解三角形角边互化训练答案
解三角形练习题及答案
解三角形练习题及答案一、解三角形练习题1. 已知三角形ABC，AB=5cm，AC=8cm，BC=7cm，求角A的大小。
2. 已知三角形DEF，DE=6cm，EF=9cm，DF=12cm，求角D的大小。
3. 已知三角形GHI，GH=5cm，HI=5cm，GI=7cm，求角G的大小。
4. 已知三角形JKL，JK=8cm，KL=10cm，JL=12cm，求角K的大小。
5. 已知三角形MNO，MN=4cm，NO=6cm，MO=8cm，求角M的大小。
二、解三角形练习题答案1. 解题过程：根据已知条件，我们可以使用余弦定理来求解角A的大小。
余弦定理公式为：cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2b*c)其中，a、b、c分别表示三角形对应边的长度。
代入已知条件可得： cos(A) = (7^2 + 8^2 - 5^2) / (2*7*8)= (49 + 64 - 25) / 112= 88 / 112≈ 0.786通过查表或计算器的反余弦函数，可以得到角A的近似值为38°。
2. 解题过程：同样利用余弦定理，我们可以求解角D的大小。
代入已知条件可得：cos(D) = (9^2 + 12^2 - 6^2) / (2*9*12)= (81 + 144 - 36) / 216= 189 / 216≈ 0.875通过反余弦函数，可以得到角D的近似值为 30°。
3. 解题过程：同理，利用余弦定理求解角G的大小。
代入已知条件可得：cos(G) = (5^2 + 7^2 - 5^2) / (2*5*7)= (25 + 49 - 25) / 70= 49 / 70≈ 0.7通过反余弦函数，可以得到角G的近似值为 45°。
4. 解题过程：利用余弦定理求解角K的大小。
代入已知条件可得：cos(K) = (10^2 + 12^2 - 8^2) / (2*10*12)= (100 + 144 - 64) / 240= 180 / 240= 3 / 4= 0.75通过反余弦函数，可以得到角K的近似值为 41.4°。
专题59 边角转化解三角(解析版)
专题59 边角转化解三角一、单选题1．设ABC 的内角，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a b +=，sin 2sin A B =，则角C =（ ）A ．6πB ．3πC ．D ．56π 【答案】B【分析】由正弦定理得出边,,a b c 之间的关系，再由余弦定理求得cos C ，由角的范围可得选项.【详解】根据正弦定理，由sin 2sin A B =，得2a b =，又a b +=，所以令2a t =，b t =，c =，0t >. 由余弦定理可得())22221cos 222t t C t t +-==⨯⨯，又故0C π<<，所以3C π=. 故选：B.2．在锐角ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b，若2sin a B =，则A ∠等于（ ） A ．60︒B ．120︒C ．30D ．150︒【答案】A【分析】由条件结合正弦定理可得，然后得到sin A =即可选出答案. 【详解】因为2sin a B =所以由正弦定理可得，因为sin 0B ≠，所以sin A =因为角A 为锐角，所以故选：A3．在锐角ABC 中，内角、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若4cos abC b a +=，则（）A ．1B ．12 C ．4 D ．2【答案】D【分析】利用正、余弦定理角化边，运用同角三角函数关系切化弦，化简解出即可【详解】锐角ABC 中，4cos b a C a b +=，由余弦定理可得，化简得：2222a b c +=，又22222222222c ab c ab a b c c c =⋅==+--．故选：D4．ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别是，B ，C ，若2sin b a B =，则角A =（ ）A ．30B ．150︒C ．60︒或120︒D ．30或150︒ 【答案】D【分析】利用正弦定理的边角互化即可求解.【详解】在ABC 中，由正弦定理知 则sin sin 1sin 2sin 2a B a B Ab a B ⋅⋅===⋅， 因为角是ABC 的内角，所以0180A <<︒︒，所以角等于30或150︒．故选：D ．5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角，B ，C 的对边，若，则B =（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 【答案】C【分析】根据条件由正弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理可得得出答案.【详解】 由，得a b c a c a b-=-+，可得222a b ac c -=-所以222a cb ac +-=，则2221cos 222a c b ac B ac ac +-=== 又0B π<<，所以3B π=故选：C 6．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2sin sin sin B A C =+，3cos 5B =，ABC 的面积等于6，则b =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C【分析】利用正弦，余弦定理将角化边，结合三角形面积公式，列方程求解即可.【详解】 2sin sin sin B A C =+2b a c ∴=+① 3cos 5B = 222325a cb ac +-∴=② ()0,B π∈4sin 5B ∴= 据题设可得14625ac ⨯=③ 由①②③解得4b =故选：C7．在ABC 中，a 、b 、c 分别为ABC 的内角、B 、C 的对边，2sin (sin sin )3sin A A B C B +=23sin C +，则角C 的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】A【分析】由正弦定理将角化边，即可得到222sin 33C b c a =+-，再由余弦定理2222cos c a b ab C =+-⋅，即可得到626cos b a C C a b+=+，再利用辅助角公式及基本不等式即可得到)3C π+= 【详解】解：因为22sin (sin sin )3sin 3sin A A B C B C +=+由正弦定理可得22(sin )33a a C b c +=+，即222sin 33C b c a =+-，又由余弦定理可知2222cos c a b ab C =+-⋅，则，则626cos b a C C a b +=+33cos b a C C a b+=+，3cos )3C C C π+=+≤33cos b a C C a b +=+≥=，当且仅当3b a a b=时取等号，∴)3C π+=32C ππ+=，6C π=，故选：A.【点睛】 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.8．已知ABC ∆的内角、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足4A π=，a =222cos cos sin sin sin B C A A B --=-⋅，则边长b 的值为（ ）A ．4B ．2C D 【答案】D【分析】由同角三角函数的平方关系、正弦定理、余弦定理可求出cos C 的值，可求得角C 的值，利用三角形的内角和定理可求得角B 的值，再利用正弦定理可求得b 的值.【详解】222cos cos sin sin sin B C A A B --=-⋅，则()()2221sin 1sin sin sin sin B C A A B ----=-⋅，即222sin sin sin sin sin C B A A B --=-⋅，由正弦定理得222c b a ab --=-，所以，222a b c ab +-=，2221cos 222a b c ab C ab ab +-∴===， 0C π<<，3C π∴=， 又4A π=，则512B π=，且.又，所以，sin 2sin a b B A =⋅==， 故选：D.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.9．ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则A 的最大值是（ ）A ．56πB ．23πC ．6πD ．3π 【答案】C【分析】先根据题中条件，由正弦定理，得到，sin 2cos sin A B C =-，由两角和的正切公式，得出22tan tan 13tan C A C=+，利用基本不等式，即可得出结果. 【详解】因为，由正弦定理可得，则，所以，因为A ，B ，C 为ABC 的内角，则，，所以cos 0B <，则2B ππ<<，所以、C 都为锐角；又由可得，即tan 3tan =-B C ，则()2tan tan 2tan tan tan 1tan tan 13tan B C C A B C B C C+=-+=-=-+， 令tan 0x C =>，则222tan 1133x A x x x ==≤=++， 当且仅当13x x =，即3x =时，等号成立； 所以()max tan A =，因此的最大值为6π. 故选：C.【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于利用正弦定理，结合三角恒等变换，得到22tan tan 13tan C A C=+，再利用基本不等式，求解即可.（求解时，要注意角的范围）.10．在ABC 中，角，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，且，则ABC 周长的取值范围是（ ）A ．(2,4)B ．(4,6)C ．(2,6) D．2,6) 【答案】B【分析】把已知式中2换成a 后用正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得2A B =，然后由正弦定理把,b c 用角B 表示，得周长的表达式，求出B 角范围后可得周长的范围，【详解】因为2a =，，所以，所以，所以，则B A B =-，即2A B =.由正弦定理可得，则，，故ABC 的周长1124cos 4cos 2cos cos l a b c B B B B=++=++-=+. 因为0π,02π,0π3π,B B B <<⎧⎪<<⎨⎪<-<⎩解得π03B <<，则1cos 12B <<，故ABC 的周长()4,6l ∈. 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理，解题关键是把已知等式中的2用边a 替换，这样可用正弦定理进行边角转化，化边为角，从而求得2A B =，然后可得B 角范围，同时再用正弦定理求出边,b c （表示为B 的函数），从而可求得周长的范围．11．在ABC 中，角，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6a =cos 3sin A a B =，则ABC 面积的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】用正弦定理化边为角，求出tan A ，sin A ，cos A ，再用余弦定理求出,b c 的关系，由基本不等式得bc 的最大值，从而可得三角形面积的最大值．【详解】cos 3sin A a B =，所以，所以，即tan A =，sin A =3cos 4A =. 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即223362b c bc =+-31222bc bc bc ≥-=，则72bc ≤，故ABC 的面积11sin 72224S bc A =≤⨯⨯=故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查求三角形面积的最值，应用的知识较多：正弦定理进行边角转换，同角间的三角函数关系，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式等．要求掌握所有的知识点才能正确求解，本题属于中档题．12．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a c =，cos C =，则（ ） A ．27 B ．47 C ．57 D ．67【分析】根据同角的三角函数关系式，结合正弦定理进行求解即可. 【详解】因为角C 是三角形的内角，所以(0,)C π∈，由cos C =，可得：3sin 7C ===，由正弦定理可知：，因为2a c =，3sin 7C =， 所以6sin 2sin 7A C ==. 故选：D二、多选题13．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列说法中正确的是（ ） A ．若A B >，则B ．若sin 2sin 2A B =，则A B =C ．若，则ABC 为钝角三角形D ．若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC 为直角三角形 【答案】ACD 【分析】根据正弦定理与余弦定理，可判断AC 选项；根据诱导公式及三角形的性质，可判断B 选项；根据三角恒等变换和正弦定理，可判断D 选项.A 选项，在ABC 中，大边对大角，由AB >可得a b >，利用正弦定理，可得；故A 正确； B 选项，在ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，所以A B =或2A B π+=；故B 错；C 选项，若，则222cos 02a b c C ab+-=<，所以角C 为钝角，即ABC 为钝角三角形；故C 正确；D 选项，若cos cos sin b C c B a A +=，则2sin cos sin cos sin B C C B A +=，所以()2sin sin B C A +=，则2sin sin A A =，又为三角形内角，所以，则2A π=.故选：ACD.14．下列说法正确的是（ ） A ．在ABC 中，若，则A B >． B ．在ABC 中，．C ．在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．D ．在ABC 中，已知40b =，20c =，60C =︒，则此三角形有一解． 【答案】ABC 【分析】根据正弦定理和余弦定理，逐项判定，即可得出结果. 【详解】A 选项，因为，根据正弦定理，可得a b >，由三角形的性质，大边对大角，所以AB >，故A 正确； B 选项，在ABC 中，由正弦定理可得（R 为ABC 外接圆半径），所以，故B 正确；C 选项，在三角形中，若已知两边与两边夹角，可直接根据三角形面积公式求三角形面积；若已知两边一邻角，可根据余弦定理，先求出第三边，再根据三角形面积公式即可求出三角形面积；即在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．故C 正确；D 选项，在ABC 中，已知40b =，20c =，60C =︒，由正弦定理可得：40sin 2sin 120b CB c===>，显然不成立，所以此三角形不存在，故D 错.故选：ABC.三、解答题15．在①，②cos cos 2b C c B π⎛⎫-=⎪⎝⎭，③sin cos B B +=题中，若问题中的三角形存在，求ABC 的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC ，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且6A π=，__________，4b =？【答案】答案见解析. 【分析】选择①结合余弦定理和正弦定理求出2a =，2B π=，c =即可求出三角形面积；选择②由正弦定理可得，从而可求出B 的大小，再结合正弦定理可求出a ，从而可求出三角形的面积；选择③由辅助角公式可求出4B π=，结合正弦定理可求出a =.【详解】选择①：由余弦定理可知，222222cos cos 222a c b a b c c B b B c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==，由正弦定理得，sin sin 1b A B a==，又()0,B π∈，所以2B π=，所以ABC 是直角三角形，则c =，所以ABC 的面积12S ac ==. 选择②：由正弦定理得，sin cos sin cos 2B C C B π⎛⎫-=⎪⎝⎭，即， 又，所以sin 0C ≠，所以sin cos B B =，即， 又()0,B π∈，所以4B π=.由正弦定理得，，所以ABC 的面积.选择③：因为sin cos 4B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又(0,)B π∈，所以，所以，42B ππ+=，即4B π=.由正弦定理得，， 所以ABC 的面积. 【点睛】 思路点睛：三角形相关问题，若已知条件中既有边又有角，则常运用正弦定理进行边角互换，偶尔也会用到余弦定理或余弦定理的变形形式进行边角互换.16．从条件①22cos b a c A -=，②tan cos cos c C a B b A -=，③4cos 5c B a b -=中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答．在ABC 中，内角，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，b =________，求ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分． 【答案】答案见解析.【分析】若选①，利用余弦定理可得222a b c ab +-=，求出角后可计算三角形的面积. 若选②，利用正弦定理可得，求出角后可计算三角形的面积. 若选③，利用正弦定理可得4cos 5C =-，求出角的正弦后可计算三角形的面积. 【详解】解：选择①，因为22cos b a c A -=， 所以由余弦定理得， 所以222a b c ab +-=，所以由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，而C 为三角形内角，所以sin C =，所以ABC 的面积为113sin 12224ab C ⋅=⨯=． 选择②，因为tan cos cos c C a B b A -=， 所以由正弦定理得， 所以．又0C π<<，所以sin 0C ≠，所以，而C 为三角形内角，所以π4C =，所以sin 2C =，所以ABC 的面积为11sin 12224ab C ⋅=⨯=选择③，因为4cos 5c B a b -=， 所以由正弦定理得4sin cos sin sin 5C B A B -=， 即5sin cos 5sin()5sin cos (5sin cos 5cos sin )4sin C B B C C B B C B C B -+=-+=，所以．又0B π<<，所以sin 0B ≠， 所以4cos 5C =-，而C 为三角形内角，所以3sin 5C =，所以ABC 的面积为113sin 122510ab C ⋅=⨯=． 【点睛】思路点睛：在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.17．在ABC 中，角，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3a =，2b =，sin sin 14A B +=． （1）求的值；（2）若ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积．【答案】（1）7；（2）2. 【分析】（1）根据正弦定理，由题中条件，求出ABC 外接圆的半径，进而可求出；（2）先由（1）求出cos B ，根据余弦定理，求出c 的值，并检验，再由三角形面积公式，即可得出结果. 【详解】（1）根据正弦定理，由sin sin A B +=可化为22a b R R +=R 为ABC 外接圆半径），因为3a =，2b =，所以2R =则sin 273b B R ===；（2）因为ABC为锐角三角形，所cos 7B ==， 由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-2120c -+=，解得c =c =当c =时，222a b c >+，此时为钝角，舍去．所以c =18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c且满足)cos cos a C c A -= （1）求角C 的大小；（2）若a=bc ，求△ABC 的面积【答案】（1）π4C =；（2）16. 【分析】（1）利用正弦定理把)cos cos a C c A -= 中边统一成角，然后利用三角函数公式化简可求出角C 的值；（2）利用余弦定理求出c 的值，再利用面积公式可求得结果 【详解】解：（1）∵)cos cos a C c A -= ，∴由正弦定理有， ∴，∵0πB <<，∴sin 0B ≠，∴cos C =π4C =． （2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，∴222)22c =+-⨯⨯∴2320c -+=，∴c =∴8b ==，∴11sin 816222ABC S ab C ==⨯=△．19．在ABC 中，角，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，4b c =.（1）求tan C 的值；（2）若a =，求ABC 的面积.【答案】（12【分析】(1)7sin 2C C =，进而得解； (2)根据已知条件，利用余弦定理2222cos a b c bc A =+-求得c 的值，进而利用面积公式计算. 【详解】（1）由正弦定理可得， 由4b c =，可得sin 4sin B C =. 因为3A π=，所以23B C π+=， 故2sin 4sin 3C C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 4sin 2C C C +=，7sin 2C C =，得tan C =. （2）在ABC 中，由余弦定理，得22222212cos 1624132a b c bc A c c c c c =+-=+-⨯⨯⨯=，又因为a =，所以1c =，4b =，所以ABC 的面积为1sin 2S bc A ==【点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积公式，涉及两角差的正弦公式和同角三角函数的关系，属基础题,关键是利用正弦定理将边的关系化为角的正弦的关系和根据已知条件选择合适的余弦定理的形式求得c 的值, 20．在ABC 中，角，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，. （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若ABC 为锐角三角形，且2a =，求ABC 周长的取值范围. 【答案】（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）根据，利用正弦定理化简得到222b c a bc +-=，然后再利用余弦定理求解.（Ⅱ）结合2a =，3A π=，在ABC 中利用正弦定理得到4sin 6B π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据ABC 为锐角三角形，求得B 的范围，利用三角函数的性质求解. 【详解】 （Ⅰ）因为，由正弦定理可得，即为222b c a bc +-=.由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为()0,A π∈，所以3A π=.（Ⅱ）在ABC 中由正弦定理得sin sin sin3ab cB C π==，又2a =，所以b B ，， 所以，3sin 2B B ⎫=+⎪⎪⎝⎭， 4sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为ABC 为锐角三角形， 所以，且()3B b c π≠≠， 所以62B ππ<<且3B π≠， 所以2363B πππ<+<且62B ππ+≠， 所以，所以()b c +∈，所以ABC 周长a b c ++的取值范围是.【点睛】易错点点睛：第二问在确定角B 的范围时，容易忽视sin sin 0B C -≠，结合3A π=即3B π≠的条件.21．在ABC 中，内角、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin tan a B b A =.（1）求的值；（2）若a =，，求ABC 的周长.【答案】（1）3π；（2）5+【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得1cos 2A =，结合范围()0,A π∈，可求的值.（2）由已知可得()45bc b c =+，又由余弦定理可得2213b c bc +-=，联立解得b c +的值，即可得解三角形的周长.【详解】 解：（1）由题意可得sin 2sin cos b A a B A =，可得sin cos 2sin b A A a B =， 由正弦定理可得，因为()0,A π∈，可得3A π=.（2）由，可得()45bc b c =+， 又由余弦定理可得2213b c bc +-=，可得()2313b c bc +-=， 可得212()()135b c b c +-+=，解得5b c +=，或135b c +=-（舍去），故ABC 的周长为522．在ABC 中，3B π∠=，b =______，求BC 边上的高.在①sin 7A =；②sin 3sin A C =；③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【分析】选①，先根据正弦定理得2a =，再根据余弦定理得3c =，进而得BC 边上的高为sin h c B ==； 选②，由sin 3sin A C =得3a c =，进而根据余弦定理得1c =，进而得BC 边上的高为sin 2h c B ==；选择③，由2a c -=得2a c =+，进而由余弦定理得1c =，进而得BC边上的高为sin h c B =. 【详解】解：选择①， 在ABC7=，解得2a =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即22172222c c =+-⨯⨯⨯， 化简得2230c c --=，解得3c =或（舍去）； 所以BC边上的高为sin 3h c B ===选择②，在ABC 中，由正弦定理得，又因为sin 3sin A C =，所以，即3a c =；由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即2217(3)232c c c c =+-⨯⨯⨯， 化简得277c =，解得1c =或（舍去）；所以BC边上的高为sin 1h c B ===选择③，在ABC 中，由2a c -=，得2a c =+；由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即2217(2)2(2)2c c c c =++-⨯+⨯⨯ 化简得2230c +c -=，解得1c =或3c =-（舍去）；所以BC 边上的高为sin 122h c B ==⨯=. 【点睛】本题解题的关键在于应用正余弦定理的方程思想计算出边c ，进而根据BC 边上的高为sin h c B =求解，考查运算求解能力，是基础题.23．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos cos a C c B b C =+（1）求角C 的正弦值；（2）若2c =，求+a b 的最大值．【答案】（1）；（2）4.【分析】(1)利用正弦定理化简边角关系式后可得1cos 2C =，从而可求得角C 的正弦值； (2)利用正弦定理将三角形的边转化为角，利用三角函数的值域可求得所求的最值.【详解】解：（1）∵2cos cos cos a C b C c B =+，∴，∵0A π<<，∴．∴1cos 2C =，0C π<<，∴3C π=，∴sin 2C =；（2）∵2c =，∴2sin sin sin sin 3c b a C B A π====23A B C ππ+=-=，∴2sin sin sin sin sin sin 3c c a b A B A A C C π⎫⎛⎫+=+=+- ⎪⎪⎝⎭⎭4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∵203A π<<，∴， 当62A ππ+=，即3A π=时，max ()4a b +=．【点睛】方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式. （4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.24．在ABC 中，角，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin c A B b a A C +=-+. （1）求角B 的大小.（2）若ABC S =BA BC ⋅的值.【答案】（1）23π；（2）-4. 【分析】（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求得B 角；（2）由三角形面积公式得ac ，再由数量积的定义求得数量积．【详解】（1）∵sin sin sin sin c A B b a A C+=-+，∴由正弦定理：， ∴222ac c b a +=-，222c a b ac +-=-.由余弦定理：∴2221cos 222c a b ac B ac ac +-==-=-. ∵)(0,B π∈，∴23B π=.（2）由1sin 24ABC S ac B ac ===，8ac =，. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理和余弦定理，三角形面积公式，解三角形时，边角出现在一个等式中，常常利用正弦定理进行边角互化，化角后应用三角性等变换公式化简，化边后，一种利用代数式的运算进行变形，一种利用余弦定理求角．25．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若.（1）求角B ；（2）若4a c +=，求ABC 周长的最小值，并求出此时ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）6【分析】（1）利用正弦定理余弦定理化简即得解；（2）利用基本不等式求出2b ≥，即得ABC 周长的最小值和此时ABC 的面积.【详解】（1）∵，由己知结合正弦定理可得22()a c a c b -+=，∴222a c b ac +-=， ∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-===， ∵(0,)B π∈， ∴3B π=.（2）∵22222cos ()3163b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-，即2316ac b =-， ∴221632a c b +⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，解得2b ≥，当且仅当2a c ==时取等号， ∴min 2,b ABC =周长的最小值为6，此时ABC 的面积1sin 2S ac B ==【点睛】 方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法（研究函数的单调性求出最值）；（2）导数法（利用导数求出函数的单调性得到函数的最值）；（3）数形结合法（把数和形结合起来求出函数的最值）；（4）基本不等式法（利用基本不等式法求函数的最值）.26．已知在ABC 中，角、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且.（1）求角的大小；（2）若a =2b =，求ABC 的面积.【答案】（1）4A π=；（2）4.【分析】 （1）利用正弦定理化边为角可得，由sin 0B ≠可得，即可求角的大小；（2）利用余弦定理求出边c ，再利用面积公式即可求解.【详解】（1）在ABC 中，A B C π++=，在ABC 中，由正弦定理得，即，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，∴，π04A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又∵0()A π∈，，∴4A π=， （2）在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，则220442c c ⎛=+-⋅ ⎝⎭，即2160c --=，解得c =或c =-(舍)，∴11sin 24222ABC S bc A =⋅=⨯⨯=. 【点睛】关键点点睛：求三角形面积的关键是利用余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅求出边c ，再利用面积公式1sin 2ABC S bc A =⋅即可求ABC 的面积. 27．已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角，B ，C 的对边，.（1）求B ；（2）若4b =，ABC 的面积为a c +.【答案】（1）3π；（2）8. 【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式可得222b a c ac =+-，由余弦定理可得1cos 2B =，结合范围0B π<<，可求B 的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求ac 的值，进而利用余弦定理可求a c +的值．【详解】（1）由，根据正弦定理可得，即222b a c ac =+-，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得，由于0B π<<，所以3B π=.（2）因为ABC 的面积为所以1sin 2ac B ==16ac =， 因为22216b a c ac =+-=，所以2232a c +=，所以8a c +==【点睛】方法点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.28．已知ABC 中，角，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22a b bc =+．（1）求证：2A B =；（2）若π6B =，2b =，点P 为ABC 所在平面内一动点，且满足，当线段BP 的长度取得最小值时，求APC △的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据余弦定理得2cos =-b A c b ，再由正弦定理得()sin sin A B B -=，由角的范围可得证； （2）由（1）和已知条件求得π2C =，π3A =，再由向量垂直的条件得点P 在以AC 为直径的圆上，且当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，再由三角函数的定义和正弦二倍角公式可求得APC △的面积．【详解】（1）∵2222cos a b c bc A =+-，22a b bc =+，∴2cos =-b A c b ，由正弦定理得2sin cos sin sin =-B A C B ，∵，代入得，，即()sin sin A B B -=，∵，B ，C 为三角形的内角，∴2A B =．（2）因为π6B =，所以π2C =，π3A =．由题意，得PA PC ⊥，点P 在以AC 为直径的圆上，∵2b =，∴4AB =，BC =设O 为AC 中点，连结BO ，则当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，此时．设∠=OCP θ，则，2sin =PA θ，2cos =PC θ，Rt BCO △中，，APC △的面积12sin cos sin 2213=⨯===S PA PC θθθ∴当BP 1-时，APC △的面积为．【点睛】关键点点睛：本题关键在于由已知条件得出点P 的轨迹，找到BP 取得最小值时，点P 的位置. 29．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知cos sin c B b C =.（1）求角B ；（2）若4,c D =为边BC 的中点，且AD =ABC 的面积.【答案】（1）4B π=；（2）8.【分析】（1）利用正弦定理边化角和同角公式可求得结果；（2）在ABD △中，根据余弦定理可求得BD =，再根据三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）因为cos sin c B b C =，所以sin cos sin sin C B B C =，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos sin B B =，即.因为0B π<<，所以4B π=.（2）在ABD △中，4,4AB AD ABD π==∠=.由余弦定理可得2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠，则2816242BD BD =+-⨯⨯⨯，即280BD -+=，解得BD =.故ABC 的面积为.【点睛】关键点点睛：第（1）问利用正弦定理边化角是解题关键，第（2）问在ABD △中，根据余弦定理求出BD 是解题关键.30．在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A C a c =. （1）求C 的大小；（2）如果6a b +=，ABC S =c 的值.【答案】（1）3C π=；（2）c =.【分析】（1）利用正弦定理边角互化，可得C 的大小；（2）利用三角形的面积公式求出ab ，利用余弦定理可得c 的值．【详解】（1）由正弦定理，sin A C a c=可化为，即tan C =又∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由ABC S =1sin 2ab C =8ab ∴=. 由余弦定理，得22222cos ()22cos 3c a b ab C a b ab ab π=+-=+--22()363812a b ab =+-=-⨯=∴c =.31．已知ABC 中，角，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足cos sin =+b a C c A .（1）求的大小；（2）若3cos 5B =，5BC =，17BD BA =，求CD 的长.【答案】（1）π4A =；（2）CD =【分析】（1）由正弦定理得，再由，代入得，可求得的大小；（2）由正弦定理，求得AC =7AB =，1BD =，利用余弦定理求得答案.【详解】解：（1）在ABC 中，由正弦定理得，又，所以即，整理得，因为sin 0C ≠可得cos sin A A =，又0A π<<， 所以π4A =； （2）在ABC中，4sin 5B ==，由4sin sin 5AC BC AC B A =⇒=，解得AC = 又因为，所以2222cos 49AB AC BC AC BC C =+-⨯⨯⨯=，得7AB =， 由17BD BA =得17BD BA =，所以1BD =， 所以2222cos 20CD BD BC BD BC B =+-⨯⨯⨯=，所以CD ==.【点睛】 关键点点睛：在运用正弦定理、余弦定理解三角形时，注意由已知条件选择合适的定理，并注意角的范围. 32．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c，a =3b =，sin 2sin C A =. （1）求c 的值；（2）求sin A 的值.【答案】（1）2.. 【分析】（1）已知sin 2sin C A =，根据正弦定理可得2c a =，即求c 的值；（2）根据余弦定理求出cos A ，根据平方关系式求sin A ，得到结果.【详解】（1）由正弦定理得sin 2sin C c a a A===（2）由（1）知c =又因为a =3b =，由余弦定理得222cos2b c a A bc +-===，又因为0A π<<，所以sin 5A =. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，解题方法如下：（1）根据正弦定理，结合题中条件，建立等量关系式，求得结果；（2）结合（1）的结论，得到c =cos A ，根据平方关系式求sin A .33．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且（1）求角A 的大小；（2）若点D 是BC 的中点，且AD =，求△ABC 的面积的最大值.【答案】（1）23π；（2）【分析】（1）由正弦定理的角化边公式化简得到222b c a bc +-=-，结合余弦定理解出角的大小；（2）利用1()2AD AB AC =+两边平方得到2221()4AD AB AC AB AC =+-⋅,再利用基本不等式得出最大值.【详解】（1）由题意得 222,b c a bc ∴+-=-()1cos ,0,2A A π∴=-∈，2.3A π∴= （2）1()2AD AB AC =+ 2221(2)4AD AB AC AB AC =++⋅221()4AB AC AB AC =+-⋅ 12(2)4AB AC AB AC ∴≥⋅-⋅,当且仅当AB AC =时，等号成立. 8,AB AC ∴⋅≤故△ABC 的面积的最大值是【点睛】用三角形中线向量进行转化是解题关键.34．已知A ，B ，C 为ABC 的三个内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若(2)cos cos b c A a C +=- （1）求A ；（2）若4a b c =+=，求ABC 的面积【答案】（1）23π；（2【分析】（1）由正弦定理将边化成角，再根据和角公式化简即可；（2）由余弦定理代入数据，求出4bc =，再由面积公式求解即可.【详解】（1）根据正弦定理得2sin cos (sin cos cos sin )B A A C A C ∴=-+即2sin cos sin()sin B A A C B =-+=- 又1sin 0,cos 2B A >=- 又20,3A A ππ<<∴=； （2）由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-⋅则222()22cos 3b c bc bc π=+--⋅11216222bc bc ⎛⎫∴=--⋅- ⎪⎝⎭4bc ∴=11sin 422∴=⋅=⨯=ABC S bc A 【点睛】本题主要考查正余弦定理的应用，涉及到三角形面积公式，属于中档题.35．ABC 的内角，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin cos2A a C c =． （Ⅰ）求；（Ⅱ）已知1b =，3c =，且边BC 上有一点D 满足3ABD ADC S S =，求AD ．【答案】（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）AD =. 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理的边角互化可得sin cos 2A A =，再利用二倍角公式即可求解. （Ⅱ）设ABD △的AB 边上的高为1h ，ADC 的AC 边上的高为2h ，根据3ABD ADC SS =可得12h h =，从而确定AD 是ABC 角的内角平分线，然后由34ABD ABC S S =△△，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）因为sin cos 2A a C c =， 由正弦定理得sin sin sin cos2A A C C =， 因为sin 0C ≠，所以sin cos 2A A =， 所以，因为，所以cos 02A ≠， 所以，即26A π=，所以3A π=． （Ⅱ）设ABD △的AB 边上的高为1h ，ADC 的AC 边上的高为2h ，因为3ABD ADC S S =，3c =，1b =， 所以1211322c h b h ⋅=⨯⋅， 所以12h h =，AD 是ABC 角的内角平分线，所以π6BAD ∠=， 因为3ABD ADC S S =，可知34ABD ABC S S =△△， 所以，所以AD =． 【点睛】关键点点睛：本题考查了正弦定理的边角互化、三角形的面积公式，解题的关键是确定AD 是ABC 角的内角平分线，考查了运算能力.36．ABC 中，内角、B 、C 的对边分别为a 、b 、c cos (2)cos B c A =. （1）求角的大小；（2）若2a =，b =ABC 的面积.【答案】（1）6π；（2或【分析】（1)2sin cos A B C A +=，然后根据A B C π+=-得出，最后根据sin 0C ≠以及0A π<<即可得出结果；（2）本题首先可根据正弦定理求出3B π=或23π，然后求出角C 的大小，最后根据解三角形面积公式即可得出结果.【详解】（1cos (2)cos B c A =，cos (2sin )cos A B C B A =-，)2sin cos A B C A +=，因为A B C π+=-，所以，因为sin 0C ≠，0A π<<，所以cos 2A =，6A π=.（2）因为2a =，b =6A π=，所以，即，解得sin B =，3B π=或23π，若3B π=，则2C π=，1=sin 2ABC S ab C △=若23B π=，则6C π=，1=sin 2ABC S ab C △=故ABC 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理边角互化的应用以及解三角形面积公式，考查两角和的正弦公式，正弦公式，解三角形面积公式1=sin 2S ab C ，考查计算能力，是中档题. 37．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知.（1）求的值；（2）若1cos 6B =，2b =，求c 的值. 【答案】（1）3；（2）2.【分析】（1）由题中条件，根据正弦定理，将原式化简整理，即可得出结果；（2）由（1）的结果，结合正弦定理，得到3c a =，再由余弦定理，根据题中条件，即可求出结果.【详解】（1）由题意，根据正弦定理可得，则，即sin cos cos sin 3(sin cos cos sin )A B A B B C B C +=+，即，即sin 3sin C A =，∴.（2）∵，∴3c a =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得：22149236a a a a =+-⨯⨯， 解得23a =， ∴32c a ==.38．在ABC 中，内角，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222b c a +=+，（1）求sin A ；（2）若ABC 外接圆的面积为16π，求边长a ．【答案】（1）1sin 2A =；（2）4a =． 【分析】（1）由题中条件，根据余弦定理，求出cos A ，进而可求出sin A ；（2）根据题中条件，先求出外接圆半径，再由正弦定理，即可求出结果.【详解】（1）由余弦定理得2222cos ,a b c bc A =+-又222b c a +=+，∴2cos bc A =，∴cos A =，又为三角形ABC 的内角，所以sin 12A ==；（2）∵ABC 外接圆的面积为16π，设该圆半径为R ，则216R ππ=，∴4R =， 由正弦定理得：28sin a R A==，所以8sin 4a A ==.四、填空题39．在ABC 中，若，则ABC 是________三角形．【答案】等腰直角【分析】根据正弦定理，结合基本不等式进行求解即可.【详解】由正弦定理可知：，因为，所以，由，当且仅当时取等号，即a b A B =⇒=，有2sin 2C ≥，所以，而，所以，π2C =，因此ABC 为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角40．在ABC 中，内角，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若()cos()cos sin a B C A C a -=-，则A =_______. 【答案】3π 【分析】先利用三角恒等变换，将原式化为，根据正弦定理，得到sin A A =，进而可求出结果.【详解】由()cos()cos sin a B C A C a -=-得cos()cos sin cos a B C a A C A -+=，则cos()cos()sin cos a B C a B C C A --+=，则即，由正弦定理可得：，又角，B ，C 为三角形内角，所以()0A B C π∈,,,，则sin A A =，即tan A =3A π=. 故答案为：3π. 41．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（其中S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边）.在非直角ABC 中，a ，b ，c 为内角，B ，C 所对应的三边，若3a =，且()cos a c B C =，则ABC 的面积最大时，c =______.【答案】3【分析】先利用正弦定理将边化为角，化简整理得b =，带入面积公式，配方可得最值．【详解】解：()cos a c B C =，()sin sin cos A C B C ∴=+， ，， ABC 非直角三角形，cos 0C ∴≠，，即b =，，当且仅当29c =，即3c =时，S 有最大值.故答案为：3．【点睛】方法点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系，注意三角形内角和的应用．五、双空题42．如图，设ABC 的内角、B 、C 的对边分别为a 、b 、c cos cos )2sin a C c A b B +=，且3CAB π∠=.若点D 是ABC 外一点，1CD =，3AD =，则当D ∠=______时，四边形ABCD 的面积的最大值为____________【答案】56π 32+【分析】利用正弦定理边角互化结合B 的取值范围可求得3B π∠=，可判断出ABC 为等边三角形，利用余弦定理求得2106cos AC θ=-，利用三角形的面积公式可得出四边形ABCD 的面积关于θ的表达式，利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得四边形ABCD 面积的最大值及其对应的θ的值，即可得解.。
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练及答案解析
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。
【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。
例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。
高三数学压轴题训练——解三角形问题的两类题型
高三数学压轴题训练——解三角形问题的两类题型解三角形问题中，边角的求解是所有问题的基本，通常有以下两个解题策略： (1)边角统一化：运用正弦定理和余弦定理化角、化边，通过代数恒等变换求解； (2)几何问题代数化：通过向量法、坐标法将问题代数化，借用函数与方程来求解，对于某些问题来说此法也是极为重要的．[典例] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知∠A ＝2π3，a ＝3c ，则cb ＝______.[思路点拨]本题条件涉及三角形边、角的数量关系，结论是求边比问题，必然通过解三角形来处理．注意正弦定理和余弦定理的灵活应用．[方法演示]法一：角化边(余弦定理)由余弦定理及a ＝3c ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2－2c 22bc ＝－12，化简得b 2＋bc －2c 2＝0，即2⎝⎛⎭⎫c b 2－c b －1＝0，解得c b ＝1或c b ＝－12(舍去)． 法二：边化角(正弦定理)由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3c ，∠A ＝2π3得sin A ＝3sin C ＝32，即sin C ＝12. 又角C 是三角形的内角，则∠C ＝π6.又∠A ＝2π3，所以∠B ＝π6，从而有c b ＝sin C sin B ＝1.法三：几何法过点C 作BA 的垂线CD ，交BA 的延长线于点D ，如图，由∠BAC ＝2π3，得∠DAC ＝π3，即在Rt △DAC 中，AD ＝12b ，CD ＝32b .由△BDC 是直角三角形，得CD 2＋BD 2＝BC 2， 即⎝⎛⎭⎫32b 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋12b 2＝a 2. 由a ＝3c ，得b 2＋bc －2c 2＝0，即2⎝⎛⎭⎫c b 2－c b －1＝0，解得c b ＝1或c b ＝－12(舍去)． 法四：坐标法根据题意，以点A 为原点，AB 为x 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意可知AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，∠CAB ＝2π3，则A (0,0)，B (c,0)，C －b 2，32b .根据两点间距离公式，BC ＝⎝⎛⎭⎫32b 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋12b 2＝a .由a ＝3c ，得b 2＋bc －2c 2＝0，即2⎝⎛⎭⎫c b 2－c b －1＝0，解得c b ＝1或c b ＝－12(舍去)． 法五：向量法由BC ―→＝AC ―→－AB ―→，得|BC ―→|2＝|AC ―→－AB ―→ |2＝|AC ―→|2－2AC ―→·AB ―→＋|AB ―→|2.又由|BC ―→|＝a ＝3c ，得3c 2＝b 2－2bc cos 2π3＋c 2，化简得b 2＋bc －2c 2＝0，即2⎝⎛⎭⎫c b 2－c b －1＝0，解得c b ＝1或c b ＝－12(舍去)．法六：特殊值法因为a ＝3c ，不妨令c ＝1，所以a ＝3，结合条件∠A ＝2π3，由余弦定理得b ＝1，于是cb ＝1.答案：1 [解题师说]本题法一、法二分别运用了余弦定理和正弦定理，这两种方法(边化角、角化边)是最基本的方法，其本质就是将题中的边、角统一，方便求解；法三运用了三角形的几何性质，回归三角形的本质；法四和法五都是将题中的边和角坐标化、向量化，将几何问题代数化，从而求出结果．易知法五和法一的本质是相同的，因为我们知道余弦定理是可以用向量法证明的．法六是抓住了条件a ＝3c 的本质，这是两个边的比例关系，通过令c ＝1将比例变为了具体数值，便于计算，也体现了基本量的思想．[应用体验]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ， 则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ， 即sin C －2cos C ＝2， 所以(sin C －2cos C )2＝4，即sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b )sin C2＝12，(a －b )cos C2＝5，则c ＝________.解析：因为(a ＋b )sin C 2＝12，(a －b )cos C2＝5，所以(a ＋b )2(1－cos C )2＝144，①(a －b )2(1＋cos C )2＝25，②由①②得2a 2＋2b 2－4ab cos C2＝169，即a 2＋b 2－2ab cos C ＝169， 由余弦定理得c 2＝169，所以c ＝13. 答案：13三角形中的最值、范围的求法(1)目标函数法：根据已知和所求最值、范围，选取恰当的变量，利用正弦定理与余弦定理建立所求的目标函数，然后根据目标函数解析式的结构特征求解最值、范围．(2)数形结合法：借助图形的直观性，利用所学平面图形中的相关结论直接判断最值、范围．[典例] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 的面积的最大值为________．[思路点拨]本题条件为三角形的边角关系式，而问题是求三角形面积的最值，势必要利用三角形的正、余弦定理、三角形的面积公式，以及三角恒等变换，再利用三角形的几何性质和均值不等式来解决最值问题．[方法演示]法一：综合运用正、余弦定理由正弦定理知(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(2＋b )(a －b )＝c (c －b )， 将a ＝2代入整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，故A ＝π3，则△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝34bc .而b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －a 2⇒bc ≤4， 所以S ＝34bc ≤3，当且仅当b ＝c ＝2时取到等号， 故△ABC 的面积的最大值为 3. 法二：正、余弦定理与数形结合由法一得A ＝π3，可知△ABC 的边a ＝2为定长，△ABC 的角A ＝π3为定值，作出示意图如图所示，满足条件的点A 在圆周上的运动轨迹为优弧BC (包括两个端点B ，C )，易知当点A 位于优弧中点时，此时△ABC 的面积最大，由于A ＝π3，则此时的△ABC 是等边三角形，面积为 3.法三：正、余弦函数的有界性由法一知A ＝π3，则由正弦定理得，b ＝a sin A ·sin B ＝433sin B ，c ＝433sin C ，则S △ABC＝12bc sin A ＝34bc ＝433sin B ·sin C ＝433·12[cos(B －C )－cos(B ＋C )]＝233cos(B －C )＋12≤233·⎝⎛⎭⎫1＋12＝3，当且仅当cos(B －C )＝1，即B ＝C 时，△ABC 的面积取得最大值 3.法四：函数思想 由法三得S ＝433sin B ·sin C ＝433sin B ·sin 2π3－B ，令g (B )＝sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝sin B32cos B ＋12sin B ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋14. 由0<B <2π3，易得g (B )max ＝34，当且仅当B ＝π3时取等号，所以△ABC 的面积的最大值为 3.答案： 3 [解题师说]上述四种解法，可归为两类：法一、三、四是借助正、余弦定理，把三角形面积这个目标函数转化为边或角的形式，然后借助基本不等式或函数性质来解决；法二是结合问题特征，构造几何图形来求得最值，直观迅速．不难发现，法三与法四的区别仅是对式子sin B ·sin C 的变形方法不同，两者本质相同． [应用体验]1．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．解析：如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ， 则BF <AB <BE .在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2， ∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°， BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2. 答案：(6－2，6＋2)2．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 解析：由sin A ＋2sin B ＝2sin C 及正弦定理， 得a ＋2b ＝2c . 由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－14(a ＋2b )22ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝3a 8b ＋b 4a －24≥6－24，当且仅当3a 2＝2b 2时取等号． 故cos C 的最小值为6－24.答案：6－24一、选择题1．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ．若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A ．(5,6]B ．(3,5)C ．(3,6]D ．[5,6]解析：选A 由正弦定理可得，(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，则A ＝π3.又b sin B ＝c sin C ＝a sin π3＝2，所以b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4[sin 2B ＋sin 2(A ＋B )]＝41－cos 2B 2＋1－cos[2(A ＋B )]2＝3sin 2B －cos 2B ＋4＝2sin2B －π6＋4.又△ABC 是锐角三角形，所以B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以2B －π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6.所以b 2＋c 2的取值范围是(5,6]．2．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D ∵23cos 2A ＋cos 2A ＝0，∴23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos 2A ＝125，∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝15.由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即49＝b 2＋36－125b ，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)． 3．在△ABC 中，A ＝60°，BC ＝10，D 是AB 边上不同于A ，B 的任意一点，CD ＝2，△BCD 的面积为1，则AC 的长为( ) A ．2 3 B. 3 C.33D.233解析：选D 由S △BCD ＝1，可得12×CD ×BC ×sin ∠DCB ＝1，即sin ∠DCB ＝55，所以cos ∠DCB ＝255或cos ∠DCB ＝－255.又∠DCB <∠ACB ＝180°－A －B ＝120°－B <120°，所以cos ∠DCB >－12，所以舍去cos ∠DCB ＝－255.在△BCD 中，cos ∠DCB ＝CD 2＋BC 2－BD 22CD ·BC ＝255，解得BD ＝2，又sin ∠DCB ＝55，由正弦定理得sin ∠DBC ＝CD sin ∠DCB 2＝1010，在△ABC 中，由正弦定理可得AC ＝BC sin B sin A ＝233.4.如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝( )A.223B.24C.64D.63解析：选C 因为DE ⊥AB ，DE ＝22，所以AD ＝22sin A ，所以BD ＝AD ＝22sin A .因为AD ＝DB ，所以∠A ＝∠ABD ，所以∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2∠A .在△BCD 中，由正弦定理BD sin C ＝BC sin BDC ，得22sin A 32＝4sin 2A，整理得cos A ＝64. 5.为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是( )A.3＋64 km 2B.3－64 km 2C.6＋34km 2D.6－34km 2解析：选D 如图，连接AC ，根据余弦定理可得AC ＝22＋12－2×2×1×12＝＝3，故△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，故△ADC 为等腰三角形，设AD ＝DC ＝x ，根据余弦定理得x 2＋x 2＋3x 2＝3，即x 2＝32＋3＝3(2－3)．所以所求小区的面积为12×1×3＋12×3(2－3)×12＝23＋6－334＝6－34(km 2)．6．若钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A.22B ．1 C. 2D. 5解析：选D 由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12，又AB ＝1，BC＝2，所以sin B ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.7．在非等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π6，π3D.⎝⎛⎭⎫π3，π2解析：选D 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ，由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0.因为0<A <π，所以0<A <π2，又a 为最大边，所以A >π3，即角A 的取值范围为⎝⎛⎭⎫π3，π2.8．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝b cos C ＋c sin B ，且△ABC 的面积为1＋2，则b 的最小值为( )A ．2B ．3 C. 2D. 3解析：选A 由a ＝b cos C ＋c sin B 及正弦定理，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C sin B ，得sin C cos B ＝sin C sin B ，又sin C ≠0，所以tan B ＝1.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由S △ABC ＝12ac sin B ＝1＋2，得ac ＝22＋4.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ≥2ac －2ac ＝(2－2)(4＋22)＝4，当且仅当a ＝c 时等号成立，所以b ≥2，b 的最小值为2，故选A.9．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A －sin B ＝c (sin A －sin C )a ＋b，b ＝3，则△ABC 的面积的最大值为( )A.334B.34C.332D.32解析：选A 根据正弦定理由sin A －sin B ＝c (sin A －sin C )a ＋b ，可得a －b ＝c (a －c )a ＋b，得a 2－b 2＝c (a －c )，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，故a 2＋c 2－b 22ac ＝12＝cos B ，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.又由b＝3，可得a 2＋c 2＝ac ＋3，故a 2＋c 2＝ac ＋3≥2ac ，即ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝3时取等号，故ac 的最大值为3，这时△ABC 的面积取得最大值，为12×3×sin π3＝334.10.为了竖一块广告牌，要制造一个三角形支架，如图，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1 m ，且AC 比AB 长0.5 m ，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为( )A.⎝⎛⎭⎫1＋32m B ．2 m C ．(1＋3)mD ．(2＋3)m解析：选D 设BC 的长度为x m ，AC 的长度为y m ，则AB 的长度为(y －0.5)m ，在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，得(y －0.5)2＝y 2＋x 2－2xy ×12，化简得y (x －1)＝x 2－14.因为x >1，所以x －1>0，因此y ＝x 2－14x －1＝(x －1)＋34(x －1)＋2≥3＋2，当且仅当x －1＝34(x －1)时取等号，即x ＝1＋32时，y 取得最小值2＋3，因此AC最短为(2＋3)m.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334B.736 C.334或213D.334或736解析：选D 由sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，可得2sin B cos A ＝6sin A cos A ．当cos A ＝0时，得A ＝π2，因为C ＝π3，则B ＝π6，又c ＝7，由正弦定理，得b ＝c sin B sin C ＝213，由三角形的面积公式知△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝736；当cos A ≠0时，由2sin B cos A ＝6sin A cos A ，得sin B ＝3sin A ，根据正弦定理可知b ＝3a ，由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－76a 2＝12，可得a ＝1，b ＝3，此时△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝334.综上可知，△ABC 的面积为736或334. 12.如图所示，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b ＝c ，b a ＝1－cos B cos A.若点O 是△ABC 外一点，∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2，OB ＝1，则四边形OACB 面积的最大值是( )A.4＋534B.8＋534 C ．3 D.4＋52 解析：选B 由b a ＝1－cos B cos A及正弦定理得sin B cos A ＝sin A －sin A cos B ，所以sin(A ＋B )＝sin A ，所以sin C ＝sin A ．又b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，△ABC 为等边三角形．设△ABC的边长为k ，则k 2＝12＋22－2×1×2×cos θ＝5－4cos θ，则S 四边形OACB ＝12×1×2sin θ＋34k 2＝sin θ＋34(5－4cos θ)＝2sin θ－π3＋534≤2＋534＝8＋534，所以当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，四边形OACB 的面积取得最大值，且最大值为8＋534. 二、填空题13．设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2sin C ＝4sin A ，(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)，则△ABC 的面积为________．解析：由a 2sin C ＝4sin A ，得ac ＝4.由(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)，得(a ＋b )(a －b )＝27－c 2，即a 2＋c 2－b 2＝27，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝74，则sin B ＝34， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝32. 答案：3214．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝__________.解析：如图，AD 为△ABC ，BC 边上的高．设BC ＝a ，由题意知AD ＝13BC ＝13a .又B ＝π4，所以BD ＝AD ＝13a ，DC ＝23a . 在Rt △ABD 中，由勾股定理得，AB ＝ ⎝⎛⎭⎫13a 2＋⎝⎛⎭⎫13a 2＝23a . 同理，在Rt △ACD 中，AC ＝⎝⎛⎭⎫13a 2＋⎝⎛⎭⎫23a 2＝53a . ∵S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12BC ·AD ， ∴12×23a ×53a ·sin ∠BAC ＝12a ·13a ， ∴sin ∠BAC ＝310＝31010. 答案：31010 15．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为__________．解析：由题意得，4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得，2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝1.∵0<A <π，∴π4<A ＋π4<5π4，∴A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc .又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，∴bc ≤16，∴S 的最大值为8.答案：816．在△ABC 中，B ＝30°，AC ＝25，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，若∠ACD 为锐角，△ACD 的面积为4，则BC ＝________.解析：依题意得S △ACD ＝12CD ·AC ·sin ∠ACD ＝25·sin ∠ACD ＝4，sin ∠ACD ＝25.又∠ACD 是锐角，因此cos ∠ACD ＝1－sin 2∠ACD ＝15.在△ACD 中，AD ＝CD 2＋AC 2－2CD ·AC ·cos ∠ACD ＝4.又ADsin ∠ACD ＝CD sin A ，所以sin A ＝CD ·sin ∠ACD AD ＝15.在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，所以BC ＝AC ·sin A sin B＝4. 答案：4。
解三角形练习题及答案
解三角形练习题及答案解三角形练习题及答案解三角形，是指已知三角形的几个元素求其他元素的过程。
一般地，把三角形的.三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。
一起看看下面的解三角形练习题及答案吧！1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理仅适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③正弦定理仅适用于钝角三角形；④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值；⑤在△ABC中，sinAsinBsinC＝abc。
其中正确的个数是（）A．1 B．2C．3 D．4解析①②③不正确，④⑤正确．答案 B2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝（）A．43 B．23C．3 D．32解析由正弦定理，得ACsinB＝BCsinA，即AC＝BCsinBsinA＝32×sin45°sin60°＝23。
答案 B3．在△ABC中，已知b＝2，c＝1，B＝45°，则a等于（）A．6－22 B．6＋22C．2＋1 D．3－2解析由正弦定理，得sinC＝csinBb＝sin45°2＝12，又b>c，∴C＝30°，从而A＝180°－（B＋C）＝105°，∴a＝bsinAsinB，得a＝6＋22。
答案 B4．在△ABC中，已知3b＝23asinB，cosB＝cosC，则△ABC的形状是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形解析利用正弦定理及第一个等式，可得sinA＝32，A＝π3，或2π3，但由第二个等式及B与C的范围，知B＝C，故△ABC必为等腰三角形．答案 B5．在△ABC中，若3a＝2bsinA，则B等于（）A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°解析∵3a＝2bsinA，∴3sinA＝2sinBsinA。
高中数学解三角形精选题目(附答案)
高中数学解三角形精选题目（附答案）一、解三角解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边．1.设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2b sin A.(1)求B的大小；(2)若a＝33，c＝5，求b.1.解：(1)由a＝2b sin A，根据正弦定理得sin A＝2sin B sin A，所以sin B＝1 2，由于△ABC是锐角三角形，所以B＝π6.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝27＋25－45＝7，所以b＝7.注：利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B.932C.332 D ．33解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sin π6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3.答案：π3或2π35．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.二、三角形的形状判定三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .法一：(化边为角)由正弦定理得2sin 2A cos A sin B ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．法二：(化角为边)2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0.∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．注：根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有：①通过正弦定理实现边角转化；②通过余弦定理实现边角转化；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．8．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12. 又0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32，∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.三、实际应用(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．(2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．10.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC 2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.故sin α的值为33 14.注：应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m解析：选D设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x ＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.12．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝hsin 60°＝233h.在△ABC中，AB＝106，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233hsin 45°，故h＝30(m)．答案：3013.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，则BC＝1003米．在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，则BD＝100米．在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，则DC＝BD2＋BC2＝200米，所以客车的速度v＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°.在△BCE中，由正弦定理可知EBsin 30°＝BCsin 45°，所以EB＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．巩固练习：1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于()A．12 B.21 2C．28D．63解析：选D由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A＝32，则S△ABC＝12bc sin A＝12×3×8×32＝6 3.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19 B.13C．1 D.7 2解析：选D由正弦定理可得2sin2B－sin2Asin2A＝2b2－a2a2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a2－a2a2＝72.3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于()A.35B．－35C．±35D．±45解析：选C∵S△ABC ＝12AB·BC sin∠ABC＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin2θ＝±3 5.4．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为334m2，则此人这时离开出发点的距离为()A．3 m B. 2 mC．2 3 m D. 3 m解析：选D在△ABC中，S＝12AB×BC sin B，∴334＝12×x×3×sin 30°，∴x＝ 3.由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B＝3＋9－9＝3(m)．5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的边长为()A.3B．3C.7D．7解析：选A∵S△ABC ＝12AB·AC sin A＝32，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC＝ 3.6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B∵b cos C＋c cos B＝b·b2＋a2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝b2＋a2－c2＋c2＋a2－b22a＝2a22a＝a＝a sin A，∴sin A＝1.∵A∈(0，π)，∴A＝π2，即△ABC是直角三角形．7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为____________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形8．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________．解析：由题意知a边最大，sin A＝32，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A.∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.答案：a＝7，b＝5，c＝39．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________.解析：由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bc cos A＋2bc.又S＝12bc sin A，∴12bc sin A＝2bc－2bc cos A.∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0.∴cos A＝1(舍去)或cos A＝15 17.答案：15 1710．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为0<A<π，cos A＝2 3，所以sin A＝1－cos2A＝5 3，又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C，所以253cos C＝23sin C，tan C＝ 5.(2)由tan C＝5得sin C＝56，cos C＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sinB ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)证明：∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，∴a·a＝b·b，即a2＝b2，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．(2)由m⊥p，得m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4(ab＝－1舍去)，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。
(完整版)解三角形练习题及答案
解三角形习题及答案一、选择题(每题5分，共40分）1、己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( ）． A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°2、在△ABC 中，下列等式正确的是（ )．A ．a ∶b ＝∠A ∶∠B B ．a ∶b ＝sin A ∶sin BC ．a ∶b ＝sin B ∶sin AD ．a sin A ＝b sin B3、若三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则它们所对的边长之比为( )． A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2C ．1∶4∶9D ．1∶2∶34、在△ABC 中,a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°,则c 等于( ）．A ．25B ．5C ．25或5D ．10或55、已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6,b ＝4,那么满足条件的△ABC 的形状大小( ）．A ．有一种情形B ．有两种情形C ．不可求出D ．有三种以上情形 6、在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＜0，则△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不能确定 7、)( 37sin 83sin 37cos 7sin 的值为︒︒-︒︒A.23- B 。
21- C 。
21D 。
238、化简1tan151tan15+-等于 ( ）AB．2C ．3D ．1二、填空题（每题5分,共20分）9、已知cos α－cos β=21,sin α－sin β=31，则cos （α－β)=_______．10、在△ABC 中,∠A ＝105°，∠B ＝45°，c ＝2，则b ＝ ．11、在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝3，则C B A cb a sin sin sin ++++＝ ． 12、在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值等于 ．班别: 姓名： 序号： 得分：9、10、11、12、 三、解答题13、（12分）已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形．14、（14分)已知21)tan(=-βα，71tan -=β，求)2tan(βα-的值15、（16分）已知x x x x f cos sin 32cos 2)(2-=,(1）求函数)(x f 的取最小值时x 的集合; （2）求函数单调增区间及周期。
三角函数之解三角形与练习（答案）
三角函数之解三角形与练习（答案）一、知识结构要点：三角形中的三角函数→ 解斜三角形→ 实际应用↓↓ ↓常用方法：（1）A+B+C=180° 可进行角的代换（2）R CcB b A a 2sin sin sin === 可进行边角互换（3）abc b a C 2cos 222-+= 可进行角转化为边（4）A ab S sin 21=面积与边角联系。
1．正弦定理：CcB b A a sin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。
推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 21sin 21sin 21B ca A bc C ab ==推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。
先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 21；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bca cb A 2cos 222-+=?，下面用余弦定理证明几个常用的结论。
（1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq qp q c p b -++ （1）【证明】因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠，所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠，② 因为∠ADB+∠ADC=π，所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0，所以q ×①+p ×②得qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq qp qc p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.222222a c b AD -+=（2）海伦公式：因为412=? ABC S b 2c 2sin 2A=41b 2c 2 (1-cos 2A)= 41b 2c 21614)(1222222=-+-c b a c b [(b+c)2-a 2][a 2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c). 余弦定理正弦定理这里.2cb a p ++=所以S △ABC =).)()((c p b p a p p ---二、方法与例题1．面积法。
高考数学复习5.5解三角形角化边、边化角问题练习文
总纲：条件中同时含有 边和角，若不能直接使用正弦定理或者余弦定理得到答案，则都化成边（即“角化边”），或者都化成角（即“边化角”）来处理。
第一阶：典例1（直接使用正余弦定理）：（2013年高考上海卷（理）改编）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若22232330a ab b c ++-=,则C cos =典例2：（不能直接使用定理）在ABC ∆中，（1） 已知A b B a cos cos =，判断ABC ∆的形状（2） 已知B b A a cos cos =，判断ABC ∆的形状第二阶：方法指导：含有x sin 的齐次式，优先考虑使用 正弦定理 ， 角化边。
例3：（2013年高考天津卷（文））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =. (Ⅰ) 求b 的值; (Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 练习3．（2013年高考江西卷（文））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知12cos sin sin sin sin =++B C B B A(1) 求证: ,,a b c 成等差数列; (2) 若C =23π,求a b的值. 方法指导：含有a ,b ,c 的齐次式，优先考虑使用 正弦定理 边化角。
例4．（2013年高考陕西卷（理））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定练习4．（2013年辽宁数学（理）试题）在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 而且1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab += a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56π方法指导：含有x cos 的式子，优先考虑 余弦定理 角化边。
直角三角形的边角关系(习题及答案)
直角三角形的边角关系（习题）➢要点回顾1.默写特殊角的三角函数值：2.三角函数值的大小只与角度的有关，跟所在的三角形放缩（大小）没有关系．3.计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在中研究，常利用或两种方式进行处理．➢例题示范例：如图，在△ABC 中，∠B=37°，∠C=67.5°，AB=10，求BC 的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan67.5°≈2.41）如图，过点A 作AD⊥BC 于点D，由题意AB=10，∠B=37°，∠C=67.5°在Rt△ABD 中，AB=10，∠B=37°，sin B =AD，cos B =BD AB AB∴AD=6，BD=8在Rt△ADC 中，AD=6，∠C=67.5°，tan C =ADCD∴CD=2.49∴BC=BD+CD=8+2.49=10.49≈10.5即BC 的长约为10.5．从下面书写板块的名称中选取合适的内容，写到对应的横线上．①得出结论；②解直角三角形；③准备条件．12➢巩固练习1.在Rt△ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2 倍，那么锐角A 的正弦值（）A．扩大2 倍B．缩小2 倍C．没有变化D．不确定2.在Rt△ABC 中，若∠C=90°，AC=3，BC=5，则sin A 的值为（）A.35B.45C．5 3434D．3 34343.在△ABC 中，∠A，∠B 均为锐角，且⎛1 ⎫2sin A - + - cos B ⎪⎝⎭= 0 ，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形4.若∠A 为锐角，且cos A 的值大于1，则∠A（）2A．大于30°B．小于30°C．大于60°D．小于60°5.已知β为锐角，且3A．30︒≤β≤60︒C．30︒≤β< 60︒≤tan β< ，则β的取值范围是（）B．30︒<β≤60︒D．β< 30︒6.如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC，垂足为E，设∠ADE=α，若cosα=3，AB=4，则AD 的长为（）5A．3 B．163C．203D．165第6 题图第7 题图7.如图，在菱形ABCD 中，DE⊥AB，若cos A =3，BE=2，则5tan∠DBE= ．232338.在Rt△ABC 中，∠C=90°，若AB=6，BC=2，则cos A=．9. 在△ABC 中，∠A=120°，若AB=4，AC=2，则sin B= ．10.如图，在△ABC 中，AB=A C，∠A=45°，AC 的垂直平分线分别交AB，AC 于D，E 两点，连接CD．如果AD=1，那么tan∠BCD= ．第10 题图第11 题图11.如图，在△ABC 中，若∠C=90°，sin B =3，AD 平分∠CAB，5则sin∠CAD= ．12. 如图，在△ABC 中，∠C=75°，∠BAC=60°，AC=2，AD 是BC 边上的高，则△ABC 的面积为，AD 的长为．第12 题图第13 题图13.如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为（）A．1214.计算：B. 5C. 0 10D. 255（1）6 tan2 30︒- 3 sin 60︒+ 2 tan 45︒；（2 cos 30︒- sin 45︒；）sin 60︒- cos 45︒312 sin 60︒ 1- 2 tan 60︒+ tan2 60︒ ⎪ ⎛1 ⎫（3）(-2 -1)0 -+；tan 45︒⎝3 ⎭（4）- tan 60︒．15.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan B=cos∠DAC．（1）求证：AC=BD；（2）若sin C =12，BC=12，求AD 的长．1316. 如图，在△ABC 中，∠A=26.6°，∠B=45°，AC= 2的长．（参考数据：tan26.6°≈0.50）5 ，求AB434 + 2 3 ( 3 +1) 2 ➢ 思考小结1. 30°，45°，60°，120°，135°，150°都属于我们常用的特殊角，在解直角三角形中经常用到．120°，135°，150°经常使用它们的补角构造直角三角形，如右图 1．2. 解直角三角形的常考形式直角三角形：“一角一边”求其余元素非直角三角形：“两角一边”求其余元素，往往通过构造直角三角形，把已知角度信息放到直角三角形求解，如右图 2 （α，β，m 已知）．3. 我们已经知道 30°，45°所在的直角三角形的三边关系之比，借助这个内容，可以推导 15°和 22.5°所在的直角三角形的三边关系之比，如何推导呢？如图 1，通过延长 CB 到 D ，使得 BD =AB ，可以构造 15°角， 根据三边关系填空．（已知 = = 3 +1 ）类比上述内容，请你画出研究 22.5°角所在的直角三角形所需图形并填空．tan22.5°= ；tan67.5°= ．（可跟随堂测试题目 3 的方法进行对比）54.探索思考下面的结论，尝试在下面两个图形中证明结论：若tanα=1，tanβ=1，则α+β=45︒．（标注信息，简要写2 3出思路）6【参考答案】➢要点回顾1.α30°45°60°正弦sin α122232余弦cos α322212正切tan α331 32.大小3.直角三角形，转移、构造➢巩固练习1. C2. C3. D4. D5. C6. B7. 28. 2 2 39.21 1410. 2 -111.5 512. 3 +23，2 + 6213. B14. （1）52；（2）1；（3）7；（4）-115. （1）证明略；（2）816. 673 3 2 ➢ 思考小结3. 2 - ， 2 + ， 6 - 2 ； 4-1， +14. 证明略8 2。
高二数学解三角形试题答案及解析
高二数学解三角形试题答案及解析1.在中，，AB=2，且的面积为，则BC的长为( )A．B．3C．D．7【答案】C【解析】因为在中，，AB=2，且的面积为，所以可得.所以求得.由余弦定理可得.故选C.本小题主要考查余弦定理的使用.【考点】1.三角形的面积公式.2.余弦定理.3.解方程的能力.2.在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】在处理含有边和角的等式时，一般是使用正、余弦定理把边转化为角或把角转化为边，如果都化为角的形式，则问题会转化为三角形内的三角恒等变换；若果都化为边的形式，则问题会转化为代数变形：通分、分解因式等．方法一：边化角：由正弦定理得：，代入得：，再由倍角公式得：．，或即或,所以△ABC为等腰或直角三角形．方法二：角化边：由余弦定理，原式可化为：，整理得，即，或，所以△ABC为等腰或直角三角形．【考点】1．正弦定理和余弦定理；2．三角恒等变换；3．解简单的三角方程．3.在中，角A，B，C所对边分别为a,b,c，且，面积，则等于A．B．5C．D．25【答案】B【解析】根据题意，由于角A，B，C所对边分别为a,b,c，且，面积，,所以,故选B.【考点】解三角形点评：主要是考查了解三角形中正弦定理的运用，属于基础题。
4.△ABC中，若，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形【答案】B【解析】因为，△ABC中，，所以由余弦定理得，，三角形为等腰三角形，故选B。
【考点】正弦定理、余弦定理的应用。
点评：简单题，判定三角形的形状，一般有两种思路，一是转化成角的关系，二是转化成边的关系。
5.在中，，则三角形的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】C【解析】，,三角形是等腰三角形【考点】正余弦定理解三角形点评：要判定三角形形状，一般转化出三边的长度关系或找到三个内角的大小关系，常借助于正余弦定理实现边与角的互相转化6.在中，内角，，所对的边分别是，已知，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,由正弦定理得【考点】解三角形及三角函数基本公式的考查点评：本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化与同角间的三角函数关系及倍角公式，如，，这要求学生对基本公式要熟练掌握7.在中，分别为内角的对边，且，（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，试判断的形状。
解三角形练习题及答案
解三角形练习题及答案解三角形练习题及答案三角形是几何学中的基本图形之一，解三角形的练习题对于学习和理解三角形的性质和关系非常重要。
本文将介绍一些常见的三角形练习题，并提供详细的解答过程。
一、已知三角形两边及夹角，求第三边的长度这类题目常常要求根据已知的两边和夹角，求第三边的长度。
解题的关键在于应用三角函数的定义和性质。
例如，已知三角形的两边分别为5cm和8cm，夹角为60度，求第三边的长度。
解答：根据余弦定理可以得到第三边的长度。
设第三边为c，则有c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC，其中a和b分别为已知的两边的长度，C为夹角的度数。
代入已知数据，得到c^2 = 5^2 + 8^2 - 2*5*8*cos60°，化简得到c^2 = 25 + 64 - 80*cos60°。
由于cos60°=0.5，所以c^2 = 25 + 64 - 80*0.5，继续化简得到c^2 = 25 + 64 - 40 = 49，即c = √49 = 7。
因此，第三边的长度为7cm。
二、已知三角形两边和一个角度，求另外两个角度的度数这类题目要求根据已知的两边和一个角度，求另外两个角度的度数。
解题的关键在于应用三角形内角和为180度的性质。
例如，已知三角形的两边分别为3cm和4cm，夹角为60度，求另外两个角度的度数。
解答：设另外两个角度为A和B，则有A + B + 60° = 180°，即A + B = 120°。
根据正弦定理可以得到A和B的关系。
设a和b分别为已知两边的长度，C为已知角的度数，则有sinA/a = sinC/c和sinB/b = sinC/c。
代入已知数据，得到sinA/3 = sin60°/c和sinB/4 = sin60°/c。
由于sin60°=√3/2，所以s inA/3 = √3/2c和sinB/4 = √3/2c。
解三角形练习题及答案
解三角形练习题及答案解三角形练习题及答案在数学学习中，解题是一项非常重要的技能。
而三角形作为几何学中的基本形状之一，解三角形的练习题对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力非常有帮助。
本文将介绍几道常见的三角形练习题，并给出详细的解答过程，希望能够帮助读者更好地理解和掌握解题方法。
题目一：已知一个三角形的两边长分别为5cm和7cm，夹角为60度，求第三边的长。
解答：根据三角形的余弦定理，可以得到第三边的平方等于两边平方之和减去两倍两边的乘积与夹角的余弦值的乘积。
即：c² = a² + b² - 2abcosC代入已知的数值，可以得到：c² = 5² + 7² - 2×5×7×cos60°c² = 25 + 49 - 70×0.5c² = 74 - 35c² = 39因此，第三边的长为根号39cm。
题目二：已知一个三角形的两边长分别为6cm和8cm，夹角为45度，求第三边的长。
解答：同样利用余弦定理，可以得到：c² = a² + b² - 2abcosC代入已知的数值，可以得到：c² = 6² + 8² - 2×6×8×cos45°c² = 36 + 64 - 96×0.707c² = 100 - 67.632c² = 32.368因此，第三边的长为根号32.368cm。
题目三：已知一个三角形的两边长分别为10cm和12cm，夹角为30度，求第三边的长。
解答：同样利用余弦定理，可以得到：c² = a² + b² - 2abcosC代入已知的数值，可以得到：c² = 10² + 12² - 2×10×12×cos30°c² = 100 + 144 - 240×0.866c² = 244 - 207.84c² = 36.16因此，第三边的长为根号36.16cm。
解三角形中的边角互化，就是这么简单！
解三⾓形中的边⾓互化，就是这么简单！⼩数⽼师说先给⼤家通告⼀个好消息，⾼中数学终于具有原创功能了，以后⼤家可以随时在下⾯评论了哈！感谢平台上的各位家长，同学以及⽼师的帮助与⽀持，以后⼩数⽼师还是会⼀如既往的原创好内容，帮助⼤家⼀起成长！谢谢！⾼中阶段的解三⾓形⼀共有3个定理，正弦定理，余弦定理与三⾓形的⾯积公式，没有三⾓函数的公式多，但是考试时⼀般会考察这3个定理的变形，所以，同学们必须对这3个定理⾮常熟悉，才能解题。
变形中，最常⽤的就是“边⾓互化”，下⾯⼩数⽼师重点来介绍⼀下这个应⽤。
例1、（2016桂林⼀模）在△ABC中，⾓A、B、C的对边分别是a,b,c，，，若b∈[1,3]，则c的最⼩值为（）A、2B、3C、D、分析：从题⽬条件看，第⼀个式⼦很明显要进⾏转化，可以发现此式是关于“边”的齐次式，所以可以把边化成⾓，也就是a变为sinA，但是，变完之后就会发现，式⼦⿇烦，⽽且我们也没见过，，式⼦越来越复杂，所以放弃；继续观察，等号左边的分式分⼦分母都含有这⼏个⾓的正弦，但是并不是齐次式，分⼦是1次，分母是2次，能统⼀都变了吗？我们可以稍微试⼀下，先把分⼦上的正弦变为对应的边，分母只能变⼀个，会发现式⼦变为或者是，那到底选择哪个呢？我相信同学们已经有判断了，等号左边的分⼦与余弦定理很像，再联系⼀下余弦定理，我们知道，肯定选择前⾯的式⼦，往余弦定理去扣就可以了。
答案：选择B.注：齐次式，齐次”从字⾯上解释是“次数相等”的意思。
例2、（2016重庆校级模拟）在△ABC中，内A、B、C的对边长别是a,b,c，已知，且sin(A-C)=2cosAsinC，则b=( )A、6B、4C、2D、1分析：本题有2个式⼦，两个式⼦都不是齐次式，好像不能变形，所以，很多同学就没有了思路，但是，第2个式⼦是可以进⾏化简的，左边的式⼦进⾏展开即可，化简为：SinAcosC-cosAsinC=2cosAsinC，所以sinAcosC =3 cosAsinC，此时就可以进⾏边⾓互化了，把正弦值化为边，余弦值也化为边，可以得到边之间的关系，，化简可得：，与第⼀个式⼦联⽴，可以得出b值。
【解斜三角形】【高一】【正弦定理】【边角互化】 - 副本
【例1 】» 在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若()3cos cos b c A a C -=,则cos A = .【解析】由正弦定理,得sinBcosA-sinCcosA= sinAcosC,即sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC,所以sinBcosA=sin(A+C),即sinBcosA= sinB,因为B 为三角形的内角,所以sinB ≠0,两边同时除以sinB,得cosA=. 答案:【练习1 】» △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案：A解析：因为a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，所以，由正弦定理得，sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin(A ＋C )＝12，又a >b ，所以A ＋C ＝150°，B ＝30°，故选A. 【练习2 】» (2014·昆明调研)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38 答案：B解析：由正弦定理，得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34. 【例2 】» (2014·贵阳适应性考试)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sinC －b －c ＝0，则A ＝________.答案：π3 解析：由题意，得sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin B ＋sin C ，∴sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin(A ＋C )＋sin C ，∴sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin C .∵sin C ≠0，∴3sin A －cos A ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12，∴A －π6＝π6，∴A ＝π3. 【例3 】» 在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A. 证明 因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B 2R sin B －2R sin C cos A＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A＝右边． 所以等式成立，即a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 【例4 】» 在锐角ABC∆中,1,2,BC B A ==则cos AC A的值等于____ ,AC 的取值范围为_____________ . 〖解〗解: 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC θθθθ=∴=⇒= 由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<,又01803903060θθ<-<⇒<<,故23045cos 22θθ<<⇒<<,2cos AC θ∴=∈【例5 】» (2014·河北石家庄一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1 B. 2 C ．3 D. 3答案：D解析：∵c sin A ＝3a cos C ，∴sin C sin A ＝3sin A ·cos C ，∵sin A ≠0，∴tan C ＝3，∵0<C <π，∴C ＝π3， ∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6， ∵0<A <2π3，∴π6<A ＋π6<5π6， ∴32<3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤3，∴sin A ＋sin B 的最大值为3，故选D.。
专题01 解三角形中的角、边、面积、周长计算问题(解析版)
专题01 解三角形中的角、边、面积、周长计算问题考点一 角的计算典例1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin sin c C b B a A B -=-，b =6c =.（1）求角C 的大小； （2）求sin B 的值；（3）求cos 26B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）3π（2）14（3【分析】（1）利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求解； （2）利用正弦定理即可求解；（3）先求出cos B ，再利用三角恒等变换结合二倍公式即可求解. （1）解：()sin sin sin sin c C b B a A B -=- 由正弦定理将角化为边整理得：222a b c ab +-=所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-=== 又()0,πC ∈ 所以3C π=（2）解：由（1）知，3C π=，又b =6c =由正弦定理得：sin sin b cB C=6sin3π=解得：1sin 4B =（3）解：由题知，b =6c = 即b c < 所以3B C π<=所以B 为锐角 由（2）知，1sin 4B =所以cos B ==所以1sin 22sin cos 24B B B ==⨯=217cos 212sin 12168B B =-=-⨯=所以7cos 2cos 2cos sin 2sin 612668B B B πππ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭=即cos 26B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 变式1-1．在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c .已知b =1,c =√2，3cosC 4= （1）求a 的值； （2）求sin A 的值；（3）求cos 26A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】 （1）2（2）√144（3）−3√38−√78【分析】（1）根据余弦定理解方程； （2）利用正弦定理即可得解；（3）求出cosA ，利用两角差的余弦公式求解. （1）由余弦定理可得：2=a 2+1−2a ×34，2a 2−3a −2=0,a >0 所以解得：a =2 （2）cos C =34,sinC =√74，由正弦定理可得：√2√74=2sinA解得：sinA =√144（3）由余弦定理cosA =2√2=−√24cos (2A −π6)=√32cos2A +12sin2A =√32(1−2sin 2A )+sinAcosA =−3√38−√78变式1-2．在ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知()22332a c b ac -=- （1）求cos B 的值；（2）若53a b =，求sin A 的值. 【答案】 （1）23（2【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理求cos B 的值即可；（2）由（1）可得sin B =sin A =．（1）在ABC 中，由()22332a c b ac -=-，整理得222223a cb ac +-=，又由余弦定理，可得2cos 3B =； （2）()0,B π∈由（1）可得sin B =，又由正弦定理sin sin a bA B =，及已知53a b =，可得sin 3sin 5a B A b ===故sin A =. 变式1-3．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足sin 1sin sin b Ca c A B=-++ （1）求角A 的值（2）若3,a b ==sin(2)B A +的值 【答案】 （1）3A π=（2【分析】（1）根据已知条件，由正弦定理角化边，得到三边的关系，进而利用余弦定理求解；（2）由正弦定理求得sin B ,并根据边的大小关系判定B 为锐角，然后利用倍角公式和两角和的正弦公式计算. （1） 解：∵sin 1sin sin b C a c A B=-++， 由正弦定理得，1b ca c a b=-++. 化简得，222b c a bc +-=.由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==.又0A π<<， ∴3A π=.（2）解：由（1）知，3A π=，又3a =，b =，∴sin sin b A B a ⋅==. 又b a <，∴cos B ==∴sin 22sin cos B B B ==21cos 212sin 3B B =-=-，∴()sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 333B A B B B πππ⎛⎫+=+=+=⎪⎝⎭考点二 边的计算典例2．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos c b a B +=． （1）求角A 的大小；（2）若1b =，2c =，点D 在边BC 上，且2CD BD =，求线段AD 的长． 【答案】 （1）23A π=（2）AD =【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式化简可得A 角；（2）ABC 中由余弦定理求得a ，再由余弦定理求得cos B ，然后在ABD △中由余弦定理求得AD ． （1）在ABC 中，由正弦定理得2sin sin 2sin cos C B A B += 因为()()sin sin sin C A B A B π=--=+，代入得2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A B A B B A B ++=即2cos sin sin 0A B B +=．又sin 0B ≠，所以1cos 2A =-． 又()0,A π∈，所以23A π=． （2）在ABC 中，由余弦定理得2222cos 7a b c bc A =+-=所以a =13BD a ==在ABC 中，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-==在ABD △中，由余弦定理得222132cos 9AD AB BD AB BD B =+-⨯⨯⨯=，所以AD =变式2-1．已知钝角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且___________，4sin cos sin b A A a B =+，1a =，求c 的值.（1）从条件①sin A =，②sin C B =中选择一个填到横线上，并解决问题； （2）以（1）中结论为条件，若D 是边AC 上一点，且2AD DC =，求线段BD 的长度. 【答案】 （1）1（2【分析】（1）由正弦定理化边为角可得tan A =6A π=.选择条件①：求得b =可求出；选择条件②，由正弦定理可得b =，再由余弦定理即可求出； （2）利用余弦定理即可求出. （1）因为4sin cos sin b A A a B +，由正弦定理可得4sin sin cos sin sin A B B A B A =+，sin sin cos A B B A =，因为sin 0B ≠cos A A =，则tan A =， 又0A π<<，所以6A π=.选择条件①：由sin A =，得6b A π===由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2221cos 6c π=+-，解得1c =或2c =，当2c =时，222c a b =+，ABC 是直角三角形，不符合题意； 当1c =时，2,63A CB ππ===，ABC 是钝角三角形，符合题意；所以1c =. 选择条件②，因为sin C B =，由正弦定理可得b ， 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即2221)cos6c c π=+-⋅⋅，解得1c =.（2）由（1）知，BAD 中，221,336BA AD AC A π=====， 由余弦定理可得2222cos BD BA AD BA AD A =+-⋅⋅，即22211213BD =+-⨯=⎝⎭，故BD . 变式2-2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 21sin A bB a=-. （1）判断三角形△ABC 的形状；（2）记线段AB 上靠近点A 的三等分点为D ，若CD =6b =，求c . 【答案】（1）等腰三角形； （2）6c =. 【分析】（1）由已知，结合正弦定理可得()()20a b a b +-=，根据20a b +>即可判断形状.（2）应用余弦定理，结合CDB CDA π∠=-∠有cos CDB ∠=cos CDA -∠求AD ，即可求c . （1）∵sin 21sin A b B a =-，由正弦定理得21a bb a=-，整理得()()20a b a b +-=. ∴由20a b +>，可得a b =，即三角形为等腰三角形. （2）设AD x =，则2BD x =，由余弦定理得：2cosCDB ∠=，2cos CDA ∠=，而CDB CDA π∠=-∠，22=，解得2x =，∴36c AB BD ===.变式2-3．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin 0a C C b c --=. （1）求A ；（2）若a =2，ABC b ，c 的值. 【答案】 （1）3A π=（2）2b c == 【分析】（1）先利用正弦定理将边变成角，然后利用()sin sin B A C =+以及两角和的正弦公式代入计算即可； （2）先利用面积公式求出bc ，再利用余弦定理求出22b c +，然后解方程组即可. （1）由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=.因为()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=--=+=+，sin cos sin sin 0A C A C C --=.由于sin 0C ≠，cos 10A A --= 所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0A π<<，故3A π=.（2）由题得ABC 的面积1sin 2S bc A ==4bc =①. 而222a b c =+-2cos bc A ，且2a =，故228b c +=②， 由①②得2b c ==.考点三 面积的计算典例3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，2cos 1cos b BaA-=+．(1)证明：2a b c =+；(2)若4cos ,5A a ==ABC 的面积． 【答案】(1)证明见解析(2)6 【解析】 【分析】小问1：证法一：运用余弦定理可证，证法二：利用正弦定理可证； 小问2：由余弦定理求得20bc =，结合三角形面积公式可求结果． (1)（1）证法一：∵2cos 1cos b BaA-=+，∵cos 2cos b b A a a B +=-，由余弦定理可得222222222b c a a c b b b a a bc ac+-+-+⨯=-⨯．则()22222222222224,24bc b c a ac a c b bc b c a ac a c b ++-=-+-++-=--+，2224bc c ac +=，∵2a b c =+．证法二：∵2cos 1cos b B a A -=+，由正弦定理得sin 2cos sin 1cos B BA A-=+，∵2sin sin cos sin sin cos A A B B B A -=+，可得2sin sin sin cos sin cos sin sin()sin sin A B A B B A B A B B C =++=++=+， 所以由正弦定理可得2a b c =+． (2)（2）由余弦定理可得22222()2cos 22b c a b c bc a A bc bc+-+--== 222242323412225a bc a a bc a bc bc bc ---===-=．∵24325bc =，∵20bc =，∵4cos 5A =，A 为三角形内角，∵3sin 5A ==， ∵113sin 206225ABCSbc A ==⨯⨯=． 变式3-1．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知221cos sin 02A A -+=.(1)求角A 的值；(2)若ABC 为锐角三角形，设a =5b =，求ABC 的面积. 【答案】(1)1π3A =或2π3【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到1cos 22A =-，进而求出22π3A =或4π3，故1π3A =或2π3；（2）利用余弦定理求出2c =或3，验证后得到3c =，进而利用三角形面积公式进行求解. (1)2211cos sin cos 2022A A A -+=+=，所以1cos 22A =-，因为(0,π)A ∈，所以2(0,2π)A ∈，故22π3A =或4π3，即1π3A =或2π3. (2)由第一问所求和ABC 为锐角三角形得1π3A =，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，化为2560c c -+=，解得2c =或3， 若2c =，则cos 0B =<，即B 为钝角，2c ∴=不成立，当3c =，经检验符合条件，ABC 的面积为11sin 5322S bc A ==⨯⨯=变式3-2．在ABC 中，7cos 8A =，3c =，且b c ≠，再从条件∵、条件∵中选择一个作为已知. 条件∵：sin 2sinB A =； 条件∵：sin sin 2sin A BC +=. (1)求b 的值； (2)求ABC 的面积.【答案】(1)选条件∵：4b =；选条件∵：4b =(2)选条件∵；选条件∵【解析】 【分析】（1）若选∵：在三角形ABC 中由正弦定理及余弦定理可得a ，b 关系式，解方程可得b 的值；若选∵：由正弦定理可得a ，b ，c 的关系，再由余弦定理可得a ，b ，c 的关系，再由A 角的余弦值可得b 的值． （2）结合（1），利用三角形面积公式即可求出三角形的面积； (1)选条件∵：sin 2sin B A =. 在ABC 中，因为sin sin b a B A =，所以sin 2sin a Bb a A ==. 因为222cos 2b c a A bc+-=，且3c =，7cos 8A =，2b a =，所以22497128a a a +-=， 化简得22760a a -+=，解得2a =或32a =. 当32a =时，23b ac ===，与题意矛盾， 所以2a =，所以4b =. 选条件∵：sin sin 2sin A B C +=.在ABC 中，因为sin sin sin abcA B C==，且3c =，所以由sin sin 2sin A B C +=，得26a b c +==.因为222cos 2b c a A bc+-=，且3c =，7cos 8A =，6a b =-，所以()2296768b b b +--=，解得4b =.(2)选条件∵：sin 2sin B A =.因为7cos 8A =，()0,πA ∈，所以sin A =所以11sin 4322ABC S bc A ==⨯⨯△.选条件∵：sin sin 2sin A B C +=. 由（1）知4b =，所以62a b =-=.因为7cos 8A =，()0,πA ∈，所以sin A =所以11sin 4322ABC S bc A ==⨯⨯△.变式3-3．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，3B π=，3a =.(1)若4A π=，求b .(2)若______，求c 的值及ABC 的面积.请从∵b =∵sin 2sin C A =，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答.【答案】(2)选14ABCc S ==：，26ABCc S==：，【解析】 【分析】(1)根据正弦定理计算即可得出结果；(2)利用余弦定理或正弦定理求出c 的值，再结合三角形的面积公式计算即可. (1)334B a A ππ===，，，由正弦定理，得sin sin b aB A=，所以sin sin 2a b B A =⨯== (2)选∵：由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即21139232c c =+-⨯⨯，整理，得2340c c --=，由c >0，得c =4，所以11sin 3422ABCSac B ==⨯⨯= 选∵：因为sin 2sin C A =，由正弦定理，得c =2a ， 所以c =6，所以11sin 6322ABCSac B ==⨯⨯=考点四 周长的计算典例4．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足22()b c a bc -=-. (1)求角A 的大小； (2)若a =ABC S =△，求ABC 的周长.【答案】(1)π3A =；(2)5 【解析】 【分析】（1）由已知可得222b c a bc +-=，由余弦定理求出cos A 的值，再结合()0,πA ∈即可得角A 的大小； （2）根据三角形的面积公式可得bc 的值，再由余弦定理即可求出b c +的值，进而可得ABC 的周长. (1)因为22()b c a bc -=-，所以222b c a bc +-=，由余弦定理可得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 又因为()0,πA ∈，所以π3A =. (2)由已知11sin 2222ABCSbc A bc ==⨯=所以6bc =， 由已知及余弦定理得2222222cos ()3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，即27()36b c =+-⨯，所以2()25b c +=，解得：5b c +=或5b c +=-（舍），所以ABC 的周长为5a b c ++=变式4-1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ab=． (1)求角B ；(2)若c b ==，ABC 的周长l ． 【答案】(1)6B π=(2)3 【解析】 【分析】(1)ab=cos B B =，由此可求角B ；(2)由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，解方程求a c ，，由此可得ABC 的周长l ．(1)ab=sin sin cos B A A B =．在ABC 中，sin 0A ≠cos B B =，所以tan B ． 又0B π<<，所以6B π=．(2)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2232cos 6a c ac π=+-，即223a c +-=，又c =，解得3a c ==．故ABC 的周长33l a b c =++==变式4-2．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()1cos cos a C c A -=． (1)证明：ABC 是等腰三角形；(2)若ABC ，且1cos 3C =，求ABC 的周长．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】 【分析】(1)根据给定条件利用三角形射影定理化简即可得解.(2)根据给定条件求出sin C ，再利用三角形面积定理及(1)的结论求出a ，b ，然后借助余弦定理求出c 即可计算作答. (1)在ABC 中，()1cos cos cos cos a C c A a a C c A -=⇔=+， 由射影定理cos cos b a C c A =+得，a b =， 所以ABC 是等腰三角形． (2)在ABC 中，因1cos 3C =且()0,πC ∈，则sin C =又1sin 2ABC S ab C ==△，即2ab =，由(1)知a b =，则有a b ==在ABC 中，由余弦定理得：222182cos 22233c a b ab C =+-=+-=，解得c =又a b ==a ，b ，c 能构成三角形，符合题意，a b c ++=+所以ABC 的周长为 变式4-3．在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+． (1)求A 的大小；(2)若a =ABC 的面积为ABC 的周长． 【答案】(1)3A π=(2)10+【解析】 【分析】（1）通过正弦定理将边化为角的关系，可得cos A ，进而可得结果； （2）由面积公式得24bc =，结合余弦定理得b c +，进而得结果. (1)∵2cos cos cos a A b C c B =+∵由正弦定理，得2sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+ ∵2sin cos sin A A A =∵0A π<<，∵1cos 2A =，故3A π=(2)由（1）知，3A π=∵1sin 2ABCSbc A ==∵24bc =∵由余弦定理知，2222cos a b c bc A =+- ∵2228b c bc +-=， 故()2100b c +=∵10b c +=，故10a b c ++=+∵ABC的周长为10+巩固练习练习一 角的计算1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知1cos 3a C cb +=. （1）求cos A 的值； （2）求πsin 23A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】 （1）13.（2. 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再由正弦的和角公式可求得答案； （2）由正弦的二倍角公式和正弦的差角公式可求得答案. （1）解：因为1cos 3a C c b +=，由正弦定理得1cos sin sin 3sin C C B A +=， 又sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=，所以1sin sin cos 3C C A =， 因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =. （2）解：由（1）得1cos 3A =，所以sin A ，所以sin 22sin cos A A A ==27cos 22cos 19A A =-=-，所以117sin(2)sin 22()3229A A A π-==-=，所以sin(2)3A π-=. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()22232cos b c b A a b c -=+-.（1）求cos A 的值；（2）求cos 23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】 （1）23（2【分析】（1）由余弦定理结合正弦定理化简可得；（2）由（1）求出sin 2A 和cos2A ，再利用和的余弦公式即可求出. （1）由已知结合余弦定理得()32cos 2cos b c b A ab C -=，∴()32cos 2cos b c A a C -=. 由正弦定理得()3sin 2sin cos 2sin cos B C A A C -= ∴()()3sin cos 2sin cos cos sin 2sin B A A C A C A C =+=+. ∵A B C π++=，∴3sin cos 2sin B A B =， ∵sin 0B >，∴2cos 3A =. （2）因为2cos 3A =，所以sin A =，则sin 22sin cos A A A ==， 则21cos 22cos 19A A =-=-，所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=-=⎪⎝⎭3．在ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b = （1）求a 的值； （2）求cos C 的值；（3）求sin 26C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）（2）34（3 【分析】（1）利用正弦定理和已知条件可求；（2）根据边的比例关系和余弦定理可求cos C ；（3）利用倍角公式求解sin 2,cos 2C C ，然后利用和角公式可求结果. （1）因为sin :sin :sin 2A B C =::2a b c =因为b =a = （2）由（1）可得2,c a ==2223cos24a b c C ab +-==. （3）因为a c >，所以C 为锐角，所以sin C =sin 22sin cos C C C ==，21cos 22cos 18C C =-=；所以111sin 22cos 26228C C C π⎛⎫++=⨯= ⎪⎝⎭4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0b A B =，2a c =，2b =. （1）求角B ； （2）求a ，c ； （3）求()cos 2A B -的值. 【答案】 （1）23B π=（2）c =a =（3）1314【分析】（1）根据题目条件，结合正弦定理，可以得到tan B =（2）2a c =，2b =，结合第一问求出的B ，列余弦定理方程求解；（3）直接利用两角差的余弦公式展开，分别求出展开式的每一项.（1）在ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin cos 0B A A B =.又因为在ABC 中sin 0A ≠，所以sin =B B . 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠.所以sin tan cos B B B ==23B π=. （2）因为2a c =，2b =，由余弦定理得22242cos3a c ac π=+-，解得c =a =（3）由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-==(0,)A π∈，则sin 0A >所以sin A ，所以sin 22sin cos A A A =21cos 22cos 17A A =-=，所以()cos 2cos2cos sin 2sin A B A B A B -=+11137214=⨯=.练习二 边的计算5．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c cos sin C c B =. （1）求角C ；（2）若2b =，ABC 的面积为c . 【答案】 （1）3C π=（2）c =【分析】（1cos sin sin B C C B =，进而得tan C = （2）由面积公式得8ab =，进而根据题意得2b =，4a =，再根据余弦定理求解即可. （1）cos sin C c B =，cos sin sin B C C B =， 因为()0,,sin 0B B π∈≠，sin C C =，即tan C = 因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）解：因为ABC 的面积为3C π=，所以1sin 2S ab C ===8ab =， 因为2b =，所以4a =，所以2222201cos 2162a b c c C ab +--===，解得c =所以c =.6．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a b c <<，三角形三边上的高之比为2:3:4. （1）求cos C 的值；（2）若E 为边AC 上一点，30CEB ∠=︒，3BC =，求BE 的长. 【答案】 （1）1124-（2 【分析】()1由于a b c <<，则三边a ，b ，c 上的高之比为123::4:3:2h h h =，根据123111222ABC S ah bh ch ===△，得出432a b c ==，并利用余弦定理求出cos C 的值； ()2利用()1中cos C 的值求出sin C 的值，进而利用正弦定理求出BE 的长.（1）解：由于a b c <<，则三边a ，b ，c 上的高之比为123::4:3:2h h h =. 又因为123111222ABC S ah bh ch ===△，则432a b c ==. 设43212a b c x ===，则3a x =，4b x ，6c x =. 在ABC 中，由余弦定理得222cos 2a b c C ba+-=222291636112424x x x x +-==-. （2） 解：将11cos 24C =-代入22sin cos 1C C +=，得2223513sin 1cos 24C C ⨯=-=，又()0,C π∈，则sin C ==在EBC 中，由正弦定理得sin sin BC BECEB C=∠，则6BE ==7．已知钝角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且___________，4sin cos sin b A A a B +，1a =，求c 的值.从条件①sin A =，②sin C B =中选择一个填到横线上，并解决问题. 【答案】条件选择见解析，1c = 【分析】结合正弦定理化简已知条件，求得A .若选①，则利用余弦定理求得c ；若选②，则结合正弦定理、余弦定理求得c 的值. 【详解】依题意4sin cos sin b A A a B =+，由正弦定理得4sin sin cos sin sin B A B A A B =+, 在三角形ABC 中，sin 0,sin 0A B >>，所以4sin sin A A A =+，3sin ,tan A A A == 由于()0,A π∈，所以6A π=.若选①，则1,2b == 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2213320c c c =+--+=， 解得1c =或2c =. 当1c =时，2,63A CB ππ===符合题意. 当2c =时，222c a b =+，则ABC 是直角三角形，不符合题意.若选②，sin C B =，由正弦定理得c =， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即222112cos ,1,3b b A b b ⎫=+-⋅==⎪⎪⎝⎭，所以1c ==.8．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a （1）求角A 的大小；（2）若a =4B π=，求c .【答案】 （1）3A π=（2）c【分析】（1）根据余弦定理直接计算cos A 即可； （2）根据正弦定理直接计算即可. （1）因为a由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅， 所以1cos 2A =，结合()0,A π∈， 故3A π=.（2）由（1）得：3A π=，于是53412C A B πππππ=--=--=， 由正弦定理得：sin sin a cA C=，于是sin sin a C c A ππ⎛⎫+ ⎪===，故c .练习三 面积的计算9．在ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b csin cos 3B bC π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求角C 的大小；(2)若22223a c a b ==-，求ABC 的面积. 【答案】(1)6π；【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角关系、三角形内角的性质可得tan C =，即可知C 的大小. （2）由余弦定理及已知条件可得1b =或2b =，再应用三角形面积公式求∵ABC 的面积. (1)sin sin cos 3C B B C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭0B π<<，则sin 0B ≠，1cos 2C C C =，可得tan C =，又0C π<<， ∵6C π=.(2)由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-且a =22126c b b =+-，222332c b a +=，则228c b =-，∵228126b b b -=+-，整理得2320b b -+=，解得1b =或2b =，∴∵当1b =时，c =1sin 2ABCSab C ==∵当2b =时，2c =，此时1sin 2ABC S ab C ==△∵∵ABC 10．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足22()b c a bc -=-.(1)求角A 的大小；(2)若2a =，sin 2sin C B =，求ABC 的面积. 【答案】(1)3A π=【解析】 【分析】（1）由22()b c a bc -=-可得222b c a bc +-=，再利用余弦定理可求得角A ，（2）由sin 2sin C B =可得2c b =，再利用余弦定理可求出,b c 的值，然后利用三角形的面积公式可求得答案 (1)因为22()b c a bc -=-可得：222b c a bc +-=，由余弦定理可得，2221cos 22b c a A bc +-==又(0,)A π∈，所以3A π=(2)由sin 2sin C B =可得2c b =，由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，22144222b b b b =+-⋅⨯，解得b =c =11sin 22ABCSbc A ===11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c cos sin 0A a B +=. (1)求角A 的大小；(2)若a =2b c +=，求ABC 的面积. 【答案】(1)23π【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角即可求解角A 的大小；（2）结合余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，由()2222b c b c bc +=+-代换可得bc ，联立正弦面积公式可求ABC 的面积.(1)cos sin sin 0B A A B +=，(0,)B π∈，sin 0B ≠sin 0A A +=，显然2A π≠，则tan A =(0,)A π∈23A π∴=； (2)由余弦定理得：22222cos ()22cos =+-=+--a b c bc A b c bc bc A ，将1cos 2A =-代入得22()a b c bc =+-，a =2b c +=代入得2,11sin bc S bc A ===12．在ABC 中，()2cos cos b A C =． (1)求A ∠的大小；(2)现在给出三个条件：∵=c ；∵4B π=；∵2a =．试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，______，______，求ABC 的面积． 【答案】(1)6π(2)若选∵∵，S =∵∵，1S . 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再利用两角和的正弦公式求解；（2）根据正弦定理可知，不能同时选∵∵，若选∵∵，由余弦定理可解得各边长及三角形的面积；若选∵∵，利用正弦定理可解得各边长及面积. (1)解：由正弦定理可得()2cos cos b A C =，即2sin cos cos cos B A C A A C =，即)()2sin cos sin cos cos sin B A A C A C A C B +=+，又在ABC 中，sin 0B ≠，所以cos A =()0,A π∠∈，所以6A π∠=；(2)若选∵∵，由4B π=，sin B又正弦定理c ，即sin C B ==不成立，所以不能同时选∵∵； 若选∵∵，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=222b =，c =1sin 2A =，所以111sin 2222S bc A ==⨯⨯=若选∵∵，由cos A =1sin 2A =，且sin Bcos B ()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=sin sin a b A B =，即212=b =所以11sin 2122S ab C ==⨯⨯=.练习四 周长的计算13．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin sin sin sin a A b B c C a B +=+. (1)求角C ；(2)若ABC2c =，求ABC 的周长.【答案】(1)3π(2)6 【解析】 【分析】（1）、根据正弦定理和余弦定理求解即可；（2）、利用面积公式求出ab 的值，化简求出a b +的值，从而求出ABC 的周长. (1)sin sin sin sin a A b B c C a B +=+, sin ,sin ,sin ,222a b cA B C R R R=== 222a b c ab ∴+-=,2221cos 222a b c ab C ab ab +-∴===, 又0C π<<，3C π∴=.(2)由（1）可知3C π=.1sin 2ABCSab C ==,4ab ∴=, 222a b c ab +-=,2c =,228a b ∴+=,()222216a b a b ab ∴+=++=,4a b ∴+=，6a b c ∴++=.ABC 的周长为6.14．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c .若11sin sin sin sin sin A 22c C a A b B a B b --=+. (1)求角C 的大小；(2)若ABC c =ABC 的周长. 【答案】(1)23C π= (2)6+【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行角化边的运算，结合余弦定理求出cos C ，根据角的范围可求出角C .（2）由三角形面积可求出4ab =，代入（1）中的等式结合完全平方式可求出()2a b +的值，进而求出三角形的周长. (1)解：由正弦定理得2221122c a b ab ab --=+则222a b c ab +-=-，由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-， 又由0C π<<，可得23C π=； (2)由12sin23ab π=4ab =， 又由2232a b ab +-=-，有2228a b +=，又由()222228836a b a ab b +=++=+=，有6a b +=，故ABC 的周长为6+15．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()()sin sin a A B C c B C +-=+. (1)求角C 的值；(2)若26a b +=，且ABC ABC 的周长. 【答案】(1)3C π=(2)6或5【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可求得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值； （2）由三角形的面积公式可求得ab 的值，结合已知条件可得出关于a 、b 的方程组，解出这两边的长，利用余弦定理求出c 的值，即可得出ABC 的周长. (1)解：由正弦定理得()()sin sin 2sin sin sin sin A C C A C A ππ-=-=，()0,A π∈，则sin 0A >，所以，sin sin 22sin cos C C C C ==， ()0,C π∈，则sin 0C >，可得1cos 2C =，故3C π=.(2)解：由三角形的面积公式可得1sin 2ABC S ab C ===△4ab =， 由已知可得264a b ab +=⎧⎨=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩或14a b =⎧⎨=⎩. 当2a b ==时，则ABC 为等边三角形，其周长为6；当1a =且4b =时，由余弦定理可得c =此时，ABC 的周长为5a b c ++=综上所述，ABC 的周长为6或516．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，____．从∵22()3b c a bc +-=，∵sin sin 3a Bb A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．(1)求角A 的大小；(2)若b =4，ABC 的面积ABC 的周长．【答案】(1)3π；(2)10+ 【解析】 【分析】（1）选∵，利用余弦定理化简即得解；选∵，利用正弦定理和三角恒等变换化简即得解；（2）由面积求出6,c =再利用余弦定理求出a =. (1) 解：选∵：222222221()3,,cos 22b c a b c a bc b c a bc A bc +-+-=∴+-=∴==，()0,,3A A ππ∈∴=；选∵：由正弦定理得：sin sin sin sin 3A B B A π⎛⎫=+⎪⎝⎭，在ABC 中，0,sin 0,sin sin 3B B A A ππ⎛⎫<<∴≠∴=+⎪⎝⎭，11sin sin ,sin 22A A A A A ∴=∴=，可得tan A =()0,,3A A ππ∈∴=.(2)解：由（1）知1,4,sin 632ABCA b Sbc A c π=====∴=，由余弦定理可得22212cos 1636246282a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，则a =因此，ABC 的周长为10a b c ++=+。
(最新完整版)高考真题总结解三角形边角互化
（最新版）高考真题总结解三角形边角互化一、角化边1. （2010天津7）在中，角所对应的边分别为，若22,sin ,a b C B -==则A =（ ）A ．30 B ．60 C ．120 D ．1502. （2012上海17）在中，若222sin sin sin ,A B C +<则ABC ∆的形状是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定3. （2011四川8）在中，222sin sin sin sin sin ,A B C B C ≤+-则A 的取值范围是（ ）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭4. （2015北京12）在中，4,5,6,a b c ===则sin 2sin A C = ． 5. （2010辽宁17）在中，角所对应的边分别为，若()()2sin 2sin 2sin .a A b c B c b C =+++则A ∠= ．6. （2011全国18）在中，角所对应的边分别为，已知sin sin sin sin .a A c C C b B +=则B ∠= ．7. （2017山东9）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．B ．C ．2A B =D ．2B A =8. （2005北京7）在中，已知2sin cos sin ,A B C =那么ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形9. （2019新课标一11）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．已知1sin sin 4sin ,cos ,4a A b B c C A -==- 则b c=（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．310. （2009全国一18）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．已知222,a c b -=ABC ∆C B A ,,c b a ,,ABC ∆ABC ∆ABC ∆ABC ∆C B A ,,c b a ,,ABC ∆C B A ,,c b a ,,a b c 2a b =2b a =ABC ∆a b c a b c且sin 4cos sin ,B A C =则b = ．二、边化角11. （2013陕西9）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a ,b ,c ,若,则△ABC 的形状为A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定12. （2013辽宁6）在，内角所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠= A ． B ． C ． D ． 13. （2013湖南5）在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,.a b若2sin ,a B 则角A =（ ）A ．B ．C ．4πD ．12π 14. （2008四川7）在中，角所对应的边分别为，若,2,2a A B ==则cos B =（ ）ABC． D15. （2011浙江5）在中，角所对应的边分别为，若cos sin ,a Ab B =则2sin cos cos A A B +=（ ） A ．12- B ．12C ．1-D ．1 16. （2011辽宁4）在中，角所对应的边分别为，若2sin sin cos ,a A B b A +=则b a=（ ） A． B． CD17. （2014全国17）在中，角所对应的边分别为，若13cos 2cos ,tan ,3a C c A A ==则B ∠= ． cos cos sinb Cc B a A +=ABC ∆,,A B C 6π3π23π56π6π3πABC ∆C B A ,,c b a ,,ABC ∆C B A ,,c b a ,,ABC ∆C B A ,,c b a ,,ABC ∆C B A ,,c b a ,,18. （2019新课标二15）中，角所对应的边分别为，已知sin cos 0b A a B +=，则B = ．19. （2012新课标17）在中，角所对应的边分别为，若sin cos ,c C c A =-则A ∠= ．20. （2013天津16）在中，角所对应的边分别为，若2sin 3sin ,3,cos ,5b Ac B a B ===则b = ． 21. （2010湖南7）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若120C ∠=，c =，则A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定22. （2011全国17）在中，角所对应的边分别为，若90,,A C a c -=+=则C ∠= ．23. （2012全国17）ABC ∆中，内角,,A B C 成等差数列，其对边,,a b c 满足223,b ac =则A ∠=24. （2009全国二18）在中，角所对应的边分别为，23cos()cos ,,2A CB b ac -+==则B ∠ ． 25. （2012全国17）在中，角所对应的边分别为，已知()cos cos 1,2A C B a c -+==，则C ∠= ．三、特殊技巧（射影定理例题）1. （2013陕西7）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a ,b ,c ,若,则△ABC 的形状为A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定2. （2017新课标二16）ABC ∆的内角A ,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = .3. （2014广东12）在中，角所对应的边分别为，已知cos b C +cos 2c B b =，则 . ABC ∆C B A ,,c b a ,,ABC ∆C B A ,,c b a ,,ABC ∆C B A ,,c b a ,,ABC ∆C B A ,,c b a ,,ABC ∆C B A ,,c b a ,,ABC ∆C B A ,,c b a ,,cos cos sin b C c B a A +=ABC ∆C B A ,,c b a ,,=ba4. （2017山东9）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．B ．C ．2A B =D ．2B A =5. （2013辽宁6）在，内角所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠= A ． B ． C ． D ． 6. （2016新课标二13）ABC ∆的内角的对边分别为，若， ，，则 ． 7. （2016新课标一17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II）若c ABC △=ABC △的周长 8. （2013新课标二17）内ABC ∆在内角的对边分别为，已知．（Ⅰ）求；（Ⅰ）若，求△面积的最大值．9. （2016四川17）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos cos sin A B C a b c +=． （I ）证明：sin sin sin A B C =；（II ）若22265b c a bc +-=，求tan B . a b c 2a b =2b a =ABC ∆,,A B C 6π3π23π56π,,A B C ,,a b c 4cos 5A =5cos 13C =1a =b =,,A B C ,,a b c cos sin a b C c B =+B 2b =ABC。
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1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：∵a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32，∴sin B ＝32.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c ) cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.解析：由正弦定理得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ，3sin B cos A ＝sin(A ＋C )．∵0<sin B ≤1，∴cos A ＝33. 3、在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A ． 1:2:3B ． 3:2:1C ． 1:3:2D ． 2:3:1解析：132,,,::sin :sin :sin 3263222A B C a b c A B C πππ====== 4、在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A ． 090 B ． 060 C ． 0135 D ． 0150 解析：22()()3,()3,a b c b c a bc b c a bc +++-=+-=222222013,cos ,6022b c a b c a bc A A bc +-+-==== 5、在△ABC 中，若tan2A B a ba b--=+，则△ABC 的形状是（ ） A ． 直角三角形 B ． 等腰三角形C ． 等腰直角三角形D ． 等腰三角形或直角三角形解析：2cossinsin sin 22tan 2sin sin 2sin cos 22A B A BA B a b A B A B A Ba b A B +----===+-++， tan2tan ,tan 022tan 2A B A B A B A B ---==+，或tan 12A B +=所以A B =或2A B π+=6.在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，请判断△ABC 的形状．7.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝ ______________8.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，且tan B =，则角B 的大小是 ．解析: 由余弦定理，得 B ac c a b cos 2222-+=．则tan B ===23sin =B ．所以B 的大小是3π或32π． 9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos B cos C ＝－ b2a ＋c ．（1）求角B 的度数；（2）若b ＝19，a ＋c ＝5，求a 和c 的值．解析:（1）由题设，可得cos B cos C ＝－ sin B2sin A ＋sin C ，则－sin B cos C ＝2cos B sin A ＋cos B sin C ．sin B cos C ＋cos B sin C ＋2cos B sin A ＝0，sin(B ＋C)＋2cos B sin A ＝0，sin A ＋2cos B sin A ＝0．因为sin A ≠0 ，所以cos B ＝－ 12，所以B ＝120o ．(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴19＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos120o ，∴ac ＝6．又a ＋c ＝5，可解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎨⎧a ＝3，c ＝2．sin )cos sin sin cos sin .sin 0cos 3B C A A C B A B B A ≠【解析】由题设，结合正弦定理得－＝＝因为，所以＝22222222sin()sin()sin cos sin cos sin sin cos sin sin 2sin 2cos sin 2222.2a b A B a b A B a A B A b A B BB A A B A BA B A B A B A B ABC ππ++--【解依题意得＝，则＝＝，即＝，所以＝，则有＝或＋＝，即＝或＋＝所以为等腰三角形或直角析】三角形．10.在斜三角形ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 且AA C A ac c a b cos sin )cos(222+=--.(1)求角A ； (2)若2cos sin >CB，求角C 的取值范围。
解：⑴ ∵ 2222cos ,b a c B ac --=-cos()2cos ,sin cos sin 2A C BA A A+=-，……………………………… 2分又∵ 222cos()sin cos b a c A C ac A A --+=，∴ 2cos 2cos ,sin 2B B A--=而ABC ∆为斜三角形，∵cosB 0≠，∴sin2A=1. ……………………………………………………………… 4分 ∵(0,)A π∈，∴2,24A A ππ==. …………………………………………………… 6分⑵∵34πB C +=，∴333sin sin cos cos sin sin 444cos cos cos πππC C CB C C C C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==>…12分 即tan 1C >，∵304C π<<，∴42ππC <<.…………………………………14分 11.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为 ( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析 ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.12.。
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2－bc ＝a 2，且ab ＝3，则角C 的值为 ( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析 由b 2＋c 2－bc ＝a 2，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°. 又a b ＝3，∴sin A sin B ＝3，∴sin B ＝33sin A ＝33×32＝12，∴B ＝30°，∴C ＝180°－A －B ＝90°.10．(13分)(2009·淮南调研)在△ABC 中，若b cos C c cos B ＝1＋cos 2C1＋cos 2B ，试判断△ABC 的形状．解 由已知1＋cos 2C 1＋cos 2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b cos C c cos B ，所以cos C cos B ＝bc . 方法一 利用正弦定理边化角．由正弦定理，得b c ＝sin B sin C ，所以cos C cos B ＝sin Bsin C ，即sin C cos C ＝sin B cos B ，即sin 2C ＝sin 2B .因为B 、C 均为△ABC 的内角，所以2C ＝2B 或2C ＋2B ＝180°， 所以B ＝C 或B ＋C ＝90°，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．方法二 由余弦定理，得a 2＋b 2－c 22ab a 2＋c 2－b 22ac＝bc ，即(a 2＋b 2－c 2)c 2＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，所以a 2c 2－c 4＝a 2b 2－b 4， 即a 2b 2－a 2c 2＋c 4－b 4＝0，所以a 2(b 2－c 2)＋(c 2－b 2)(c 2＋b 2)＝0，即(b 2－c 2)(a 2－b 2－c 2)＝0，所以b 2＝c 2或a 2－b 2－c 2＝0，即b ＝c 或a 2＝b 2＋c 2. 11.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求角A 和tan B 的值．解 由b 2＋c 2－bc ＝a 2，得b 2＋c 2－a 22bc ＝12，即cos A ＝12，又0<A <π，∴A ＝π3. 又c b ＝12＋3，sin C sin B ＝12＋3，C ＝π－A －B ＝2π3－B ，∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝⎝⎛⎭⎫12＋3sin B ， 整理得32cos B ＋12sin B ＝12sin B ＋3sin B . ∴12cos B ＝sin B ，则tan B ＝12.12ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a m +=)sin sin ,3(A B c a n -+=，若n m //，则角B 的大小为1.由// ()(sin sin )sin )0a b B A C c ∴+--+=, 由正弦定理有()())a b b a c c +-=+即222a cb +-=,再由余弦定理得cos 150B B ==︒ 13．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .已知222b c a +=，求： （Ⅰ）A 的大小;（Ⅱ）2sin cos sin()B C B C --的值. 解：(Ⅰ)由余弦定理，2222cos ,a b c bc A =+-222cos 222.6b c a A bc bc A π+-====故所以 (Ⅱ) 2sin cos sin()B C B C --2sin cos (sin cos cos sin )sin cos cos sin sin()sin()1sin .2B C B C B C B C B C B C A A π=--=+=+=-==非边化角14.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b 的值．15.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数． 解：（I）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-= 22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==， 所以60C =．16,。