1.3.2函数的奇偶性(2)
1.3.2函数的奇偶性(优质课)
(3)定义域为{x|x≠0}
(4)定义域为{x|x≠0}
∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x)
即 f(-x) = -f(x)
即 f(-x)=f(x)
∴ f(x)是奇函数.
∴ f(x)是偶函数.
用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
教材36页练习：
本课小结
1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
如果都有 f(－x)=-f(x)
f(x)为奇函数
如果都有 f(－x)=f(x)
f(x)为偶函数
2、两个性质：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一个函数为奇函数
它的图象关于原点对称
一个函数为偶函数
它的图象关于y轴对称
课后作业
1.教材39页习题1.3 A组第6题B组第3题 2.教辅第19页~20页 3.教辅练习册第8页 1.3.3 奇偶性 4.教材第40页~41页实习作业
1.3.2 奇偶性
情景导入
情景1:观察下列图形,回顾轴对称与中心对称概念及其特征.
情景2：数学中有许多对称美的图形，函数中也有不少 具有对称特征的美丽图像,比如 y = x2, y = 1 等函数图像.
x f(x)=x2
如何从“数”的方面定量刻画这些函数图像的对称 本质呢？这就是本课时学习的函数的奇偶性.
当∴只x需∈要[0，先+画∞出) 时f(，x)在[0，+∞)的图象， 再f (根x)据对 x称2 性2，x 可3画 出( x整个1)图2 象4 ..
.4.y.
由图象可知：
函数奇偶性(2)
综合应用
如何与函数其它知识链接起来 对函数进行研究研究
• 例题7 • 1)作业手册P93-10 • 2)作业手册P93-12
课后作业： 1、作业手册 P95 2、实践与信息技术——课本 P37、38、40、41
试试：仿照偶函数定义，给出最小值奇函数的定义
1．对于函数 f (x) 定义域内，
①对于函数 f (x) 定义域内的任意一个 x
②都有 f (x) f (x) 那么函数 f (x) 叫奇函数 关键词及理解: ◆“任意”蕴含的含义： 1）正面、反面， 2）结合②说明对定义域的影响 ◆ f (x) f (x) 的理解： 1）形式；2）图形——由此可知单调性在对称区 间上的联系； 3）变形式（差、商）；4）恒等理解 2 几何意义：图象关于原点对称
f
(x)为偶函数
2、都有f(-x)=f(x)
函数f (x)的图像关于y轴对称
※ 典型例题——奇偶性判断 例1 判别函数的奇偶性 课本P35例题5
小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算 f (x) ，并与 f (x) 进行比较.
练习：判别下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝|x＋1|+|x－1|；（2）f(x)＝x＋ 1 ； x
复习：
1 .下 列 四 个 命 题 ：（ 1） f(x )=1 是 偶 函 数 ；（ 2） g(x)=x 3 ,x∈ （ － 1， 1 ]
是 奇 函 数 ；（ 3） 若 f(x)是 奇 函 数 ， g(x)是 偶 函 数 ， 则 H(x)=f(x) • g(x)
一 定 是 奇 函 数 ；（ 4）函 数 y=f (|x| )的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ，其 中 正 确 的 命 题 个 数 是 （ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
第一章 1.3.2 第1课时 奇偶性的概念
第一章 1.3.2奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.知识点一函数奇偶性的几何特征一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数.知识点二函数奇偶性的定义函数奇偶性的概念：(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上.(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)的图象上.知识点三奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质1.奇(偶)函数的定义域关于原点对称.2.重要性质(1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性.(2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性.1.奇、偶函数的定义域都关于原点对称.( )2.函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称.()3.对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数.()4.存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个.()题型一函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝1x； (2)f (x )＝x 2(x 2＋2)；(3)f (x )＝x x －1； (4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2.反思感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，－x 也一定属于定义域.其次验证f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )是否成立.跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝x ；(2)f (x )＝1－x 2x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.题型二 利用函数的奇偶性求函数值(参数)例2 (1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 是定义在[2b －5,2b －3]上的奇函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为( )A.13B.98C.1D.无法确定 (2)已知f (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________.延伸探究1.本例(1)的条件改为“f (x )＝ax 2＋bx ＋b ＋1是定义在[a －1,2a ]上的偶函数”，求f ⎝⎛⎭⎫12的值.2.把本例(2)的条件“f (－3)＝－3”换为“f (d )＝10”，求f (－d )的值.(1)定义域含参数：奇、偶函数f (x )的定义域为[a ，b ]，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数.(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )(f (x )为奇函数)或f (－x )＝f (x )(f (x )为偶函数)列式，比较系数即可求解.跟踪训练2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，ax 2＋x ，x <0是奇函数，则a ＝________. 答案 1解析 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－x 2－x .又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝x 2＋x ，即ax 2＋x ＝x 2＋x ，∴a ＝1.题型三 奇、偶函数图象的应用例3 定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上的图象如图所示.(1)画出f (x )的图象；(2)解不等式xf (x )>0.反思感悟 可以用奇(偶)函数图象关于原点(y 轴)对称这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性.跟踪训练3 已知奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示.(1)画出函数f (x )在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f (x )<0的x 的取值集合.1.下列函数是偶函数的是( )A.y ＝xB.y ＝2x 2－3C.y ＝xD.y ＝x 2，x ∈(－1,1]2.函数f (x )＝1x－x 的图象关于( ) A.y 轴对称B.直线y ＝－x 对称C.坐标原点对称D.直线y ＝x 对称 3.下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )4.已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝________.5.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋m2－7m＋12为偶函数，则m的值是________.1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数.2.两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.一、选择题1.下列函数中奇函数的个数为( )①f (x )＝x 3；②f (x )＝x 5；③f (x )＝x ＋1x ；④f (x )＝1x 2. A.1 B.2 C.3 D.42.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点中一定在函数f (x )的图象上的是( )A.(3，－2)B.(3,2)C.(－3，－2)D.(2，－3)3.设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定( )A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数4.f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )A.f (－x )＋f (x )＝0B.f (－x )－f (x )＝－2f (x )C.f (－x )·f (x )≤0D.f (x )f (－x )＝－1 5.设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )A.－3B.－1C.1D.36.设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A.f (x )＋|g (x )|是偶函数B.f (x )－|g (x )|是奇函数C.|f (x )|＋g (x )是偶函数D.|f (x )|－g (x )是奇函数7.若f (x )＝a －22x ＋1是定义在R 上的奇函数，则a 的值为( ) A.0 B.－1 C.1 D.2答案 C解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0即f (0)＝a －220＋1＝0，∴a ＝1.8.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为()A.－2B.2C.1D.09.若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.10.已知函数f (x )是奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋mx .若f (2)＝－3，则m 的值为________.11.函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c x＋5，满足f (－3)＝2，则f (3)的值为________.三、解答题12.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x 5；(2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(3)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1.13.(1)如图①，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f (3)的值.(2)如图②，给出偶函数y ＝f (x )的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并比较f (1)与f (3)的大小.14.已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________. 15.函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2).(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明.。
甘肃省陇南第一中学高中数学人教A版必修1： 第一章1.3.2 函数的奇偶性
2.f(x)=-x｜x｜; 是奇函数
3.y=-2x+5; 不是奇函数也不是偶函数
4.f(x)=x2,x∈{-2,-1,0,1,3};
非奇非偶函数
5.y=0,x∈[-2,2]; 既是奇函数也是偶函数
非奇非偶函数 亦奇亦偶函数
小组合作探究：已知y=f(x)是R上的奇函数，当x>0时， f(x)=x2 +x+1 ，求函数的表达式。
x … -2 -1 0 1 2 … y…2 1 0 1 2…
函数y=f(x)的图象 关于y轴对称
1、对定义域中的每一 个x，-x是也在其定义 域内；
2、都有f(-x)=f(x)
函数f(x)的定义域为A，如果对任 意的x∈A，都有
f(-x)= f(x)， 那么称函数y=f(x)是偶函数。
下列说法是否正确，为什么？
例：
y=x2
性质：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
偶函数图象及其性质 ： 定义域关于原点对称； 图象关于y轴对称； 偶函数在关于原点对称的区间上
单调性相反。
你能类比说出奇函数的图象及其性质吗？
y=x3
0
奇函数图象及其性质 ： 定义域关于原点对称； 图象关于原点对称； 奇函数在关于原点对称的
（1）若f (－1) = f (1)，则函数 f (x)是偶函数． （2）若f (－1) ≠ f (1)，则函数 f (x)不是偶函数．
观察下面两个函数图象及数量关系
y 3
2 1
-3 -2 -1 0 -1
y
3 2 1
-2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=x -3 -2 -1 0 1 2 3
函数的奇偶性 (2)
函数的奇偶性【学习目标】1.理解函数的奇偶性定义；2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释：（1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()()()0,1(()0)()f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()()()01(()0)()f x f x f x f x f x -+-==-≠，； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.3.用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性.若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数要点二、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.（2）验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立即可.（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.要点三、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相同的单调性，即已知()f x 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相反的单调性，即已知()f x 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是减函数（增函数）.【典型例题】类型一、判断函数的奇偶性 例1. 判断下列函数的奇偶性：(1)()(f x x =+； (2)f(x)=x 2-4|x|+3 ；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)()f x =；(5)22-(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩； (6)1()[()-()]()2f x g x g x x R =-∈【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数． 【解析】(1)∵f(x)的定义域为(]-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； (2)对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f(-x)=x 2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x 2-4|x|+3为偶函数 ； (3)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(4)[)(]2-1x 11-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22≤≤⎧≥⎧∴∴∈⋃⎨⎨≠≠≠±⎩⎩Q 且()(2)-2f x x x∴==+(-)--()f x f x x∴===，∴f(x)为奇函数；(5)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (6)11(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22f xg x g x g x g x f x ===Q ，∴f(x)为奇函数. 【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉|2|x +的绝对值符号时就十分麻烦.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)23()3xf x x =+；(2)()|1||1|f x x x =++-；(3)222()1x xf x x +=+；(4)22x 2x 1(x 0)f (x)0(x 0)x 2x 1(x 0)⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数． 【解析】(1)()f x 的定义域是R ， 又223()3()()()33x xf x f x x x --==-=--++，()f x ∴是奇函数．（2）()f x 的定义域是R ，又()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴是偶函数． （3）22()()()11f x x x x x -=-+-+=-+()()()()f x f x f x f x ∴-≠--≠且，∴()f x 为非奇非偶函数．（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x 2-2x-1=-(-x 2+2x+1)=-f(x)任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x 2-2x+1=-(x 2+2x-1)=-f(x) x=0时，f(0)=-f(0) ∴x ∈R 时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（2）】【变式3】设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论 恒成立的是 （ ）.A ．()f x +|g(x)|是偶函数B ．()f x -|g(x)|是奇函数C ．|()f x | +g(x)是偶函数D ．|()f x |- g(x)是奇函数 【答案】A例2.已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=+，判断()f x 的奇偶性. 【答案】奇函数【解析】因为对于任何实数,a b ，都有()()()f a b f a f b +=+，可以令,a b 为某些特殊值，得出()()f x f x -=-.设0,a =则()(0)()f b f f b =+，∴(0)0f =. 又设,a x b x =-=，则(0)()()f f x f x =-+，()()f x f x ∴-=-，()f x ∴是奇函数.【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断()f x -与()f x 之间的关系，因此需要先求出(0)f 的值才行.举一反三： 【变式1】 已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数12,x x ，都有121212()()2()()f x x f x x f x f x ++-=⋅，判断函数()f x 的奇偶性.【答案】偶函数 【解析】令120,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x +-=，令210,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x +=由上两式得：()()()()f x f x f x f x +-=+，即()()f x f x -=∴()f x 是偶函数.类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例 3. f(x)，g(x)均为奇函数，()()()2H x af x bg x =++在()0,+∞上的最大值为5，则()H x 在（-,2∞）上的最小值为 ．【答案】 -1【解析】考虑到(),()f x g x 均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求()H x 与()H x -的关系．()H x +()H x -=()()2()()2af x bg x af x bg x +++-+-+()(),()()f x f x g x g x -=--=-Q ， ()()4H x H x ∴+-=．当0x <时，()4()H x H x =--， 而0x ->，()5H x ∴-≤，()1H x ∴≥- ∴()H x 在(,0)-∞上的最小值为-1．【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现()()af x bg x +也是奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题．过程如下：0x >Q 时，()H x 的最大值为5，0x ∴>时()()af x bg x +的最大值为3，0x ∴<时()()af x bg x +的最小值为-3，0x ∴<时，()H x 的最小值为-3+2=-1．举一反三：【变式1】已知f(x)=x 5+ax 3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2). 【答案】-26【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数 ∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8 ∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x 5+ax 3-bx 为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题(2)g 便能迎刃而解.例4. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()31f x x x =+-，求()f x 的解析式．【答案】2231,0,()0,0,31,0.x x x f x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩【解析】()f x Q 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，Q 当0x <时，0x ->，2()()()3()1f x f x x x ⎡⎤∴=--=--+--⎣⎦=231x x -++又奇函数()f x 在原点有定义，(0)0f ∴=．2231,0,()0,0,31,0.x x x f x x x x x ⎧+->⎪∴==⎨⎪-++<⎩【总结升华】若奇函数()f x 在0x =处有意义，则必有(0)0f =，即它的图象必过原点（0，0）． 举一反三：【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例3】 【变式1】（1）已知偶函数()f x 的定义域是R ，当0x ≤时2()31f x x x =--，求()f x 的解析式.（2）已知奇函数()g x 的定义域是R ，当0x >时2()21g x x x =+-，求()g x 的解析式.【答案】（1）2231(0)()31(0)x x x f x x x x ⎧+->⎪=⎨--≤⎪⎩；（2）2221(0)()0021(0)x x x g x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩ （）例5. 定义域在区间[－2，2]上的偶函数()g x ，当x ≥0时，()g x 是单调递减的，若(1)()g m g m -<成立，求m 的取值范围．【思路点拨】根据定义域知1－m ，m ∈[―1，2]，但是1―m ，m 在[―2，0]，[0，2]的哪个区间内尚不明确，若展开讨论，将十分复杂，若注意到偶函数()f x 的性质：()()(||)f x f x f x -==，可避免讨论．【答案】1[1,)2-． 【解析】由于()g x 为偶函数，所以(1)(1)g m g m -=-，()(||)g m g m =．因为x ≥0时，()g x 是单调递减的，故|1|||(1)()(|1|)(||)|1|2||2m m g m g m g m g m m m ->⎧⎪-<⇔-<⇔-≤⎨⎪≤⎩，所以222121222m m m m m ⎧-+>⎪-≤-≤⎨⎪-≤≤⎩，解得112m -≤<．故m 的取值范围是1[1,)2-．【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1―m ，m 转化到同一单调区间上，避免了对由于单调性不同导致1―m 与m 大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化．另外，需注意的是不要忘记定义域．类型三、函数奇偶性的综合问题例6. 已知()y f x =是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数2(1)f x -的单调递增区间． 【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。
1.3.2 奇偶性第二课时 课件(人教A版必修1)
课前自主学习
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0<x<2 0<3x<2 x<1 2
0<x<2 0<x<2 3 ⇔ 1 x< 2
1 ，∴0<x< . 2
1 即不等式解集为x|0<x<2
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第2课时 奇偶性的应用
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1．巩固函数奇偶性的性质，并能熟练应用． 2．能利用函数的奇偶性、单调性解决一些综合 问题．
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自学导引
0 1．定义在R上的奇函数，必有f(0)＝__. 2．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有 增 最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是___函数，且 最小值－M 有__________. 3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则 增函数 有f(x)在(0，＋∞)上是_______．
点评：函数单调性的实质是自变量的变化与函 数变化的内在统一性，解答这类题的思路是：先由 函数的奇偶性将不等式两边都变成只含“f”的式子， 然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解．
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2．设定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x) 单调递减，若g(1－m)<g(m)成立，求m的取值范围． 解：∵g(x)是定义在[－2,2]上的偶函数， 且在[0,2]上单调递减，∴g(x)在[－2,0]上单调递增， 又∵g(1－m)<g(m)，
函数的奇偶性(第2课)
1 [解析] (1)函数 y＝x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于
(2)函数 y＝－3x2＋1 的定义域为 R， 关于原点对称， 且 f(－ x)＝－3(－x)2＋1＝－3x2＋1＝f(x)， ∴y＝－3x2＋1 是偶函数．
第一章 1.3 函数的基本性质
1.3.2 奇偶性(第2课时)
偶函数和奇函数定义
偶函数 奇函数 任意 一个x，都有 如果对于函数f(x)的定义域内______ 定 条件 f ( x) －f(x) f(－x)＝____ f(－x)＝____ 义 函数f(x)叫做奇函数 结论 函数f(x)叫做偶函数 y轴 原点 图象关于____对称 图象特征 图象关于____对称
f ( x) x a x a
.
[思路分析] (1)函数具备奇偶性时，函数的定 义域有什么特点？ (2)判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？
[解析] (1)函数 f(x)＝x＋1 的定义域为实数集 R，关于原 点对称． 因为 f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即 f(－ x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以函数 f(x)＝x＋1 既不是奇函数又 不是偶函数．
(5)函数 y＝2x＋1 的定义域为 R，关于原点对称． ∵f(－x)＝－2x＋1，－f(x)＝－2x－1， ∴f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)， ∴y＝2x＋1 既不是奇函数，又不是偶函数． (6)函数 f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点 对称，故函数 f(x)不具有奇偶性.
[知识点拨] (1)奇函数和偶函数的定义中的 “任意”是指定义域中所有的实数；由于f(－x)与 f(x)有意义，则－x与x同时属于定义域，即具有奇 偶性的函数的定义域关于原点对称． (2)函数f(x)是偶函数⇔对定义域内任意一个x， 都有f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)的图象关于y轴对称． (3)函数f(x)是奇函数⇔对定义域内任意一个x， 都有f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)的图象关于原点对称．
函数的奇偶性说课稿
三．已知函数f(x)是定义 在R上的奇函数，给出下 列命题：f(0)=0若f(x)在 [0,+∞〕上有最小值-1，则 f(x)在（-∞，0）上有最大 值1若f(x)在 [1,+∞〕上为 增函数，则f(x)在（-∞，1] 上为减函数若x>0 2 时，f ( x) x 2 x ，则 f ( x) x 2 2 x x<0时， 其中正确的序号是：
4.重点与难点
教学重点： ⑴函数奇偶性的概念； ⑵运用函数奇偶性的定义判断一些函数的 奇偶性，其中最易错的也是本节的一个重 点就是函数的定义域对这个函数的奇偶性 起到的影响。
教学难点： ⑴函数奇偶性概念的形成，也就是定义中 “任意”的理解； ⑵利用函数图像，奇偶性的定义判断和证 明函数的奇偶性。 ⑶根据定义判断等式f(x)=f(-x)或f(x)= -f(-x) 后易忽略了对于此函数定义域的判断，这 既是教学的重点同时也是难点和易错点。
2.说出下列函数的奇 偶性: ① f ( x) x 4 ② f ( x) x 5 ③ f ( x) x ④ f ( x) x 1 ⑤ f ( x) x 2 ⑥ f ( x) x 3
2.从简单的例子出发， 让学生找出其中的规 律方便以后简单的函 数的判断。即：说明： 对于形如 f ( x) x n 的函数， 若n为偶数，则它为偶 函数；若n为奇数，则 它为奇函数。
课堂小结
方法1：教师提出下列问 题让学生思考 （1）对比偶（奇）函数 的形成过程是怎样的？ （2）如何判定函数的奇 偶性？要注意什么问题？ （3）偶（奇）函数的图 像有什么特点？如何由一 部分的图像做出整个函数 图像？ 方法1： 通过学生的主体参与，使 学生深切体会到本节课的 主要内容和思想方法，从 而实现对函数奇偶性认识 的再次深化。
1.3.2.2函数的奇偶性
例5、判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x4
(2) f ( x) x5
(3) f ( x) x 1 x
(4)
f
( x)
1 x2
3.用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
• (3)判断奇偶性 • ①f(x)＝|x|；
②f(x)＝ 1－x2＋ x2－1；
• ③f(x)＝x2 (x≥1)； • ④f(x)＝|x＋1|－|x－1|. • [答案] ①偶 ②既是奇函数，又是偶函数 ③
非奇非偶 ④奇
• 2．用定义判断函数奇偶性的步骤是： • (1)求定义域，看定义域是否关于原点对称，若定
那么就称这个函数为奇函数.
2、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那
么就称这个函数为偶函数.
说明：奇偶函数图象的性质可用于： a、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性
例3、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如 下图，画出在y轴左边的图象.
解：画法略
• [解析] x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，
• 又∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
• [例3] 已知b＞a＞0，偶函数y＝f(x)在区间[－b， －a]上是增函数，问函数y＝f(x)在区间[a，b]上 是增函数还是减函数？
• [分析] 由函数的奇偶性进行转化．
• [a解.∵析f(x])在[设－ab≤，x1－＜ax]2上≤b是，增则函－数b．≤ －∴xf(2－＜x－2)＜x1≤f(－ － x1)
人教A版数学必修一1.3.2第1课时函数奇偶性的概念
误区：判断函数的奇偶性时，因忽略定义域而出错
【典例】判断函数 f(x)＝(x－1)
11＋ －xx的奇偶性．
【错误解答】f(x)＝－ 1－x2·11＋－xx ＝－ 1＋x1－x＝－ 1－x2， ∴f(－x)＝－ 1－－x2＝－ 1－x2＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
【正确解答】函数f(x)的定义域为{x|－1≤x＜1}，不关于原 点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数．
(2)用定义判断函数奇偶性的步骤为： ①求函数f(x)的定义域；
Байду номын сангаас
②判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原点 对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对 称，则进行下一步；
③结合函数f(x)的定义域，化简函数f(x)的解析式； ④求f(－x)； ⑤根据f(－x)与f(x)之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性． (3)函数的奇偶性也可以用图象法判断，即若函数的图象关 于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函 数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．
(3)∵4|x－＋x22|≥－02，≠0， ∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称． 此时 f(x)＝|x＋42－|－x22＝ 4－x x2． 又 f(－x)＝ 4－－－x x2＝－ 4－x x2＝－f(x)， ∴f(x)＝|x＋42－|－x22为奇函数．
x2＋2x＋3 x<0， 已知函数 f(x)＝0 x＝0，
4分
(2)f(x)的定义域是 R，
6分
又 f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|
＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
8分
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，10分 不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数．12分
高中数学新人教版A版精品教案《1.3.2 奇偶性》
“ 函数的奇偶性”教学设计一、教材分析“函数的奇偶性”是人教A 版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节的内容。
奇偶性是函数的重要性质，教材从学生熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数、绝对值函数入手，从特殊到一般，从具体到抽象，比较系统地介绍了函数的奇偶性。
从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又为后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础，因此，本节课起着承上启下的重要作用。
学习奇偶性，能使学生再次体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。
二、学情分析（一）知识基础1、学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，对图像的特殊对称性早已有一定的感性认识；2、掌握了部分具有奇偶性的简单函数的图像，如＝，2x y 等，为研究函数的奇偶性提供了图像累了函数研究的基本方法与初步经验，已经懂得了从形象到具体，再由具体到一般的研究方法。
（二）认知水平和能力高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题，能在教师的引导下完成学习任务。
但是，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。
（三）任教班级学生特点我所授课的班级是文科班，班级数学基础较差，层次不均，但具有较强的好奇心和求知欲。
根据以上分析，综合学生已有认知基础的条件下，我设计了以下教学目标。
三、教学目标【知识与技能】理解函数的奇偶性概念及几何特征； 学会根据定义归纳奇偶函数满足的条件 掌握判断函数奇偶性的方法。
【过程与方法】经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力 【情感、态度与价值观】通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美四、教学重点和难点重点：理解函数奇偶性的概念和几何特征难点：奇偶性概念的数学化提炼过程及掌握判断函数奇偶性的方法五、教法与学法引导发现法为主，直观演示法，设疑诱导法为辅（一）教法：（1）本节课用“微课”导入，集中学生注意力，激发学生的求知欲，调动学生的积极性；（2）采用直观演示法和启发式教学法，启发学生对图像的认识由感性上升到理性。
SUN1.3.2 函数的奇偶性
☆预习案☆课题：1.3.2 函数的奇偶性第一章 走近细胞 传递过程 缔造方向三案学习方略·生物 - - 版权所有@中国课改网- 2 -☆讲学案☆课题：1.3.2 函数的奇偶性- 3 -第一章 走近细胞 传递过程 缔造方向三案学习方略·生物 - - 版权所有@中国课改网- 4 -- 5 -第一章 走近细胞 传递过程 缔造方向三案学习方略·生物 - - 版权所有@中国课改网- 6 -- 7 - ☆创新作业☆ 课题：1.3.2 函数的奇偶性（小题7解答4）班级 姓名1．（2008年高考全国卷Ⅱ）函数1()f x x x=-的图像关于（ C ） A.y 轴对称 B.直线y x =-对称 C.坐标原点对称 D.直线y x =对称 2.（2008年高考辽宁卷）若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a 等于（ C ） A.-2 B.-1C.1D.23. 2008年高考辽宁卷）设3()()4x f x f x +=+是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足3()()4x f x f x +=+的所有x 之和为（ C ） A.-3 B.3 C.-8 D.84.已知()f x 的定义域为{|x x R ∈且0x ≠ }且满足12()()f x f x x+=，则()f x 的奇偶性为 奇函数5. 函数()(1)f x x ax =+在R 上是奇函数，则a = 06.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,a b R ∈,都满足第一章 走近细胞 传递过程 缔造方向三案学习方略·生物 - - 版权所有@中国课改网- 8 - ()()()f a b af b bf a ⋅=+ （1）求(0),(1)f f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论。
解：（1）令0a b ==则(0)0f =，令1a b ==，则(1)0f = （2）令1,a b x =-=，则()()(1)f x f x xf -=-+-，(1)((1)(1))2(1)f f f =--=--，得(1)0f -=，所以()()f x f x -=-，又因为函数的定义域为全体实数，所以函数为奇函数。
函数的奇偶性 精品教案
课题：1.3.2函数的奇偶性一、教材内容分析“奇偶性”是人教A版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节，本节的主要内容是研究函数的又一条重要性质---函数的奇偶性。
教材从学生熟悉的特殊函数入手，从特殊到一般，从具体到抽象，比较系统地介绍了函数的奇偶性．从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又是为后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。
因此，本节课起着承上启下的重要作用。
学习函数的奇偶性，能使学生再次体会到数形结合的思想，培养了学生观察、分析、归纳的能力；初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。
二、学生学情分析学生是刚从初中进入高中的高一学生，虽然学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，但由于这节课主要是将学生的直观认识提高为抽象理解，抽象的过程往往是高一学生感觉比较困难的地方。
我校是一所县城普通高中，学生基础非常薄弱，要让学生通过感官认识上升为概念的概括，这是一件很困难的问题，因此在教学设计上针对学生的特点，注意从特殊、直观方面出发，多角度引发学生的思考和探究。
三、教学目标知识目标：了解奇函数与偶函数的概念，会用函数的奇偶性定义来判断函数奇偶性。
能力目标：引导学生探究函数奇偶性的形式化定义的过程，培养学生抽象的概括能力和严谨的逻辑思维能力。
情感目标:通过自主探索，体会数形结合的思想，感受生活中的数学美。
教学重点形成函数奇偶性的形式化定义。
教学难点：利用函数的奇偶性定义判断函数的奇偶性。
四、教学策略设计在内容处理上，本节课充分利用画函数图像的过程(列表、描点、连线)，让学生通过观察图像特征，结合函数值对应表，具体可分为三个步骤：第一，学生动手列表、画图；第二，观察描绘函数的图像特征；第三，结合函数值对应表，利用函数解析式来描述这种变化特征。
教学中重视从学生熟悉的函数入手，从特殊到一般性质的概括过程。
由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此本节课充分借助信息技术创设教学情境，以利于学生通过观察函数图像特征，探究出其定义。
1.3.2函数的奇偶性(二)
作业:
1.已知f(x)是定义在（-1，1）上的奇函数， 且f(x)在区间（-1，1）上是增函数，求满 2 f (a 1) f (a 1) 0 足 的实数a的取值范围.
2．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R， 有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)· f(y)且f(0)≠0
变2.定义在（-2，2）上的偶函数f(x)在区间 [0,2]上单调递减，若 f(1-m)<f(m)，求实数m 的取值范围。
变3. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在 (, 0] 上是增函数，f(-2)=0，求不等式 x f ( x) 0 的解集.
例4．已知函数y=f(x)的定义域为R，对任 意的x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),当 x>0时， f(x)>0. (1)试判断f(x)的奇偶性； (2)试判断f(x)的单调性，并证明；
结论:若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0.
2. 设函数 f ( x) 2 x mx 3，已知 f ( x 1) 是 偶函数，求实数m的值.
2
3.已知f（x）=x5+ax3+bx-8，且f（-2）=10， 且f（2）等于（ ） A、-26 B、-18 C、-10 D、10
例1 已知f(x)是偶函数，且当 x 0 时， 2 f ( x) x 3x ,求当 x 0 时f(x)的解析式. 练习:
规律： 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反； 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
例4.定义在（-2，2）上的奇函数f（x）， 满足 f(1+ a) + f(a) > 0，已知f（x） 在（-2，2）是减函数，求a的取值范围。
1.3.2函数的奇偶性
(3). f(x)=x+1
(4). f(x)=2x2 x∈[- 1 , 3]
解: (3)定义域为R ∵ f(-x)= -x+1
解: （4）∵定义域不关于原 点对称
- f(x)= -x-1
∴f(-x)≠f(x)
∴f(x)为非奇非偶函数
且f(-x)≠ –f(x)
y
∴f(x)为非奇非偶函数
y
-1 o
3x
函数为偶函数 函数图象关于y轴对称
2、奇函数定义:
作业：P36 练习1；P44A10
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(－x)= －f(x),
那么函数f(x)就叫奇函数.
函数为奇函数 函数图象关于原点对称
3、奇、偶函数的定义域关于原点对称！
4、判断函数奇偶性的步骤: (1)先求定义域,看是否关于原点对称; (2)求出f(－x)并化简,判断f(－x)与f(x)关系; (3)作结论.
奇函数
{ 3、函数按奇偶性分类 偶函数 非奇非偶函数 既是奇函数又是偶函数f(x)=0
注意：
4、
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f (x) x 1 ; x
(2)
f(x)
1 x2
练习. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+2x
解: 定义域为R
∵f(-x)=(-x)3+2(-x)
函数为偶函数 函数图象关于y轴对称
思考(5.1)函数 f (x) x2, x [1, 2]是偶函数吗？偶函数
的定义域有什么特征？
y
x o
图（1）
偶函数的定义域 关于原点对称！
考察下列两个函数：
(1) f (x) x ;
函数的奇偶性课件
1.3.2 │ 预习探究
[思考] (1)为什么奇、偶函数的定义域一定要 关于原点对称？
(2)对于定义在 R 上的函数 f(x)，若 f(－2)＝ f(2)，则函数 f(x)一定是偶函数吗？
1.3.2 │ 预习探究
1.3.2 │ 考点类析
解：(1)由22＋ －xx≥0，得定义域为[－2，2)，不关于原点对称， 所以 f(x)是非奇非偶函数．
(2)x<－1 时，f(x)＝x＋2，－x>1，所以 f(－x)＝－(－x)＋ 2＝x＋2＝f(x)；
x>1 时，f(x)＝－x＋2，－x<－1，所以 f(－x)＝－x＋2＝ f(x)；
1.3.2 │ 考点类析
考点类析
考点一 函数奇偶性的判断 重点探究型 [导入] (1)给出一个函数的解析式，你如何判断函数的奇偶性？ (2)若给出一个函数的图像，你如何判断函数的奇偶性？
1.3.2 │ 考点类析
解：(1)先判断定义域是否关于原点对称，再检验 f(－x) ＝f(x)或 f(－x)＝－f(x)是否恒成立；也可以作出函数的图像， 观察图像是否关于原点对称或关于 y 轴对称．
(2)若已知函数的图像，则观察图像是否关于原点或 y 轴 对称，依此判断函数的奇偶性．
1.3.2 │ 考点类析
考点二 利用函数奇偶性求参数的值 基础夯实型
例 2 (1)函数 f(x)＝ax2＋2x 是奇函数，则 a＝__0______．
(2)若函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，定义域为[a
－1≤x≤1 时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，所以 f(－x)＝0＝f(x)． 所以对定义域内的每一个 x 都有 f(－x)＝f(x)，所以 f(x)是偶函 数．
新疆乌鲁木齐市第二十中学高中数学 1.3.2函数的奇偶性教案 新人教版必修1
1.3.2 函数的奇偶性一、教学目标1、理解函数的奇偶性及其几何意义。
2、通过函数图象研究函数的性质。
3、培养学生观察对称图形的能力，感受对称美，渗透数形结合的思想。
4、培养学生观察、抽象的能力及从特殊到一般的概括、归纳等问题。
二、教学重点、难点教学重点：函数奇偶性的定义及几何意义。
教学难点：判断函数奇偶性的方法步骤。
三、教学方法谈话法、自主探究活动法、教练结合法四、课时安排1课时五、教学用具幻灯片六、教学过程（一）情景引入同学们，我们生活在美的世界里，感受着许多美。
今天，我们就来讨论对称美，请大家想想我们现实生活有哪些对称美的图形？（幻灯片）喜字、蝴蝶、麦当劳标志、建筑物、太极标志、风车等。
以麦当劳标志为例，建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？答：图象关于y轴对称可见，对称性是我们研究函数的一个重要性质，大家可以领会到数学在生活中的应用多么广泛，那么我们今天就来学习函数的一个重要性质—函数的奇偶性（板书题目）。
（二）探索新知（幻灯片）观察下图，思考些列问题,并完成表格：（1）这两个函数图象有什么共同特征？（2）相应的函数值对应的表是如何体现的这些特征的？y yxx-3 -2 -1 0 1 2 3 2()f x x=9 4 1 0 1 4 9x-3 -2 -1 0 1 2 3 ()f x x= 3 2 1 0 1 2 3o 2()f x x=()|| f x x=o共同特征：两个函数的图象都关于y 轴对称。
问：如何利用函数的解析式描述函数图象的这个特征呢？答：从函数值对应表可以看到，当自变量x 取一对相反数时，相应的两个函数值相同。
例如：对于函数2()f x x =，有(3)9(3),(2)4(2),(1)1(1)f f f f f f -==-==-== 对于R 内的任意一个x ，都有22()()()f x x x f x -=-==，我们称()y f x =为偶函数。
1、 偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．例如：函数2()1f x x =+，4()f x x =，()1f x =问：偶函数的图象有什么特征？ 答：图象关于y 轴对称。
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三
奇偶性与单调性的综合应用
例3、确定函数f(x)=-x2+2|x|+3的单调区间。
y
奇函数的图象 关于原点对称； 偶函数的图象 关于y轴对称。 反之也成立。
4 3
-3
-1 0 1
3
x
在关于原点对称的区间上,偶函数的单调性相 反，奇函数的单调性相同。
练习、已知f(x)是R上的奇函数，且在(0,+∞)上 是增函数，求证：f(x)在(-∞,0)上也是增函数。
f (0) 0
思考2:已知奇函数f(x)在[a,b]上是减函数，那么 它在[-b,-a]上呢？ 已知偶函数f(x)在[a,b]上是增函数，那么它 在[-b,-a]上呢？
奇函数在[a,b]和[-b,-a]的单调性相同， 偶函数在[a,b]和[-b,-a]的单调性相反。
一、由奇偶性求函数解析式
例1、设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= x2 +x+1,求函数解析式.
【分析】由奇函数的图象关于原点对称，找x≥0和x<0时解析式间的联系.
【解析】当x<0时，-x>0，由已知得f(-x)=x2-x+1, ∵f(x)为R上的奇函数， ∴f(-x)=-f(x)=x2-x+1,∴f(x)=-x2+x-1, 又∵f(0)=-f(0),∴f(0)=0. x2+x+1，x>0， ∴ f(x) 0， x=0， -x2+x-1，x<0.
【证明】令a=0，则f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0. 又令a=-x,b=x，代入f(a+b)=f(a)+f(b)得 f(-x+x)=f(-x)+f(x), 即0=f(-x)+f(x), ∴f(-x)= -f(x), ∴f(x)为奇函数.
练习、已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意实 数a,b，都有f(ab)=af(b)+bf(a)成立。 （1）求f(1)和f(-1)的值； （2）确定f(x)的奇偶性。
练习、f ( x)是偶函数,当x 0时, f ( x) x(1 x), 当x 0时, 求f ( x)的解析式 .
二
奇偶性的证明
例2、函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b，都有 f(a+b)=f(a)+f(b)，求证：f(x)为奇函数.
【分析】因为对于a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，所以可以令a,b为某些 特殊奇函数f(x)为减函数，且f(1-a)+f(1-a2)<0，求实数a的取值范 围； （2）定义在［-2,2］上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1-m)<g(m)成 立，求m的取值范围.
在关于原点对称的区间上,奇函数的单调性相 同,偶函数的单调性相反。
例4、已知奇函数f(x)是定义在(-1,1)上的减函数， 求不等式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集。
练习、已知定义域为[-1,1]的偶函数f(x)在[0,1] 上为增函数,若f(a-2)-f(3-a)<0,求实数a的取值范 围。
1.3.2 奇偶性(2)
定
义
偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)= －f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
思考1:若f(x)是定义在R上的奇函数，那么f(0)的 值如何？