九年级上册数学一元二次方程全章复习与巩固训练题及答案详细解析
人教版 九年级数学 上册第21章 一元二次方程 综合巩固训练(含答案)
人教版九年级数学第21章一元二次方程综合巩固训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 某学校准备建一个底面为矩形的游泳池，若矩形的面积为400 m2，且它的宽比长短10 m，设游泳池的宽为x m，则下面所列方程正确的是( )A．x(x－10)＝400 B．x(x＋10)＝400C．2x(2x－10)＝400 D．2x(2x＋10)＝4002. 一元二次方程x2－6x－5＝0配方后可变形为( )A. (x－3)2＝14B. (x－3)2＝4C. (x＋3)2＝14D. (x＋3)2＝43. 一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是( )A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根4. 若x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根，则x21－x1＋x2的值为( )A. －1B. 0C. 2D. 35. 2018·福建已知关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋2bx＋(a＋1)＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是()A．1一定不是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根B．0一定不是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根C．1和－1都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根D．1和－1不都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根6. 若关于x的方程x2＋ax＋1＝0和x2－x－a＝0(a≠－1)只有一个相同的根，则a 的值是()A．0 B．4 C．2 D．37. 已知a，b，c满足a＋c＝b，4a＋c＝2b，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0的解的情况为()A．x1＝1，x2＝2B．x1＝－1，x2＝－2C．方程的解与a，b的取值有关D．方程的解与a，b，c的取值有关8. 某专卖店销售一种机床，三月份每台售价为2万元，共销售60台．根据市场调查知：这种机床每台售价每增加0.1万元，每个月就会少售出1台．四月份该专卖店想将销售额提高25%，则这种机床每台的售价应定为()A．3万元B．5万元C．8万元D．3万元或5万元9.如果关于x的一元二次方程k2x2－(2k＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( )A．k＞－14B．k＞－14且k≠0C．k＜－14D．k≥－14且k≠010. 如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程中正确的是()A．(32－2x)(20－x)＝570B．32x＋2×20x＝32×20－570C．(32－x)(20－x)＝32×20－570D．32x＋2×20x－2x2＝570二、填空题（本大题共8道小题）11.某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是________．12. 下列5个关于x 的方程：①2x ＋1＝0；②y 2＋x ＝1；③x 2－1＝0；④x 2＋1x ＝1；⑤x 2＋5x ＝ (x ＋3)(x －3)．其中是一元二次方程的是________(填序号)．13. 填空：(1)x 2＋4x ＋(____)＝(x ＋____)2；(2)x 2＋(____)x ＋254＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522； (3)x 2－73x ＋(______)＝(x －______)2； (4)x 2－px ＋(______)＝(x －______)2.14.一个三角形其中两边的长分别为3和6，第三边的长是方程x 2－6x ＋8＝0的一个根，则此三角形的周长是________．15. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少个小分支．如果设每个支干又长出x 个小分支，那么依题意可列方程为__________________．16.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的最大整数值为________．17. 相邻的两个自然数，若它们的平方和比这两数中较小数的2倍大51，则这两个自然数分别为________．18.若一元二次方程x 2－2x －3599＝0的两根分别为a ，b ，且a ＞b ，则2a －b 的值为________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．20.古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2＋ax＝b2(a＞0，b＞0)的方程的图解法是：如图，以a 2和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝a2，则AD的长就是所求方程的解．(1)请用含字母a，b的代数式表示AD的长；(2)请利用公式法说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．21. 证明：(1)无论x取何实数，代数式－x2＋2x－3的值一定是负数；(2)无论x取何实数，代数式x2＋2x＋5的值一定是正数．22. 三个连续的正奇数，最大数与最小数的积比中间的一个数的6倍多3，求这三个奇数．人教版九年级数学第21章一元二次方程综合巩固训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】B2. 【答案】A【解析】x 2－6x －5＝0，x 2－6x ＝5，x 2－6x ＋9＝5＋9，(x －3)2＝14，故选A.3. 【答案】B【解析】代入数据求出根的判别式Δ＝b 2－4ac 的值，根据Δ的正负即可得出结论．∵Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．4. 【答案】D 【解析】由题意可得x 21－2x 1－1＝0，x 1＋x 2＝2，即x 21－2x 1＝1，所以原式＝x 21－2x 1＋()x1＋x2＝1＋2＝3.5. 【答案】D [解析] ∵关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，∴⎩⎨⎧a ＋1≠0，Δ＝（2b ）2－4（a ＋1）2＝0， ∴b ＝a ＋1或b ＝－(a ＋1)．当b ＝a ＋1时，有a －b ＋1＝0，此时－1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根； 当b ＝－(a ＋1)时，有a ＋b ＋1＝0，此时1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根． ∵a ＋1≠0，∴a ＋1≠－(a ＋1)，∴1和－1不都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根．6. 【答案】C [解析] 设两个方程相同的根为x ＝m .根据题意，得m 2＋am ＋1＝0①，m 2－m －a ＝0②，①－②，得m (a ＋1)＋1＋a ＝0.∵a ≠－1，∴a ＋1≠0，∴两边同除以(a ＋1)，得m ＝－1，∴(－1)2＋a ·(－1)＋1＝0，解得a ＝2.7. 【答案】B [解析] ∵a ＋c ＝b ，∴a －b ＋c ＝0，即x ＝－1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的一个根．∵4a ＋c ＝2b ，∴4a －2b ＋c ＝0，即x ＝－2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的一个根．故选B.8. 【答案】D [解析] 设这种机床每台的售价定为x 万元，则x ⎝⎛⎭⎪⎫60－x －20.1＝2×60×(1＋25%)， 解得x 1＝3，x 2＝5.9. 【答案】B10. 【答案】A二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】10%【解析】设降价的百分率是x ，则100(1－x)2＝81，解得x 1＝0.1，x 2＝1.9(舍去)，故这两次降价的百分率是10%.12. 【答案】③13. 【答案】(1)4 2 (2)－5 (3)4936 76(4)p24 p 214. 【答案】13 [解析] 解方程x 2－6x ＋8＝0，得x 1＝2，x 2＝4.∵2，3，6不能构成三角形，∴舍去x ＝2.当x ＝4时，三角形的周长＝3＋4＋6＝13.15. 【答案】x 2＋x ＋1＝73 [解析] 设每个支干又长出x 个小分支，根据题意，得x 2＋x ＋1＝73.16. 【答案】0 [解析] 由题意得Δ＝b 2－4ac ＝4－4(k －1)>0，∴k<2.又∵k －1≠0，即k≠1，∴k<2且k≠1，∴k 的最大整数值为0.17. 【答案】5，6 [解析] 设较小的自然数为x ，则较大的自然数为(x ＋1)． 根据题意，得x 2＋(x ＋1)2＝2x ＋51，解得x 1＝5，x 2＝－5(舍去)．则这两个自然数分别为5，6.18. 【答案】181 [解析] x 2－2x －3599＝0，x 2－2x ＝3599，x 2－2x ＋1＝3599＋1，(x －1)2＝3600，所以x －1＝60或x －1＝－60，所以x ＝61或x ＝－59.又因为a ＞b ，所以a ＝61，b ＝－59，所以2a －b ＝2×61－(－59)＝181.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：∵关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(2m －1)＝4－8m ＋4＝8－8m ≥0，∴m≤1.又∵m 为正整数，∴m ＝1，此时方程为x 2－2x ＋1＝0，解得x 1＝x 2＝1.20. 【答案】12解：(1)∵∠ACB ＝90°，BC ＝a 2，AC ＝b ，∴AB ＝b2＋a24， ∴AD ＝b2＋a24－a 2＝－a ＋4b2＋a22. (2)方程x 2＋ax ＝b 2整理，得x 2＋ax －b 2＝0.Δ＝a 2－4×1×(－b 2)＝a 2＋4b 2>0，∴x ＝－a±a2＋4b22， 即x 1＝－a ＋4b2＋a22，x 2＝－a －4b2＋a22. 正确性：AD 的长就是方程的正根．遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．21. 【答案】证明：(1)－x 2＋2x －3＝－(x 2－2x)－3＝－(x 2－2x ＋1)＋1－3＝－(x －1)2－2. 因为－(x －1)2≤0，所以－(x －1)2－2＜0.因此，无论x 取何实数，代数式－x 2＋2x －3的值一定是负数．(2)x 2＋2x ＋5＝(x 2＋2x ＋1)＋4＝(x ＋1)2＋4.因为(x＋1)2≥0，所以(x＋1)2＋4＞0.因此，无论x取何实数，代数式x2＋2x＋5的值一定是正数．22. 【答案】解：设这三个连续的正奇数分别为2n－1，2n＋1，2n＋3(n为正整数)．根据题意，得(2n＋3)(2n－1)－6(2n＋1)＝3，解得n1＝3，n2＝－1(舍去)．当n＝3时，2n－1＝5，2n＋1＝7，2n＋3＝9.即这三个奇数分别为5，7，9.。
九年级数学上册 第二章 一元二次方程《一元二次方程的解法(三)公式法,因式分解法》巩固练习(含解析)
一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—巩固练习【巩固练习】一、选择题1.方程x 2+x ﹣12=0的两个根为（ ）A ．x 1=﹣2，x 2=6B ．x 1=﹣6，x 2=2C ．x 1=﹣3，x 2=4D ．x 1=﹣4，x 2=32．整式x+1与整式x-4的积为x 2-3x-4，则一元二次方程x 2-3x-4＝0的根是( )A ．x 1＝-1，x 2＝-4B ．x 1＝-1，x 2＝4C ．x 1＝1，x 2＝4D ．x 1＝1，x 2＝-43．如果x 2+x-1＝0，那么代数式3227x x +-的值为( )A ．6B ．8C ．-6D ．-84．若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x+m 2-3m+2＝0的常数项为0，则m 的值等于( )A ．1B ．2C ．1或2D ．05．若代数式(2)(1)||1x x x ---的值为零，则x 的取值是( )A ．x ＝2或x ＝1B ．x ＝2且x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝-16．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形周长是( )A ．12B ．9C ．13D ．12或9二、填空题7．已知实数x 满足4x 2-4x+1＝0，则代数式122x x +的值为________．8．已知y ＝x 2+x-6，当x ＝________时，y 的值是24．9．若方程2x mx n ++可以分解成（x-3）与(x+4)的积的形式，则m ＝________，n ＝________．10．若规定两数a 、b 通过“※”运算，得到4ab ，即a※b＝4ab ，例如2※6＝4×2×6＝48．(1)则3※5的值为 ；(2)则x※x+2※x -2※4＝0中x 的值为 ；(3)若无论x 是什么数，总有a※x＝x ，则a 的值为 ．11．阅读下面的材料，回答问题：解方程x 4﹣5x 2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x 2=y ，那么x 4=y 2，于是原方程可变为y 2﹣5y+4=0 ①，解得y 1=1，y 2=4．当y=1时，x 2=1，∴x=±1；当y=4时，x 2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x 1=1，x 2=﹣1，x 3=2，x 4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．（2）方程（x 2+x ）2﹣4（x 2+x ）﹣12=0的解为 ．三、解答题12. 用公式法解下列方程：2(1)210x ax --=； （2）22222(1)()ab x a x b x a b +=+> ．13．用适当方法解下列方程：（1）（2x-3）2=25 (2)x 2-4x+2=0 (3)x 2-5x-6=014．(1)利用求根公式计算，结合①②③你能得出什么猜想?①方程x 2+2x+1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________． ②方程x 2-3x-1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________． ③方程3x 2+4x-7＝0的根为x 1＝_______，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．(2)利用求根公式计算：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a≠0，且b 2-4ac≥0)的两根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．(3)利用上面的结论解决下面的问题：设x 1、x 2是方程2x 2+3x-1＝0的两个根，根据上面的结论，求下列各式的值：①1211x x +； ②2212x x +．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D【解析】x 2+x ﹣12=（x+4）（x ﹣3）=0，则x+4=0，或x ﹣3=0，解得：x 1=﹣4，x 2=3．故选D ．2．【答案】B ；【解析】∵ 234(1(4)x x x x --=+-，∴ 2340x x --=的根是11x =-，24x =．3．【答案】C ．【解析】∵ 210x x +-=，∴ 21x x +=．∴ 32322222277()77176x x x x x x x x x x x +-=++-=++-=+-=-=-．4.【答案】B ；【解析】由常数项为0可得m 2-3m+2＝0，∴ (m -1)(m-2)＝0，即m-1＝0或m-2＝0， ∴ m＝1或m ＝2，而一元二次方程的二次项系数m-1≠0，∴ m≠1，即m ＝2．5．【答案】C ；【解析】(2)(1)0x x --=且||1x ≠，∴ 2x =．6．【答案】A ；【解析】x 2-7x+10=0，x 1=2，x 2=5，此等腰三角形的三边只能是5，5，2，其周长为12．二、填空题7．【答案】2；【解析】用因式分解法解方程24410x x -+=得原方程有两个等根，即1212x x ==， 所以121122x x +=+=．8．【答案】5或-6；【解析】此题把y 的值代入得到关于x 的一元二次方程，解之即可．如：根据题意，得2624x x +-=，整理得2300x x +-=，解得15x =，26x =-．9．【答案】 1 ； -12 ；【解析】22(3)(4)12x mx n x x x x ++=-+=+-，∴ m＝1，n ＝-12．10．【答案】(1)60；(2) 12x =，24x =-；(3) 14a =．【解析】(1)3※5＝4×3×5＝60；(2)∵ x ※x +2※2x -※4＝24(28)0x x +-=，∴ 12x =，24x =-；(3)∵ a ※4x ax ==x ，4(41)0ax x a x -=-=，∴ 只有410a -=，等式才能对任何x 值都成立． ∴ 14a =．11．【答案】(1) 换元； 降次； (2) x 1=﹣3，x 2=2．【解析】解：（1）换元，降次（2）设x 2+x=y ，原方程可化为y 2﹣4y ﹣12=0，解得y 1=6，y 2=﹣2．由x 2+x=6，得x 1=﹣3，x 2=2．由x 2+x=﹣2，得方程x 2+x+2=0，b 2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x 1=﹣3，x 2=2．三、解答题12.【答案与解析】（1）∵1,2,1,a b a c ==-=-∴2224(2)41(1)440b ac a a -=--⨯⨯-=+＞∴x a ==±∴12x a x a =+=-（2）222(1)ab x a x b x +=+，即222()0abx a b x ab -++=，令A ＝ab ，B ＝22()a b -+，C ＝ab ．∵ 22222224()4()0B AC a b ab ab a b ⎡⎤-=-+-•=-⎣⎦＞，∴ 2222()2a b a b x ab +±-==， ∴ 222221222a b a b a ax ab ab b ++-===，222222()222a b a b b bx ab ab a +--===，∴ 1ax b =，2bx a =．13.【答案与解析】解：（1）直接开平方得：2x-3=±5，∴2x -3= 5或2x-3=-5∴x 1= 4，x 2= -1（2）∵a=1,b=-4,c=2,∴△=b 2-4ac=16-8=8.∴ x =±∴12=2=2.x x +（3）分解因式得：（x-6）(x+1)=0∴ x-6= 0或 x+1=0∴x 1= 6，x 2= -1.14.【答案与解析】(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数．① -1 ； -1 ； -2 ； 1.② 32；32 ； 3 ；-1. ③ 73- ； 1 ； 43- ； 73- .；；ba - ；ca . (3)1232x x +=-，1212x x =-g ． ①1212123112312x x x x x x -++===-．②22212121291913()2214244x x x x x x ⎛⎫+=+-=-⨯-=+= ⎪⎝⎭．。
人教版数学九年级上学期课时练习- 《一元二次方程》全章复习与巩固(巩固篇)(人教版)
专题21.31 《一元二次方程》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．已知方程20x bx a -+=，有一个根是()0a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）．A ．abB ．a bC ．a b +D ．-a b2．已知方程264x x -+=，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成()27x p -=的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）A ．6B ．9C ．2D ．2-3．若a ，b 10a -=，则2a b -=（ ） A ．3B ．4C ．5D ．64．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法．类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根．如图，裁一张边长为1的正方形纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段AE 上，标注点B 的新位置F ，则EF EB =． 类似地，再在AB 上折出点M 使AM AF =，则表示方程210x x +-=的一个正根的是（ ）A ．线段BM 的长B ．线段AM 的长C ．线段BE 的长D ．线段AE 的长5．若对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义a b cd＝ad －bc ，按照定义，若11x x +- 23x x -＝0，则x 的值为（ ）AB ．C ．3D ．6．若关于x 的方程()()22222280x x x x +++-=有实数根，则22x x +的值为（ ） A ．－4B ．2C ．－4或2D ．4或－27．已知关于x 的一元二次方程2220x mx m m ++-=的两实数根为12,x x ，且满足122x x =，则12x x +的值为（ ）A ．4B ．-4C ．4或-2D ．-4或28．若a 、b 是关于x 的一元二次方程x 22-kx ＋4k =0的两个实数根，且a 2＋b 2＝12，则k 的值是（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．3-或19．在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a 分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x ，则可列方程为（ ）A ．()2170%a x a -= B ．()2170%a x a += C ．()2130%a x a -=D ．()230%1x a a +=10．如图，在△ABC 中，△ABC ＝90°，AB ＝8cm ，BC ＝6cm ．动点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始移动，点P 的速度为1cm/秒，点Q 的速度为2cm/秒，点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ 的面积为15cm 2的是（ ）A ．2秒钟B ．3秒钟C ．3秒钟或5秒钟D ．5秒钟11．如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，如果输出M 的值为5，那么输入x 的值为（ ）A ．－8B ．－2C ．1D ．8二、填空题12．关于x 的方程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m ，n ，且(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54，则a 的值为______．13．若1x ，2x 是方程210x x +-=的两根，则()()22112222x x x x +-+-的值为______．14．已知x ，那么2263x x +-的值是______． 15．已知矩形的长和宽分别为a 和b ，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a ，b 应该满足的条件为 _____．16．已知一元二次方程214480x x -+=的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．17a =_____________． 18．设12,x x 是一元二次方程2530x x -+=的两个根，则1211x x +=__________． 19．已知26a －100a ＋7＝0以及27b －100b ＋6＝0，且ab ≠1，则ab的值为__________．20．电影《长津湖之水门桥》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x ，则方程可以列为___________．21．如图，已知Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，△B ＝30°，BC ＝3，D 是边AB 上的一点，将△BCD 沿直线CD 翻折，使点B 落在点B 1的位置，若B 1D △BC ，则BD 的长度为 _____．22．如图，在一块长为22m ，宽为14m 的矩形空地内修建三条宽度相等的小路（阴影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m 2，则小路的宽为________m ．23．如图，在矩形ABCD 中，65AB AD ==，，点E 是AB 上一点，且5BE =，连接CE ，点F 是线段DC 上一点，将ADF 沿AF 折叠，使得点D 的对应点D 落在线段CE 上，则DF 的长度为___________．三、解答题 24．解方程（1）2699910x x --=； （2）()()22352360x x ---+=；（3）2223x a ax +=（配方法）； （4）2210mx x -+=.25．阅读材料：若m2－2mn ＋2n 2－8n ＋16＝0，求m 、n 的值. 解：△m 2－2mn ＋2n 2－8n ＋16＝0，△(m 2－2mn ＋n 2)＋(n 2－8n ＋16)＝0△(m －n)2＋(n －4)2＝0，△(m －n)2＝0，(n －4)2＝0，△n ＝4，m ＝4. 根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知a 2＋6ab ＋10b 2＋2b ＋1＝0，求a －b 的值；(2)已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2a 2＋b 2－4a －6b ＋11＝0，求△ABC 的周长；(3)已知x ＋y ＝2，xy －z 2－4z ＝5，求xyz 的值.26．关于x 的方程()()22210x m x m -++-=(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根． (2)若此方程的一个根为1，求m 的值：(3)求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长27．苏科版九上数学p 31阅读《各类方程的解法》中提到：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x 3+x 2﹣2x ＝0，可以通过因式分解把它转化为x （x 2+x ﹣2）＝0，解方程x ＝0和x 2+x ﹣2＝0，可得方程x 3+x 2﹣2x ＝0的解．（1）问题：方程x 3+x 2﹣2x ＝0的解是x 1＝0，x 2＝ ，x 3＝ ；（2）用“转化”x 的解； （3）拓展：若实数x 满足x 2+2133x x x --＝2，求x +1x的值28．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元，购买20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．(1)今年2月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？(2)今年2月第一周，供应商以以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了m 元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比第一周增加了143m 个，“雪容融”的销量比第一周增加了m 个，最终商家获利6600元，求m ．参考答案1．C 【分析】根据方程根的定义，代入化简计算即可．解：△方程20x bx a -+=，有一个根是()0a a -≠，△20a ab a ++=， △(1)0a a b ++=， △0a ≠， △10a b ++=， △1a b +=-， 故选：C ．【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，熟练掌握定义是解题的关键．2．C 【分析】设印刷不清的数字是a ，根据完全平方公式展开得出x 2-2px +p 2=7，求出x 2-2px +4=11-p 2，再根据题意得出-2p =-6，a =11-p 2，最后求出答案即可．解：设印刷不清的数字是a ，（x -p ）2=7， x 2-2px +p 2=7， △x 2-2px =7-p 2， △x 2-2px +4=11-p 2，△方程x 2-6x +4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x -p ）2=7的形式，△-2p =-6，a =11-p 2， △p =3，a =11-32=2， 即印刷不清的数字是2， 故选：C ．【点拨】本题考查了解一元二次方程和完全平方公式，能求出-2p =-6是解此题的关键． 3．C【分析】首先根据算术平方根及绝对值的非负性，即可求得a 、b 的值，再把a 、b 的值代入代数式，即可求得其值．解：24410a a +-=0≥，10a -≥2244010a ab b a ⎧++=∴⎨-=⎩由a -1=0解得a =1把a =1代入22440a ab b ++=，得 2440b b ++=，得()220b +=解得b =-2故()2122145a b -=-⨯-=+= 故选：C【点拨】本题考查了算术平方根及绝对值的非负性，代数式求值问题，熟练掌握和运用二次根式及绝对值的非负性质是解决本题的关键．4．B 【分析】设正方形的边长为1，AF AM x ==，根据勾股定理即可求出答案． 解：设正方形的边长为1，AF AM x ==，则12BE EF ==，12AE x =+， 在Rt △ABE 中， △222AE AB BE =+， △22211()1()22x +=+，△210x x +-=，△AM 的长为210x x +-=的一个正根． 故选：B ．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是根据勾股定理列出方程． 5．D 【分析】根据新定义可得方程（x +1）（2x -3）=x （x -1），然后再整理可得x 2=3，再利用直接开平方法解方程即可．解：由题意得：（x +1）（2x -3）=x （x -1），整理得：x 2=3，两边直接开平方得：x故选：D ．【点拨】此题主要考查了新定义，一元二次方程的解法--直接开平方法，关键是正确理解题意，列出方程．6．B 【分析】设22x x y +=，则原方程可化为2280y y +-=，解得y 的值，即可得到22x x +的值． 解：设22x x y +=，则原方程可化为2280y y +-=，解得：14y =-，22y =，当4y =-时，224x x +=-，即2240x x ++=，△224140=-⨯⨯<，方程无解， 当2y =时，222x x +=，即2220x x +-=，△()22412=120=-⨯⨯->，方程有实数根，22x x ∴+的值为2，故选：B ．【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，的关键是把22x x +看成一个整体来计算，即换元法思想．7．B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程可求出m 的值，即可求解．解：关于x 的一元二次方程2220x mx m m ++-=的两实数根为12,x x ，212122,x x m x x m m ∴+=-⋅=-，22(2)4()40m m m m ∆=--=>0m ∴>，122x x =，即22m m -=，解得2m =或1-，2m ∴=，12224x x ∴+=-⨯=-，故选：B ．【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程，如果方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个实数根是12,x x ，那么12b x x a +=-，12cx x a=；也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．8．A 【分析】先根据a 、b 是关于x 的一元二次方程x 22-kx ＋4k =0的两个实数根，求出∆2416k k =-≥0，由一元二次方程根与系数关系得到a ＋b ＝2k ，ab ＝4k ，利用a 2＋b 2＝12，求出k 的值，再代入∆2416k k =-验证即可．解：△a 、b 是关于x 的一元二次方程x 22-kx ＋4k =0的两个实数根，△2Δ(2)414k k =--⨯⨯ 24160k k =-≥a ＋b ＝2k ，ab ＝4k 22a b + 2()2a b ab =+- 2(2)24k k =-⨯248k k =-△248k k -＝12 解得11k =-，23k = 当11k =-时，∆2416k k =- 24(1)16(1)=⨯--⨯-200=>△11k =-符合题意，当23k =时，∆2416k k =-243163=⨯-⨯120=-<△23k =不符合题意，应舍去，综上，k 的值是﹣1．故选：A【点拨】此题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝b a -，x 1x 2＝c a． 9．C【分析】每半年平均每周作业时长的下降率为x ，根据“经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x ，去年上半年平均每周作业时长为a 分钟，∴ 去年下半年平均每周作业时长为()1a x -分钟，今年上半年平均每周作业时长为()21a x -分钟，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，()()21170%a x a ∴-=-，()2130%a x a ∴-=． 故选：C ．【点拨】本题主要考察了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键．10．B【分析】设运动时间为t 秒，则PB =（8-t ）cm ，BQ =2t cm ，由三角形的面积公式结合△PBQ 的面积为15cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．解：设运动时间为t 秒，则PB =（8-t ）cm ，BQ =2t cm ， 依题意，得：12×2t •（8-t ）=15，解得：t 1=3，t 2=5，△2t ≤6，△t ≤3，△t =3．故选：B ．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．A【分析】利用程序框图的算法列方程，求出x ，然后比较大小即可得出答案．解：如图所示：设x 3＞；输出M 的值为5，△x x 235， 解得()()120x x +-=，解得x x 1212，， △x x 121323＜，＜不合题舍去，设3x ≤；输出M 的值为5， △x152， △8x =，△解得x x 1288，， △x 183＞舍去x 283＜，△当输入x =-8时，输出M 的值为5．故选择A ．【点拨】本题主要考查了程序框图，一元一次特征方程，一元二次方程，比较大小，正确理解计算程序是解题关键．12．32##1.5##112【分析】根据方程根的定义得到223am bm -=，223an bn -=，然后把(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54变形后，利用整体代入，得到关于a 的一元二次方程，解方程后去掉不合题意的解即可．解：△关于x 的方程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m ，n ，△2230am bm --=，2230an bn --=△223am bm -=，223an bn -=△(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54，△[2（am 2－2bm ＋a ）] [3(an 2－2bn )－2a ]＝54△2(3)(92)54a a +-=解得0a =或32a =△ab ≠0△a ，b 均为非零实数， △32a = 故答案为：32【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入的方法，熟练掌握整体代入的方法是解题的关键．13．1【分析】根据题意，22112210,10x x x x +-=+-=，变形代入计算即可．解：△1x ，2x 是方程210x x +-=的两根，△22112210,10x x x x +-=+-=，△()()22112222x x x x +-+-=221122(11)(11)(1)(1)x x x x +--+--=-⨯-=1，故答案为：1．【点拨】本题考查了一元二次方程的根即使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值，利用定义变形代入计算是解题的关键．14．-5【分析】先利用配方法把所求的代数式配方，然后代值计算即可．解：△x =， △2263x x +-()2233x x =+-29152342x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭ 2315222x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 21522=-⎝⎭ 21522=⨯-⎝⎭ 51522=- 5=-，故答案为：-5．【点拨】本题主要考查了配方法的使用和代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握配方法．15．22+10a b ab ≥【分析】因为矩形的长和宽分别为a 、b ，所以其周长和面积分别为2(a +b )和ab ，设所求矩形的长为x ，则宽为13(a +b )-x ，其面积为x [13(a +b )-x ]，根据题意得：x [13(a +b )-x ]=13ab ，因为存在另外一个矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，故该方程有解，即△≥0，得出不等式即可求解．解：设所求矩形的长为x ，则宽为13(a +b )-x ，其面积为x [13(a +b )-x ]，根据题意得：x [13(a +b )-x ]=13ab ， 即()211-++=033x a b x ab ， △存在该矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一△方程有解， △△=21()1433ab a b ⎡⎤-⎥⨯+⎢⎣⎦=221214++-9993a ab b ab =221101-+999a ab b ≥0 △22-10+0a ab b ≥△22+10a b ab ≥故答案为：22+10a b ab ≥．【点拨】本题考查了一元二次方程解的判别式，解题的关键是根据题意，列出方程，把问题转化为求△的问题．16．20【分析】求出一元二次方程的两个根，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可得答案．解：()()21448680x x x x -+=--=，则x 1=6，x 2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8，5=，故菱形的周长为5×4=20，故答案为20【点拨】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，周长的求法，正确掌握一元二次方程的解法、菱形的性质，是解题的关键．17．-3【分析】根据同类二次根式的定义可得238103a a -=-，由此求解即可解：△△238103a a -=-，△260+-=a a△3a =-或2a =，△两个根式都是最简根式，△2a =当a =3时，二次根式有意义且符合题意，故答案为-3．【点拨】本题考查了同类二次根式的定义和解一元二次方程，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键.化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式18．53##213【分析】根据根据根与系数的关系得125x x +=，123x x ⋅=，分式通分后相加，再把两根之和与两根之积的结果代入，计算即可．解：△12,x x 是一元二次方程2530x x -+=的两个根△125x x +=，123x x ⋅= △1211221153x x x x x x ++== 故答案为：53【点拨】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．当x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时1212b c a ax x x x +=-=，． 19．76【分析】第2个方程两边同除以b ²，得到与第一个方程相似的方程，所以a ,1b可看成一元二次方程2610070x x -+=的两个根，利用根与系数的关系可求得a b的值． 解：△27b －100b ＋6＝0，△211610070b b⨯-⨯+=， △26a －100a ＋7＝0，△a 、1b是方程26x －100x ＋7＝0的两个根， △由根与系数的关系可知：176a ab b ⨯==． 故答案为：76． 【点拨】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，关键是把两个数看成一个一元二次方程的两个根．20．233(1)3(1)10x x ++++=【分析】若把增长率记作x ，则第二天票房约为3（1+x ）亿元，第三天票房约为3（1+x ）2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．解：若把增长率记作x ，则第二天票房约为3（1+x ）亿元，第三天票房约为3（1+x ）2亿元，依题意得：3+3（1+x ）+3（1+x ）2=10．故答案为：：3+3（1+x ）+3（1+x ）2=10．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21延长B 1D 交BC 于E ，由B 1D △BC ，根据含30角直角三角形和勾股定理的性质，推导得DE ＝12BD ，BE ，设BD ＝x ，在Rt△B 1CE 中根据轴对称、勾股定理的性质,建立方程计算即可解得答案．解：延长B 1D 交BC 于E ，如图：△B1D△BC，△△BED＝△B1EC＝90°，△△B＝30°，△DE＝1BD，2△BE，设BD＝x，△将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，△B1D＝x，△BC＝3，△CE＝3，B1C＝BC＝3，在Rt△B1CE中，B1E2+CE2＝B1C2，x）2+（3）2＝32△（x+12x x=△(0△x＝0（舍去）或x△BD【点拨】本题考查了勾股定理、一元二次方程、轴对称、含30角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理；轴对称、含30角直角三角形、一元二次方程的性质，从而完成求解．22．2【分析】设小路宽为x m ，则种植花草部分的面积等同于长（22-x ）m ，宽（14-x ）m 的矩形的面积，根据花草的种植面积为240m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：设小路宽为xm ，则种植花草部分的面积等同于长（22-x ）m ，宽（14-x ）m 的矩形的面积，依题意得：（22-x ）（14-x ）=240，整理得：x 2-36x +68=0，解得：x 1=2，x 2=34（不合题意，舍去）．故答案为：2．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．52【分析】过D'作D 'G △AB 于G ，D 'H △AD 于H ，连结DD'，则由题意和勾股定理可以得到HD'=AG =4，AH =3，DH =2，设DF =y ，则由''2AHD ADF DHD F S SS +=四边形可得关于y 的方程，解方程即可得到DF 的值．解：如图，过D'作D 'G △AB 于G ，D 'H △AD 于H ，连结DD'，由题意可得EB =BC =5，△△CEG =45°，△EG =GD'，设EG =GD '=x ，又由题意可得AD'=AD =5，AG=AE+EG=AB -BE+EG =1+x△在RT △AGD'中，()22215x x ++=，解之可得GD'=x =3，△HD'=AG =4，AH =3，DH =2，设DF =y ，则由''2AHD ADF DHD F S S S +=四边形可得：()423452222y y +⨯⨯+=⨯， 解之可得y =52，即DF =52， 故答案为：52． 【点拨】本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握勾股定理的应用、矩形与轴对称的性质及方程思想方法的运用是解题关键．24．（1）1103x =，297x =-；（2）152x =，23x =；（3）12x a =，2x a =；（4）△当0m =时， 12x =；△当0m ≠时，若1m ，x =；若1m ，方程无解【分析】（1）根据配方法的步骤将方程常数项移动右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；（2）利用因式分解法即可求得方程的解；（3）根据配方法的一般步骤，把常数项移到等号的右边，一次项移到等号的左边，再在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，化为完全平方式，再开方即可得出答案；（4）分m=0和0m ≠两种情况考虑，当0m ≠时，再分△≥0和△＜0两种情况考虑，即可得到方程的解．（1）2699910x x --=解：26910000x x -+= ()2310000x -=3100x -=或3100x -=-1103x =，297x =-；（2）()()22352360x x ---+=解：()()2322330x x ----=2320x --=或2330x --=152x =，23x =； （3）2223x a ax += 解：2222993244x ax a a a -+=-+ 223124x a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 3122x a a -=± 1322x a a =±+ 12x a =，2x a =； （4）2210mx x -+=解：△当0m =时，210x -+=，解得：12x =；△当0m ≠时，44m ∆=-，若440m -≥，即1m ，x 若440m -<，即1m ，方程无解．【点拨】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是能够根据方程的结构特征选择适当的解法．25．（1）4；（2）7；（3）2试题分析：（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可； （3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可．解：（1）△a 2+6ab+10b 2+2b+1=0，△a 2+6ab+9b 2+b 2+2b+1=0，△（a+3b ）2+（b+1）2=0，△a+3b=0，b+1=0，解得b=-1，a=3，则a -b=4；（2）△2a 2+b 2-4a -6b+11=0，△2a 2-4a++2+b 2-6b+9=0，△2（a-1）2+（b-3）2=0，则a-1=0，b-3=0，解得，a=1，b=3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，△△ABC的周长为1+3+3=7；（3）△x+y=2，△y=2-x，则x（2-x）-z2-4z=5，△x2-2x+1+z2+4z+4=0，△（x-1）2+（z+2）2=0，则x-1=0，z+2=0，解得x=1，y=1，z=-2，△xyz=2．【点拨】本题主要考查的是配方法的应用和三角形三边的关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边的关系是解题的关键.26．(1)答案见解析【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；（2）将x=1代入方程可确定m的值；（3）由m的值可得一元二次方程，解方程得出方程的另一个解，可得直角三角形的两直角边，再由勾股定理求出得直角三角形的斜边，即可得答案．解：(1)证明：x2−(m+2)x+(2m−1)=0，△a=1，b=−(m+2)，c=2m−1，△b2−4ac=[−(m+2)]2−4×1×(2m−1)=(m−2)2+4，△在实数范围内，m无论取何值，(m−2)2+4>0，即b2−4ac＞0，△关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0恒有两个不相等的实数根；(2)将x=1代入方程可得：12−(m+2)+(2m−1)=0，解得：m =2；(3)△m =2，△方程为x 2−4x +3=0，解得：x 1=1或x 2=3，△方程的另一个根为x =3；△直角三角形的两直角边是1、3，，△，△直角三角形的周长为1＋3【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程，解一元二次方程，勾股定理，理解题意、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．27．（1）-2，1；（2）x ＝3；（3）4【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）把无理方程化为整式方程x 2﹣2x ﹣3＝0，然后利用因式分解法解方程后进行检验确定原方程的解；（3）先表示得到（x +1x ）2﹣3（x +1x ）﹣4＝0，利用因式分解法得到x +1x ＝4或x +1x＝﹣1，由于x +1x ＝﹣1化为x 2+x +1＝0，此方程没有实数解，从而得到x +1x的值为4． 解：（1）x 3+x 2﹣2x ＝0，x （x 2+x ﹣2）＝0，x （x +2）（x ﹣1）＝0，x ＝0或x +2＝0或x ﹣1＝0，所以x 1＝0，x 2＝﹣2，x 3＝1；故答案为0，﹣2，1；（2）两边平方得2x +3＝x 2，整理得x 2﹣2x ﹣3＝0，因式分解得()()310x x -+=解得x 1＝3，x 2＝﹣1，经检验，x ＝3为原方程的解；（3）22133x x x x+--＝2， 211340x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 11410x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 140x x +-=或110x x++=， △11x x +=-化为x 2+x +1＝0，△=1-4=-40<,此方程没有实数解舍去， △x +1x的值为4． 【点拨】本题考查高次方程的解法、无理方程、分式方程的解，掌握高次方程的解法、无理方程、分式方程的解都转化为低次方程，有理方程，和整式方程来解是解题关键．28．(1)每个“冰墩墩”的进价为120元，每个“雪容融”的进价为80元(2)m 的值为10【分析】（1）设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为x 元，每个“雪容融”的进价为y 元，再根据题意建立方程，解方程即可；（2）利用“总利润=（售价-进价）×数量”根据题意列方程，再解方程即可．(1)解：设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为x 元，每个“雪容融”的进价为y 元，依题意得△203040x x y y ==-⎧⎨⎩． 解得：12080x y =⎧⎨=⎩． 答：今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为120元，每个“雪容融”的进价为80元．(2)解：依题意得：14(150120)(120)(10080)(150)66003m m m -++--+=， 整理得：2100m m -=，解得：110m =，20m =（不合题意，舍去）．答：m 的值为10．【点拨】本题主要考查了二元一次方程以及一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解．。
2022年人教版九年级上《章末复习(一)一元二次方程》同步练习(附答案)
章末复习(一) 一元二次方程根底题知识点1 一元二次方程的有关概念1．(诏安模拟)m 是方程x 2－x －1＝0的一个根，那么代数式m 2－m 的值等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．22．方程(a －2)xa 2－2＋3x ＝0是关于x 的一元二次方程，那么a 的值为________．知识点2 一元二次方程的解法3．(宁夏中考)一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( )A ．－1B ．2C ．1和2D ．－1和24．(随州中考)用配方法解一元二次方程x 2－6x －4＝0，以下变形正确的选项是( )A ．(x －6)2＝－4＋36B ．(x －6)2＝4＋36C ．(x －3)2＝－4＋9D ．(x －3)2＝4＋95．(深圳校级模拟)一元二次方程4x 2－x ＝1的解是( )A ．x ＝0B ．x 1＝0，x 2＝4C ．x 1＝0，x 2＝14D ．x 1＝1＋178，x 2＝1－1786．解以下一元二次方程：(1)(2x ＋3)2－81＝0；(2)x 2－6x －2＝0；(3)5x(3x ＋2)＝6x ＋4.知识点3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系7．(湘西中考)以下方程中，没有实数根的是( )A ．x 2－4x ＋4＝0B ．x 2－2x ＋5＝0C ．x 2－2x ＝0D ．x 2－2x －3＝08．(张家界中考)假设关于x 的一元二次方程kx 2－4x ＋3＝0有实数根，那么k 的非负整数值是( )A ．1B ．0，1C ．1，2D ．1，2，39．(怀化中考)设x 1，x 2是方程x 2＋5x －3＝0的两个根，那么x 21＋x 22的值是( )A ．19B ．25C ．31D ．3010．(内江中考)关于x 的方程x 2－6x ＋k ＝0的两根分别是x 1，x 2，且满足1x 1＋1x 2＝3，那么k 的值是________． 知识点4 用一元二次方程解决实际问题11．(佛山中考)如图，将一块正方形空地划出局部区域进行绿化，原空地一边减少了2 m ，另一边减少了3 m ，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，那么原正方形空地的边长是()A．7 mB．8 mC．9 mD．10 m12．(东营中考)2021年东营市某楼盘以每平方米6 500元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2021年的均价为每平方米5 265元．(1)求平均每年下调的百分率；(2)假设2021年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购置一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？(房价每平方米按照均价计算)中档题13．(安顺中考)三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，那么该三角形的周长为() A．14 B．12C．12或14 D．以上都不对14．(安顺中考)假设一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，那么一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第象限()A．四B．三C．二D．一15．x＝1是关于x的方程(1－k)x2＋k2x－1＝0的根，那么常数k的值为________．16．(随州中考)观察以下图形规律：当n＝________时，图形“●〞的个数和“△〞的个数相等．17．(毕节中考)一个容器盛满纯药液40 L，第一次倒出假设干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10 L，那么每次倒出的液体是________L.18．(日照中考)如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－mn＋2m＋2 015＝________．19．(乌鲁木齐中考)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？20．阅读以下例题的解答过程：解方程：3(x－2)2＋7(x－2)＋4＝0.解：设x－2＝y，那么原方程化为：3y2＋7y＋4＝0.∵a＝3，b＝7，c＝4，∴b2－4ac＝72－4×3×4＝1.∴y ＝－7±12×3＝－7±16.∴y 1＝－1，y 2＝－43. 当y ＝－1时，x －2＝－1，∴x ＝1；当y ＝－43时，x －2＝－43，∴x ＝23. ∴原方程的解为：x 1＝1，x 2＝23. 请仿照上面的例题解一元二次方程：2(x －3)2－5(x －3)－7＝0.综合题21．(广元中考)李明准备进行如下操作实验：把一根长40 cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积和等于58 cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.你认为他的说法正确吗？请说明理由．参考答案根底题1.C2.－23.D4.D5.D6.(1)(2x ＋3)21＝3，x 2＝－6.(2)x 1＝3＋11，x 2＝3－11.(31＝－23，x 2＝25. 7.B 8.A 9.C 10.2 11.A12.(1)设平均每年下调的百分率为x ，根据题意，得6 500(1－x)21＝0.1＝10%，x 2＝1.9(不合题意，舍去)．答：平均每年下调的百分率为10%.(2)如果下调的百分率相同，2021年的房价为：5 265×(1－10%)＝4 738.5(元/m 2)．那么100平方米的住房的总房款为：100×4 738.5＝473 850(元)＝47.385(万元)．∵，∴张强的愿望可以实现．中档题13.B 14.D 15.0或1 16.5 17.20 18.2 02619.设降价x 元，那么售价为(60－x)元，销售量为(300＋20x)件，根据题意，得(60－x －40)(300＋20x)＝6 080，解得x 1＝1，x 2＝4，又因为顾客得实惠，故取x ＝4，即定价为56元．答：应将销售单价定为56元．20.设x －3＝y.那么原方程化为：2y 2－5y －7＝0.∵a ＝2，b ＝－5，c ＝－7，∴b 2－4ac ＝(－5)2－4×2×(－7)＝81.∴y ＝5±812×2＝5±94.∴y 1＝－1，y 2＝72.当y ＝－1时，x －3＝－1，∴x ＝2；当y ＝72时，x －3＝72，∴x ＝132.∴原方程的解为：x 1＝2，x 2＝132. 综合题21．(1)设其中一个正方形的边长为x cm ，那么另一个正方形的边长为(10－x)cm ，由题意得x 2＋(10－x)21＝3，x 2＝7，∴这两个正方形的周长分别为4×3＝12(cm)，4×7＝28(cm)，∴李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段．(2)李明的说法正确．设其中一个正方形的边长为y cm ，那么另一个正方形的边长为(10－y)cm ，由题意得y 2＋(10－y)2＝48，整理得y 2－10y ＋26＝0，∵Δ＝(－10)2－4×1×26＝－4＜0，∴此方程无实数根．即这两个正方形的面积之和不能等于48 cm 2.∴李明的说法是正确的．。
人教版数学九年级数学上册-第二十一章-一元二次方程-巩固练习(含答案)
人教版数学九年级上册-第二十一章-一元二次方程-巩固练习一、单选题1.若x1，x2是方程x2=4的两根，则x1+x2的值是（）A. 0B. 2C. 4D. 82.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）.A. B. C. 且 D. 且3.用配方法解下列方程时，配方错误的是（）A. 将x2+2x-99=0化为（x+1）2=100B. 将2t2－7t－4=0化为（x-）2=C. 将x2+8x+9=0化为（x+4）2=25D. 3x2-4x-2=0化为（x-）2=4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A.B.C.且D.且5.已知等腰三角形两边长分别为3和5，第三边是方程x2﹣5x+6=0的解，则这个三角形的周长是（）A. 9B. 10C. 11D. 146.若关于x的方程是一元二次方程，则a满足的条件是（）。
A. ＞0B.C.D.7.已知a、b是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根，那么+的值为（）A. B. C. - D. -8.给出下列说法，其中正确的是（）①关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），若b2-4ac＜0，则方程ax2+bx+c=0一定没有实数根；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），若a+b+c=0，则方程ax2+bx+c=0必有实数根；③若x=a是方程x2+bx-a=0的根，则a+b=1；④若a，b，c为三角形三边，方程（a+c）x2-2bx+a-c=0有两个相等实数根，则该三角形为直角三角形．A. ①②B. ①④C. ①②④D. ①③④9.若方程（m﹣3）x n+2x﹣3=0是关于x的一元二次方程，则（）A. m=3，n≠2B. m=3，n=2C. m≠3，n=2D. m≠3，n≠2二、填空题10.关于x的方程的解是均为常数，，则方程的解是________．11.股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是________．12.某中学组织初二学生开展篮球比赛，以班为单位单循环形式（每两班之间赛一场），现计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？设有x个班级参赛，根据题意，可列方程为________．13.若为方程的两个实数根，则________.14.已知是关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1，x2，且，则a=________ 。
人教版数学九年级上学期课时练习-《一元二次方程》全章复习与巩固(基础篇)(人教版)
专题21.30 《一元二次方程》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）一、单选题1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A ．3x ﹣2＝yB xC ．1x=x +1 D ．x 2+2x ＝32．若a 是关于x 的方程3x 2﹣x ﹣1=0的一个根，则2021﹣6a 2＋2a 的值是（ ） A ．2023B ．2022C ．2020D ．20193．用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ） A ．2(26)x -=B ．2(22)x +=C ．2(2)2x -=-D ．2(2)2x -=4．方程y 2＝-a 有实数根的条件是（ ） A ．a ≤0B ．a ≥0C ．a >0D ．a 为任何实数5．如果关于x 的一元二次方程()222110k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．14k >-B ．14k >-且0k ≠C ．14k <-D ．14k ≥-且0k ≠6．已知分式()()2121x x x -+-的值为0，那么x 的值是（）A ．1-B ．2-C ．1D ．1或2-7．一元二次方程()()()131x x x x -=--根的情况是（ ） A ．只有一个实根为32B ．有两个实根，一正一负C ．两个正根D ．无实数根8．如果关于x 的一元二次方程x 2+px +q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是（ ）A ．﹣3，2B ．3，﹣2C ．2，﹣3D ．2，39．定义运算：a★b=a(1-b)．若a ，b 是方程21+m=0(m<0)4x x -的两根，则b★b -a★a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．与m 有关10．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x ，根据题意可列方程（ ）A ．()2501175x +=B ．()250501175x ++=C ．()()2501501175x x +++= D ．()()250501501175x x ++++=二、填空题 11．已知（m －1）21mx +＋3x －5＝0是一元二次方程，则m ＝________．12．已知关于x 的方程226250x x m m ++-+=的一个根是1，则224m m -=______． 13．多项式222x 2xy y 4x 25-+++的最小值为________．14．若一元二次方程ax 2=b （ab>0）的两个根分别是m+1与2m －4，则ba=__________.15．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若方程2()20a c x bx a c -+++=有两个相等的实数根，则△ABC 是 _______ 三角形．16．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a *b ＝a 2﹣b 2，根据这个规则，方程（x +2）*5＝0的解为_____．17．已知，m ，n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根，则代数式22m m n ++的值等于___．18．等腰三角形ABC 中，8BC =，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根，则m 的值是___．19．如果关于x 的一元二次方程210(0)ax bx a ++=≠的一个解是1x =-，那么代数式2021a b +-的值是___________．20．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少?如果设门的宽为x 尺，根据题意，那么可列方程___________．三、解答题 21．解方程：（1）2(5)360x --=； （2）230x x +-=． （3）214111x x x +-=---． 22．按要求解方程．（1）2(32)24x +=（直接开方法） （2）2314x x -=（公式法）（3）()()221321x x +=+（因式分解） （4）223990x x --=（配方法）23．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个不相等实数根是a ，b ，求111a ab -++的值．24．已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根．（1）求k 的取值范围； （2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=-成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由．25．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．(1)求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？(2)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．26．我们知道：()()222669939x x x x x -=-+-=--；()()22210102525525x x x x x -+=--++=--+，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：（1）探究：当a 取不同的实数时，求代数式24a a -的最小值．（2）应用：如图．已知线段6AB =，M 是AB 上的一个动点，设AM x =，以AM 为一边作正方形AMND ，再以MB 、MN 为一组邻边作长方形MBCN ．问：当点M 在AB 上运动时，长方形MBCN 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．参考答案1．D 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程是一元二次方程，利用一元二次方程的定义对各选项进行判断．解：A、方程3x﹣2＝y含有2个未知数，所以A选项不符合题意；B=x，不是整式方程，所以B选项不符合题意；C、方程1x=x+1是分式方程，所以C选项不符合题意；D、方程x2+2x＝3是一元二次方程，所以D选项符合题意．故选D．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.2．D【分析】先把a代入方程得到3a2-a=1，然后方程两边都乘以-2得-6a2+2a=-2，从而求出答案．解：由题意得：3a2-a-1=0，★3a2-a=1，★-6a2+2a=-2，★2021﹣6a2＋2a =2021-2=2019．故选：D．【点拨】本题考查的是逆用一元二次方程解的定义得出-6a2+2a的值，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．3．D【分析】先移项，再利用完全平方公式进行配方即可得．解：2420x x-+=，242x x-=-，24424x x-+=-+，2(2)2x-=，故选：D．【点拨】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟记完全平方公式是解题关键．4．A【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a ≥0，再进行整理即可． 解：★方程y 2＝﹣a 有实数根，★﹣a ≥0（平方具有非负性）， ★a ≤0； 故选：A ．【点拨】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a ≥0． 5．B 【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式Δ=b 2-4ac ＞0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．解：由题意知，方程有两个不相等的实数根，★Δ＞0，即Δ=b 2-4ac =（2k +1）2-4k 2=4k +1＞0． 又★方程是一元二次方程，★k ≠0， ★k ＞−14且k ≠0．故选：B ．【点拨】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式Δ=b 2-4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．6．B 【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而解特殊一元二次方程得出答案．解：分式()()2121x x x -+-的值为0，∴()()120x x -+=且210x -≠，★1=020x x -+=，， 解得：11x =，22x =-， ★210x -≠，★1x ≠±， ★11x =舍去， ★2x =-． 故选：B ．【点拨】本题考查分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件，一元二次方程的解法是解题关键．7．C 【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案． 解：由题意可知：()()()1310x x x x ----=，★()()130x x x --+=， ★1x =或32x =， 故选：C ．【点拨】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．8．A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可知：x 1+x 2＝﹣p ，x 1x 2＝q ，把 x 1＝2，x 2＝1 代入，即可求出p =-3，q =2.解：由题意，得：x 1+x 2＝﹣p ，x 1x 2＝q ；★p ＝﹣（x 1+x 2）＝﹣3，q ＝x 1x 2＝2； 故选A ．【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.9．A 【分析】由根与系数的关系可找出a ＋b ＝1，根据新运算找出b ⋆b−a ⋆a ＝b （1−b ）−a （1−a ），将其中的1替换成a ＋b ，即可得出结论．解：★a ，b 是方程x 2−x ＋14m ＝0（m ＜0）的两根，★a ＋b ＝1，★b ⋆b−a ⋆a ＝b （1−b ）−a （1−a ）＝b （a ＋b−b ）−a （a ＋b−a ）＝ab−ab ＝0， 故选：A ．【点拨】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a ＋b ＝1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．10．D 【分析】设平均每月的增长率为x ，则二月份工业产值为50（1+x ）亿元，三月份工业产值为50（1+x ）2亿元，根据第一季度的产值为175亿元，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．解：设平均每月的增长率为x ，则二月份工业产值为50（1+x ）亿元，三月份工业产值为50（1+x ）2亿元，依题意，得：50+50（1+x ）+50（1+x ）2=175． 故选：D ．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．－1 【分析】根据一元二次方程的定义m -1≠0，且212m +=，解答即可． 解：★（m －1）21mx +＋3x －5＝0是一元二次方程，★m -1≠0，且212m +=， ★m -1≠0，且1,1m m ==-， ★1m =-， 故答案为：-1．【点拨】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数项的次数最高是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．12．24- 【分析】根据题意可得出1+6+m 2-2m+5=0，然后解出该方程的解即可． 解：★方程226250x x m m ++-+=的一个根是1，★1+6+m 2-2m+5=0， ★m 2-2m=-12， ★2（m 2-2m ）=-24． ★224-24-=m m 故答案为：-24【点拨】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．13．21 【分析】根据完全平方公式把多项式进行变形，根据非负数的性质解答即可. 解：2222425x xy y x -+++22224421x xy y x x =-+++++ ()()22221x y x =-+++()0x y -≥，()220x +≥，∴()()2222121x y x -+++≥，∴多项式2222425x xy y x -+++的最小值为21.故答案为：21.【点拨】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负数是解题的关键.14．4 【分析】利用直接开平方法得到x =m+1+2m -4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与-22，然后两边平方得到b a =4．解：由2(0)ax b ab =>得2b x a =，解得x =. ★一元二次方程ax 2=b （ab>0）的两个根分别是m+1与2m －4，★m+1+2m－4=0，解得m=1，★一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是2和-2，2，★ba=4.15．直角【分析】根据方程有两个相等实数根，即可得到Δ=b2－4ac=0即（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，然后利用勾股定理的逆定理判定即可.解：★方程有两个相等的实数根，★Δ=b2－4ac=0，★（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，整理可得a2=b2+c2，所以△ABC是直角三角形.故答案为：直角【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.16．x＝3或x＝﹣7【分析】由题意可得x+2=a，5=b，代入所给公式得：（x+2）*5=（x+2）2-52，则可得一元二次方程，解方程即可求得．解：据题意得，★（x+2）*5＝（x+2）2﹣52★x2+4x﹣21＝0，★（x﹣3）（x+7）＝0，★x＝3或x＝﹣7．故答案为：x＝3或x＝﹣7【点拨】本题主要考查解一元二次方程，属于新定义题型，将所求方程转化为一元二次方程是解题的关键．17．2020【分析】根据一元二次方程根的定义得到m 2+m =2021，则m 2+2m +n =2021+m +n ，再利用根与系数的关系得到m +n =-1，然后利用整体代入的方法计算．解：★m 是一元二次方程x 2+x -2021=0的实数根，★m 2+m -2021=0，★m 2+m =2021，★m 2+2m +n =m 2+m +m +n =2021+m +n ，★m ，n 是一元二次方程x 2+x -2021=0的两个实数根，★m +n =-1，★m 2+2m +n =2021-1=2020．故答案为：2020．【点拨】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a．也考查了一元二次方程的解． 18．25或16【分析】等腰三角形ABC 中，边BC 可能是腰也可能是底，应分两种情况进行讨论，分别利用根与系数的关系、三角形三边关系定理求得方程的两个根，进而求得答案．解：★关于x 的方程2100x x m -+=★1a =，10b =-，c m = ★1210b x x a +=-=，12c x x m a== ★ABC 是等腰三角形，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根 ★★当8BC =为底、两根AB 、AC 均为等腰三角形的腰时，有1210AB AC x x +=+=且AB AC =即5AB AC ==，此时等腰三角形的三边分别为5、5、8，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则1225m x x AB AC ==⋅=；★当8BC =为腰、两根AB 、AC 中一个为腰一个为底时，有122810x x x +=+=，即22x =，此时此时等腰三角形的三边分别为2、8、8，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则1216m x x AB AC ==⋅=．★综上所述，m 的值为25或16．故答案是：25或16【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等腰三角形的性质、三角形三边关系定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．19．2020【分析】根据关于x 的一元二次方程210(0)ax bx a ++=≠的一个解是1x =-，可以得到-a b 的值，然后将所求式子变形，再将-a b 的值代入，即可解答本题． 解：关于x 的一元二次方程210(0)ax bx a ++=≠的一个解是1x =-，10a b ∴-+=，1a b ∴-=-，2021202112020a b ∴+-=-=．故答案为：2020．【点拨】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解的含义．20．22(6)100x x ++=或26320x x +-=【分析】设门的宽为x 尺，则门的高为（x +6）尺，利用勾股定理，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．解：设门的宽为x 尺，则门的高为（x +6）尺，依题意得：222(6)10x x ++=即22(6)100x x ++=或26320x x +-=．故答案为：22(6)100x x ++=或26320x x +-=．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．（1）1211,1x x ==-;（2）12x x ==；（3）2x =- 【分析】（1）根据直接开平方法解方程；（2）利用配方法解方程；（3）根据分式方程的步骤化简为整式方程，再解一元二次方程．解：（1）2(5)360x --=2(5)36x -=56x -=±解得1211,1x x ==-（2）230x x +-=211344x x ++=+ 2113()24x +=12x +=解得：12x x == （3）214111x x x +-=--- 去分母得：22(1)41x x +-=-220x x +-=21944x x ++= 219()24x += 1322x +=± 解得：121,2x x ==-当1x =时，210x -=当2x =-时，2130x -=≠∴原方程的根为2x =-【点拨】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，掌握解方程的方法是解题的关键．22．（1）x 1x 2= ；（2）x 1= ，x 2（3）x 1=﹣12，x 2=1；（4）x 1=21，x 2=﹣19解：（1）()23224x +=，32x +=±32x =-±x =12x x ∴=（2）2314x x -=，23410x x --=，()()24431161228=--⨯⨯-=+=，x ===12x x = （3）()()221321x x +=+，()()212130,x x ++-=()()21220,x x +-=210x +=或220x -=，121 1.2x x =-=， （4）223990x x --=，2 21400x x -+=，()21400x -=，120x -=±，120x =±，122119.x x ==-，23．（1）k>-1；（2）1【分析】（1）根据∆>0列不等式求解即可；（2）根据根与系数的关系求出a+b 、ab 的值，然后代入所给代数式计算即可. 解：（1）由题意得∆=4+4k>0，★k>-1；（2）★a+b=-2，ab=-k ， ★111a ab -++ =()()()()1111a b a a b +-+++ =11ab ab a b -+++ =121k k ----+ =1.【点拨】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根的判别式与根的关系，以及根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12b x x a +=-，12c x x a⋅=． 24．（1）1k ≤-；（2）k =【分析】（1）根据方程的系数结合∆≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝k ＋2，结合12112k x x +=-，即可得出关于k 的方程，解之即可得出k 值，再结合（1）即可得出结论．解：（1）★一元二次方程有两个实数根，★2(2)4(2)0k ∆=--+解得1k ≤-；（2）由一元二次方程根与系数关系，12122,2x x x x k +==+ ★12112k x x +=-， ★1212222x x k x x k +==-+ 即(2)(2)2k k +-=，解得k =又由（1）知：1k ≤-，★k =【点拨】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当★≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合12112k x x +=-，找出关于k 的方程．25．(1)每件降价20元(2)不可能，理由见分析【分析】（1）根据题意列出方程，即每件服装的利润×销售量=总盈利，再求解，把不符合题意的舍去；（2）根据题意列出方程进行求解即可．(1)解：设每件服装降价x 元．由题意得：（90-x -50）（20+2x ）=1200，解得：x 1=20，x 2=10，为使顾客得到较多的实惠，应取x =20；答：每件降价20元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；(2)解：不可能，理由如下：依题意得：（90-x -50）（20+2x ）=2000，整理得：x 2-30x +600=0，Δ=（-30）2-4×600=900-2400=-1500＜0，则原方程无实数解．则不可能每天盈利2000元．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．26．（1）当2a =时，代数式24a a -存在最小值为-4；（2）3x =时，长方形MBCN 的面积存在最大值，最大值为9【分析】（1）仿照题干，配方后利用非负数的性质确定出结果即可；（2）设长方形MBCN 的面积为S ，根据题意列出S 与x 的关系式，配方后利用非负数的性质即可得到结果．解：（1）★()2224444244a a a a a -=-+-=--≥-，★当2a =时，代数式24a a -存在最小值为-4； （2）设长方形MBCN 的面积为S ，根据题意得：()()2266399S x x x x x =-=-+=--+≤， 则3x =时，S 存在最大值，最大值为9．【点拨】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．。
人教版九年级数学上册《21.3 一元二次方程》巩固练习-附带答案
人教版九年级数学上册《21.3 一元二次方程》巩固练习-附带答案一、单选题知识点一、一元二次方程的定义1．下列关于x 的方程一定是一元二次方程的是（ ） A ．x 2＋2x ＝x 2﹣1 B ．m 2x 2﹣7＋x 2＝0 C ．x 2＋1x﹣1＝0D ．ax 2＋bx ＋c ＝02．若一元二次方程()221310k x x k -++-=有一个解为0x = 则k 为（ ）A ．±1B ．1C ．1-D ．03．方程22(1)10m x --=是关于x 的一元二次方程 则m 的取值范围是（ ） A ．m≠±l B ．m≥-l 且m≠1 C ．m≥-lD ．m ＞-1且m≠14．下列方程中 是一元二次方程的有（ ）个①25x x =；①()22360x --=；①21x =；①27(2)7x x x -=；①2120x x+-=． A ．1B ．2C ．3D ．4知识点二、一元二次方程的一般形式5．将方程2x 2＝5x －1化为一元二次方程的一般形式 其中二次项系数为2 则一次项系数、常数项分别是（ ）A ．－5、1B ．5、1C ．5、－1D ．－5、－16．一元二次方程()()2412351x x x +-=+化成一般式后,,a b c 的值为（ ）A ．3 －10 －4B ．3 －12 －2C ．8 －10 －2D ．8 －12 47．如果a b k 均为整数 则满足下面等式()()218x a x b x kx ++=++的所有k 的取值有( )A ．2个B ．3个C ．6个D ．8个8．把方程143xx y +=+化为y kx b =+的形式 下列选项正确的是（ ）A ．113y x =+ B ．1164y x =+ C ．116y x =+ D ．1134y x =+知识点三、一元二次方程的解9．已知实数a 是一元二次方程x 2+x ﹣8＝0的根 则a 4+a 3+8a ﹣1的值为（ ）A ．62B ．63C ．64D ．6510．已知a 是方程2202210x x -+=的一个根 则22202220211a a a -++的值为（ ）． A ．12022B ．2022C ．2021D ．无法计算11．若关于x 的一元二次方程()2300ax bx a +-=≠有一个根为2021x = 则方程2(1)3a x bx b -+-=必有一根为（ ）A ．2019B ．2020C ．2021D ．202212．根据下列表格的对应值 由此可判断方程2x +12x ﹣15=0必有一个解x 满足（ ）A ．﹣1<x <1B ．1<x <1.1C ．1.1<x <1.2D ．﹣0.59<x <0.84二、填空题知识点一、一元二次方程的定义13．若方程2(1)30m x mx ---=是关于x 的一元二次方程 则m 的取值范围是_____．14．当m =___________时 方程(2150mm xmx --+=是一元二次方程．15．已知21370m x x m ---=是关于x 的一元二次方程 则m 的值为_________． 16．下列方程中 ①7x 2+6＝3x ；①212x＝7；①x 2﹣x ＝0；①2x 2﹣5y ＝0；①﹣x 2＝0中是一元二次方程的有_____．知识点二、一元二次方程的一般形式17．一元二次方程（1﹣3x ）（x +3）＝2x 2+1的一般形式是_____；它的二次项系数是_____ 一次项系数是_____ 常数项是_____．18．一元二次方程()()213321x x x +-=+二次项系数为______ 常数项为______.19．若m 2x 3﹣（2x +1）2+（n ﹣3）x +5＝0是关于x 的一元二次方程 且不含x 的一次项 则m ＝___ n ＝___．20．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2﹣2x+a 2﹣4＝0的常数项是0 则a ＝_____． 知识点三、一元二次方程的解21．关于x 的方程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m n 且(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn－2a )＝54 则a 的值为______．22．若1x 2x 是方程210x x +-=的两根 则()()22112222x x x x +-+-的值为______．23．定义新运算：*(1)a b a b =- 若x a = x b =是关于一元二次方程2104x x m -+=的两实数根 则**b b a a -的值为_________．24．若关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）满足a ﹣b +c ＝0 称此方程为“天宫”方程．若方程a 2x 2﹣2021ax +1＝0（a ≠0）是“天宫”方程 求a 2+2022a +220211a a +﹣20211aa +的值是 ___． 三、解答题25．（1）若方程2(1)1m x -=是关于x 的一元二次方程 求m 的取值范围． （2）如果1x =是方程230ax bx ++=的一个根 求2()4a b ab -+的值．26．根据下列问题 列出关于x 的方程 并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25 求正方形的边长x ； （2）一个矩形的长比宽多2 面积是100 求矩形的长x ；（3）把长为1的木条分成两段 使较短一段的长与全长的积 等于较长一段的长的平方 求较短一段的长x ．27．若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有一个根为1- 且2a = 求2019()2019a b c+的值．28．试证明关于x 的方程22(820)210a a x ax -+++=无论a 取何值 该方程都是一元二次方程；参考答案1．B 【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数 并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．解：A. x 2＋2x ＝x 2﹣1 整理后是一元一次方程 故此选项不符合题意；B. m 2x 2﹣7＋x 2＝0是一元二次方程 故此选项符合题意；C. x 2＋1x﹣1＝0不是整式方程 所以方程不是一元二次方程 故此选项不符合题意；D. ax 2＋bx ＋c ＝0 a ＝0时 不是一元二次方程 故此选项不符合题意． 故选：B ．【点拨】本题考查了一元二次方程的定义 解题时 要注意两个方面：（1）一元二次方程包括三点：①是整式方程 ①只含有一个未知数 ①所含未知数的项的最高次数是2；（2）一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．2．C 【分析】把x =0代入方程（k -1）x 2+3x +k 2-1=0得方程k 2-1=0 解关于k 的方程 然后利用一元二次方程的定义确定k 的值．解：把x =0代入方程（k -1）x 2+3x +k 2-1=0得方程：k 2-1=0解得k 1=1 k 2=-1 而k -1≠0 所以k =-1． 故选：C ．【点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．3．D 【分析】根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得．解：①方程22(1)10m x --=是关于x 的一元二次方程①210m -≠ 解得1m ≠±10m +≥解得：1m ≥- ①1m >-且1m ≠ 故选：D ．【点拨】本题考查了一元二次方程的概念 判断一个方程是否是一元二次方程 首先要看是否是整式方程 然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．4．B 【分析】根据一元二次方程的定义判断 应仅有一个未知数 且是最高次数为2的整式方程． 解：①变形为250x x -= 是一元二次方程；①()22360x --= 整理变形为42063x x -+= 最高次数为4 不是一元二次方程； ①21x = 变形为210x -= 是一元二次方程； ①27(2)7x x x -=变形为140x = 不是一元二次方程； ①2120x x+-= 是分式方程； 故①①满足 共有2个一元二次方程 故选B ．【点拨】本题考查了一元二次方程 一元二次方程应仅有一个未知数 且是最高次数为2的整式方程．5．A 【分析】一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0（a b c 是常数且a ≠0） a 、b 、c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项．解：2x 2＝5x －1化为一元二次方程的一般形式2x 2-5x +1=0 一次项系数、常数项分别是-5 1 故选：A ．【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax 2+bx +c =0（a b c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项 bx 叫一次项 c 是常数项．其中a b c 分别叫二次项系数 一次项系数 常数项．6．A 【分析】通过去括号、移项合并同类项将方程化为一般形式即可得．解：()()2412351x x x +-=+去括号 得22810351x x x --=+ 移项合并同类项 得231040x x --= 则化成一般式后,,a b c 的值为3,10,4-- 故选：A ．【点拨】本题考查了整式的乘法与加减法、一元二次方程的一般形式 熟练掌握一元二次方程的概念是解题关键．7．C 【分析】先把等式左边展开 由对应相等得出a +b =k ab =18；再由a b k 均为整数 求出k 的值即可．解：①（x+a ）（x+b ）=x 2+kx+18①x 2+（a+b ）x+ab=x 2+kx+18 ①a+b=k ab=18 ①a b k 均为整数 ①a=±1 b=±18 k=±19； a=±2 b=±9 k=±11； a=±3 b=±6 k=±9； 故k 的值共有6个 故选C ．【点拨】本题考查了多项式乘以多项式 是基础知识要熟练掌握． 8．B 【分析】先移项 再合并同类项 系数化为1即可． 解：移项 4y=x+1-3x合并同类项 2413x y =+ 系数化为1得1164y x =+故选 B【点拨】把方程143xx y +=+变形为y=kx+b 的形式 就是解关于y 的方程 根据等式的性质变形是解本题的关键．9．B 【分析】把方程的解代入方程得到关于a 的等式 然后利用等式对代数式进行化简求值． 解：①a 是一元二次方程280x x +-=的一个根①280a a +-= ①28a a +=①()()43222281818818164163a a a a a a a a a a a ++-=++-=+-=+-=-=故选：B【点拨】本题考查的是一元二次方程的解 把方程的解代入方程 得到关于a 的等式 利用等式对代数式进行化简并求出代数式的值．10．C 【分析】先根据一元二次方程的解的定义 得到2202210a a -+= 然后将其变形得到a 2=2022a -1 a 2+1=2022a 最后整体代入代数式求值即可．解：①a 是关于x 的一元二次方程2202210x x -+=的一个根①2202210a a -+= ①a 2=2022a -1 a 2+1=2022a ①原式=2022a -1-2021a +20222022a=a -1+1a =211a a+-=2022aa-1 =2021 故C 正确． 故选：C ．【点拨】本题考查了一元二次方程的解 分式的运算 整体代入求代数式的值 关键是运用整体代入的思想．11．D【分析】把2(1)3a x bx b -+-=化为：21130,a x b x 再结合题意可得12021,x 从而可得方程的解.解：2(1)3a x bx b -+-=可化为：21130,a x b x关于x 的一元二次方程()2300ax bx a +-=≠有一个根为2021x =∴ 把1x -看作是整体未知数 则12021,x 2022,x即2(1)3a x bx b -+-=有一根为2022.x 故选D【点拨】本题考查的是一元二次方程的根的含义 掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键.12．C 【分析】利用表中数据得到x=1.1时 x 2 +12x ﹣15=-0.59<0 x=1.2时 x 2 +12x ﹣15=0.84>0 则可以判断方程x 2 +12x ﹣15=0时 有一个解x 满足1.1<x <1.2．解：①x=1.1时 x 2 +12x ﹣15=-0.59<0x=1.2时 x 2 +12x ﹣15=0.84>0 ① 1.1<x <1.2时 x 2 +12x ﹣15=0即方程x 2 +12x ﹣15=0必有一个解x 满足1.1<x <1.2 故选C ．【点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．13．m ≠1 【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式 再求解即可．解：根据一元二次方程的定义可得：m -1≠0 解得：m ≠1 故答案是：m ≠1．【点拨】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程 一般形式是ax 2+bx +c =0（且a ≠0）．特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．14【分析】根据一元二次方程的定义解答．解：①(2150m m xmx --+=是一元二次方程①212m -=且0m解得m =【点拨】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程 一般形式是20ax bx c ++=（且0a ≠）．特别要注意0a ≠的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．15．32．【分析】根据一元二次方程的定义 令2m -1=2 求出m 的值即可． 解：①3x 2m -1-7x -m=0是关于x 的一元二次方程①2m -1=2 ①m=32故答案是：32．【点拨】此题考查一元二次方程的概念．解题关键在于掌握只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．16．①①①． 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证 满足这四个条件者为正确答案．解：①①①是一元二次方程 ①是分式方程 ①是二元二次方程故答案为：①①①．【点拨】此题考查一元二次方程的概念 解题关键在于掌握判断一个方程是否是一元二次方程 首先要看是否是整式方程 然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．17． 5x 2+8x ﹣2＝0 5 8 -2【分析】将等式左边利用整式的乘法法则计算 再整理为一元二次方程的一般形式 根据一元二次方程的定义解答．解：一元二次方程（1﹣3x ）（x +3）＝2x 2+1的一般形式是5x 2+8x ﹣2＝0；它的二次项系数是5 一次项系数是8 常数项是﹣2．故答案为：5x 2+8x ﹣2＝0 5 8 ﹣2．【点拨】此题考查一元二次方程的定义 一元二次方程的一般形式 整式的乘法计算法则 熟记一元二次方程的定义是解题的关键．18． 1 4-【分析】将原方程化简整理 然后根据一元二次方程的定义求解即可.解：原方程整理得2-840x x -=∴二次项系数为1 常数项为-4故答案为：1 -4.【点拨】本题主要考查了一元二次方程的概念 通过已知条件对原方程进行整理是解题的关键.19． 0 7【分析】首先把方程变为一元二次方程的一般形式2324(7)40m x x n x -+-+= 再根据题意可得20,70m n =-= 进而可得答案．解：m 2x 3﹣（2x +1）2+（n ﹣3）x +5＝0整理得 2324(7)40m x x n x -+-+=①为一元二次方程且不含x 的一次项①20,70m n =-=解得0,7m n ==故答案为：0 7．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式 关键是掌握任何一个关于x 的一元二次方程经过整理 都能化成如下形式ax 2+bx +c =0（a ≠0）．20．﹣2．【分析】根据常数项是0列式求出a 值 结合一元二次方程的定义a -2≠0 即可得答案. 解：①一元二次方程（a ﹣2）x 2﹣2x+a 2﹣4＝0的常数项是0①a 2﹣4＝0解得：a ＝±2①a ﹣2≠0①a≠2①a ＝﹣2故答案为﹣2．【点拨】本题考查一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0(a≠0) ax 2叫做二次项 a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项 b 叫做一次项系数；c 叫做常数项；解题时注意不要漏掉a≠0这个隐含条件.21．32##1.5##112【分析】根据方程根的定义得到223am bm -= 223an bn -= 然后把(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54变形后 利用整体代入 得到关于a 的一元二次方程 解方程后去掉不合题意的解即可．解：①关于x 的方程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m n①2230am bm --= 2230an bn --=①223am bm -= 223an bn -=①(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54①[2（am 2－2bm ＋a ）] [3(an 2－2bn )－2a ]＝54①2(3)(92)54a a +-=解得0a =或32a =①ab ≠0①a b 均为非零实数 ①32a = 故答案为：32【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入的方法 熟练掌握整体代入的方法是解题的关键．22．1【分析】根据题意 22112210,10x x x x +-=+-= 变形代入计算即可．解：①1x 2x 是方程210x x +-=的两根①22112210,10x x x x +-=+-=①()()22112222x x x x +-+-=221122(11)(11)(1)(1)x x x x +--+--=-⨯-=1故答案为：1．【点拨】本题考查了一元二次方程的根即使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值 利用定义变形代入计算是解题的关键．23．0【分析】由a 、b 是关于一元二次方程2104x x m -+=的两实数根 可得出a 2-a =-14m 、b 2-b =-14m 根据定义新运算的定义式 将b *b -a *a 展开 代入数据即可得出结论．解：①a 、b 是关于一元二次方程2104x x m -+=的两实数根①a 2-a =-14m b 2-b =-14m ①b *b -a *a =b （b -1）-a （a -1）=b 2-b -（a 2-a ）=-14m -（-14m ）=0． 故答案为：0．【点拨】本题考查了一元二次方程的解以及实数的运算 根据一元二次方程的解找出a 2-a =-14m b 2-b =-14m 是解题的关键． 24．2023-【分析】利用新定义得到“天宫”方程的一个解为1x =- 则2202110a a ++= 然后利用整体代入的方法计算．解：①关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）满足a ﹣b +c ＝0①“天宫”方程的一个解为1x =-方程22202110(0)a x ax a -+=≠是“天宫”方程2202110a a ∴++=220211a a ∴+=- 212021a a +=- 220211a a +=- ∴2220212022120211a a a a a a ++-++ 2220212021120211a a a a a a a =+++-++ 2202112021a a a a a=-++--- 111a a =-+-+ 12a a=+- 212a a+=- 20212a a-=- 20212=--2023=-．故答案为：2023-．【点拨】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决本题的关键．25．（1）0m ≥且1m ≠；（2）9【分析】（1）根据一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件进行求解即可；（2）把1x =代入230ax bx ++=中得到3a b +=- 再由22()4()a b ab a b -+=+进行求解即可．解：（1）①方程2(1)1m x -+=是关于x 的一元二次方程①100m m -≠⎧⎨≥⎩①0m ≥且1m ≠；（2）①1x =是方程230ax bx ++=的一个根①30++=a b 即3a b +=-①222222()4242()9a b ab a ab b ab a ab b a b -+=-++=++=+=．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义 一元二次方程的解 二次根式有意义的条件 完全平方公式 解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的相关知识．26．（1）22425,4250x x =-=；（2）2(2)100,21000.x x x x -=--=；（3）221(1),310x x x x ⋅=--+=【分析】（1）利用边长的平方的4倍为25列出一元二次方程即可；（2）用未知数表示出矩形的长和宽后利用长乘以宽等于面积列出一元二次方程即可； （3）根据使较短一段的长与全长的积 等于较长一段的长的平方 列方程即可． 解：（1）依题意得 4x 2＝25化为一元二次方程的一般形式得 4x 2−25＝0．（2）依题意得 x （x −2）＝100化为一元二次方程的一般形式得 x 2−2x −100＝0．（3）依题意得 21(1)x x =-化为一元二次方程的一般形式得 2310x x -+=．【点拨】本题考查了根据实际问题列出一元二次方程的知识 列一元二次方程的关键是找到实际问题中的相等关系．27．0．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得a、c的值再把1x=-代入已知方程求得b的值最后代入计算求出结果即可．解：2a中①40c-≥且40c-≥解得：4c=①2a=-①关于x的一元二次方20ax bx c++=有一个根为1-①0a b c-+=①2b=①20192019()(22)0 201920194a bc+-+==⨯．【点拨】本题考查了一元二次方程的解二次根式有意义的条件求出a、c、b的值是解此题的关键．28．证明见分析.解：根据一元二次方程的定义只需证明此方程的二次项系数a2-8a+20不等于0即可．试题解析：①a2−8a+20=(a−4)2+4⩾4①无论a取何值a2−8a+20⩾4 即无论a取何值原方程的二次项系数都不会等于0①关于x的方程(a2−8a+20)x2+2ax+1=0 无论a取何值该方程都是一元二次方程．。
2024人教版数学九年级上册第一章一元二次方程单元复习卷(含答案)
第二十一章一元二次方程章末复习测试题（二）一．选择题1．一元二次方程（x﹣2）2＝0的根是（）A．x＝2B．x1＝x2＝2C．x1＝﹣2，x2＝2D．x1＝0，x2＝2 2．用公式法解一元二次方程2x2+3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（）A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，1 3．若关于x的一元二次方程m2x2﹣（2m﹣1）x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m ＜B．m≤C．m≥D．m ≤且m≠04．已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+4＝0的一个根是2，则a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣25．方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠±1B．m＝1C．m≠﹣1D．m≠16．菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长等于（）A．10cm B．12cm C．16cm D．12cm或16cm7．已知一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两实数根为x1、x2，则x1•x2的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1 8．九江某快递公司随着网络的发展，业务增长迅速，完成快递件数从六月份的10万件增长到八月份的12.1万件．假定每月增长率相同，设为x．则可列方程为（）A．10x+x2＝12.1B．10（x+1）＝12.1C．10（1+x）2＝12.1D．10+10（1+x）＝12.19．若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k＝0的两个根，则k的值是（）A．27B．36C．27或36D．1810．用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（）A．（x+4）2＝11B．（x+4）2＝21C．（x﹣8）2＝11D．（x﹣4）2＝112024人教版数学九年级上册第一章一元二次方程单元复习卷（含答案）11．若a，b，c满足，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是（）A．1，0B．﹣1，0C．1，﹣1D．无实数根12．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．32x+2×20x﹣2x2＝570B．32x+2×20x＝32×20﹣570C．（32﹣2x）（20﹣x）＝32×20﹣570D．（32﹣2x）（20﹣x）＝570二．填空题13．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的一个根为x＝2，另一个根为．14．用一根20m长的绳子围成一个面积为24m2矩形，则矩形的长与宽分别是．15．今年我国生猪价格不断飙升，某超市的排骨价格由第一季度的每公斤40元上涨到第三季度的每公斤元90，则该超市的排骨价格平均每个季度的增长率为．16．若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则的值为．17．某企业退休职工李师傅2013年月退休金为1500元，2015年达到2160元．设李师傅的月退休金从2013年到2015年年平均增长率为x，可列方程为．18．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程，化为一般式为．三．解答题19．解下列方程．（1）（4x﹣1）2＝225．（2）（x﹣5）（x﹣6）＝x﹣5．20．已知：关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+m＝0．（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；（2）请选择一个合适的m值，写出这个方程并求出此时方程的根．21．a为实数，关于x的方程（x﹣a）2+2（x+1）＝a有两个实数根x1，x2．（1）求a的取值范围．（2）若（x1﹣x2）2+x1x2＝12．试求a的值．22．有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为ym2．（1）用含有x的代数式表示y．（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？（3）能围成面积为72m2的花圃吗！如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．23．方程x2+ax+b＝0与x2+bx+a＝0有一个公共根，设它们另两个根为x1，x2；方程x2﹣cx+d＝0与x2﹣dx+c＝0有一个公共根，设它们另两个根为x3，x4．求x1x2x3x4的取值范围（a、b＜0，a≠b，c、d＜0，c≠d）24．2019年国庆档上映了多部优质国产影片，其中《我和我的祖国》、《中国机长》这两部影片不管是剧情还是制作，都非常值得一看．《中国机长》是根据真实故事改编的，影片中全组机组人员以自己的实际行动捍卫安全、呵护生命，堪称是“新时代的英雄”、“民航奇迹的创造者”，据统计，某地10月1日该影片的票房约为1亿，10月3日的票房约为1.96亿．（1）求该地这两天《中国机长》票房的平均增长率；（2）电影《我和我的祖国》、《中国机长》的票价分别为40元、45元，10月份，某企业准备购买200张不同时段的两种电影票，预计总花费不超过8350元，其中《我和我的祖国》的票数不多于《中国机长》票数的2倍，请求出该企业有多少种购买方案，并写出最省钱的方案及所需费用．25．为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．（1）求该广场绿化区域的面积；（2）求广场中间小路的宽．参考答案一．选择题1．解：（x﹣2）2＝0，则x1＝x2＝2，故选：B．2．解：∵方程2x2+3x＝1化为一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，∴a＝2，b＝3，c＝﹣1．故选：B．3．解：由已知得：，解得：m≤且m≠0．故选：D．4．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2ax+4＝0的一个根是2，∴22﹣2a×2+4＝0，即﹣4a＝﹣8解得，a＝2．故选：C．5．解：根据题意得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故选：D．6．解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，即AB＝3或4，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝DC＝BC，当AD＝DC＝3cm，AC＝6cm时，3+3＝6，不符合三角形三边关系定理，此时不行；当AD＝DC＝4cm，AC＝6cm时，符合三角形三边关系定理，即此时菱形ABCD的周长是4×4＝16，故选：C．7．解：∵一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两实数根为x1、x2，所以x1•x2＝＝﹣1．故选：D．8．解：设每月增长率为x，根据题意得：10（1+x）2＝12.1．故选：C．9．解：当3为腰长时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+k＝0，解得：k＝27，∴原方程为x2﹣12x+27＝0，∴x1＝3，x2＝9，∵3+3＜9，∴长度为3，3，9的三条边不能围成三角形∴k＝27舍去；当3为底边长时，△＝（﹣12）2﹣4k＝0，解得：k＝36．故选：B．10．解：x2﹣8x+5＝0，x2﹣8x＝﹣5，x2﹣8x+16＝﹣5+16，（x﹣4）2＝11．故选：D．11．解：当x＝1时，a+b+c＝0，当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为1或﹣1．故选：C．12．解：设道路的宽为xm，则草坪的长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．故选：D．二．填空题（共6小题）13．解：方程整理为x2﹣3x+2＝0，设方程的另一个解为t，则2t＝2，解得t＝1，即方程的另一个解为1．故答案为1．14．解：设矩形的长为xm，则宽为m，依题意，得：x•＝24，整理，得：x2﹣10x+24＝0，解得：x1＝6，x2＝4．∵x≥，∴x≥5，∴x＝6，＝4．故答案为：6m，4m．15．解：设平均每个季度的增长率为x，依题意，得：40（1+x）2＝90，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．故答案为：50%．16．解：∵a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，∴a、b可看作方程x2﹣4x+1＝0的两个实数解，∴a+b＝4，ab＝1，而a2+1＝4a，b2+1＝4b，∴＝+＝×＝×＝1．故答案为1．17．解：如果设李师傅的月退休金从2013年到2015年年平均增长率为x，那么根据题意得今年退休金为：1500（1+x）2，列出方程为：1500（1+x）2＝2160．故答案为：1500（1+x）2＝2160．18．解：设剪去的小正方形边长是xcm，则长方形纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，依题意，得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32，即x2﹣8x+7＝0．故答案为：x2﹣8x+7＝0．三．解答题（共7小题）19．解：（1）∵（4x﹣1）2＝225，∴4x﹣1＝15或4x﹣1＝﹣15，解得x＝4或x＝﹣；（2）∵（x﹣5）（x﹣6）﹣（x﹣5）＝0，∴（x﹣5）（x﹣7）＝0，则x﹣5＝0或x﹣7＝0，解得x＝5或x＝7．20．（1）证明：∵△＝（2m+1）2﹣4m2﹣4m＝1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：当m＝0时，方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．21．解：（1）（x﹣a）2+2（x+1）＝a，变形为x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a+2＝0．根据题意得△＝4（a﹣1）2﹣4（a2﹣a+2）＝4a2﹣8a+4﹣4a2+4a﹣8＝﹣4a﹣4≥0，解得a≤﹣1．即a的取值范围是a≤﹣1；（2）由根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a+2，∵（x1﹣x2）2+x1x2＝12，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝12，∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a+2）＝12，即a2﹣5a﹣14＝0，解得a1＝﹣2，a2＝7，∵a≤﹣1，∴a的值为﹣2．22．解：（1）由题意得：y＝x（30﹣3x），即y＝﹣3x2+30x．（2）当y＝63时，﹣3x2+30x＝63．解此方程得x1＝7，x2＝3．当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意；当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去；∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2．（3）不能围成面积为72m2的花圃．理由如下：如果y＝72，那么﹣3x2+30x＝72，整理，得x2﹣10x+24＝0，解此方程得x1＝4，x2＝6，当x＝4时，30﹣3x＝18，不合题意舍去；当x＝6时，30﹣3x＝12，不合题意舍去；故不能围成面积为72m2的花圃．23．解：∵x2+ax+b＝0与x2+bx+a＝0有一个公共根，∴x2+ax+b＝x2+bx+a，∴（a﹣b）x＝a﹣b，∵a≠b，∴x＝1，∴x1＝b，x2＝a，∴a+b＝﹣1，∴x1+x2＝﹣1，∵x2﹣cx+d＝0与x2﹣dx+c＝0有一个公共根，∴x2﹣cx+d＝x2﹣dx+c，∴﹣（d﹣c）x＝d﹣c，∵c≠d，∴x＝﹣1，∴x3＝﹣d，x4＝﹣c，∴d+c＝﹣1，∴x3+x4＝1，∵a、b＜0，c、d＜0，∴（﹣x1）+（﹣x2）≥2，x3+x4≥2，∴0＜x1x2≤，0＜x3x4≤，∴0＜x1x2x3x4≤．24．解：（1）设该地这两天《中国机长》票房的平均增长率为x．根据题意得：1×（1+x）2＝1.96解得：x1＝0.4，x2＝﹣2.4（舍）答：该地这两天《中国机长》票房的平均增长率为40%．（2）设购买《我和我的祖国》a张，则购买《中国机长》（200﹣a）张根据题意得：解得：130≤a≤∵a为正整数∴a＝130，131，132，133∴该企业共有4种购买方案，购买《我和我的祖国》133张，《中国机长》67张时最省钱，费用为：40×133+45×67＝8335（元）．答：最省钱的方案为购买《我和我的祖国》133张，《中国机长》67张，所需费用为8335元．25．解：（1）18×10×80%＝144（平方米）．答：该广场绿化区域的面积为144平方米．（2）设广场中间小路的宽为x米，依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144，整理，得：x2﹣19x+18＝0，解得：x1＝1，x2＝18（不合题意，舍去）．答：广场中间小路的宽为1米．11。
部编数学九年级上册22.30二次函数与一元二次方程(巩固篇)(人教版)含答案
专题22.30 二次函数与一元二次方程（巩固篇）（专项练习）一、单选题类型一：抛物线与坐标轴交点坐标1．已知抛物线y ＝x 2﹣2ax ﹣2a ﹣1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交负半轴于点C ，△ABC 的面积为15，则该抛物线的对称轴为（ ）A ．直线x ＝2B ．直线x ＝﹣72C ．直线x ＝13D ．直线x ＝122．四位同学在研究函数2y x bx c =++（b ，c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为2；丁发现当2x =时，3y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．已知抛物线2:23M y x x =+-与抛物线：2:V y x bx c =++关于直线2x =对称，则抛物线V 与x ，y 轴的交点为顶点的三角形的面积为（ ）A ．6B ．12C ．21D ．42类型二：由函数值求自变量的值4．三个方程2(1)(2)1,3(1)(2)1,4(1)(2)1-+-=-+-=-+-=x x x x x x 的正根分别记为123,,x x x ，则下列判断正确的是（ ）A ．321x x x >>B ．123x x x >>C ．132x x x >>D ．213x x x >>5．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ≤6的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．5＜t ≤12B ．﹣4≤t ≤5C ．﹣4＜t ≤5D ．﹣4≤t ≤126．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++¹图象上部分点的坐标(),x y 的对应值如表所示，则方程220ax bx ++=的根是（ ）A ．0或6B 3C ．2或4D 6类型三：图象法确定一元二次方程的近似根7．如图，抛物线2y ax bx c =++与直线y kx h =+交于A 、B 两点，下列是关于x 的不等式或方程，结论正确的是（ ）A ．2()ax b k x c h +-+>的解集是24x <<B ．2()ax b k x c h +-+>的解集是4x >C ．2()ax b k x c h +-+>的解集是2x <D ．2()ax b k x c h +-+=的解是2x =或4x =8．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示，已知顶点坐标为（﹣2，﹣9a ）．有下列结论：①abc ＜0；②4a +2b +c ＞0；③5a ﹣b +c ＝0；④若方程a （x +5）（x ﹣1）＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如下表给出了二次函数229y x x =+-中，x ，y 的一些对应值，则可以估计一元二次方程2290x x +-=的一个近似解（精确到0.1）为（ ）x ……2 2.1 2.2 2.3 2.4……y ……－1－0.390.240.89 1.56……A ．2B ．2.1C ．2.2D ．2.3类型四：图象法解一元二次不等式10．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象，下列结论：①二次三项式ax 2+bx +c 的最大值为4；②b=﹣2；③使y ≤3成立的x 的取值范围是x≤-2或x ≥1；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m （m ＜4）的两根之和为﹣2．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，下列结论：①20a b +=；②关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为12x -<<；③420a b c ++<；④80a c +<．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知二次函数()2240y ax ax c a =-++>图像上的两点()11,x y 和()26,y ，若12y y >，则1x 的取值范围是（ ）A ．14x >-B ．26x >-C ．141x -<<D ．146x -<<类型五：图象法求自变量或因变量的取值范围13．下列命题正确的是（ ）A ．若分式方程41(1)(1)(1)m x x x -=+--有增根，则它的增根是±1B ．两边及一角对应相等的两个三角形全等C ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D ．已知抛物线2(1)4y x =-++，当0y >时，31x -<<14．已知二次函数()20y ax bx c a =++¹的图象如下图所示，则下列五个结论：①abc ＞0；②a ＋c ＞b ；③当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；④3b ＞2c ；⑤2am bm a b +<+（其中m 为实数，且m ≠1），其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．①②③④15．已知抛物线2y ax bx c =++，()0a >过()1,0-，且对称轴是直线1x =，则当0y >时，自变量x 的取值范围是（ ）A ．1x <-B ．13x -<<C ．12x -<<D ．1x <-或3x >类型六：根据交点确定不等式的解集16．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有下列结论：①0a >；②240b ac ->；③41a b +=；④不等式()210ax b x c +-+<的解集为13x <<，正确的结论个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．417．点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）在抛物线243y x x -+＝上，已知：111x -<<，存在一个正数m ，当21m m x -<<时，都有12y y ¹，则m 的取值范围是（ ）A ．2m ³B ．23m ££C ．23m ££或5m ³D ．23m ££或6m ³18．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ．下列结论：①0ac >；②当0x >时，y 随x 的增大而增大；③30a c +=；④2a b am bm +³+．⑤b ＝4a其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个类型七：抛物线与x 轴交点问题19．已知关于x 的二次函数()221y x k x k =+++，下列说法不正确的是（ ）A ．对任意实数k ，该函数图象与x 轴都有两个不同的交点B ．对任意实数k ，该函数图象都经过点11,24æö--ç÷èøC ．对任意实数k ，当x k >-时，函数y 的值都随x 的增大而增大D ．对任意实数k ，该函数图象的顶点在二次函数2y x x =--的图象上运动20．已知二次函数y =a （x +1）（x -m ）（a 为非零常数，1＜m ＜2），当x ＜-1时，y 随x 的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）①当x ＞2时，y 随x 的增大而减小；②若图象经过点（0，1），则-1＜a ＜0；③若（-2021，y 1），（2021，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④若图象上两点(14，y 1)，(14+n ，y 2)对一切正数n ，总有y 1＞y 2，则32≤m ＜2．A ．①②B ．①③C ．③④D ．①③④21．如图，是二次函数()20y ax bx c a =++¹的图象，则下列结论正确的个数有（ ）①0c a<；②80a c +<；③二次函数最小值为2a ；④230c b +=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个类型八：根据二次函数的图象确定相应方程根的情况22．若三个方程()()2325x x -+-=，()()3325x x -+-=，()()4325x x -+-=的正根分别记为1x ，2x ，3x ，则下列判断正确的是（ ）A ．123x x x <<B ．321x x x <<C ．231x x x <<D ．312x x x <<23．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ．下列结论：①0a b c ××>；②当0x >时，y 随x 的增大而增大；③3b ＝2c ；④抛物线顶点坐标为()1,m ，则关于x 的方程21ax bx c m ++=+有实数根．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个24．如图，抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)-，与y 轴交于点(0,2)，抛物线的对称轴为直线1x =．关于此题，甲、乙、丙三人的说法如下：甲：20a c b a b +=+=，；乙：方程20ax bx c ++=的解为1-和3；丙：2c a ->．下列判断正确的是（ ）A ．甲对，乙错B ．甲和乙都错C ．乙对，丙错D ．甲、乙、丙都对类型九：求抛物线与x 轴截线长25．已知二次函数241y ax x =++(0)a >的图像与x 轴分别交于A 、B 两点，图像的顶点为C ，若90ACB Ð=°，则a 的值为（ ）A ．3B ．C ．2D 26．已知：抛物线23y x mx =--与x 轴交于A 、B 两点，且4AB =，则m 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．2±D ．4±27．对于每个非零的自然数n ，抛物线2(1)(21)1y n n x n x =+-++与x 轴交于n A 、n B 两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220182018A B A B A B ++×××+的值是（ ）A ．20182017B ．20172018C ．20192018D ．20182019二、填空题类型一：抛物线与坐标轴交点坐标28．已知二次函数24y x x c =++的图象与x 轴的一个交点坐标是()20,，则它与x 轴的另一个交点坐标是______．29．如图是抛物线2y x bx c =++的部分图象，则方程20x bx c ++=的两个根是____________．30．若抛物线y ＝x 2+ax +b 与x 轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x ＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，平移后抛物线的顶点坐标为_____．类型二：由函数值求自变量的值31．如图，一段抛物线()()1:404C y x x x =--££与x 轴交于点O ，1A ；将1C 向右平移得到第2段抛物线2C ，交x 轴于点1A ，2A ；再将2C 向右平移得到第3段抛物线3C ，交x 轴于点2A ，3A ；又将3C 向右平移得到第4段抛物线4C ，交x 轴于点3A ，4A ；若点()15,P m 在4C 上，则m 的值为______．32．二次函数y =-mx 2+x +m （m 为常数且m ＜0）的图象经过点A （-1，n ）．（1）n =______；（2）己知平面内有两点P （-3，1），Q （0，1），若该函数图象与线段PQ 有交点，则m 的取值范围是______．33．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，抛物线y ＝﹣2x 2+mx +m ﹣2经过B 、C 两点，若OA ＝2OC ，则矩形OABC 的周长为 _____．类型三：图象法确定一元二次方程的近似根34．如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的部分图象与y 轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x =1，则下列结论中：①c =3；②2a +b =0；③8a -b +c >0；④方程ax 2+bx +c =0的其中一个根在2，3之间，正确的有_______（填序号）．35．已知函数y ＝|x 2﹣4|的大致图象如图所示，那么：方程|x 2﹣4|＝m ．（m 为实数）①若该方程恰有3个不相等的实数根，则m 的值是 ______．②若该方程恰有2个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ______．36．二次函数2241y x x =+-的图象如图所示，若方程22410x x +-=的一个近似根是2.2x =-，则方程的另一个近似根为__________．（结果精确到0.1）类型四：图象法解一元二次不等式37．抛物线21y x mx m =--+的顶点在第四象限，则m 的取值范围是______．38．如图，直线1y kx b =+与抛物线22y ax bx c =++交于点()2,3A -和点()2,1B -，若210y y <<，则x 的取值范围是______．39．抛物线y =ax 2+bx +c 的部分图像如图所示，则不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为______．类型五：图象法求自变量或因变量的取值范围40．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图像与一次函数,y ax c y cx a =+=+图像中的每一条都至多有一个公共点，则c a的最大值是__________．41．已知函数y ＝﹣2x 2＋8x ﹣6，当0≤x ≤3时，y 的取值范围____．42．已知二次函数y ＝x 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：x……0123……y ……5212……若A （m ，y 1），B （m +6，y 2）两点都在该函数图象上，当y 1＞y 2时，m 的取值范围是 ___．类型六：根据交点确定不等式的解集43．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，对称轴为直线1x =-，当0y >时，x 的取值范围是__________．44．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于(1,),(2,)A p B q -两点，则不等式2ax mx c n ++>的解集是_____________．45．二此函数y ＝ax 2+bx +c 中，x 与y 的部分对应关系如表：x ﹣2﹣102ymn2n（其中m ＜0，n ＞0）．下列结论：①a +b +c ＝2；②不等式ax 2+bx +c ＞n 的解集是﹣1＜x ＜2；③若（t ，y 1）、（2﹣t ，y 2）是抛物线上不重合的两个点，则y 1＞y 2；④关于x 的一元二次方程a （x ﹣1）2﹣b （x ﹣1）＝m ﹣2的两个实数根为x 1＝﹣2，x 2＝3．其中正确的（序号）是 _____．类型七：抛物线与x 轴交点问题46．已知抛物线()210y ax bx c a =++¹与x 轴的两个交点的横坐标分别是－3和1，若抛物线()220y ax bx c m m =+++>与x 轴有两个交点A ，B ，点A 的坐标是()4,0，则点B 的坐标是______．47．函数()2221y x m x m m =-+++与x 轴的交点至少有一个在x 轴的左侧，则m 的范围是__________．48．如图，在平面直角坐标系中，抛物线222y x mx m =-++-（m 为常数，且0m >）与直线y ＝2交于A 、B 两点．若AB ＝2，则m 的值为______．类型八：根据二次函数的图象确定相应方程根的情况49．已知抛物线2y x =与直线()212y k x k =++-的两个不同交点分别为()11,A x y ，()22,B x y ．若1x 和2x 均为整数，则实数k 的值为_________．50．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且2＜x 2＜3，x 1+x 2＝2，则下列结论：①b 2＜4ac ；②若（﹣45，y 1）（72，y 2）是抛物线上的点，则y 1＜y 2；③a ﹣at 2≤bt ﹣b （t 为任意实数）；④若c ＝﹣2，则a ＞23，其中正确的结论是__________（填写序号）．51．如图，抛物线2221y x mx m =-+-与x 轴交于A 、B 两点，且点A 、B 都在原点右侧，抛物线的顶点为点P ，当ABP △为直角三角形时，m 的值为________．类型九：求抛物线与x 轴截线长52．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点．若顶点C 到x 轴的距离为6，则线段AB 的长为______．53．已知抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，若点A 的坐标为(-3，0)，则线段AB 的长为_______________．54．抛物线()()22y x x m =++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），且:2:1OA OB =，那么m 的值是______.三、解答题55．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点(0,3)C -，连接AC ，过点C 作CD AC ^交抛物线于点D ．(1)试确定a ，b 的数量关系；(2)当抛物线对称轴在y 轴的左侧时，试确定a 的取值范围；(3)若AC CD =，试求点B 的坐标．56．如图，已知抛物线的顶点坐标为A （1，4），抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C ，D 两点．点P 是抛物线上的一个动点．(1)求此抛物线的表达式．(2)求C ，D 两点坐标及△BCD 的面积．(3)若点P 在x 轴下方的抛物线上．满足13PCD BCD S S =V V ，求点P 的坐标．57．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，根据图象解答下列问题(1)写出方程20ax bx c ++=的两个根；(2)写出不等式20ax bx c ++>的解集58．如图，直线y =x +m 和抛物线y =x 2+bx +c 都经过点A （1，0），B （3，2）．(1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)求不等式x 2+bx +c ＞x +m 的解集．（直接写出答案）59．设二次函数23y ax bx =+-（a ，b 是常数，0a ¹），部分对应值如下表：x…2-1-012…y…53-4-3-…(1)试判断该函数图象的开口方向；(2)当4x =时，求函数y 的值；(3)根据你的解题经验，直接写出233ax bx +-<-的解．60．如图，在平面直角坐标系y xO 中，抛物线2y x mx m =-+与直线y x b =-+交于点(1,5)A -和B ．(1)求抛物线和直线的解析式；(2)若D 为抛物线上一点，且在点A 和点B 之间（不包括点A 和点B ），求点D 的纵坐标0y 的取值范围；(3)已知M 是直线AB 上一点，将点M 向下平移2个单位长度得到点N ，若线段MN 与抛物线只有一个交点，直接写出点M 的横坐标M x 的取值范围．61．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2()10y ax bx a =++¹的对称轴是直线3x =．(1)直接写出抛物线与y 轴的交点坐标；(2)求抛物线的顶点坐标（用含a 的式子表示）；(3)若抛物线与x 轴相交于,A B 两点，且4AB £，求a 的取值范围．62．如图， 二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴分别交于点(),4,0A B （点A 在点B 的左侧）， 且经过点()3,7-， 与 y 轴交于点 C ．（1） 求,b c 的值．（2） 将线段OB 平移， 平移后对应点 O ¢ 和 B ¢ 都落在拋物线上， 求点B ¢的坐标．参考答案1．A 【分析】先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，根据a 的取值范围求出AB ，OC ，根据三角形的面积求出a 的值，再求出对称轴即可．解：令y =0，则x 2﹣2ax ﹣2a ﹣1=0，即()()2110x a x éù-++=ëû，解得12121,x x a =-=+，∴A （-1，0）B （2a +1，0）令x =0，y =-2a -1，∴C （0，-2a -1）∵点C 与y 轴交于负半轴，∴-2a -1＜0∴a ＞12-，∴AB =2a +1-(-1)=2a +2，OC =2a +1，∴()()()()211·22211212311522ABC S AB OC a a a a a a ==´+´+=++=++=V ，解得12722,a a ==-（舍去），∴245y x x =--，∴对称轴为422x ==，故选：A ．【点拨】本题考查了抛物线与x 轴的交点，三角形的面积，关键是求出抛物线与坐标轴的交点坐标．2．B 【分析】假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论(本题选择的甲和丙,利用顶点坐标求出b 、c 的值，然后利用二次函数图像上点的坐标特征验证乙和丁的结论）．解：假设甲和丙的结论是正确的，则212424bc b -ì=ïïí-ï=ïî，解得23b c =-ìí=î，\抛物线解析式为223y x x =-+，当1x =-时，2(1)2(1)36--´-+=，\乙的结论是错的；当2x =时，222233y =-´+=，\丁的结论是正确的；故选：B ．【点拨】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握知识点，能够利用二次函数的性质求出b 、c 值是解题的关键．3．D 【分析】先求出抛物线M 的顶点坐标为（-1，-4），再根据轴对称的性质求出抛物线V 的顶点坐标为（5，-4），则抛物线V 的解析式为()254y x =--，再求出抛物线V 与坐标轴的交点，即可得到答案．解：∵抛物线M 的解析式为()222314y x x x =+-=+-，∴抛物线M 的顶点坐标为（-1，-4），∵抛物线V 与抛物线M 关于直线x =2对称，∴抛物线V 的顶点坐标为（5，-4），∴抛物线V 的解析式为()254y x =--，∴抛物线V 与x 轴的交点坐标为（3，0），（7，0），与y 轴的坐标为（0，21），∴抛物线V 与x ，y 轴的交点为顶点的三角形的面积为()73124212´-´=，故选：D ．【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，正确求出抛物线V 的解析式是解题的关键．4．A 【分析】分别设：12(1)(2)y x x =-+- ，23(1)(2)y x x =-+-，34(1)(2)y x x =-+-，三个方程的根即为三个二次函数与直线1y = 的交点，画出图像，即可求解．解：设12(1)(2)y x x =-+-，23(1)(2)y x x =-+-，34(1)(2)y x x =-+-，将三个函数画在同一个直角坐标系中，如图：则三个方程2(1)(2)1,3(1)(2)1,4(1)(2)1-+-=-+-=-+-=x x x x x x 的正根123,,x x x 即为：直线1y = 分别与123,,y y y 在第一象限交点的横坐标，则由图可知：213x x x ＜＜ ．故选A ．【点拨】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，二次函数图像画法，熟练掌握二次函数和一元二次方程的关系以及数形结合的方法是解题的关键．5．D 【分析】根据对称轴方程可得b =-4，可得二次函数解析式，可得顶点坐标为（2，-4），关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解为二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点的横坐标，当﹣1＜x ≤6时，﹣4≤t ≤12，进而求解；解：∵对称轴为直线x ＝2，∴221b-=´，∴b ＝﹣4，∴二次函数解析式为y ＝x 2﹣4x ，∴顶点坐标为（2，-4），∵﹣1＜x ≤6，∴当x =-1时，y =5，当x =6时，y =12，∴二次函数y 的取值范围为﹣4≤t ≤12，∵关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解为y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点的横坐标，∴﹣4≤t ≤12，故选：D ．【点拨】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．6．D【分析】根据抛物线的性质和表格提供的信息得到抛物线解析式为23y ax bx =++，对称轴为3x =，根据抛物线经过点)，得到抛物线也经过点()6，将方程220ax bx ++=变形为231ax bx ++=，根据一元二次方程和二次函数的关系即可求出220ax bx ++=的根．解：由抛物线经过点（0,3）得c=3，∴抛物线解析式为23y ax bx =++，∵抛物线经过点（0,3）和（6,3），∴抛物线对称轴为0632x +==，∵抛物线经过点)，∴抛物线也经过点()6，方程220ax bx ++=变形为231ax bx ++=，∴方程231ax bx ++=的根可以理解为二次函数23y ax bx =++的函数值为1时所对应的的自变量的取值，所以方程220ax bx ++=的根为126x x ==故选：D【点拨】本题考查二次函数的性质、一元二次方程与二次函数的关系，熟知相关知识，并根据题意得抛物线经过点()6，并能将方程220ax bx ++=变形为231ax bx ++=是解题的关键．7．D【分析】根据函数图象可知，不等式ax 2+bx +c >kx +h ，即2()ax b k x c h +-+>的解集为：x <2或>4；方程ax 2+bx +c =x +h ，即2()ax b k x c h +-+=的解为2x =或4x =．据此即可求解．解：由函数图象可得，不等式ax 2+bx +c >kx +h ，即2()ax b k x c h +-+>的解集为：x <2或>4；故A 、B 、C 不符合题意；方程ax 2+bx +c =x +h ，即2()ax b k x c h +-+=的解为2x =或4x =，故D 符合题意；故选：D ．【点拨】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键．8．C【分析】利用顶点式得到245y ax ax a =+-，根据抛物线的开口向上得到0a >，则0b >，0c <，于是可对①进行判断；解方程2450ax ax a +-=得抛物线与x 轴的交点坐标为(5,0)-，(1,0)，利用2x =时，0y >可对②进行判断；把4b a =，5c a =-代入5a b c -+中可对③进行判断；根据抛物线(5)(1)y a x x +-=与直线1y =-有两个交点，交点的横坐标分别为1x 和2x ，则可对④进行判断．解：Q 抛物线的顶点坐标为(2,9)a --，22(2)945y a x a ax ax a \=+-=+-，Q 抛物线的开口向上，0a \>，40b a \=>，50c a =-<，0abc \<，所以①正确；当0y =时，2450ax ax a +-=，解得5x =-或1x =，\抛物线与x 轴的交点坐标为(5,0)-，(1,0)，2x =Q 时，0y >，420a b c \++>，所以②正确；55454a b c a a a a -+=--=-Q ，而0a >，50a b c \-+<，所以③错误；Q 方程(5)(1)1a x x +-=-有两个根1x 和2x ，\抛物线(5)(1)y a x x +-=与直线1y =-有两个交点，交点的横坐标分别为1x 和2x ，1251x x \-<<<，所以④正确；综上：正确的个数为3个，故选：C ．【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握对于二次函数2(0)y ax bx c a =++¹，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当0a >时，抛物线向上开口；当0a <时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时（即0)ab >，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即0)ab <，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于(0,)c ．抛物线与x 轴交点个数由△决定：△240b ac =->时，抛物线与x 轴有2个交点；△240b ac =-=时，抛物线与x 轴有1个交点；△240b ac =-<时，抛物线与x 轴没有交点．9．C【分析】由表格信息可得：当 2.1x =时，0.39,y =- 当 2.2x =时，0.24,y = 再判断点()()2.1,0.39,2.2,0.24-哪个点离x 轴最近，从而可得答案.解：由表格信息可得：当 2.1x =时，0.39,y =-当 2.2x =时，0.24,y =而()0.2400.24,00.390.39,-=--= 0.240.39,<所以一元二次方程2290x x +-=的一个近似解： 2.2,x »故选C【点拨】本题考查的是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，一元二次方程的解，熟练的运用数形结合的方法解题是关键.10．C【分析】①只需通过观察图象即可确定最大值；②将点坐标代入解析式，可以根据求出的解析式来判定；③观察图象即可得到取值范围；④可根据二次函数的性质得到结论；解：将（-3，0）、（1，0）、（0，3）代入解析式可求出二次函数的解析式，∴y =-x 2-2x +3，①观察图象，可确定顶点坐标为（-1，4），故该结论正确；②代入三点坐标后解析式为y =-x 2-2x +3，b=-2，故该结论正确；③使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≤-2或x ≥0，故该结论错误；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m （m ＜4）的两根之和，可理解成关于二次函数与y =m 的解析式的交点，这两个交点的横坐标是关于x =-1对称，即两根之和为-1×2=-2．故选：C ．【点拨】本题考查二次函数的解析式、二次函数的性质和二次函数与一元二次方程根的关系；熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，并熟练运用二次函数的性质是解决本题的关键．11．B【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①由函数图象可得：对称轴为直线12b x a=-=，∴b =-2a ，∴b +2a =0，①正确；②由图象及对称轴可得，抛物线与x 轴的两个交点关于x 轴对称，∴与x 轴的另一个交点为（3,0），∴20ax bx c ++<的解集为：13x -<<，②错误；③当x =2时，y =4a +2b +c ，由②可得当13x -<<时，y <0，∴4a +2b +c <0，③正确；④当x =-1时，a -b +c =0，∵b =-2a ，∴c =-3a ，∴8a +c =8a -3a =5a ，∵开口向上，∴a >0，∴8a +c >0，④错误；综上可得：①③正确，故选B ．【点拨】题目主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，熟练运用是解题关键．12．D【分析】根据二次函数y =－2ax 2＋4ax ＋c (a >0)，可求得抛物线的对称轴为直线1x =，继而求得(6，y 2)关于对称轴的对称点为(－4，y 2)，然后根据二次项系数a <0时图像的性质即可求得结果．解：二次函数y =－2ax 2＋4ax ＋c (a >0)，∴函数对称轴为：直线()41222b a x a a =--=´-，∴(6，y 2)关于对称轴的对称点为(－4，y 2)，∵a >0，∴－2a <0，∴该函数开口向下，∵两点分别为(x 1，y 1)，(6，y 2)，y 1> y 2，∴－4<x 1<6．故选：D ．【点拨】本题主要考查二次函数()20y ax bx c a =++¹的图像与性质，能根据题意画出二次函数的图像是解题的关键．13．D【分析】用分式方程的增根是去分母后得到的整式方程的根，两边及一边的对角相等的两个三角形不一定全等，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，抛物线2(1)4y x =-++，当0y >时，()2140x -++>，()214x +<，-2<x +1<2，-3<x <1，逐项判断．解：A ． 分式方程41(1)(1)(1)m x x x -=+--去分母，得，4-m (x +1)=(x +1)(x -1)，当x =1时，4-2m =0，m =2，当x =-1时，4-0=0，4=0，矛盾，故不正确；B ．两边及一边的对角相等的两个三角形不一定全等，故不正确；C ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故不正确；D ． 抛物线2(1)4y x =-++，当0y >时，()2140x -++>，()214x +<，-2<x +1<2，-3<x <1，故正确．故选：D ．【点拨】本题主要考查了分式方程的增根问题，全等三角形的判定定理，平行四边形的判定定理，二次函数与不等式的关系，熟练掌握这些性质，定理等是解决问题的关键．14．C【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①由图象可知：抛物线对称轴位于y 轴右侧，则a 、b 异号，所以ab ＜0．抛物线与y 轴交于正半轴，则c ＞0，所以abc ＜0，故①错误；②当x =-1时，y =a -b +c ＜0，即b ＞a +c ，故②错误；③由图可知，x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故③正确；④当x =3时函数值小于0，y =9a +3b +c ＜0，且x =-2b a=1，即a =-2b ，代入得9（-2b ）+3b +c ＜0，得3b ＞2c ，故④正确；⑤当x =1时，y 的值最大．此时，y =a +b +c ，而当x =m 时，y =am 2+bm +c ，所以a +b +c ＞am 2+bm +c ，故a +b ＞am 2+bm ，即2am bm a b +<+，故⑤正确．综上所述，③④⑤正确．故选：C ．【点拨】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．15．D【分析】根据抛物线开口方向及抛物线与x 轴交点横坐标求解．解：∵ a > 0，∴抛物线开口向上，∵抛物线经过点(-1， 0)，抛物线对称轴为直线x =1，∴抛物线经过点(3， 0)，∴当y >0时，x <-1或x >3.故选： D ．【点拨】本题考查抛物线与x 轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质.16．C【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：抛物线开口向上，则a ＞0，故①正确；由图象可知：抛物线与x 轴无交点，即Δ=b 2-4ac ＜0，故②错误；由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x =1时，y =a +b +c =1，当x =3时，ax 2+bx +c =9a +3b +c =3，则8a +2b =2，即b =1-4a ，4a +b =1，故③正确；点（1，1），（3，3）在直线y =x 上，由图象可知，当1＜x ＜3时，抛物线在直线y =x 的下方，则ax 2+（b -1）x +c ＜0的解集为1＜x ＜3，故④正确；故答案为：C ．【点拨】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．17．D【分析】先根据二次函数的对称性可知，当满足12y y =时，35x <<，即只要2x 的范围不在此范围即可．解：∵抛物线解析式为243y x x -+＝，∴对称轴为2x =，由二次函数的对称性可知，当1x =-和5x =时，函数值y 相等，当1x =和3x =时，函数值y 相等，即当满足11x -<<和35x <<的函数值相同，当111x -<<，存在一个正数m ，当21m m x -<<时，都有12y y ¹，∴113m m -³ìí£î或15m -³，解得23m ££或6m ³；故选：D ．【点拨】本题考查二次函数的大小判断，根据函数的对称性，准确找到函数值与自变量之间的关系是解题的关键．18．B【分析】把点A （-1，0），B （3，0）代入二次函数y =ax 2+bx +c ，可得二次函数的解析式为：y =ax 2-2ax -3a ，由图象可知，函数图象开口向下，所以a ＜0，可得b 和c 的符号，及a 和c 的数量关系；由函数解析式可得抛物线对称轴为直线：x =1，根据函数的增减性和最值，可判断②和④的正确性．解：把点A （-1，0），B （3，0）代入二次函数y =ax 2+bx +c ，可得二次函数的解析式为：y =ax 2-2ax -3a ，∵该函数图象开口方向向下，∴a ＜0，∴b =-2a ＞0，c =-3a ＞0，∴ac ＜0，3a +c =0，①错误，③正确；∵对称轴为直线：x =-2b a=1，∴x ＜1时，y 随x 的增大而增大，x ＞1时，y 随x 的增大而减小；②错误；∴当x =1时，函数取得最大值，即对于任意的m ，有a +b +c ≥am 2+bm +c ，∴a +b ≥am 2+bm ，故④正确．∵对称轴为直线：x =-2b a=1，∴b =-2a ，⑤错误，综上，正确的个数有2个，故选：B ．【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．19．C【分析】根据二次函数图象及性质逐项判断可得答案．解：∵△=（2k +1）2-4k =4k 2+1≥1＞0，∴二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 图象与x 轴都有两个不同的交点，故A 正确，不符合题意；∵y =x 2+(2k +1)x +k =x 2+2kx +x +k =（2x +1）k +x 2+x ，∴当2x +1=0，即x =-12时，y =-14，∴二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 图象都经过点（-12，-14），故B 正确，不符合题意；∵抛物线开口向上，对称轴x =-212k +，∴x ≥-212k +时，函数y 的值都随x 的增大而增大，故C 不正确，符合题意；∵二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 图象的顶点为（-212k +，-k 2-14），把（-212k +，-k 2-14）代入2y x x =--，y =-（-212k +）2-（-212k +）=-k 2-14，∴函数y =x 2+(2k +1)x +k 图象的顶点在抛物线2y x x =--上运动，故D 正确，不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查二次函数的图象性质及点坐标特征，解题的关键是掌握并能熟练应用抛物线相关的性质．20．B【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：∵二次函数y=a（x+1）（x-m）（a为非零常数，1＜m＜2），∴x1=-1，x2=m，x1＜x2，又∵当x＜-1时，y随x的增大而增大，∴a＜0，开口向下，∴当x＞2＞x2时，y随x的增大而减小，故①正确；又∵对称轴为直线x=12m-+，1＜m＜2，∴0＜12m-+＜12，∴若（-2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则y1＜y2，故③正确；若图象上两点（14，y1），（14+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2，∴该函数与x轴的两个交点为（-1，0），（m，0），∴0＜12m-+≤14，解得1＜m≤32，故④错误；∵二次函数y=a（x+1）（x-m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜-1时，y随x的增大而增大，∴a＜0，若图象经过点（0，1），则1=a（0+1）（0-m），得1=-am，∵a＜0，1＜m＜2，∴-1＜a＜-12，故②错误；∴①③正确；②④错误，故选：B．【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．21．A【分析】根据抛物线与x轴的交点得到方程ax2+bx+c=0有两个根为-1，3，根据根与系数的关系可对①进行判断；由于x=-2时，y＞0，得到4a-2b+c＞0，然后把b=-2a代入计算，则可对②进行判断；由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴方程为x=1可对③进行判断；根据x=-1时，y=a-b+c=0，。
九年级数学上册 第二章 一元二次方程《一元二次方程的应用》(基础)巩固练习(含解析)(新版)北师大版
一元二次方程的应用—巩固练习【巩固练习】一、选择题1．在一幅长80cm 、宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是( )A ．x 2+130x-1400＝0B ．x 2-65x-350＝0 C ．x 2-130x-1400＝0 D ．x 2+65x-350＝02．某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x ，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（ ）A ．100（1+x ）B ．100（1+x ）2C ．100（1+x 2）D ．100（1+2x ）3．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是( )．A ．50(1+x)2＝182B ．50+50(1+x)+50(1+x)2＝182C ．50(1+2x)＝182D ．50+50(1+x)+50(1+2x)＝1824．一个矩形的长是宽的3倍，若宽增加3cm ，它就变成正方形.则矩形面积是( ) A ．24cm 3 B ．29cm C ．227cm 4D ．227cm 5．为执行“两免一补”政策，某地区2010年投入教育经费2500万元，预计2012年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x ，则下列方程正确的是( )．A ．2500(1+x)2＝3600B ．2500x 2＝3600C ．2500(1+x%)＝3600D ．2500(1+x)+2500(1+x)2＝36006．用一条长为40cm 的绳子围成一个面积为acm 2的长方形，a 的值不可能为（ ）A ．20B ． 40C ． 100D ． 120二、填空题7．某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x ，根据题意可列方程为 ．8．若两数的和是2，两数的平方和是74，则这两数为________．9．大连某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积为300m 2的一块长方形绿地，并且长比宽多10m ，设长方形绿地的宽为xm ，则可列方程为________．10．菱形ABCD 的一条对角线长6，AB 的长是方程x 2-7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD 的周长为________．11．有一人发了某内容的短信，经过两轮发送后共有196人的手机上有了该短信，则每轮发送中平均一个人发送了 人．12．小明家为响应节能减排号召，计划用两年时间，将家庭每年人均碳排放量由目前的3125kg 降至2000kg(全球人均目标碳排放量)，则小明家未来两年人均碳排放量平均每年需降低的百分率是________．三、解答题13．用长12m 的一根铁丝围成长方形．(1)如果长方形的面积为5m 2，那么此时长方形的长是多少?宽是多少?如果面积是8m 2呢?(2)能否围成面积是10m 2的长方形?为什么?(3)能围成的长方形的最大面积是多少?14．从一块长80cm ，宽60cm 的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度．15．白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？【答案与解析】一、选择题1.【答案】D ；【解析】可列方程(80+2x)(50+2x)＝5400，化简即可．2.【答案】B ．3.【答案】B ；【解析】四、五、六月份产量之和为182．4.【答案】C ；【解析】设矩形的宽为xcm ，则矩形的长为3xcm ，依题意得x+3＝3x ．5.【答案】A ；【解析】由平均增长率公式为2(1)a x b += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量)可列方程.6.【答案】D ；【解析】解：设围成面积为acm 2的长方形的长为xcm ，则宽为（40÷2﹣x ）cm ，依题意，得x （40÷2﹣x ）=a ，整理，得x 2﹣20x+a=0，∵△=400﹣4a≥0，解得a≤100，故选：D ．二、填空题7.【答案】10（1+x ）2=13．【解析】解：设该厂加工干果重量的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为：10（1+x ）2=13.8．【答案】-5和7；【解析】设两数中一个数为x ，则另一个数为2-x ．根据题意得x 2+(2-x)2＝74，解得x 1＝-5，x 2＝7．当x ＝-5时，另一个数为7；当x ＝7时，另一个数为-5，所以这两个数为-5和7．9．【答案】 x(x+10)＝300；【解析】因为宽为xm ，则长为(x+10)m ，可列方程x(x+10)＝300．10.【答案】16；【解析】x 2-7x+12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4，AB 不可能等于3，因为有一条对角线长为6，所以AB ＝4，菱形周长为16．11．【答案】13；【解析】设每轮发送中平均一个人发送了x 人，由题意得：1+x+x（1+x）=196，解得：x1=13，x2=﹣15（不合题意舍去）．即每轮发送中平均一个人发送了13人．12．【答案】20% ；【解析】设降低的百分率为x，则3125(1-x)2＝2000，19 5x=(舍去)，2120% 5x==．三、解答题13.【答案与解析】(1)设长方形的宽为x m，则长为122(6)m2xx-=-，根据题意，得x(6-x)＝5，即x2-6x+5＝0，x1＝1，x2＝5(舍去)．∴ 当长方形的宽为1m，长为6m-1m＝5m时，面积为5m2．同样，当面积为8m2时，有x(6-x)＝8，即x2-6x+8＝0，x1＝2，x2＝4(舍去)．∴ 当长方形的宽为2m，长为6-2＝4m时，面积为8m2．(2)当面积为l0m2时，x(6-x)＝10，即x2-6x+10＝0，此时b2-4ac＝36-40＝-4＜0，故此方程无实数根，所以这样的长方形不存在．(3)设围成的长方形的面积为k，则有x(6-x)＝k，即x2-6x+k＝0，要使该方程有解，必须有(-6)2-4k≥0，即k≤9．∴ 最大的k只能是9，即最大的面积为9m2，此时x＝3m，6-x＝3(m)．这时所围成的图形是正方形．14. 【答案与解析】设这个宽度为xcm，根据题意有：(80-2x)(60-2x)＝80×60÷2．解这个方程得x1＝10，x2＝60．因为截去的小长方形的宽60-2x必须大于0，即 60-2x＞0，亦即x＜30，所以x＝10．答：宽度为10cm时，截去的小长方形面积是原来铁片面积的一半．15.【答案与解析】解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得57.5（1+x）2=82.8解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）答：增长率为20%；（2）由题意，得82.8（1+0.2）=99.36万元答：2015年该镇绿地面积不能达到100公顷．。
人教版 九年级 上册 21..1一元二次方程 巩固练习(带答案)
一元二次方程巩固练习一、选择题1.x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解，则2a+4b的值等于()A. −2B. −3C. −1D. −62.下列方程：①5x2=2y；②2x(x+3)=x2−5；③√2x2+x+3=0；④−x2++3=0；⑥mx2+nx=0.其中是一元二次方程的有() 5x=0；⑤3x2+1xA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.若方程(m−1)x m2+1−(m+1)x−2=0是关于x的一元二次方程，则m的值为()A. 0B. ±1C. 1D. −14.将一元二次方程(3x−2)(2x−3)=x2−5化为一般形式后，其一次项系数与常数项的和为()A. −8B. 16C. −2D. 245.一元二次方程4+2x2=5x的二次项系数、一次项系数及常数项分别是()A. 4，2，5B. 4，2，−5C. 2，−5，4D. 2，4，−56.下列方程是一元二次方程的是()−1=0 C. x2+y+1=0 D. x3−2x2=1A. x2=−1B. x2+1x7.对于方程2x2=3x，下列说法正确的是()A. 一次项系数为3B. 一次项系数为−3C. 常数项是3D. 方程的解为x=38.若方程(x−a)(x−b)=√2(a,b为常数，且a<b)的两个实数根分别是c、d(c<d)，则a、b、c、d的大小关系是()A. c<a<b<dB. a<b<c<dC. a<c<b<dD. c<d<a<b9.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，a，b，c满足a+b+c=0和a−b+c=0，则方程的根是()A. 1，0B. −1，0C. 1，−1D. 无法确定10.把方程x(x+2)=5x化成一般式，则a、b、c的值分别是()．A. 1，3，5B. 1，−3，0C. −1，0，5D. 1，3，011.关于x的方程(m+2)x|m|+mx−1=0是一元二次方程，则m=()A. 2或−2B. 2C. −2D. 012.关于x的方程x m2−7+x−3=0是一元二次方程，则()A. m=−3B. m=2C. m=3D. m=±3二、填空题13.已知x=−1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2−2mn+n2的值为______．14.将一元二次方程(2+x)(3x−4)=5化为一般形式为，它的二次项是，一次项是，常数项是．15.已知x=1是关于x的一元二次方程x2+ax−2b=0的解，则代数式2a−4b的值为______．16.将方程3x(x−1)=5(x+2)化为一元二次方程的一般式______．三、计算题17.已知关于x的方程x2−(2m+1)x−(2m−1)=0的一个根为1，求m的值．18. 先化简再计算：x 2−1x 2+x ÷(x −2x−1x )，其中x 是一元二次方程x 2−2x −2=0的正数根．19. 已知关于一元二次方程(m −1)x 2+5x +m 2−3m +2=0有一个解为0，试求2m +6的值．20. 先化简，再求值(1+1x−1)÷xx 2−1，其中x 是方程x 2−3x −4=0的根．答案和解析1.A解：把x =1代入方程x 2+ax +2b =0得1+a +2b =0，所以a +2b =−1，所以2a +4b =2(a +2b)=2×(−1)=−2．2.C解：①5x 2=2y ，方程含有两个未知数，故错误；②2x(x +3)=x 2−5，符合一元二次方程的定义，正确；③√2x 2+x +3=0，符合一元二次方程的定义，正确；④−x 2+5x =0，符合一元二次方程的定义，正确；⑤3x 2+1x +3=0，不是整式方程，故错误；⑥mx 2+nx =0，方程二次项系数可能为0，故错误． 3.D解：由题意得：m2+1=2，m−1≠0，解得m=−1，4.C解：(3x−2)(2x−3)=x2−56x2−9x−4x+6=x2−55x2−13x+11=0则一次项系数与常数项的和为：−13+11=−2．5.C解：将原方程整理，得2x2−5x+4=0，所以该方程的二次项系数为2，一次项系数为−5，常数项为4．6.A解：A项，符合一元二次方程的概念;B项，1不是整式，不符合一元二次方程的概念;xC项，含有两个未知数，不符合一元二次方程的概念;D项，未知数的最高次数是3，不符合一元二次方程的概念．7.B解：2x2=3x，2x2−3x=0，A、一次项系数为−3，故原题说法错误；B、一次项系数为−3，故原题说法正确；C、常数项是0，故原题说法错误；D、方程的解为x1=0，x2=3，故原题说法错误；28.A解：依题意，画出函数y=(x−a)(x−b)的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b(a<b)．方程(x−a)(x−b)=√2方程的两根是抛物线y=(x−a)(x−b)与直线y=√2的两个交点．由m<n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有c<a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b<d．综上所述，可知c<a<b<d．9.C解：把x=1代入原方程，得a+b+c=0．把x=−1代入原方程，得a−b+c=0．所以方程的根是1，−1．10.B解：∵x(x+2)=5x，∴x2+2x−5x=0，∴x2−3x=0，∴a=1，b=−3，c=0．11.B解：由题意可知：|m|=2，且m+2≠0即m≠−2，所以m=2．12.D解：∵关于x的方程x m2−7−7+x−3=0是一元二次方程，∴m2−7=2，解得m=±3，13.1解：∵x=−1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，∴1−m+n=0，∴m−n=1，∴m2−2mn+n2=(m−n)2=12=1．14.3x2+2x−13=0；3x2；2x；−13解：(2+x)(3x−4)=56x−8+3x2−4x=53x2+2x−13=0则它的二次项为3x 2，一次项为2x ，常数项为−13． 15.−2解：将x =1代入原方程可得：1+a −2b =0， ∴a −2b =−1，∴原式=2(a −2b)=−2，16.3x 2−8x −10=0解：3x(x −1)=5(x +2)，3x 2−3x =5x +10，3x 2−8x −10=0，17.解：把x =1代入x 2−(2m +1)x −(2m −1)=0得1−2m −1−2m +1=0， 解得m =14． 18.【解答】解：原式． 解方程得： ，， 所以原式=1+3−1=√33. 19.解：∵(m −1)x 2+5x +m 2−3m +2=0是一元二次方程， ∴m −1≠0，即m ≠1．把x =0代入(m −1)x 2+5x +m 2−3m +2=0，得 m 2−3m +2=0，(m −2)(m −1)=0，解得m 1=2，m 2=1(舍去)，∴2m +6=2×2+6=10．20.解：(1+1x−1)÷xx 2−1=xx−1×(x+1)(x−1)x=x+1，∵x是方程x2−3x−4=0的根．∴x=4或−1(舍弃)，∴x=4，∴原式=x+1=5。
北师大版数学-九年级上册-第二章-一元二次方程-巩固练习(含答案)
北师大版数学-九年级上册-第二章-一元二次方程-巩固练习一、单选题1.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A. （3+x）（4﹣0.5x）=15B. （x+3）（4+0.5x）=15C. （x+4）（3﹣0.5x）=15D. （x+1）（4﹣0.5x）=152.下列一元二次方程是一般形式的是（）A. （x﹣1）2=0B. ax2+bx+c=0C. （x﹣1）（x+2）=1D. 3x2﹣2x﹣5=03.下列方程一定是一元二次方程的是（）A. 3x2+﹣1=0B. 5x2﹣6y﹣3=0C. ax2﹣x+2=0D. 3x2﹣2x﹣1=04.用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（）A. （x+3）2=﹣4B. （x﹣3）2=4C. （x+3）2=5D. （x+3）2=±5.某商品计划以每件600元的均价对外销售，后来为加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每件486元的均价销售．则平均每次下调的百分率是（）A. 30%B. 20%C. 15%D. 10%6.一元二次方程x2-5x-6=0的根是（）A. 1，-6B. 2，-3C. -1，6D. -2，37.某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，求每个支干长出多少个小分支？解：设主干长出x个支干，每个支干有x个小分支，由题意，所列方程正确的是（）A.B.C.D.8.下列数是方程x2-x-6=0的根是（）A. -4B. -3C. 3D. 2二、填空题9.若关于x的方程x2+mx-3=0有一根是1，则它的另一根为________。
10.请写一个两根分别是﹣3和2的一元二次方程________．11.若正数a是一个一元二次方程x2-5x+m=0的一个根，-a是一元二次方程x2+5x-m=0的一个根，则a的值是________.12.已知m、n是方程x2+bx+c＝0的两根，m+n＝4，m⋅n＝﹣3，原方程可写为________.13.方程x2-1=0的解为________．14.若方程x2﹣5x﹣1=0 的两根为x1，x2，则x1·x2﹣x1﹣x2=________．15.阅读材料：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝－，x1·x2＝.根据该材料填空：已知x1、x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，则的值为________．三、解答题16.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？17.如图，在一次高尔夫球比赛中，小明从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度10m时，球移动的水平距离为8m．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，OC=12m．（1）求点A的坐标；（2）求球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．四、综合题18.（1）用配方法解方程：；（2）用公式法解方程：.19.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？答案一、单选题1.【答案】A【解析】【解答】解：设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4﹣0.5x）=15，故选：A．【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）=15即可．2.【答案】D【解析】【解答】解：一元二次方程是一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），只有D符合．故选：D．【分析】根据一元二次方程是一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）可直接得到答案．3.【答案】D【解析】【解答】解：A、是分式方程，故A错误；B、是二元二次方程，故B错误；C、a=0时，是一元一次方程，故C错误；D、是一元二次方程，故D正确；故选：D．【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．4.【答案】C【解析】【解答】解：∵x2+6x+4=0，∴x2+6x=﹣4，∴x2+6x+9=5，即（x+3）2=5．故选：C．【分析】把常数项4移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数6的一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案．5.【答案】D【解析】【解答】解：设平均每次下调的百分率为x．600×（1﹣x）2=486，（1﹣x）2=0.81，∵1﹣x＞0，∴1﹣x=0.9，∴x=10%．故选：D．【分析】关系式为：原价×（1﹣下调的百分比）2=实际的价格，把相关数值代入求得合适的解即可．6.【答案】C【解析】【分析】把方程左边进行因式分解即可求出方程的解。