2018高考(江苏专版)大一轮(文)复习检测：第22课 同角三角函数间基本关系式
江苏2018高三数学一轮复习 三角函数与解三角形
第1讲弧度制与任意角的三角函数考试要求 1.任意角的概念，弧度制的概念，弧度与角度的互化，A级要求；2.任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，B级要求．知识梳理1．角的概念的推广(1)(2)象限．(3)2(1)(2)公式3.续表1(1)(2)(3)(4)若α(5)解析(1)锐角的取值范围是.(2)第一象限角不一定是锐角．(3)顺时针旋转得到的角是负角．(5)终边相同的角不一定相等．答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2．若角α与角的终边相同，则在[0,2π]内终边与角终边相同的角是________．解析由题意知，α＝2kπ＋，k∈Z，∴＝＋，k∈Z，又∈[0,2π]，∴k＝0，α＝；k＝1，α＝；k＝2，α＝；k＝3，α＝.答案，，，3．(必修解析由y轴的负答案三4解析∴x＝－4∴cosα答案－5．(必修答案考点一【例1】(1)若角α是第二象限角，则是第________象限角．(2)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．解析(1)∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．(2)如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0,2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－π，－π，故满足条件的角α构成的集合为.答案(2)确定kα【训练1①M＝N(2)解析N＝＝{法二由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M?N.(2)当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样．答案(1)②(2)③考点二弧度制及其应用【例2】已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角；(3)解(1)α(2)(3)所以S＝此时l＝规律方法(1)(2)(3)【训练2(1)若α＝90°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解(1)设弧长为l，弓形面积为S，则弓α＝90°＝，R＝10，l＝×10＝5π(cm)，S弓＝S扇－S△＝×5π×10－×102＝25π－50(cm2)．(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，＝α·R2＝α·2∴S扇＝·＝·≤.当且仅当考点三【例3】________.．(3)若sin解析(2)∵r∴cosα∴m>0即m＝.(3)由sin，tanα异号，从而答案(1)－(2)(3)三规律方法(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.(2)根据三角函数定义中x，y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．(3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围．【训练3】(1)(2017·无锡期末)已知角α的终边与单位圆的交点P，则sinα·tanα＝________.(2)满足cosα≤－的角α的集合为________．解析(1)由|OP|2＝＋y2＝1，得y2当y此时，当y此时，(2)连接OCα的集合为答案[1|OP|＝r2余弦．3．在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．[易错防范]1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．基础巩固题组(建议用时：30分钟)1解析－400°答案 32解析答案二3．解析答案 34.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．解析在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，所以，所求角的集合为(k∈Z)．答案(k∈Z)5．设P是角α终边上一点，且|OP|＝1，若点P关于原点的对称点为Q，则Q点的坐标是________．解析由已知P(cosα，sinα)，则Q(－cosα，－sinα)．答案(－cosα，－sinα)6．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________．解析设扇形半径为r，弧长为l，则解得答案7．点P．解析答案8．设θ解析由∵＝－答案二9．解析答案10cos2θ＝________.解析由题意知，tanθ＝2，即sinθ＝2cosθ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝1中可得cos2θ＝，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－.答案－11．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是________．解析举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin＝sin，但与的终边不相同，故④错；当答案 112．a的解析∵ 3.答案(13N，以ON解析答案 114．(2017·泰州模拟)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝________. 解析因为α是第二象限角，所以cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，所以tanα＝＝－.答案－15．函数y＝的定义域为________．解析∵2sin x－1≥0，∴sin x≥.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴x∈(k答案(k16.P的位置在(0,0)解析为垂足．根据题意得劣弧＝故∠DCP|CQ|＝所以P(2－sin2,1答案(2考试要求α，－α的正弦、余弦的诱导公式，B级要求.知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tanα.2．三角函数的诱导公式1(1)sin(π(2)(3)(4)若解析(4)当k当k为偶数时，sinα＝－.答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．sin600°的值为________．解析sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－. 答案－3．(2017·苏北四市摸底)已知sin＝，那么cosα＝________.解析∵sin＝sin＝cosα，∴cosα＝.答案4．(2017·南通调研)已知sinθ＋cosθ＝，θ∈，则sinθ－cosθ＝________.解析∵sinθ＋cosθ＝，∴sinθcosθ＝.又∵(sinθ∴sinθ－又∵θ答案－5．(必修解析答案 3考点一【例1】．解析(2)∵<α<，∴cosα<0，sinα<0且cosα>sinα，∴cosα－sinα>0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，∴cosα－sinα＝.(3)tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝＝＝.答案(1)－(2)(3)规律方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)(sinα±cos(3)【训练1解析得：2cos即2＝0又α∈(0(2)3sinα＝＝.答案考点二诱导公式的应用【例2】(1)化简：sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)；(2)求值：设f(α)＝(1＋2sinα≠0)，求f的值．解(1)原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°sin1050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝×＋×＝1.(2)∵f(α)＝＝＝＝，∴f规律方法(2)含2π【训练2(2)解析k(2)原式＝＝＝＝－1.答案(1){2，－2}(2)－1考点三诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用【例3】(1)已知tan＝，则tan＝________.(2)(2017·南京、盐城模拟)已知cos＝，且－π<α<－，则cos＝________. 解析(1)∵＋＝π，∴tan＝tan＝－tan＝－.(2)因为＋＝，所以cos因为－又cos＝所以sin＝－＝－答案规律方法(2)【训练3(2)解析∴cos＝(2)由f(x＋π)＝f(x)＋sin x，得f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，所以f＝f＝f＝f＝f＋sinπ.因为当0≤x<π时，f(x)＝0.所以f＝0＋＝.答案(1)(2)[思想方法]1．同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函2公式tan(2)和积转换法：2θ＋cos2θ＝cos2θ(1[1负—脱周23(建议用时：30分钟)1．(2016·四川卷)sin750°＝________.解析sin750°＝sin(720°＋30°)＝sin30°＝.答案2．(2017·镇江期末)已知α是第四象限角，sinα＝－，则tanα＝________.解析因为α是第四象限角，sinα＝－，所以cosα＝＝，故tanα＝＝－.答案－3．已知tanα＝，且α∈，则sinα＝________.解析∵∴sin2α∴sinα答案－4.＝解析＝＝＝|sin2答案5．解析∴tan＝答案－6．(2017·扬州中学质检)向量a＝，b＝(cosα，1)，且a∥b，则cos＝________. 解析∵a＝，b＝(cosα，1)，且a∥b，∴×1－tanαcosα＝0，∴sinα＝，∴cos＝－sinα＝－.答案－7．(2017·广州二测改编)cos＝，则sin＝________.解析sin＝sin＝cos＝.答案8．(2017·泰州模拟)已知tanα＝3，则的值是________．解析原式＝答案 29．已知解析答案－10．已知解析答案－11解析答案 112．．解析∵f(4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sinα＋b cosβ＝3，∴f(2017)＝a sin(2017π＋α)＋b cos(2017π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sinα－b cosβ＝－3.答案－3能力提升题组(建议用时：15分钟) 13．已知解析∵∴－sinθ∴tanθ答案14．若解析又2＝1＋∴＝1又Δ＝4答案115．解析sin＋sin2＝sin＋sin2＝－sin＋cos2＝－sin＋1－sin2＝.答案16．已知cos＝a，则cos＋sin＝________.解析∵cos＝cos ＝－cos＝－a.sin＝sin＝cos＝a，∴cos＋sin＝0.答案01(1)由sin(2)(3)(4)已知y(5)y＝sin|解析(2)(3)数．(4)当k>0答案2．(必修4P33例4改编)函数y＝2tan的定义域为________．解析∵x－≠kπ＋，k∈Z，∴x≠kπ＋，k∈Z，即函数的定义域为.答案3．(2017·苏州一模)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝.答案4．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．解析由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.答案－5．．解析当x＝时，2cosπ＝1所以ω＝答案考点一【例1】(2)(3)函数f解析即x≠＋(2)由＋2cos x≥0，得cos x≥－，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x≥－的解集为，故原不等式的解集为.(3)由题意，得由①得－8≤x≤8，由②得sin x>，由正弦曲线得＋2kπ<x<π＋2kπ(k∈Z)．所以不等式组的解集为∪∪.答案(1)(2)(3)∪∪规律方法(2)【训练1(2)函数y解析∴y＝(2)法一要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．所以定义域为.法三≤x－≤π＋2kπ(k解得2kπ答案(2)考点二【例2】(3)函数y解析－2sin x(2)由f(x)＝cos2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，所以当sin x＝1时函数的最大值为5.(3)设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x cos x，sin x cos x＝，且－≤t≤.∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.当t＝1时，y max＝1；当t＝－时，y min＝－－.∴函数的值域为.答案(1)(－2,1](2)5(3)规律方法(1)形如y(2)形如y最值)；(3)形如y值域(【训练2(0≤x≤(2)函数y解析所以sin所以y∈(2)y max此时，x－＝2kπ＋π，即x＝4kπ＋(k∈Z)．答案(1)2－(2)3考点三三角函数的性质(多维探究)命题角度一三角函数的奇偶性与周期性【例3－1】(1)(2017·常州期末)函数y＝2cos2－1的最小正周期为________的________函数(填“奇”或“偶”)．(2)(2017·衡水中学金卷)设函数f(x)＝sin－cos的图象关于y轴对称，则θ＝________.解析(1)y＝2cos2－1＝cos2＝cos＝cos＝(2)f(x)＝2sin|θ|<，∴k ＝－1答案规律方法①f(x)②f(x)(2)函数y T＝.【例3－(2)若f(x)＝2sinωx＋1(ω>0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．解析(1)由已知可得函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．(2)法一由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，得f(x)的增区间是(k∈Z)．因为f(x)在上是增函数，所以?.所以－≥－且≤，所以ω∈.法二所以ωx又f(x)所以?，则又ω得0<ω法三得0<ω≤. 答案y＝A sin(ωx注意要先把ω命题角度三三角函数的对称轴或对称中心【例3－3】(1)(2017·苏、锡、常、镇四市调研)若函数f(x)＝2sin(4x＋φ)(φ<0)的图象关于直线x＝对称，则φ的最大值为________．(2)(2016·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为________．解析(1)由题可得，4×＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，∵φ<0，∴φmax＝－.(2)因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋kT，即＝T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值为9.答案(1)－(2)9规律方法(1)对于可化为f(x)＝A sin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．(2)∈Z)，求x【训练3＝______.(2)已知解析sin2x(2)函数y则(k∈Z)解得4k又由4k得k＝1答案[思想方法]1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．2．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．3．数形结合是本讲的重要数学思想．[易错防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆．1填序号)．解析①③y＝cos④y＝tan答案2．解析当y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)．答案(k∈Z)3．(2017·南通、扬州、泰州、淮安调研)设函数y＝sin(0<x<π)，当且仅当x＝时，y取得最大值，则正数ω的值为________．解析由题意可得ω＋＝＋2kπ，k∈Z且π≤，解得ω＝2.答案 24．(2017·徐州检测)函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为________．解析y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x＝－sin2x－2sin x＋1，令t＝sin x，则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以ymax答案25．解析∵由2kπ－解得2kπ又x答案6．解析答案7．(2017·银川模拟)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，给出以下结论：①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)是偶函数；③函数f(x)的图象关于直线x＝对称；④函数f(x)在区间上是增函数．其中正确的是________(填序号)．解析f(x)＝sin＝－cos2x，故其最小正周期为π，故①正确；易知函数f(x)是偶函数，②正确；由函数f(x)＝－cos2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，③错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在上是增函数，④正确．答案①②④8．解析为函数f(法二答案9．(1)求f(x)(2)求f(x)解(1)所以函数(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.当x∈时，2x＋∈，由正弦函数y＝sin x在上的图象知，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.10．(2016·天津卷)已知函数f(x)＝4tan x sin·cos－.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．解(1)f(f(x)＝＝4sin x＝4sin x＝2sin x＝sin2x＝sin2x所以f(x)(2)得－＋kπ由＋2kπ得＋kπ≤所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．能力提升题组(建议用时：20分钟)11．(2016·江苏卷)定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________．解析在区间[0,3π]上分别作出y＝sin2x和y＝cos x的简图如下：由图象可得两图象有7个交点．答案712．若函数f(x)＝4sin5ax－4cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则实数a的值为________解析答案±13．．解析f(∵f＝f∴T＝>答案14．(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．解f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝a sin＋a＋b.(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.(ⅰ)当a(ⅱ)当a考试要求A1．““五点法骤为：(1)(2)的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象．2．函数y＝A sin(ωx＋φ)中各量的物理意义当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：3.函数1(1)(2))(3)函数y.()(4)的．(解析(2)“ω≠1答案2．(必修4P40练习5改编)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为________．答案2，，－3．(2016·全国Ⅰ卷改编)若将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为________．解析函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位，所得函数为y＝2sin＝2sin.答案y＝2sin4．(2017·南京、盐城模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且它的图象过点，则φ的值为________．解析由题意可得T＝＝π，解得ω＝2，则f(x)＝2sin(2x＋φ)．又f＝2sin＝－，解得φ＝－.答案－5，ω＞0,0＜φ＜π)解析6，所以ω＝b＝(30＋∴y＝答案y考点一【例1】(1)(2)解f(x)＝sinωx＋cosωx＝2＝2sin，又∵T＝π，∴＝π，即ω＝2，∴f(x)＝2sin.(1)令z＝2x＋，则y＝2sin＝2sin z.列表，并描点画出图象：(2)法一把y＝sin x y＝sin的图象上法二将的图象；再将y＝规律方法(1)＋φ，由z取0(2)“先平移后伸缩【训练1(1)求ω(2)解(1)∵T＝＝π，ω＝2，又f＝cos＝，∴sinφ＝－，又－＜φ＜0，∴φ＝－.(2)由(1)得f(x)＝cos，列表：描点画出图象(如图)考点二由图象求函数y＝A sin(ωx＋φ)的解析式【例2】的图象，若f(x)，(2)函数f________．解析)＝sin[2(x －φ)＋θ]所以sinθ所以θ即φ＝.(2)法一所以T＝因此f(x)又对应五点法作图中的第三个点，因此2×＋φ＝π，所以φ＝，故f(x)＝sin.法二以为第二个“零点”，为最小值点，列方程组解得故f(x)＝sin.答案(1)(2)f(x)＝sin规律方法已知f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，【训练2的解析式为解析答案f(考点三【例3】10－cos t－sin t，t(1)(2)解(1)＝10－2sin，又0≤t<24，所以≤t＋<，当t＝2时，sin＝1；当t＝14时，sin＝－1.于是f(t)在[0,24)上取得最大值12℃，取得最小值8℃.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温，由(1)得f(t)＝10－2sin，故有10－2sin>11，即sin<－.又0≤t在10规律方法【训练3上一点A(1)(2)解(1)设点A设∠OO1y＝－又θ＝×t，即θ＝t，所以y＝－2cos t＋2，h＝f(t)＝－2cos t＋2.5.(2)函数h＝－2cos t＋2.5(0≤t≤12)的大致图象如下．[思想方法]1．五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．2．由图象确定函数解析式破口，殊点．[1x前面的23y＝A sin t1．(2016·全国Ⅱ卷改编)若将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为________．解析由题意将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin，由2x ＋＝kπ＋得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)．答案x＝＋(k∈Z)2．(2017·衡水中学金卷)若函数y＝sin(ωx－φ)(ω>0，|φ|<)在区间上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．解析由题图可知，T＝2＝π，所以ω＝＝2，又sin＝0，所以－φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－kπ(k∈Z)，而|φ|<，所以φ＝.答案2，3．(2017·苏北四市调研)如图，已知A，B分别是函数f(x)＝sinωx(ω>0)在y轴右侧图象上的第一个解析答案 44．φ)(0<φ<π)φ＝解析＝sin的图<π，则φ＝.答案5．f(0)的值为解析f(x)＝3sin的一个下降零点，所以×3＋φ＝(2k＋1)π(k∈Z)，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝，所以f(x)＝3sin，则f(0)＝3sin＝.答案6．(2017·龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋A cos(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的平均气温为________℃.解析因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，所以y＝f(x)＝23＋5cos，所以当x＝10时，f(10)＝23＋5cos＝23－5×＝20.5.答案7f(x)解析即f(x)＝故f(2)＝又－≤φ解得φ答案f(8．函数解析f(x)有5个零点．答案 5二、解答题9．已知函数f(x)＝sinωx＋cos，其中x∈R，ω＞0.(1)当ω＝1时，求f的值；(2)当f(x)的最小正周期为π时，求f(x)在上取得最大值时x的值．解(1)当ω＝1时，f＝sin＋cos＝＋0＝.(2)f(x)＝sinωx＋cos＝sinωx＋cosωx－sinωx＝sinωx∵＝π由x∴当2x10．(1)求f(2)解(1) 2. 又f(x)所以φ则f＝sin(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，所以g(x)＝f＝sin＝sin.当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．能力提升题组(建议用时：20分钟)11．①f(x)②f(x)③f(x)④把f(x)解析f＝sinf＝sin＝12x把f(x)答案③12．(2017·泰州一模)已知函数f(x)＝2sinωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．解析当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，由题意知－ω≤－，即ω≥；当ω<0时，ω≤ωx≤－ω，由题意知ω≤－，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪.答案(－∞，－2]∪13．(2015·湖南卷)已知ω>0，在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.解析由得sinωx＝cosωx，∴tanωx＝1，ωx＝kπ＋(k∈Z)．∵ω>0且(x1，y1∴(x2－x1∴2＋(2)2答案14．π.(1)求ω(2)x0的值．解(1)得cosφ＝，∵0≤φ≤，∴φ＝.∵最小正周期T＝π，且ω>0，∴ω＝＝2.(2)由(1)知y＝2cos.∵A，Q(x0，y0)是P A中点，y0＝，∴P.又∵点P在y＝2cos的图象上，∴2cos＝，∴cos＝－.∵x0∈，∴4x0＋∈，∴4x0＋＝2π＋π－或4x0＋＝2π＋π＋，∴x余弦、C级要求．1sin(α±cos(α?tan(α±2sin2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝.注意：①在二倍角的正切公式中，角α是有限制条件的，即α≠kπ＋，且α≠＋(k∈Z)．②“倍角”的意义是相对的，如4α是2α的二倍角，α是的二倍角．3．有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)．(2)cos2α＝，sin2α＝.(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝sin.4．函数f(α)＝a sinα＋b cosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).1(1)(2)(3)公式＝tan(α(4)解析答案2．解析答案3．(2015·江苏卷)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ的值为________．解析∵tanα＝－2，∴tan(α＋β)＝＝＝，解得tanβ＝3.答案 34．(2017·广州调研)已知sinα＋cosα＝，则sin2＝________.解析由sinα＋cosα＝两边平方得1＋sin2α＝，解得sin2α＝－，所以sin2＝＝＝＝.答案5．(必修4P109习题4改编)sin347°cos148°＋sin77°·cos58°＝________.解析sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝＝(－＝sin58°＝答案考点一【例1】解析＝＝.因为0<α答案规律方法三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等．【训练1】(1)＋2的化简结果是________．(2)化简：＝________.。
(完整word版)同角三角函数的基本关系-知识点与题型归纳汇总(良心出品必属精品)
1●高考明方向1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sinαcosα＝tanα. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．★备考知考情同角关系式和诱导公式中的π±α，π2±α是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题，主要是诱导公式在三角式求值、化简的过程中与同角三角函数的关系式、2 和差角公式及倍角公式的综合应用，一般不单独命题，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法.一、知识梳理《名师一号》P47知识点一 同角三角函数的基本关系平方关系：;1cos sin 22=+αα商数关系：sin tan cos =ααα注意：《名师一号》P50 问题探究 问题1在利用同角三角函数的基本关系中应注意哪些技巧？利用同角三角函数基本关系式化简求值时， 涉及两个同角基本关系sin 2α＋cos 2α＝1和tanα＝sinαcosα，它们揭示同一角α的各三角函数间的关系，需要在复习中通过解题、理解、掌握．尤其是利用sin2α＋cos2α＝1及变形形式sin2α＝1－cos2α或cos2α＝1－sin2α进行开方运算时，要注意符号判断．知识点二诱导公式记忆口诀:奇变偶不变，符号看象限!注意：《名师一号》P50 问题探究问题2诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有34 关？无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α分别是第一、三、四，二、一、二象限角．二、例题分析：（一) 求值例1．(1)《名师一号》P50 对点自测 4 （09全国卷Ⅰ文）o 585sin 的值为(A) 2-(B)2(C)2-2答案：A例1．(补充)（2）17cos 3⎛⎫-π ⎪⎝⎭的值为5 答案：12例1．(补充)（3）()tan 1665︒-的值为答案：1-注意：(补充)求任意角的三角函数值：负化正→正化主[)0,2π→主化锐例1.(4)《名师一号》P51 高频考点 例2(1)(2014·安徽卷)设函数f(x)(x ∈R)满足f(x ＋π)＝f(x)＋sinx.当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－126解:(1)由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.练习:(补充)（2009重庆卷文）下列关系式中正确的是（ ）A ．000sin11cos10sin168<<B ．000sin168sin11cos10<<C ．000sin11sin168cos10<<D ．000sin168cos10sin11<<7【答案】Csin168sin(18012)sin12,cos10cos(9080)sin80︒︒︒︒︒︒︒︒=-==-=由于正弦函数sin y x =在区间[0,90]︒︒上为递增函数，因此sin11sin12sin80︒︒︒<<，即sin11sin168cos10︒︒︒<<。
2018高考江苏专版大一轮数学文复习课件：第四章 三角
知识梳理
1. 同角三角函数间的基本关系式
sin2α＋cos2α＝1 (1) 平方关系：_________________.
sin α tan α＝cos α (2) 商数关系：_____________.
2. 三个注意 (1) 同角三角函数间的基本关系式的前提是“同角”； sin α (2) tanα＝cos α是条件等式，即它们成立的前提是表达式 有意义； (3) 利用平方关系时， 往往要开方， 因此要先根据角所在 的象限确定符号，即要就角所在的象限进行分类讨论．
课堂导学
例1
利用同角三角函数关系求值 3 (1) 已知 sin x＝5，求 cos x 与 tan x 的值．
2sin2α＋3cos2α (2) 已知 3sin α＝－cos α，求 2 的值． sin α＋sin αcos α
【思维引导】(1) 结合同角三角函数关系式直接求解，但 是要注意分类讨论．(2) 所求式是关于sin α与cos α的齐次式， 若将分式的分子、分母同除以cos2α，则所求式用tan α表示，从 而求值；也可以用tan α表示sin α，cos α，一般地，关于sin α， cos α的齐次式求值问题都可化为关于tan α的函数式求值．
利用同角三角函数关系化简、证明
例2
1＋sinx cosx 求证： ＝ cosx . 1－sinx
【思维引导】方法一：为了消除左、右两边的差异，在左 边的分子上凑出 1 ＋ sinx. 方法二： 内项积＝外项积．方法三： 左边－右边＝0.方法四：为了消除左、右两边的差异，在左边
的分母上凑出cosx.
sin x－cos x tan x－1 2－1 1 【解答】(1) ＝ ＝ ＝3. sin x＋cos x tan x＋1 2＋1 (2) 2sin2x－sin xcos x＋cos2x 2sin2x－sin xcos x＋cos2x ＝ sin2x＋cos2x 2tan2x－tan x＋1 7 ＝ ＝5. tan2x＋1
高考数学(文江苏专用)一轮复习课件：第三章第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式
第三章三角函数、解三角形同角三角函数的基本关系与诱导公式教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源Ml谋梳理严1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2a +cos2a =1(«GR)；(2)商数关系：tan a =订—A：eZ2.六组诱导公式k兀“亍土a仗已Z)"的三角函数记忆口诀“奇变偶不对于角变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时, 正弦变余弦,余弦变正弦;当吃为偶数时，函数名不变”.“符号看象限”是指“在久的三角函数值前面加上当。
为锐角时原函数值的符号”.匿0【做二微〕,贝0 sin x = 2 .、JI解得sin x= -1±^52因为一lWsinxWl, 所以 smx=―— 1.已知 tanx=smx+y^| 解析：因为 tanx=sin x+~ ,所以 tanx=cosx, \ /丿 所以 sinx=cos 2x,所以 sinL+sin x —1=0,2.tan 690°的值为—3 解析：tan 690° =tan(—30' =tan(—30° )=—tan 30°3 +2X360° )3 •3.已知cos12=T解析：因为cos 13’角a是第二象限角、则tan(2 —a)角a是第二象限角，故sin a =12 0所以tan 12故tan（2 兀—a）=—tan12要會厂1.必明辨的2个易错点(1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.(2)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.2.必会的3种方法(三角函数求值与化简的常用方法)⑴弦切互化法：主要利用公式tan a化成正、余弦.⑵和积转换法：利用(sin 0 ±cos 0)2=l±2sin "cos &的关系进行变形、转化.l=sin2e +cos2e =cos2 ^(1+tan2 0)=:(3)巧用“F啲变换( 又因为n,3兀、解析：因为tana=2,所以汨^=2,所以sina=2cos a. 又 sin 2a+cos 2a=l, 所以(2cos a)2+cos 2a=l, 所以 cos 2a=1.已知么丘,tan a =2,贝J cos a =所以COS… M t 2sin a —cos3・若tan a =2,则sin 育囲2sin a —cos a 2tan a —1 sin a +2cos a tan a +2 2X2-1 3 2+24-2.若 sin 0 •cos1 … .cos 0 “ 亠= a刃则5 〃+赢「万的值疋―:解析：tan .cos sin £_sin 0 cos 0 cos i +sin0 _ 0 cos hn=2-；的值为 _____解析:典例剖析▼考点突破*考点一三角函数的诱导公式「茲 sin (k n +a) , cos (k n +a) ,⑶已知*sin Q + cos。
江苏专版高考数学一轮复习课时跟踪检测十八同角三角函数的基本关系与诱导公式理含解析苏教版
江苏专版高考数学一轮复习课时跟踪检测十八同角三角函数的基本关系与诱导公式理含解析苏教版课时跟踪检测（十八） 同角三角函数的基本关系与诱导公式一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝________. 解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45.答案：452．(2019·镇江调研)已知α是第二象限角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝45，则tan α＝________.解析：∵α是第二象限角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝45， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，则tan α＝sin αcos α＝－43.答案：－433．(2018·江苏百校联盟)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 019π2－2α＝________.解析：由题意可得tan α＝2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 019π2－2α＝－sin 2α＝－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－2tan αtan 2α＋1＝－45. 答案：－454．(2018·扬州期末)若点P (3cos θ，sin θ)在直线l ：x ＋y ＝0上，则tan θ＝________.解析：∵点P (3cos θ，sin θ)在直线l ：x ＋y ＝0上， 即3cos θ＋sin θ＝0， ∴sin θ＝－3cos θ， ∴tan θ＝sin θcos θ＝－3.答案：－35．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值是________．解析：因为sin(π＋A )＝12，所以－sin A ＝12.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A ＝－sin A ＝12. 答案：126．若sin θ＋cos θ＝23，则tan θ＋1tan θ＝________.解析：由sin θ＋cos θ＝23，得1＋2sin θcos θ＝49，即sin θcos θ＝－518，则tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝－185.答案：－185二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·启东中学高三检测)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，tan(α－π)＝－34，则sin α＋cos α的值是________．解析：已知tan(α－π)＝tan α＝－34，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以sin α＋cos α＝－15.答案：－152．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________. 解析：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.答案：－133．(2018·如东中学调研)若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋α＋1，且f (2 018)＝2，则f (2 019)＝________.解析：因为f (2 018)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2 018＋α＋1＝sin(1 009π＋α)＋1＝－sin α＋1＝2，所以sin α＝－1，cos α＝0.所以f (2 019)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2 019＋α＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 009π＋π2＋α＋1＝－cos α＋1＝1. 答案：14．(2019·苏州调研)当θ为第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sinθ2＝________.解析：因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13，所以cos θ2＝13，所以θ2在第一象限，且cos θ2＜sin θ2，所以1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1.答案：－15．计算：cos 350°－2sin 160°sin －190°＝________.解析：原式＝cos360°－10°－2sin 180°－20°－sin 180°＋10°＝cos 10°－2sin 30°－10°－－sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3. 答案： 36．已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α＝______. 解析：因为sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α， 所以sin α＝－2cos α， 所以tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝tan αtan 2α＋1＝－2－22＋1＝－25.答案：－257．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α 1＋1tan 2α＝________. 解析：原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α sin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α·1|cos α|＋sin α·1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以原式＝cos α－cos α＋sin αsin α＝－1＋1＝0.答案：08．(2019·淮安调研)若tan α＋1tan α＝52，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin π－2α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos －2α＋1＋sin 2α的值为________．解析：∵tan α＋1tan α＝52，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴tan α＝2或tan α＝12(舍去)，∴sin π－2α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos －2α＋1＋sin 2α＝sin 2α－cos 2αcos 2α＋1＋sin 2α＝cos α2sin α－cos α2cos 2α＋sin 2α＝2tan α－12＋tan 2α＝12. 答案：129．(2019·如东模拟)(1)化简： sin2α＋π·cos α＋π·cos －α－2πtan α＋π·sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin －α－2π；(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值．解：(1)原式＝sin 2α·－cos α·cos αtan α·cos 3α·－sin α＝1. (2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝－a ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a ＋a ＝0.10．已知－π2＜α＜0，且函数f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin α·1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin αcos α和sin α－cos α的值．解：(1)f (α)＝sin α－sin α·1＋cos α21－cos 2α－1＝sin α＋sin α·1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α.(2)法一：由f (α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125， 即2sin αcos α＝－2425.所以sin αcos α＝－1225.因为()sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝4925， 又－π2＜α＜0，所以sin α＜0，cos α＞0，所以sin α－cos α＜0，所以sin α－cos α＝－75.法二：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.因为－π2＜α＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45.所以sin αcos α＝－1225，sin α－cos α＝－75.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·淮安高三期中)已知sin α＝cos 2π5，0＜α＜π，则α的取值集合为________．解析：由sin α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos 2π5， 因为0＜α＜π，所以－π2＜π2－α＜π2，所以π2－α＝±2π5，所以α＝π10或9π10，所以α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫π10，9π10.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫π10，9π102．(2019·通州模拟)如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则sin 2θ－cos 2θ的值是________．解析：由图可知，每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cos θ－sin θ，∵小正方形的面积是125，∴(cos θ－sin θ)2＝125，又θ为直角三角形中较小的锐角， ∴cos θ＞sin θ，∴cos θ－sin θ＝15.又(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝125，∴2sin θcos θ＝2425.∴(cos θ＋sin θ)2＝1＋2sin θcos θ＝4925，∴cos θ＋sin θ＝75.∴sin 2θ－cos 2θ＝(sin θ－cos θ)(cos θ＋sin θ)＝－15×75＝－725.答案：－7253．已知f (x )＝cos2n π＋x ·sin 2n π－xcos 2[2n ＋1π－x ](n ∈Z)． (1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时， f (x )＝cos 22k π＋x ·sin 22k π－xcos 2[2×2k ＋1π－x ]＝cos 2x ·sin 2－x cos 2π－x ＝cos 2x ·－sin x 2－cos x 2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时，f (x )＝cos 2[2k ＋1π＋x ]·sin 2[2k ＋1π－x ]cos 2{[2×2k ＋1＋1]π－x } ＝cos 2[2k π＋π＋x ]·sin 2[2k π＋π－x ]cos 2[2×2k ＋1π＋π－x ] ＝cos2π＋x ·sin2π－xcos 2π－x＝－cos x 2sin 2x －cos x 2＝sin 2x ， 综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018 ＝sin 2π2 018＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 018 ＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1.。
高考数学(江苏版)一轮配套课件：§3.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱导公式
t
a
1 n
.2注α 意α求值k2π与,k化Z简的结果一般
要尽可能有理化、整式化.
方法技巧
方法 1 三角函数概念的应用
1.已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用
三角函数的定义解决相关问题.
2.已知角α的终边所在直线的方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出
此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来解决相关问题,若直线的
高考数学
第三章 三角函数
§3.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱导公式
知识清单
一、任意角 1.象限角 (1)象限角的定义:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半 轴重合时,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. (2)象限角的集合:
第一象限角: α|;2kα2kπ 2,kZ 第二象限角:① α|2k ; π 2α2k,kZ
(2)求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:①弦切
互化法:利用公式tan α= s i n 进α 行转化;②和积转换法:利用(sin α±cos α)2
co s α
=1±2sin αcos α进行变形、转化;③巧用“1”的变换:1=sin2α+cos2α=cos2
α(1+tan2α)=sin2α· 1
是
.
(2)已知tan
α=2,则
sin2α
sin=2αsinαcos.αcos2α1
解析 (1)∵sin α+2cos α=0,
∴tan α=-2,
∴2sin αcos α-cos2α= 2sinαcosαcos2α
sin2αcos2α
= 2 ta=n -α1. 1
江苏专用版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第二节同角三角函数的基本关系诱导公式课件苏教版
对点训练
已知 cos α＝k，k∈R，α∈π2，π ，则 sin α＝(
)
A．－ 1－k2
B． 1－k2
C．± 1－k2
D． 1＋k2
【解析】选 B.因为 α∈π2，π ，所以 cos α＜0，sin α＞0，所以 sin α＝ 1－cos2α ＝ 1－k2 . 【巧思妙解】(排除法)选 B.因为 α∈π2，π ，所以 sinα＞0，排除 A，C，又－1＜ k＜0，所以 1＋k2 ＞1，故排除 D.
，
当 sin
θ＝－
2 10
时，cos θ＝3sin θ＋
2 ＝7102 ，
则
tan
θ＝csoins
θ θ
＝－17
；
当 sin
θ＝－
2 2
时，cos θ＝3sin θ＋
2
＝－
2 2
(舍).
答案：－17
规律方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现 α 的正弦、余弦的互化，利用csoinsαα ＝tan α 可以 实现角 α 的弦切互化． (2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利 用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号， 当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
第二节 同角三角函数的基本关系、诱导公式
必备知识·自我排查
【基础知识梳理】 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：_si_n_2_x_＋__c_o_s_2x_＝__1_． (2)商数关系：__ta_n_x_＝__cs_oins_xx___(_其__中__x_≠_k_π_＋___2_，__k_∈__Z_)__．
A．152
B．－152
C．152
江苏专用2018高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第22课同角三角函数的基本关系及诱导公式课时分层训练
第五章 三角函数、解三角形 第22课 同角三角函数的基本关系及诱导公式课时分层训练A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．若cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α等于________．－2 2 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－232，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.]2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于________.【导学号：62172125】π3[∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.]3．(2017²苏州期中)已知sin α＝14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝________.－1515 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝14，∴cos α＝－1－sin 2α＝－154. ∴tan α＝sin αcos α＝－1515.]4．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝________. 13 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.]5．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，则tan α＝________.【导学号：62172126】－43[由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，消去cos α整理，得 25sin 2α－5sin α－12＝0，解得sin α＝45或sin α＝－35.因为α是三角形的内角， 所以sin α＝45.又由sin α＋cos α＝15，得cos α＝－35，所以tan α＝－43.]6．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α²1＋1tan 2α＝________. 0 [原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α1sin 2α＝cos α1－cos α＋sin α1sin α＝0.]7．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.44．5 [因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋cos 2α＝1，设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°， 则S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21° 两个式子相加得2S ＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S ＝44.5.] 8．(2017²苏北四市调研)cos 350°－2sin 160°sin －190° ＝________.3 [原式＝cos 360°－10° －2sin 180°－20°－sin 180°＋10° ＝cos 10°－2sin 30°－10°－ －sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.]9．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为________.【导学号：62172127】－23 [∵sin θ＋cos θ＝43， ∴1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，故sin θ－cos θ＝－ sin θ－cos θ 2＝ －1－2sin θcos θ＝－23.] 10．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋cos π－θ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ ＝________.2 [由题意可得tan θ＝2，原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2.]二、解答题11．求值：sin(－1 200°)²cos 1 290°＋cos(－1 020°)²sin(－1 050°)＋tan 945°.[解] 原式＝－sin 1 200°²cos 1 290°＋cos 1 020°²(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°²cos 210°＋cos 300°²(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)²(－cos 30°)＋cos 60°²sin 30°＋tan 45° ＝32³32＋12³12＋1＝2. 12．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.[解] 由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5³2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知tan x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，则sin x ＝________.5－12 [因为tan x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，所以tan x ＝cos x ，所以sin x ＝cos 2x ，sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝－1±52， 因为－1≤sin x ≤1，所以sin x ＝5－12.] 2．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝________.12[由f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，得 f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫236π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋56π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋sin 56π. 因为当0≤x ＜π时，f (x )＝0， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫236π＝0＋12＝12.] 3．已知f (α)＝sin π－α cos 2π－α tan ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α²sin －π－α .(1)化简 f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． [解] (1)f (α)＝sin α²cos α²tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α²sin α＝sin α²cos α²⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α²sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15，又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，故f (α)＝265.4．已知f (x )＝cos 2n π＋x ²sin 2n π－xcos 2[ 2n ＋1 π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009的值．[解] (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 22k π＋x ²sin 22k π－x cos 2[ 2³2k ＋1 π－x ] ＝cos 2x ²sin 2 －x cos 2π－x ＝cos 2x ² －sin x 2－cos x 2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[ 2k ＋1 π＋x ]²sin 2[ 2k ＋1 π－x ]cos 2{[2³ 2k ＋1 ＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋ π＋x ]²sin 2[2k π＋ π－x ]cos 2[2³ 2k ＋1 π＋ π－x ]＝cos 2π＋x ²sin 2π－x cos 2 π－x ＝ －cos x 2sin 2x －cos x2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018＝sin 2π2 018＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 018＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1.。
江苏2018高三数学一轮复习 三角函数与解三角形
第1讲弧度制与任意角的三角函数考试要求 1.任意角的概念，弧度制的概念，弧度与角度的互化，A级要求；2.任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，B级要求．知识梳理1．角的概念的推广(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角．(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限．(3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式3.1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角．( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然．( )(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( ) (4)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α＞α＞sin α.( )(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．( ) 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (2)第一象限角不一定是锐角．(3)顺时针旋转得到的角是负角．(5)终边相同的角不一定相等．答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2．若角α与角8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与角α4终边相同的角是________．解析由题意知，α＝2kπ＋8π5，k∈Z，∴α4＝kπ2＋2π5，k∈Z，又α4∈[0,2π]，∴k＝0，α＝2π5；k＝1，α＝9π10；k＝2，α＝7π5；k＝3，α＝19π10.答案2π5，9π10，7π5，19π103．(必修4P15习题6改编)若tan α>0，sin α<0，则α在第________象限．解析由tan α>0，得α在第一或第三象限，又sin α<0，得α在第三或第四象限或终边在y轴的负半轴上，故α在第三象限．答案三4．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝________.解析∵角α的终边经过点(－4,3)，∴x＝－4，y＝3，r＝5.∴cos α＝xr＝－45.答案－4 55．(必修4P10习题8改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．答案π3考点一 角的概念及其集合表示 【例1】 (1)若角α是第二象限角，则α2是第________象限角．(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． 解析 (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角； 当k 为奇数时，α2是第三象限角． (2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π. 答案 (1)一或三(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π 规律方法 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角．(2)确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或αk 的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置． 【训练1】 (1)设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，则下列结论：①M ＝N ；②M ?N ；③N ?M ；④M ∩N ＝?. 其中正确的是________(填序号)．(2)集合⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是________(填序号)． 解析 (1)法一 由于M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ?N .法二 由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数； 而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ?N . (2)当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋5π4≤α≤2n π＋3π2，此时α表示的范围与5π4≤α≤3π2表示的范围一样． 答案 (1)② (2)③考点二 弧度制及其应用【例2】 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 (1)α＝60°＝π3 rad ，∴l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)． (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋Rα＝10，12α·R 2＝4，解得⎩⎨⎧R ＝1，α＝8(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，α＝12.故扇形圆心角为12. (3)由已知得，l ＋2R ＝20.所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25， 此时l ＝10，α＝2.规律方法 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 【训练2】 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R . (1)若α＝90°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则 α＝90°＝π2，R ＝10，l ＝π2×10＝5π(cm)，S 弓＝S 扇－S △＝12×5π×10－12×102＝25π－50(cm 2)． (2)扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ， ∴R ＝C 2＋α， ∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 2α2·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.考点三 三角函数的概念【例3】 (1)(2017·扬州一中月考)已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 0，则cos 2α＝________. (2)(2017·泰州模拟)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________．(3)若sin α·tan α<0，且cos αtan α<0，则角α是第________象限角．解析 (1)根据题意可知，cos α＝12，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝2×14－1＝－12. (2)∵r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45， ∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.(3)由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角，由cos αtan α<0，可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．答案 (1)－12 (2)12 (3)三规律方法 (1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r . (2)根据三角函数定义中x ，y 的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．(3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围．【训练3】 (1)(2017·无锡期末)已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α＝________.(2)满足cos α≤－12的角α的集合为________． 解析 (1)由|OP |2＝14＋y 2＝1， 得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时，sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3， 此时，sin α·tan α＝－32.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .答案 (1)－32 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z[思想方法]1．在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP |＝r 一定是正值．2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． [易错防范]1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．基础巩固题组(建议用时：30分钟)1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题的个数为________．解析 －3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确． －400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确． 答案 32．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 解析 由题意知tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角． 答案 二3．(2017·苏州期末)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m ＝________. 解析 sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3.答案 34.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．解析 在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，所以，所求角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z )． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z )5．设P 是角α终边上一点，且|OP |＝1，若点P 关于原点的对称点为Q ，则Q 点的坐标是________．解析 由已知P (cos α，sin α)，则Q (－cos α，－sin α)． 答案 (－cos α，－sin α)6．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________．解析 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.答案 π37．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．解析 由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，328．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第________象限角．解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，综上知θ2为第二象限角． 答案 二9．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________．解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝α·r，∴α＝ 3. 答案 310．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x 上，则cos 2θ＝________.解析由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝1中可得cos2θ＝15，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－35.答案－3 511．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是________．解析举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．答案 112．(2017·苏北四市期末)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是________．解析∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案 (－2,3]能力提升题组 (建议用时：15分钟)13．已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝________.解析 圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.答案 114．(2017·泰州模拟)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________.解析 因为α是第二象限角， 所以cos α＝15x <0，即x <0. 又cos α＝15x ＝xx 2＋16， 解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 答案 －4315．函数y ＝2sin x －1的定义域为________． 解析 ∵2sin x －1≥0，∴sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)． ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP→的坐标为________． 解析 如图，作CQ ∥x 轴，PQ ⊥CQ, Q 为垂足．根据题意得劣弧＝2，故∠DCP ＝2，则在△PCQ 中，∠PCQ ＝2－π2， |CQ |＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2，|PQ |＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2，所以P 点的横坐标为2－|CQ |＝2－sin 2，P 点的纵坐标为1＋|PQ |＝1－cos 2，所以P 点的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)，故OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)．答案 (2－sin 2,1－cos 2)第2讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求 1.同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α，B 级要求；2.π2±α，π±α，－α的正弦、余弦的诱导公式，B 级要求.知 识 梳 理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．三角函数的诱导公式1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．()(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．()(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．()(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sin α＝13.()解析(1)对于α∈R，sin(π＋α)＝－sin α都成立．(4)当k为奇数时，sin α＝1 3，当k为偶数时，sin α＝－1 3.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．sin 600°的值为________．解析 sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 答案 －323．(2017·苏北四市摸底)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝________.解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，∴cos α＝15.答案 154．(2017·南通调研)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ＝________.解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，∴sin θ－cos θ＝23或－23.又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin θ－cos θ＝－23.答案 －235．(必修4P23习题11改编)已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________．解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.答案 3考点一同角三角函数基本关系式及其应用【例1】(1)(2015·福建卷改编)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于________．(2)(2017·盐城模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为________．(3)(2016·全国Ⅲ卷改编)若tan α＝34，则cos2α＋2sin 2α＝________.解析(1)∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1－sin2α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－5 12.(2)∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α，∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝3 2.(3)tan α＝34，则cos2α＋2sin 2α＝cos2α＋2sin 2αcos2α＋sin2α＝1＋4tan α1＋tan2α＝6425.答案(1)－512(2)32(3)6425规律方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 【训练1】 (1)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝________. (2)(2017·盐城调研)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α＝________.解析 (1)由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1， 得：2cos 2α＋22cos α＋1＝0， 即()2cos α＋12＝0，∴cos α＝－22.又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.(2)3sin α＋cos α＝0?cos α≠0?tan α＝－13，1cos 2α＋2sin αcos α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1321－23＝103. 答案 (1)－1 (2)103 考点二 诱导公式的应用【例2】 (1)化简：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)； (2)求值：设f (α)＝2sin ?π＋α?cos ?π－α?－cos ?π＋α?1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，求f⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6的值． 解 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1. (2)∵f (α)＝?－2sin α??－cos α?＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α?1＋2sin α?sin α?1＋2sin α?＝1tan α， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. 规律方法 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 【训练2】 (1)已知A ＝sin ?k π＋α?sin α＋cos ?k π＋α?cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是________．(2)化简：tan ?π－α?cos ?2π－α?sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ?－α－π?sin ?－π－α?＝______.解析 (1)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2； k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2. (2)原式＝－tan α·cos α·?－cos α?cos ?π＋α?·[－sin ?π＋α?]＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.答案 (1){2，－2} (2)－1考点三 诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用 【例3】 (1)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________.(2)(2017·南京、盐城模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________.解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.(2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α.因为－π<α<－π2，所以－7π12<α＋5π12<－π12. 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0，所以－π2<α＋5π12<－π12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223. 答案 (1)－33 (2)－223规律方法 (1)常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等． (2)常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等． 【训练3】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________.(2)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝________.解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. (2)由f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，得f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π) ＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫236π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝f ⎝⎛⎭⎪⎫π＋56π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋sin 56π.因为当0≤x <π时，f (x )＝0. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫236π＝0＋12＝12.答案 (1)12 (2)12 [思想方法]1．同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其它三角函数值时，要特别注意平方关系的使用．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x 进行切化弦或弦化切，如a sin x ＋b cos x c sin x ＋d cos x ，a sin 2x＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切．(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝….[易错防范]1．利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.基础巩固题组(建议用时：30分钟)1．(2016·四川卷)sin 750°＝________.解析sin 750°＝sin(720°＋30°)＝sin 30°＝1 2.答案1 22．(2017·镇江期末)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α＝________.解析因为α是第四象限角，sin α＝－12 13，所以cos α＝1－sin2α＝5 13，故tan α＝sin αcos α＝－125.答案－12 53．已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin α＝________.解析∵tan α＝12＞0，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＜0，∴sin2α＝sin2αsin2α＋cos2α＝tan2αtan2α＋1＝1414＋1＝15，∴sin α＝－5 5.答案－5 54.1－2sin?π＋2?cos?π－2?＝________.解析1－2sin?π＋2?cos?π－2?＝1－2sin 2cos 2 ＝?sin 2－cos 2?2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.答案 sin 2－cos 25．(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析 由题意，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝34. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43. 答案 －436．(2017·扬州中学质检)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________.解析 ∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，∴13×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－13.答案 －137．(2017·广州二测改编)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13. 答案 138．(2017·泰州模拟)已知tan α＝3，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是________．解析 原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝?sin α＋cos α?2?sin α＋cos α??sin α－cos α?＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3＋13－1＝2. 答案 29．已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________.解析 因为α为钝角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－74，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－74. 答案 －7410．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为________． 解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝25－1＝－35. 答案 －3511．化简：sin 2?α＋π?·cos ?π＋α?·cos ?－α－2π?tan ?π＋α?·sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin ?－α－2π?＝________.解析 原式＝sin 2α·?－cos α?·cos αtan α·cos 3α·?－sin α?＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1.答案 112．(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为________．解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－3. 答案 －3能力提升题组 (建议用时：15分钟)13．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ＝________. 解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ， ∴tan θ＝3，∵|θ|＜π2，∴θ＝π3. 答案 π314．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________． 解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4. 又()sin θ＋cos θ2＝1＋2sin θcos θ， ∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案 1－ 515．(2017·苏州调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为________． 解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π＋sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝59. 答案 5916．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝________. 解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a .sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.答案 0第3讲 三角函数的图象和性质考试要求 1.y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象及周期性，A 级要求；2正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最值及与x 轴的交点等)，B 级要求；3.正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性，B 级要求．知 识 梳 理1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( )(2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴．( )(3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (5)y ＝sin|x |是偶函数．( )解析 (1)函数y ＝sin x 的周期是2k π(k ∈Z )．(2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条．(3)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数．(4)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2．(必修4P33例4改编)函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的定义域为________．解析 ∵x －π3≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π＋5π6，k ∈Z ，即函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π＋5π6，k ∈Z. 答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π＋5π6，k ∈Z3．(2017·苏州一模)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________. 解析 由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2. 答案 3π24．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．解析 由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22.答案 －225．(2017·南通调研)若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上单调递减，且有最小值1，则ω的值为________．解析 因为y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，所以必有ω>0，且2π3·ω≤π2.所以0<ω≤34.当x ＝2π3时，2cos 2ω3π＝1，cos 2ω3π＝12. 所以ω＝12. 答案 12考点一 三角函数的定义域及简单的三角不等式 【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是________．(2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________．(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________． 解析 (1)由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2， 即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )．(2)由3＋2cos x ≥0， 得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z )． 所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8.答案(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π2＋π6，k ∈Z (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8 规律方法 (1)三角函数定义域的求法①以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域．②转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域． (2)简单三角不等式的解法①利用三角函数线求解． ②利用三角函数的图象求解．【训练1】 (1)函数y ＝tan 2x 的定义域为________． (2)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________． 解析 (1)由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ， ∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π2＋π4，k ∈Z . (2)法一要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)． 所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z. 法三 sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π(k ∈Z )，解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 答案(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π2＋π4，k ∈Z (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z 考点二 三角函数的值域【例2】 (1)函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫76π，136π的值域是________．(2)(2016·全国Ⅱ卷改编)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为________．(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．解析 (1)由正弦曲线知y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫76π，136π上，－1≤sin x <12，所以函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π6，136π的值域是(－2,1]．(2)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2. ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1； 当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.答案 (1)(－2,1] (2)5 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【训练2】 (1)(2017·泰州模拟)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．(2)函数y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3＋1的最大值是________，此时x 的取值集合为________．解析 (1)因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3. (2)y max ＝－2×(－1)＋1＝3，此时，12x －π3＝2k π＋π，即x ＝4k π＋8π3(k ∈Z )．答案 (1)2－3 (2)3⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＝4k π＋8π3，k ∈Z考点三 三角函数的性质(多维探究) 命题角度一 三角函数的奇偶性与周期性【例3－1】 (1)(2017·常州期末)函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1的最小正周期为________的________函数(填“奇”或“偶”)．(2)(2017·衡水中学金卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝________. 解析 (1)y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin 2x ，则函数为最小正周期为π的奇函数． (2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z )，∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6. 答案 (1)π 奇 (2)－π6规律方法 (1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 ①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )； ②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.命题角度二 三角函数的单调性【例3－2】 (1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________．(2)若f (x )＝2sin ωx ＋1(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________．解析 (1)由已知可得函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)法一 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得f (x )的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω(k ∈Z )．因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3?⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω.所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34.法二 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3，ω>0.所以ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ωπ2，2πω3，又f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ωπ2，2πω3?⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则⎩⎪⎨⎪⎧－ωπ2≥－π2，2πω3≤π2，又ω>0，得0<ω≤34.法三 因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，故原点到－π2，2π3的距离不超过T 4，即⎩⎪⎨⎪⎧π2≤T4，2π3≤T 4，得T ≥8π3，即2πω≥8π3，又ω>0，得0<ω≤34.答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 规律方法 (1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解.命题角度三 三角函数的对称轴或对称中心【例3－3】 (1)(2017·苏、锡、常、镇四市调研)若函数f (x )＝2sin(4x ＋φ)(φ<0)的图象关于直线x ＝π24对称，则φ的最大值为________．(2)(2016·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为________．解析 (1)由题可得，4×π24＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋k π，k ∈Z ，∵φ<0，∴φmax ＝－2π3.(2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9. 答案 (1)－2π3 (2)9规律方法 (1)对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可．(2)对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可．【训练3】 (1)(2017·无锡期末)若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝______.(2)已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是________．解析 (1)因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－sin 2x ，f (－x )＝－sin(－2x )＝sin 2x ＝－f (x )，所以f (x )＝－sin 2x 是奇函数，所以f (x )的图象关于原点对称． (2)函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π(k ∈Z )，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14>0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74.答案 (1)0 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74[思想方法]1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质． 3．数形结合是本讲的重要数学思想． [易错防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的函数有________(填序号)． 解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2.答案 ①②③2．(2017·南京模拟)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是________．解析 当k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3单调递增，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )3．(2017·南通、扬州、泰州、淮安调研)设函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(0<x <π)，当且仅当x ＝π12时，y 取得最大值，则正数ω的值为________．解析 由题意可得π12ω＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z 且π≤2πω，解得ω＝2. 答案 24．(2017·徐州检测)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为________． 解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2， 所以y max ＝2，y min ＝－2. 答案 2，－25．(2017·苏北四市联考)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π66．(2017·盐城调研)若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.解析 因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6. 答案 5π67．(2017·银川模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，给出以下结论： ①函数f (x )的最小正周期为π； ②函数f (x )是偶函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称； ④函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数．其中正确的是________(填序号)．解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故①正确；易知函数f (x )是偶函数，②正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，③错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，④正确． 答案 ①②④8．(2017·承德模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正。
江苏专用2018高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第22课同角三角函数的基本关系及诱导公式教师用书
第22课 同角三角函数的基本关系及诱导公式[最新考纲]1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α.2．诱导公式1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“³”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( )(2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．( )[答案] (1)³ (2)³ (3)³ (4)√2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于________．－1213 [∵sin α＝513，α是第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.]3．若tan α＝12，则sin 4α－cos 4α的值为________．－35 [sin 4α－cos 4α＝(sin 2α－cos 2α)(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－1tan 2α＋1＝－35.] 4．(2016²四川高考)sin 750°＝________.12 [sin 750°＝sin(750°－360°³2)＝sin 30°＝12.] 5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝________.－45 [因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.](1)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为________．(2)(2016²全国卷Ⅲ改编)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝________.(1)32 (2)6425 [(1)∵5π4＜α＜3π2， ∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2³18＝34，∴cos α－sin α＝32. (2)∵tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4³34⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝6425.][规律方法] 1.利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时要注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.[变式训练1] (1)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于________.【导学号：62172123】－1 [由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α得：2cos 2α＋22cos α＋1＝0， 即(2cos α＋1)2＝0， ∴cos α＝－22. 又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.](2)设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. －105 [∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，∴1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13.∴(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ²cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ＋1tan 2θ＋1＝19－23＋119＋1＝25. ∵θ为第二象限角，tan θ＝－13，∴2k π＋3π4＜θ＜2k π＋π，∴sin θ＋cos θ＜0，∴sin θ＋cos θ＝－105.](1)已知A ＝sin α＋cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是________．(2)(2017²南通一模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值是________．(1){－2,2} (2)59 [(1)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝59.][规律方法] 1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，尤其是角之间的互余、互补关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．2．诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值．[变式训练2] 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值为________. 【导学号：62172124】－2＋33 [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.](1)(2016²全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋4＝5，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.(2)(2017²南京模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin 3π－α ＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值为________．(1)－43 (2)335 [(1)由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，∴－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α， 代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15.sin 3π－α ＋cos α＋π 5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝8cos 3α－cos α7cos α＝87cos 2α－17＝335.][规律方法] 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[变式训练3] 已知sin α＝13，α是第二象限角，则tan(π－α)＝________.24 [∵sin α＝13，α是第二象限角， ∴cos α＝－223，∴tan α＝－24，故tan(π－α)＝－tan α＝24.][思想与方法]三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α进行弦、切互化．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4等．(4)利用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤． [易错与防范]1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．应特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．课时分层训练(二十二)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．若cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α等于________． －2 2 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－232，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.]2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于________.【导学号：62172125】π3[∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.]3．(2017²苏州期中)已知sin α＝14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝________.－1515 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝14，∴cos α＝－1－sin 2α＝－154. ∴tan α＝sin αcos α＝－1515.]4．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝________. 13 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.]5．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，则tan α＝________.【导学号：62172126】－43[由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，消去cos α整理，得 25sin 2α－5sin α－12＝0， 解得sin α＝45或sin α＝－35.因为α是三角形的内角， 所以sin α＝45.又由sin α＋cos α＝15，得cos α＝－35，所以tan α＝－43.]6．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α²1＋1tan 2α＝________. 0 [原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α1sin 2α＝cos α1－cos α＋sin α1sin α＝0.]7．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.44．5 [因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋cos 2α＝1，设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°， 则S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21° 两个式子相加得2S ＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S ＝44.5.] 8．(2017²苏北四市调研)cos 350°－2sin 160°sin －190° ＝________.3 [原式＝cos 360°－10° －2sin 180°－20°－sin 180°＋10° ＝cos 10°－2sin 30°－10°－ －sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.]9．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为________.【导学号：62172127】－23 [∵sin θ＋cos θ＝43， ∴1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，故sin θ－cos θ＝－ sin θ－cos θ 2＝ －1－2sin θcos θ＝－23.] 10．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋cos π－θ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ ＝________.2 [由题意可得tan θ＝2，原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2.]二、解答题11．求值：sin(－1 200°)²cos 1 290°＋cos(－1 020°)²sin(－1 050°)＋tan 945°.[解] 原式＝－sin 1 200°²cos 1 290°＋cos 1 020°²(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°²cos 210°＋cos 300°²(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)²(－cos 30°)＋cos 60°²sin 30°＋tan 45° ＝32³32＋12³12＋1＝2. 12．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.[解] 由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5³2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知tan x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，则sin x ＝________.5－12 [因为tan x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，所以tan x ＝cos x ，所以sin x ＝cos 2x ，sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝－1±52， 因为－1≤sin x ≤1，所以sin x ＝5－12.] 2．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝________.12[由f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，得 f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫236π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋56π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋sin 56π. 因为当0≤x ＜π时，f (x )＝0， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫236π＝0＋12＝12.] 3．已知f (α)＝sin π－α cos 2π－α tan ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α²sin －π－α .(1)化简 f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．[解] (1)f (α)＝sin α²cos α²tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α²sin α＝sin α²cos α²⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α²sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，故f (α)＝265.4．已知f (x )＝cos 2 n π＋x ²sin 2n π－xcos 2[ 2n ＋1 π－x ](n ∈Z )．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009的值．[解] (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2 2k π＋x ²sin 22k π－xcos 2[ 2³2k ＋1 π－x ]＝cos 2x ²sin 2－xcos 2 π－x＝cos 2x ² －sin x 2－cos x 2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[ 2k ＋1 π＋x ]²sin 2[ 2k ＋1 π－x ]cos 2{[2³ 2k ＋1 ＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋ π＋x ]²sin 2[2k π＋ π－x ]cos 2[2³ 2k ＋1 π＋ π－x ]＝cos 2 π＋x ²sin 2 π－x cos 2 π－x ＝ －cos x 2sin 2x－cos x 2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018＝sin 2π2 018＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 018＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1.。
高考数学大一轮复习 第四章 第22课 同角三角函数间基本关系式要点导学
【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第四章第22课同角三角函数间基本关系式要点导学要点导学各个击破利用同角三角函数关系求值已知sinx=513,求cosx与tanx的值.[思维引导]结合同角三角关系式直接求解,但是要注意分类表达.[解答]因为sinx=5 13,所以cosx=±21-sin x=±251-169=±1213.当cosx=1213时,tanx=512;当cosx=-1213时,tanx=-512.[精要点评]在平时的训练中要形成“知其一即可知其所有”的意识,即在三角式中若知道某一个三角值,即相当于知道了其他所有的三角值.还要特别注意角的范围或是其他约束条件.已知3sinα=-cosα,求下列各式的值:(1)22223sin cossin sin cosααααα++;(2) 1+sinαcosα.[思维引导](1) 所求式是关于sinα与cosα的齐次式,若将分式的分子、分母同除以cos2α,则所求式用tanα表示,从而求值;(2) 也可以用tanα表示sinα,cosα,一般地,关于sin α,cosα的齐次式都可化为关于tanα的函数式.[解答]因为3sinα=-cosα,所以tanα=-1 3.(1) 原式=2223tantan tanααα++=-292.(2) 原式=1+22·sin cos sin cos αααα+=1+21tan tan αα+=710.[精要点评]要善于利用sin 2α+cos 2α=1作代换.(2014·成都模拟)已知tan(π-α)=12,那么2-sin cos sin cos αααα+= .[答案]-14[解析]由tan(π-α)=12,得tan α=-12,所以2-sin cos sin cos αααα+=12-1tan tan αα+=1-12-1-1+=-14.利用同角三角函数关系化简、证明求证:1-cosx sinx =1s inxcosx +.[分析一]为了消除左、右两边的差异,在左边的分子上凑出1+sinx.[证法一]由cosx ≠0,知sinx ≠-1,所以1+sinx ≠0,故 左边=(1)(1-)(1)cosx sinx sinx sinx ++=2(1)1-cosx sinx sin x +=2(1)cosx sinx cos x +=1sinxcosx +=右边,所以原等式成立.[分析二]内项积=外项积.[证法二]因为(1-sinx)(1+sinx)=1-sin 2x=cos 2x=cosx ·cosx,且1-sinx ≠0,cosx ≠0,所以1-cosx sinx =1sinxcosx +.[分析三]计算左边-右边=0.[证法三]因为1-cosx sinx -1sinx cosx +=2-(1)(1-)(1-)cos x sinx sinx sinx cosx +=22-(1-)cos x cos xsinx cosx =0,所以原等式成立.[分析四]为了消除左、右两边的差异,在左边的分母凑出“cosx”.[证法四]因为cos α≠0,左边=1-cosx sinx =2(1-)cos x sinx cosx =21-(1-)sin x sinx cosx =1sinxcosx +=右边,所以原等式成立.化简:121sin cos sin cossin cosαααααα+++++.[解答]原式=222()1sin cos sin cos sin cossin cosαααααααα++++++=2()() 1sin cos sin cossin cosαααααα+++++=()(1) 1sin cos sin cossin cosαααααα+++++=sin α+cos α.sinθ±cosθ及sinθcosθ的关系问题已知0<θ<π,且sin θ+cos θ=-15,求tan θ的值.[思维引导]利用sin θ+cos θ的值可以求得sin θcos θ,进而可以知道tan θ的值,注意到0<θ<π,因此解题中应特别留意角θ的范围.[解答]因为sin θ+cos θ=-15,两边平方得1+2sin θ·cos θ=125,所以sin θ·cos θ=-1225<0.则sin θcos θ=22sin cossin cosθθθθ+=21tantanθθ+=-1225,解得tan θ=-34或-43.而θ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭,所以sin θ>0,cos θ<0,又sin θ+cos θ=-15<0,所以|sin θ|<|cos θ|,所以|tan θ|<1,故tan θ=-3 4.[精要点评]本题容易出错,原因在于注意到sin θcos θ=-1225<0,故tan θ<0.但两解是否都是满足条件,还应考虑sin θ+cos θ=-15<0,所以得到|sin θ|<|cos θ|,从而得解.本题还可以根据已知条件求sin θ-cos θ,然后再求sin θ与cos θ的值,进而求tan θ的值.已知sin αcos α=38,且4π<α<2π,那么cos α-sin α的值是 .[答案]-12[解析]因为4π<α<2π,所以cos α<sin α,所以cos α-sin α<0.而(cos α-sin α)2=1-2cos αsin α=1-2×38=14,所以cos α-sin α=-12.已知向量a =(sin θ,-2)与b =(1,cos θ)互相垂直,其中θ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭.(1) 求sin θ和cos θ的值;(2) 若sin(θ-φ10,0<φ<2π,求cos φ的值.[规范答题](1) a ·b =(sin θ,-2)·(1,cos θ)=sin θ-2cos θ=0,(2分)即sin θ=2cos θ.又sin 2θ+cos 2θ=1,θ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭,解得sin θ25θ5分)(2) sin(θ-φ)=sin θcos φ-cos θsin φ=10, (9分)将sin θ=25,cos θ5代入,整理得2cos φ-sin φ=2.结合sin 2φ+cos 2φ=1,0<φ<2π, (12分)可得cos φ2. (14分)1. 已知α是第二象限角,sin α=513,那么cos α= .[答案]-12132. 已知tan α=2,那么sin αcos α= .[答案]25[解析]sin αcos α=22sin cos sin cos αααα+=21tan tan αα+=25.3. 化简:sin 2α+cos 2αsin 2β+cos 2αcos 2β= .[答案]1[解析]原式=sin 2α+cos 2α(sin 2β+cos 2β)=sin 2α+cos 2α=1.4. 设α是第三象限角,若tan α=512,则cos α= .[答案]-1213[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第43-44页).。
(江苏版)2018年高考数学一轮复习专题4.2诱导公式及同角三角函数的基本关系教案
专题4.2 诱导公式及同角三角函数的基本关系【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编] 已知sin α＝－14，且α为第四象限角，则cos α＝________．【解析】 因为α为第四象限角，所以cos α>0，所以cos α＝1－sin 2α＝154. 2．[教材改编] 已知tan α＝2，则sin α＋cos α2sin α－5cos α＝________．【解析】 显然cos α≠0，所以sin α＋cos α2sin α－5cos α＝tan α＋12tan α－5＝2＋12³2－5＝－3.3．[教材改编] 已知sin α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝ ________． 【解析】 cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin α＝33.4．[教材改编] 求值：sin(－1200°)²cos 585°＋cos(－660°)²sin(－1110°)＝________． 【解析】 原式＝－sin (3³360°＋120°)²cos (2³360°－135°)＋cos(360°＋300°)²[－sin (3³360°＋30°)]＝－sin 120°²cos(－135°)－cos 300°²sin 30°＝－sin(90°＋30°)cos(180°－45°)－cos(360°－60°)sin 30°＝－cos 30°(－cos 45°)－cos 60°sin 30°＝32³22－12³12＝6－14. 题组二 常错题5．已知在△ABC 中，cos A sin A ＝－125，则cos A 等于________．【解析】 ∵A 为△ABC 中的角，且cos A sin A ＝－125，∴sin A ＝－512cos A ，∴A 为钝角，∴cos A <0.又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴cos A ＝－1213.6．已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为________．【解析】∵0＜θ＜π4，∴cos θ＞sin θ，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，∴sin θ－cos θ＝－23. 7．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________．8．已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是________．【解析】 当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.题组三 常考题9． 若sin αcos α>0，则下列各式符号为正的是________． ①tan α；②cos 2α；③1－sin 2α；④1－sin αsin α.【解析】 由sin αcos α>0知，sin α与cos α同号，所以tan α＝sin αcos α>0.因为sin αcosα>0，所以sin α≠±1，所以1－sin 2α>0.显然②和④中的式子符号不确定．10．已知cos α＝－15，且α是第三象限角，则tan α的值为 ________.【解析】 由于α是第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－265，故tan α＝sin αcos α＝2 6.【知识清单】1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .2 利用诱导公式化简求值【考点深度剖析】本课内容是高考热点之一，通常出现在填空题中，复习时应注意控制难度．【重点难点突破】考点1 同角三角函数的基本关系式【1-1】(1)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin2α＋2sin α1－cos2α＝.A．3 B．－3C．1 D．－1(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________.【答案】(1) －3 (2)±6 4∵cos2α＋sin2α＝1，∴cos 2α＝38，即cos α＝±64.【1-2】已知4423sin cos 32x x +=，求sin cos x x -的值．【答案】122±±或【思想方法】1.利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.【温馨提醒】应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．． 考点2 利用诱导公式化简求值【2-1】(1)tan π＋α cos 2π＋α sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2cos －α－3π sin －3π－α＝________.(2)已知A ＝sin k π＋α sin α＋cos k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是 .【答案】 (1)－1 (2){2,2}- 【解析】 (1)原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2cos 3π＋α [－sin 3π＋α ]＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos α sin α＝tan αcos αcos α－cos α sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α²cos αsin α＝－1.(2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.【2-2】已知sin()lgπθ+=cos(3)cos(2)3cos()[cos()1]cos sin()cos 2πθθπθπθθπθθ+-+----+的值. 【答案】18【思想方法】(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化． （4）“奇变偶不变，符号看象限” 【温馨提醒】注意符号与名称的变化．【易错试题常警惕】1.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐.特别注意函数名称和符号的确定.2.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.例：化简1－2sin π＋2 cos π＋2 ＝ . 解析1－2sin π＋2 cos π＋2＝1－2sin 2²cos 2＝sin 22－2sin 2²cos 2＋cos 22 ＝|sin 2－cos 2|又∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0∴|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2。
高考(江苏专版)大一轮数学(文)复习检测：第22课 同角三角函数间基本关系式 Word版含答案
第22课同角三角函数间基本关系式A 应知应会1.(2015·福建卷)若sin α=-,且α为第四象限角,则tan α的值为.2.已知tanα=,且α∈,那么sinα=.3.若角α的终边落在第三象限,则+=.4.已知sin α-cos α=,且α∈(0,π),那么tan α=.5.已知sinθ=,<θ<π.(1)求tanθ的值;(2)求的值.6.(1)已知cos α=-,求sin α,tan α的值.(2)已知α∈,且sin α+2cos α=,求tan α的值.B 巩固提升1.已知2tanα·sinα=3,且-<α<0,那么sinα=.2.已知sin x=2cos x,那么sin2x+1=.3.(2016·苏州期末)已知θ是第三象限角,且sinθ-2cosθ=-,那么sinθ+cosθ=.4.计算:sin21°+sin22°+…+sin290°=.5.化简:.6.已知sinθ,cosθ是方程x2-(-1)x+m=0的两根.(1)求m的值;(2)求+的值.第22课同角三角函数间基本关系式A 应知应会1.-【解析】由sin α=-且α为第四象限角,得cos α==,所以tan α==-.2.-【解析】因为tanα=>0,且α∈,所以sinα<0.又sin2α====,所以sinα=-.3.-3【解析】由角α的终边落在第三象限,得sin α<0,cos α<0,故原式=+=+=-1-2=-3.4.-1【解析】由sin α-cos α=,得1-2sin αcos α=2,所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=0,所以sinα=-cos α,所以tan α=-1.5.【解答】(1)因为sin2θ+cos2θ=1,所以cos2θ=.又<θ<π,所以cosθ=-,所以tanθ==-.(2)由(1)知==-.6.【解答】(1)因为cos α=-<0,所以α是第二或第三象限角.①如果α是第二象限角,那么sin α===,tan α===-;②如果α是第三象限角,那么sin α=-=-=-,tan α===.(2)因为解得或所以tan α=或.B 巩固提升1.-【解析】由2tanα·sinα=3,得=3,即2cos2α+3cosα-2=0,解得cosα=或cosα=-2(舍去),又-<α<0,故sinα=-.2.【解析】由sin x=2cos x,得tan x=2,所以sin2x+1====.3.-【解析】由得5cos2θ-cosθ-=0,解得cosθ=或cos θ=-.因为θ是第三象限角,所以cosθ=-,从而sinθ=-,所以sinθ+cosθ=-.4.【解析】原式=sin21°+sin289°+sin22°+sin288°+…+sin244°+sin246°+sin245°+sin290°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)++1=44×1+=.5.【解答】原式=·-==·=.当sinα·cos α>0,即α为第一或第三象限角时,原式=4;当sinα·cosα<0,即α为第二或第四象限角时,原式=-4.综上,原式=4或-4.6.【解答】(1)由韦达定理可得由①得1+2sin θ·cos θ=4-2.将②代入得m=-,满足Δ=(-1)2-4m≥0,故m的值为-.(2)+=+=+==cos θ+sin θ=-1.。
2018年高考数学(文)(江苏专用)总复习教师用书第四章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数基本关系式及
第2讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求 1.同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α，B 级要求；2.π2±α，π±α，－α的正弦、余弦的诱导公式，B 级要求.知 识 梳 理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．三角函数的诱导公式诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．( )(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．( ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( )解析 (1)对于α∈R ，sin(π＋α)＝－sin α都成立． (4)当k 为奇数时，sin α＝13，当k 为偶数时，sin α＝－13.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．sin 600°的值为________．解析 sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 答案 －323．(2017·苏北四市摸底)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝________.解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，∴cos α＝15. 答案 154．(2017·南通调研)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sinθ－cos θ＝________.解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，∴sin θ－cos θ＝23或－23. 又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin θ－cos θ＝－23.答案 －235．(必修4P23习题11改编)已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________．解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.答案 3考点一 同角三角函数基本关系式及其应用 【例1】 (1)(2015·福建卷改编)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于________．(2)(2017·盐城模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为________．(3)(2016·全国Ⅲ卷改编)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝________.解析 (1)∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512. (2)∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. (3)tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. 答案 (1)－512 (2)32 (3)6425规律方法 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 【训练1】 (1)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝________. (2)(2017·盐城调研)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α＝________.解析 (1)由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得：2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即()2cos α＋12＝0，∴cos α＝－22. 又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.(2)3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－13，1cos 2α＋2sin αcos α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1321－23＝103.答案 (1)－1 (2)103考点二 诱导公式的应用【例2】 (1)化简：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)； (2)求值： 设f (α)＝π＋απ－α－π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，求f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6的值．解 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1. (2)∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α＋2sin αsin α＋2sin α＝1tan α， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. 规律方法 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 【训练2】 (1)已知A ＝k π＋αsin α＋k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是________．(2)化简：π－απ－α⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－α－π－π－α＝______.解析 (1)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.(2)原式＝－tan α·cos α－cosαπ＋α－π＋α＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.答案 (1){2，－2} (2)－1考点三 诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用【例3】 (1)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________.(2)(2017·南京、盐城模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12－α＝________. 解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33. (2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α. 因为－π<α<－π2，所以－7π12<α＋5π12<－π12.又cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0，所以－π2<α＋5π12<－π12， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.答案 (1)－33 (2)－223规律方法 (1)常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．(2)常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【训练3】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________. (2)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝________.解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12.(2)由f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，得f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫236π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋56π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋sin 56π.因为当0≤x <π时，f (x )＝0. 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫236π＝0＋12＝12.答案 (1)12 (2)12[思想方法]1．同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其它三角函数值时，要特别注意平方关系的使用．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin x cos x 进行切化弦或弦化切，如a sin x ＋b cos x c sin x ＋d cos x ，a sin 2x ＋b sin x cos x＋c cos 2x 等类型可进行弦化切．(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝….[易错防范]1．利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.基础巩固题组(建议用时：30分钟)1．(2016·四川卷)sin 750°＝________.解析 sin 750°＝sin(720°＋30°)＝sin 30°＝12.答案 122．(2017·镇江期末)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α＝________.解析 因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125.答案 －1253．已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin α＝________. 解析 ∵tan α＝12＞0，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＜0，∴sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1＝1414＋1＝15， ∴sin α＝－55. 答案 －554.1－π＋π－＝________. 解析1－π＋π－＝1－2sin 2cos 2＝－2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.答案 sin 2－cos 25．(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. 解析 由题意，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43.答案 －436．(2017·扬州中学质检)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________.解析 ∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，∴13×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝13， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－13. 答案 －137．(2017·广州二测改编)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13.答案 138．(2017·泰州模拟)已知tan α＝3，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是________． 解析 原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α ＝α＋cos α2α＋cos αα－cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3＋13－1＝2. 答案 29．已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________. 解析 因为α为钝角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－74，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－74. 答案 －7410．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为________． 解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝25－1＝－35.答案 －3511．化简：sin2α＋ππ＋α－α－2ππ＋α3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－α－2π＝________.解析 原式＝sin 2α－cos ααtan α·cos 3α－sin α＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 答案 112．(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为________．解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－3. 答案 －3能力提升题组 (建议用时：15分钟)13．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ＝________.解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3，∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.答案π314．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________．解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4.又()sin θ＋cos θ2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1± 5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案 1－ 515．(2017·苏州调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为________．解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π＋sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝59. 答案 5916．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝________.解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a . sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.答案 0。
高三江苏专数学一轮复习课时作业同角三角函数的基本关系式与诱导公式
课时作业(十八) [第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．化简：cos αtan α＝________.2．cos ⎝⎛⎭⎫－353π的值是________． 3．若tan α＝2，则sin α－3cos αsin α＋cos α的值是________． 4．计算：sin315°sin(－1260°)＋cos570°sin(－840°)＝________.能力提升5．计算：cos(－2040°)＝________.6．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝________. 7．已知sin θ－cos θ＝13，则sin2θ的值为________． 8．若tan α＝3，则4sin α－2cos α5cos α＋3sin α的值等于________． 9．[2011·全国卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 10．已知f (cos x )＝cos3x ，则f (sin30°)的值为________．11．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x sin x －1的值是________． 12．当k ∈Z 时，sin (k π－α)cos (k π＋α)sin[(k ＋1)π＋α]cos[(k ＋1)π－α]＝________. 13．(8分)(1)已知sin α＝45，且α是第二象限的角，求cos α，tan α的值； (2)已知tan α＝512，求sin α，cos α的值．14．(8分)化简：(1)－sin (180°＋α)＋sin (－α)－tan (360°＋α)tan (α＋180°)＋cos (－α)＋cos (180°－α)；(2)sin120°·cos330°＋sin(－690°)·cos(－660°)＋tan675°＋1tan765°.15．(12分)已知sin(θ＋k π)＝－2cos(θ＋k π)(k ∈Z )．求：(1)4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ；(2)14sin 2θ＋25cos 2θ.16．(12分)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2<α<π.求下列各式的值： (1)sin α－cos α；(2)sin 3⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos 3⎝⎛⎭⎫π2＋α.课时作业(十八)【基础热身】1．sin α [解析] 由商数关系tan α＝sin αcos α易得． 2.12 [解析] cos ⎝⎛⎭⎫－353π＝cos 35π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－π3＝cos π3＝12. 3．－13 [解析] 原式分子与分母同除以cos α得：tan α－3tan α＋1＝2－32＋1＝－13. 4.34[解析] sin315°sin(－1260°)＋cos570°sin(－840°)＝(－sin45°)(－sin180°)＋(－cos30°)(－sin60°)＝34. 【能力提升】5．－12[解析] cos(－2040°)＝cos2040°＝cos(6×360°－120°)＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－12. 6．－1213 [解析] 由cos(α－π)＝－513得，cos α＝513，而α为第四象限角， ∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1213. 7.89 [解析] 将sin θ－cos θ两边平方得：1－2sin θcos θ＝19，sin2θ＝2sin θcos θ＝89. 8.57 [解析] 4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4tan α－23tan α＋5＝57. 9．－55 [解析] ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 10．－1 [解析] f (sin30°)＝f (cos60°)＝cos180°＝－1. 11.12 [解析] 1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x＝－1. ∴cos x sin x －1＝12. 12．－1 [解析] 若k 为偶数，则原式＝sin (－α)cos αsin (π＋α)cos (π－α)＝－sin αcos α(－sin α)(－cos α)＝－1； 若k 为奇数，则原式＝sin (π－α)cos (π＋α)sin αcos (－α)＝sin α(－cos α)sin αcos α＝－1. 13．[解答] (1)因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫452＝925.又α是二象限角，因此cos α＜0，故cos α＝－35，tan α＝sin αcos α＝45×⎝⎛⎭⎫－53＝－43. (2)由sin αcos α＝tan α＝512，可得sin α＝512cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以⎝⎛⎭⎫5122cos 2α＋cos 2α＝1. 解得cos 2α＝144169.又tan α＞0，所以α是第一或第三象限角．若α是第一象限角，则cos α＝1213，sin α＝513； 若α是第三象限角，则cos α＝－1213，sin α＝－513. 14．[解答] (1)原式＝sin α－sin α－tan αtan α＋cos α－cos α＝－tan αtan α＝－1. (2)原式＝sin(180°－60°)·cos(360°－30°)＋sin(720°－690°)·cos(720°－660°)＋tan(720°－45°)＋1tan (720°＋45°)＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＋tan(－45°)＋1＝1.15．[解答] 由已知得cos(θ＋k π)≠0(k ∈Z )，∴tan(θ＋k π)＝－2(k ∈Z )，即tan θ＝－2.(1)4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ＝4tan θ－25＋3tan θ＝10. (2)14sin 2θ＋25cos 2θ＝14sin 2θ＋25cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝ 14tan 2θ＋25tan 2θ＋1＝725. 16．[解答] 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23.① 将①式两边平方，得1＋2sin α·cos α＝29， 故2sin α·cos α＝－79， 又π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0. ∴sin α－cos α＞0.(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169， ∴sin α－cos α＝43. (2)sin 3⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos 3⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos 3α－sin 3α ＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α)＝⎝⎛⎭⎫－43×⎝⎛⎭⎫1－718＝－2227.。
江苏专版 高中数学第五章三角函数5.2.2同角三角函数的基本关系课件新人教A版必修第一册
证明 由题可知 , ,则左边 右边，所以原等式成立.
角度2.给出限制条件的恒等式的证明
【例6】 已知 ，求证： .
证明 由 ,可得 ,即 ,故有 ,整理得 ,即 ,展开得 ,即 .
规律方法 证明含有条件的三角恒等式时，常用方法有：①直推法：从条件直推到结论；②代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；③换元法.
[解析] 因为 为第四象限角,且 ,所以 ,所以 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 利用同角三角函数的基本关系式求值
角度1.已知某个三角函数值，求其余三角函数值
【例1】（1） 已知 ,求 , 的值；
解 , 是第一或第二象限角.当 为第一象限角时， , ;当 为第二象限角时, , .
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 同角三角函数的基本关系
1.平方关系 （1）公式: ； （2）语言叙述:同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1. 2.商数关系 （1）根据三角函数定义，当 时，有 ； （2）语言叙述:同一个角 的正弦、余弦的商等于角 的正切.
过关自诊
1.同角三角函数基本关系中,角 是否是任意角？
提示 平方关系中的角 是任意角,除法关系中的角 并非任意角, , .
2.若 ,则 的值为多少?
提示 由 ,则 ,所以 .
3.已知 是第四象限角, ,则 _____.
[解析] 由题意知 .
4.若 ,且 为第四象限角,则 _______.
（2）已知 ，求 , 的值.
, 是第二或第三象限角.当 是第二象限角时, , ;当 是第三象限角时， , .
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第22课同角三角函数间基本关系式
A 应知应会
1. (2015·福建卷)若sin α=-,且α为第四象限角,则tan α的值为.
2. 已知tanα=,且α∈,那么sinα= .
3. 若角α的终边落在第三象限,则+= .
4. 已知sin α-cos α=,且α∈(0,π),那么tan α= .
5. 已知sinθ=,<θ<π.
(1) 求tanθ的值;
(2) 求的值.
6. (1) 已知cos α=-,求sin α,tan α的值.
(2) 已知α∈,且sin α+2cos α=,求tan α的值.
B 巩固提升
1. 已知2tanα·sinα=3,且-<α<0,那么sinα= .
2. 已知sinx=2cosx,那么sin2x+1= .
3. (2016·苏州期末)已知θ是第三象限角,且sinθ-2cosθ=-,那么sinθ+cosθ= .
4. 计算:sin21°+sin22°+…+sin290°=.
5. 化简:
.
6. 已知sinθ,cosθ是方程x2-(-1)x+m=0的两根.
(1) 求m的值;
(2) 求+的值.
第22课同角三角函数间基本关系式
A 应知应会
1. - 【解析】由sin α=-且α为第四象限角,得cos α==,所以tan α==-.
2. - 【解析】因为tanα=>0,且α∈,所以sinα<0.又sin2α====,所以sinα=-.
3. -3 【解析】由角α的终边落在第三象限,得sin α<0,cos α<0,故原式=+=+=-1-2=-3.
4. -1 【解析】由sin α-cos α=,得1-2sin αcos α=2,所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=0,所以sin α=-cos α,所以tan α=-1.
5. 【解答】(1) 因为sin2θ+cos2θ=1,
所以cos2θ=.
又<θ<π,所以cosθ=-,
所以tanθ==-.
(2) 由(1) 知=
=-.
6. 【解答】(1) 因为cos α=-<0,所以α是第二或第三象限角.
①如果α是第二象限角,那么sin α===,tan α===-;
②如果α是第三象限角,那么sin α=-=-=-,tan α===.
(2) 因为
解得或
所以tan α=或.
B 巩固提升
1. - 【解析】由2tanα·sinα=3,得=3,即2cos2α+3cosα-2=0,解得cosα=或cosα=-2(舍去),又-<α<0,故sinα=-.
2. 【解析】由sinx=2cosx,得tan x=2,所以sin2x+1==
==.
3. - 【解析】由得5cos2θ-cosθ-=0,解得cosθ=或cos θ=-.因为θ是第三象限角,所以cosθ=-,从而sinθ=-,所以sinθ+cosθ=-.
4. 【解析】原式=sin21°+sin289°+sin22°+sin288°+…+sin244°+sin246°+sin245°+sin290°=(sin21°+cos21°)+(sin2 2°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)++1=44×1+=.
5. 【解答】原式=
·-=
=·=.
当sinα·cos α>0,即α为第一或第三象限角时,原式=4;
当sinα·cosα<0,即α为第二或第四象限角时,原式=-4.
综上,原式=4或-4.
6. 【解答】(1) 由韦达定理可得
由①得1+2sin θ·cos θ=4-2.
将②代入得m=-,满足Δ=(-1)2-4m≥0,故m的值为-.
(2) +
=+
=+=
=cos θ+sin θ=-1.。