题意得解得：（不合题意舍去），，答：全组共有名学生．故答案为．17. 【答案】【解析】此题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为解决问题即可．【解答】解：由题意列方程得，．故答案为：．18. 【答案】【解析】先利用一元二次方程解的定义得到，，则利用整体代入的方法得到原式，然后根据根与系数的关系求解．【解答】解：∵，是方程的两根，∴，，∴，，∴，∵，是方程的两根，∴，∴原式．故答案为．19. 【答案】【解析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是个，每个小分支又长出个分支，则又长出个分支，则共有个分支，即可列方程求得的值．【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是个，根据题意列方程得：，解得：或（不合题意，应舍去）；∴．故答案为：．20. 【答案】【解析】首先把看作一个整体为，进一步整理方程，开方得出答案即可．【解答】解：设，则整理得：，，即或（不合题意，舍去）．故答案为：． 21. 【答案】解：，，∴，两边开平方，得：， ∴，；; 左边因式分解，得：，即， ∴， ∴或， 解得：，；; 两边直接开平方，得：，即，∴，；; 原方程整理可得：，∵，，，∴，则，即，．【解析】配方法求解可得；; 因式分解法求解可得；; 直接开平方可得；;先化成一元二次方程的一般式，再利用公式法求解可得．【解答】解：，，∴，两边开平方，得：，∴，；; 左边因式分解，得：，即，∴，∴或，解得：，；; 两边直接开平方，得：，即，∴，；; 原方程整理可得：，∵，，，∴，则，即，．22. 【答案】证明：∵对于任何实数，，∴，则对于任何实数，代数式的值恒为正数．【解析】将代数式前两项提取，配方后根据完全平方式为非负数，得到代数式大于等于，即对于任何实数，代数式的值总大于，得证．【解答】证明：∵对于任何实数，，∴，则对于任何实数，代数式的值恒为正数．23. 【答案】每年接受科技培训的人次的平均增长率为．【解析】设每年接受科技培训的人次的平均增长率为，根据原有人数（增长率）增长后的人数，再将三年的所有人数加起来，即可列出方程，再求解即可．【解答】解：设每年接受科技培训的人次的平均增长率为，根据题意得：，解得：，（不合题意，舍去），24. 【答案】若要平均每天盈利元，则每千克应降价元．【解析】根据“每天利润每天销售质量每千克的利润”即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：设每千克降价元，根据题意得：，整理得：，即，解得：（舍去），或．25. 【答案】若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为米，米；;根据题意列方程的，，整理得出：；，故此方程没有实数根，答：因此如果墙长，满足条件的花园面积不能达到．【解析】利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出矩形面积，求出即可；;利用长方形的面积列方程，利用根的判别式解答即可．【解答】解：设，则；根据题意列方程的，，解得，；当，（米），当，（米），而墙长，不合题意舍去，答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为米，米；; 根据题意列方程的，，整理得出：；，故此方程没有实数根，答：因此如果墙长，满足条件的花园面积不能达到．。
(名师整理)数学九年级上册第21章《一元二次方程》单元检测试题(含答案解析)
九年级上册数学《第21章一元二次方程》单元测试题一．选择题（共10小题）1．若关于x的方程（a﹣2）x2﹣3x+a＝0是一元二次方程，则（）A．a≠2B．a＞2C．a＝0D．a＞02．方程﹣5x2＝1的一次项系数是（）A．3B．1C．﹣1D．03．已知x＝1是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（）A．﹣3B．3C．0D．0或34．方程x2﹣4＝0的两个根是（）A．x1＝2，x2＝﹣2B．x＝﹣2C．x＝2D．x1＝2，x2＝0 5．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（）A．x2﹣2x＝5B．x2+4x＝5C．2x2﹣4x＝5D．4x2+4x＝56．x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝0 7．方程x（x+2）＝0的解是（）A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2 8．已知方程x2+3x﹣4＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0的解是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣3.5B．x1＝1，x2＝﹣3.5C．x1＝1，x2＝3.5D．x1＝﹣1，x2＝3.59．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＞0且m≠1B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m≥010．某市从2018年开始大力发展旅游产业．据统计，该市2018年旅游收入约为2亿元．预计2020年旅游收入约达到2.88亿元，设该市旅游收入的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（）A．2（1+x）2＝2.88B．2x2＝2.88C．2（1+x%）2＝2.88D．2（1+x）+2（1+x）2＝2.88二．填空题（共8小题）11．m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2018的值为．12．方程（n﹣3）x|n|﹣1+3x+3n＝0是关于x的一元二次方程，n＝．13．如果关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是．14．如果一元二次方程x2﹣4x+k＝0经配方后，得（x﹣2）2＝1，那么k＝．15．2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛（CBA），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为380场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，则可列方程为．16．用长为14的铁丝围成一个面积是12的矩形，这个矩形相邻的两边长分别是．17．设a、b是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则a2+3a+b＝．18．已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是三．解答题（共7小题）19．选择适当方法解下列方程（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x20．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m ＝6，求m的值．21．当m为何值时，关于x的方程（m﹣2）x m2﹣2﹣4mx＝0为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解．22．已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．（I）当m＝0时，求方程的实数根．（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．23．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元．（1）根据题意，填表：（2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？24．某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．（1）第一季度平均每月的增长率；（2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？25．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元（用含x的代数式表示）；（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？参考答案一．选择题（共10小题）1．若关于x的方程（a﹣2）x2﹣3x+a＝0是一元二次方程，则（）A．a≠2B．a＞2C．a＝0D．a＞0【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．【解答】解：关于x的方程ax2﹣3x+（a﹣2）＝0是一元二次方程，得a﹣2≠0，所以a≠2．故选：A．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．方程﹣5x2＝1的一次项系数是（）A．3B．1C．﹣1D．0【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可．【解答】解：方程整理得：﹣5x2﹣1＝0，则一次项系数为0，故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．已知x＝1是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（）A．﹣3B．3C．0D．0或3【分析】根据一元二次方程解的定义把x＝1代入x2+mx+2＝0得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx+2＝0得1+m+2＝0，解得m＝﹣3．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．4．方程x2﹣4＝0的两个根是（）A．x1＝2，x2＝﹣2B．x＝﹣2C．x＝2D．x1＝2，x2＝0【分析】首先移项，再两边直接开平方即可．【解答】解：移项得：x2＝4，两边直接开平方得：x＝±2，则x1＝2，x2＝﹣2，故选：A．【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．5．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（）A．x2﹣2x＝5B．x2+4x＝5C．2x2﹣4x＝5D．4x2+4x＝5【分析】利用完全平方公式判断即可．【解答】解：用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是x2+4x ＝5，故选：B．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝0【分析】用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．【解答】解：A.3x2+5x+1＝0中，x＝，不合题意；B.3x2﹣5x+1＝0中，x＝，不合题意；C.3x2﹣5x﹣1＝0中，x＝，不合题意；D.3x2+5x﹣1＝0中，x＝，符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．7．方程x（x+2）＝0的解是（）A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2【分析】利用因式分解的方法得到x＝0或x+2＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：x＝0或x+2＝0，所以x1＝0，x2＝﹣2．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．8．已知方程x2+3x﹣4＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0的解是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣3.5B．x1＝1，x2＝﹣3.5C．x1＝1，x2＝3.5D．x1＝﹣1，x2＝3.5【分析】先把方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0看作关于（2x+3）的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3＝1或2x+3＝﹣3，然后解两个一元一次方程即可．【解答】解：把方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3＝1或2x+3＝﹣4，所以x1＝﹣1，x2＝﹣3.5．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．9．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＞0且m≠1B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m≥0【分析】根据一元二次方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×[﹣（m﹣1）]＝4m＞0，∴m＞0．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．10．某市从2018年开始大力发展旅游产业．据统计，该市2018年旅游收入约为2亿元．预计2020年旅游收入约达到2.88亿元，设该市旅游收入的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（）A．2（1+x）2＝2.88B．2x2＝2.88C．2（1+x%）2＝2.88D．2（1+x）+2（1+x）2＝2.88【分析】设该市旅游收入的年平均增长率为x，根据该市2018年旅游收入及2020年旅游预计收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设该市旅游收入的年平均增长率为x，根据题意得：2（1+x）2＝2.88．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二．填空题（共8小题）11．m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2018的值为2020．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．【解答】解：把x＝m代入2x2+3x﹣1＝0，得2m2+3m﹣1＝0，则2m2+3m＝1．所以4m2+6m+2018＝2（2m2+3m）+2018＝2+2018＝2020．故答案为：2020．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．12．方程（n﹣3）x|n|﹣1+3x+3n＝0是关于x的一元二次方程，n＝﹣3．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），把方程化为一般形式，根据二次项系数不等于0，即可求得n的值．【解答】解：∵方程（n﹣3）x|n|﹣1+3x+3n＝0是一元二次方程，∴|n|﹣1＝2，且n﹣3≠0，即n＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c ＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．13．如果关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是k≤且k≠﹣2．【分析】因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，得关于k的不等式，求解即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，∴△≥0且k+2≠0即（﹣3）2﹣4（k+2）×1≥0且k+2≠0整理，得﹣4k≥﹣1且k+2≠0∴k≤且k≠﹣2．故答案为：k≤且k≠﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式．解决本题的关键是能正确计算根的判别式．本题易忽略二次项系数不为0．14．如果一元二次方程x2﹣4x+k＝0经配方后，得（x﹣2）2＝1，那么k＝3．【分析】先移项得到x2﹣4x＝﹣k，再把方程两边加上4得到（x﹣2）2＝4﹣k，从而得到4﹣k＝1，然后解关于k的方程即可．【解答】解：x2﹣4x＝﹣k，x2﹣4x+4＝4﹣k，（x﹣2）2＝4﹣k，所以4﹣k＝1，解得k＝3．故答案为3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．15．2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛（CBA），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为380场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，则可列方程为x（x﹣1）＝380．【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛380场，可列出方程．【解答】解：设参赛队伍有x支，则x（x﹣1）＝380．故答案为：x（x﹣1）＝380．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．16．用长为14的铁丝围成一个面积是12的矩形，这个矩形相邻的两边长分别是3，4．【分析】设矩形的长为x，则宽为（7﹣x），根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设矩形的长为x，则宽为（7﹣x），根据题意得：x（7﹣x）＝12，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴7﹣x＝3．故答案为：3，4．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17．设a、b是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则a2+3a+b＝5．【分析】根据根与系数的关系可知a+b＝﹣2，又知a是方程的根，所以可得a2+2a ﹣7＝0，最后可将a2+3a+b变成a2+2a+a+b，最终可得答案．【解答】解：∵设a、b是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，∴a+b＝﹣2，∵a是原方程的根，∴a2+2a﹣7＝0，即a2+2a＝7，∴a2+3a+b＝a2+2a+a+b＝7﹣2＝5，故答案为：5．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把a2+3a+b转化为a2+2a+a+b的形式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．18．已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是7【分析】设另一根为a，直接利用根与系数的关系可得到关于a的方程，则可求得答案．【解答】解：设方程的另一根为a，∵﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，∴﹣3+a＝4，解得a＝7，故答案为：7．【点评】本题有要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．三．解答题（共7小题）19．选择适当方法解下列方程（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x【分析】（1）两边开方得到3x﹣1＝±（x﹣1），然后解两个一元一次方程即可；（2）先变形得到3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）3x﹣1＝±（x﹣1），即3x﹣1＝x﹣1或3x﹣1＝﹣（x﹣1），所以x1＝0，x2＝；（2）3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x+2）＝0，x﹣1＝0或3x+2＝0，所以x1＝1，x2＝﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．20．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m ＝6，求m的值．【分析】把x＝n代入方程求出mn2﹣4n的值，代入已知等式求出m的值即可．【解答】解：把x＝n代入方程得：mn2﹣4n﹣5＝0，即mn2﹣4n＝5，代入已知等式得：5+m＝6，解得：m＝1．【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．当m为何值时，关于x的方程（m﹣2）x m2﹣2﹣4mx＝0为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解．【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于m的一元二次方程和关于m的不等式，解之即可得到m的值，代入原方程解一元二次方程即可．【解答】解：根据题意得：，解得：m＝﹣2，即原方程为：﹣4x2+8x＝0，解得：x1＝0，x2＝2．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．22．已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．（I）当m＝0时，求方程的实数根．（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）令m＝0，用公式法求出一元二次方程的根即可；（Ⅱ）根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于m的不等式，求解不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）当m＝0时，方程为x2+x﹣1＝0．△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0．∴x＝，∴x1＝，x2＝．（Ⅱ）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0即（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）＝1﹣4m+4＝5﹣4m＞0∵5﹣4m＞0∴m＜．【点评】本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac．23．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元．（1）根据题意，填表：（2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？【分析】（1）根据题意确定出降价后的利润与销售量，以及利润即可；（2）根据盈利的钱数，确定出应降的价即可．【解答】解：（1）根据题意，填表：（2）根据题意得：（44﹣x）（20+5x）＝1600，整理得：（x﹣4）（x﹣36）＝0，解得：x＝4或x＝36，则应降价4元或36元．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．24．某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．（1）第一季度平均每月的增长率；（2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？【分析】（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据该厂一月份及三月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据五月份的总产量＝三月份的总产量×（1+增长率）2，即可求出今年五月份的总产量，再与1000进行比较即可得出结论．【解答】解：（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据题意得：500（1+x）2＝720，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：第一季度平均每月的增长率为20%．（2）720×（1+20%）2＝1036.8（t），∵1036.8＞1000，∴该厂今年5月份总产量能突破1000t．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，求出今年五月份的总产量．25．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利50﹣x元（用含x的代数式表示）；（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？【分析】（1）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可得出结论；（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；（3）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．【解答】解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）＝1692（元）．答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50﹣x）元．故答案为：2x；50﹣x．（3）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2000，整理，得：x2﹣35x+250＝0，解得：x1＝10，x2＝25，∵商城要尽快减少库存，∴x＝25．答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或算式）是解题的关键．。
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第二十一章一元二次方程21．1 一元二次方程基础题知识点1一元二次方程的定义及一般形式1．(大同期中)下列方程中，是一元二次方程的是(D)A．x2＋2y＝0 B.1x2＋1x－2＝0C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝12．下列一元二次方程中，常数项为0的是(C)A．x2＋x＝1B．2x2－x－12＝0C．2(x2＋1)＝x＋2D．2(x2－1)＝3(x－1)3．若关于x的方程(a＋1)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是a ≠－1．4．一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是2x2＋3x－5＝0．5．(教材P4习题T1变式)将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)2x2＝8；解：移项，得一元二次方程的一般形式：2x2－8＝0.其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－8.(2)2x2＋5＝4x；解：移项，得一元二次方程的一般形式：2x2－4x＋5＝0.其中二次项系数为2，一次项系数为－4，常数项为5.(3)4y(y＋3)＝0；解：去括号，得一元二次方程的一般形式：4y2＋12y＝0.其中二次项系数为4，一次项系数为12，常数项为0.(4)(x－2)(2x＋1)＝x2＋2.解：去括号，得2x2＋x－4x－2＝x2＋2.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式：x2－3x－4＝0.其中二次项系数为1，一次项系数为－3，常数项为－4知识点2一元二次方程的根6．下列是方程3x2＋x－2＝0的解的是(A)A．x＝－1 B．x＝1C．x＝－2 D．x＝27．(忻州定襄县期末)已知一元二次方程x2－kx＋3＝0有一个根为1，则k的值为(C)A．－2 B．2C．4 D．－48．下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x＝2的根是(D)A.x＝－1 B．x＝0C．x＝2 D．x＝－1或x＝2知识点3根据实际问题列一元二次方程9．(教材P2问题1变式)(大连中考)如图，有一张矩形纸片，长10 cm，宽6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32 cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意可列方程为(B)A．10×6－4×6x＝32B．(10－2x)(6－2x)＝32C．(10－x)(6－x)＝32D．10×6－4x2＝3210．(阳泉平定县月考)某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1 500平方米的矩形绿地，并且长比宽多20米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为x(x＋20)＝1__500．易错点1忽略一元二次方程中二次项系数不为0而出错11．若(m＋1)x|m|＋1＋6x－2＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为1．易错点2确定各项时未化为一般形式而出错12．若一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)的一次项系数为－2，则m的值为2．中档题13．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是x＝1，则a＋b的值是(B)A．5 B．－5 C．6 D．－614．【易错】若关于x的方程(k－1)x2＋3x＋k2－1＝0的常数项为0，则k的值为(D)A．k＝1 B．k＝－1C．k≠1 D．k＝±115．(教材P4习题T7变式)如果－5是一元二次方程x2＝c2的一个根，那么常数c是±5，方程的另一根是5．16．(教材P4习题T2变式)根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：(1)小明用30 cm长的铁丝围成一个斜边长为13 cm的直角三角形，求该直角三角形的两直角边长；(2)为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式(每两个队之间都要比赛一场)，计划安排28场比赛，求参赛的足球队个数．解：(1)设该直角三角形的一直角边长为x cm，则另一直角边长为(17－x)cm，根据题意，得x2＋(17－x)2＝132.整理化简，得x2－17x＋60＝0.(2)设参赛的足球队有x个，根据题意，得x（x－1）＝28，2整理化简，得x2－x－56＝0.17．已知关于x的方程(m＋3)(m－3)x2＋(m＋3)x＋2＝0.(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？解：(1)由题意，得(m＋3)(m－3)＝0且m＋3≠0，所以m－3＝0，即m＝3.(2)由题意，得(m＋3)(m－3)≠0，即m≠±3.综合题18．【分类讨论思想】若x 2a ＋b －2x a －b ＋3＝0是关于x 的一元二次方程，求a ，b 的值．张敏是这样考虑的：满足条件的a ，b 必须满足⎩⎨⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝2，你说张敏的这种想法全面吗？若不全面，请你说明其余满足的条件． 解：张敏的这种想法不全面．由x 2a ＋b －2x a －b ＋3＝0是关于x 的一元二次方程，得⎩⎨⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝0，或⎩⎨⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝1，或⎩⎨⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝2，或⎩⎨⎧2a ＋b ＝1，a －b ＝2，或⎩⎨⎧2a ＋b ＝0，a －b ＝2.根据一元二次方程根的定义求值【方法指导】 ①已知一元二次方程的根求方程中待定字母的值时，一般将根代入原方程中即可求解；②已知一元二次方程的根求代数式的值时，若方程中的参数无法求出，应采用整体思想解决问题，将所求代数式的一部分看成一个整体，通常这部分通过已知条件可求出，将其整体代入即可求解．1．【易错】关于x 的一元二次方程(a ＋3)x 2＋x ＋a 2－9＝0的一个根是0，则a 的值为3．2．已知m 是方程x 2－3x －1＝0的一个根，则代数式m 2－3m 的值等于1．【变式】已知a是方程x2－3x－2＝0的根，则代数式a3－2a2－5a＋3的值为5．21.2 解一元二次方程21．2.1 配方法第1课时直接开平方法基础题知识点1用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程1．下列方程可用直接开平方法求解的是(A)A．x2＝4 B．4x2－4x－3＝0C．x2－3x＝0 D．x2－2x－1＝92．方程x2＝1的解为(D)A．x＝0 B．x＝1C．x＝－1 D．x1＝1，x2＝－13．(柳州中考)一元二次方程x2－9＝0的解是x1＝3，x2＝－3．4．关于x的方程x2＝p：(1)当p＞0时，方程有两个不等的实数根；(2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根；(3)当p＜0时，方程无实数根．5．用直接开平方法解下列方程：(1)4x2＝1; (2)0.8x2－4＝0.解：x2＝14，解：0.8x2＝4，x 1＝12，x2＝－12. x2＝5，x1＝5，x2＝－ 5.知识点2用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程6．一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(D)A．x－6＝4 B．x－6＝－4C．x＋6＝4 D．x＋6＝－47．(孝义期中)若关于x的方程(x－2)2＝a－5有解，则a的取值范围是(C)A．a＝5 B．a＞5 C．a≥5 D．a≠58．解方程：(2－x)2－9＝0.解：移项，得(2－x)2＝9．直接开平方，得(2－x)＝±3，即2－x＝3或2－x＝－3．所以x1＝－1，x2＝5．9．用直接开平方法解方程：3(x＋1)2＝1 3 .解：(x＋1)2＝1 9，x＋1＝±1 3，x 1＝－23，x2＝－43.易错点开平方时漏解10．方程(y＋2)2＝(3y－1)2的解为y1＝32，y2＝－14．中档题11．若方程(x－a)2＝b的解是x1＝1，x2＝3，则(D)A．a＝－1，b＝4 B．a＝0，b＝1C．a＝1，b＝4 D．a＝2，b＝112．新定义运算“△”，对于非零实数a，b，规定a△b＝b2.若2△(x＋1)＝4，则x＝1或－3．13．【整体思想】若(a2＋b2－2)2＝25，则a2＋b2＝7．14．若一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则ba＝4．15．用直接开平方法解下列方程：(1)(忻州定襄县期末)4(x＋1)2＝25；解：(x＋1)2＝254.x＋1＝±5 2 .∴x1＝32，x2＝－72.(2)(2x－3)2－14＝0.解：移项，得(2x－3)2＝1 4 .∴2x－3＝±1 2 .∴x1＝74，x2＝54.第2课时配方法基础题知识点1配方1．下列各式是完全平方式的是(C)A．a2＋7a＋7 B．m2－4m－4C．x2－12x＋116D．y2－2y＋22．把一元二次方程a2－6a＝7配方，需在方程两边都加上(C) A．3 B．－3C．9 D．－93．用配方法将二次三项式a2－4a＋5变形，结果是(A)A．(a－2)2＋1 B．(a＋2)2－1C．(a＋2)2＋1 D．(a－2)2－14．(山西联考)将方程x2＋2x－5＝0配方，其结果正确的是(B) A．(x－1)2＝5 B．(x＋1)2＝6C．(x＋1)2＝5 D．(x－1)2＝65．用适当的数或式子填空：(1)x2－4x＋4＝(x－2)2；(2)x2－8x＋16＝(x－4)2；(3)x2＋3x＋94＝(x＋32)2；(4)x2－25x＋125＝(x－15)2.知识点2用配方法解二次项系数为1的一元二次方程6．方程x2＋4x＝2的正根为(D)A．2－ 6 B．2＋ 6C．－2－ 6 D．－2＋ 67．已知方程x2－6x＋q＝0可转化为x－3＝±7，则q＝2．8．用配方法解方程：(1)x2＋4x－1＝0；解：(x＋2)2＝5，∴x1＝5－2，x2＝－5－2.(2)x2－2x＝5；解：(x－1)2＝6，∴x1＝1＋6，x2＝1－ 6.(3)x2－23x＋1＝0.解：(x－13)2＝－89，∴原方程无实数根．知识点3用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程9．解方程：2x2－3x－2＝0.解：将常数项移到右边，得2x2－3x＝2；再把二次项系数化为1，得x2－32x＝1；然后配方，得x2－32x＋(34)2＝1＋(34)2；进一步得(x－34)2＝2516；解得方程的两个根为x1＝2，x2＝－12．10．用配方法解方程：(1)(大同期末)3x2＋6x－4＝0；解：(x＋1)2＝7 3，∴x1＝－1＋213，x2＝－1－213.(2)23x 2＋13x －2＝0. 解：(x ＋14)2＝4916，∴x 1＝32，x 2＝－2.易错点1 用配方法变形代数式时没有恒等变形11．下面是小明同学对二次三项式2y 2－6y ＋1进行配方的过程：2y 2－6y ＋1＝y 2－3y ＋(－32)2＋12＝(y －32)2＋12.请判断配方过程是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，请给出正确的配方过程． 解：不正确．正确的配方过程为：2y 2－6y ＋1＝2[y 2－3y ＋(32)2]－92＋1＝2(y －32)2－72.易错点2 配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加12．阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容． 解方程：2x 2－8x －18＝0. 解：移项，得2x 2－8x ＝18.① 两边同时除以2，得x 2－4x ＝9.② 配方，得x 2－4x ＋4＝9，③即(x－2)2＝9.∴x－2＝±3.④∴x1＝5，x2＝－1.⑤上述过程中有没有错误？若有，错在步骤③(填序号)，原因是配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加．请写出正确的解答过程．解：移项，得2x2－8x＝18.两边同时除以2，得x2－4x＝9.配方，得x2－4x＋4＝9＋4，即(x－2)2＝13.∴x－2＝±13.∴x1＝2＋13，x2＝2－13.中档题13．(阳泉盂县月考)阅读材料：把形如ax2＋bx＋c的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab＋b2＝(a±b)2.若方程4x2－(m－2)x＋1＝0的左边是一个完全平方式，则m等于(B)A．－2 B．－2或6C．－2或－6 D．2或－614．【注重阅读理解】(阳泉平定县月考)我们规定新运算：a b＝(a＋b)b，如：23＝(2＋3)×3＝15.若(－2)x＝2，则x的值为15．若一元二次方程x2－2x－3 599＝0的两根为a，b，且a＞b，则2a－b的值为181．16．若方程2x2＋8x－32＝0能配成(x＋p)2＋q＝0的形式，则直线y＝px＋q不经过第二象限．17．用配方法解下列方程：(1)2x2＋7x－4＝0；解：(x＋74)2＝8116，∴x1＝12，x2＝－4.(2)x2－6x＋1＝2x－15；解：(x－4)2＝0，∴x1＝x2＝4.(3)x(x＋4)＝6x＋12；解：(x－1)2＝13，∴x1＝1＋13，x2＝1－13.(4)3(x－1)(x＋2)＝x－7.解：(x＋13)2＝－29，∴原方程无实数根．18．已知实数a，b满足a2＋4b2＋2a－4b＋2＝0，你认为能够求出a和b的值吗？如果能，请求出a，b的值；如果不能，请说明理由．解：能．理由：∵a2＋4b2＋2a－4b＋2＝0，∴a2＋2a＋1＋4b2－4b＋1＝0.∴(a＋1)2＋(2b－1)2＝0.∵(a＋1)2≥0，(2b－1)2≥0，∴a＋1＝0，2b－1＝0.∴a＝－1，b＝0.5.利用配方法求最值【方法指导】用配方法求二次三项式的最值，需要把二次三项式配方成a(x＋h)2＋k的形式，当a＜0，x＝－h时，该二次三项式有最大值k；当a＞0，x＝－h时，该二次三项式有最小值k.,当x＝3时，代数式x2－6x＋10有最小(填“大”或“小”)值，是1．【变式1】当x＝－2时，代数式2x2＋8x－3有最小值，是－11．【变式2】当x＝－4时，代数式－\f(1,2)x2－4x＋7的最大值是15．)21.2.2 公式法第1课时一元二次方程的根的判别式基础题知识点1利用根的判别式判别一元二次方程根的情况1．一元二次方程2x2＋5x＋3＝0根的判别式的值为(A)A．1 B．－1 C．13 D．192．(上海中考)下列对一元二次方程x2＋x－3＝0的根的情况的判断，正确的是(A)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有且只有一个实数根D．没有实数根3．(山西中考)下列一元二次方程中，没有实数根的是(C)A．x2－2x＝0 B．x2＋4x－1＝0C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－24．(教材P17习题T4变式)不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：(1)9x2＋6x＋1＝0；解：∵a＝9，b＝6，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝36－4×9×1＝0.∴此方程有两个相等的实数根．(2)16x2＋8x＝－3；解：化为一般形式为16x2＋8x＋3＝0.∵a＝16，b＝8，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝64－4×16×3＝－128<0.∴此方程没有实数根．(3)3(x2－1)－5x＝0.解：化为一般形式为3x2－5x－3＝0.∵a＝3，b＝－5，c＝－3，∴Δ＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝61＞0.∴此方程有两个不相等的实数根．知识点2利用根的判别式确定字母的取值或范围5．关于x的方程x2＋2x－(m－2)＝0的根的判别式Δ＝4m－4，若方程有两个不相等的实数根，则m>1；若方程有两个相等的实数根，则m＝1；若方程没有实数根，则m<1．6．(孝义期末)已知关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0有两个相等的实数根，则m的值是(B)A ．1B ．－1C.14 D ．－147．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为(A) A ．k ＞－14 B ．k ＞4C ．k ＜－1D ．k ＜48．(忻州定襄县期末)已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有实数根，则m 的取值范围是m ≤1．易错点1 用一元二次方程根的判别式时忽略二次项系数不为09．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，求k 的最小整数值．解：因为原方程有两个不相等的实数根， 所以Δ>0，即(－2)2－4k ·(－1)>0， 解得k>－1.所以k 的最小整数值是0.以上解答是否正确？若不正确，请指出错误并给出正确答案． 解：不正确．错误原因：∵当k ＝0时，原方程不是一元二次方程， ∴k ≠0.∴k的最小整数值为1.易错点2未对方程进行分类讨论导致漏解10．(本课时T9变式)若关于x的方程kx2－2x－1＝0有实数根，则实数k的取值范围是k≥－1．中档题11．(咸宁中考)已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(B)A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断12．(菏泽中考)关于x的一元二次方程(k＋1)x2－2x＋1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是(D)A．k≥0 B．k≤0C．k＜0且k≠－1 D．k≤0且k≠－113．【数形结合思想】若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是(B)14．已知关于x的方程x2＋(1－m)x＋m24＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是0．15．【易错】若|b－1|＋a－4＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是k≤4且k≠0．16．(阳泉平定县月考)已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a的值；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．解：(1)∵1为原方程的一个根，∴1＋a＋a－2＝0.∴a＝1 2 .(2)证明：∵在x2＋ax＋a－2＝0中，Δ＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4>0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．综合题17．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．解：(1)△ABC 是等腰三角形． 理由：∵x ＝－1是方程的根， ∴(a ＋c)×(－1)2－2b ＋(a －c)＝0. ∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0. ∴2a －2b ＝0.∴a ＝b. ∴△ABC 是等腰三角形． (2)△ABC 是直角三角形．理由：∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0. ∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0.∴a 2＝b 2＋c 2. ∴△ABC 是直角三角形．根的判别式【方法指导】 关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实数根，注意对a 分类讨论．当a ＝0，且b ≠0时，方程为一元一次方程，必有实数根；当a ≠0时，方程为一元二次方程，用根的判别式研究方程根的情况，即Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，Δ＜0时，方程没有实数根． 【易错】 关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是m>4且m ≠2． 【变式1】 若该一元二次方程有两个相等的实数根，则m 的值为43．【变式2】若该一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是m＜．4【变式3】若该一元二次方程有实数根，则m的取值范围是m≥且m≠2．4【变式4】若方程(m－2)2x2＋(2m＋1)x＋1＝0有解，则m的取值范围是m≥．4第2课时用公式法解一元二次方程基础题知识点用公式法解一元二次方程1．用公式法解一元二次方程3x2－2x＋3＝0时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述正确的是(B)A．a＝3，b＝2，c＝3B．a＝3，b＝－2，c＝3C．a＝3，b＝2，c＝－3D．a＝－3，b＝2，c＝32．一元二次方程x2－x－1＝0的根是(B)A．x1＝－1＋52，x2＝－1－52B．x1＝1＋52，x2＝1－52C．x1＝1＋32，x2＝1－32D．没有实数根3．用公式法解方程：2y2＋4y＝y＋2.解：方程化为一般形式，得2y2＋3y－2＝0．a＝2，b＝3，c＝－2，Δ＝b2－4ac＝25．方程有两个不相等的实数根，为y ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝2×2即y 1＝12，y 2＝－2．4．用公式法解下列方程： (1)x 2＋4x －1＝0； 解：a ＝1，b ＝4，c ＝－1， Δ＝b 2－4ac ＝42－4×1×(－1)＝20. x ＝－4±202×1，x 1＝－2＋5，x 2＝－2－ 5.(2)x 2＋3x ＝0；解：a ＝1，b ＝3，c ＝0， Δ＝b 2－4ac ＝32－4×1×0＝9. x ＝－3±92×1，x 1＝0，x 2＝－3.(3)2x 2－3x －1＝0；解：a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－1)＝17. x ＝－（－3）±172×2，x 1＝3＋174，x 2＝3－174.(4)x 2＋10＝25x ； 解：x 2－25x ＋10＝0， a ＝1，b ＝－25，c ＝10，∵Δ＝(－25)2－4×1×10＝－20<0， ∴此方程无实数根． (5)(孝义期末)2x(x －2)＝1. 解：2x 2－4x －1＝0， a ＝2，b ＝－4，c ＝－1，Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4×2×(－1)＝24. x ＝－（－4）±242×2，x 1＝2＋62，x 2＝2－62.易错点 错用公式5．(阳泉盂县月考)下面是小明同学用公式法解方程：2x2＋7x＝4的全过程．解：∵a＝2，b＝7，c＝4，(第1步)∴b2－4ac＝72－4×2×4＝17.(第2步)∴x＝－7±174，(第3步)即x1＝－7＋174，x2＝－7－174.(第4步)上述解法是否正确？若不正确，请指出错误并改正．解：不正确．错误原因：没有将方程化成一般形式，造成常数项c的符号错误．正解：移项，得2x2＋7x－4＝0，∵a＝2，b＝7，c＝－4，∴b2－4ac＝72－4×2×(－4)＝81.∴x＝－7±812×2＝－7±94，即x1＝－4，x2＝12.【变式】一元二次方程0.3y2＋y＝0.8的解为y1＝23，y2＝－4．中档题6．方程2x2＋43x＋62＝0的根是(D)A．x1＝2，x2＝ 3 B．x1＝6，x2＝ 2C ．x 1＝22，x 2＝ 2D ．x 1＝x 2＝－ 67．一元二次方程2x 2－2x －1＝0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间(C) A ．4，3 B ．3，2 C ．2，1D ．1，08．(凉山中考)若关于x 的方程x 2＋2x －3＝0与2x ＋3＝1x －a有一个解相同，则a 的值为(C)A ．1B ．1或－3C ．－1D ．－1或39．方程2x 2－6x －1＝0的负数根为x ＝210．若8t 2＋1与－42t 互为相反数，则t 411．用公式法解下列方程： (1)6x 2－11x ＋4＝2x －2；解：原方程可化为6x 2－13x ＋6＝0. a ＝6，b ＝－13，c ＝6.Δ＝b 2－4ac ＝(－13)2－4×6×6＝25. x ＝13±252×6＝13±512，x 1＝32，x 2＝23.(2)3x(x －3)＝2(x －1)(x ＋1)． 解：原方程可化为x 2－9x ＋2＝0. a ＝1，b ＝－9，c ＝2.Δ＝b 2－4ac ＝(－9)2－4×1×2＝73. x ＝9±732，x 1＝9＋732，x 2＝9－732.12．(教材第二十一章引言变式)如图所示，要设计一座1 m 高的抽象人物雕塑，使雕塑的上部(腰以上)AB 与下部(腰以下)BC 的高度比，等于下部与全部(全身)AC 的高度比，雕塑的下部应设计为多高？解：根据题意，得AB ∶BC ＝BC ∶AC ，即BC 2＝AB ·AC. 设雕塑的下部应设计为x m ，则上部应设计为(1－x)m ，则有 x 2＝(1－x)·1.解得x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52(不合题意，舍去)． 答：雕塑的下部应设计为5－12m.13．(山西联考)阅读理解：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是x＝－b±b2－4ac2a，方程y2＋by＋ac＝0的根是y＝－b±b2－4ac2.因此，要求ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，只要求出方程y2＋by＋ac＝0的根，再除以a就可以了．举例：解方程72x2＋8x＋16＝0.解：先解方程y2＋8y＋72×16＝0，得y1＝－2，y2＝－6.∴方程72x2＋8x＋16＝0的两根是x1＝－272，x2＝－672，即x1＝－136，x2＝－112.请按上述阅读理解中所提供的方法解方程49x2＋6x－17＝0.解：先解方程y2＋6y－49×17＝0，即y2＋6y－7＝0，解得y1＝1，y2＝－7.∴方程49x2＋6x－17＝0的解为x1＝149，x2＝－17.21.2.3 因式分解法基础题知识点1用因式分解法解一元二次方程1．下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是(B)A．(x－2)(x＋5)＝2 B．2(x－2)2＝x2－4C．x2＋5x－2＝0 D．12(2－x)2＝32．用因式分解法解下列方程，正确的是(D)A．x(x＋1)＝0，∴x＋1＝0B．(x＋1)(x－2)＝1，∴x＋1＝1或x－2＝1C．(x－1)(x－2)＝2×3，∴x－1＝2或x－2＝3D．(x－2)(3x－4)＝0，∴x－2＝0或3x－4＝03．我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x －2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是(A)A．转化思想 B．函数思想C．数形结合思想 D．公理化思想4．解方程：2x(x－1)＋x－1＝0. 解：因式分解，得(2x＋1)(x－1)＝0. 于是得2x＋1＝0或x－1＝0，∴x1＝－12，x2＝1．5．用因式分解法解下列方程：(1)x2－9＝0；解：(x＋3)(x－3)＝0，∴x1＝－3，x2＝3.(2)x2＋2x＝0；解：x(x＋2)＝0，∴x1＝0，x2＝－2.(3)x2－53x＝0；解：x(x－53)＝0，∴x1＝0，x2＝5 3.(4)5x2＋20x＋20＝0；解：(x＋2)2＝0，∴x1＝x2＝－2.(5)(大同期中)(x－3)2－9＝0；解：x(x－6)＝0，∴x1＝0，x2＝6.(6)(山西联考)(x＋5)2＝3(x＋5)．解：(x＋5)(x＋2)＝0，∴x1＝－5，x2＝－2.知识点2用适当的方法解一元二次方程6．在下列各题的横线上填写适当的解法．(1)解方程 (x－3)2＝4，用直接开平方法较适宜；(2)解方程x2－6x＋4＝0，用配方法较适宜；(3)解方程x2－4＝x＋2，用因式分解法较适宜．7．用适当的方法解下列方程：(1)2(x＋1)2＝4.5；解：(x＋1)2＝2.25.x＋1＝±1.5.∴x1＝0.5，x2＝－2.5.(2)x2＋6x－5＝0；解：(x＋3)2＝14. x＋3＝±14.∴x1＝－3＋14，x2＝－3－14.(3)3x2＝5x；解：3x2－5x＝0. x(3x－5)＝0.x＝0或3x－5＝0.∴x1＝0，x2＝533.(4)4x2＋3x－2＝0.解：a＝4，b＝3，c＝－2.b2－4ac＝32－4×4×(－2)＝41>0.∴x＝－3±412×4＝－3±418.∴x1＝－3＋418，x2＝－3－418.易错点性质运用不当8．解方程：(x ＋1)(x －2)＝x ＋1.解：将方程两边约去(x ＋1)，得x －2＝1.① 所以x ＝3.②以上解答错在第①步，正确的答案是x 1＝－1，x 2＝3． 中档题9．一元二次方程x(x －3)＋3－x ＝0的根是(C) A ．1 B ．3 C ．1和3 D ．1和210．【易错】已知等腰三角形的腰和底边的长分别是一元二次方程x 2－6x ＋8＝0的两根，则该三角形的周长为(B)A ．8B ．10C ．8或10D ．2 11．方程x 2＝|x|的根是0，±1．12．【易错】若分式x 2＋5x ＋6x ＋2的值为0，则x 的值为－3．13．若正数a 是一元二次方程x 2－5x ＋m ＝0的一个根，－a 是一元二次方程x 2＋5x －m ＝0的一个根，则a 的值是5．14．已知x 2－15xy ＋50y 2＝0(xy ≠0)，则xy 的值是5或10．15．用因式分解法解下列方程： (1)(孝义期末)2(x ＋3)2＝x 2－9； 解：2(x ＋3)2＝(x ＋3)(x －3)，(x＋3)[2(x＋3)－(x－3)]＝0，(x＋3)(x＋9)＝0，解得x1＝－3，x2＝－9.(2)(3x＋2)2－4x2＝0.解：(3x＋2＋2x)(3x＋2－2x)＝0，(5x＋2)(x＋2)＝0，解得x1＝－25，x2＝－2.16．【类比思想】(滨州中考)(1)根据要求，解答下列问题：①方程x2－2x＋1＝0的解为x1＝x2＝1；②方程x2－3x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝2；③方程x2－4x＋3＝0的解为x1＝1，x2＝3；…(2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2－9x＋8＝0的解为x1＝1，x2＝8；②关于x的方程x2－(1＋n)x＋n＝0的解为x1＝1，x2＝n；(3)请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．解：由x2－9x＝－8，配方，得(x－92)2＝494，即x－92＝±72，所以x1＝1，x2＝8.17．(孝义期末)我们知道一元二次方程可以用配方法、因式分解法或求根公式进行求解．对于一元三次方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0(a，b，c，d为常数，且a≠0)，也可以通过因式分解、换元等方法，使三次方程“降次”为二次方程或一次方程，进而求解．这儿的“降次”所体现的数学思想是(A)A．转化思想 B．分类讨论思想C．数形结合思想 D．公理化思想运用十字相乘法解一元二次方程【注重阅读理解】阅读下列材料：(1)将x2＋2x－35分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：步骤：①竖分二次项与常数项：,x2＝x·x，－35＝(－5)×(＋7)．②交叉相乘，验中项：⇒7x－5x＝2x.③横向写出两因式：x2＋2x－35＝(x＋7)(x－5)．我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．(2)根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0.,试用上述方法和原理解下列方程：(1)x2＋5x＋4＝0；解：(x＋1)(x＋4)＝0，x 1＝－1，x2＝－4.(2)x2－6x－7＝0；解：(x－7)(x＋1)＝0，x 1＝7，x2＝－1.(3)2x2－6x＋8＝0；解：(x－2)(x－4)＝0，x 1＝2，x2＝4.(4)2x2＋x－6＝0.解：(2x－3)(x＋2)＝0，x 1＝32，x2＝－2.山西常考点专题1 一元二次方程的解法类型1直接开平方法形如x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，用直接开平方法求解．1．用直接开平方法解下列方程：(1)3x2－27＝0；解：移项，得3x2＝27.两边同除以3，得x2＝9.根据平方根的定义，得x＝±3，即x1＝3，x2＝－3.(2)2(3x－1)2＝8.解：方程两边同时除以2，得(3x－1)2＝4. 方程两边同时开方，得3x－1＝±2.移项、两边同时除以3，得x1＝1，x2＝－13.类型2配方法当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解较简便．2．用配方法解下列方程：(1)－x2＋2x－5＝0；解：移项、系数化为1，得x2－2x＝－5. 配方，得x2－2x＋1＝－5＋1，即(x－1)2＝－4.∴原方程无实数根．(2)(阳泉平定县期末)4x2－8x－21＝0. 解：移项，得4x2－8x＝21.方程两边同除以4，得x2－2x＝21 4.配方，得x2－2x＋1＝214＋1，即(x－1)2＝25 4.∴x－1＝±5 2 .∴x1＝72，x2＝－32.类型3因式分解法能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解．3．用因式分解法解下列方程：(1)x2－3x＝0；解：x(x－3)＝0，∴x＝0或x－3＝0.∴x1＝0，x2＝3.(2)(2x－1)2－x2＝0；解：(2x－1＋x)(2x－1－x)＝0，即(3x－1)(x－1)＝0.∴3x－1＝0或x－1＝0.∴x1＝13，x2＝1.(3)2(x－1)2＋8x＝0；解：原方程可化为2x2＋4x＋2＝0. ∴x2＋2x＋1＝0.∴(x＋1)2＝0.∴x1＝x2＝－1.(4)(忻州定襄县期末)2(x＋5)＝3x(x＋5)；解：移项，得2(x＋5)－3x(x＋5)＝0.∴(x＋5)(2－3x)＝0.∴x1＝－5，x2＝23.(5)x2－4x－12＝0. 解：(x－6)(x＋2)＝0，∴x1＝6，x2＝－2.类型4公式法如果一个一元二次方程易于化为一般形式，那么可选择用公式法求解．4．用公式法解下列方程：(1)3x2－2x＋1＝0；解：∵a＝3，b＝－2，c＝1，b2－4ac＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，∴原方程无实数根．(2)x2－23x＋2＝0；解：∵a＝1，b＝－23，c＝2，b2－4ac＝(－23)2－4×1×2＝4，∴x＝－（－23）±22×1＝3±1.∴x1＝3－1，x2＝3＋1.(3)3x＝2(x＋1)(x－1)．解：将原方程化为一般形式，得2x2－3x－2＝0. ∵a＝2，b＝－3，c＝－2，b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－2)＝11>0，∴x＝3±1122＝6±224.∴x1＝6＋224，x2＝6－224.类型5选择合适的方法解一元二次方程5．用合适的方法解下列方程：(1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；解：原方程可化为[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，即(2x－6)2－(5x－10)2＝0.∴(2x－6＋5x－10)(2x－6－5x＋10)＝0，即(7x－16)(－3x＋4)＝0.∴x1＝167，x2＝43(2)5(x－3)2＝x2－9；解：5(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，移项，得5(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0. ∴(x－3)[5(x－3)－(x＋3)]＝0，即(x－3)(4x－18)＝0.∴x－3＝0或4x－18＝0.∴x1＝3，x2＝92.(3)t2－22t＋18＝0.解：方程两边都乘8，得8t2－42t＋1＝0. ∵a＝8，b＝－42，c＝1，∴b2－4ac＝(－42)2－4×8×1＝0.∴t＝－（－42）±02×8＝24.∴t1＝t2＝24.类型6换元法6．【整体思想】为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，设x2－1＝y，则y2＝(x2－1)2，原方程化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2－1＝1，x2＝2，∴x＝± 2.当y＝4时，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝± 5.∴原方程的解为x1＝－2，x2＝2，x3＝－5，x4＝ 5.以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．运用上述方法解方程：x4－3x2－4＝0.解：设x2＝y，则y2＝x4，原方程化为y2－3y－4＝0，解此方程，得y1＝4，y2＝－1.∵y≥0，∴y＝4.当y＝4时，x2＝4，解得x1＝2，x2＝－2.周测(21.1～21.2.3)(时间：40分钟满分：100分) 一、选择题(每小题4分，共32分)1．下列关于x的方程：①ax2＋bx＋c＝0；②x2＋4x－3＝0；③x2－4＋x5＝0；④3x＝x2，其中是一元二次方程的有(A)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．方程x2－x＝0的解为(C)A．x＝0 B．x＝1C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝－13．一元二次方程3x2－4x＋1＝0的根的情况为(D)A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根4．若1－3是方程x2－2x＋c＝0的一个根，则c的值为(A) A．－2 B．43－2C．3－ 3 D．1＋ 35．一元二次方程x2－6x－6＝0配方后可化为(A)A ．(x －3)2＝15B ．(x －3)2＝3C ．(x ＋3)2＝15D ．(x ＋3)2＝36．x ＝－5±52＋4×3×12×3是下列哪个一元二次方程的根(D)A ．3x 2＋5x ＋1＝0B ．3x 2－5x ＋1＝0C ．3x 2－5x －1＝0D ．3x 2＋5x －1＝07．如果关于x 的一元二次方程kx 2－2k ＋1x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是(D)A ．k ＜12B ．k ＜12且k ≠0C ．－12≤k ＜12D ．－12≤k ＜12且k ≠08．解方程(x －1)2－5(x －1)＋4＝0时，我们可以将(x －1)看成一个整体，设x －1＝y ，则原方程可化为y 2－5y ＋4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4.当y ＝1时，即x －1＝1，解得x ＝2；当y ＝4时，即x －1＝4，解得x ＝5，所以原方程的解为x 1＝2，x 2＝5.则利用这种方法求得方程 (2x ＋5)2－4(2x ＋5)＋3＝0的解为(D) A ．x 1＝1，x 2＝3 B ．x 1＝－2，x 2＝3 C ．x 1＝－3，x 2＝－1 D ．x 1＝－1，x 2＝－2二、填空题(每小题4分，共24分)9．若关于x 的方程(m ＋2)x |m|＋2x －1＝0是一元二次方程，则m ＝2． 10．用适当的数填空：x 2－3x ＋94＝(x －32)2；x 2＋27x ＋7＝(x 2.11．关于x 的一元二次方程(p －1)x 2－x ＋p 2－1＝0的一个根为0，则实数p 的值是－1．12．关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋2＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b 的值：3(答案不唯一，满足b 2＞8即可)． 13．如果x 2－x －1＝(x ＋1)0，那么x 的值为2．14．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定max{a ，b}表示a ，b 中较大的数，如max{1，2}＝2.那么方程max{2x ，x －2}＝x 2－4的解为三、解答题(共44分)15．(8分)写出下列方程的一般形式、二次项系数、一次项系数以及常数项．。