地图中的数学问题
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地图中的数学问题
在太空中,地球是蓝色的;地图上,世界是五彩斑斓的;大家知道么,在地图中蕴涵着深奥的数学问题呢!以中国地图为例,让我们仔细数一下一共有多少种颜色呢?不难发现,在中国地图上,分隔各省板块的颜色只有四种。那么,是否世界地图也可以用四种颜色分隔呢?想知道答案的话就让我们先来看看这个问题是如何被发现的吧。
[四色猜想的发现]
1852年,弗南希斯离开了自己的母校伦敦大学,工作中为英国地图着色,这时他发现了一个有趣的现象:无论多么复杂的地图,只需要用四种颜色就能将它区分开来,也就是说,用四种颜色着色就能保证不会有两个相邻地区的颜色相同。
弗南希斯将自己的发现告诉给哥哥弗德雷克,他们决定从数学的角度证明这个结论,但最终没有找到方法。
后来,兄弟俩将这一猜想写信告诉了在都柏林的著名数学家哈密尔顿,由此,“四色猜想”首次以数学的形式提了出来。
那么四色猜想究竟是一个什么样的问题呢?
[科学描述四色猜想]
很多朋友会问,四色猜想不就是地图着色么?确实,乍看起来,四色猜想好像很简单,现在世界上的国家和地区,也不过200多个,用四种颜色着色区分,这是不难办到的。但最难的是,作为一个数学问题来说,它所要讨论的不是哪一张具体地图,而是概括所有可能的地图着色问题。所涉及的国家地区的数目可以是任意的,而且边界也可以是各式各样的。换成数学语言为“将平面任意地细分为不相重迭的区域,每一个区域总可以用1,2,3,4这四个数字之一来标记,而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这是一个平面拓扑问题。这里讨论的地图,还必须有两条限制:即一条是在地图中,每个地区必须连成一片。不能分成不相连的两片或更多片;另一条是,在地图中,两个地区的边界必须是直线或者曲线,不能是一点或有限多的点,因为用相同的颜色给它们着色时并不会引起混
淆。
这样看来,四色猜想就不是那么容易了吧?
[曲折的证明过程]
哈密尔顿对“四色猜想”产生了极大的兴趣,经过长达13年的努力,
直至1865年去世时,关于四色猜想的研究工作依然毫无结果。
直至1879年肯普提交了证明四色猜想的论文,可很快也被后人精确
地计算推翻了。不过肯普的证明有着重要的贡献,他的“构形”概念对以
后问题的解决提供了更好的途径。他证明了在每一张正规地图中至少含有
这四种构形中的一个或多个。
一百多年来,数学家们对此绞尽脑汁,没有人能证明它成立,也没
有人能举出反例来推翻它,于是,四色猜想就成了世界上著名的难题之一。
[计算机解决大问题]
曲折的证明过程一直继续着,直至1976年6月……
号外、号外、号外、号外!
[报纸落入]困扰数学家们100多年的“四色定理”终于被证明了。
20世纪70年代中期,这时的科技已经非常发达,美国伊利诺斯州立大学的数学家阿佩尔运用了一种“不可避免性”理论,利用高速计算机对“四色猜想”进行证明。从一万多张地图中挑选了近两千张上机检验,对每一张地图都使用了二十万种可能的方法着色,计算机作了两百亿个逻辑判定,经过1200小时的计算,终于在1976年6月证明了这个数学名题。
阿佩尔使延续了124年之久的四色问题得到证明,由此将四色猜想定论为四色定理。这一成果轰动世界,引起了极大的反响。
它表明,科学有效的使用计算机,有可能完成连最著名的数学家至今也束手无策的工作,标志着人类认识能力的一个飞跃,极大地推动了以计算机为基础的人工智能的发展。