46、圆
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知识点
一、圆的方程的形式 1、圆的标准方程 2、圆的一般方程 3、圆的参数方程 4、几种特殊位置的圆的方程 二、求圆方程的方法
一、概念
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) ， 1、圆的方程的标准式是 圆心是 (a,b) ，半径是 r ；（a=o,b=0) x2+y2+Dx+Ey+F=0 ， 2、圆的方程的一般式是
配方得 ， D2 E 2 4F 其中圆心是 (-D/2,-E/2) ，半径是 ， 2 （其中：D2+E2-4F>0 ）； 3、圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的参数方程
{ 是 y b r sin ；
x a r cos
(其中 θ 是参数)。
练习1： 1、方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条 A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0 件是 。 2、已知圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 ，根据下列给出的 条件，分别写出a,b,r应满足的条件: (1)圆心在x轴上，则b= 0 ； (2)与y轴相切，则 |a|=r ； (3)过原点，则 a2+b2=r2 ； (4)过原点且与y轴相切，则 b=0,|a|=r ； (5)与两坐标轴都相切，则 |a|=|b|=r ； (6)与直线x-y=0相切,则 | a b | 2r 。
上的圆方程。
题型三、与圆有关的轨迹问题
例1、设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点，动点P到点A的 距离与到点B的距离的比为定值a(a>0)，求动点P的轨 迹方程；并说明轨迹的形状。
例2、已知一个等腰三角形的顶点A(3，20),一底角 顶点B(3,5),求另一个底角顶点C的轨迹方程.
例3、设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以 OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.
题型四 动圆的性质的探索与证明
例1、已知m∈R.
圆C：x2+y2-2mx+2(m-1)y+2m2-2m+
（1）求证：圆C的圆心在一条直线上；
1 =0. 2
（2）已知：圆C与一条定直线相切，求这条直
线的方程。
例2、已知t∈R,圆C：x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0.
（1）若圆C的圆心在直线x-y+2=0上，求圆C的 方程； （2）圆C是否过定点？如果过定点，求出定点 坐标；如果不过定点，说明理由。
0
x
练习2、一圆经过点A（4，2）与点B（-1，3），且 在两坐标轴上的四个截距之和为2，求此圆的方程。
题型二、圆系问题
例1、一圆过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点,
且圆心在y轴上,求这个圆的方程。
例2、求经过两个已知圆C1:x2+y2-4x+2y=0和 C2:x2+y2-2y-4=0的交点，且圆心在直线l:2x+4y=1
3、圆的直径端点为(2,0)，(2,－2)，则 此圆的方程是(x-2)2+(y+1)2=1 。 引申：以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆方程
为 （x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。
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知识要点
三、圆系方程： (1)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程： x2+y2+Dx+Ey+ λ =0 (λ为参数) ______________________. (2)过直线Ax+By+C=0与x2+y2+Dx+Ey+F=0 的交点的圆系方程 __________________________________ x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数) (3)过两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程： 2+y2+D x+E y+F +λ(x2+y2+D x+E y+F )=0 x__________________________________ 1 1 1 2 2 2 ___. (λ为参数，λ≠-1)
例题精析 题型一、求圆的方程 （1）求圆心在原点，且圆周被直线 3x+4y+15=0 分成1﹕2两部分的圆方程； （2）一圆经过A(4,2),B(－1,3)两点，且在两坐标 轴上的四个截距之和为2，求此圆方程。 （3）求圆心在直线y=-2x上，且与直线x+y=1在点 (2,－1)处相切的圆方程 y=-2x y y y 3x+4y=15
B·
0 x 0
x+y=1
A ·
x
0
·
x
选择适当的形式求圆的方程： 标准式：以研究圆的性质为主，圆心，半径，弦 心距等；重在求出圆心的位置和半径的大小。 一般式：一研究方程为主，交点问题，与方程根 有关的问题等；重在利用解方程组求出系数。
练习1:求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被 直线x-y=0截下的弦长为2 7 的圆的方程。 y 3x-y=0 x-y=0
疑难释疑
练习2：(1)一圆过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y3=0的交点,且圆心在y轴上,则这个圆的方程为 x2+y2-2x+λ(x+2y-3)=0(λ为参数) ________________________________. (2)过两圆的交点系方程中，试想一想： x2+y2+D1x+E1y+F1 +λ(x2+y2+D2x+E2y+F2) =0 中,λ=-1时，方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 表示_________________________________ 两相交圆的公共弦所在的直线方程； _____________________________________. 两相切圆(内切、外切),方程为两圆的切线方程.
例4、已知x2+y2-2(t-1)x-4ty+6t2-2t=0是圆的方程。 （1）求t的取值范围； （2）当t变化时，求这个圆的圆心轨迹。
练习： 1、求过三点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方程。
2、已知⊙O的半径为3，定直线l与⊙O相切， 一动圆与l与相切，并与⊙O相交的公共弦恰为 ⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程。
一、圆的方程的形式 1、圆的标准方程 2、圆的一般方程 3、圆的参数方程 4、几种特殊位置的圆的方程 二、求圆方程的方法
一、概念
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) ， 1、圆的方程的标准式是 圆心是 (a,b) ，半径是 r ；（a=o,b=0) x2+y2+Dx+Ey+F=0 ， 2、圆的方程的一般式是
配方得 ， D2 E 2 4F 其中圆心是 (-D/2,-E/2) ，半径是 ， 2 （其中：D2+E2-4F>0 ）； 3、圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的参数方程
{ 是 y b r sin ；
x a r cos
(其中 θ 是参数)。
练习1： 1、方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条 A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0 件是 。 2、已知圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 ，根据下列给出的 条件，分别写出a,b,r应满足的条件: (1)圆心在x轴上，则b= 0 ； (2)与y轴相切，则 |a|=r ； (3)过原点，则 a2+b2=r2 ； (4)过原点且与y轴相切，则 b=0,|a|=r ； (5)与两坐标轴都相切，则 |a|=|b|=r ； (6)与直线x-y=0相切,则 | a b | 2r 。
上的圆方程。
题型三、与圆有关的轨迹问题
例1、设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点，动点P到点A的 距离与到点B的距离的比为定值a(a>0)，求动点P的轨 迹方程；并说明轨迹的形状。
例2、已知一个等腰三角形的顶点A(3，20),一底角 顶点B(3,5),求另一个底角顶点C的轨迹方程.
例3、设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以 OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.
题型四 动圆的性质的探索与证明
例1、已知m∈R.
圆C：x2+y2-2mx+2(m-1)y+2m2-2m+
（1）求证：圆C的圆心在一条直线上；
1 =0. 2
（2）已知：圆C与一条定直线相切，求这条直
线的方程。
例2、已知t∈R,圆C：x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0.
（1）若圆C的圆心在直线x-y+2=0上，求圆C的 方程； （2）圆C是否过定点？如果过定点，求出定点 坐标；如果不过定点，说明理由。
0
x
练习2、一圆经过点A（4，2）与点B（-1，3），且 在两坐标轴上的四个截距之和为2，求此圆的方程。
题型二、圆系问题
例1、一圆过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点,
且圆心在y轴上,求这个圆的方程。
例2、求经过两个已知圆C1:x2+y2-4x+2y=0和 C2:x2+y2-2y-4=0的交点，且圆心在直线l:2x+4y=1
3、圆的直径端点为(2,0)，(2,－2)，则 此圆的方程是(x-2)2+(y+1)2=1 。 引申：以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆方程
为 （x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。
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知识要点
三、圆系方程： (1)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程： x2+y2+Dx+Ey+ λ =0 (λ为参数) ______________________. (2)过直线Ax+By+C=0与x2+y2+Dx+Ey+F=0 的交点的圆系方程 __________________________________ x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数) (3)过两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程： 2+y2+D x+E y+F +λ(x2+y2+D x+E y+F )=0 x__________________________________ 1 1 1 2 2 2 ___. (λ为参数，λ≠-1)
例题精析 题型一、求圆的方程 （1）求圆心在原点，且圆周被直线 3x+4y+15=0 分成1﹕2两部分的圆方程； （2）一圆经过A(4,2),B(－1,3)两点，且在两坐标 轴上的四个截距之和为2，求此圆方程。 （3）求圆心在直线y=-2x上，且与直线x+y=1在点 (2,－1)处相切的圆方程 y=-2x y y y 3x+4y=15
B·
0 x 0
x+y=1
A ·
x
0
·
x
选择适当的形式求圆的方程： 标准式：以研究圆的性质为主，圆心，半径，弦 心距等；重在求出圆心的位置和半径的大小。 一般式：一研究方程为主，交点问题，与方程根 有关的问题等；重在利用解方程组求出系数。
练习1:求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被 直线x-y=0截下的弦长为2 7 的圆的方程。 y 3x-y=0 x-y=0
疑难释疑
练习2：(1)一圆过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y3=0的交点,且圆心在y轴上,则这个圆的方程为 x2+y2-2x+λ(x+2y-3)=0(λ为参数) ________________________________. (2)过两圆的交点系方程中，试想一想： x2+y2+D1x+E1y+F1 +λ(x2+y2+D2x+E2y+F2) =0 中,λ=-1时，方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 表示_________________________________ 两相交圆的公共弦所在的直线方程； _____________________________________. 两相切圆(内切、外切),方程为两圆的切线方程.
例4、已知x2+y2-2(t-1)x-4ty+6t2-2t=0是圆的方程。 （1）求t的取值范围； （2）当t变化时，求这个圆的圆心轨迹。
练习： 1、求过三点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方程。
2、已知⊙O的半径为3，定直线l与⊙O相切， 一动圆与l与相切，并与⊙O相交的公共弦恰为 ⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程。