高考数学总复习第2章函数与导数第11课时导数的概念与运算课时训练(含解析)
高考数学大一轮复习配套课时训练：第二篇 函数、导数及其应用 第11节 导数的简单应用(含答案)
第11节导数的简单应用课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.函数f(x)=4x3-3x2-6x+2的极小值为( B )(A)3 (B)-3 (C)(D)-解析:f′(x)=12x2-6x-6=6(x-1)(2x+1),因此f(x)在（-∞,-）,(1,+∞)上为增函数,在(-,1)上为减函数,所以函数f(x)在x=1处取到极小值f(1)=-3.故选B.2.(2013广东省六校质检)已知y=x3+bx2+(b+2)x+3是R上的单调增函数,则b的取值范围是( D )(A)b<-1或b>2 (B)b≤-1或b≥2(C)-1<b<2 (D)-1≤b≤2解析:函数y=x3+bx2+(b+2)x+3是R上的增函数,即为其导函数y′=x2+2bx+b+2≥0,x∈R恒成立,所以Δ=4b2-4(b+2)≤0,解得-1≤b≤2,故选D.3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于( C )(A)11或18 (B)11(C)18 (D)17或18解析:∵函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,∴f(1)=10,且f′(1)=0,即解得或而当时,函数在x=1处无极值,故舍去.∴f(x)=x3+4x2-11x+16,∴f(2)=18.故选C.4.函数f(x)=x+2cos x在[0,]上取得最大值时x的值为( B )(A)0 (B)(C)(D)解析:由于f′(x)=1-2sin x,令f′(x)=0得,sin x=,又x∈[0,],所以x=.且f()=+,又f(0)=2,f()=,所以f()为最大值.故选B.5.(2013济宁模拟)若函数h(x)=2x-+在(1,+∞)上是增函数,则实数k的取值范围是( A )(A)[-2,+∞) (B)[2,+∞)(C)(-∞,-2] (D)(-∞,2]解析:因为h′(x)=2+,若h(x)在(1,+∞)上是增函数,则h′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,故2+≥0恒成立,即k≥-2x2恒成立.又x>1,∴-2x2<-2,因此,需k≥-2,故选A.6.(2013湛江毕业班调研)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c等于( A )(A)-2或2 (B)-9或3(C)-1或1 (D)-3或1解析:∵y′=3(x+1)(x-1),∴当x=-1或x=1时取得极值,由题意得f(1)=0或f(-1)=0,即c-2=0或c+2=0,解得c=2或c=-2.故选A.7.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为( D )(A)(B) (C)+1 (D)-1解析:f′(x)==,当x>时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当-<x<时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x=时,令f(x)==,=<1,不合题意.∴f(x)max=f(1)==,a=-1,故选D.二、填空题8.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为.解析:∵f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),∴f(x)在(-2,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,因此,当x=0时,f(x)取得最大值,即f(0)=m=3,然而f(-2)=-37,f(2)=-5,因此f(x)min=f(-2)=-37.答案:-379.已知函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)内单调递减,则实数m= . 解析:由已知得,m2-4=0,∴m=±2.若g(x)在(-∞,+∞)内单调递减,则g′(x)≤0恒成立,即-3x2+4x+m≤0恒成立,亦即3x2-4x-m≥0恒成立.∴Δ=16+12m≤0,解得m≤-,故m=-2.答案:-210.函数f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值,则a的取值范围是.解析:∵f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),令f′(x)=0得,x2+2ax+a+2=0,若f(x)有极大值和极小值,则方程x2+2ax+a+2=0有两个不等实数根,∴Δ=4a2-4(a+2)>0.解得a>2或a<-1.答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)11.做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为.解析:设圆柱底面半径为R,高为h,则V=πR2h,则总造价y=2πR2a+2πRhb=2πR2a+2πRb·=2πaR2+,故y′=4πaR-,令y′=0得=.故当=时y取最小值.答案:三、解答题12.(2013浙江五校联考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(x∈[-1,2]),且函数f(x)在x=1和x=-处都取得极值.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间.解:(1)由于f′(x)=3x2+2ax+b,依题意知,f′(1)=0且f′(-)=0,所以解得(2)由(1)知,f(x)=x3-x2-2x+c,f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1).f′(x)>0得,x>1或x<-.又x∈[-1,2],所以f(x)的单调增区间为[-1,- ),(1,2].13.(2013汕头市金山中学第一学期期中考试)某种商品的成本为5元/ 件,开始按8元/件销售,销售量为50件,为了获得最大利润,商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销.经试销发现:实际销售价x(元)每上涨1元每天销售量就减少10件;而降价后,日销售量Q(件)与实际销售价x(元)满足关系:Q=(1)求总利润(利润=销售额-成本)y(元)与实际销售价x(元)的函数关系式;(2)试问:当实际销售价为多少元时,总利润最大.解:(1)依题意得y==(2)由(1)得,当5<x<7时,y=39·(2x3-39x2+252x-535)y′=234(x2-13x+42)=234(x-6)(x-7),当5<x<6时,y′>0,y=f(x)为增函数,当6<x<7时,y′<0,y=f(x)为减函数,所以f(x)max=f(6)=195.当7≤x<8时,y=6(33-x)∈(150,156],当8≤x≤13时,y=-10(x-9)2+160,当x=9时,y max=160.综上知,当x=6时,总利润最大,最大值为195元.14.设函数f(x)=a2ln x-x2+ax,a>0.(1)求f(x)的单调区间;(2)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.(注:e为自然对数的底数)解:(1)因为f(x)=a2ln x-x2+ax,其中x>0,所以f′(x)=-2x+a=-.由于a>0,所以f(x)的单调增区间为(0,a),单调减区间为(a,+∞).(2)由题意得f(1)=a-1≥e-1,即a≥e.由(1)知f(x)在[1,e]内单调递增,要使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.只要解得a=e.B组15.(2013潮州市质检)定义域为R的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0恒成立,若a=3f(3),b=(logπ3)·f(logπ3),c=-2f(-2),则( A )(A)a>c>b (B)c>b>a(C)c>a>b (D)a>b>c解析:设g(x)=xf(x),依题意得g(x)是偶函数.当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0恒成立,即g′(x)<0恒成立,故g(x)在(-∞,0)上单调递减,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,a=3f(3)=g(3),b=(logπ3)·f(logπ3)=g(logπ3),c=-2f(-2)=g(-2)=g(2).又logπ3<1<2<3,故a>c>b.故选A.16.(2013中山市期末统考)已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)(x-a), 若f(x)在x=a处取得极大值,则a的取值范围为.解析:若a>0时,则x∈(-1,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=a处取得极小值,不适合题意,舍去.若-1<a<0时,则x∈(-1,a)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(a,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=a 处取得极大值,适合题意.若a=-1时,函数没有极值点,不适合题意.若a<-1时,则x∈(-∞,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(a,-1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=a处取得极小值,不适合题意.故适合题意的a的取值范围是-1<a<0.答案:(-1,0)。
高考数学总复习 专题02 第11节 导数的概念及运算课件 理
A. x＋1x′＝1＋x12
B. (log2x)′＝xln1 2
C. (3x)′＝3x·log3e
D. (x2cos x)′＝－2xsin x
解析：x＋1x′＝1－x12，(3x)′＝3xln 3，(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x.
答案：B
3. （ 2011 广 西 柳 铁 一 中 第 一 次 月 考 ） 已 知 a 为 实 数 ， 函 数
小问 8 分）
已知函数
f
x
x 1 xa
ln x 1, 其中实数
a
1。
（I） 若 a=-2，求曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
（II） 若 f x在 x=1 处取得极值，试讨论 f x 的单调性。
答案：A
7.（2011 杭州学军中学高三第 2 次月考）设曲线 f x 2ax3 a 在点 (1, a) 处的
切线与直线 2x y 1 0 平行，则实数 a 的值为 ．
【 答案】 1 3
【解析】解：
因为f'(x)=6ax2 , f'(1)=6a,而切线的斜率与已知直线的斜率互为负倒数，
6a=2
2
得
x y
2 3 2 3
则 S 1 1 2 1 .
2 33
故选 A
9.（2010 辽宁理数）(1O)已知点 P 在曲线 y= 4 上，a 为曲线在点
ex 1
P 处的切线的倾斜角，则 a 的取值
范围是
(A)[0, 4 )
【答案】D
(B)
[ 4
,
2
)
( , 3 ]
24
(D)
[3 , )
4
【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用(一)课后作业 文-人
2．11 导数在研究函数中的应用(一)[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2017·某某模拟)函数f (x )＝axx 2＋1(a >0)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 B解析 函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝a 1－x 2x 2＋12＝a 1－x 1＋xx 2＋12.由于a >0，要使f ′(x )>0，只需(1－x )·(1＋x )>0，解得x ∈(－1,1)．故选B.2．若函数f (x )＝(x 2－2x )e x在(a ，b )上单调递减，则b －a 的最大值为( ) A ．2 B. 2 C ．4 D ．2 2 答案 D解析 f ′(x )＝(2x －2)e x ＋(x 2－2x )e x ＝(x 2－2)e x，令f ′(x )<0，∴－2<x <2， 即函数f (x )的单调递减区间为(－2，2)． ∴b －a 的最大值为2 2.故选D.3．函数f (x )＝(x －1)(x －2)2在[0,3]上的最小值为( ) A ．－8 B ．－4 C ．0 D.427答案 B解析 f ′(x )＝(x －2)2＋2(x －1)(x －2)＝(x －2)(3x －4)．令f ′(x )＝0⇒x 1＝43，x 2＝2，结合单调性，只要比较f (0)与f (2)即可．f (0)＝－4，f (2)＝0.故f (x )在[0,3]上的最小值为f (0)＝－4.故选B.4．(2017·豫南九校联考)已知f ′(x )是定义在R 上的连续函数f (x )的导函数，满足f ′(x )－2f (x )<0，且f (－1)＝0，则f (x )>0的解集为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(－∞，0)D ．(－1，＋∞) 答案 A 解析 设g (x )＝f xe2x，则g ′(x )＝f ′x －2f xe2x<0在R 上恒成立，所以g (x )在R 上递减，又因为g (－1)＝0，f (x )>0⇔g (x )>0，所以x <－1.故选A.5．(2017·某某某某一中期末)f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值X 围为( )A ．a <1B ．a ≤1 C．a <2 D ．a ≤2 答案 D解析 由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x －a x， ∵f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴2x －a x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立， ∵x ∈(1，＋∞)时，2x 2>2，∴a ≤2.故选D.6．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．b <c <a 答案 B解析 由f (x )＝f (2－x )可得对称轴为x ＝1，故f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝f (－1)． 又x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，可知f ′(x )>0.即f (x )在(－∞，1)上单调递增，f (－1)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即c <a <b .故选B. 7．若函数f (x )＝e －x·x ，则( ) A ．仅有极小值12eB ．仅有极大值12eC ．有极小值0，极大值12eD ．以上皆不正确答案 B解析 f ′(x )＝－e －x·x ＋12x·e －x＝e －x⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋12x ＝e －x ·1－2x 2x. 令f ′(x )＝0，得x ＝12.当x >12时，f ′(x )<0；当x <12时，f ′(x )>0.∴x ＝12时取极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1e·12＝12e.故选B. 8．已知函数f (x )＝ax－1＋ln x ，若存在x 0>0，使得f (x 0)≤0有解，则实数a 的取值X 围是( )A ．a >2B ．a <3C ．a ≤1 D．a ≥3 答案 C解析 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，不等式a x－1＋ln x ≤0有解，即a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，令h (x )＝x －x ln x ，可得h ′(x )＝1－(ln x ＋1)＝－ln x ，令h ′(x )＝0，可得x ＝1，当0<x <1时，h ′(x )>0，当x >1时，h ′(x )<0，可得当x ＝1时，函数h (x )＝x －x ln x 取得最大值1，要使不等式a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，只要a 小于等于h (x )的最大值即可，即a ≤1.故选C.9．若函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值X 围为( )A ．[2，＋∞) B．[4，＋∞) C ．{4} D ．[2,4] 答案 C解析 f ′(x )＝3ax 2－3，当a ≤0时，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；当0<a ≤1时，f ′(x )＝3ax 2－3＝3a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ，f (x )在[－1,1]上为减函数，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；当a >1时，f (－1)＝－a ＋4≥0，且 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－2a＋1≥0， 解得a ＝4.综上所述，a ＝4.故选C.10．(2018·某某一模)已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝－m x，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)<g (x 0)成立，则实数m 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，2e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2eC ．(－∞，0]D ．(－∞，0) 答案 B解析 由题意，不等式f (x )<g (x )在[1，e]上有解，∴mx <2ln x 在[1，e]上有解，即m 2<ln xx在[1，e]上有解，令h (x )＝ln x x ，则h ′(x )＝1－ln xx2，当1≤x ≤e 时，h ′(x )≥0，∴在[1，e]上，h (x )max ＝h (e)＝1e ，∴m 2<1e ，∴m <2e .∴m 的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2e .故选B.二、填空题11．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值X 围为________．答案 [1，＋∞)解析 f ′(x )＝mx ＋1x－2≥0对一切x >0恒成立．m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ，令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x，则当1x ＝1时，函数g (x )取得最大值1，故m ≥1.12．(2017·西工大附中质检)已知f (x )是奇函数，且当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值是1，则a ＝________.答案 1解析 由题意，得x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12有最大值－1，f ′(x )＝1x －a ，由f ′(x )＝0，得x ＝1a ∈(0,2)，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －1＝－1，解得a ＝1.13．(2018·东北三校联考)已知定义在R 上的奇函数f (x )的图象为一条连续不断的曲线，f (1＋x )＝f (1－x )，f (1)＝a ，且当0<x <1时，f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )，则f (x )在[2017,2018]上的最小值为________．答案 a解析 由f (1＋x )＝f (1－x )可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0，且f (x )的图象关于点(0,0)对称，所以f (x )是以4为周期的周期函数，则f (x )在[2017,2018]上的图象与[1,2]上的图象形状完全相同．令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x －f xex<0，函数g (x )在(0,1)上递减，则g (x )<g (0)＝0，所以f ′(x )<f (x )<0，则函数f (x )在(0,1)上单调递减．又由函数的对称性质可得f (x )在(1,2)上单调递增，则f (x )在[2017,2018]上的最小值为f (2017)＝f (1)＝a .14．(2018·启东中学调研)已知函数f (x )＝e x＋a ln x 的定义域是D ，关于函数f (x )给出下列命题：①对于任意a ∈(0，＋∞)，函数f (x )是D 上的减函数； ②对于任意a ∈(－∞，0)，函数f (x )存在最小值；③存在a ∈(0，＋∞)，使得对于任意的x ∈D ，都有f (x )>0成立； ④存在a ∈(－∞，0)，使得函数f (x )有两个零点．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号) 答案 ②④解析 由f (x )＝e x＋a ln x ，可得f ′(x )＝e x ＋a x，若a >0，则f ′(x )>0，得函数f (x )是D 上的增函数，存在x ∈(0,1)，使得f (x )<0即得命题①③不正确；若a <0，设e x＋a x＝0的根为m ，则在(0，m )上f ′(x )<0，在(m ，＋∞)上f ′(x )>0，所以函数f (x )存在最小值f (m )，即命题②正确；若f (m )<0，则函数f (x )有两个零点，即命题④正确．综上可得，正确命题的序号为②④.B 级三、解答题15．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值． 解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． ②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a.当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－axx>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞.综上得，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无递减区间；当a >0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞. (2)①当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，∴f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，∴当12<a <ln 2时，f (x )的最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，f (x )的最小值为f (2)＝ln 2－2a . 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a . 16．(2017·某某某某联考)已知函数f (x )＝e x－ax ，a >0. (1)记f (x )的极小值为g (a )，求g (a )的最大值； (2)若对任意实数x 恒有f (x )≥0，求a 的取值X 围．解 (1)函数f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a ，令f ′(x )>0，得x >ln a ， 所以f (x )的单调递增区间是(ln a ，＋∞)； 令f ′(x )<0，得x <ln a ，所以f (x )的单调递减区间是(－∞，ln a )， 函数f (x )在x ＝ln a 处取极小值，g (a )＝f (x )极小值＝f (ln a )＝e ln a －a ln a ＝a －a ln a . g ′(a )＝1－(1＋ln a )＝－ln a ，当0<a <1时，g ′(a )>0，g (a )在(0,1)上单调递增； 当a >1时，g ′(a )<0，g (a )在(1，＋∞)上单调递减，所以a ＝1是函数g (a )在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，所以g (a )max ＝g (1)＝1.(2)当x ≤0时，a >0，e x－ax ≥0恒成立， 当x >0时，f (x )≥0，即e x－ax ≥0，即a ≤e xx.令h (x )＝e x x ，x ∈(0，＋∞)，h ′(x )＝e x x －e x x2＝exx －1x 2， 当0<x <1时，h ′(x )<0，当x >1时，h ′(x )>0，故h (x )的最小值为h (1)＝e ， 所以a ≤e，故实数a 的取值X 围是(0，e]．17．(2017·某某湘中名校联考)设函数f (x )＝x －1x－a ln x (a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1和x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得k ＝2－a ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x 2.令g (x )＝x 2－ax ＋1，则方程x 2－ax ＋1＝0的判别式Δ＝a 2－4. ①当|a |≤2时，Δ≤0，f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a <－2时，Δ>0，g (x )＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上恒有f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当a >2时，Δ>0，g (x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42，当0<x <x 1时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x >x 2时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减． (2)由(1)知，a >2.因为f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋x 1－x 2x 1x 2－a (ln x 1－ln x 2)， 所以k ＝f x 1－f x 2x 1－x 2＝1＋1x 1x 2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2.又由(1)知，x 1x 2＝1.于是k ＝2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2.若存在a ，使得k ＝2－a .则ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝1.即ln x1－ln x2＝x1－x2.亦即x2－1x2－2ln x2＝0(x2>1)．(*)再由(1)知，函数h(t)＝t－1t－2ln t在(0，＋∞)上单调递增，而x2>1，所以x2－1x2－2ln x2>1－11－2ln 1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k＝2－a.。
高考数学总复习配套课件：第2章《函数、导数及其应用》2-11导数的概念及运算
1．(2011 年高考江西卷)曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( )
A．1
设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，
则 复 合 函 数 f[v(x)] 在 点 x 处 可 导 ， 且 f′(x)
＝
f′(u)·，v′(x即) y′x＝
y′u·u′x
.
[疑难关注]
曲P(x线0，y＝y0)f的(x)切“线在”点的P(区x0别，与y0联)处系的切线”与“过点 曲P(x线0，y＝y0)f的(x)切“线在”点的P(区x0别，：y0)曲处线的y切＝线f(x”)在与点“P(过x0点，
为 2．函数f(x)的导函数
y－y0＝f′(．x0)(x－x0)
称函数f′(x)＝ 数．
为f(x)的导函
二、基本初等函数的导数公式
三、导数的运算法则
1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
． ．
四3．、[gf复xx]′合＝函f′数xg的[xg－导xf]2x数g′x(g(x)≠0)．
(3)先化简，y＝
1 x·
－
x
x＋ 1x－1＝－x12＋x－12，
∴y′＝－12x－12－12x－32＝－21 x1＋1x.
1．(2013 年深圳模拟)函数 f(x)＝sinx x的导数是( )
xsin x＋cos x
A.
x2
xcos x＋sin x
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第11讲 第1课时 作业课件 理
第二十三页，共三十一页。
答案
解析 设g(x)＝exf(x)－ex(x∈R)，
则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex
＝ex[f(x)＋f′(x)－1]，
因为f(x)＋f′(x)>1，
所以f(x)＋f′(x)－1>0，所以g′(x)>0，
所以g(x)＝exf(x)－ex在定义域上单调递增，
因为exf(x)>ex＋3，所以g(x)>3，
第十七页，共三十一页。
答案 解析
9.若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝ ________.
答案 －12
解析 f′(x)＝3x2＋2bx＋c， 由题意得3x2＋2bx＋c<0的解集为(－1,3)， 所以－1,3是方程3x2＋2bx＋c＝0的根，
12/11/2021
第二十五页，共三十一页。
答案
解析 f′(x)＝x2－ax＋1，∵函数f(x)在区间12，3上单调递减，∴ f′(x)≤0在区间12，3上恒成立，
∴f′12≤0， f′3≤0，
即41－12a＋1≤0， 9－3a＋1≤0，
解得a≥130，
∴实数a的取值范围为130，＋∞.
12/11/2021
第二十六页，共三十一页。
解析
∵f(x)，g(x)均为奇函数，∴F(－x)＝f(－x)g(－x)＝f(x)g(x)＝F(x)，即得 函数F(x)＝f(x)g(x)为偶函数，又f(－2)＝0，可得f(2)＝0，即F(±2)＝f(±2)·g(±2) ＝0，结合上述条件可作出函数F(x)＝f(x)g(x)的草图，由图可得f(x)·g(x)<0的 解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，故选C.
高三数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11课时导数应用精品课件文北师大.ppt
解y′＝3x2－6x<0，得0<x<2. ∴函数的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)， 单调递减区间是(0,2)． (2)由(1)可知函数在x＝0时取得极大值c，在x＝2时取得极小值c－4， ∴函数的极大值与极小值的差为c－(c－4)＝4.
• (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出 实际问题的数学模型，写出实际问题中变量 之间的函数关系y＝f(x)，根据实际意义确定 定义域；
• (2)求函数y＝f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝ 0得出定义域内的实根，确定极值点；
• (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数 值大小，获得所求的最大(小)值；
【变式训练】 3.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝
1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为
10 10
，
若x＝23时，y＝f(x)有极值． (1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
解析： (1)由 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得 f′(x)＝3x2＋2ax ＋b.
• 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可 导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步 骤
• (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
• (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数 值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值．
高考数学总复习第二章函数与导数第11课时导数的概念与运算
第二章函数与导数第11课时 导数的概念与运算第三章(对应学生用书(文)、(理)28～29页)1. (选修22P 7例4改编)已知函数f(x)＝1＋1x，则f(x)在区间[1，2]，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上的平均变化率分别为________．答案：－12，－2解析：f （2）－f （1） 2－1＝－12；f （1）－f （12）1－12＝－2.2. (选修22P 12练习2改编)一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是_______m/s.答案：5解析：s′(t)＝2t －1，s ′(3)＝2×3－1＝5.3. (选修22P 26习题5)曲线y ＝12x －cosx 在x ＝π6处的切线方程为________．答案：x －y －π12－32＝0解析：设f(x)＝12x －cosx ，则f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12＋sin π6＝1，故切线方程为y －⎝⎛⎭⎪⎪⎫π12－32＝x －π6，化简可得x －y －π12－32＝0. 4. (选修22P 26习题8)已知函数f(x)＝（x －2）2x ＋1，则f(x)的导函数f′(x)＝________．答案：x 2＋2x －8（x ＋1）2解析：由f(x)＝x 2－4x ＋4x ＋1，得f ′(x)＝（2x －4）×（x ＋1）－（x 2－4x ＋4）×1（x ＋1）2＝x 2＋2x －8（x ＋1）2.5. (选修22P 20练习7)若直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b ＝________．答案：ln2－1解析：设切点(x 0，lnx 0)，则切线斜率k ＝1x 0＝12，所以x 0＝2.又切点(2，ln2)在切线y ＝12x ＋b 上，所以b ＝ln2－1.1. 平均变化率一般地，函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1．2. 函数f(x)在x ＝x 0处的导数设函数f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，当Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx __，无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f(x)在点x ＝x 0处的导数，记作f′(x 0)．3. 导数的几何意义导数f′(x 0)的几何意义就是曲线f(x)在点(x 0，f(x 0))的切线的斜率．4. 导函数(导数)若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．5. 基本初等函数的导数公式 (1) C′＝0 (C 为常数)； (2) (x n)′＝nxn －1；(3) (sinx)′＝cosx ； (4) (cosx)′＝－sinx ；(5) (a x)′＝a xlna(a>0且a≠1)；(6) (e x )′＝e x；(7) (log a x)′＝1x log a e ＝1xlna __(a>0，且a≠1)；(8) (lnx)′＝1x .6. 导数的四则运算法则若u(x)，v(x)的导数都存在，则 (1) (u±v)′＝u′±v′； (2) (uv)′＝u′v＋uv′；(3) ⎝ ⎛⎭⎪⎫u v ′＝u′v－uv′v ； (4) (mu)′＝mu′ (m 为常数)． [备课札记]题型1 平均变化率与瞬时变化率例1 某一运动物体，在x(s)时离出发点的距离(单位：m)是f(x)＝23x 3＋x 2＋2x.(1) 求在第1s 内的平均速度； (2) 求在1s 末的瞬时速度；(3) 经过多少时间该物体的运动速度达到14m/s ?解：(1) 物体在第 1 s 内的平均变化率(即平均速度)为f （1） －f （0）1－0＝113m/s.(2) Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1） Δx＝23（1＋Δx ）3＋（1＋Δx ）2＋2（1＋Δx ）－113Δx＝6＋3Δx ＋23(Δx)2.当Δx →0时，Δy Δx →6，所以物体在1 s末的瞬时速度为6m/s.(3) Δy Δx ＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝23（x ＋Δx ）3＋（x ＋Δx ）2＋2（x ＋Δx ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3＋x 2＋2x Δx＝2x 2＋2x ＋2＋23(Δx)2＋2x·Δx ＋Δx.当Δx →0时，Δy Δx →2x 2＋2x ＋2，令2x 2＋2x ＋2＝14，解得x＝2 s ，即经过2 s 该物体的运动速度达到14 m/s.备选变式（教师专享）在F1赛车中，赛车位移与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)．求：(1) t ＝20s ，Δt ＝0.1s 时的Δs 与ΔsΔt ；(2) t ＝20s 时的瞬时速度．解：(1) Δs＝s(20＋Δt)－s(20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202＝21.05 m.Δs Δt ＝21.050.1＝210.5 m/s. (2) 由导数的定义，知在t ＝20s 的瞬时速度为v(t)＝Δs Δt ＝10（t ＋Δt）＋5（t ＋Δt）2－10t －5t 2Δt＝5Δt 2＋10t·Δt＋10Δt Δt ＝5Δt＋10t ＋10.当Δt→0，t ＝20 s 时，v ＝10×20＋10＝210 m/s.答：t ＝20s ，Δt ＝0.1 s 时的Δs 为21.05 m ，ΔsΔt 为210.5 m/s ，即在t ＝20s 时瞬时速度为210 m/s. 题型2 利用导数公式、求导法则求导 例2 求下列函数的导数． (1) y ＝1x＋x 3； (2) y ＝e x lnx ； (3) y ＝tanx ；(4) y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(理)(5) y ＝ln （2＋3x ）x .解：(1) y′＝－12x －32＋3x 2.(2) y′＝ex⎝⎛⎭⎪⎫lnx ＋1x .(3) y′＝1cos 2x .(4) y′＝3x 2－2x 3.(5) y′＝2x （2＋3x ）－ln （2＋3x ）x 2. 备选变式（教师专享） 求下列函数的导数． (1) y ＝(2x 2＋3)(3x －2)；(2) y ＝lnxx；(3) y ＝11－x ＋11＋x ；(4) y ＝x －sin x 2cos x2；(理)(5) y ＝2x＋ln(1－5x)．解：(1) y′＝18x 2－8x ＋9；(2) y′＝1－lnxx2； (3) y′＝2（1－x ）2；(4) y′＝1－12cosx ；(5) y′＝2xlnx ＋55x －1.题型3 利用导数的几何意义解题例3 已知函数f(x)＝axx 2＋b ，且f(x)的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若P(x 0，y 0)为f(x)图象上的任意一点，直线l 与f(x)的图象切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1) 对函数f(x)求导，得f′(x)＝a （x 2＋b ）－ax （2x ）（x 2＋b ）2＝ab －ax2（x 2＋b ）2.∵ f(x)的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f′（1）＝0，f （1）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ab －a ＝0，1＋b≠0，a 1＋b ＝2，∴ a ＝4，b ＝1，∴ f(x)＝4xx 2＋1.(2) ∵ f′(x)＝4－4x2（x 2＋1）2，∴ 直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝4－4x 2（x 20＋1）2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x 20＋1）2－1x 20＋1， 令t ＝1x 20＋1，t ∈(0，1]，则k ＝4(2t2－t)＝8⎝⎛⎭⎪⎫t －142－12，∴ k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4.变式训练(1) 已知曲线y ＝13x 3＋43，求曲线过点P(2，4)的切线方程；(2) 求抛物线y ＝x 2上点到直线x －y －2＝0的最短距离． 解：(1) 设曲线y ＝13x 3＋43与过点P(2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝x 2，切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43.因为点P(2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(2) 由题意得，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y －2＝0距离最短，设切点为(x 0，x 20)，则切线的斜率为2x 0＝1，所以x 0＝12，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y－2＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.1. (2013·大纲)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝________．答案：－6解析：y′＝4x 3＋2ax ，由题意，k ＝y′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，所以a ＝－6.2. (2013·南通一模)曲线f(x)＝f′（1）e e x －f(0)x ＋12x 2在点(1，f(1))处的切线方程为________．答案：y ＝ex －12解析：由已知得f(0)＝f′（1）e ，∴ f(x)＝f′（1）e e x －f′（1）e x ＋12x 2，∴ f ′(x)＝f′（1）e e x －f′（1）e＋x ，∴ f ′(1)＝f′（1）e e －f′（1）e ＋1，即f′(1)＝e ，从而f(x)＝e x－x ＋12x 2，f ′(x)＝e x－1＋x ，∴ f(1)＝e －12，f ′(1)＝e ，故切线方程为y －⎝⎛⎭⎪⎫e －12＝e(x －1)，即y ＝ex －12.3. (2013·南京三模)记定义在R 上的函数y ＝f(x)的导函数为f′(x )．如果存在x 0∈[a ，b]，使得f(b)－f(a)＝f ′(x 0)(b －a)成立，则称x 0为函数f(x)在区间[a ，b]上的“中值点”，那么函数f(x)＝x 3－3x 在区间[－2，2]上“中值点”的个数为________．答案：2解析：f(2)＝2，f(－2)＝－2，f （b ）－f （a ）b －a ＝1，f ′(x)＝3x 2－3＝1，得x ＝±233∈[－2，2]，故有2个．4. (2013·盐城二模)若实数a 、b 、c 、d 满足a 2－2lna b ＝3c －4d ＝1，则(a －c)2＋(b －d)2的最小值为________．答案：25(1－ln2)2解析：∵ a 2－2lna b ＝3c －4d＝1，∴ b ＝a 2－2lna ，d ＝3c －4，∴ 点(a ，b)在曲线y ＝x 2－2lnx 上，点(c ，d)在曲线y ＝3x －4上，(a －c)2＋(b －d)2的几何意义就是曲线y ＝x 2－2lnx 到曲线y ＝3x －4上点的距离最小值的平方．考查曲线y ＝x 2－2lnx(x>0)平行于直线y ＝3x －4的切线，∵ y ′＝2x －2x ，令y′＝2x －2x ＝3，解得x ＝2，∴ 切点为(2，4－2ln2)，该切点到直线y ＝3x －4的距离d ＝|3×2－4＋2ln2－4|32＋（－1）2＝2－2ln210就是所要求的两曲线间的最小距离，故(a －c)2＋(b －d)2的最小值为d 2＝25(1－ln2)2.1. 已知函数f(x)＝e x－f(0)x ＋12x 2，则f′(1)＝____．答案：e解析：由条件，f(0)＝e 0－f(0)×0＋12×02＝1，则f(x)＝ex－x ＋12x 2，所以f′(x)＝e x －1＋x ，所以f′(1)＝e 1－1＋1＝e.2. 已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1、C 2都相切，则直线l 的方程是____________．答案：y ＝0或y ＝4x －4解析：设两个切点的坐标依次为(x 1，x 21)，(x 2，－(x 2－2)2)，由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝－2x 2＋4，x 21＋[]－（x 2－2）2x 1－x 2＝2x 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝0，从而可求直线方程为y ＝0或y ＝4x －4.3. 已知函数f(x)＝xlnx ，过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0作函数y ＝f(x)图象的切线，则切线的方程为________．答案：x ＋y ＋1e2＝0解析：设切点T(x 0，y 0)，则k AT ＝f′(x 0)，∴ x 0lnx 0x 0＋1e 2＝lnx 0＋1，即e 2x 0＋lnx 0＋1＝0，设h(x)＝e 2x ＋lnx ＋1，当x>0时h ′(x)>0，∴ h(x)是单调递增函数，∴ h(x)＝0最多只有一个根．又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝e 2×1e 2＋ln 1e 2＋1＝0，∴ x 0＝1e 2.由f ′(x 0)＝－1得切线方程是x ＋y ＋1e2＝0.4. 已知函数f(x)＝lnx ，g(x)＝12ax 2＋bx(a≠0)，设函数f(x)的图象C 1与函数g(x)的图象C 2交于两点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线互相平行？若存在，求出点R 的横坐标；若不存在，请说明理由．解：设点P 、Q 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且0＜x 2＜x 1，则点M 、N 的横坐标均为x 1＋x 22.∴ C 1在点M 处的切线斜率为k 1＝1x |x ＝x 1＋x 22＝2x 1＋x 2，C 2在点N 处的切线斜率为k 2＝ax ＋b|x ＝x 1＋x 22＝a （x 1＋x 2）2＋b ，假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线互相平行， 则k 1＝k 2，即2x 1＋x 2＝a （x 1＋x 2）2＋b.∵ P 、Q 是曲线C 1、C 2的交点，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧lnx 1＝12ax 21＋bx 1，lnx 2＝12ax 22＋bx 2，两式相减，得lnx 1－lnx 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12ax 21＋bx 1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12ax 22＋bx 2，即lnx 1－lnx 2＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a （x 1＋x 2）2＋b ， ∴ lnx 1－lnx 2＝2（x 1－x 2）x 1＋x 2，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＋1.设u ＝x 1x 2＞1，则lnu ＝2（u －1）（u ＋1），u ＞1(*)．令r(u)＝lnu －2（u －1）（u ＋1），u ＞1，则r′(u)＝1u －4（u ＋1）2＝（u －1）2u （u ＋1）2.∵ u ＞1，∴ r ′(u)＞0，∴ r(u)在(1，＋∞)上单调递增， 故r(u)＞r(1)＝0，则lnu ＞2（u －1）（u ＋1），这与上面(*)相矛盾，所以，故假设不成立． 故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行．1. 求函数的导数有两种方法，一是利用导数定义，这种方法虽然比较复杂，但需要了解；二是利用导数公式和运算法则求导数，这是求函数导数的主要方法，其关键是记住公式和法则，并适当进行简便运算．2. 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1) 函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2) 切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．(3) 与导数几何意义有关的综合性问题，涉及到三角函数求值、方程和不等式的解，关键是要善于进行等价转化．请使用课时训练（B）第11课时（见活页）. [备课札记]。
高中导数的概念与计算练习题带答案
导数概念与计算1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ）A ．1-B ．2-C ．2D ．02．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ）A ．(0,0)B ．(1,1)C ．(0,1)D ．(1,0)3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）A ．2eB ．eC ．ln 22D ．ln 24．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1B ．2C ．eD ．1e5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等于（ ）A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ）A ．e -B ．1-C ．1D ．e7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________．8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1）1()2ln f x ax x x=--（2）2()1xe f x ax =+（3）21()ln(1)2f x x ax x =--+（4）cos sin y x x x =-（5）1cos xy xe-=（6）11x x e y e +=-10．已知函数()ln(1)f x x x =+-．（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：当1x >-时，11ln(1)1x x x -≤+≤+．11．设函数()bf x ax x =-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．12．设函数2()x x f x x e xe =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当[2,2]x ∈-时，不等式()f x m >恒成立，求实数m 的取值范围．导数作业1答案——导数概念与计算1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ）A ．1-B ．2-C ．2D ．0选B ．2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ）A ．(0,0)B ．(1,1)C ．(0,1)D ．(1,0)解：由题意知，函数f （x ）＝x 4－x 在点P 处的切线的斜率等于3，即f ′（x 0）＝4x 30－1＝3，∴x 0＝1，将其代入f （x ）中可得P （1,0）． 选D ．3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）A ．2eB ．eC ．ln 22D ．ln 2解：f （x ）的定义域为（0，＋∞）， f ′（x ）＝ln x ＋1，由f ′（x 0）＝2， 即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 选B ．4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1B ．2C ．eD ．1e解：∵y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 选A ．5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等于（ ）A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -解：∵f 0（x ）＝sin x ，f 1（x ）＝cos x ，f 2（x ）＝－sin x ，f 3（x ）＝－cos x ，f 4（x ）＝sin x ，… ∴f n （x ）＝f n ＋4（x ），故f 2 012（x ）＝f 0（x ）＝sin x ， ∴f 2 013（x ）＝f ′2 012（x ）＝cos x . 选C ．6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ）A ．e -B ．1-C ．1D ．e解：由f （x ）＝2xf ′（1）＋ln x ，得f ′（x ）＝2f ′（1）＋1x，∴f ′（1）＝2f ′（1）＋1，则f ′（1）＝－1. 选B ．7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________．解：由y ＝ln x 得，y ′＝1x ，∴y ′|x ＝1＝1，∴曲线y ＝ln x 在与x 轴交点（1,0）处的切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 解：y ′＝e x ，设切点的坐标为（x 0，y 0）则y 0x 0＝e x 0，即e x 0x 0＝e x 0，∴x 0＝1.因此切点的坐标为（1，e ），切线的斜率为e.9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1）1()2ln f x ax x x=-- （2）2()1xe f x ax =+（3）21()ln(1)2f x x ax x =--+（4）cos sin y x x x =-∵y ＝x cos x －sin x ，∴y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . （5）1cos x y xe -=∵y ＝x e 1－cos x，∴y ′＝e 1－cos x＋x e 1－cos x（sin x ）＝（1＋x sin x ）e 1－cos x.（6）11x x e y e +=-y ＝e x ＋1e x －1＝1＋2e x －1∴y ′＝－2e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2. 10．已知函数()ln(1)f x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：当1x >-时，11ln(1)1x x x -≤+≤+． 解：（1）函数f （x ）的定义域为（－1，＋∞）． f ′（x ）＝1x ＋1－1＝－x x ＋1f ′（x ）与f （x ）随x 变化情况如下：x （－1,0）0 （0，＋∞）f ′（x ） ＋0 －f （x ）因此f （x ）的递增区间为（－1,0），递减区间为（0，＋∞）． （2）证明 由（1） 知f （x ）≤f （0）． 即ln （x ＋1）≤x设h （x ）＝ln （x ＋1）＋1x ＋1－1h ′（x ）＝1x ＋1－1x ＋12＝x x ＋12可判断出h （x ）在（－1,0）上递减，在（0，＋∞）上递增． 因此h （x ）≥h （0）即ln （x ＋1）≥1－1x ＋1.所以当x >－1时1－1x ＋1≤ln （x ＋1）≤x .11．设函数()bf x ax x =-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．（1）解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′（x ）＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f （x ）＝x －3x .（2）证明 设P （x 0，y 0）为曲线上任一点，由f ′（x ）＝1＋3x 2知，曲线在点P （x 0，y 0）处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20（x －x 0）， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20（x －x 0）． 令x ＝0得，y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为（2x 0,2x 0）．所以点P （x 0，y 0）处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f （x ）上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.12．设函数2()x x f x x e xe =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当[2,2]x ∈-时，不等式()f x m >恒成立，求实数m 的取值范围． 解 （1）函数f （x ）的定义域为（－ ∞，＋∞）， f ′（x ）＝2x ＋e x －（e x ＋x e x ）＝x （2－e x ），（2）由（1）可知因为，(0)1f =，(2)4241f e e e =+-=-< 所以，2min ()(2)4f x f e ==- 故24m e <-．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第11课时 导数的概念与运算.pdf
函数与导数第11课时 导数的概念与运算(对应学生用书(文)、(理)28～29页) 考情分析考点新知① 导数的概念及其运算是导数应用的基础是高考重点考查的对象主要考查求导数的基本公式和法则. 对导数几何意义的考查几乎年年都有往往以导数几何意义为背景设置成导数与解析几何的简单综合． ① 了解导数概念的实际背景理解导数的几何意义.能根据基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 1. (选修22例4改编)已知函数f(x)＝1＋则f(x)在区间[1]，上的平均变化率分别为________．答案：－－2解析：＝－；＝－2.(选修222改编)一个物体的运动方程为s＝1－t＋t其中s的单位是的单位是那么物体在3 末的瞬时速度是_______答案：5解析：s′(t)＝2t－1(3)＝2×3－1＝5.(选修22习题5)曲线y＝－在x＝处的切线方程________．答案：x－y－－＝0解析：设f(x)＝－则f′＝＋＝1故切线方程为y－＝x－化简可得x－y－－＝0.(选修22习题8)已知函数f(x)＝则f(x)的导函数f′(x)＝________．答案：解析：由f(x)＝得(x)＝＝(选修22练习7)若直线y＝＋b是曲线y＝(x>0)的一条切线则实数b＝________．答案：－1解析：设x0，lnx0)，则切线斜率k＝＝所以x＝2.又切点(2)在切线y＝＋b上所以b＝－1. 1. 平均变化率一般地函数f(x)在区间[x]上的平均变化率为函数f(x)在x＝x处的导数设函数f(x)在区间(a)上有定义(a，b)，当无限趋近于0时比值＝无限趋近于一个常数A则称f(x)在点x＝x处可导并称该常数A为函数(x)在点x＝x处的导数记作f′(x)．导数的几何意义导数f′(x)的几何意义就是曲线f(x)在点(x(x0))的切线的斜率．导函数(导数)若f(x)对于区间(a)内任一点都可导则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化因而也是自变量x的函数该函数称为f(x)的导函数记作f′(x)．基本初等函数的导数公式(1) C′＝0 (C为常数)；(2) (xn)′＝nx－1；(3)(sinx)′＝；(4) (cosx)′＝－；(5) (ax)′＝a(a>0且a≠1)；(6) (ex)′＝e；(7)(logax)′＝logae＝__(a>0，且a≠1)；(8) (lnx)′＝导数的四则运算法则若u(x)(x)的导数都存在则(1)(u±v)′＝u′±v′；(2) (uv)′＝u′v＋uv′；(3) ′＝；(4) (mu)′＝mu′ (m为常数)．[备课札记] 题型1 平均变化率与瞬时变化率例1 某一运动物体在x()时离出发点的距离(单位：m)是f(x)＝＋x＋2x.(1) 求在第1内的平均速度；(2) 求在1末的瞬时速度；(3) 经过多少时间该物体的运动速度达到14解：(1) 物体在第1 内的平均变化率(即平均速度)为＝(2) ＝＝＝6＋3＋()2.当时→6，所以物体在1 末的瞬时速度为6. (3) ＝＝＝2x＋2x＋2＋()2＋2x·＋当时→2x2＋2x＋2令2x＋2x＋2＝14解得＝2 即经过2 该物体的运动速度达到14 在F1赛车中赛车位移与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t(s的单位为m的单位为s)．求：(1) t＝20＝0.1时的Δs与；(2) t＝20时的瞬时速度．解：(1)Δs＝s(20＋Δt)－s(20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)－10×20－5×20＝21.05 m.＝＝210.5 m/s.(2) 由导数的定义知在t＝20的瞬时速度为(t)＝＝＝＝5Δt＋10t＋10.当Δt→0＝20 时＝10×20＋10＝210 m/s.答：t＝20＝0.1 时的Δs为21.05 m为210.5 m/st＝20时瞬时速度为210 m/s.题型2 利用导数公式、求导法则求导例2 求下列函数的导数．(1) y＝＋x；(2) y＝e；(3) y＝；(4) y＝x；(理)(5) y＝解：(1) y′＝－－＋3x(2) y′＝.(3) y′＝. (4) y′＝3x－.(5) y′＝－. 求下列函数的导数．(1) y＝(2x＋3)(3x－2)；(2) y＝；(3) y＝＋；(4) y＝x－sin；(理)(5)y＝2＋(1－5x)．解：(1) y′＝18x－8x＋9；(2) y′＝；(3) y′＝；(4) y′＝1－cosx；(5) y′＝2＋题型3 利用导数的几何意义解题例3 已知函数f(x)＝且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若P(x)为f(x)图象上的任意一点直线l与(x)的图象切于P点求直线l的斜率k的取值范围．解：(1) 对函数f(x)求导f′(x)＝＝(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切 即＝4b＝1(x)＝(2) ∵ f′(x)＝直线l的斜率k＝(x0)＝＝4令t＝(0，1]，则＝4(2t－t)＝2－. (1) 已知曲线y＝＋求曲线过点P(2)的切线方程；(2) 求抛物线y＝x上点到直线x－y－2＝0的解：(1) 设曲线y＝＋与过点(2，4)的切线相切于点A则切线的斜率k＝x切线方程为y－＝x(x－x)，即y＝x－＋因为点P(2)在切线上所以4＝2x－＋即x－3x＋4＝0解得x＝－1或x＝2故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.(2) 由题意得与直线x－y－2＝0平行的抛物线＝x的切线对应的切点到直线x－y－2＝0距离最短设切点为(x)，则切线的斜率为2x0＝1所以x＝切点为切点到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝ 1. (2013·大纲)已知曲线y＝x＋ax＋1在点(－1a＋2)处切线的斜率为8则a＝________．答案：－6解析：y′＝4x＋2ax由题意＝y′|＝－1＝－4－2a＝8所以a＝－6.(2013·南通一模)曲线f(x)＝－f(0)x＋在点(1(1))处的切线方程为________．答案：y＝－解析：由已知得f(0)＝(x)＝－＋(x)＝－＋x(1)＝－＋1f′(1)＝从而f(x)＝－x＋(x)＝－1＋x(1)＝－(1)＝故切线方程为y－＝(x－1)即y＝－(2013·南京三模)记定义在R上的函数y＝f(x)的导函数为f′(x如果存在x[a，b]，使得f(b)－f(a)＝(x0)(b－a)成立则称x为函数f(x)在区间[a]上的“中值点”那么函数f(x)＝x－3x在区间[－2]上“中值点”的个数为________．答案：2解析：f(2)＝2(－2)＝－2＝1(x)＝3x－3＝1得x＝±[－2]，故2个．(2013·盐城二模)若实数a、b、c、d满足＝＝1则(a－c)＋(b－d)的最小值为________．答案：(1－)2 解析：∵ ＝＝1＝a－2＝3c－4点(a)在曲线y＝x－2上点(c)在曲线y＝3x－4上(a－c)＋(b－d)的几何意义就是曲线y＝x－2到曲线y＝3x－4上点的距离最小值的平方．考查曲线y＝x－2(x>0)平行于直线y＝3x－4的切线＝2x－令y′＝2x－＝3解得x＝2切点为(2－2)，该切点到直线y＝3x－4的距离d＝＝就是所要求的两曲线间的最小距离故(a－c)＋(b－d)的最小值为d＝(1－)2. 1. 已知函数f(x)＝－f(0)x＋则f′(1)＝____．答案：解析：由条件(0)＝－f(0)×0＋＝1则f(x)＝－x＋2，所以f′(x)＝－1＋x所以f′(1)＝－1＋1＝已知曲线C：y＝x与C：y＝－(x－2)直线l与C、C都相切则直线l的方程是____________．答案：y＝0或y＝4x－4解析：设两个切点的坐标依次为(x)，(x2，－(x－2))，由条件得解得或从而可求直线方程为y＝0或y＝4x－4.已知函数f(x)＝x过点A作函数y＝f(x)图象的切线则切线的方程为________．答案：x＋y＋＝0解析：设切点T(x)，则k＝f′(x)，∴ ＝＋1即＋＋1＝0设h(x)＝＋＋1当x>0时(x)>0，∴ h(x)是单调递增函数(x)＝0最多只有一个根．又h＝＋＋1＝0＝由(x0)＝－1得切线方程是x＋y＋＝0.已知函数f(x)＝lnx(x)＝＋bx(a≠0)设函数(x)的图象C与函数g(x)的图象C交于两点P、Q过线段PQ的中点R作x轴垂线分别交C、C于点M、N问是否存在点R使C在点M处的切线与C在点N处的切线互相平行？若存在求出点R的横坐标；若不存在请说明理由．解：设点P、Q的坐标分别为(x)、(x)，且＜x＜x则点M、N的横坐标均为在点M处的切线斜率为k＝＝＝在点N处的切线斜率为k＝ax＋b|＝＝＋b假设C在点M处的切线与C在点N处的切线互相平行则k＝k即＝＋b.Q是曲线C、C的交点 两式相减得lnx－lnx＝－即lnx－lnx＝(x－x)， ∴ lnx1－lnx＝即ln＝设u＝＞1则lnu＝＞1(*)．令r(u)＝lnu－＞1则r′(u)＝－＝＞1(u)＞0(u)在(1＋∞)上单调递增故r(u)＞r(1)＝0则lnu＞这与上面(*)相矛盾所以故假设不成立．故C在点M处的切线与C在点N处的切线不平行． 1. 求函数的导数有两种方法一是利用导数定义这种方法虽然比较复杂但需要了解；二是利用导数公式和运算法则求导数这是求函数导数的主要方法其关键是记住公式和法则并适当进行简便运算．利用导数研究曲线的切线问题一定要熟练掌握以下条件：(1) 函数在切点处的导数值是切线的斜率即已知切点坐标可求切线斜率已知斜率可求切点坐标．(2) 切点既在曲线上又在切线上切线有可能和曲线还有其他(3) 与导数几何意义有关的综合性问题涉及到三角函数求值、方程和不等式的解关键是要善于进行等价转化． [备课札记]。
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用练习 理-人教版高三全
第二章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用练习 理[A 组·基础达标练]1．函数f (x )＝x 4－4x 3＋4x 2的极值点是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝0，x ＝1和x ＝2 答案 D解析 f ′(x )＝4x 3－12x 2＋8x ＝4x (x 2－3x ＋2)＝4x (x －1)(x －2)，则结合列表可得f (x )的极值点为x ＝0，x ＝1和x ＝2.2．[2015·某某一检]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．则不等式f (x )<1的解集是( )A ．(－3,0)B ．(－3,5)C ．(0,5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞) 答案 B解析 依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3,5)，选B.3．[2016·某某师大附中月考]若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518B ．(－∞，3]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞D ．[3，＋∞) 答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，因为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.4．[2013·某某高考]已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A ．f (x 1)>0，f (x 2)>－12B ．f (x 1)<0，f (x 2)<－12C ．f (x 1)>0，f (x 2)<－12D ．f (x 1)<0，f (x 2)>－12答案 D解析 f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，依题意知f ′(x )＝0有两个不等实根x 1，x 2. 即曲线y 1＝1＋ln x 与y 2＝2ax 有两个不同交点，如图．由直线y ＝x 是曲线y ＝1＋ln x 的切线，可知：0<2a <1，且0<x 1<1<x 2.∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 由0<x 1<1，得f (x 1)＝x 1(ln x 1－ax 1)<0， 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0， 当x >x 2时，f ′(x )<0，∴f (x 2)>f (1)＝－a >－12，故选D.5．[2015·某某一模]若定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )>1，f (0)＝4，则不等式f (x )>3ex ＋1(e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(3，＋∞) 答案 A解析 由f (x )>3ex ＋1得，e x f (x )>3＋e x ，构造函数F (x )＝e x f (x )－e x－3，对F (x )求导得F ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]．由f (x )＋f ′(x )>1，e x >0，可知F ′(x )>0，即F (x )在R 上单调递增，又因为F (0)＝e 0f (0)－e 0－3＝f (0)－4＝0，所以F (x )>0的解集为(0，＋∞)，所以选A.6．[2013·某某高考]已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x－1)(x －1)k(k ＝1,2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 答案 C解析 当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，f ′(x )＝x e x－1，f ′(1)≠0，故A ，B 错；当k ＝2时，f (x )＝(e x－1)(x －1)2，f ′(x )＝(x 2－1)e x －2x ＋2＝(x －1)[(x ＋1)e x－2]，故f ′(x )＝0有一根为x 1＝1，另一根x 2∈(0,1)．当x ∈(x 2,1)时，f ′(x )<0，f (x )递减；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )递增，∴f (x )在x ＝1处取得极小值，故选C.7．[2016·东北八校月考]已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．答案 4解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′1＝3×12＋6a ×1＋3b ＝－3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值X 围是________．答案 (0,1)∪(2,3)解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－x －1x －3x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内， 函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调， 由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.9．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．答案 －13解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 根据已知2a3＝2，得a ＝3，即f (x )＝－x 3＋3x 2－4.根据函数f (x )的极值点，可得函数f (m )在[－1,1]上的最小值为f (0)＝－4，f ′(n )＝－3n 2＋6n 在[－1,1]上单调递增，所以f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－9.[f (m )＋f ′(n )]min ＝f (m )min ＋f ′(n )min ＝－4－9＝－13. 10．[2015·某某一检]已知函数f (x )＝ln x －x1＋2x .(1)求证：f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增； (2)若f [x (3x －2)]<－13，某某数x 的取值X 围．解 (1)证明：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝ln x －x1＋2x， ∴f ′(x )＝1x －1＋2x －2x 1＋2x 2＝4x 2＋3x ＋1x 1＋2x 2. ∵x >0，∴4x 2＋3x ＋1>0，x (1＋2x )2>0. ∴当x >0时，f ′(x )>0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f (x )＝ln x －x 1＋2x ，∴f (1)＝ln 1－11＋2×1＝－13.由f [x (3x －2)]<－13得f [x (3x －2)]<f (1)．由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x 3x －2>0x3x －2<1，解得－13<x <0或23<x <1.综上所述，x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.11．[2015·某某一检]已知函数f (x )＝x ·ln x ，g (x )＝ax 3－12x －23e .(1)求f (x )的单调递增区间和最小值；(2)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点处存在公共切线，某某数a 的值． 解 (1)∵f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )>0，得x >1e，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， ∴f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .(2)∵f ′(x )＝ln x ＋1，g ′(x )＝3ax 2－12，设公切点的横坐标为x 0，则与f (x )的图象相切的直线方程为：y ＝(ln x 0＋1)x －x 0， 与g (x )的图象相切的直线方程为：y ＝⎝⎛⎭⎪⎫3ax 20－12x －2ax 30－23e ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝3ax 2－12，－x 0＝－2ax 30－23e解之得x 0ln x 0＝－1e ，由(1)知x 0＝1e ，∴a ＝e26.12．[2016·某某检测]已知f (x )＝e x(x 3＋mx 2－2x ＋2)． (1)假设m ＝－2，求f (x )的极大值与极小值；(2)是否存在实数m ，使f (x )在[－2，－1]上单调递增？如果存在，求m 的取值X 围；如果不存在，请说明理由．解 (1)当m ＝－2时，f (x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)，其定义域为(－∞，＋∞)．则f ′(x )＝e x(x 3－2x 2－2x ＋2)＋e x (3x 2－4x －2)＝x e x (x 2＋x －6)＝(x ＋3)x (x －2)e x， ∴当x ∈(－∞，－3)或x ∈(0,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－3,0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0；f ′(－3)＝f ′(0)＝f ′(2)＝0，∴f (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增； 在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝－3或x ＝2时，f (x )取得极小值； 当x ＝0时，f (x )取得极大值， ∴f (x )极小值＝f (－3)＝－37e －3，f (x )极小值＝f (2)＝－2e 2， f (x )极大值＝f (0)＝2.(2)f ′(x )＝e x(x 3＋mx 2－2x ＋2)＋e x (3x 2＋2mx －2)＝x e x [x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2]． ∵f (x )在[－2，－1]上单调递增， ∴当x ∈[－2，－1]时，f ′(x )≥0. 又∵当x ∈[－2，－1]时，x e x<0， ∴当x ∈[－2，－1]时，x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′－2＝－22－2m ＋3＋2m －2≤0，f ′－1＝－12－m ＋3＋2m －2≤0，解得m ≤4，∴当m ∈(－∞，4]时，f (x )在[－2，－1]上单调递增．[B 组·能力提升练]1．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－5，1)B ．[－5，1)C ．[－2,1)D ．(－5，－2] 答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，且x ＝1为函数的极小值点，x ＝－1为函数的极大值点．函数f (x )在区间(a,6－a 2)上有最小值， 则函数f (x )极小值点必在区间(a,6－a 2)内， 即实数a 满足a <1<6－a 2且f (a )＝a 3－3a ≥f (1)＝－2. 解a <1<6－a 2，得－5<a <1， 不等式a 3－3a ≥f (1)＝－2，即a 3－3a ＋2≥0，即a 3－1－3(a －1)≥0， 即(a －1)(a 2＋a －2)≥0， 即(a －1)2(a ＋2)≥0， 即a ≥－2.故实数a 的取值X 围是[－2,1)． 故选C.2．[2016·某某调研]已知函数f (x )＝ln x ＋1ln x ，则下列结论中正确的是( )A ．若x 1，x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是增函数B ．若x 1，x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是减函数C ．∀x >0，且x ≠1，f (x )≥2D ．∃x 0>0，f (x )在(x 0，＋∞)内是增函数 答案 D解析 由已知得，f ′(x )＝1x ·ln 2x －1ln 2x(x >0且x ≠1)，令f ′(x )＝0，得ln x ＝±1，得x ＝e 或x ＝1e.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1e，1，x ∈(1，e)时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.故x ＝1e和x ＝e 分别是函数f (x )的极大值点和极小值点，但是由函数的定义域可知x ≠1，故函数f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 内不是单调的，所以A ，B 错；当0<x <1时，ln x <0，此时f (x )<0，C 错；只要x 0≥e，则f (x )在(x 0，＋∞)内是增函数，D 正确．3．[2015·某某高考]已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f x 1－f x 2x 1－x 2，n ＝g x 1－g x 2x 1－x 2.现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0；③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)． 答案 ①④解析 ①f (x )＝2x是增函数，∴对任意不相等的实数x 1，x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0，即m >0，∴①成立．②由g (x )＝x 2＋ax 图象可知，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2时，g (x )是减函数，∴当不相等的实数x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2时，g x 1－g x 2x 1－x 2<0，即n <0，∴②不成立． ③若m ＝n ，则有f x 1－f x 2x 1－x 2＝g x 1－g x 2x 1－x 2，即f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)，f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，令h (x )＝f (x )－g (x )， 则h (x )＝2x－x 2－ax ，h ′(x )＝2x ln 2－2x －a ，令h ′(x )＝2xln 2－2x －a ＝0， 得2xln 2＝2x ＋a .由y ＝2x ln 2与y ＝2x ＋a 的图象知， 存在a 使对任意x ∈R 恒有2xln 2>2x ＋a ， 此时h (x )在R 上是增函数． 若h (x 1)＝h (x 2)，则x 1＝x 2， ∴③不成立． ④若m ＝－n ，则有f x 1－f x 2x 1－x 2＝－g x 1－g x 2x 1－x 2，f (x 1)＋g (x 1)＝f (x 2)＋g (x 2)，令φ(x )＝f (x )＋g (x )， 则φ(x )＝2x＋x 2＋ax ，φ′(x )＝2x ln 2＋2x ＋a .令φ′(x )＝0，得2xln 2＋2x ＋a ＝0， 即2xln 2＝－2x －a .由y 1＝2xln 2与y 2＝－2x －a 的图象可知，对任意的a ，存在x 0，使x >x 0时y 1>y 2，x <x 0时y 1<y 2，故对任意的a ，存在x 0，使x >x 0时，φ′(x )>0，x <x 0时φ′(x )<0， 故对任意的a ，φ(x )在R 上不是单调函数．故对任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使m ＝－n ， ∴④成立． 综上，①④正确．4．已知函数f (x )＝e x－ln (x ＋m )．(1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )>0. 解 (1)f ′(x )＝e x－1x ＋m. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x－ln (x ＋1)，x ∈(－1，＋∞)． 函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1，＋∞)单调递增，且f ′(0)＝0. 因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)证明：当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln (x ＋m )≤ln (x ＋2)，故只需证当m ＝2时f (x )>0. 当m ＝2时，f ′(x )＝e x－1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增． 又f ′(－1)<0，f ′(0)>0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一的解x 0，且x 0∈(－1,0)． 当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故当x ＝x 0时，f (x )取极小值． 故f ′(x )＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln (x 0＋2)＝－x 0. 故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝x 0＋12x 0＋2>0.综上所述，当m ≤2时，f (x )>0.。
近年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.10导数的概念及运算课后作业理(2021年整理)
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2．10 导数的概念及运算［基础送分提速狂刷练]一、选择题1．曲线y＝lg x在x＝1处的切线的斜率是( )A.错误! B．ln 10 C．ln e D。
错误!答案A解析因为y′＝错误!，所以y′｜x＝1＝错误!，即切线的斜率为错误!.故选A。
2．（2017·潼南县校级模拟)如图，是函数y＝f(x）的导函数f′（x)的图象，则下面判断正确的是( ）A．在区间(－2，1）上f（x）是增函数B．在(1，3）上f（x)是减函数C．在（4，5）上f（x）是增函数D．当x＝4时，f（x)取极大值答案C解析由于f′（x)≥0⇒函数f(x)单调递增;f′(x）≤0⇒函数f(x）单调递减，观察f′(x）的图象可知，当x∈（－2，1)时,函数先递减,后递增,故A错误；当x∈（1,3）时，函数先增后减，故B错误；当x∈（4,5）时函数递增，故C正确；由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D错误．故选C.3．（2018·上城区模拟)函数f（x）的导函数f′（x)的图象如图所示，则f（x）的函数图象可能是（）答案B解析由图可得－1〈f′(x)〈1，切线的斜率k∈(－1，1）且在R上切线的斜率的变化先慢后快又变慢．∴结合选项可知选项B符合．4．（2018·昆明调研）若曲线f(x）＝a cos x与曲线g（x)＝x2＋bx＋1在交点(0,m）处有公切线，则a＋b＝( ）A．－1 B．0 C．1 D．2答案C解析依题意得f′（x)＝－a sin x，g′（x）＝2x＋b,于是有f′(0）＝g′(0)，即－a sin0＝2×0＋b，则b＝0，又m＝f（0）＝g（0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1，选C.5．（2018·山东烟台期末）若点P是函数y＝e x－e－x－3x错误!图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!答案B解析由导数的几何意义，k＝y′＝e x＋e－x－3≥2e x·e－x－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立．即tanα≥－1，α∈［0,π），又∵tanα〈0,所以α的最小值为错误!,故选B。
高三数学总复习(人教通用)课件：第2章_第十一节_第一课时 导数与函数的单调性
3．已知 f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则 a 的最大值是 ________．
答案：3
1．求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯，会造成问题不 能直观且有条理的解决．
2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下 结论．
3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好 f′(x) ＝0 时的情况；区分极值点和导数为 0 的点．
1．函数 y＝12x2－ln x 的单调递减区间为
A．(－1,1]
B．(0,1]
C．[1，＋∞)
D．(0，＋∞)
()
解析：函数 y＝12x2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， y′＝x－1x＝x－1xx＋1，令 y′≤0，则可得 0＜x≤1． 答案：B
2．函数 y＝2x3－2x2 在区间[－1,2]上的最大值是________． 解析：y′＝6x2－4x，令 y′＝0，得 x＝0 或 x＝23. ∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f 23＝－287，f(2)＝8. ∴最大值为 8. 答案：8
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课前·双基落实 课堂·考点突破 课后·三维演练
第一课时 导数与函数的单调性 结 束
[变式 4] 函数 f(x)不变，若 f(x)在区间(－1,1)上不单调， 求 a 的取值范围． 解：∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.由 f′(x)＝0， 得 x＝± 33a(a≥0)．∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0 ＜ 33a＜1，得 0＜a＜3，即 a 的取值范围为(0,3)．
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第一课时 导数与函数的单调性 结 束
[破译玄机] 函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具 有单调性，如变式 4 中利用了 33a∈(0,1)来求解．
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第11讲 第3课时 作业课件 理
12/11/2021
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答案
解析 2xln x≥－x2＋ax－3，
则a≤2ln x＋x＋3x，
设h(x)＝2ln x＋x＋3x(x>0)，
则h′(x)＝x＋3x2x－1.
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，
解析
∵ln x0＋1＋x0＝0， ∴f(x0)＋x0＝x0ln x0＋12x20＋x0＝x0ln x0＋12x0＋1＝－12x20<0，即③正确， ④不正确.
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解析
10.已知函数f(x)的定义域是[－1,5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y＝ f′(x)的图象如图所示，
－2e或位于直线y＝－e24下方的直线满足题意，即a＝－2e或a<－e24.故选C.
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解析
8.已知函数f(x)＝x|x2－a|，若存在x∈[1,2]，使得f(x)<2，则实数a的取 值范围是________．
答案 (－1,5)
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下列关于函数f(x)的命题： ①函数f(x)的值域为[1,2]； ②函数f(x)在[0,2]上是减函数； ③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4； ④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a最多有4个零点． 其中所有正确命题的序号是________．
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第lt;5； 设h(x)＝－x2＋2x，导数为h′(x)＝－2x－x22， 当x∈[1,2]时，h′(x)<0， 即h(x)在[1,2]上单调递减， 可得h(x)max＝－1＋2＝1.即有－a<1，即a>－1. 综上可得，a的取值范围是－1<a<5.
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第11讲 第2课时 作业课件 理
解析 ∵可导函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线为l：y＝g(x)，∴F(x) ＝f(x)－g(x)先减后增，在x0处取最小值，又F′(x0)＝f′(x0)－g′(x0)＝f′(x0) －f′(x0)＝0，
∴x＝x0是F(x)的极小值点．
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解析
数在[－2,2]上的最小值是( )
A．－37
B．－29
C．－5
D．以上都不对
答案 A
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答案
解析 f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x∈(－2，0)时， f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max ＝f(0)＝m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5，所以f(x)min＝f(－2)＝－37.
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解析
所以y＝f(x)的图象不关于点(1,0)对称，故C错误； 由f′(x)＝0得ex(x－1)－1＝0，即ex＝x－1 1， 数形结合可知此方程只有一个实数根，所以f(x)至多有1个极值点，故D 错误．
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解析
7．(2018·杭州二中模拟)已知可导函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线 为l：y＝g(x)(如图)，设F(x)＝f(x)－g(x)，则( )
最大值π6＋ 3.
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答案 解析
10．已知函数f(x)＝x3－3ax＋b的单调递减区间为(－1,1)，其极小值为 2，则f(x)的极大值是________．
高考复习导数专题2.11 导数的概念及计算(解析版)
第十一讲 导数的概念及计算【套路秘籍】一.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝ 0lim x ∆→ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0limx ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 二.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函3.基本初等函数的导数公式三.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0). 四.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 数f ′(x )＝0lim x ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx 称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数. 【套路修炼】考向一 导数的概念【例1】设)(x f 是可导函数，且3)2()(lim 000=∆∆+-∆-→∆xx x f x x f x ，则=')(0x f 。
2022版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第十一讲 导数的概念及运算学案(含解析)新
学习资料2022版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第十一讲导数的概念及运算学案（含解析）新人教版班级：科目：第十一讲导数的概念及运算知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一导数的概念与导数的运算1．函数的平均变化率一般地,已知函数y＝f(x)，把式子错误!称为函数y＝f（x）从x1到x2的平均变化率，还可以表示为错误!＝错误!。
2．导数的概念(1）f（x）在x＝x0处的导数就是f（x）在x＝x0处的__瞬时变化率__,记作：y′｜x＝x或0 f′(x0)，即f′（x0)＝错误!错误!。
(2）当把上式中的x0看作变量x时，f′(x）即为f(x）的导函数,简称导数，即y′＝错误!__。
f′(x）＝__limΔx→03．基本初等函数的导数公式(1)C′＝__0__（C为常数)；(2）（x n）′＝__nx n－1__（n∈Q*)(3)（sin x）′＝__cos x__;_ （4)（cos x）′＝__－sin x__；（5）(a x)′＝__a x ln a__;_ （6)(e x）′＝__e x__；(7）（log a x)′＝错误!；（8)（ln x）′＝__错误!__。
4．导数的运算法则(1)[f(x）±g（x）]′＝__f′（x)±g′(x)__.（2）[f(x)·g（x）］′＝__f′（x)g(x)＋f(x）g′(x）__.特别地：［C·f(x）]′＝__Cf′(x）__（C为常数）（3）错误!′＝__错误!（g（x)≠0）__.5．复合函数的导数复合函数y＝f［g（x)］的导数和函数y＝f(u),u＝g(x)的导数间的关系为__y x′＝y u′·u x′__。
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．知识点二导数的几何意义函数f（x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x）在点P（x0，f（x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0)）处的切线的斜率k＝f′(x0），切线方程为__y－y0＝f′(x0）（x－x0）__。
近年高考数学总复习第二章函数、导数及其应用11函数与方程课时作业文(2021年整理)
2019版高考数学总复习第二章函数、导数及其应用11 函数与方程课时作业文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学总复习第二章函数、导数及其应用11 函数与方程课时作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019版高考数学总复习第二章函数、导数及其应用11 函数与方程课时作业文的全部内容。
课时作业11 函数与方程一、选择题1．函数f（x）＝错误!的所有零点的和等于（)A．－2 B．－1C．0 D．1解析：令错误!x－2＝0，解得x＝－1,令x－1＝0，解得x＝1，所以函数f(x)存在两个零点1和－1，其和为0。
答案:C2．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是（)x B．y＝2x－1A．y＝log12C．y＝x2－错误! D．y＝－x3x在定义域上是减函数，y＝x2－错误!在（－1,1）上解析：函数y＝log12不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝2x－1，当x＝0∈（－1,1）时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增．故选B.答案:B3．函数f(x)＝x－错误!的零点个数是（)A．0 B．1C．2 D．无数个解析:方法一：令f(x）＝x－错误!＝0，∴x＝错误!，∴x2＝4，∴x＝±2，有2个零点．方法二：令f（x)＝x－错误!＝0，∴x＝错误!，令y1＝x,y2＝错误!结合图象有2个零点．答案：C4．（2018·豫南十校联考)函数f(x）＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是（)A．（0，1） B．（1,2）C．（2,3) D．(3,4）解析：因为f（0)＝－1<0，f（1）＝2>0，则f（0）·f(1）＝－2〈0，且函数f(x)＝x3＋2x－1的图象是连续曲线，所以f(x)在区间（0，1)内有零点．答案：A5．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( ）A．0 B．1C．2 D．3解析：由题意可知f（x)的定义域为（0，＋∞)．在同一直角坐标系画出函数y1＝｜x－2｜(x>0），y＝ln x（x>0)的图象，2如图所示：由图可知函数f（x）在定义域内的零点个数为2.答案:C6．根据下面表格中的数据，可以判定方程e x－x－2＝0的一个根所在的区间为( ）x－10123e x0。
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第二章 函数与导数第11课时 导数的概念与运算
1. 已知函数f(x)＝1＋1x ，则f(x)在区间[1，2]，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1上的平均变化率分别为________． 答案：－12
，－2 解析：f （2）－f （1）2－1＝－12；f （1）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫121－12
＝－2. 2. 某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t 3－5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则t ＝
2s 时，汽车的瞬时速度为________．
答案：4m/s
解析：注意带单位．利用导数可求．
3. 若f(x)＝x 2－2x －4lnx ，则f′(x)>0的解集是________．
答案：(2，＋∞)
解析：x>0，f ′(x)＝2x －2－4x
>0，解得x>2. 4. 已知f(x)＝x 2＋2xf′(1)，则f′(－1)＝________．
答案：－6
解析：f′(x)＝2x ＋2f′(1)，f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴ f ′(1)＝－2，∴ f(x)＝x 2－4x ，
f ′(－1)＝－6.
5. 曲线f(x)＝e x 1－x
在x ＝2处的切线斜率为________． 答案：0
解析：f′(x)＝e x （1－x ）－e x （－1）（1－x ）2＝e x （2－x ）（1－x ）2，所以切线斜率为f′(2)＝0. 6. 曲线y ＝x 与y ＝8x
在它们交点处的两条切线与y 轴所围成的三角形的面积为________．
答案：6
解析：两曲线交点为(4，2)，利用函数求导知，它们在交点处的切线方程分别为x －4y ＋4＝0与x ＋2y －8＝0，所以两条切线与y 轴所围成的三角形的面积为
6.
7. 设P 是函数y ＝x(x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．
答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 解析：tan θ＝y′＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫3x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝13时，取等号，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2. 8. 若直线y ＝kx －3与曲线y ＝2lnx 相切，则实数k ＝________．
答案：2 e
解析：对y ＝2lnx 求导得y′＝2x
， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2lnx ＝kx －3，k ＝2x ⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝2e ，x ＝e －12，即实数k ＝2 e.
9. 求下列函数的导数．
(1) y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；
(2) y ＝2x ＋ln2x ；
(3) y ＝sinx sinx ＋cosx －12
； (4) y ＝(2x ＋1)ln(2x ＋1)．
解：(1) y′＝3x 2＋12x ＋11；
(2) y′＝2x ln2＋1x
； (3) y′＝1（sinx ＋cosx ）2； (理)(4) y′＝2[ln(2x ＋1)＋1]．
10. 已知曲线y ＝x 2＋1x
(x>0)． (1) 求曲线在x ＝2处的切线方程；
(2) 求曲线上的点到直线3x －4y －11＝0的距离的最小值． 解：(1) 3x －4y ＋4＝0；
(2) 设曲线在点(x 0，y 0)处的切线与直线3x －4y －11＝0平行，因为y′＝1－1x 2，令1－1x 20
＝34，解得x 0＝2，所以切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52，所以距离的最小值为点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52到直线3x －4y －11＝0的距离，即为3.
11. 设曲线y ＝(ax －1)e x 在点A(x 0，y 1)处的切线为l 1，曲线y ＝(1－x)e －x 在点B(x 0，y 2)处的切线为l 2.若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32，使得l 1⊥l 2，求实数a 的取值范围． 解：由y ＝(ax －1)e x ，得y′＝ae x ＋(ax －1)e x ＝(ax ＋a －1)e x .由y ＝1－x e x ，得y′＝－e x －（1－x ）e x （e x ）2＝x －2e x . 由题意(ax 0＋a －1)·ex 0·x 0－2ex 0＝－1，即(ax 0＋a －1)(x 0－2)＝－1在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32上有解．方程可化为ax 0＋a －1＝－1x 0－2.设f(x 0)＝ax 0＋a －1，g(x 0)＝－1x 0－2，作图可知1≤a ≤32
. 另法：方程可化为a ＝x 0－3x 20－x 0－2.求函数t(x 0)＝x 0－3x 20－x 0－2在x 0∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32上的值域即可．。