第七讲 函数的奇偶性与周期性

第七讲函数的奇偶性与周期性
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，则f(99)＝( )
A．13 B．2
C.13
2
D.
2
13
解析：由f(x)·f(x＋2)＝13，知f(x＋2)·f(x＋4)＝13，所以f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期函数，周期为 4.所以f(99)＝f(3＋
4×24)＝f(3)＝
13
f(1)
＝
13
2
.
答案：C
2．(2018·郑州)定义在R上的函数f(x)满足：对于任意α，β∈R，总有f(α＋β)－[f(α)＋f(β)]＝2018，则下列说法正确的是( )
A．f(x)－1是奇函数
B．f(x)＋1是奇函数
C．f(x)－2018是奇函数
D．f(x)＋2018是奇函数
解析：依题意，取α＝β＝0，得f(0)＝－2018；取α＝x，β
＝－x ，得f(0)－f(x)－f(－x)＝2018，f(－x)＋2018＝－[f(x)－f(0)]＝－[f(x)＋2018]，因此函数f(x)＋2018是奇函数，选D.
答案：D
3．设f(x)是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log 12
(1－x)，则函数f(x)在(1,2)上( )
A ．是增函数，且f(x)<0
B ．是增函数，且f(x)>0
C ．是减函数，且f(x)<0
D ．是减函数，且f(x)>0
解析：由题意得当x∈(1,2)时，0<2－x<1,0<x －1<1，f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝log 12[1－(2－x)]＝log 12
(x －1)>0，则可知当x∈(1,2)
时，f(x)是减函数，选D.
答案：D
4．设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3x ＋4的所有x 之和为( )
A ．－3
B ．3
C ．－8
D ．8
解析：因为f(x)是连续的偶函数，且x>0时是单调函数，由偶函
数的性质可知若f(x)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋3x ＋4，只有两种情况：①x＝x ＋3x ＋4；②x＋x ＋3x ＋4＝0.
由①知x 2＋3x －3＝0，故两根之和为x 1＋x 2＝－3.
由②知x 2＋5x ＋3＝0，故其两根之和为x 3＋x 4＝－5.
因此满足条件的所有x 之和为－8.
答案：C
5．已知奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么函数f(x)在区间[－7，－3]上( )
A ．是增函数且最小值为－5
B ．是增函数且最大值为－5
C ．是减函数且最小值为－5
D ．是减函数且最大值为－5
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称．
∵f(x)在[3,7]上是增函数，
∴f(x)在[－7，－3]上也是增函数．
∵f(x)在[3,7]上的最小值为5，
∴由图可知函数f(x)在[－7，－3]上有最大值－5.
答案：B
评析：本题既涉及到函数的奇偶性，又涉及到函数的单调性，还涉及到函数的最值，是一道综合性较强的题目，由于所给的函数没有具体的解析式，因此我们画出函数f(x)在区间[3,7]上的示意图，由图形易得结论．
6．(2018·新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)＝x 3－8(x≥0)，则{x|f(x －2)>0}＝( )
A ．{x|x<－2或x>4}
B ．{x|x<0或x>4}
C ．{x|x<0或x>6}
D ．{x|x<－2或x>2}
解析：当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝(－x)3－8＝－x 3－8，
又f(x)是偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝－x 3－8，
∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－8，x≥0－x 3－8，x<0.
∴f(x－2)＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)3－8，x≥2－(x －2)3－8，x<2，
⎩⎪⎨⎪⎧ x≥2(x －2)3－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x<2－(x －2)3－8>0，
解得x>4或x<0.故选B.
答案：B
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．(2018·江苏)设函数f(x)＝x(e x＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．
解析：设g(x)＝x，h(x)＝e x＋ae－x，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝e x＋ae－x为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.
答案：－1
8．已知函数f(x＋1)是奇函数，f(x－1)是偶函数，且f(0)＝2，则f(4)＝________.
解析：依题意有f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝f(x－1)，所以f(4)＝f(－(－3)＋1)＝－f(－2)＝－f(－1－1)＝－f(0)＝－2.
答案：－2
9．(2018·湖北八校)设函数f(x)的定义域、值域分别为A、B，且A∩B是单元集，下列命题
①若A∩B＝{a}，则f(a)＝a；
②若B不是单元集，则满足f[f(x)]＝f(x)的x值可能不存在；
③若f(x)具有奇偶性，则f(x)可能为偶函数；
④若f(x)不是常数函数，则f(x)不可能为周期函数．
其中，正确
解析：如f(x)＝x＋1，A＝[－1,0]，B＝[0,1]满足A∩B＝{0}，但f(0)≠0，且满足f[f(x)]＝f(x)的x可能不存在，①错，②正确；如，f(x)＝1，A＝R，B＝{1}，则f(x)＝1，A＝R是偶函数，③正确；如f(x)＝x－2k＋1，A＝[2k－1,2k]，B＝[0,1]，k∈Z，f(x)是周期函数，但不是常数函数，所以④错误．
答案：②③
10．对于定义在R上的函数f(x)，有下述四个
①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；
②若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；
③若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数；
④函数y＝f(1＋x)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．
解析：f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位而得到，又f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称，故①正确；
由f(x＋1)＝f(x－1)可知f(x)的周期为2，无法判断其对称轴，故②错误；
f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)关于y轴对称，故f(x)为偶函数，③正确；
y＝f(1＋x)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移一个单位后得到，y＝f(1－x)是由y＝f(x)的图象关于y轴对称后再向右平移一个单位而得到，两者图象关于y轴对称，故④错误．
答案：①③
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b
2x＋1＋a
是奇函数．
(1)求a、b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
分析：(1)由f(0)＝0可求得b，再由特殊值或奇函数定义求得a；
(2)先分析函数f(x)的单调性，根据单调性去掉函数符号f，然后用判别式解决恒成立问题．
解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，
即b－1
a＋2
＝0⇒b＝1，
所以f(x)＝
1－2x
a＋2x＋1
，
又由f(1)＝－f(－1)
知1－2
a＋4
＝－
1－
1
2
a＋1
⇒a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝
1－2x 2＋2x＋1
＝－1
2
＋
1
2x＋1
，
易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
又因f(x)是奇函数，从而不等式：
f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于
f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，
因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k－2t2，即对t∈R有：
3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0⇒k<－1
3
.
12．设函数f(x)的定义域为R，对于任意的实数x，y，都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＜0，求证：(1)f(x)为奇函数；
(2)f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
证明：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.
再令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)设x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2，则x2－x1＞0，
∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0.
又∵对于任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(x)为奇函数，
∴f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∴f(x2)－f(x1)＜0，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
13．设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足
①f(x1－x2)＝f(x1)f(x2)＋1
f(x2)－f(x1)
；
②存在正常数a，使f(a)＝1.
求证：(1)f(x)是奇函数；
(2)f(x)是周期函数，并且有一个周期为4a. 证明：(1)不妨令x＝x1－x2，则
f(－x)＝f(x2－x1)＝f(x2)f(x1)＋1 f(x1)－f(x2)
＝－f(x1)f(x2)＋1
f(x2)－f(x1)
＝－f(x1－x2)
＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．(2)要证f(x＋4a)＝f(x)，
可先计算f(x＋a)，f(x＋2a)，
∵f(x＋a)＝f[x－(－a)]＝f(－a)f(x)＋1 f(－a)－f(x)
＝－f(a)f(x)＋1
－f(a)－f(x)
＝
f(x)－1
f(x)＋1
，(f(a)＝1)．
∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]
＝f(x＋a)－1
f(x＋a)＋1
＝
f(x)－1
f(x)＋1
－1
f(x)－1
f(x)＋1
＋1
＝－
1
f(x)
.
∴f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝
1
－f(x＋2a)
＝f(x)
故f(x)是以4a为周期的周期函数．。