高中数学 不等式的解法

那么，不等式 ax2+bx+c>0
x1 x2 b 2 a
ax2+bx+c<0
的解集是
y
{x | x b 2 a}
而不等式
的解集是空集
。
o
例2、解不等式 4x2 - 4x+1>0 解： 因为 0 ，方程的解是 所以，不等式的解集是 提问：
x
x1 x2 1 2
{x | x 1 2}
解 ：解集情况如图（ 因为 0 5 ，方程 ）所示 的解是: 所以该不等式的解集为
0时，
y
{x | x1 x x2 }
x1
o
x2
x
x1 1 2 , x2 0
图（5）
。8 。
{x | x 12 , 或x 2}
(2)、 当 0时，
此时抛物线与轴只有一个定点。 即方程有两个相等的实数根 ：
y y o x o7 。
（1）当
此时抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴有 两个交点，即方程有两个不相的实数根 x1 ， x2 2 一元二次不等式 ax 2 bx c 0 与 ax bx c 0 2 ax bx c 0 的解集是 那么，不等式 的解集情况如下： {x | x x1 , 或x x2 } 2 2- 3x- 2 > 0 例1、 解不等式 2x 不等式 ax bx c 0 的解集是
3
由对应值表与图象，可以知道： 一元一次不等式 2x -7 <0 的解集是{x |x<3.5 } 当x=3.5时，y=0，即2x-7=0 一元一次不等式 2x，即 -7 >0 的解集是{x| x>3.5 } 当x<3.5时，y<0 2x-7<0 -7 当x>3.5时，y>0，即2x-7>0
。3 。
二、 一般地，设直线y=ax+b与x轴的交点 ( x0 ,0) 就有如下结果： 1、一元一次方程的解是x0 2、 (1) 当a > 0 时， y 一元一次不等式 ax+b>0 的解集是 y {x | x x0 } 如图（1）所示 一元一次不等式 ax+b<0 的解集是 {x | x x0 } 如图（2）所示 x
o x0 x0 o x
图（1）
图（2）
。4 。
(2) 当a < 0 时，
一元一次不等式 ax+b>0 的解集是
{x | x x0 }
y
如图（3）所示
一元一次不等式 ax+b<0 的解集是 y {x | x x0 } 如图（4）所示
o
x0
x
o x0
x
图（3）
图（4）
。5 。
一、由二次函数的图象和解来推相应的一元二次 不等式的解， 让我们先来看一个例子：
y

o
x
我们刚才都讲了关于 a 0 的情况， 那么对于 a 0 的情况 ，我们该如何解决呢？
。10 。
（2）当a<0时 对于二次项系数是负数的不等式，可以 先把二次项系数化在正数，再按照 a > 0 的方法求解，还原即可。 下面，我们来看一个 a < 0 的例子： 例4、解不等式 -3x2+6x > 2 解： 将不等式整理，可得 x1 o
相反的，4x2-4x+1<0 的解集是多少？
。9 。
2 此时抛物线 y ax bx c （3）当 0 时， 与x轴没有交点，即方程无实根。 2 那么，不等式 ax bx c 0 的解集是 R
而不等式 ax 2 bx c 0 的解集是
2

例3、解不等式 x 2 x 3 0 解： 因为 0 ，方程 x 2 2 x 3 0 无实数解 所以，不等式 x 2 2 x 3 0 的解集是
{
{
的解集的并集，由
o
-3 -2 -1
0
1
2
3
4
y
3
x
。6 。
二、 我们知道 ，对于一元二次方程 ax 2 bx c 0 其中 a 0 ，设 b 2 4ac ，它的解按照 (1) 当a>0时，
0
0
0
分为三种情况。相应地，抛物线 y ax 2 bx c y 与 x 轴的相关位置也可分为三种情况：
1、 形如的一元二次不等式 ( x a )( x b) 0的解法 例： 解不等式 (x+4)(x-1) < 0 该形式的不等式，即可按照前面的方法求解，也可 x40 x40 按下述方法求解，根据积的符号法则化成一次不等 可化为 与 x 1 0 x 1 0 式组。下面以一题为例，向大家展示这种解法： 因此， ( x 4)( x 1) 0 的解集是上面不等式组
y
3x 2 6 x 2 0
x2
x
因为 0 ，方程 3 x 2 6 x 2 0 的解是
x1 1
3
3 , x2 1
3
3
3
所以原不等式的解集是
{x | 1
3
3
x 1
3
}
。11 。
xa 0 ( x a )( x b ) 0 三、 形如 、 xb 不等式的解法
二次函数
y x2 x 6
的对应值表与图象如下：
x
由此可得，一元 二次方程 -x-6的解就是： y 6 0 -4 x1 = -2 -6x2 -6 = 3 -4 0 6 y=x2 同样，结合抛物线与轴的相关位置，可以得到 由对应值与图象，可以知道： -2 一元二次不等式 x2 -x-6 >0 的解集是： 当 x=-2 ，或 y=0 x2-x-6=0 {x x=3 | x 时， 2, 或 x即 3} 一元二次不等式 -x-6 <0 的解集是： 当 x<-2 ，或 x2 x>3 时， y>0 即 x2-x-6>0 {时， x | 2 x 3 } x2-x-6<0 当 -2<x<3 y<0 即
普通高级中学数学第一册（上）
想一想 ax2+bx+c>0 的解集？
一 、由一次函数和一元一次不等式的关系导入 一次函数和一元一次不等式有什么关系呢？下面我们先 来看一个例子： 一次函数 Y=2X-7
其对应值表与图象如下
X
2 2.5
3 3.5
4 4.5
5
y Y=2x-7 o 3.5 x
Y 结合函数与坐位轴的关系，可以得出： -3 -2 -1 0 1 2