结构动力计算
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第10章 结构动力计算基础
m
1
k
k
k
根据功的互等定理，有：
11 k
1 k
二、自由振动微分方程的解
2 y 单自由度体系自由振动微分方程写为： y 0
（10－2）
二阶齐次线性常微分方程 式中： 其通解为： 当初始条件
2
k 1 m m
y(t ) C1 sin t C 2 cost
t 简谐荷载（按正余弦规律变化） 一般周期荷载
t
（2）非周期荷载 冲击荷载：在很短时间内，荷载值急剧增大或减小，如各种爆炸荷载、 打桩机的锤头对桩柱的冲击等。
突加荷载：突然施加在结构上并保持不变的荷载，如施工中吊起重物的 卷扬机突然开动时施加于钢丝绳上的荷载。
P(t) P
P(t)
P(t)
P tr t
四、自由振动和强迫振动
自由振动：结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的 振动。研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、 振型和阻尼参数。 强迫振动：结构在动荷载作用下产生的振动。研究结构的强迫振 动，可得到结构的动力反应。
五、动力计算中体系的自由度
1.动力自由度的定义 动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗伯原理，惯性力 与质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位移，所以， 动力学一般将质量位移作为基本未知量。 确定体系运动过程中任一时刻全部质量位臵所需的独立几何参数 数目，称为体系的动力自由度。
§10.1 动力计算的特点和动力自由度
一、动力荷载的概念及分类 1.动力荷载与静力荷载 是指大小、方向和作用位臵不随时间变化或变化 很小的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力较小 因而可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都 是确定的。
结构力学-第十四章 结构动力学1
动的合成，为了便于研究合成运动,
令 (e)式改写成
y Asin,
v Acos
y(t) Asin( t )......... .......... ...( f )
它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定
振幅
A
y2
v
2
.............................(g
由初始条件确定C1和C2；
设
y(0)
y(0)
y v
得 C1 y
C2
v
y r
y(t)
e t
( y
cos r t
v
r
y
sin rt)
21
y(t)
e t
(
y
cos r t
v
r
y
sin
rt
)
y(t) et Asin( rt )
2
其中
A
y2
v
y r
tg1 r y
v y
y
讨论（：a）衰减周期运动
m获得初位移y
m获得初速度 y
研究单自由度体系的自由振动重要性在于： 1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。 2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。 自由振动反映了体系的固有动力特性。
要解决的问题包括：
建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼………. 9
一、运动微分方程的建立
（1）低阻尼情形 ( <1 )
1,2 i 1 2 , 令 r 1 2
y(t)
B e( ir )t 1
B e( ir )t 2
eix cos x i sin x
et (B1eirt B2eirt ) eix cos x i sin x
结构力学专题七(单自由度体系的动力计算)
设： 2
k11 m
1
m11
运动方程： y(t) 2 y(t) 0
1、运动方程的解
y(t) c1sin t c2 cos t
(a)
或 y(t) csin( t )(ຫໍສະໝຸດ )当 y0、y0 为已知时
y(t)
y 0
sin
t
y
0
cos
t
(c)
方程（a）、（b）、（c）称为位移方程。
2、位移方程的几何意义
A1 5cm2
W 0.1kN
3m
（1）求竖向振动时的频率和周期，
(2)设： y0 10cm(向下），y0 0;
求： t
4
90
时质体的绝对位移。
A2 10cm2
4m
补2（选作）：求图示体系的自振频率：
m
EI
m
k
l
l
l EI
FP (t)
EI
l/2 l/2
三、举例与讨论
例1： 建立图示体系运动微分方程 FP (t)
m EI
l/2 l/2
方程：
L3 48EI
(my(t)
cy(t))
y(t)
L3 48EI
FP (t)
my(t) cy(t)
48EI L3
y(t)
FP (t)
例2： 建立图示体系运动微分方程
FP (t)
EI0
m
h EI
EI
方程：
my(t) cy(t)
m
EI FP (t)
l/2 l/2
例3： 求图示体系的自振频率。
FP (t)
EI0
m
h EI
EI
结构力学——结构的动力计算
11
11[ P(t ) m(t )] y
P (t )
y(t ) 11[ P(t ) m(t )] y
l
l3 柔度系数 m(t ) 11 y 3EI 3EI (t ) 3 y (t ) P(t ) my l
二、刚度法
P (t )
l
EI
m m(t ) y y (t )
简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载
§1.2
结构动力学的研究内容和任务
结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。 一.结构动力学的研究内容 当前结构动力学的研究内容为: 第一类问题：结构动力荷载的确定
结构力学
傅向荣
第十章 结构的动力 计算
§1. 绪论
§1.1 动荷载及其分类
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力 与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作 静荷载。 静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
二.动荷载的分类
P (t )
EI
m
EI1
EI
l
1
24 EI k 3 l
11
1
k
EI1
1 11 k
12 EI / l 3 12 EI / l 3
l l
EI EI
k2
EI1
EI EI
k1 ?
k1
k2 ?
24 EI k1 k 2 3 l
层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度. l l
结构力学专题十三(多自由度体系的动力计算)
FP1
m1
l
EI
l
FP 2
m2
l
二、任意荷载作用*
运动方程： M y(t) Ky(t) FP (t) (a)
1、主振型矩阵
1 2 n
2、广义质量、广义刚度
} M * T M 对角阵
K* T K
3、正则坐标
y(t) (t)
(b)
M y(t) Ky(t) FP(t) (a)
４、振型迭加法分析强迫振动
例1：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
k1 k，k2 2k，
m1
m1 m，m2 2m；
P0 sin t
EI1
k1 m2
h
已知：
2
k m
EI1
k2
h
A
P0 k
1 0
1
1
I
F
0P0
P0
P0
P0 k
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例2：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
已知：
i
(t
)
i
(0)
cos
it
i (0) i
sin
it
(i 1, 2)
l
0E.I041
P0 L3 EI
sinP0 stin
m
t
EI
从以上例题的计算中可看出，一般情况下 １l 〉２ 〉l〉ｎ
故在振型迭加法中,一般是前几阶振型起主要作用。
思考：用振型叠加法求例1所示结构的位移幅值。
2
k m
2
1 3
k m
2 5 k 3m
2
k m
P0 sin t
P0 sin t
结构力学第章-结构的动力计算
m
M= ml
l
分布质量，有无限自由度
对梁和刚架 （1）略去轴向变形 （2）略去惯性力矩
∴ 只有一个自由度
（4）并非一个质量集中点一个自由度（分析下例）。
2个自由度
2个自由度
4个自由度
（5）结构的自由度与是否超静定无关。
静定结构
6次超静定结构
3次超静定结构
（6）可用加链杆的方法确定自由度。
体系振动的衰减现象，阻尼力 1、自由振动的衰减：结构在自由振动时的 振幅随
2.53103 m
自振频率:
g st
9.81 2.53103
62.3s1
干扰力的频率: 动力系数:
2 n 23.14500 52.3s1
60
60
1
1
2 2
1 1 (52.3)2 62.3
3.4
梁中点的最大弯矩:
M max
MG
M
F st
35 4 3.410 4
4
4
69kN
m
梁中点的最大挠度:
/ =1时，共振: 0，；≠0， 有限。
设计时应避免共振。由于阻尼，振幅 不会无限大。
③/ >>1时, 0，与阻尼无关，
荷载变化很快，结构来不及反应, 不动或只做微小颤动。
受迫振动实验演示 共振视频：塔科玛大桥的震荡和坍塌
P89例14-2 重量G=35kN的发电机置于简支梁的中点上，
并知梁的惯性矩 I 8.8105 m4 ，E=210GPa，发电机转动时其
P(t)
P(t)=psint
o
t
2、冲击荷载：荷载在短时间内急剧增加或减少（锻 锤对基础的冲击、爆炸等）。
P(t)
结构动力计算课后习题答案
结构动力计算课后习题答案结构动力计算是土木工程和机械工程领域中的一个重要分支，它涉及到结构在动力作用下的响应分析。
这门课程的课后习题通常要求学生运用所学的理论，解决实际工程问题。
以下是一些可能的习题答案示例，请注意，这些答案是基于假设的习题内容，实际的习题答案应根据具体的题目来确定。
习题1：单自由度系统的动力响应假设有一个单自由度系统，其质量为m，阻尼系数为c，刚度系数为k。
系统受到一个简谐激励F(t) = F0 * sin(ωt)，其中F0是激励力的幅值，ω是激励频率。
求系统的稳态响应。
答案：对于单自由度系统，其运动方程可以表示为：\[ m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = F_0 \sin(\omega t) \]稳态响应可以通过求解上述方程的特解来获得。
特解的形式为：\[ x(t) = X \sin(\omega t + \phi) \]其中，振幅X和相位角φ可以通过以下公式计算：\[ X = \frac{F_0}{\sqrt{(\omega^2 m - \omega^2)^2 +(c\omega)^2}} \]\[ \phi = \arctan\left(\frac{c\omega}{\omega^2 m -\omega^2}\right) \]习题2：多自由度系统的模态分析考虑一个两自由度系统，其质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵分别为：\[ M = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix},\quad K = \begin{bmatrix} k_1 & k_c \\ k_c & k_2\end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} c_1 & 0 \\ 0 & c_2\end{bmatrix} \]求系统的自然频率和模态形状。
结构动力计算的特点静力荷载和动力...
教法提示
图乘法
解： st1
m gl3 48EI
， st 2
7m gl3 768EI
， st 3
m gl3 192EI
超静定 需先 求出未知 力，画 弯矩 图，然 后图 乘求位移
g st
2 16 1.51:1， 3 192 2 :1
1
7
1
48
则 1 :2 :3 1:1.51: 2
例 7：试确定图示梁的自由振动时的运动方程和自振频率，k 为 支座弹簧刚度。
结构动力学教案
刘林超 信阳师范学院土木工程学院
1
信阳师范学院教案用纸
第一章 结 构 的 动 力 计 算 动力计算概述 单自由度体系的自由振动
教学要求：掌握动力计算的特点，掌握单自由度体系自由振动的计算
重点难点：固有周期与频率，微分方程求解，阻尼的影响
教学方法：重点将结果的应用，结合工程
§1-1 动力计算概述
T 2 r
12
信阳师范学院教案用纸
教法提示
3）阻尼对振幅的影响
振幅为 ae t ，振幅随时间按对数规律衰减。
经过一个周期后，相邻两个振幅之比为
yk 1
ae (tk T )
e T
yk
ae tk
ξ值越大，振幅衰减越快。
4）阻尼比的确定
ln yk T 2
y k 1
r
2 T
r
当ξ＜0.2 时, 1，有 ln yk 2 ，称为振幅的对数衰减率。
式中
2 k ， k
m
m
则通解为
y(t) C1 sin t C2 cos t
由初始条件 y(0) y0 ， y(0) v0 （可以其中一个为零）
结构力学第10章-结构动力计算基础
1）运动微分方程的建立
利用动静法建立运动微分方程有两种方法：刚度法和柔度法。
(a) EI y(t)
l
(b)
(c)
EI FI
FS
FI
l
(a) 简支梁振动 (b) 力系平衡条件 (c) 变形协调条件
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
⑴刚度法：
设质点m在振动中任一时刻的位移为y(t)。取质点m为隔离体(图b)， 其受力情况为：弹性恢复力 Fs k11y(t)，其中k11为结构刚度系数，FS与 质点位移y(t)的方向相反；惯性力FI =-m& y&t，它与质点加速度 &y&(t )的方 向相反。若将质点位移的计算始点取在质点静力平衡位置上，则质点 重量的影响不必考虑。
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
2）简谐荷载
第三项是纯受迫振动的质点位移，其最大动位移(即振幅)为
F
1F
A
m(22) 1 22 m2
由于 11
1 m 2
，代入上式，有
1 A
122
F11
1
122
ysFt
式中 ysFt F11 ，表示将动荷载的幅值F作为静荷载作用于结构时所引起
的位移。令
1位移成正比，因此动内力和动
位移有相同的动力系数，最大动内力按与最大动位移相同方法进行
计算。例如，结构的最大动弯矩
Md MsFt
其中，M
F st
为荷载幅值作为静荷载时所产生的弯矩。
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
2）简谐荷载
动力系数的变化规律，令 ，β称为频率比，则
整理得
F (t) FS (t) FI (t) 0
结构的动力计算
实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难， 常作简化如下：
简化方法：集中质量法
具体做法：把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成 有限自由度问题。
m>>m梁
y(t) m 1个质点1个自由度
EI
EI
厂房排架水平振动时
的计算简图
y(t) m
2EI
1个质点1个自由度
地震荷载、风荷载）
t
3.动力计算的自由度
（1）概念
静力计算自由度（回顾）：体系运动时确定体系在平面内的位置所需的独立坐标 （参数）的数目。（体系中的杆件均看作刚片）
动力计算自由度：体系运动时，确定其上全部质量的位置所需独立参数的个数称为 体系的振动自由度。（体系中的杆件均看作弹性体）
（2）动力计算的自由度的确定
(2)静力计算与动力计算的区别
静力计算
静力平衡方程
动力计算
动力平衡方程
引进惯性力（达朗伯原理）
荷载、约束力、内 力、位移是不随时
间变化的常量
荷载、约束力、内力、 位移是随时间变化的
函数
瞬时的静力平衡问题
(3)动力计算的特点 1) 动力反应与时间有关（即荷载、位移、内力等随时间急剧变化）； 2) 建立平衡方程时要引进质量引起的惯性力。 2.动力荷载的分类（根据荷载变化规律及其作用特点）
自由振动：体系在振动过程中没有
动荷载的作用。
自由振动产生原因：体系在初始时 刻（t=0）受到外界的干扰。
h
1.单自由度体系自由振动微分方程的建立
（1）刚度法（以质点为研究对象）
(a)
y(t)
(b)
m
y(t) m
第十五章-结构动力计算
频率相同，相位角相同。三者同时达到幅值。由于结构的弹性内力 与位移成正比，所以位移达到幅值时，内力也达到幅值。于是得到 简谐荷载作用下动力反应的一般计算方法：将荷载幅值和惯性力幅 值加在结构上，按一般静力学方法求解，即得到体系的最大动内力 和最大动位移。
②比例算法： 单自由度体系荷载作用在振动质点上，并且其作用线与质点运动方 向重合时，荷载和惯性力共线，两者可以合成一个力为：
都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方
便。
两端刚结的杆的侧移刚度为：
12EI l3
3EI
一端铰结的杆的侧移刚度为： l 3
§13.3 单自由度强迫振动
⑴简谐荷载
强迫振动（受迫振动）：结构在荷载作用下的振动。
弹性力－ky、惯性力 my..
y(t)
和荷载P(t)之间的平衡方程为:
复杂体系可通过加支 杆限制质量运动的办 法确定体系的自由度
⑷ 动力计算的原理和方法
结构动力计算中常用的基本原理为达朗伯原理： 在质点运动的每一瞬时，作用在质点上的所有外力（荷载与约束力） 与假想地加在质点上的惯性力互相平衡，可利用静力学的处理方法 建立结构的运动方程。在建立运动方程时，取静力平衡位置作为位 移y的坐标原点，位移y、速度 、加速度 的正方向取为一致。
学习目的和要求
工程结构除受静荷载作用外，有时还会受到随时间迅速变化的动 荷载作用，如地震荷载等。在动荷载作用下，结构发生振动，结构 的内力、位移等将随时间变化。确定它们的变化规律，从而得到这
些量的最大值，以便做出合理的动力设计是本章的学习目的。
本章基本要求：
掌握动力自由度的判别方法。 掌握单自由度、有限自由度体系运动方程的建立方法。 熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系动力特性的计算。 熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系在简谐荷载作用下动内
②比例算法： 单自由度体系荷载作用在振动质点上，并且其作用线与质点运动方 向重合时，荷载和惯性力共线，两者可以合成一个力为：
都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方
便。
两端刚结的杆的侧移刚度为：
12EI l3
3EI
一端铰结的杆的侧移刚度为： l 3
§13.3 单自由度强迫振动
⑴简谐荷载
强迫振动（受迫振动）：结构在荷载作用下的振动。
弹性力－ky、惯性力 my..
y(t)
和荷载P(t)之间的平衡方程为:
复杂体系可通过加支 杆限制质量运动的办 法确定体系的自由度
⑷ 动力计算的原理和方法
结构动力计算中常用的基本原理为达朗伯原理： 在质点运动的每一瞬时，作用在质点上的所有外力（荷载与约束力） 与假想地加在质点上的惯性力互相平衡，可利用静力学的处理方法 建立结构的运动方程。在建立运动方程时，取静力平衡位置作为位 移y的坐标原点，位移y、速度 、加速度 的正方向取为一致。
学习目的和要求
工程结构除受静荷载作用外，有时还会受到随时间迅速变化的动 荷载作用，如地震荷载等。在动荷载作用下，结构发生振动，结构 的内力、位移等将随时间变化。确定它们的变化规律，从而得到这
些量的最大值，以便做出合理的动力设计是本章的学习目的。
本章基本要求：
掌握动力自由度的判别方法。 掌握单自由度、有限自由度体系运动方程的建立方法。 熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系动力特性的计算。 熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系在简谐荷载作用下动内
结构力学
令
作 图（图c），求得
(c)
(d)
考虑动荷载 F(t)和惯性力
作 MP 图，求得
所以，运动方程为：
（2）柔度法
设横梁在任一时刻 的位移 是由
动荷载 和惯性力
共同作用产
生的（图e），因此，横梁的位移为：
作 图（图f）
(e)
(f)
求得方法求解后运动方程相同。
5
例2．试建立图（a）所示刚架的运动方程 （不计轴向变形）。
—荷载的圆频率
二阶线性非齐次常微分方程 通解： 齐次解： 设特解：
9
代入方程，求得 特解为
运动方程的通解为：
由初始条件确定
后，运动方程的解
（13－7）
式（13-7）中前两项为初始条件引起的 自由振动;第三项为荷载（干扰力）引 起的自由振动，称为伴生自由振动。 实际上，由于阻尼的存在，自由振动 部分都很快衰减掉。自由振动消失前 的振动阶段称为过渡阶段。第四项为 按荷载频率 进行的振动，此阶段为
二．结构动力计算的内容和特点
1. 动力计算的主要内容 第一类问题：反应问题
输入 （动荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或系统）的识别
输入 （动荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第三类问题：荷载识别
输入 （动荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
1
第四类问题：控制问题
输入 （动荷载）
4
柔度法步骤：
（1）在质量上沿位移正方向加惯性力； （2）求动荷载和惯性力引起的位移； （3）令该位移与质量 m 的位移相等， 即得到体系的位移方程（运动方程）。
三.建立运动方程例题
结构力学动力计算
浙大宁波理工学院土建学院
确定单自由度体系的自振方程的四个基本物理量
刚度或柔度: k或
初始位移：y0
质量: m
初始速度：v0
与内在因素有关的物理量 自振圆频率: （自振频率）
k 1 m m
(2个单位时间内的振动次 数，或每秒振动次数*2)
m 自振周期: T 2 2 m k
1
y0 v0
y(t ) A sin cos t A cos sin t A sin(t )
单自由度体系的无阻尼自由振动是由初位移和初速度 引起的简谐振动。
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
简谐自由振动的特性
如果一个质点在某方向的位移与所受弹性力成正比， 则质点在该方向上可发生简谐自由振动
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
计算方法的简化
常用的三种简化方法 1.集中质量法: 将连续分布的质量集中为质点，以质点位移（线位移） 为基本未知量。（本章主要讨论集中质量法）
2.广义坐标法： 用级数表示度曲线方程，以广义坐标（级数的项系数） 为基本未知量。 3.有限单元法： 将结构分割为若干个单元，用结点位移（线位移与角 位移）表示各单元挠曲线方程。将无限自由度问题化为有 限自由度问题。
(某一时刻的位移等于隔一段时间T之后的位移，T为自振周期)
2
频率
1 f (每秒振动次数，周期的倒数) T
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
确定单自由度体系的自振方程的四个基本物理量 内因素 外因素
刚度或柔度: k或
初始位移：y0
质量: m
初始速度：v0
与外因素有关的物理量 自振方程 y(t ) A sin(t ) 代入初始条件得
结构力学应用-结构动力学
（小阻尼） 令
有阻尼的自振频率
1
2
y(t ) e
t
y0 y0 ( y0 cos t sin t )
*写成
y(t ) b e
2 0
t
sin(t )
(14-12)
y0 y0 2 其中 b y ( )
柔度法（力法）
MY KY 0 MY Y 0
10、按柔度法求解
振型方程： ([ ][ 2 [ 1 M ]){Y } 00} ([ I ] M ] ][ [ I ]){Y } { 2 频率（特征）方程
D [ ][ M ] [ I ] 0
y0 tg y0 y0
位移－时间曲线如图示：
阻尼比——阻尼的基本参数： a.阻尼对频率（周期）的影响
k
2m
1 2
T T 1 2 T
0.2
T T
b、阻尼对振幅的影响
be
t
——振幅随时间逐渐衰减
11m1
1
12 m2
(k )
0 0
(14 63)
{Y }
(k )
Y1 Y2
(k )
11m1 k 12 m2
12 m2
k2
（k=1、2）
结构的刚度和质量分布 ——对称 其主振型 ——对称、反对称 计算自振频率： ——分别就正、反对称情况 ——取半跨结构计算 ——两个单自由度问题计算 显然，振型分别为： [1 1]T、[1 -1]T
1
0.2,
yn ln 2 j yn j 相隔j个周期： 1
结构动力学计算
变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值；
➢ 由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，于是可在幅值
处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，把微分方程转化为
代数方程，使计算得以简化。
例7. 求图示体系的自振频率
m1 m
B
EI C
m2
1 3
m
m l22kl2
A
0 .5 l
l
kD 0 .5 l
在质量上沿位移方向施加惯性力； 求外力（包括惯性力）引起的质量的位移； 令该位移等于体系的位移；
例2. 用柔度法建立体系的运动方程
m
l EI EI
l
O
y
my y
ym y
my 1 y 0
2l 3
11 3EI
my(t)32E l3Iy(t)0
P=1
图乘法
?
l
例3：用柔度法列运动方程
m y(t)
12 EI h3
6 EI h2
1
6 EI
k
h2
12 EI
h3
6 EI h2
k m
24EI mh3
T 2
练习3：计算图示结构水平振动和竖直振动时 的自振 频率，自重忽略不计。
m
EI常 数
l
l
l
Horizontal Vibration： -----Flexibility Method
Anti-symmetrical Load +symmetrical Structure
✓ 自振频率计算公式
k m
1
m
tan1
y
0 0
v
0
✓ 计算k或δ：静力学知识 l 3 1 8EI
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i
i
第6节 多自由度体系的主振型矩阵（续）
2、主振型矩阵：n自由度体系中，n个彼此正交的主振型向量组成的方阵
Y [Y Y Y
(1) ( 2) (n)
Y M Y M
T
0 M2 0
2
广义质量，Y K Y K
T
Y11 Y ] 21 Yn1
(i ) T ( j) (i ) T
T
Y M Y 0 振型关于质量正交 Y K Y 0 振型也关于刚度正交 Y M Y M 广义质量 K Y K Y K 广义刚度 M
( j)
(i ) T
(i )
i
(i ) T
i
(i )
i
(i ) 2 j ( j)
T
Y
K Y Y M Y
( j) T (i ) 2
i
( j) T
(i )
K M Y {0} Y K Y Y M Y
(i ) T ( j) 2
j
(i ) T
( j)
又已知：M M ， K K
讨论：当 1 或 2时， D0 0 出现共振！
第8节 振型分解法
P2 (t )
y2
强迫振动微分方程：
令
K y P(t ) M y
( n) n (i ) n i 1 i
m2 m1
y1
P 1 (t )
Y Y Y Y {} y称为几何坐标， 称为正则坐标 K Y M Y P(t ) T Y T K Y Y M Y Y T P(t ) K M P(t ) ， P(t ) 广义荷载列阵
(1) ( 2) 2
y 1Y
i Ki P M i i 1,2,, n i (t ) 1 i i i Pi (t ) i 1,2,, n Mi
已知： i
Y M y (0) 可得初始条件 (0)和
(i ) T
k2
k1
1 (k1 k2 ) y1 k2 y2 0 m1 y 2 k2 y1 k2 y2 0 m2 y
频率方程： (k1 k2 2 m1 )(k2 2 m2 ) k2 0
2
讨论当： m 1 m 2 m , k 1 k 2 k 时
第5节 多自由度结构的自由振动1
位移法——附加约束法列自由振动微分方程：
y2 y2
m2
y1
2 m y m2 1 m y m1
R2
R1 R11 R12 R1P 0 R2 R21 R22 R2 P 0
y1
m1
动力问题
R1
R11 k11 y1 R12 k12 y2 R1P m1 1 y R21 k21 y1 R22 k22 y2 R2 P m2 2 y
m2 m1 k2 k1
y2 y1
k k 1 0.61803 , 2 1.61803 m m
1 1 1 1 1 2 2n n 4n
Y11 1 Y12 1 ; Y21 1.618 Y22 0.618
讨论当： m 1 n m 2 , k 1 n k 2 时
频率方程：
k11 k21
2
m1
k12 k22
2
2
m2
0
( 2) 2 (
k11 k22 2 k11k22 k12 k21 ) 0 m1 m2 m1m2
两个根： 1
其中： 1称为第一频率或基频， 2第二频率
第5节 多自由度结构的自由振动2
由： y1 Y1 sin( t ), y Y 得：1 1 常数 y2 Y2
— —称为主振型分解法 或主振型叠加法
i i
y Y {} 学生看书例题 根据求出的正则坐标 {}即可得到几何坐标：
Mi
Y12 Y22 Yn 2
Y1n Y2 n Ynn
广义刚度矩阵
0 K2 0 0 0 Kn
M
令
M 1 0 0
(1)
0 0 M ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m2
y1
m1
P 1 sin t
y2 Y2 sin t
D1 D2 Y1 ， Y2 D0 D0
D0 (k11 2 m1 )(k22 2 m2 ) k12 k21 2 D1 (k22 m2 ) P 1 k12 P 2 2 D2 k21 P ( k m ) P 1 11 1 2
1 k11 y1 k12 y2 0 m1 y 2 k21 y1 k22 y2 0 m2 y 设： y1 Y1 sin( t ), y2 Y2 sin( t )
静力问题
2 ( k m1 )Y1 k12 Y2 0 11 幅值方程 k 21 Y1 (k 22 2 m2 ) Y2 0
P2 sin t
y2
强迫振动微分方程：
1 k11 y1 k12 y2 P m1 y 1 sin t 2 k21 y1 k22 y2 P2 sin t m2 y 平稳振动阶段设： y1 Y1 sin t,
(k11 2 m1 )Y1 k12 Y2 P1 2 k 21 Y1 (k 22 m2 ) Y2 P2
k2 1 1 1 , 1 2 2 m 2n n 4n 2 k2 m 2
设n 90有
Y21 10 Y11 1
Y21 1 1 Y 1 1 n ; 22 n Y11 2 4 Y12 2 4 Y22 9 结论：顶部质量很小会时产生鞭梢效应！ ; Y12 1
第5节 多自由度结构的自由振动3
N自由度结构的自由振动微分方程： yn
mn
Ri Ri1 Ri 2 RiP 0
i RiP mi y
Rij kij y j
i, j 1,2,, n
1 k11 y1 k12 y2 k1n yn 0 m1 y 2 k 21 y1 k 22 y2 k 2 n yn 0 m2 y n k n1 y1 k n 2 y2 k nn yn 0 mn y
n
K y {0} M y
最小值称基频
对应 i 的振型向量 Y (i ) {Y1i , Y2i , , Yni }T
第6节 多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵
1、主振型的正交性：
2
i
已知： K 2M Y {0}
K M Y {0}
m1
y1
M 、 K 为质量、刚度矩阵 y Y sin( t ) Y {Y1, Y2 ,, Yn }T 称为振型向量 设： K 2M Y {0} 频率方程为： K 2M 0
有n个根： 1 2
m1
第1振型
Y22
对于多自由度体系的结论：
1、主要问题：确定自振频率和相应振型； 2、自振频率和自由度个数相等，由特征方程求出； 3、每个频率都对应自己的主振型； 4、主振型是结构的固有性质。
m2
Y12
m1
第2振型
练习1：
层间侧移刚度分别为 k1、k2，计算自振频率和振型 m2 k11 k1 k2 , k12 k2 , k21 k2 , k22 k2 m1
将这种结构位移形状不变的振动形式称为振型或主振型
y2 Y2 sin( t )
Y21
m2
Y11
y Y Y k12 对应 1的：1 1 称为第一振型， 11 y2 Y2 Y21 k11 12 m1
Y k12 对应 2的为第二振型： 12 Y22 k11 2 2 m1
( 2) n
K
(n)
y 1Y
Y Y Y
n (i ) i 1 i
(i ) T
K 1 0 0
可以得到： i
Y M y Mi
K y 0 M y
第7节 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动