2017年安徽省江淮十校高考数学三模试卷(文科)及参考答案

2017年安徽省江淮十校高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数z=cos 3+isin 3（i为虚数单位），则|z|为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知等差数列{a n}中，a2，a2016是方程x2﹣2x﹣2=0的两根，则S2017=（）A．﹣2017 B．﹣1008 C．1008 D．20174．（5分）若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦值为，则λ等于（）A．2 B．﹣2 C．﹣2或D．2或﹣5．（5分）|x|•（1﹣2x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（0，）B．（﹣∞，） C．（，+∞）D．（0，）6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n的值为5，则输出的S的值为（）A．17 B．36 C．52 D．727．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1与e2满足的关系是（）A．+=2 B．﹣=2 C．e1+e2=2 D．e2﹣e1=28．（5分）一光源P在桌面A的正上方，半径为2的球与桌面相切，且PA与球相切，小球在光源P的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是Rt△PAB，其中PA=6，则该椭圆的长轴长为（）A．6 B．8 C．D．39．（5分）如图，半径为5cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm的小圆，现将半径为1cm的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币完全随机落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）函数f（x）=x2﹣bx+c满足f（1+x）=f（1﹣x）且f（0）=3，则f（b x）和f（c x）的大小关系是（）A．f（b x）≤f（c x）B．f（b x）≥f（c x）C．f（b x）＞f（c x）D．大小关系随x的不同而不同11．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）12．（5分）若函数f（x）=﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A．1＜a≤2 B．a≥4 C．a≤2 D．0＜a≤3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）一支田径队员有男运动员56人，女运动员42人，若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽出28人进行体质测试，则抽到进行体质测试的男运动员的人数为．14．（5分）设有两个命题，p：关于x的不等式a x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是．15．（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为．16．（5分）如果x、y满足不等式组，那么目标函数z=x﹣y的最小值是．17．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中：①|BM|是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MB∥平面A1DE．其中正确的命题是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（12分）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．数据分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是7．（Ⅰ）求这次铅球测试成绩合格的人数；（Ⅱ）若参加测试的学生中9人成绩优秀，现要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知学生a、b的成绩均为优秀，求两人a、b至少有1人入选的概率．19．（12分）已知向量=（sinx，﹣1），向量=（cosx，﹣），函数f（x）=（+）•．（1）求f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A和b．20．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD是菱形，且PD=DA=2，∠CDA=60°，过点B作直线l∥PD，Q为直线l上一动点．（1）求证：QP⊥AC；（2）当面PAC⊥面QAC时，求三棱锥Q﹣ACP的体积．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx（x＞0）．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若对任意x∈（0，+∞），f（x）≥恒成立，求实数m的最大值．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆C'：=1的一个焦点重合，点A（x0，2）在抛物线上，过焦点F的直线l交抛物线于M、N两点．（1）求抛物线C的方程以及|AF|的值；（2）记抛物线C的准线与x轴交于点B，若，|BM|2+|BN|2=40，求实数λ的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）23．（10分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=sin（）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于M、N两点，求M、N两点间的距离．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x+4|﹣|x﹣1|．（1）解不等式f（x）＞3；（2）若不等式f（x）+1≤4a﹣5×2a有解，求实数a的取值范围．2017年安徽省江淮十校高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数z=cos 3+isin 3（i为虚数单位），则|z|为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：|z|==1．故选：A．2．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B．3．（5分）已知等差数列{a n}中，a2，a2016是方程x2﹣2x﹣2=0的两根，则S2017=（）A．﹣2017 B．﹣1008 C．1008 D．2017【解答】解：等差数列{a n}中，a2，a2016是方程x2﹣2x﹣2=0的两根，可得a2+a2016=2．S2017===2017．故选：D．4．（5分）若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦值为，则λ等于（）A．2 B．﹣2 C．﹣2或D．2或﹣【解答】解：由题意向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦值为，故有cos＜，＞===，解得：λ=﹣2或．故应选C．5．（5分）|x|•（1﹣2x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（0，）B．（﹣∞，） C．（，+∞）D．（0，）【解答】解：由不等式|x|（1﹣2x）＞0可得x≠0，且1﹣2x＞0，求得x＜，且x≠0，故选：A6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n的值为5，则输出的S的值为（）A．17 B．36 C．52 D．72【解答】解：根据程序框图可知k=1，S=0，进入循环体后，循环次数、S的值、k的值的变化情况为：所以输出的S的值为72．故选：D．7．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1与e2满足的关系是（）A．+=2 B．﹣=2 C．e1+e2=2 D．e2﹣e1=2【解答】解：如图，设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得10+n=2a1，由双曲线的定义可得10﹣n=2a2，则n=a1﹣a2，∵，，∴．故选：B．8．（5分）一光源P在桌面A的正上方，半径为2的球与桌面相切，且PA与球相切，小球在光源P的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是Rt△PAB，其中PA=6，则该椭圆的长轴长为（）A．6 B．8 C．D．3【解答】解：以A为原点，以AB，AP为坐标轴建立平面直角坐标系，则球在平面xoy上的截面圆方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，P（0，6），设直线PB的方程为y=kx+6，则圆心（2，2）到直线PB的距离d==2，解得k=﹣．∴PB的方程为y=﹣+6，令y=0得x=8，即AB=8．故选B．9．（5分）如图，半径为5cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm的小圆，现将半径为1cm的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币完全随机落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：记“硬币落下后与小圆无公共点”为事件A，硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于4，其面积为16π，无公共点也就意味着，硬币的圆心与纸板的圆心相距超过2cm，以纸板的圆心为圆心，作一个半径2cm的圆，硬币的圆心在此圆外面，则硬币与半径为1cm的小圆无公共交点．所以有公共点的概率为，无公共点的概率为P（A）=1﹣=，故选：D．10．（5分）函数f（x）=x2﹣bx+c满足f（1+x）=f（1﹣x）且f（0）=3，则f（b x）和f（c x）的大小关系是（）A．f（b x）≤f（c x）B．f（b x）≥f（c x）C．f（b x）＞f（c x）D．大小关系随x的不同而不同【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）图象的对称轴为直线x=1，由此得b=2．又f（0）=3，∴c=3．∴f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f（3x）≥f（2x）．若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f（3x）＞f（2x）．∴f（3x）≥f（2x）．故选A．11．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选D12．（5分）若函数f（x）=﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A．1＜a≤2 B．a≥4 C．a≤2 D．0＜a≤3【解答】解：∵，∴函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=x﹣，∵x＞0，∴由f′（x）=x﹣＜0，得0＜x＜3．∵函数在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，∴，解得1＜a≤2．故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）一支田径队员有男运动员56人，女运动员42人，若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽出28人进行体质测试，则抽到进行体质测试的男运动员的人数为16．【解答】解：一支田径队员有男运动员56人，女运动员42人，采用分层抽样的方法在全体运动员中抽出28人进行体质测试，则抽到进行体质测试的男运动员的人数为：=16．故答案为：16．14．（5分）设有两个命题，p：关于x的不等式a x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是或a≥1．【解答】解：p：关于x的不等式a x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}，则0＜a＜1；q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，a=0时不成立，a≠0时，则，解得．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p与q必然一真一假．∴，或，解得则实数a的取值范围是．故答案为：或a≥1．15．（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为﹣42．【解答】解：先求的展开式中常数项以及含x﹣2的项；由8﹣2r=0得r=4，由8﹣2r=﹣2得r=5；即的展开式中常数项为C84，含x﹣2的项为C85（﹣1）5x﹣2∴的展开式中常数项为C84﹣2C85=﹣42故答案为﹣4216．（5分）如果x、y满足不等式组，那么目标函数z=x﹣y的最小值是﹣9．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数z=x﹣y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最小，由，解得A（﹣2，7），此时z min=x﹣y=﹣2﹣7=﹣9，故答案为：﹣9．17．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中：①|BM|是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MB∥平面A1DE．其中正确的命题是①②④．【解答】解：取A1D的中点N，连结MN，EN，则MN为△A1CD的中位线，∴MN CD，∵E是矩形ABCD的边AB的中点，∴BE CD，∴MN BE，∴四边形MNEB是平行四边形，∴BM EN，∴BM为定值，M在以B为球心，以BM为半径的球面上，故①正确，②正确；又NE⊂平面A1DE，BM⊄平面A1DE，∴BM∥平面A1DE，故④正确；由勾股定理可得DE=CE=2，∴DE2+CE2=CD2，∴DE⊥CE，若DE⊥A1C，又A1C∩CE=C，∴DE⊥平面A1CE，又A1E⊂平面A1CE，∴DE⊥A1E，而这与∠AED=45°矛盾．故③错误．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（12分）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．数据分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是7．（Ⅰ）求这次铅球测试成绩合格的人数；（Ⅱ）若参加测试的学生中9人成绩优秀，现要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知学生a、b的成绩均为优秀，求两人a、b至少有1人入选的概率．【解答】解：（Ⅰ）第6小组的频率为1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，∴此次测试总人数为（人）．∴第4、5、6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）．（Ⅱ）设成绩优秀的9人分别为a，b，c，d，e，f，g，h，k，则选出的2人所有可能的情况为：ab，ac，ad，ae，af，ag，ah，ak；bc，bd，be，bf，bg，bh，bk；cd，ce，cf，cg，ch，ck；de，df，dg，dh，dk；ef，eg，eh，ek；fg，fh，fk；gh，gk；hk．共36种，其中a、b到少有1人入选的情况有15种，∴a、b两人至少有1人入选的概率为．19．（12分）已知向量=（sinx，﹣1），向量=（cosx，﹣），函数f（x）=（+）•．（1）求f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A和b．【解答】解：（1）∵向量=（sinx，﹣1），向量=（cosx，﹣），∴f（x）=（+）•=sin2x+1+sinxcosx+=+1+sin2x+=sin2x﹣cos2x+2=sin（2x﹣）+2，∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期T==π；（2）由（1）知：f（x）=sin（2x﹣）+2，∵x∈[0，]，∴﹣≤2x﹣≤，∴当2x﹣=时，f（x）取得最大值3，此时x=，∴由f（A）=3得：A=，由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，∴12=b2+16﹣4b，即（b﹣2）2=0，∴b=2．20．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD是菱形，且PD=DA=2，∠CDA=60°，过点B作直线l∥PD，Q为直线l上一动点．（1）求证：QP⊥AC；（2）当面PAC⊥面QAC时，求三棱锥Q﹣ACP的体积．【解答】证明：（1）由题意知直线QP在面ABCD上的射影为DB，又菱形ABCD中DB⊥AC，由三垂线定理知QP⊥AC．解：（2）△PAC和△QAC都是以AC为底的等腰三角形，设AC和BD的交点为O，连接OP、OQ，则OP⊥AC，OQ⊥AC，∴AC⊥面POQ．面PAC⊥面QAC知：OP ⊥OQ．在Rt△POD中，，设QB=x，则Rt△OBQ中，，在直角梯形PDBQ中，，在△POQ中，，故，解得，即．同时，，∴三棱锥Q﹣ACP的体积．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx（x＞0）．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若对任意x∈（0，+∞），f（x）≥恒成立，求实数m的最大值．【解答】解析：（1）f'（x）=lnx+1，f′（x）＞0⇒x＞，f′（x）＜0⇒0＜x＜∴f（x）的单调增区间是，单调减区间是．∴f（x）在处取得极小值，极小值为．（2）由变形，得恒成立，令，，由g'（x）＞0⇒x＞1，g'（x）＜0⇒0＜x＜1．所以，g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．所以，g（x）min=g（1）=4，即m≤4，所以m的最大值是4．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆C'：=1的一个焦点重合，点A（x0，2）在抛物线上，过焦点F的直线l交抛物线于M、N两点．（1）求抛物线C的方程以及|AF|的值；（2）记抛物线C的准线与x轴交于点B，若，|BM|2+|BN|2=40，求实数λ的值．【解答】解：（1）依题意，椭圆中，a2=6，b2=5，故c2=a2﹣b2=1，故，则2p=4，可得抛物线C的方程为y2=4x．将A（x0，2）代入y2=4x，解得x0=1，故．（2）依题意，F（1，0），设l：x=my+1，设M（x1，y1）、N（x2，y2），联立方程，消去x，得y2﹣4my﹣4=0．所以，①且，又，则（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），即y1=﹣λy2，代入①得，消去y2得，易得B（﹣1，0），则，则===（m2+1）（16m2+8）+4m•4m+8=16m4+40m2+16，当16m4+40m2+16=40，解得，故．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）23．（10分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=sin（）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于M、N两点，求M、N两点间的距离．【解答】解：（1）将曲线C的极坐标方程化为ρ=sin（）=cosθ+sinθ两边都乘以ρ，得ρ2=ρcosθ+ρsinθ因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y 2代入上式，得方求曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣x﹣y=0（2）直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t得普通方程：4x﹣3y+1=0，将圆C的极坐标方程化为普通方程为：x2+y2﹣x﹣y=0，所以（）为圆心，半径等于所以，圆心C到直线l的距离d=所以直线l被圆C截得的弦长为：|MN|=2 =．即M、N两点间的距离为．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x+4|﹣|x﹣1|．（1）解不等式f（x）＞3；（2）若不等式f（x）+1≤4a﹣5×2a有解，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得，则当x≤﹣4时，不成立；当﹣4＜x＜1时，2x+3＞3，解得0＜x＜1；当x≥1时，5＞3成立，故原不等式的解集为{x|x＞0}．（2）根据题意可得的最小值为﹣5，由即f（x）≤4a﹣5×2a﹣1有解，∴4a﹣5×2a﹣1≥﹣5，即4a﹣5×2a+4≥0，即2a≥4或2a≤1，∴a≥2或a≤0，故实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[2，+∞）．。