解三角形高考大题-带答案汇编
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解三角形高考大题,带答案
1. (宁夏17)(本小题满分12分)
如图,ACD △是等边三角形,ABC △是等腰直角三角形,
90ACB =∠,BD 交AC 于E ,2AB =.
(Ⅰ)求cos CAE ∠的值; (Ⅱ)求AE .
解:(Ⅰ)因为9060150BCD =+=∠,
CB AC CD ==,
所以15CBE =∠.
所以6cos cos(4530)4
CBE =-=∠. ···················································· 6分 (Ⅱ)在ABE △中,2AB =, 由正弦定理
2
sin(4515)sin(9015)
AE =-+.
故2sin 30
cos15
AE
=
12
4
⨯
=
= 12分
2. (江苏17)(14分) 某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处,已知AB=20km ,BC=10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界),且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO 、BO 、OP ,设排污管道的总长为ykm 。
(1)按下列要求写出函数关系式:
①设∠BAO=θ(rad ),将y 表示成θ的函数关系式; ②设OP=x (km ),将y 表示成x 的函数关系式;
(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短。
【解析】:本小题考查函数的概念、
解三角形、导数等基本知识,考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。
(1)①由条件知PQ 垂直平分AB ,若∠BAO=θ(rad ),则
cos cos OA BAO θ
=
=∠,
故10
cos OB θ
=
又1010OP tan θ=-,所以1010
1010cos cos y OA OB OP tan θθθ
=++=
++- B
A
C
D
E
B
所求函数关系式为2010sin 10
(0)cos 4
y θ
π
θθ
-=
+≤≤
②若OP=x (km ),则OQ=10-x
,所以OA OB ===
所求函数关系式为(010)y x x =+≤≤
(2)选择函数模型①,22
10cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)
'cos cos y θθθθθθθ
-----== 令'0y =得1sin 2θ= 046
ππ
θθ≤≤∴=
当(0,)6πθ∈时'0y <,y 是θ的减函数;当(,)64
ππ
θ∈时'0y >,y 是θ的增函数;
所以当6
πθ=
时,min 1
20101010y -⨯
=+= 此时点
O 位于线段AB 的中垂线上,且距离AB 边3
km 处。 3. (辽宁17)(本小题满分12分)
在ABC △中,内角A B C ,,对边的边长分别是a b c ,,,已知2c =,3
C π
=. (Ⅰ)若ABC △,求a b ,; (Ⅱ)若sin 2sin B A =,求ABC △的面积. 解:(Ⅰ)由余弦定理得,2
2
4a b ab +-=
, 又因为ABC △
1
sin 2
ab C =4ab =. ·
······················· 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩
,
,解得2a =,2b =. ·············································· 6分
(Ⅱ)由正弦定理,已知条件化为2b a =, ························································· 8分
联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨
=⎩,,
解得
a =
b =
所以ABC △的面积1sin 23
S ab C =
=. ····················································· 12分 4.(全国Ⅰ17)(本小题满分12分)
设ABC △的内角A B C ,,所对的边长分别为a b c ,,,且cos 3a B =,sin 4b A =. (Ⅰ)求边长a ;
(Ⅱ)若ABC △的面积10S =,求ABC △的周长l . 解:(1)由cos 3a B =与sin 4b A =两式相除,有:
3cos cos cos cot 4sin sin sin a B a B b B B b A A b B b
====
又通过cos 3a B =知:cos 0B >, 则3cos 5B =
,4sin 5B =, 则5a =. (2)由1
sin 2
S ac B =
,得到5c =. 由222
cos 2a c b B ac
+-=,
解得:b =
最后10l =+.
5.(全国Ⅱ17)(本小题满分10分) 在ABC △中,5cos 13
A =-
,3
cos 5B =.
(Ⅰ)求sin C 的值;
(Ⅱ)设5BC =,求ABC △的面积.
解:(Ⅰ)由5cos 13
A =-
,得12sin 13A =,
由3cos 5B =,得4
sin 5
B =. ··········································································· 2分
所以16
sin sin()sin cos cos sin 65
C A B A B A B =+=+=. ····································· 5分
(Ⅱ)由正弦定理得45sin 13512sin 313
BC B AC A ⨯
⨯==
=. ··········································· 8分 所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯8
3
=. ·
···················· 10分 6. (上海17)(本题满分13分)
如图,某住宅小区的平面图呈扇形AOC .小区的两个出入口设置在点A 及点C 处,小区里 有两条笔直的小路AD DC ,,且拐弯处的转角为120.已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟,从D 沿DA 走到A 用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,求该扇形的半径OA 的长(精确到1米).
【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意,得
CD =500(米),DA =300(米),∠CDO=0
60
在CDO ∆中,2
2
2
2cos 60,CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅=……………6分