数学课件第3章 1.1 导数与函数的单调性(第二课时)

因此，在已知函数f(x)是增函数(或减函数)的条件下求参数的取 值范围时，应令f′(x)≥0[或f′(x)≤0]恒成立，解出参数的取值范 围(一般可用不等式恒成立理论求解)，然后检验参数的取值能 否使f′(x)不恒为0，则由f′(x)≥0[或f′(x)≤0]恒成立解出的参数的 取值范围确定．
利用导数比较大小或解不等式
已知函数f(x)＝x3－ax－1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围； (2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在， 求出a的取值范围；若不存在，说明理由． [思路点拨]
求导 → 转化为不等式恒成立问题 → 求参数范围
解 ： (1) 由 已 知 得 f′(x) ＝ 3x2 － a ， 由 3x2 － a≥0 在 R 上 恒 成 立，即a≤3x2在R上恒成立，易知当a≤0时，f(x)＝x3－ax－1在 R上是增函数，∴a≤0.
4．已知函数是增函数(或减函数)，如何求参数的取值范围 f′(x)>0[或f′(x)<0]是函数递增(或递减)的充分条件，但这个 条件并不是必要的．如：y＝x3在实数集内是严格增函数，但 f′(0)＝0.在(a，b)内可导的函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充 要条件是f′(x)≥0[或f′(x)≤0]，在x∈(a，b)时恒成立，且f′(x)在 (a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区 间上的单调性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)＝0，甚至可 以在无穷多个点处f′(x0)＝0，只是这样的点不能充满所给区间 的任何一个子区间．
已知函数单调性，求参数的范围
已知函数单调性，求参数的范围，是一种非常重要的题 型．在某个区间上，f′(x)>0(f′(x)<0)，则f(x)在这个区间上是增 加(减少)的；但由f(x)在这个区间上是增加(减少)的仅仅得到 f′(x)>0(f′(x)<0)是不够的，即f′(x)≥0(f′(x)≤0)也有可能使得f(x) 在这个区间上是增加(减少)的．因此，对于是否可以取到等号 的问题需要单独验证．
已知函数 f(x)＝ x＋ln x，则有( )
A．f(2)<f(e)<f(3)
B．f(e)<f(2)<f(3)
C．f(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)<f(e)<f(2)
D．f(e)<f(3)<f(2)
[思路点拨] 利用导数研究函数单调性，利用单调性比较
大小．
解析：∵f(x)＝ x＋ln x，∴f′(x)＝21 x＋1x. ∵x>0，∴21 x>0，1x>0. ∴f′(x)>0. ∴f(x)在(0，＋∞)内递增． ∵2<e<3， ∴f(2)<f(e)<f(3)． 答案：A
第三章 导数应用
§1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性(第二课时)
学习目标
重点难点
1.进一步理解导数与函数单调性 1.重点：利用导数研究含
关系．
参数的函数．
2.会讨论参数函数单调性．
2.难点：含参数的函数讨
3.已知函数单调性会求参数范围. 论标准确定.
1．求可导函数单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数f(x)的定义域区间． (2)求f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出它在定义区间内的 一切实根． (3)把函数f(x)的间断点[即f(x)的无定义点]的横坐标和上面 的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间． (4)确定f′(x)在各个小开区间内的符号，由f′(x)的符号判定 函数f(x)在各个相应小开区间内的增减性．
1．f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足：f(x)的导函
数存在，且f′fxx<x，则下列不等式成立的是(
)
A．f(2)<2f(1)
B．3f(3)<4f(4)
C．2f(3)<3f(4)
D．3f(2)<2f(3)
解析：∵f(x)在(0，＋∞)上递增， ∴f′(x)>0 在(0，＋∞)上恒成立． ∵f′fxx<x，∴xf′(x)－f(x)>0. 设 g(x)＝fxx，则 g′(x)＝xf′xx2－fx>0. ∴g(x)在(0，＋∞)上递增． ∴g(3)>g(2)，即f33>f22.∴2f(3)>3f(2)． 答案：D
2．若函数 f(x)＝31x3－21ax2＋(a－1)x＋1 在区间(1,4)上为减
3．如何利用导数讨论函数的单调性 以前我们是根据函数单调性的定义、函数的图像以及复合 函数单调性的性质等研究函数的单调性，判断函数的单调区 间．现在我们学习了导数，就可以利用导数来讨论一般函数的 单调性，在利用导数研究函数的单调性时，我们往往应用以下 的 充 分 条 件 ： 设 函 数 f(x) 在 (a ， b) 内 可 导 ， 若 f′(x)>0[ 或 f′(x) <0]，则函数f(x)在区间(a，b)内为增函数(或减函数)．若函数在 区间[a，b]上连续，则单调区间可扩大为闭区间[a，b]上． 一般地，较为复杂的可导函数用导数来研究单调性较为方 便．
(2)存在．由题意知3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2. 当x∈(－1,1)时，0≤3x2<3.∴当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递 减．
【点评】 在f′(x)＝0的根有有限个的前提下： f(x)在(a，b)上是增加的⇔f′(x)≥0在(a，b)上恒成立； f(x)在(a，b)上是减少的⇔f′(x)≤0在(a，b)上恒成立．
2．利用导数判断函数单调性及单调区间应注意的问题 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的 定义域，在解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导 数的符号，来判断函数的单调区间． (2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零 的点外，还要注意在定义域内不连续和不可导点． (3)注意在某一区间内f′(x)>0[或f′(x)<0]是函数f(x)在该区间 上为增(或减)函数的充分条件．如f(x)＝x3是R上的可导函数， 也是R上的单调递增函数，但当x＝0时，f′(x)＝0.一般地，在判 断函数的单调性时，如果出现个别点使f′(x)＝0不影响包含该点 的某个区间上的单调性．