武汉大学大学物理第4章刚体转动及角动量

可看成是许多半径不同的共轴 匀质实心球对心轴的 球体算例 薄圆盘的转动惯量 的迭加 距 为 、半径为 、微厚为
的薄圆盘的转动惯量为
其中
常用结果 匀质薄圆盘
转轴通过中心垂直盘面
匀质细直棒
转轴通过端点与棒垂直
R
m
m
L
1 mR2 I= 2
1 mL2 I= 3
匀质矩形薄板
转轴通过中 心垂直板面
其它典型
刚体上 复杂 各质点都 的运动 以某一定 与平动 点为球心 的混合。 的各个球 面上运动。
定轴转动参量
1. 角位臵
刚体定轴转动 的运动方程
刚体
刚体中任 一点 (t+△t) (t) 参考 方向
2. 角位移
3. 角速度
静止 常量 变角速
转动平面（包含p并与转轴垂直）
匀角速
转轴 用矢量表 示 或 时，它们 与 刚体的 转动方向 采用右螺 旋定则
含平动的转动问题
力 外 力矩 动
力 非保守内力矩
势 转动 动 平动
机械
势
势 转动
平动
左例 系统（轮、绳、重物、地球）
力 外 力矩
忽略 摩擦
转动 势
力 非保守内力矩 平动 转动 势
平动
此外 可求
或
质点的角动量
惯性系中某 给定参考点
质点的动量
质点对参考点O 的角动量
取小于
的转向
大小
方向 垂直于
乘
所决定的
匀质厚圆筒
转轴沿几何轴
m I= (a 2 + b 2 ) 12 匀质细圆环
转轴通过中 心垂直环面
m I = 2 (R12 + R22 ) 匀质圆柱体
转轴通过中心 垂直于几何轴
I=mR2 匀质细圆环
转轴沿着 环的直径
I=
m 2 m 2 L R + 4 12 匀质薄球壳
转轴通过球心
I=
mR 2
2
2 m R2 I= 3
刚体转动及角动量守恒
刚体运动的分类 刚体：形状固定的质点系（含无数质点、不形变、理想固体。）
平 动 定轴转动 平面运动 定点运动 一般运动
刚体任意 刚体质心 刚体每点 限制在一平 两点的连线 保持方向不 绕同一轴线 面内，转轴 变。各点的 作圆周运动， 可平动，但 且转轴空间 始终垂直于 位臵及方向 该平面且通 相同，可当 不变。 过质心 作质点处理。
张力 通过 点 力矩为零
重力 的力矩 等于合外力矩 大小为 除了在通过平衡位臵（ ） 的一瞬间，角动量的时间变化率 为零外，其它位臵均不为零。
若忽略其它天体的作用力，太阳 系中某一行星所受的合外力总是指 向太阳。若以太阳为参考点，则
合外力矩大小
角动量的大小不随时间变化
质点的角动量定理也可用积分形式表达 由
m2
a
G2 G1
a
(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)
(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)
gt 2
(rad)
两匀直细杆
两者瞬时角加速度之比 转动定律例题五
q
q
根据
1 2 1 2
q
q
1 3 1 3
地面 从等倾角 处静止释放
短杆的角加速度大 且与匀质直杆的质量无关
转动动能
刚体中任一质元 的速率 该质元的动能
得
得
任意时刻的 匀变角速定轴转动的角位移方程
或
匀变角速定轴转动的运动方程
定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为 ，瞬 时角加速度为 ， 刚体中一质点P至转轴的距离为r 瞬时线速度 的大小 质点P 瞬时切向加速度 瞬时法向加速度
线量与角量的关系
这是定轴转动中线量与角量的基本关系
质点直线运动或刚体平动
质点系的角动量定理
将 对时间求导
某给定 参考点
内
外 外 外 内
内
得
质点系的角动量 的时间变化率
内
外
质点受外力 矩的矢量和
微分形式
外 外
称为
内力矩在求矢 量和时成对相消
续12
将
外
对时间求导 的微分形式
质点系的角动量 的时间变化率
质点受外力 某给定 参考点 矩的矢量和
的积分形式
内
外 外 外 质点系的 内
合外力矩
M1
外力在转动平面上对转 轴的力矩使刚体发生转动
F2
Ft 2
j2
F1 t
O
r2
P2
r1
P1
F1
j1
力矩 M1 = r1 × F1 大小 M1 = r1 F1 sin j1 方向
d2 d1
M2
合外力矩 大小
大小
= F1 d 1 = Ft 1 r1 M M 2 = r 2 × F2 M 2 = r 2F 2 sin j 2 F = F2 d 2 = Ft 2 r2
转动定律例题一
合外力矩 应由各分力矩进行合成 。 在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力 矩与此向相同则为正，反之为复。 合外力矩 与合角加速度 方向一致。
与
时刻对应，何时 何时
则何时 恒定 则何时
， 恒定。
匀直 细杆一 端为轴 水平静 止释放
转动定律例题二 2 – T1 ) R = Ia 转动 ( T
R
T2
m T1
a
m2 m1
轮轴无摩擦 轻绳不伸长 轮绳不打滑 （以后各例同）
I=mR2 2 a 平动 m2 g – T2 = m2a T1 – m1 g = m1a T1 T2 a = Ra 线-角 T1 T2 联立解得 a a m2 m1 g g a= 1 G1 m1+ m2+ 2 m G2 T1 = m1 ( g + a ) m1 g T2 = m2 ( g – a ) m2 g
4. 角加速度
匀角速 常量 匀角加速 变角加速
单位：
转动方程求导例题
rad rad s -1
rad s -2 rad
rad s -1 rad s -2
匀变角速定轴转动
rad
150p 100p 50p p 53p 52p 51p 50p
rad s
1
rad s
2
p
t
s
t
s
t
s
积分求转动方程
恒量
且t=0 时
O
ji
ri
等式两边乘以 i 即 并对所有质元及其所受力矩求和
sin j i + f i sin q Fi刚体的转动定律i = a it = ri b
受外力 Fii 受内力 fi a ∑ ai Fi + f i = 与刚体性质及质量分布有 其法向n 分量均通过转轴， 关的物理量，用 I 表示 不产生转动力矩。 称为 转动惯量 其切向 t 投影式为
定理的积分形式
称为 冲量矩
角动量的增量
这就是质点的 角动量定理 的积分形式
例如，
单摆的角动量大小为 L = mv r, v为变量。 在 t = 0 时从水 平位臵静止释放，初角动量大小为 L0= m v0 r =0； 时刻 t 下 摆至铅垂位臵， 角动量大小为 L⊥ = m v⊥ r 。则此过程单摆 所受的冲量矩大小等于 L-L0= m v⊥ r = m r 2gr 。
对
质点运动和刚体转动定律
m 1 m 2 和 m 分别应用
a
R
T2 T2
m
T1 T1 m1
m1 g – T1 = m1a a = Ra T2 – m2 g = m2a 及 1 I = 2 mR2 ( T1 – T2 ) R = Ia (m1-m2)g a= 得 常量
R(m1+ m2+ m 2) 由 故
应用质点的角动量守恒定律可以证明 开普勒第二定律
开普勒第二定律
行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积
时刻 m 对 O 的角动量大小为
定律的证明
瞬间 位矢扫过的微面积
即
（称为掠面速率）
守恒。
因行星受的合外力总指向是太阳，角动量
则
常量
故，位矢在相同时间内扫过的面积相等
质点系的角动量
惯性系中某 给定参考点
得
由转动定律
得
则
一端为轴 匀直细杆 水平位臵静止释放
动能定理例题二从水平摆至垂直
外力矩作的总功
由
得
本题 代入得 利用 的关系
摆至垂直位臵时杆的
还可算出此时杆上各点的线速度
动能定理例题三从水平摆至垂直
水平位臵静止释放 段，外力矩作正功 段，外力矩作负功
合外力矩的功 ∑
由 得 转轴对质心轴的位移 摆至垂直位臵时杆的 代入得
内
得
内 质点系所受的
冲量矩 质点系的角动量
矩的矢量和 的时间变化率 若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正反 内力矩在求矢 两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。 量和时成对相消 微分形式 称为
外
角动量增量 质点受外力
外 外
质点系的角动量守恒定律
由
外
若
则
或
恒矢量
当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。 质点系 若
M = M1 + M 2
M = F1 d 1
r Ft F2 d 2 = Ft 叉乘右螺旋2 r2 1 r1
转动定律
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
某质元
Fi
t
qi
n
fi
∑ Fi ri sin j i + ∑ f i ri sin q i = ∑
合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0
得
O
ji
ri
等式两边乘以 i 并对所有质元及其所受力矩求和
如果考虑有转动摩擦力矩 Mr ,则 转动式为 ( T2 – T1 ) R – Mr= Ia 再联立求解。
细绳缠绕轮缘 （A） （B）
转动定律例题三
（A）
R
R
m
m
（B）
恒力
F
m1
滑轮角加速度 a 细绳线加速度 a
R = 0.1m m = 5kg m 1 = 3kg m 2 = 1kg
物体从静止开始运动时，滑轮的 转动定律例题四 转动方程
位臵 等于 矢量
所受的 叉乘 合外力
而
续4
大小
方向
是力矩的矢量表达：
即 力矩
垂直于 所决定 的平面，由右螺旋法 则定指向。
的
得
质点
对给定参考点
角动量的时间变化率 称为质点的
所受的合外力矩
角动量定理
的微分形式
如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正 向，用代数法求合力矩。
大小 例题
Fi sin j i + f i sin q i = a it = ri b
受外力 Fi 受内力 fi ai Fi + f i = 其法向n 分量均通过转轴， 不产生转动力矩。 其切向 t 投影式为
r
ri
b
b
M
=
∑
ri
转动惯量
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
某质元 M
Fi
t
qi
n
fi
刚体所获得的角加速度i sin的大小与刚体受到的 ∑ Fi ri sin j i + ∑ f i r qi = ∑ ri b 合外力矩 合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0 的大小成正比， 得 与刚体的转动惯量 成反比。 M= ∑ ri b
刚 公式对比体 角位移
的 定 轴 转 动
位移 速度
加速度 匀速直线运动 匀变速直线运动
角速度
角加速度 匀角速定轴转动 匀变角速定轴转动
刚体转动定律引言
质点
或
刚体平动 的运动定律
F = ma
合外力
惯性质量
合加速度
若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？
主要概念 使刚体产生转动效果的合外力矩 刚体的转动定律 刚体的转动惯量
圆盘受总摩擦力矩
转一周摩擦力矩的总功 得
刚体的动能定理
回忆质点的动能定理
刚体转动的动能定理
由 力矩的元功 转动定律 则
合外力矩的功
称为
转动动能的增量
匀质圆盘
圆盘下摆 动能定理例题一 时质点 的 、切向、法向加速度
盘缘另固 连一质点 水平静 止释放
角速度
的大小
对
外力矩的功
其中
系统
系统转动动能增量
通过盘心垂直 盘面的水平轴
对所有质元的动能求和
∑
得
∑
转动惯量 I
I
力矩的功
力
的元功
力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算
若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ，
作的总功为
力矩的瞬时功率
拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小 力矩的功算例
转轴
平放一圆盘
总摩擦力矩
是
各微环带摩擦元力矩
粗糙水平面
的积分
环带面积 环带质量 环带受摩擦力 环带受摩擦力矩
平面， 指向右螺旋
叉
的旋进方向。
角动量 又称 动量矩
质点 参考点
对 引例 角动量 的 大小
太阳系中的行星
地球上的单摆
变
变变
变
大小会变
大小未必会变。靠什么判断？
质点的角动量定理
导致角动量 随时间变化的根本原因是什么？ 与什么有关？
思路： 分析 由 则
两平行矢量的叉乘积为零
得
质点 对参考点 的
角动量的时间变化率
质点的角动量守恒定律
根据质点的 角动量定理
若 即
则
常矢量 当质点 所受的合外力对某参考点 的力矩 为 守恒。
为零时，质点对该点的角动量的时间变化率 零，即质点对该点的角动量
称为
若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕 太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。
系统的末 态角动量
忽略轮、绳质量及轴摩擦 系统受合外力矩为零，角动量守恒。 系统的初 态角动量 不论体力强弱，两人等速上升。 系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。 可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。
=
r
r
转动惯量的计算
将刚体转动定律 M
=I a
与质点运动定律 F
= m a 对比
转动惯量
I
是刚体转动惯性的量度
与刚体的质量、形状、大小 及质量对转轴的分布情况有关
I
∑
质量连续分布的刚体用积分求 I
I I
的单位为
为体积元
处的密度
分立质点的算例
可视为分立质点结构的刚体
转轴
若连接两小球（视为质点） 的轻细硬杆的质量可以忽略， 则
∑
转轴
∑
0.75
质量连续分布的刚体 直棒算例
匀直细杆对中垂轴的 匀直细杆对端垂轴的
平行移轴定理
对质心轴的转动惯量 对新轴的转动惯量 新轴对质心轴的平移量 质心 例如： 代入可得 端
时
新轴
质心轴
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 匀质薄圆盘对心垂轴的 圆盘算例
取半径为 微宽为 的窄环带的质量为质元
I=?
1 3 2 2 I mR mR mR 2 2 2