高教五版高数(经济类)二重积分的应用随堂讲义
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高教五版高数(经济类)定积分的概念与性质随堂讲义
极限为 0 !
2017年4月15日星期六
25
2.
设 f ( x) 在 [0 ， 1] 上连续且单调递减，试证对任何
a ( 0, 1) 有
证明：
a
0
f ( x)dx a f ( x)dx .
0
1 0
1
a 0
a 0
f ( x)dx a f ( x)dx
a 1 0 a a 1
f ( x)
2017年4月15日星期六 26
即
7. 设
a
b
f ( x ) dx f ( x ) dx
a
b
积分估值定 理
M max f ( x) , m min f ( x) , 则
[a , b] [a , b]
( a b)
2017年4月15日星期六
19
例3（补充题）试证:
证: 在区间[0,1]上单调递增，
利用积分估值定理，得
因此定理成立.
2017年4月15日星期六
21
说明:
• 积分中值定理对
y
• 可把
y f ( x)
理解为 f ( x ) 在 [ a, b] 上的平均值 . 因
o a
b x
故它是有限个数的平均值概念的推广.
2017年4月15日星期六
22
1. 定积分定义 —— 乘积和式的极限 2. 定积分的几何意义 3. 定积分存在的2个充分性条件 4. 定积分的7条基本性质
上可ห้องสมุดไป่ตู้ ,
因
在
a
于是
c
b
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,
[a , b]
高教五版高数(经济类)定积分的计算方法随堂讲义
令
n sin (2
2
0
t ) d t 2 cos n t d t
0 n2
则
u ( n 1) sin
2
2
x cos x ,
n2
v cos x
I n [ cos x sin
2017年4月15日星期六
n 1
x] 0 (n 1) sin 0
0
1
答案为:
2
5
例 11 设 f (5) 2 ， f ( x)dx 3 计算 xf ( x)dx .
0 0
5
答案为:
2017年4月15日星期六 12
7
例12 证明
n 1 n 3 3 1 , n 为偶数 n n2 4 2 2
n 为奇数 证: 令 则 t x , 2
所以有
2017年4月15日星期六
10
二、定积分的分部积分 法 1 定理2 设 u ( x) , v( x) C [a , b] , 则
b a
证:
[u ( x ) v ( x )] u ( x )v ( x ) u ( x )v( x )
两端在 [ a, b] 上积分 b b b u ( x) v( x) u ( x )v ( x ) dx u ( x )v( x ) dx a a a b b u ( x )v ( x ) u ( x ) v ( x ) dx a a
[ , ] 时， 定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
f ( x) d x ( 令 x (t ) )
高数讲义第二节二重积分的计算(一)
解：先画出积分区域 D ， 并确定 D 的类型
方法一：将 D 看做 Y 型区域
y x2
y x y2
(4 , 2)
2
y
x y2
0 1
x
(1 , 1)
1 y 2 , y2 x y2
x y d x d y
2 1
d
y
y2 y2
xy d x
D
x y d x d y
2 1
d
y
y2 y2
xy d x
D
1 2
x
2
1 0
y
(
d xd
x2
y
x4
)
1 2
dx
1 x2
0
1 2
(1 ( x3
3
x2)dx x5) 1
5
0
1 15
例 2 求 ( x2 y)dxdy，其中D是由抛物线
D
y x2和 x y2所围平面闭区域.
解：画积分区域 两曲线的交点
x y2
y x2
x
(0,0) y2
, (1,1),
· y M 2 y 2( x )
y
· M 2 y 2( x )
D
D
· M 1 y 1( x )
0a x b x
· M 1 y 1( x )
0 a x bx
类型 I （X 型）：D 由直线 x = a , x = b 与曲线
y 1( x ) 和 y 2( x ) 所围成，即
D { ( x, y ) | a x b, 1( x) y 2( x) }
dx
y
A(x)
0
a
z f ( x, y)
y 1( x )
方法一：将 D 看做 Y 型区域
y x2
y x y2
(4 , 2)
2
y
x y2
0 1
x
(1 , 1)
1 y 2 , y2 x y2
x y d x d y
2 1
d
y
y2 y2
xy d x
D
x y d x d y
2 1
d
y
y2 y2
xy d x
D
1 2
x
2
1 0
y
(
d xd
x2
y
x4
)
1 2
dx
1 x2
0
1 2
(1 ( x3
3
x2)dx x5) 1
5
0
1 15
例 2 求 ( x2 y)dxdy，其中D是由抛物线
D
y x2和 x y2所围平面闭区域.
解：画积分区域 两曲线的交点
x y2
y x2
x
(0,0) y2
, (1,1),
· y M 2 y 2( x )
y
· M 2 y 2( x )
D
D
· M 1 y 1( x )
0a x b x
· M 1 y 1( x )
0 a x bx
类型 I （X 型）：D 由直线 x = a , x = b 与曲线
y 1( x ) 和 y 2( x ) 所围成，即
D { ( x, y ) | a x b, 1( x) y 2( x) }
dx
y
A(x)
0
a
z f ( x, y)
y 1( x )
高教五版高数(经济类)02热力学一定律多学时随堂讲义
2017/4/15
36
例2-6（习题2-1）一汽车在1 h内消耗汽油34.1 L，已知汽油的发
热量为44000 kJ/kg，汽油密度为0.75 g/cm3。测得该车通过车轮输 出的功率为64 kW，试求汽车通过排气、水箱散热等各种途径所放 出的热量 解： 取汽车为系统 认为汽车作恒速运动，其外观能量变化可不予考虑；汽车主 要由金属构件组成，可认为运行中其热力学能不变 由热力学第一定律，汽车的能量平衡应为汽油所发出热量与汽 车输出功率及各种散热损失之间的平衡
Wnet
对于循环
δQ dU δW Q
dU 0
net
⑶ 能量转换关系分析
表达式改写为：(q u) = w 消失热能(q u)，产生过程功w 过程功是热变功的根源。热力过程中依靠工质热力状 态变化（膨胀）造成的热变功效应为(q u)
2017/4/15
第二章 热力学第一定律
First Law of Thermodynamics
第二章 热力学第一定律
First law of thermodynamics
2-1 热力学第一定律的实质 2-2 热力学能（内能）和总能
2-3 热力学第一定律基本表达式
2-4 闭口系基本能量方程式
2-5 开口系能量方程
§2.1 热力学第一定律的实质
§2.2 热力学能(U)和总能
⑴ 状态参数热力学能 Internal Energy（U）
物质内部拥有的能量统称为热力学能（内能） 分子平移运动、转动和振动的动能（内动能） 分子间因存在作用力而相应拥有的位能(内位能) U 维持一定分子结构的化学能、分子的结合能 电偶极子和磁偶极子的偶极矩能
原子核能（原子能） „„（电子的运动能量等） 通常情况下，热力学能仅包括内动能和内位能 U = Uk + Up 2017/4/15 25
高数二同济第五版9-4重积分应用
三重积分表示的是以Ω为底， z=f(x,y,z)为曲顶的曲顶柱体的体积。
02
重积分的计算方法
矩形区域上的重积分计算
矩形区域上的二重积分计算
将矩形区域划分为若干个小矩形，对每个小矩形上的函数值进行积分，再将所有小矩形的积分相加即可得到整个 矩形区域上的二重积分值。
矩形区域上的三重积分计算
将矩形区域划分为若干个小长方体，对每个小长方体上的函数值进行积分，再将所有小长方体的积分相加即可得 到整个矩形区域上的三重积分值。
在极坐标系下，重积分的计算公式为∫∫Df(x,y)ρ(x,y)dσ，其中D是积分区域，f(x,y)是 待求的函数，ρ(x,y)是极坐标系下的面积元素，dσ表示面积分。
极坐标系下重积分的应用
极坐标系下的重积分可以用于解决各种实际问题，如计算曲线的长度、曲面的面积、物 体的质量、重心等。通过将问题转化为极坐标系下的重积分，可以简化计算过程，提高
成本与收益分析
成本效益分析
成本效益分析是一种评估投资项目或决策的经济效益 的方法。通过比较项目的预期成本和预期收益，可以 确定项目的经济可行性。
机会成本
机会成本是指为了得到某种东西而放弃的其他最佳选择 所带来的收益。在经济学中，机会成本是一个重要的概 念，用于评估资源的有效利用和最大化经济效益。
供需关系分析
记号
二重积分常用符号表示为∫∫f(x,y)dxdy，三重积分常用符号表示为 ∫∫∫f(x,y,z)dxdydz。
重积分的性质
线性性质
对于任意常数a和b，,y)]dxdy=a*∫∫f(x,y)dxdy+b*∫∫g( x,y)dxdy。
积分区域的可加性
如果区域D被分成两个子区域D1和D2，则有 ∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(x,y)dxdy+∫∫f(x,y)dxdy。
02
重积分的计算方法
矩形区域上的重积分计算
矩形区域上的二重积分计算
将矩形区域划分为若干个小矩形，对每个小矩形上的函数值进行积分，再将所有小矩形的积分相加即可得到整个 矩形区域上的二重积分值。
矩形区域上的三重积分计算
将矩形区域划分为若干个小长方体，对每个小长方体上的函数值进行积分，再将所有小长方体的积分相加即可得 到整个矩形区域上的三重积分值。
在极坐标系下，重积分的计算公式为∫∫Df(x,y)ρ(x,y)dσ，其中D是积分区域，f(x,y)是 待求的函数，ρ(x,y)是极坐标系下的面积元素，dσ表示面积分。
极坐标系下重积分的应用
极坐标系下的重积分可以用于解决各种实际问题，如计算曲线的长度、曲面的面积、物 体的质量、重心等。通过将问题转化为极坐标系下的重积分，可以简化计算过程，提高
成本与收益分析
成本效益分析
成本效益分析是一种评估投资项目或决策的经济效益 的方法。通过比较项目的预期成本和预期收益，可以 确定项目的经济可行性。
机会成本
机会成本是指为了得到某种东西而放弃的其他最佳选择 所带来的收益。在经济学中，机会成本是一个重要的概 念，用于评估资源的有效利用和最大化经济效益。
供需关系分析
记号
二重积分常用符号表示为∫∫f(x,y)dxdy，三重积分常用符号表示为 ∫∫∫f(x,y,z)dxdydz。
重积分的性质
线性性质
对于任意常数a和b，,y)]dxdy=a*∫∫f(x,y)dxdy+b*∫∫g( x,y)dxdy。
积分区域的可加性
如果区域D被分成两个子区域D1和D2，则有 ∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(x,y)dxdy+∫∫f(x,y)dxdy。
高教五版高数经济类空间曲面及其方程多元函数随堂讲解.ppt
自由向量:
与起点无关的向量.
起点为原点的向量.
单位向量:
模为 1 的向量,
零向量:
模为 0 的向量,
有向线段 M1 M2 ,
或 a ,
*
*
规定: 零向量与任何向量平行 ;
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同,
则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反,
则称 a 与 b 平行,
平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示
• A x+B y+D = 0 表示
• C z + D = 0 表示
• A x + D =0 表示
• B y + D =0 表示
平行于 y 轴的平面;
平行于 z 轴的平面;
平行于 xoy 面 的平面;
平行于 yoz 面 的平面；
平行于 zox 面 的平面.
解:绕 x 轴旋转
绕 z 轴旋转
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
所成曲面方程为
所成曲面方程为
例9 求坐标面 xoz 上的双曲线
(旋转双叶双曲面）
(旋转单叶双曲面）
*
*
5、二次曲面
三元二次方程
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,
下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 .
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
(2) 双叶双曲面(Hyperboloid of Two Sheets)
（a、b、c 是正数）
*
*
内容小结
1. 空间曲面
三元方程
球面
旋转曲面
如, 曲线
与起点无关的向量.
起点为原点的向量.
单位向量:
模为 1 的向量,
零向量:
模为 0 的向量,
有向线段 M1 M2 ,
或 a ,
*
*
规定: 零向量与任何向量平行 ;
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同,
则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反,
则称 a 与 b 平行,
平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示
• A x+B y+D = 0 表示
• C z + D = 0 表示
• A x + D =0 表示
• B y + D =0 表示
平行于 y 轴的平面;
平行于 z 轴的平面;
平行于 xoy 面 的平面;
平行于 yoz 面 的平面；
平行于 zox 面 的平面.
解:绕 x 轴旋转
绕 z 轴旋转
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
所成曲面方程为
所成曲面方程为
例9 求坐标面 xoz 上的双曲线
(旋转双叶双曲面）
(旋转单叶双曲面）
*
*
5、二次曲面
三元二次方程
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,
下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 .
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
(2) 双叶双曲面(Hyperboloid of Two Sheets)
（a、b、c 是正数）
*
*
内容小结
1. 空间曲面
三元方程
球面
旋转曲面
如, 曲线
二重积分几何的应用课件
VS
详细描述
二重积分在计算平面图形面积时，可以将 平面分成很多小的矩形或三角形，然后对 每个小区域进行积分，最后将这些积分结 果相加，得到整个图形的面积。这种方法 可以用于计算各种复杂图形的面积，如多 边形、曲线和曲面的面积。
计算立体的体积
总结词
二重积分可以用于计算立体的体积，通过将 立体分成许多小的长方体或四面体，然后对 每个小体积进行积分，最后求和得到总体积。
详细描述
二重积分在计算立体体积时，可以将立体分 成很多小的长方体或四面体，然后对每个小 体积进行积分，最后将这些积分结果相加， 得到整个立体的体积。这种方法可以用于计 算各种立体的体积，如圆柱体、圆锥体和球 体的体积。
计算平面曲线的长度
总结词
二重积分可以用于计算平面曲线的长度，通 过将曲线分成许多小的线段，然后对每个小 线段进行积分，最后求和得到总长度。
计算地球质量分布
通过对地球表面各点的重力加速度进行测量，结合地球半径和地球质量等参数，通过二 重积分可以反推出地球内部的质量分布情况。
计算物体的质心和转动惯量
计算质心
物体的质心是物体质量的几何中心。通过将物体的质量 分布进行二重积分，可以得到物体的质心位置。
计算转动惯量
转动惯量是描述物体转动惯性大小的物理量。通过将物 体的质量分布进行二重积分，可以得到物体的转动惯量。
计算效用函数的期望效用
总结词
效用函数是用来衡量投资者对不同收益和风险的偏好程度，通过二重积分可以计算不同投资组合的期望效用。
详细描述
效用函数是用来衡量投资者对不同收益和风险的偏好程度，它反映了投资者对风险的态度和承受能力。二重积分 可以用来计算不同投资组合的期望效用，即投资者在选择不同的投资组合时，预期能够获得的效用水平。通过二 重积分，可以将不同投资组合的概率分布和效用函数结合起来，得到期望效用的数值。
高教五版高数(经济类)热力学复习大纲(新教材)随堂讲义
答：因为理想气体的热力学能和焓为温度的单值函数，只 要温度变化相同，不论经历任何过程其热力学能和焓的变 化都会相同，因此，所给第一组公式对理想气体的任何过 程都是适用的；但是第二组公式是分别由热力学第一定律 的第一和第二表达式在可逆定容和定压条件下导出，因而 仅分别适用于可逆的定容或定压过程。就该组中的两个公 式的前一段而言适用于任何工质，但对两公式后一段所表 达的关系而言则仅适用于理想气体。
状态的判断、喷管形状的确定，出口流速和流 量的确定）
绝热节流
– 理想气体和实际气体的节流过程有什么区别。
– 绝热节流的特征（不可逆、节流过程前后，气 体的参数变化）
– 节流的几种功能
第十章 气体动力循环
概念：
– 各种循环的构成； – P-v图和T-s图； – 提高循环热效率的基本方法，回热的基本思路
答：可以。熵是状态参数，只要初、终 状态相同，不论经历何种过程工质的熵 变应相同，因此以上4式对理想气体的任 何过程都适用。
第4章 对于理想气体的任何一种过程,下列两组公式是否都适用：
u cv (t2 t1) h cp (t2 t1)
q u cv (t2 t1 ) q h cp (t2 t1 )
损失） –特别注意非理想气体的熵变计算问题，例如习题5-15
、5-16、 5-17
可用能（火用）：
–热流火用、热力学火用、物流火用和焓火用的计算。
特别注意几点：
– 遇到判断过程的方向性、过程的可逆与否、 过程（循环）的可能性、参数的可能性等等 都用热力学第二定律的表达式来判断。
– 遇到求可用能损失，就求孤立系熵增或过程 熵产，然后乘上环境温度。
蒸气制冷循环（图、分析）
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3 2 2 R
2017年4月15日星期六
3
例 2 求球面 x2 y 2 z 2 R2 与圆柱面 x2 y 2 Rx 所围成的体积.
解
z
x2 y 2 z 2 R2
y
o
R
x 2 y 2 Rx
x
2017年4月15日星期六
4
因所求立体是对称的，所以只画出第一卦限的部分，且
V 8 R d d 8 d
2 2 D
π 2 0
R
0
R2 2 d
π 1 R 2 2 2 2 8 R d( R ) 0 2 2 2 2 4 3 2 π ( R ) πR . 3 0 3
2 2
11
3 V h (t ) , 4
由题意知
13 2 S h (t ) 12
dV 0 .9 S dt
令
h(t ) 0 , 得 t 100 (小时)
因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100
小时.
2017年4月15日星期六
12
5
二、利用二重积分计算曲面面积
设曲面 S 的方程 z f ( x, y) ，它在 xoy 平面上的 投影区域为 Dxy ， 若函数 z f ( x, y) 在区域 Dxy 上有一 阶连续偏导数，可以证明，曲面 S 的面积为
A
Dxy
2 2 1 [ f x ( x, y)] [ f y ( x, y)] dxdy.
d z
Dz
d xd y
o x
y
S
D0
2 D0 : x 2 y 2 1 h (t ) 2
16 ( x 2 y 2 ) d xd 1 2 h (t )
h (t ) 2
y
(用极坐标)
2 h(t ) 0
2017年4月15日星期六
13 2 h (t ) h (t ) 16 r rd r 12
例1
解
计算球体 x2 y 2 z 2 R2 的体积.
z
z R2 x2 y 2
R
x
2017年4月15日星期六
o
x2 y 2 R2
y
2
由对称性可知， 只要求出第一卦限内部分的体积乘以 8， 即得 球体的体积. 这里曲顶的方程为 z R 2 x 2 y 2 ， 区域 D {( x, y) | x2 y 2 R2 , x 0, y 0} ，所以 1 V R 2 x 2 y 2 d . 8 D 利用极坐标，得
第六章
第六节 二重积分的应用
(Application of Multiple Integrals)
一、利用二重积分计算体积 二、利用二重积分计算曲面面积
五、小结与思考练习
ห้องสมุดไป่ตู้
2017年4月15日星期六
1
一、利用二重积分计算体积
二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积. 因此， 利用二重积分可以计算曲面所围成的体积 .
Dxz ，类似地有
2 2 A 1 [ g ( y , z )] [ g ( y , z )] dydz. y z Dyz
或
( z, x)]2 [hz ( z, x)]2 dzdx. A 1 [hx
Dxz
2017年4月15日星期六
8
内容小 结
利用二重积分计算体积 利用二重积分计算曲面面积
2017年4月15日星期六
6
例3
求抛物面 z x 2 y 2 在平面 z 1 下方的面积.
z 1 下方的抛物面在 xoy 面的投影区域
Dxy {( x, y) | x2 y2 1}
解
2 2 2 2 2 x , z 2 y , 1 ( z ) ( z ) 1 4 x 4 y 又 z ， x y x y
1 V R 2 x 2 y 2 d 4 D
Rx x 2 , y 0 所围区域 . 采用极 π 坐标， D : 0 R cos , 0 .故 π 2 R cos 2 2 V 4 2 d R d
0 0
其中 D 是 y
2 d
π 2 0
R cos
0
R2 2 d 2 R2
3 2 2 R cos
2 2 2 ( R ) 3 0
π 2 0
d
4 3 π 4 3 π 2 3 2 R (1 sin )d R ( ). 0 3日星期六 3 2 3 2017年4月15
课外练习
习题6－6
2017年4月15日星期六
9
思考练 习
设有一高度为
侧面满足方程 时间单位为小时, (比例系数 0.9 ),
h(t ) ( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其
2( x 2 y 2 ) 设长度单位为厘米, z h(t ) , h(t )
已知体积减少的速率与侧面积成正比 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要
多少小时? (2001考研)
2017年4月15日星期六
10
提示:
记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则
2 Dz : x 2 y 2 [ 1 h (t ) h (t ) z ] 2
z
V
0
h (t )
h (t ) 1 3 2 h ( t ) [ h ( t ) h ( t ) z ] d z 2 0 4
利用极坐标计算可得
A 1 4 x 2 4 y 2 dxdy
Dxy
D*xy
1 4 2 d d
2π
0
π d (1 4 ) d (5 5 1). 0 6
1
1 2 2
2017年4月15日星期六
7
如果曲面方程为 x g ( y, z) 或 y h( x, z ) ， 则可以 把曲面投影到 yoz 或 xoz 平面上， 其投影区域为 Dyz 或
2017年4月15日星期六
3
例 2 求球面 x2 y 2 z 2 R2 与圆柱面 x2 y 2 Rx 所围成的体积.
解
z
x2 y 2 z 2 R2
y
o
R
x 2 y 2 Rx
x
2017年4月15日星期六
4
因所求立体是对称的，所以只画出第一卦限的部分，且
V 8 R d d 8 d
2 2 D
π 2 0
R
0
R2 2 d
π 1 R 2 2 2 2 8 R d( R ) 0 2 2 2 2 4 3 2 π ( R ) πR . 3 0 3
2 2
11
3 V h (t ) , 4
由题意知
13 2 S h (t ) 12
dV 0 .9 S dt
令
h(t ) 0 , 得 t 100 (小时)
因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100
小时.
2017年4月15日星期六
12
5
二、利用二重积分计算曲面面积
设曲面 S 的方程 z f ( x, y) ，它在 xoy 平面上的 投影区域为 Dxy ， 若函数 z f ( x, y) 在区域 Dxy 上有一 阶连续偏导数，可以证明，曲面 S 的面积为
A
Dxy
2 2 1 [ f x ( x, y)] [ f y ( x, y)] dxdy.
d z
Dz
d xd y
o x
y
S
D0
2 D0 : x 2 y 2 1 h (t ) 2
16 ( x 2 y 2 ) d xd 1 2 h (t )
h (t ) 2
y
(用极坐标)
2 h(t ) 0
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13 2 h (t ) h (t ) 16 r rd r 12
例1
解
计算球体 x2 y 2 z 2 R2 的体积.
z
z R2 x2 y 2
R
x
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o
x2 y 2 R2
y
2
由对称性可知， 只要求出第一卦限内部分的体积乘以 8， 即得 球体的体积. 这里曲顶的方程为 z R 2 x 2 y 2 ， 区域 D {( x, y) | x2 y 2 R2 , x 0, y 0} ，所以 1 V R 2 x 2 y 2 d . 8 D 利用极坐标，得
第六章
第六节 二重积分的应用
(Application of Multiple Integrals)
一、利用二重积分计算体积 二、利用二重积分计算曲面面积
五、小结与思考练习
ห้องสมุดไป่ตู้
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一、利用二重积分计算体积
二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积. 因此， 利用二重积分可以计算曲面所围成的体积 .
Dxz ，类似地有
2 2 A 1 [ g ( y , z )] [ g ( y , z )] dydz. y z Dyz
或
( z, x)]2 [hz ( z, x)]2 dzdx. A 1 [hx
Dxz
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内容小 结
利用二重积分计算体积 利用二重积分计算曲面面积
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例3
求抛物面 z x 2 y 2 在平面 z 1 下方的面积.
z 1 下方的抛物面在 xoy 面的投影区域
Dxy {( x, y) | x2 y2 1}
解
2 2 2 2 2 x , z 2 y , 1 ( z ) ( z ) 1 4 x 4 y 又 z ， x y x y
1 V R 2 x 2 y 2 d 4 D
Rx x 2 , y 0 所围区域 . 采用极 π 坐标， D : 0 R cos , 0 .故 π 2 R cos 2 2 V 4 2 d R d
0 0
其中 D 是 y
2 d
π 2 0
R cos
0
R2 2 d 2 R2
3 2 2 R cos
2 2 2 ( R ) 3 0
π 2 0
d
4 3 π 4 3 π 2 3 2 R (1 sin )d R ( ). 0 3日星期六 3 2 3 2017年4月15
课外练习
习题6－6
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思考练 习
设有一高度为
侧面满足方程 时间单位为小时, (比例系数 0.9 ),
h(t ) ( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其
2( x 2 y 2 ) 设长度单位为厘米, z h(t ) , h(t )
已知体积减少的速率与侧面积成正比 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要
多少小时? (2001考研)
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提示:
记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则
2 Dz : x 2 y 2 [ 1 h (t ) h (t ) z ] 2
z
V
0
h (t )
h (t ) 1 3 2 h ( t ) [ h ( t ) h ( t ) z ] d z 2 0 4
利用极坐标计算可得
A 1 4 x 2 4 y 2 dxdy
Dxy
D*xy
1 4 2 d d
2π
0
π d (1 4 ) d (5 5 1). 0 6
1
1 2 2
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如果曲面方程为 x g ( y, z) 或 y h( x, z ) ， 则可以 把曲面投影到 yoz 或 xoz 平面上， 其投影区域为 Dyz 或