九年级上册数学二次根式考点及训练
九年级上册二次根式知识点
九年级上册二次根式知识点作为初中数学的重要部分，二次根式是需要我们掌握的一个重要概念。
在九年级上册，我们将学习并深入理解二次根式的性质、运算以及应用。
下面，我将为大家总结九年级上册二次根式的知识点。
一、二次根式的定义二次根式是指具有形如√a（其中a为一个非负实数）的数。
其中，√称为根号，a称为被开方数，√a称为二次根式。
二、二次根式的性质1. 非负性：二次根式的结果不小于0，即√a≥0。
2. 排除负号：我们规定根号不能取负值，即√a≠-√a。
3. 分解因数：对于任何正实数a，有√a = √(n² × m)，其中n²是a 的一个因数。
三、二次根式的化简当被开方数能够分解成两个因数的乘积时，我们可以通过分解因数的方法将二次根式化简。
例如√12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3。
四、二次根式的运算1. 加减运算：二次根式的加减运算需要满足根号下的数相等，才能进行运算。
例如√5 + √5 = 2√5，2√3 - √3 = √3。
2. 乘法运算：二次根式的乘法运算可以将根号下的数相乘，并将结果放在根号下。
例如√2 × √3 = √6。
3. 除法运算：除法运算需要使用有理化的方法，即通过将除数和被除数分别乘上其共轭式的形式来进行运算。
例如，（√5 + √3）/ (√5 - √3) = （√5 + √3）×（√5 + √3）/ [(√5 - √3) × （√5 + √3）] = 8 + 2√15。
五、二次根式的应用1. 几何应用：在几何学中，二次根式经常用于计算图形的边长、面积、体积等。
2. 物理应用：在物理学中，二次根式可以用于计算电流、电压、速度、力等相关问题。
3. 经济应用：在经济学中，二次根式可以用于计算平均收益、成本、利润率等。
六、二次根式的拓展1. 无理数的定义：二次根式属于无理数，即不能表示为两个整数之比的实数。
初三数学二次根式试题答案及解析
初三数学二次根式试题答案及解析1.计算：=．【答案】【解析】=2﹣=．【考点】二次根式的加减法．2.下列实数是无理数的是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项：A、是无理数，选项正确；B、C、D、都是整数，是有理数，选项错误. 故选A．【考点】无理数.3.若式子有意义，则实数x的取值范围是【答案】x≥1．【解析】根据二次根式的性质可以得到x-1是非负数，由此即可求解．试题解析：依题意得x-1≥0，∴x≥1．【考点】二次根式有意义的条件．4.方程的解为 .【答案】x=1【解析】方程两边平方，得：2-x=1，解得：x=1．经检验：x=1是方程的解．故答案是：x=1．【考点】无理方程．5.函数y中，自变量x的取值范围是【答案】x≥．【解析】根据二次根式的意义，2x﹣1≥0，解得x≥．故答案是x≥．【考点】函数自变量的取值范围．6.计算：-12003+()-2-|3-|+3tan60°。
【答案】6【解析】首先计算乘方，化简二次根式，去掉绝对值符号，然后进行乘法，加减即可．本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式的化简，正确记忆特殊角的三角函数值.解：原式=﹣1+4﹣3+3+3×，=﹣1+4+3，=6．7.计算：·－＝________．【答案】2【解析】原式＝－＝3－＝2.8.使二次根式有意义的x的取值范围是 .【答案】x≤2．【解析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即：2﹣x≥0,解得：x≤2．故答案是x≤2．【考点】二次根式的性质．9.与的大小关系是（）A．>B．<C．=D．不能比较【答案】A．【解析】∵,∴,∴.故选A．【考点】实数大小比较．10.计算：．【答案】．【解析】先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，特别的能利用公式的应用公式简化计算过程．试题解析：==．【考点】二次根式的化简．11.【答案】.【解析】根据分母有理化、二次根式、非零数的零次幂的意义进行计算即可得出答案.试题解析：考点: 实数的混合运算.12.计算： .【答案】.【解析】把括号展开即可求值.试题解析：故答案为：.考点: 二次根式的运算.13.下列计算中,正确的是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】A.已经是最简的,故本选项错误；B. ,故本选项错误；C. ,故本选项错误；D. ,故本选项正确.故选D．【考点】二次根式化简．14.实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x≥l C．x＜1D．x≤1【答案】B.【解析】根据根式有意义的条件，根号下面的数或者式子要大于等于0，即解得：x≥l.【考点】根式有意义的条件.15.计算：【答案】.【解析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可．试题解析：【考点】二次根式的混合运算．16.是整数，则正整数n的最小值是（）A．4B．5C．6D．7【答案】C.【解析】∵，∴当时，，∴原式=，∴n的最小值为6．故选C．考点: 二次根式的化简.17.实数4的平方根是．【答案】±2.【解析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根：∵（±2）2=4，∴16的平方根是±2.【考点】平方根.18.要使式子在实数范围内有意义，字母a的取值必须满足（）A．a≥2B．a≤2C．a≠2D．a≠0【答案】A【解析】使式子在实数范围内有意义,必须有a-2≥0,解得a≥2,故选A【考点】二次根式成立的条件.19.下列运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】A．和不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B．3和不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C．，此选项错误；D．，此选项正确．故选D．【考点】二次根式的混合运算．20.若，,求.的值【答案】4【解析】本题考查的是二次根式的混合运算，同时考查了因式分解，把a2b+ab2的因式分解为ab(a-b)，再代入计算即求解为4.试题解析：解：∵，∴∴【考点】1、二次根式的混合运算.2、因式分解.21.下列运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】二次根式的性质：当时，，当时，.A、，B、，C、，均错误；D、，本选项正确.【考点】二次根式的混合运算22.要使式子有意义，则x的取值范围是 .【答案】【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。
2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《第21章二次根式》知识点分类练习(附答案)
2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《第21章二次根式》知识点分类练习（附答案）一．二次根式的定义1．已知是整数，则正整数n的最小值为．二．二次根式有意义的条件2．若代数式有意义，则x的取值范围是．三．二次根式的性质与化简3．在实数范围内要使＝a﹣2成立，则a的取值范围是（）A．a＝2B．a＞2C．a≥2D．a≤24．下列实数中，有理数是（）A．B．C．D．5．下列运算中，正确的是（）A．＝﹣3B．﹣＝5C．＝a D．＝5 6．的化简结果为（）A．3B．﹣3C．±3D．97．计算（﹣）2＝；＝；＝．8．计算：（﹣）2＝．9．化简＝．10．化简：＝．11．若＝3﹣a，则a与3的大小关系．12．＝|a|是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题：（1）化简：＝，＝；（2）若＝﹣1﹣x，则x的取值范围为；（3）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+．13．已知a＝5，b＝5，求a2b﹣ab2的值．14．先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：＝＝＝＝|1+ |＝1+．解决问题：化简下列各式：（1）；（2）．15．先阅读，后解答：（1）由根式的性质计算下列式子得：①＝3，②＝，③＝，④＝5，⑤＝0．由上述计算，请写出的结果（a为任意实数）．（2）利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果：①＝；②化简：（x＜2）＝．（3）应用：若+＝3，则x的取值范围是．四．最简二次根式16．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．17．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．18．下列为最简二次根式的是（）A．B．C．D．19．下列根式中是最简二次根式的是（）A．B．C．D．20．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．五．二次根式的乘除法21．已知长方形的面积为12，其中一边长为，则该长方形的另一边长为．22．（1）比较下列算式的结果的大小（填“＞”“＜”或“＝”）．4+5 28+25+5 2（2）通过观察归纳，用含字母a，b的式子表示（1）中的规律，并证明．六．化简分母中的二次根式23．若a＝，b＝，则a与b之间的关系是（）A．a+b＝0B．a﹣b＝0C．ab＝1D．ab＝﹣1七．可以合并的二次根式24．下列二次根式中，可以与合并的二次根式是（）A．B．C．D．25．与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．26．若最简二次根式和3是同类二次根式，那么a＝．八．二次根式的加减法27．下列计算正确的是（）A．＝±2B．3﹣＝3C．＝﹣5D．＝28．下列计算错误的是（）A．B．C．D．九．二次根式的混合运算29．下列计算正确的是（）A．B．3C．＝＝3﹣2＝1D．＝330．下列计算正确的是（）A．+＝B．3–＝3C．（﹣3）2＝18D．＝2 31．下列计算正确的是（）A．2+＝2B．﹣＝C．2×＝2D．÷＝3 32．下列运算正确的是（）A．B．C．D．33．计算：（1）2﹣6+3．（2）（+1）（﹣1）+6﹣（1+）2．34．计算：（1）﹣+；（2）×﹣÷．35．计算：（1）+（）；（2）（+3）（﹣5）．36．计算：（+）×﹣÷．37．计算：+（﹣）．38．化简（1））2﹣（2）（1+）（1﹣）﹣（2+）239．计算：（1）+2﹣；（2）（﹣）×．40．阅读材料，并回答问题：形如，的数可以化简，其化简的目的主要把原数分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，（+1）叫做（﹣1）的有理化因式．（1）问题：的有理化因式是，+2的有理化因式是．（2）应用：分母有理化．（3）拓展：比较大小与．41．计算：（1）×+3×2（2）2﹣6+3．42．计算：（1）3﹣+﹣（2）43．佳佳给出的解题过程：×2﹣÷的解题过程：×2﹣÷＝2﹣①＝2﹣②＝（2﹣1）③＝④（1）佳佳从步开始产生错误；（2）请你给出正确的解题过程．十．二次根式的化简求值44．已知x＝，y＝，则x2﹣y2＝．45．已知xy＝8，x+y＝﹣4，求+的值．46．已知a＝+1，b＝﹣1，求下列各式的值．（1）a2﹣b2；（2）a2﹣ab+b2．47．（1）已知1≤x≤3，化简：．（2）已知a＝3﹣，b＝3+，求a2﹣ab+b2的值．48．若a＝﹣，b＝+，求：（1）+；（2）a2+b2﹣5ab．49．黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：，．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．解决问题：（1）4+的有理化因式是；将分母有理化得；（2）已知：x＝的值．十一．二次根式的应用50．某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为+1米，宽为﹣1米．（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）51．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S＝．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8．（1）求△ABC的面积；（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．参考答案一．二次根式的定义1．解：∵是整数，则19﹣n一定是一个完全平方数，n可以是3、10、15、18，正整数n的最小值为3．故答案为：3．二．二次根式有意义的条件2．解：由题意可知：，解得：x≤1且x≠﹣1，故答案为：x≤1且x≠﹣1．三．二次根式的性质与化简3．解：原式＝|a﹣2|＝a﹣2，∴a﹣2≥0，解得：a≥2，故选：C．4．解：A.＝，不是有理数，不合题意；B.＝，不是有理数，不合题意；C.＝，是有理数，符合题意；D.＝，不是有理数，不合题意；故选：C．5．解：A、＝3，故此选项错误；B、﹣＝﹣5，故此选项错误；C、＝|a|，故此选项错误；D、＝5，正确．故选：D．6．解：原式＝|﹣3|＝3．故选：A．7．解：（﹣）2＝0.2；＝2；＝．故答案为：0.2；2；．8．解：（﹣）2＝2.5．故答案为：2.5．9．解：＝2．故答案为：2．10．解：原式＝＝×＝3．故答案为3．11．解：∵＝＝3﹣a，根据算术平方根的结果为非负数，可知3﹣a≥0，解得a≤3，∴a与3的大小关系a≤3．12．解：（1）＝|﹣2|＝2，＝|3﹣π|＝π﹣3．∴答案为：2，π﹣3．（2）∵＝|1+x|＝﹣1﹣x．∴1+x≤0，∴x≤﹣1．故答案为：x≤﹣1．（3）由数轴得：a＜b＜0＜c．∴c﹣a＞0，b﹣c＜0．∴原式＝|a|﹣（c﹣a）+|b﹣c|＝﹣a﹣c+a﹣b+c＝﹣b．13．解：∵a＝5，b＝5，∴a﹣b＝5﹣5＝6，ab＝（5）（5）＝（5）2﹣（3）2＝30．∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝30×6＝180．即a2b﹣ab2的值是180．14．解：（1）＝＝＝2+；（2）＝＝＝﹣2．15．解：（1）＝|a|＝；（2）①＝|3.14﹣π|＝π﹣3.14，②（x＜2），＝，＝|x﹣2|，∵x＜2，∴x﹣2＜0，∴＝2﹣x；故答案为：①π﹣3.14，②2﹣x；（3）∵+＝|x﹣5|+|x﹣8|，①当x＜5时，x﹣5＜0，x﹣8＜0，所以原式＝5﹣x+8﹣x＝13﹣2x．②当5≤x≤8时，x﹣5≥0，x﹣8≤0．所以原式＝x﹣5+8﹣x＝3，③当x＞8时，x﹣5＞0，x﹣8＞0，所以原式＝x﹣5+x﹣8＝2x﹣13．∵+＝3，所以x的取值范围是5≤x≤8，故答案为：5≤x≤8．四．最简二次根式16．解：A选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；B选项，原式＝＝，故该选项不符合题意；C选项，原式＝2，故该选项不符合题意；D选项，原式＝，故该选项不符合题意；故选：A．17．解：A、是最简二次根式，符合题意；B、＝2，不符合题意；C、＝，不符合题意；D、＝|a|，不符合题意．故选：A．18．解：A．是最简二次根式，故本选项符合题意；B．被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C．被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D．＝2，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：A．19．解：A、是最简二次根式，此选项符合题意；B、＝2，不符合题意；C、＝，不符合题意；D、＝＝，不符合题意；故选：A．20．解：因为：B、＝4；C、＝；D、＝2；所以这三项都不是最简二次根式．故选：A．五．二次根式的乘除法21．解：∵长方形的面积为12，其中一边长为，∴该长方形的另一边长为：12÷2＝3．故答案为：3．22．解：∵2＝2＝＝，而8＜＜9，∴8＜2＜9，∴4+5＞2；∵2＝2＝4，∴8+＞2；∵5＝5×5＝25，∴5+5＝25，∴5+5＝5；故答案为：＞，＞，＝．（2）规律：a+b≥2，证明如下：∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，即a+b≥2．六．分母有理化23．解：∵a＝，b＝，∴a+b＝++﹣＝2，故选项A错误；a﹣b＝+﹣+＝2，故选项B错误；ab＝（+）（﹣）＝1，故选项C正确；则由以上计算可得选项D错误．故选：C．七．同类二次根式24．解：A选项，原式＝2，故该选项符合题意；B选项，原式＝3，故该选项不符合题意；C选项，原式＝2，故该选项不符合题意；D选项，原式＝3，故该选项不符合题意；故选：A．25．解：A选项，＝2，故该选项不符合题意；B选项，是最简二次根式，被开方数不是2，故该选项不符合题意；C选项，＝2，故该选项不符合题意；D选项，＝，故该选项符合题意；故选：D．26．解：∵最简二次根式和3是同类二次根式，∴3a﹣10＝a﹣2，解得：a＝4．故答案为：4．八．二次根式的加减法27．解：A、原式＝2，∴不符合题意；B、原式＝2，∴不符合题意；C、原式＝5，∴不符合题意；D、原式＝，∴符合题意；故选：D．28．解：A、＝＝7，正确；B、＝＝2，正确；C、+＝3+5＝8，正确；D、，故错误．故选：D．九．二次根式的混合运算29．解：A.+无法合并，故此选项不合题意；B.3﹣＝2，故此选项不合题意；C.＝＝，故此选项不合题意；D.÷＝×＝3，故此选项符合题意．故选：D．30．解：A、+＝5，故A不符合题意；B、3﹣＝2，故B不符合题意；C、（﹣3）2＝18，故C符合题意；D、＝，故D不符合题意；故选：C．31．解：A．2与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；B．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；C．2×＝2，此选项计算正确；D．÷＝＝，此选项计算错误；故选：C．32．解：A．与不能合并，所以A选项不符合题意；B．原式＝2，所以B选项不符合题意；C．原式＝＝＝2，所以C选项不符合题意；D．原式＝＝，所以D选项符合题意；故选：D．33．解：（1）原式＝2×2﹣6×+3×4＝4﹣2+12＝14；（2）原式＝3﹣1+6×﹣（1+3+2）＝3﹣1+2﹣4﹣2＝﹣2．34．解：（1）﹣+＝＝2．（2）×﹣÷．＝6﹣2＝4．35．解：（1）+（）＝3+7﹣3＝10﹣3；（2）（+3）（﹣5）＝2﹣5+3﹣15＝﹣13﹣2．36．解：（+）×﹣÷＝（+）×2﹣4＝4+6﹣2＝10﹣2．37．解：+（﹣）＝﹣3+5﹣1＝1．38．解：（1）原式＝3+7﹣8＝2；（2）原式＝1﹣3﹣（4+4+3）＝﹣2﹣7﹣4＝﹣9﹣4．39．解：（1）原式＝+4﹣3＝（+4﹣3）＝；（2）原式＝2﹣＝12﹣＝11．40．解：（1）的有理化因式是，+2的有理化因式为﹣2；故答案为，﹣2；（2）＝＝；（3）∵＝＝+，＝＝2+，而2+＞+∴＜，∵﹣＞0，2﹣＞0，∴﹣＞2﹣．41．解：（1）原式＝7+30＝37（2）原式＝4﹣2+12＝1442．解：（1）原式＝3﹣2+﹣3＝﹣；（2）原式＝50﹣20+3﹣2+1＝34﹣2．43．解：（1）佳佳从③步开始产生错误；（2）正确的解题过程为：原式＝2﹣＝2﹣＝6﹣2＝4．故答案为③．十．二次根式的化简求值44．解：∵x＝，y＝，∴x+y＝+＝2，x﹣y＝﹣（）＝2，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2＝4，故答案为：4．45．解：∵xy＝8，x+y＝﹣4，∴x＜0，y＜0，+＝＝＝＝＝．46．解：（1）a2﹣b2＝（a+b）（a+b），∵a＝+1，b＝﹣1，∴原式＝（+1+﹣1）（+1﹣+1）＝2×2＝4；（2）当a＝+1，b＝﹣1时，a2﹣ab+b2＝（+1）2+（﹣1）2﹣（+1）（﹣1）＝3+2+3﹣2﹣1＝5．47．解：（1）∵1≤x≤3，∴1﹣x≤0，3﹣x≥0，∴＝|1﹣x|﹣|3﹣x|＝x﹣1﹣（3﹣x）＝x﹣1﹣3+x＝2x﹣4；（2）∵a＝3﹣，b＝3+，∴a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝（3﹣+3+）2﹣3×（3﹣）×（3+）＝62﹣3×（9﹣2）＝36﹣3×7＝36﹣21＝15．48．解：∵a＝﹣，b＝+，∴a+b＝2，ab＝1，（1）原式＝＝＝＝10；（2）原式＝（a+b）2﹣7ab＝12﹣7＝5．49．解：（1）由题意可得，4+的有理化因式是4﹣，＝＝＝，故答案为：4﹣，；（2）∵x＝，y＝，∴＝+＝（﹣）2+（+）2＝3﹣2+2+3+2+2＝10．十一．二次根式的应用50．解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（）＝2（8+7）＝16+14（米），答：长方形ABCD的周长是16+14（米），（2）通道的面积＝＝56﹣（13﹣1）＝56（平方米），购买地砖需要花费＝6×（56）＝336﹣72（元）．答：购买地砖需要花费336﹣72元；51．解：（1）根据题意知＝＝12，所以S＝＝＝12，∴△ABC的面积为12；（2）∵S＝ch1＝bh2＝12，∴×8h1＝×7h2＝12，∴h1＝3，h2＝，∴h1+h2＝．。
九年级上册数学21章22章知识点
九年级上册数学21章22章知识点一、二次根式（第 21 章）（一）二次根式的概念形如\（＼sqrt{a}（a\geq 0)＼）的式子叫做二次根式。
其中\（a\）叫做被开方数。
要理解二次根式，需要注意以下几点：1、二次根式必须含有二次根号“＼（＼sqrt{｝＼）”。
2、被开方数\（a\）必须是非负数，即\（a\geq 0\）。
例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{20}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（＼（x\）为任意实数）都是二次根式；而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数。
（二）二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
例如，＼（＼sqrt{4^2} ＝ 4\），＼（＼sqrt{（－3)＾2} ＝ 3\）。
2、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））times\sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）3、＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））例如，＼（＼dfrac{＼sqrt{18}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼sqrt{＼dfrac{18}｛2}｝＝＼sqrt{9} ＝ 3\）（三）二次根式的运算1、二次根式的加减法先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并。
例如，＼（＼sqrt{8} ＋＼sqrt{18} ＝ 2\sqrt{2} ＋ 3\sqrt{2} ＝5\sqrt{2}＼）2、二次根式的乘除法乘法：＼（＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b} ＝＼sqrt{ab}＼）（＼（a\geq0\），＼（b\geq 0\））除法：＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））（四）二次根式的化简化简二次根式就是把被开方数中的完全平方数因子开出来。
九年级数学上册第21章二次根式21.1二次根式ppt作业课件新版华东师大版
B．14
C．19
D．以上都不对
11．若 （a－2）2＋a－2＝0，则 a 的取值范围是____a_≤__2____．
12．若|a＋b＋1|与 a＋2b＋4互为相反数，则(a＋b)2018＝__1____．
13．若 x、y 是实数，且 y＝ x2－9＋x－93－x2＋7，则 5x＋6y＝_－___2_2___．
A. （－3）2＝－3 B．－ 32＝－3 C. （±3）2＝±3 D. 32＝±3
6. （2a－1）2＝1－2a，则(
7．当 m＜0 时，化简 mm2的结果是__－__1____．
8．化简： (1) （－412）2；
解：412
(2) （3.14－π）2.
解：π－3.14
9．(绍兴期中)若实数 x 满足|x－3|＋ x2＋8x＋16＝7，化简 2|x＋4|
－ （2x－6）2的结果是( A )
A．4x＋2
B．－4x－2
C．－2
D．2
10．已知实数 x，y 满足|x－3|＋x y－8＝0，则以 x，y 的值为两边长
的等腰三角形的周长是( C )
A．14 或 19
18．已知非零实数 a，b 满足 a2－8a＋16＋|b－3|＋ （a－5）（b2＋1） ＋4＝a，求 ab－1 的值
解：由题意得：(a－5)(b2＋1)≥0，∴a≥5， ∴ a2－8a＋16＝ （a－4）2＝|a－4|＝a－4， ∴ a2－8a＋16＋|b－3|＋ （a－5）（b2＋1）＋4＝a－4＋|b－3|＋ （a－5）（b2＋1）＋4 ＝a，∴|b－3|＋ （a－5）（b2＋1）＝0. 又∵|b－3|≥0， （a－5）（b2＋1）≥0， ∴|b－3|＝ （a－5）（b2＋2）＝0，∴b＝3，a＝5， ∴ab－1＝52＝25.
二次根式 华东师大版数学九年级上册素养提升练(含解析)
第21章 二次根式单元大概念素养目标大概念素养目标对应新课标内容运用二次根式、最简二次根式的概念进行判断了解二次根式、最简二次根式的概念【P55】掌握二次根式的运算法则了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则【P55】 能依据二次根式的运算法则进行二次根式的混合运算会用二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则进行简单的四则运算【P55】21.1 二次根式基础过关全练知识点1 二次根式的定义1.【新独家原创】下列各式一定是二次根式的是( ) A.√a 2−2 023 B.√2 023−a 2 C.√2 023a 2 D.√2 023a 22.(2023四川遂宁期中)若√1−n 是二次根式,则n 的值可以是( ) A.-1 B.2 C.3 D.5知识点2 二次根式有意义的条件3.(2023吉林长春绿园期中)若代数式3√1−x有意义,则x 的取值范围在数轴上表示正确的是( )A B CD4.【易错题】(2023河南周口郸城月考)若式子√x+2x−2-(x -1)0有意义,则实数x 的取值范围是 .5.(2023山西临汾洪洞月考)当x 是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义? (1)√3x −4;(2)√6−3x ;(3)√1a−3;(4)√a+1a−1.知识点3 二次根式的性质6.(2023吉林长春南关东北师大附中明珠校区期中)满足√(a −3)2=3-a 的正整数a 的所有值的和为 ( ) A.3 B.6 C.10 D.157.【一题多变】(2023福建漳州三中期中)实数a ,b 在数轴上的位置如图所示,则式子√a 2+√(b −a)2-|a +b |化简的结果为 ( )A.aB.2a+bC.2a-bD.-a+2b[变式](2023福建师大附中月考)已知△ABC中,a、b、c为三角形的三边长,化简√(a+c−b)2+|a-c-b|=.8.(2023吉林长春汽开区月考)若实数a、b满足|a+1|+√b−2=0,则a+b=.9.(2023湖南衡阳石鼓月考)在一节数学课上,李老师出了这样一道题目:先化简,再求值:|x-1|+√(x−10)2,其中x=9.小明同学是这样计算的:解:|x-1|+√(x−10)2=x-1+x-10=2x-11.当x=9时,原式=2×9-11=7.小荣同学是这样计算的:解:|x-1|+√(x−10)2=x-1+10-x=9.谁的计算结果是正确的呢?错误的计算错在哪里?能力提升全练10.(2022四川雅安中考,5,★☆☆)使√x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为()A BC D11.【教材变式·P4T3】(2023福建漳州龙文模拟,8,★☆☆)当3<a<5时,化简√(a−5)2+√(7−a)2+|3-2a|= () A.-9 B.9C.2a-5D.5-2a12.(2023湖南怀化模拟,11,★★☆)已知y=√(x−3)2-x+4,当x分别取正整数1,2,3,4,5,…,2 022时,所对应y值的总和是() A.2 026 B.2 027C.2 028D.2 02913.(2022四川遂宁中考,12,★☆☆)实数a、b在数轴上的位置如图所示,化简:|a+1|-√(b−1)2+√(a−b)2=.14.【数学文化】(2023河南郑州二七模拟,16,★★☆)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中,给出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求积公式,即如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,则该三角形的面积S=√14[a2b2−(a2+b2−c22)2],现已知△ABC的三边长分别为1,2,√5,则△ABC的面积为.15.(2023四川自贡模拟,19,★☆☆)已知m=√16−n2+√n2−16n+4-3,求(m+n)2 022的值.素养探究全练16.【运算能力】(2022山东烟台龙口期中)阅读下列解题过程.例:若代数式√(a−1)2+√(a−3)2的值是2,求a的取值范围.解:原式=|a-1|+|a-3|,当a<1时,原式=(1-a)+(3-a)=4-2a=2,解得a=1(舍去);当1≤a≤3时,原式=(a-1)+(3-a)=3-1=2,符合条件;当a>3时,原式=(a-1)+(a-3)=2a-4=2,解得a=3(舍去).所以a的取值范围是1≤a≤3.上述解题过程主要运用了分类讨论的方法,请你根据上述理解,解答下列问题:(1)当2≤a≤5时,化简:√(a−2)2+√(a−5)2=;(2)若等式√(3−a)2+√(a−7)2=4成立,则a的取值范围是;(3)若√(a+1)2+√(a−5)2=8,求a的取值范围.答案全解全析基础过关全练1.C ∵a 2≥0,∴2 023a 2≥0,∴√2 023a 2一定是二次根式.2.A ∵√1−n 是二次根式,∴1-n ≥0,∴n ≤1,∴n 的值可以是-1.3.D 根据题意知1-x >0,解得x <1,所以x 的取值范围在数轴上表示如下:4.x ≥-2且x ≠1,x ≠2解析 本题易忽略分母x -2≠0和零指数幂中底数x -1≠0而致错.依题意可得x +2≥0且x -2≠0,x -1≠0,解得x ≥-2且x ≠1,x ≠2.5.解析 (1)若√3x −4有意义,则 3x -4≥0,解得x ≥43,即当x ≥43时,√3x −4有意义.(2)若√6−3x 有意义,则6-3x ≥0,解得x ≤2,即当x ≤2时,√6−3x 有意义. (3)若√1a−3有意义,则a -3>0,解得a >3,即当a >3时,√1a−3有意义.(4)若√a+1a−1有意义,则a +1≥0且a -1≠0,解得a ≥-1且a ≠1,即当a ≥-1且a ≠1时,√a+1a−1有意义. 6.B ∵√(a −3)2=3-a ,∴3-a ≥0,解得a ≤3,则正整数a 的值有1、2、3,∴1+2+3=6. 7.D 根据题意得a <0<b ,|b |<|a |,所以原式=|a |+|b -a |-|a +b |=-a +b -a +a +b =-a +2b.[变式]2c解析由三角形的三边关系知a+c>b,c+b>a,故a+c-b>0,a-c-b<0,∴√(a+c−b)2+|a-c-b|=|a+c-b|+|a-c-b|=a+c-b-a+c+b=2c.8.1解析∵|a+1|+√b−2=0,∴{a+1=0,b−2=0,解得{a=−1,b=2,∴a+b=-1+2=1.9.解析小荣同学的计算结果正确,小明同学的计算结果错误,错在去掉根号:|x-1|+√(x−10)2=x-1+x-10,∵x=9,∴应为|x-1|+√(x−10)2=x-1+10-x.能力提升全练10.B∵√x−2有意义,∴x-2≥0,∴x≥2.11.B∵当3<a<5时,a-5<0,7-a>0,3-2a<0,∴√(a−5)2+√(7−a)2+|3-2a|=|a-5|+|7-a|+|3-2a|=5-a+7-a+2a-3=9.12.C y=√(x−3)2-x+4=|x-3|-x+4,当x-3≥0,即x≥3时,y=x-3-x+4=1;当x-3<0,即x<3时,y=3-x-x+4=7-2x,当x=1时,y=5,当x=2时,y=3,所以当x分别取正整数1,2,3,4,5,…,2 022时,所对应y值的总和为5+3+1+1+1+…+1=8+2 020×1=8+2 020=2 028.13.2解析由数轴可得-1<a<0,1<b<2,∴a+1>0,b-1>0,a-b<0,∴|a+1|-√(b−1)2+√(a−b)2=a+1-(b-1)+(b-a)=a+1-b+1+b-a=2.14.1解析∵△ABC的三边长分别为1,2,√5,∴a=1,b=2,c=√5,∴△ABC的面积=√14×{12×22−[12+22−(√5)22]2}=1.15.解析由题意得16-n2≥0,n2-16≥0,n+4≠0,则n2=16且n≠-4,解得n=4,则m=√16−n2+√n2−16n+4-3=-3,∴(m+n)2 022=1.素养探究全练16.解析(1)∵2≤a≤5,∴a-2≥0,a-5≤0,∴原式=|a-2|+|a-5|=a-2-(a-5)=3.(2)由题意可知|3-a|+|a-7|=4,当a≤3时,3-a≥0,a-7<0,∴原式化为3-a-(a-7)=4,∴a=3,符合题意;当3<a<7时,3-a<0,a-7<0,∴原式化为-(3-a)-(a-7)=4,故3<a<7符合题意;当a≥7时,3-a<0,a-7≥0,∴原式化为-(3-a)+(a-7)=4,∴a=7,符合题意.综上所述,a的取值范围是3≤a≤7.(3)原式可化为|a+1|+|a-5|=8,当a≤-1时,a+1≤0,a-5<0,∴原式化为-(a+1)-(a-5)=8,∴a=-2,符合题意;当-1<a<5时,a+1>0,a-5<0,∴原式化为(a+1)-(a-5)=8,此方程无解,故-1<a<5不符合题意; 当a≥5时,a+1>0,a-5≥0,∴原式化为a+1+a-5=8,∴a=6,符合题意.综上所述,a=-2或6.。
九年级数学上册综合算式专项练习题二次根式的四则运算
九年级数学上册综合算式专项练习题二次根式的四则运算一、简介二次根式是指含有二次根号的数学表达式，它们可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
在九年级数学上册中，掌握二次根式的四则运算是非常重要的基础知识。
本文将通过综合算式的专项练习题，帮助你巩固对二次根式的四则运算的理解。
二、加法运算在二次根式的加法运算中，我们需要注意根指数和根号内的数值是否相等。
只有当根号内的数值相同，且根指数相同时，才可以进行加法运算。
示例1：对于√5 + √5，由于根号内的数值相同，根指数也相同，所以可以进行加法运算。
结果为2√5。
三、减法运算与加法类似，在二次根式的减法运算中，我们需要确保根指数和根号内的数值相等才能进行运算。
示例2：对于2√7 - √7，根号内的数值相同且根指数也相同，因此可以进行减法运算。
结果为√7。
四、乘法运算不同于加法和减法，二次根式的乘法运算需要使用特定的公式进行化简。
具体的公式如下：√a * √b = √(a * b)根据该公式，我们可以将乘法运算转化为简单的根号内数的相乘。
注意，当根号内有其他运算时，需要先按照运算优先级进行计算。
示例3：计算√2 * √3，根据公式，结果为√(2 * 3) = √6。
五、除法运算与乘法类似，在二次根式的除法运算中，我们也需要使用特定的公式进行化简。
具体的公式如下：√a / √b = √(a / b)同样地，在根号内含有其他运算时，需要先按照运算优先级进行计算。
示例4：计算√8 / √2，根据公式，结果为√(8 / 2) = √4 = 2。
六、综合算式练习题练习题1：计算3√7 + 2√7 - √7根据加法和减法的运算规则，根号内的数值相同且根指数相同，可以得出结果为4√7。
练习题2：计算(√3 + 2) * (√3 - 2)根据乘法的运算规则，我们需要先对括号内的表达式进行计算。
结果可以化简为(√3)^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1。
练习题3：计算(√15 / 3) * 2√10根据乘法的运算规则，我们需要先对根号内的数值进行约分，结果为(√5 * √3 / 3) * 2√10 = (1 / 3) * 2 * √(5 * 3 * 10) = 2√150 / 3。
九年级上册数学《二次根式》知识点整理
九年级上册数学《二次根式》知识点整理二次根式本节研究指导：在研究二次根式时，我们不仅要研究它的概念，还要巩固平方根的知识。
这样有助于我们系统性研究，把零散的知识整合起来。
在本节中，我们需要掌握二次根式的有意义条件。
知识要点：1、二次根式的概念：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。
需要注意的是，被开方数可以是数、单项式、多项式、分式等代数式。
但是，a≥0是二次根式的前提条件。
例如，5、x2+1都是二次根式，而-5、-x2都不是二次根式。
2、取值范围：1）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，a有意义，是二次根式。
因此，只要被开方数大于或等于零，就可以使二次根式有意义。
2）二次根式无意义的条件：由于负数没有算术平方根，所以当a<0时，a没有意义。
3、二次根式a（a≥0）的非负性：a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，即a≥0.由于正数的算术平方根是正数，负数的算术平方根是不存在的，因此非负数的算术平方根也是非负数。
这个性质类似于绝对值、偶次方的性质，在解答题目时应用较多。
例如，如果a+b=0，则a=0，b=0；如果a-b=0，则a=0，b=0；如果a×b=0，则a=0，b=0.4、二次根式（a）的性质：a）=a（a≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
需要注意的是，这个性质公式（a）=a（a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：如果a≥0，则a=（a）。
例如，2=（2），1=（1）。
5、二次根式的性质：a（a≥0）a2=a=___（a<0）描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
需要注意的是：1）化简a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数。
如果是正数或0，则等于a本身，即a2=a=a（a≥0）；如果a是负数，则等于a的相反数-a，即2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，7≈2.646.2）a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，a2一定有意义。
最新华东师大版九年级数学上册《二次根式》专题辅导训练及答案解析
考点一：二次根式的识别★方法导引★：判定二次根式的方法：（1）有二次根号“”；（2）被开方数非负；例题1、当a 为实数时，下列各式中哪些是二次根式？10+a ，a ，2a ，12-a ，12+a ，2)1(-a .（答：a 、2a 、12+a 、2)1(-a ）强化训练《一》：1、下列各式中15、3a 、21b -、22a b +、220m +、144-，二次根式的个数是（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．1 2、下列各式中一定是二次根式的是（ ）A 、3-；B 、x ；C 、12+x ； D 、1-x 3、下列各式一定是二次根式的是（） A.7- B.m C.12+a D.334、下列各式中15、3a 、21b -、22a b +、220m +、144-，35不是二次根式的有考点二：二次根式有意义的条件★ 方法导引★：二次根式有意义的条件：被开方数非负；（即，若a 有意义，则0a ≥）例题2．x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）2+x －x 23-；（2）x -－11+x ； （3）2||12--x x ；例题3．设m 、n 满足329922-+-+-=m m m n ，则mn =。
强化训练《二》： 1.（2015•滨州）如果式子有意义，那么x 的取值范围在数轴上表示出来，正确的是( ) A. B.C.D.2.（2015•绵阳）要使代数式有意义，则x 的（ ）A ．最大值是B ．最小值是C ．最大值是D ．最小值是3.（2015•内江）函数y=+中自变量x 的取值范围是（ ）A ． x ≤2B ． x ≤2且x ≠1C ． x ＜2且x ≠1D ． x ≠14．（2014·广州）若代数式1xx -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠ B ．0x ≥ C ．0x > D ．01x x ≥≠且 5. x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1）（2）121+-x （3）45++x x（4）（5）1213-+-x x (6).（7）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是（8）若1313++=++x x x x ，则x 的取值范围是。
中考数学专题特训第六讲：二次根式(含详细参考答案)
中考数学专题复习第六讲：二次根式【基础知识回顾】 一、二次根式式子a （ ）叫做二次根式【赵老师提醒：①次根式a 必须注意a___o 这一条件，其结果也是一个非数即：a ___o②二次根式a （a ≥o ）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式】二、二次根式的性质：①（a ）2= （a ≥0）= （a ≥0 ,b ≥0）(a ≥0, b ≥0)【赵老师提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较23和的大小，可逆用（a ）2=a(a ≥0)将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小】 三、最简二次根式：最简二次根式必须同时满足条件：1、被开方数的因数是 ，因式是整式2、被开方数不含 的因数或因式 四、二次根式的运算：1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将 的二次根式进行合并，合并的方法同合并同类项法则相同2、二次根式的乘除：= （a ≥0 ,b ≥0）（a ≥0，b ＞0） 3、二次根式的混合运算顺序：先算 再算 最后算【赵老师提醒：1、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化= = 2、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用 3、二次根式运算的结果一定要化成 】 【重点考点例析】考点一：二次根式有意义的条件（a ≥o ）（a ＜o ）例1 （2012•潍坊）如果代数式43x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≠3 B ．x ＜3 C ．x ＞3 D ．x ≥3思路分析：根据二次根式的意义得出x-3≥0，根据分式得出x-3≠0，即可得出x-3＞0，求出即可． 解：要使代数式43x -有意义， 必须x-3＞0， 解得：x ＞3． 故选C ．点评：本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件的应用，注意：分式B A中A ≠0，二次根式a 中a ≥0． 对应训练1．（2012•德阳）使代数式21xx -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x≥0 B ．x≠12 C ．x≥0且x≠12D ．一切实数 1．C1．解：由题意得：2x-1≠0，x≥0， 解得：x≥0，且x≠12， 故选：C ．考点二：二次根式的性质例2 （2012•张家界）实数a 、b 在轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简2||a a b -+的结果为（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a-b思路分析：现根据数轴可知a ＜0，b ＞0，而|a|＞|b|，那么可知a+b ＜0，再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即可． 解：根据数轴可知，a ＜0，b ＞0，原式=-a-[-（a+b ）]=-a+a+b=b ． 故选C ．点评：本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性． 对应训练为 ． 1．-b2．解：∵由数轴可知：b ＜0＜a ，|b|＞|a|，=|a+b|+a =-a-b+a =-b ，故答案为：-b ．考点三：二次根式的混合运算思路分析：利用二次根式的分母有理化以及分数指数幂的性质和负整数指数幂的性质，分别化简，进而利用有理数的混合运算法则计算即可．=3． 点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质，熟练利用这些性质将各式进行化简是解题关键． 对应训练4=+考点四：与二次根式有关的求值问题222)(1)(x x x ++-思路分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．2(1)1)4x x x+0，(1)1)4x x x +=本题考查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关键是当1，此题难度不大．对应训练A ．0B ．25C ．50D ．804．D分析：根据平方差公式求出1142-642=（114+64）×（114-64）=178×50，再提出50得出50×（178-50）=50×128，分解后开出即可．=80， 故选D ．点评：本题考查了平方差公式，因式分解，二次根式的运算等知识点的应用，解此题的关键是能选择适当的方法进行计算，本题主要考查学生的思维能力和应变能力，题目比较好，是一道具有代表性的题目．【聚焦山东中考】1．（2012•泰安）下列运算正确的是（ ）A 5=-B ．21()164--=C ．x 6÷x 3=x 2 D ．（x 3）2=x 5 1．B ．2.（2012•临沂）计算：= ． 2．03．7【备考真题过关】一、选择题A ．x ＞0B ．x≥-2C ．x≥2D ．x≤2 1．DA B ．5 C ．2 D ．22．AA ．3BC ．D ．3．C ．A ．5＜m ＜6B ．4＜m ＜5C ．-5＜m ＜-4D ．-6＜m ＜-5 4．A即5＜m ＜6， 故选A ．5．（2012•南充）下列计算正确的是（ ）A ．x 3+x 3=x 6B ．m 2•m 3=m 6C ．3=D = 5．D6．（2012•黔东南州）下列等式一定成立的是（ ）A ．945-=B ．5315⨯=C ．93=±D ．2(9)9--=6．B7．（2012•广西）使式子有意义的x 的取值范围是（ ）A ． x ≥﹣1B ． ﹣1≤x ≤2C ． x ≤2D ．﹣1＜x ＜2 考点： 二次根式有意义的条件。
九年级数学(上)第二十一章《二次根式》测试题及参考答案
九年级数学（上）《二次根式》测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1、使式子1-x 2+x 有意义X 的取值范围是（ ）A 、X ≤1B 、X ≤1且X ≠-2C 、X ≠-2D X ＜1且X ≠-22、若代数式x x -+212有意义，则x 的取值范围是（ ）A 、21->x B 、4±≠x C 、0≥x D 、40≠≥x x 且 3、下列运算正确的是（ ） A 、15.05.15.05.122=-=-B 、15.025.02=⨯= ≥C 、5)5(2-=-x xD 、x x x 22-=-4、下列根式中，最简二次根式是( )A 、a 25B 、22b a +C 、2aD 、5.05、已知：直角三角形的一条直角边为9，斜边长为10，则另一条直角边长为（ ）A 1B 19C 19D 296、若ｘ＝－3,则 ︳1-(1+X 2) ︳=（ ）A 1B －1C 3D -37、24ｎ 是整数，则正整数ｎ的最小值是（ ）A 4B 5C 6D 78、对于二次根式92+x ，以下说法不正确的是（ ）A ．它是一个正数B ．是一个无理数C ．是最简二次根式D ．它的最小值是39、下列说法错误是………………………………（ ） A.962+-a a 是最简二次根式 B.4是二次根式 C.22b a +是一个非负数 D.162+x 的最小值是410、下列各式中与6是同类二次根式的是 （ ） A.36 B.12 C.32D.18二、填空题（每小题3分，共18分）11、使式子4-X 无意义的ｘ取值是12、已知：X=2．5， 化简（X-2）2+ ︳X-4 ︳的结果是13、10ｘｙ ．30ｙｘ （ｘ＞0，ｙ＞0）= 14、已知4322+-+-=x x y ，则，=xy ． 15、三角形的三边长分别是20 ㎝ 45 ㎝ 40 ㎝，则这个三角形的周长为 16、观察下列各式：322322+=⨯；833833+=⨯；15441544+=⨯；……则依次第四个式子是 ；用)2(≥n n 的等式表达你所观察得到的规律应是 。
(word完整版)二次根式知识点总结及常见题型,推荐文档
应用与书写规范:∵ A B 2 C 0 ,
A ≥0, B 2 ≥0, C ≥0
∴ A 0, B 0, C 0 . 该性质常与配方法结合求字母的值.
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（2）
A B2
AB
A B
BA AA
B B;主要用于二次根式的化简.
（3） A
B
A2 B A 0
,其中 B ≥0;
A2 B A 0
（1）双重非负性: a ≥0, a ≥0;（主要用于字母的求值）
2
（2）回归性: a a （ a ≥0）;（主要用于二次根式的计算）
（3）转化性:
a2
a
a(a a(a
0) 0)
.（主要用于二次根式的化简）
重要结论:
（1）若几个非负数的和为 0,则每个非负数分别等于 0.
若 A B 2 C 0 ,则 A 0, B 0, C 0 .
a2 三、二次根式的乘法
一般地,有: a b ab （ a ≥0, b ≥0）
（1）以上便是二次根式的乘法公式,注意公式成立的条件: a ≥0, b ≥0.即参与乘法运算的 每个二次根式的被开方数均为非负数; （2）二次根式的乘法公式用于二次根式的计算;
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（3）两个带系数的二次根式的乘法为: m a n b mn ab （ a ≥0, b ≥0）; （4）二次根式的乘法公式可逆用,即有:
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例 6. 计算:
2
（1） 6 ;
2
（2） 2x 3 ;
（3） 3
2 3
2
.
2
分析:本题考查二次根式的性质: a a （ a ≥0）.该性质主要用于二次根式的计算.
2
解:（1） 6 6 ;
九年级数学二次根式知识点
九年级数学二次根式知识点一、二次根式1. 定义：二次根式是形如√a的表达式，其中a是非负实数。
2. 运算规则：(1) 乘法规则：√a * √b = √(a * b)(2) 除法规则：√a / √b = √(a / b)，其中b不能为0(3) 幂运算规则：(√a)^n = (√a)^(n / 2)，其中n为偶数，a为非负实数3. 合并同类项：(1) 如果二次根式的底数相同，则可以合并为一个根号，即√a ±√a = ±2√a(2) 如果二次根式的根次相同，则可以合并为同一个根次的根号，即√a^n ±√a^n = ±2√a^n(3) 如果二次根式的底数和根次都相同，则可以合并为同一个根号，即√a^n * √a^n = a^n，(√a^n) / (√a^n) = 1二、二次根式的化简1. 因式分解法：将二次根式的底数a分解为素数的乘积，然后利用乘法规则、除法规则和合并同类项的规则将二次根式化简为最简形式。
2. 有理化分母法：利用有理化分母公式将二次根式的分母有理化。
(1) a + √b有理化分母：a + √b = (a + √b) * (a - √b) / (a - √b)(2) a - √b有理化分母：a - √b = (a - √b) * (a + √b) / (a + √b)(3) 1 / (a + √b)有理化分母：1 / (a + √b) = (a - √b) / (a^2 - b)(4) 1 / (a - √b)有理化分母：1 / (a - √b) = (a + √b) / (a^2 - b)三、二次根式的运算1. 加减运算：将二次根式化为最简形式，然后合并同类项。
2. 乘法运算：将二次根式的底数和根次分别相乘。
3. 除法运算：将二次根式的底数和根次分别相除。
4. 化简运算：利用因式分解法或有理化分母法将二次根式化简为最简形式。
四、二次根式的应用二次根式在实际问题中具有广泛的应用，例如计算物体的体积、面积等。
分式与二次根式(解析版)-中考数学必考考点与题型专训
分式与二次根式命题趋势分式与二次根式是历年中考的考察重点，年年考查，分值为12分左右。
预计2023年各地中考还将继续重视对分式与根式的有关概念、分式与根式的性质和分式与根式的混合运算等的考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握。
知识梳理1、分式1)分式的定义(1)一般地，整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称AB为分式．(2)分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母．【注】①若B ≠0，则A B 有意义；②若B =0，则A B 无意义；③若A =0且B ≠0，则AB =0．2)分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为A B =A ⋅C B ⋅C (C ≠0)或A B =A ÷CB ÷C (C ≠0)，其中A ，B ，C 均为整式．3)约分及约分法则(1)约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．(2)约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．4)最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．5)通分及通分法则(1)通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．(2)通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母(即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积)；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．6)最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．7)分式的运算(1)分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示：a b ±c b =a ±cb．②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：a b ±c d =ad bd ±bc bd =ad ±bcbd．(2)分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示：a b ⋅cd=a ⋅cb ⋅d．(3)分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示：a b ÷c d =ab⋅d c =a ⋅d b ⋅c ．(4)分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示：a b n =a nb n (n 为正整数，b ≠0)．(5)分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．2、二次根式1)二次根式的有关概念(1)二次根式的概念：形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注】被开方数a 只能是非负数．即要使二次根式a 有意义，则a ≥0．(2)最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．(3)同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．2)二次根式的性质(1)a ≥0(a ≥0)；(2)(a )2=a (a ≥0)； (3)a 2=a =a (a >0)0(a =0)-a (a <0) ；3)二次根式的运算(1)二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．(2)二次根式的乘除乘法法则：a ⋅b =ab (a ≥0,b ≥0)；除法法则：a b=a b(a ≥0,b >0)．(3)二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．重点考向考向1分式的有关概念1.分式的三要素：(1)形如AB的式子；(2)A ,B 均为整式；(3)分母B 中含有字母．2.分式的意义：(1)有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即B ≠0．(2)无意义的条件是分母为0．(3)分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．典例引领1.(2022·湖南怀化·中考真题)代数式25x ，1π，2x 2+4，x 2-23，1x ，x +1x +2中，属于分式的有()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．【详解】分母中含有字母的是2x 2+4，1x ，x +1x +2，∴分式有3个，故选：B ．【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．2.(2022·浙江湖州·中考真题)当a =1时，分式a +1a的值是．【答案】2【分析】直接把a 的值代入计算即可．【详解】解：当a =1时，a +1a =1+11=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可．3.(2023·河南·中考模拟)下列说法错误的是()A.当x ≠3时，分式4x +5x -3有意义 B.当x =1时，分式x +1x -1无意义C.不论a 取何值，分式a 2+1a2都有意义 D.当x =1时，分式x -1x +1的值为0【答案】C【分析】分母不为0时，分式有意义，分母为0时，分式无意义，分子等于0，分母不为0时分式值为0，由此判断即可.【解析】解：A 选项当x -3≠0，即x ≠3时，分式4x +5x -3有意义，故A 正确；B 选项当x -1=0，即x =1时，分式x +1x -1无意义，故B 正确；C 选项当a 2≠0，即a ≠0时，分式a 2+1a 2有意义，故C 错误；D 选项当x -1=0，且x +1≠0即x =1时，分式x -1x +1的值为0，故D 正确.故选C .【点睛】本题主要考查了分式有意义、无意义、值为0的条件，熟练掌握分式的分母不为0是确定分式有意义的关键.变式拓展1.(2022·湖北黄冈·中考真题)若分式2x -1有意义，则x 的取值范围是．【答案】x ≠1【分析】根据分式有意义的条件即可求解．【详解】解：∵分式2x -1有意义，∴x -1≠0，解得x ≠1．故答案为：x ≠1．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．2.(2022·广西·中考真题)当x =时，分式2xx +2的值为零．【答案】0【分析】根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x =0，x +2≠0求解即可．【详解】解：由题意，得2x =0，且x +2≠0，解得：x =0，故答案为：0．【点睛】本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件“分子为零，分母不为零”是解题的关键．3.(2023·绵阳市·中考模拟)下列关于分式的判断，正确的是()A.当x =2时，x +1x -2的值为零B.无论x 为何值，4x 2+3的值总为正数C.无论x 为何值，3x +1不可能得整数值D.当x =3时，x -33无意义【答案】B【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．【详解】解：A 、当x =2时，分母x -2=0，分式无意义，故A 错误；B 、分母中x 2+3≥3，因而第二个式子一定成立，故B 正确；C 、当x +1=1或-1时，3x +1的值是整数，故C 错误；D 、x -33不是分式，故D 错误．故选：B ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式各种结果的判断标准：分式的值是正数的条件是分子、分母同号；值是负数的条件是分子、分母异号；分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．考向2分式的基本性质分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：(1)不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；(2)分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．典例引领1.(2020·河北中考真题)若a ≠b ，则下列分式化简正确的是()A.a +2b +2=abB.a -2b -2=abC.a 2b2=ab D.12a 12b =ab【答案】D【分析】根据a ≠b ，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．【详解】∵a ≠b ，∴a +2b +2≠a b ，选项A 错误；a -2b -2≠ab，选项B 错误；a 2b 2≠a b ，选项C 错误；12a 12b =a b ，选项D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．2.(2022·广东·一模)如果把分式2yx +y中的x 和y 都扩大为原来的2倍，那么分式的值()A.不变B.缩小为原来的12C.扩大为原来的2倍D.扩大为原来的4倍【答案】A【分析】依题意，分别用2x 和2y 去代换原分式中的x 和y ，利用分式的基本性质化简即可．【详解】分别用2x 和2y 去代换原分式中的x 和y ，得：2×2y 2x +2y =4y 2(x +y )=2yx +y 化简后的结果和原式相同，故答案为：A ．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．变式拓展1.(2022·河北·三模)下列各式从左到右的变形中，不正确的是()A.-23a =-23aB.-b -6a =b6aC.3a -4b =-3a4bD.--8a 3b =8a-3b【答案】D【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．【详解】解：A 、-23a =-23a ，故本选项不符合题意；B 、-b -6a =b6a，故本选项不符合题意；C 、3a -4b =-3a 4b ，故本选项不符合题意；D 、--8a 3b =8a 3b ，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：①分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，②分式分子的符号，分式分母的符号，分式本身的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变．2.(2022·浙江·一模)若把分式1x +1y中的x ,y 同时扩大2倍，则分式的值()A.是原来的2倍B.是原来的12C.是原来的14D.不变【答案】B【分析】根据分式的加法进行计算，再把x ,y 同时扩大2倍，观察分式值变化即可．【详解】解：1x +1y =x +y xy ，x ,y 同时扩大2倍得2x +2y 2x ×2y =2(x +y )4xy =12×x +y xy，分式的值是原来的12，故选：B ．【点睛】本题考查了分式的加法和分式的基本性质，解题关键是熟练进行分式加法和约分．考向3分式的约分与通分约分与通分的区别与联系：1.约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；2.约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；3.通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．典例引领1.(2022·江苏·二模)分式m 2m -2n 和3nm -n的最简公分母为．【答案】2(m -n )【分析】利用最简公分母的定义求解，分式m 2m -2n 和3nm -n的分母分别是2(m -n )、(m -n )，故最简公分母是2(m -n )即是本题答案．【详解】解：∵分式m 2m -2n 和3nm -n的分母分别是2(m -n )、(m -n )．∴它们的最简公分母是2(m -n )．故答案为：2(m -n )．【点睛】本题考查最简公分母，将原式的分母正确进行因式分解并掌握最简公分母的定义是解题关键．2.(2022·上海崇明·二模)化简：xx 2-2x=．【答案】1x -2【分析】直接利用分式的性质化简得出答案．【详解】解：x x 2-2x=x x (x -2)=1x -2．故答案为：1x -2．【点睛】此题主要考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．3.(2022·广西·二模)关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确()A.x +1x 2-1约分的结果是1x B.分式1x 2-1与1x -1的最简公分母是x -1C.2xx2约分的结果是1D.化简x 2x 2-1-1x 2-1的结果是1【答案】D【分析】根据分式的基本性质将分式约分，即可判断A 与C ；根据确定最简公分母的方法判断B ；根据分式减法法则计算，即可判断D ．【详解】A 、x +1x 2-1=1x -1，故本选项错误；B 、分式1x 2-1与1x -1的最简公分母是x 2-1，故本选项错误；C 、2x x 2=2x ，故本选项错误；D 、x 2x 2-1-1x 2-1=1，故本选项正确；故选D ．【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握.变式拓展1.(2023·河北·一模)要把分式32a 2b 与a -bab 2c通分，分式的最简公分母是()A.2a 2b 2cB.2a 3b 3C.2a 3b 3cD.6a 3b 3c【答案】A【分析】根据最简公分母定义是各分母的最小公倍数即可求解．【详解】解：根据最简公分母是各分母的最小公倍数，∵系数2与1的公倍数是2，a 2与a 的最高次幂是a 2，b 与b 2的最高次幂是b 2，对于只在一个单项式中出现的字母c 直接作公分母中的因式，∴公分母为：2a 2b 2c ．故选择：A ．【点睛】本题考查最简公分母，熟练掌握最简公分母是解题关键．2.(2023·河北滦州·一模)下列分式化简结果为ab的是()A.a +2b +2B.a -2b -2C.a +ab +bD.a ×ab ×b【答案】C【分析】根据分式的化简逐个判断即可.【详解】A .a +2b +2≠a b ，故选项A 错误；B .a -2b -2≠ab，故选项B 错误；C .a +a b +b =2a 2b =a b ，故选项C 正确；D .a ×a b ×b =a 2b 2≠a b ，故选项D 错误；故选：C .【点睛】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．3.(2022·上海·二模)计算：1a -1b=．【答案】b -aab【分析】将式子通分计算即可．【详解】1a -1b =b ab -a ab =b -aab【点睛】本题考查分式通分，正确寻找分母的最小公倍数是解题关键．考向4分式的运算(1)分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．(2)分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解(在分解因式时注意不要出现符号错误)，然后找出其中的公因式，并把公因式约去．(3)分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．(4)分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．典例引领1.(2022·广西玉林·中考真题)若x 是非负整数，则表示2x x +2-x 2-4(x +2)2的值的对应点落在下图数轴上的范围是()A.①B.②C.③D.①或②【答案】B【分析】先对分式进行化简，然后问题可求解．【详解】解：2x x +2-x 2-4(x +2)2=2x x +2 x +2 2-x 2-4(x +2)2=2x 2+4x -x 2+4x +2 2=x +2 2(x +2)2=1；故选B ．【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．2.(2022·黑龙江牡丹江·中考真题)先化简，再求值：3x x -2-x x +2÷xx 2-4，在-2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．【答案】2x +8，10．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x =1代入计算即可求出值．【详解】解：原式=3x x +2 -x x -2 x -2 x +2⋅x 2-4x =2x x +4 x -2 x +2⋅x -2 x +2x =2(x +4)=2x +8当x =-2，0，2时，分式无意义当x =1时，原式=10．【点睛】本题主要考查了分式的化简和代入求值，关键是代入的时候要根据分式有意义的条件选择合适的值代入．3.(2022·山东聊城·中考真题)先化简，再求值：a 2-4a ÷a -4a -4a -2a -2，其中a =2sin45°+12-1．【答案】a a -2，2+1【分析】运用分式化简法则：先算括号里，再算括号外，然后把a ，b 的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】解：a 2-4a ÷a -4a -4a -2a -2=a +2 a -2 a ×a a -22-2a -2=a +2a -2-2a -2=aa -2，∵a =2sin45°+12-1=2×22+2=2+2，代入得：原式=2+22+2-2=2+1；故答案为：aa -2；2+1．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．变式拓展1.(2022·山东威海·中考真题)试卷上一个正确的式子1a +b +1a -b ÷★=2a +b被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为()A.aa -bB.a -b aC.a a +bD.4a a 2-b 2【答案】A【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．【详解】解：1a +b +1a -b ÷★=2a +b a -b +a +b a +b a -b÷★=2a +b ★=2a a +b a -b÷2a +b =aa -b ，故选A ．【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．2.(2022·江苏扬州·中考真题)计算：(1)2cos45°+π-3 0-8(2)2m -1+1÷2m +2m 2-2m +1【答案】(1)1-2(2)m -12【分析】(1)根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式进行计算即可；(2)先合并括号里的分式，再对分子和分母分别因式分解即可化简；【详解】(1)解：原式=2×22+1-22=1-2．(2)解：原式=2m -1+m -1m -1 ⋅m -1 22m +1 =m +1m -1⋅m -1 22m +1 =m -12．【点睛】本题主要考查分式的化简、特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式的计算，掌握相关运算法则是解题的关键．3.(2022·辽宁营口·中考真题)先化简，再求值：a +1-5+2a a +1 ÷a 2+4a +4a +1，其中a =9+|-2|-12-1．【答案】a -2a +2，15．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂计算出a 的值，代入计算即可求出值．【详解】解：a +1-5+2a a +1 ÷a 2+4a +4a +1=(a +1)2-5-2a a +1÷(a +2)2a +1=a2-4 a+1⋅a+1(a+2)2=(a+2)(a-2)a+1⋅a+1(a+2)2=a-2a+2，当a=9+|-2|-12-1=3+2-2=3时，原式=3-23+2=15．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．还考查了算术平方根、绝对值、负整数指数幂．考向5二次根式的概念与性质1.二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．2.利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．典例引领1.(2022·广东广州·中考真题)代数式1x+1有意义时，x应满足的条件为()A.x≠-1B.x>-1C.x<-1D.x≤-1【答案】B【分析】根据分式分母不为0及二次根式中被开方数大于等于0即可求解．【详解】解：由题意可知：x+1>0，∴x>-1，故选：B．【点睛】本题考察了分式及二次根式有意义的条件，属于基础题．2.(2022·河北·中考真题)下列正确的是()A.4+9=2+3B.4×9=2×3C.94=32D. 4.9=0.7【答案】B【分析】根据二次根式的性质判断即可．【详解】解：A.4+9=13≠2+3，故错误；B.4×9=2×3，故正确；C.94=38≠32，故错误；D. 4.9≠0.7，故错误；故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．3.(2022·四川遂宁·中考真题)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简a+1-b-12+a-b2 =．【答案】2【分析】利用数轴可得出-1<a<0，1<b<2，进而化简求出答案．【详解】解：由数轴可得：-1<a<0，1<b<2，则a+1>0,b-1>0,a-b<0∴a+1-b-12+a-b2=|a+1|-|b-1|+|a-b|=a+1-(b-1)-(a-b)=a+1-b +1-a+b=2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．变式拓展1.(2020·山东济宁市·中考真题)下列各式是最简二次根式的是()A.13B.12C.a2D.53【答案】A【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【详解】解：A、13是最简二次根式，故选项正确；B、12=23，不是最简二次根式，故选项错误；C、a2=a ，不是最简二次根式，故选项错误；D、53=153，不是最简二次根式，故选项错误；故选A.【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．2.(2022·四川南充·中考真题)若8-x为整数，x为正整数，则x的值是．【答案】4或7或8【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据8-x为整数即可得x的值．【详解】解：∵8-x≥0∴x≤8∵x为正整数∴x可以为1、2、3、4、5、6、7、8∵8-x为整数∴x为4或7或8故答案为：4或7或8．【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．3.(2022·山东聊城·中考真题)射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=2as进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a=5×105m/s2，s=0.64m，那么子弹射出枪口时的速度(用科学记数法表示)为()A.0.4×102m/sB.0.8×102m/sC.4×102m/sD.8×102m/s【答案】D【分析】把a=5×105m/s2，s=0.64m代入公式v=2as，再根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：v=2as=2×5×105×0.64=8×102m/s，故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．考向6二次根式的运算1.二次根式的运算(1)二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并．(2)二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数．(3)二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去括号)．2.比较分式与二次根式的大小(1)分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较；(2)二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较．典例引领1.(2022·湖北武汉·中考真题)下列各式计算正确的是()A.2+3=5B.43-33=1C.2×3=6D.12÷2=6【答案】C【分析】由合并同类二次根式判断A，B，由二次根式的乘除法判断C，D．【详解】解：A、2+3≠5原计算错误，该选项不符合题意；B、43-33=3原计算错误，该选项不符合题意；C、2×3=6正确，该选项符合题意；D、12÷2=23÷2=3原计算错误，该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的乘方运算，掌握以上知识是解题关键．2.(2022·重庆·中考真题)估计3×(23+5)的值应在()A.10和11之间B.9和10之间C.8和9之间D.7和8之间【答案】B【分析】先化简3×(23+5)=6+15，利用9<15<16，从而判定即可．【详解】3×(23+5)=6+15，∵9<15<16，∴3<15<4，∴9<6+15<10，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键．3.(2022·上海·中考真题)计算：|-3|-13-12+23-1-1212【答案】1-3【分析】原式分别化简|-3|=3，1 3-12=3，23-1=3+1，1212=23，再进行合并即可得到答案．【详解】解：|-3|-13-12+23-1-1212=3-3+3+1-23=1-3【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．变式拓展1.(2022·贵州毕节·中考真题)计算8+|-2|×cos45°的结果，正确的是()A.2B.32C.22+3D.22+2【答案】B【分析】化简二次根式并代入特殊角的锐角三角比，再按照正确的运算顺序进行计算即可．【详解】解：8+|-2|×cos45°=22+2×22=22+2=32．故选：B【点睛】此题考查了二次根式的运算、特殊角的锐角三角比等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．2.(2021·湖南常德市·中考真题)计算：5+12-1⋅5+12=()A.0B.1C.2D.5-12【答案】C 【分析】先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案．【详解】解：5+12-1 ⋅5+12=5-12⋅5+12=5-12=2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键．3.(2022·内蒙古通辽·中考真题)计算：2⋅6+41-3 sin60°-12-1．【答案】4【分析】根据二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解．【详解】解：原式=23+43-1 ×32-2=23+6-23-2=4【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关键．考向7二次根式与分式中的探究规律问题典例引领1.(2022·湖南常德·中考真题)我们发现：6+3=3，6+6+3=3，6+6+6+3=3，⋯，6+6+6+⋯+6+6+3=3n 个根号，一般地，对于正整数a ，b ，如果满足b +b +b +⋯+b +b +a =a n 个根号时，称a ,b 为一组完美方根数对．如上面3,6 是一组完美方根数对．则下面4个结论：①4,12 是完美方根数对；②9,91 是完美方根数对；③若a ,380 是完美方根数对，则a =20；④若x ,y 是完美方根数对，则点P x ,y 在抛物线y =x 2-x 上．其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C 【分析】根据定义逐项分析判断即可．【详解】解：∵12+4=4，∴4,12 是完美方根数对；故①正确；∵91+9=10≠9∴9,91 不是完美方根数对；故②不正确；若a ,380 是完美方根数对，则380+a =a 即a 2=380+a 解得a =20或a =-19∵a 是正整数则a =20故③正确；若x ,y 是完美方根数对，则y +x =x ∴y +x =x 2,即y =x 2-x 故④正确故选C 【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键．2.(2022·四川眉山·中考真题)将一组数2，2，6，22，⋯，42，按下列方式进行排列：2，2，6，22；10，23，14，4；⋯若2的位置记为(1,2)，14的位置记为(2,3)，则27的位置记为．【答案】(4,2)【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得27的位置即可．【详解】数字可以化成：2，4，6，8；10，12，14，16；∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，∵27=28，28是第14个偶数，而14÷4=3⋯2∴27的位置记为(4,2)故答案为：(4,2)【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．3.(2022·四川达州·中考真题)人们把5-12≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a=5-12，b=5+12，记S1=11+a+11+b，S2=21+a2+2 1+b2，⋯，S100=1001+a100+1001+b100，则S1+S2+⋯+S100=．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解：∵a=5-12，b=5+12，∴ab=5-12×5+12=1，∵S1=11+a +11+b=2+a+b1+a+b+ab=2+a+b2+a+b=1，S2=21+a2+21+b2=2×2+a2+b21+a2+b2+a2b2=2×2+a2+b22+a2+b2=2，⋯，S100=1001+a100+1001+b100=100×1+a10+1+b101+a10+b10+a10b10=100∴S1+S2+⋯+S100=1+2+⋯⋯+100=5050故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得ab=1，找出的规律是本题的关键．变式拓展1.(2022·河南驻马店·模拟预测)斐波那契(约1170-1250)是意大利数学家，他研究了一列数，被称为“斐波那契数列”．他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n(n为正整数)个数a n可表示为15[1+52n-1-52 n，且连续三个数a n-1，a n，a n+1之间存在以下关系a n-1+a n=a n+1(n≥2)．①第1个数a1=1；②第2个数：a2=2；③“斐波那契数列”中的前8个数是1，1，2，3，5，8，13，21；④若把“斐波那契数列”中的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成一组新数列，在新数列中，第2017项的值是1．以上说法正确的有．(请把你认为正确的序号全都填上去)【答案】①②④【分析】将n=1和n=2代入15[1+52n-1-52 n即可求得a1和a2，再按照a n-1+a n=a n+1可以求得前八个数，根据“把‘斐波那契数列'中的每一项除以4所得的余数”求出来一部分特殊项，观察规律，即可得到第2017项的值．【详解】①a1=151+52-1-52=15×5=1，故正确；②a2=15[1+522-1-52 2=15×5=1，故错误；③“斐波那契数列”中的前8个数是1，1，2，3，5，8，13，21，故正确；④1，1，2，3，5，8，13，21除以4所得的余数分别是1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，⋯，2017÷6=336⋯1，故在新数列中，第2017项的值是1，故正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了规律探究题，读懂题意，列出特殊项，观察一般规律是解决本题的关键．2.(2021·四川眉山市·中考真题)观察下列等式：x 1=1+112+122=32=1+11×2；x 2=1+122+132=76=1+12×3；x 3=1+132+142=1312=1+13×4；⋯⋯根据以上规律，计算x 1+x 2+x 3+⋯+x 2020-2021=．【答案】-12016【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1+1n 2+1(n +1)2，等式右边为1与1n (n +1)的和；利用这个结论得到原式=112+116+1112+⋯+112020×2021-2021，然后把12化为1-12，16化为12-13，12015×2016化为12015-12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】解：由题意可知，1+1n 2+1(n +1)2=1+1n (n +1)，x 2020=1+12020×2021x 1+x 2+x 3+⋯+x 2020-2021=112+116+1112+⋯+112020×2021-2021=2020+1-12+12-13+⋯+12015-12016-2021=2020+1-12016-2021=-12016．故答案为：-12016．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．热点必刷1.(2022·黑龙江绥化·中考真题)若式子x +1+x -2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是()A.x >-1B.x ≥-1C.x ≥-1且x ≠0D.x ≤-1且x ≠0【答案】C【分析】根据二次根式被开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0，计算求值即可；【详解】解：由题意得：x +1≥0且x ≠0，∴x ≥-1且x ≠0，故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，负整数指数幂的定义，掌握其定义是解题关键．2.(2022·广西桂林·中考真题)化简12的结果是()A.23 B.3C.22D.2【答案】A【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为23．【详解】解：12=4×3=22×3=23，故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．。
九年级数学上册复习资料《二次根式》
《二次根式》复习【知识回顾】1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a）2=a（a≥0）；5.二次根式的运算：⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。
⑵二次根式的乘除运算：①ab=ba∙（a≥0,b≥0）；②()0,0>≥=bababa【基础训练】1．化简：（1__ _；（2=_ __；（3__ _；（40,0)x y≥≥=___ _；（5）_______420=-。
2. 化简：（1） (宁夏)825-= ；（2）（黄冈）=_____ _；（3）(大庆)；（4）(荆门)＝________；（5）（厦门）．（6）．的倒数是。
3. (聊城)下列计算正确的是（）A．B．39=-C．D．4．（中山）已知等边三角形ABC的边长为33+，则ΔABC的周长是____________；5.6. (黑龙江)函数中，自变量的取值范围是．7.下列二次根式中，x的取值范围是x≥2的是（）A、2－xB、x+2C、x－2D、1x－28.（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）A.9．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（）A．2112与B．2718与C．313与D．5445与10.(08，乐山)已知二次根式与是同类二次根式，则的α值可以是（）A、5B、6C、7D、811．（大连）若baybax+=-=,，则xy的值为（）A．a2B．b2C．ba+D．ba-12.（遵义）若20a-+=，则2a b-=．13．）A．点P B．点Q C．点M D．点N14.计算：（1）（长春）（2）==aa2a（a＞0）a-（a＜0）0 （a=0）；（3）（上海）． （4）（庆阳）．15.2x -x 值，代入化简后的式子求值。
人教版九年级数学上册二次根式重点知识掌握和训练
九年级数学上册二次根式重点知识考查和训练教学目标】考点一：二次根式的定义和双重非负性1、 )0a ≥的式子，叫做二次根式。
2、● 有意义的前提条件：被开方数0a ≥● 0≥考点二：二次根式的两个核心公式● ()20a a =≥● ()(){00a a a a a ≥-<==考点三：最简二次根式1、 定义：同时满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：● 被开方数不含能开得尽方的因数和因式.● 被开方数不含分母.2、 约定：作为最终结果的二次根式，一般都要求化为最简的二次根式的形式. 考点四：同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式知识点：判别同类二次根式的基本程序：①把二次根式化成最简二次根式；②比较最简二次根式的被开方数是否相同.考点五：二次根式的乘除法法则1、 二次根式的乘法法则)0,0a b =≥≥2、 二次根式的除法法则)0,0a b =≥≥ 考点六二次根式的加减法法则把各二次根式化成最简的二次根式后，再把同类的二次根式进行合并.[教学过程]考点一：二次根式的定义和双重非负性1)0a ≥的式子，叫做二次根式。
2● 有意义的前提条件：被开方数0a ≥● 0≥例1、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是（）A ．a≥2B ．a ＞2C ．a≠2D ．a≠－2例2、若1a b -+()2011a b -的值是 针对训练：1、 有意义，则x 的取值范围是（ ） A 12x x >-≠-且 B 1x ≥ C 1x ≥- D 2x ≠-2a b 、应满足的条件是 （ ） A 0,0b a ≥> B 0,0b a ≤< C a b 、同号 D a b 、同号且0a ≠3、已知实数x 、y 216640,y y -+= （ ）A 16-B 16C 4-D 44、若实数x y 、满足4y =等于（ ）A 2-B 2C 22-或D 不能确定考点二：二次根式的两个核心公式● ()20a a =≥●()(){00a a a a a ≥-<==例3 若212,1x x =--化简针对训练1、 下列等式不正确的是 （ ）A a =B a = C2a = D a =2、当0a <时，化简2a 的结果是 （ ）A aB 2-C 3aD 3a -32x =-，那么x 的取值范围是 （ ）A 2x >B 2x ≥C 2x <D 2x ≤4、化简二次根式 （ ）A B C D5、已知23x =-=。
九年级数学二次根式知识点复习
二次根式的知识点复习练习一基础知识总结知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.a≥0，b≥0）；=b≥0，a>0）．知识点八：．分母有理化及有理化因式把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，•若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．知识点九二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．二．例题选讲例1填空题：（1其中是二次根式的是_________（填序号）．x的取值范围是_______．（2（3）实数a，b，c a－b│．o【解答】（1）1) 3) 4) 5) 7)．（2）由x －3≥02≠0，得x ≥3且x ≠7． （3）由图可知，a<0，b>0，c<0，且│b │>│c │－a ，－│a －b │=a －ba －b │．例2 选择题：（1）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A BC D（2）在根式1)，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)（3）已知a>b>0，的值为（ ）A ．2B ．2CD ．12【解答】（1A 错．，B 正确．|b =│a ∴C 错，而显然，D 错，∴选B ． （2）选C ．（3）∵a>b>0）2 2=a+b －21,22===，故选A ． 例3先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中， 【解答】原式＝22()()()()ab a a b b a b a bab a b ab a b ab+++++==++当， 三．全章练习一、双基整合，步步为营（每小题4分，共64分）1．若a ．2．2=2a-3成立的条件是________．3x 应满足的条件是______．4．当x>2．5．当x>1________．6．直角三角形中，则此直角三角形的另一边长是______． 7．下列各组数中，互为相反数的是（ ）A ．-3B ．│-3│与-13C ．│-3│与13D ．-38 ）A ．B ．C ．-30D ．30 9．若x 为任意数，则下列各式中成立的是（ ）A 2B 2CD 10．在实数范围内，把下列各式分解因式:①25x 2-7 ②2x 2-311．求下列各式的值:②二、拓广探索开发潜能（每小题4分，共24分）12．当x_______=________．13．若，则x的取值范围是_________．14．已知x<0）A．x B．-x C．3x D．-3x15．若ab<0）A．B．C．D．16．若-3≤x≤2时，试化简│x-2│17．如图，已知等腰梯形的上下底长分别为3cm，7cm，高为4cm，求它的一条腰长，及一条对角线的长．三、智能升级，链接中考：（每小题4分，共12分）18．实数P=________．19．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在点A1处，已知AB=1，则点A1的坐标是（）A．32）B．3）PC ．（32 D ．（12）20．甲、乙两人计算a=5得到不同的答案．甲的解答是：=a+a-1=2a-1=2×5-1=9．乙的解答是：=a+1-a=1哪一个解答是对的？错误的解答错在哪里？为什么？练习答案1．0 2．a ≥323．x ≥-3 4．-x-1 5．x-1 6． 7．D 8．B 9．A10．①（（11．①5216212．≤2，π-3 13．x ≤0 14．•D • 15．B 16．10-x17． 18．1 19．A20．甲对，乙错．。
数学九年级上册考点强化专训二次根式
数学九年级上册阶段强化专训二次根式一、学习目标1.了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
3.重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．难点：综合运用性质)0(0 a a 和)0()(2 a a a 。
三、自主预习（一）复习引入：1.已知x 2= a ，那么a 是x 的______，x 是a 的________，记为______,a 一定是_______数。
2.4的算术平方根为2，用式子表示为 =_____；0的算术平方根为_____，则非负数a 的算术平方根表示为 。
（二）问题研究：1.式子a 表示 。
2. 叫做二次根式。
试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3， 16 ， 34，， )0(3 a a ，12 x 3.式子)0(0 a a 表示 。
4.)0()(2 a a a 表示 。
计算 ：(1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)31(四、合作探究1.当x 取何值时，下列各二次根式有意义？42)3(①43 x ③ 2.有意义，则a 的值为___________．3.若在实数范围内有意义，则x 为（ ）A 、正数B 、负数 C、非负数 D 、非正数五、巩固反馈1. =________， 。
2.在实数范围内因式分解：（1）x 2-9 = x 2 - （ ）2= （x+ ___）(x-___)（2） x 22 - ( ) 2 = (x+ ___)(x- ___) 3.已知A. x>-3B. x<-3C.x=-3D.x 的值不能确定4.下列计算中，不正确的是 （ ）A 、3= 2)3(B 、0.5=2)5.0(C 、2)3.0(=0.3D 、2)75(=355.在式子x x121中，x 的取值范围是____________。
6.已知42 x +y x 2＝0，则x-y ＝_________。
7.已知y ＝x 3+23 x ,则x y = ________。
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二次根式考点总结
考点一：二次根式的定义和双重非负性
1、 )0a ≥的式子，叫做二次根式。
2、
● 有意义的前提条件：被开方数0a ≥
● 0≥
例1、当22
-+a a 有意义时，a 的取值范围是 （ ）
A ．a≥2
B ．a ＞2
C ．a≠2
D ．a≠－2
例2、若1a b -+()
2011a b -的值是 针对训练：
1、 有意义，则x 的取值范围是（ ） A 1
2x x >-≠-且 B 1x ≥ C 1x ≥- D 2x ≠-
2a b 、应满足的条件是 （ ） A 0,0b a ≥> B 0,0b a ≤< C a b 、同号 D a b 、同号且0a ≠
3、已知实数x 、y 216640,y y -+=的值为 （ ）
A 16-
B 16
C 4-
D 4
4、若实数x y 、满足4y = ）
A 2-
B 2
C 22-或
D 不能确定
5、当x 时，.
6x 的取值范围是 . 考点二：二次根式的两个核心公式
●
()20a a =≥
● ()()
{00a a a a a ≥-<==
例3 若
2
12,1
x x
=--+
化简
针对训练
1、下列等式不正确的是（）
A a
= B a
= C 2a
= D a
=
2、当0
a<时，化简2a（）
A a
B 2-
C 3a
D 3a
-
32
x
=-，那么x的取值范围是（）
A 2
x> B 2
x≥ C 2
x< D 2
x≤
4、化简二次根式的结果是（）
A B C D
5、已知
2
3x
=-=。
6=.
7、若0
x x
+==.
8、已知a实数，且满足1
a=-，则1
a-=. 9
2
=.
10、已知实数a b
、在数轴上的对应点如图所示：
考点三：分母有理化
1、定义：将无理式分母转化为有理式分母的过程，叫做分母有理化。
2、操作方法：分子、分母同时乘以分母的有理化因式
3、理论依据：分式的基本性质.
4、常用的有理化因式：
●
●a a
+-
●
例4、8．y
b
x
a+的有理化因式是（）A．y
x+B．y
x-C．y
b
x
a-D．y
b
x
a+
例5
分母有理化的值 针对训练
1、 已知
x y ==的值是 （ ） A 2 B 3 C 4 D 5
2、已知
x =，则21025x x -+的值为 （ ） A 20 B 20- C 24 D 24-
3 （ ）
A B
C 1+
D 1 4、已知
a b ==，则a 与b 的大小关系是（ ） A a b > B a b = C a b < D 不能确定
5
= . 4、计算
（1）⎛⨯ ⎝
（2）已知
x y ==的值.
考点四：最简二次根式
1、 定义：同时满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
● 被开方数不含能开得尽方的因数和因式.
● 被开方数不含分母.
2、 约定：作为最终结果的二次根式，一般都要求化为最简的二次根式的形式.
例6)02+例7、⑴2712135272
2-； ⑵b
a c abc 4322- 考点五：同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式
知识点：判别同类二次根式的基本程序：①把二次根式化成最简二次根式；②比较最简二次根式的被开方数是否相同.
例7为同类二次根式的是 （ ）
A
1 （ ）
A B C D
2a 的值为 （ ）
A 34-
B 43
C. 1 D 1- 考点六：二次根式的加减法法则
把各二次根式化成最简的二次根式后，再把同类的二次根式进行合并.
例82x = 例9、（1）521312321
⨯÷； （2）)(b a b b a 1223÷⋅ 考点七：二次根式的乘除法法则
1、 二次根式的乘法法则 )0,0a b ab a b =≥≥
2、 二次根式的除法法则
)0,0a b
=≥≥
例10、（112;b a a
b ab ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）2.n a m n --
针对训练
1、 计算：
（1）(a
（2）3ab 0,0.a b >>
（3
课堂针对训练
一、选择题
1、4的算术平方根是 （ ）
A.2
B.—2
C.2±
D.16
2 ）
A. 2 B 3- C 3± D
33a =-，则a 与3的大小关系是（ ）
A. 3a <
B. 3a ≤
C. 3a >
D. 3a ≥
4、若1a <()1=
A. 2a - B 2a - C a D a -
5、下列各式中，正确的是 （ ）
A 3=-
B 3=- C
3=± D 3=±
6()230y +=，则x y -的值为（ ）
A. 1
B. 1-
C. 7
D. 7-
7 （ ）
A 1到2之间 B.2到3之间 C.3到4之间 D.4到5之间
二、填空题
8、化简：2111a a a -⎛⎫÷+= ⎪⎝⎭
9、请写出一个大于1且小于2的无理数：
10、27的立方根为
11、已知一个正数的平方根是32x -和56x +，则这个正数是
三、解答题
12、计算：(
)02009 2.π-
13、计算：(
)1
013.1412π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭
14、计算：(
)
201115---+
15、计算：(
)()2012.--
16
. 2012年中考预测题
一、选择题
1、
在3,1,0--这四个实数中，最大的是（ ）
A. 3-
B. C. 1- D. 0
2、下列运算正确的是 （ ）
A. (22=
B. =
C. =
D. =3、实数a
化简后为 （ ）
A 、7 B. 7- C. 215a - D.无法确定
4x 的取值范围是（ ）
A. 2x ≥
B. 2x ≤
C. 2a >
D. 2x <
5、计算的计算结果是 （ ）
A. B. 5 C. 5 D. 二、填空题
6、9的平方根是
7=
80,=则22011a b
--= 三、解答题
9、先化简，再求值：2,11a a a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭其中1a =。