高一数学函数的表示方法
高一数学函数的概念表示
函数概念与表示一、知识要点：1．函数的定义及“三要素”： 定义域、对应关系 、值域。
2.常用的函数表示法：（1）列表法：（2）图象法：（3）解析法（分段函数）：（4）复合函数：（1）求函数定义域一般方法：①给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；②实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；③复合函数定义域： ,已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域。
由()a g x b ≤≤解出。
已知[()]f g x 的定义域[],a b ，求()f x 的定义域。
是()g x 在[],a b 上的值域 （2）求函数解析式的方法：①已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； ②已知复合关系，求函数的解析式：换元法、配凑法； ③已知函数图像，求函数解析式；数形结合法； （3）求函数值域的类型与求法：类型：①求常见函数值域；②复合函数的值域；③组合函数的值域。
$求法：①直接法、②配方法、 ③离常数法、④换元法、⑤逆求法、⑥判别式法、⑦数形结合。
二、基础练习：1、下各组函数中表示同一函数的有（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x（3）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2； （4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1。
2、函数y=x x x +-)1(的定义域为3、已知函数()f x 定义域为(0，2)， 2()23f x +定义域 ；*4、(2009山东卷理)定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x则f （2009）的值为5、设函数1()f x =112223()(),x f x x f x x -==，，则123(((2007)))f f f = ．三、例题精讲： 题型1：函数关系式例1．设函数).89(,)100()5()100(3)(f x x f x x x f 求⎩⎨⎧<+≥-=)变式1：已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；当[()]2g f x =时，x =．题型2：求函数解析式例2.（1）f(x +1)=x+2x ;求f(x)(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.]（3）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x 。
3.1.2函数的表示法-高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
= 0.8 × 189600 − 117360 = 34320.
将t的值代入(1)中，得y = 0.03 × 34320 = 1029.6.
所以，小王应缴纳得综合所得税税额为1029.6元.
练习巩固
2x + 1，x < 1，
练习1：已知函数f(x) =
则f(9) =( )
f(x − 3)，x ≥ 1，
(1)在同一直角坐标系中画出f(x)，g(x)的图象；
解：在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象.
练习巩固
例6：给定函数f(x) = x + 1，g(x) = (x + 1)2 ，x ∈ R，
(2)∀x ∈ R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x) = max{f(x)，g(x)}.
解：由2 (−) + () = ，①
可得2 + − = −.②
联立①②，得：f x = −x.
小结
解析法
常用表示法
列表法
图像法
函数的表示法
定义
分段函数
图像
函数的实际应用
练习巩固
例8：依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照 《中华人民共和国
个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年１月１日起，个税税
额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所
得额×税率－速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收
复习导入
新知探究
问题1：我们初中已经接触过了函数常见的三种表示方法，你还记得是三种
方法吗？
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
函数的表示法第1课时高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册+
g(x)代入即可.
2.待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函
数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解
方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式.
3.换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的
钱数y
1
5
2
10
3
15
4
20
5
25
用图象法可将函数y＝f(x)
表示为右图.
注意：
①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、
离散的点等等；
②解析法：必须注明函数的定义域；
③图象法：是否连线；
④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的
特征．
例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学
三、典例探究
例1．某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需
要y元，试用三种表示法表示函数y=f(x)．
解：这个函数的定义域是数集{1，2， 3，4，5}.
用解析法可将函数y=f（x）表示为 y=5x, x∈{1，2， 3，4，5}
用列表法可将函数y=f(x)表示为
笔记本数x
函数，用图象法表示 函数y＝f(x)，
如图所示．
由图可看到：
王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分，学习情况比较稳定
而且成绩优秀；
张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均分水平上下波动，
而且波动幅度较大；
赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩稳步
提高.
思考：三种表示方法各有什么特点？
高一数学函数的表示方法
函数的表示方法(一)1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法2、图像法：如果图形F 是函数)(x f y =的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.3、如果在函数)(x f y =)(A x ∈中，)(x f 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法4、讨论分别用a x -，a y -分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？5、讨论分别用x -，y -分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？6、讨论分别用ax ，by 分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？7、讨论分别用||x ，|)(|x f 分别替换函数)(x f y =中的x ，)(x f 以后函数的图像会发生哪些变化？8、试作出下列函数的图像： （1）43-+=x x y （2）11-=x y11、若)3()3(x f x f +=-，那么函数)(x f 的图像有何性质？ 12、)3(x f y -=与)3(x f +的图像之间有何关系函数的表示方法(二)1．例题：例1．（1）已知一次函数()f x 满足(0)5f =，图象过点(2,1)-，求()f x ；（2）已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ； （3）已知二次函数()F x ，其图象的顶点是(1,2)-，且经过原点，()F x ．例2．（1）已知2()43f x x x =-+，(1)f x +； （2）已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．例3．函数在闭区间[1,2]-例4．某人开汽车以60/km h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50/km h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路程()x km 表示为时间()t h （从A 地出发是开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速v /km h 表示为时间()t h 的函数，并画出函数的图象．例5．已知一个函数的解析式为22y x x =-，它的值域为[1,3]-，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数．2．练习：（1）练习：（1）已知2(3)21f x x =-，求()f x ； （答案：22()19f x x =-）（2）已知2211()1f x x xx-=++，求()f x ．（答案：2()3f x x =+）3．小结：1．已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法；它的基本步骤是：设出函数的一般式（或顶点式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数； 2．已知()f x 的解析式，求[()]f g x 时，把x 用()g x 代替；已知[()]f g x 的解析式，求()f x 时，常用配凑法或换元法；3．在解决实际问题时，求出函数解析式后，一定要写出定义域。
高一数学的函数知识点归纳
高一数学的函数知识点归纳在高一的数学学习中，函数是一个非常重要的知识点。
函数的概念在数学中具有广泛的应用，并且在之后的学习中也会经常用到。
因此，熟练掌握函数的相关知识对于学习数学是非常重要的。
一、函数的定义和表示方式函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。
函数可以用多种不同的方式来表示，包括文字描述、图像、表格和公式等。
函数的定义通常形式为“y=f(x)”，其中x是自变量，y是因变量，f(x)表示函数的定义域和值域之间的关系。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，而值域是函数输出的所有可能值的集合。
2. 单调性：函数的单调性指函数在自变量增大的过程中是否单调递增或单调递减。
如果函数在整个定义域上都是单调递增，则称为严格递增函数；如果函数在整个定义域上都是单调递减，则称为严格递减函数。
3. 奇偶性：函数的奇偶性指函数图像是否对称于y轴。
如果对于任意x∈定义域，f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；如果对于任意x∈定义域，f(-x)=f(x)，则函数为偶函数。
4. 周期性：函数的周期性指函数图像是否在某个区间内重复出现。
如果存在一个正数T，对于任意正整数n，有f(x+Tn)=f(x)，则函数具有周期T。
三、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数是函数图像为一条直线的函数，表示为f(x)=kx+b，其中k和b为常数。
线性函数的图像是直线，且斜率为k，截距为b。
2. 幂函数：幂函数是形如f(x)=x^a的函数，其中a为常数。
幂函数的图像形状与a的正负和大小有关，当a为正数时，图像从左上方逼近x轴，当a为负数时，图像从右上方逼近x轴。
3. 指数函数：指数函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a为正常数且不等于1。
指数函数的图像具有一定的特点，包括过点(0,1)、严格递增或递减等。
4. 对数函数：对数函数是指数函数的反函数，表示为f(x)=loga(x)，其中a为正常数且不等于1。
最新人教版高一数学必修1第一章《函数的表示法》教材梳理
疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、函数的表示方法表示函数常用的三种方法是解析法、图象法、列表法 . 1.解析法（公式法）用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这个表达式叫做函数的解析表达式，这种表达函数的方法叫做解析法.如y=2x-1，y=x 2-2x-3，y=12-+x x 等. 解析法的优点在于：一是从“数”的方面简明、全面地概括了变量间的数量关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.解析法是表示函数的一种最重要的方法.但并不是所有的函数都能用解析法去表示. 2.图象法通过函数图象表示两个变量之间的关系的方法.图象法的优点是能够直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值的变化趋势也一目了然.可以通过图象来研究函数的某些性质，它从“形”的方面刻画了函数关系.函数的图象不一定是一条连续的曲线，也可以由一些孤立的点、线段等图形构成. 3.列表法通过列出自变量与对应函数值来表达函数关系的方法叫做列表法.例如，火车站的列车时刻表，银行发行的利率表，工厂中每月的产值及利润报表，甚至我们历次考试的成绩一览表等.又例如，新中国成立后共进行了五次人口普查，各次普查得到的人口数据如下表所示.这张表清楚地表达了年份与当年我国总人口（单位：亿）的函数值域为{5.9，6.9，10.1，11.0，12.1}.利用列表法表示的函数也可解决相应的数学问题.列表法也是表示函数的一种方法，它常适合于定义域是有限集的函数，列表时要注意自变量与函数值应对应，所列图表是否是函数的唯一依据仍然是函数的定义. 列表法是表示函数的一种方法，此法的优点是不需计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. 二、分段函数 函数⎩⎨⎧>-<<-11,44,110,622x x x 的表达式是分段表示的，即函数与自变量的关系不是只满足一个式子，而是在不同范围内有不同的对应关系，这样的函数关系是分段函数.分段函数是一个函数而不是几个函数.如教材中例5、例6所体现变量之间的函数关系都是分段函数. 分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，这一点与函数y=x x ++-11的定义域的求法不相同，如函数y=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<1,,10,1x x x x的定义域为{x|0＜x ＜1}∪{x|x ≥1}={x|x ＞0}.作分段函数的图象时，特别注意接点处点的虚实，如函数y=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0,1,0,0,0,1x x x 的图象为（见右上图）：分段函数的表示法是解析法的一种形式.函数y=⎩⎨⎧≥-<<-11,44,110,622x x x 不能写成y=22-6x ，0＜x ＜11或y=-44，x ≥11.要点提示 注意此处空半格注意写分段函数定义域时，区间端点应不重不漏.理解分段函数是一种函数，而不是几个函数. 三、函数的图象对于函数y=f （x ）（x ∈A ），定义域内每一个x 值都有唯一的y 值与它对应，把这两个对应的数构成的有序实数对（x ，y ）作为点P 的坐标，记作P （x ，y ），则所有这些点的集合F 叫做函数y=f （x ）的图象. 1.作函数图象的基本步骤 （1）先求函数定义域；（2）化简函数解析式；（3）列表；（4）描点；（5）连线.作图时，应注意抓住函数的特征，如抓住定义域的分界值，图象上的特征点（与x 轴、y 轴的交点等），图象随x 增大的趋势等来辅助作图. 2.带绝对值号的简单函数的图象作该类函数图象的基本方法是：先求函数的定义域，然后化简函数解析式，就是去绝对值号.（1）带一个绝对值号的函数，根据绝对值的意义去绝对值号，如 y=|x-1|=⎩⎨⎧<--≥-.1,1,1,1x x x x（2）带两个或两个以上绝对值号的问题，常用“零点分段法”去绝对值号，从而把函数写成分段函数的形式，然后作图. 如作函数y=|x-1|+|x+2|的简图.令x-1=0，得x=1；令x+2=0，得x=-2.∴-2和1把数轴分成三部分.当x ≤-2时，y=-2x-1；当-2＜x ＜1时，y=3； 当x ＞1时，y=2x+1.所以，⎪⎩⎪⎨⎧>+<<--≤--1,12,12,3,2,12x x x x x 的图象如右图.要点提示 注意此处空半格(1)绝对值的意义：|a|=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,,0,0,0,a a a a a (2)所谓“零点”是指令每一个绝对值分别等于0，求得相应的x 值. (3)可借助函数的图象分析这个函数的性质，例如这个函数的最小值为3. 四、映射一般地，我们有：设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射.由映射的定义可知，上图中（1）（3）两个对应是集合A 到集合B 的映射;（2）不是集合A 到集合B 的映射，因为A 中元素a 在B 中有两个元素e 、g 与之对应，不符合定义中“唯一性”的要求;（4）也不是A 到B 的映射，因为集合A 中的元素b 在集合B 中没有元素与之对应.对于映射f ：A →B 来说，与集合A 中的元素x 对应的集合B 中的元素y 叫做x 的象，x 叫做y 的原象.那么，怎样由对应法则找到它的象与原象呢？对于A 到B 的映射而言，集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一元素与之对应，集合A 中不同的元素在集合B 中可以对应相同的元素，集合B 中的元素可以在A 中有一个或多个元素与之对应，也可无元素与之对应.要点提示 注意此处空半格(1)映射是特殊的对应，对应是两个集合元素之间的一种关系，对应关系可用图示的方法或文字描述等来表示. (2)常选择椭圆内加上元素直观体现f 下元素的对应关系.(3)集合A 到B 的映射，A 、B 必须是非空集合（可以是数集，也可以是其他集合）. (4)对应关系有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从集合B 到集合A 的对应关系一般是不同的.(5)A 中元素的象是集合B 的子集. 问题·思路·探究问题 表示函数常用的解析法、列表法、图象法三种方法的优缺点是什么? 思路:考虑三种方法的含义,可通过举例比较.探究: (1)用解析式表示函数关系的优点是：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质.中学里研究的函数主要是用解析式表示的函数.缺点是:有些函数很难用解析式表示.(2)用列表法表示函数关系的优点是：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值.缺点是:函数解析式的体现有时不明显.(3)用图象法表示函数关系的优点是：能直观形象地表示出函数的变化情况.更能体现数形结合的思想.缺点是:变量的值依赖于图象的精度.不利于精确计算. 典题·热题·新题例1 将长为a 的铁丝折成矩形，求此矩形面积y 关于一边长x 的函数关系式，并求定义域和值域，作出函数的图象.思路解析：解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题，即把面积y 表示为x 的函数，用数学的方法解决，再回到实际中去. 解：设矩形一边长为x ，则另一边长为21（a-2x ），面积为y=21（a-2x ）·x=-x 2+21ax.又⎩⎨⎧>->,02,0x a x 得0＜x ＜2a .由于y=-（x-4a ）2+161a 2≤161a 2， 故函数的解析式为y=-x 2+21ax ，定义域为（0，2a ），值域为（0，161a 2）.图象如右图所示.深化升华 注意此处空半格解析式是用自变量的多项式来表示因变量的，函数解析式由定义域和对应法则确定，因此，求解析式的关键是明确对应法则，选好自变量.解决此类问题的关键是首先建立目标函数，确定函数的定义域.若是实际问题，除了考虑函数解析式自身的限制条件外，还要考虑到它的实际意义.例 2 据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一，左下图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中我国年平均土地沙化面积在右下图中示为_____________.思路解析：本题涉及的数学点只是平均数，事实上，图形上的数据是连续的，而连续的数据的平均数在中学里未学过，要求我们在新情景下获取相关图表中的信息和进行数形转换. 解：分别计算出1950年到1970年，1970年到1990年及1990年到2000年的平均值，只需对两个端点的数据进行计算即可.考虑单位后，则平均值分别为16，21.25，并在上图中表示.如右图：深化升华 注意此处空半格用图象法表示一个函数是数形结合的基础.判断一个图形是不是函数图象的依据仍旧是函数的定义.函数图象的形状与定义域、对应法则有关.定义域确定变量的分布范围，对应法则确定形状.如何从图象中提取有用的信息，把“形”转化成“数”是解决问题的关键. 例3 （经典回放）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累加进行计算：某人一月份应交纳此税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ） A.800—900元 B.900—1 200元 C.1 200—1 500元 D.1 500—2 800元思路解析：本题是一道适用列表法表示函数关系的题目，解决此题首先要理解题意，能计算出相应工资的税款的算法，列出分段函数，找到函数值26.78所在的某段函数，求出自变量.本题作为选择题，亦可采用估算法求解. 解法一：（估算法）依题意知，当工人工资为1 300元时，应交税金（1 300-800）×5%=25（元），而该工人实际交税金26.78元＞25元，知其工资应超过1 300元.又26.78-25=1.78元，知该工资仅比1 300元多一点，但不会超过1 500元，从而可估算选C. 解法二：（列出分段函数）依题意知，应交税金y 与实际工资x 的函数关系式为y=⎪⎩⎪⎨⎧≤<⨯-+⨯≤<⨯-≤<28001300%,15)1300(%5500,1300800%,5)800(,8000,0x x x x x =⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<-≤<28001300,1051.0,1300800,4005.0,8000,0x x x x x 即当y=26.78时，有26.78=0.1x-105.∴x=1 317.8元. 答案：C误区警示 注意此处空半格本题中实际问题的数学模型是分段函数，它的对应法则在不同的区间内可能不同，要注意找好不同区间内的解析式.从作出的图象看，它是一个阶梯函数.例4 已知 f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<=>,0,0,0,1,0,2x x x x (1)画出函数的图象；(2)根据已知条件分别求f(1)、f(-4)、f[f(-4)]和f[f[f(-4)]]的值.思路解析：题设中给出的函数是分段函数，注意在不同的区间应用不同的关系式.本题中的关系式都是常见的初等函数的关系式，因而可以利用常见函数的图象知识来作图. 解：(1)函数的图象如右图所示：（2）f(1)=12=1； f(-4)=0；f[f(-4)]=f(0)=1； f[f[f(-4)]]=f(1)=12=1.例5 作出下列各函数的图象： （1）y=1-x ，x ∈Z ；（2）y=2x 2-4x-3，0≤x ＜3； （3）y=|1-x|；（4）y=⎩⎨⎧<≤-+≤≤.01,1,10,2x x x x思路解析：（1）定义域为Z ，所以图象为离散的点.（2）定义域不是R ，因此图象不是完整的抛物线，而是从上面截取的一部分.（3）先根据绝对值的定义去掉绝对值号，写成y=⎩⎨⎧<-≥-.11,11x xx x （4）这个函数图象由两部分组成.当0≤x ≤1时，为抛物线y=x 2的一段；当-1≤x ＜0时，为直线y=x+1上的一段. 答案：深化升华 注意此处空半格作函数图象，首先要明确函数定义域，其次明确函数图象是点、线段或直线，体会定义域对图象的控制作用.处理好端点处或x=0时的情况.作图时，先不受定义域限制作出完整图象，然后再截取.例6 设f ：A →B 是A 到B 的一个映射，其中A=B={（x ，y ）|x ，y ∈R }，f ：（x ，y ）→（x-y ，x+y ），求A 中元素（-1，2）的象和B 中元素（-1，2）的原象.思路解析：这是一个映射的问题，由已知（x ，y ）的象为（x-y ，x+y ），即确定了对应法则. 解：先求A 中元素（-1，2）的象.令x=-1，y=2，由题意得x-y=-1-2=-3， x+y=-1+2=1，所以（-1，2）的象为（-3，1）；再求B 中元素（-1，2）的原象.令⎩⎨⎧=+-=-,2,1y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.23,21y x所以（-1，2）的原象是（21，23）. 深化升华 注意此处空半格映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射. 例7 下列对应是A 到B 的映射的是（ ） A.A=N *，B=N *，f ：x →|x-3|B.A=N *，B={-1，1，-2}，f ：x →（-1）x xC.A=Z ，B=Q ，f ：x →x3 D.A=N *，B=R ，f ：x →x 的平方根思路解析：判定一个对应是否是映射，关键是看是否符合映射的定义，若要判定不是映射只要举一反例即可.对于A ，由于A 中元素3在法则f 作用下其与3的差的绝对值，在B 中找不到元素与之对应.对于B ，对任意的正整数x ，所得（-1）x 均为1或-1；都在集合B 中有唯一的1或-1与之对应，符合映射定义.对于C ，0在f 下无意义.对于D ，对正整数，在实数集R 中有两个平方根与之对应，不满足映射概念，所以该对应不是映射. 答案：B。
函数的表示高一数学知识点
函数的表示高一数学知识点函数的表示函数是数学中的一种重要概念，对于高一学生来说，理解和掌握函数的表示方法是非常关键的数学知识点之一。
本文将介绍常见的函数表示方式，包括文字描述、符号表示和图像表示。
一、文字描述法文字描述法是最基本的函数表示方式之一。
通过用自然语言来描述函数的特征和性质，可以简单明了地表达函数的规律。
例如，对于函数y = 2x + 1，我们可以用文字描述为：函数y等于2乘以x再加1。
二、符号表示法符号表示法是一种常用的函数表示方式，用数学符号和表达式来表示函数的关系。
常见的函数表示符号包括等式、不等式、代数式等等。
1. 函数等式表示函数等式表示是一种常见的函数表示方式，可用于表示函数的映射关系。
例如，函数y = 2x + 1就是一种函数等式表示。
其中，x表示自变量，y表示因变量，2x + 1表示函数的规律。
2. 函数不等式表示函数不等式表示常用于表示函数的定义域、值域以及不等式关系。
例如，对于函数y = x^2，我们可以用不等式|x| ≤ 1来表示其定义域为[-1, 1]。
3. 函数代数式表示函数代数式表示是基于代数式的表达方式，常用于表示函数的表达式和方程。
例如，函数y = ax^2 + bx + c就是一种函数代数式表示，其中a、b、c为常量。
三、图像表示法图像表示法通过绘制函数的图像来展示函数的特征和规律。
常用的图像表示方式包括直角坐标系上的函数图像、极坐标系上的函数图像等。
1. 直角坐标系上的函数图像直角坐标系上的函数图像是最常见的函数表示方式之一。
通过在平面直角坐标系上绘制自变量和因变量的关系，可以直观地展示函数的变化规律。
例如，对于函数y = sin(x)，我们可以在直角坐标系上绘制正弦曲线。
2. 极坐标系上的函数图像极坐标系上的函数图像常用于表示周期性函数，通过在极坐标系上绘制自变量和因变量的关系，可以更准确地展示函数的周期性特征。
例如，对于函数r = a + bcosθ，我们可以在极坐标系上绘制螺旋线。
高一数学函数知识点归纳总结大全
高一数学函数知识点归纳总结大全函数是数学中非常重要的概念之一，在高一阶段的数学学习中，我们会接触到许多有关函数的知识点。
本文将对高一数学函数知识点进行归纳总结，旨在帮助同学们系统地理解和掌握这些内容。
一、函数的定义和表示方法函数是一个将一个集合中的元素（称为自变量）映射到另一个集合中的元素（称为因变量）的规则。
函数可以用各种方式来表示，常见的有解析式、图像和表格。
1. 解析式表示法：函数可以用解析式来表示，通常采用f(x)或y的形式表示。
例如：f(x) = 2x + 1，y = sin(x)。
2. 图像表示法：函数的图像是用直角坐标系上的点表示的，其中自变量通常对应横坐标，因变量对应纵坐标。
3. 表格表示法：函数可以用表格形式来表示，其中列出自变量的取值和对应的因变量的取值。
二、函数的性质了解函数的性质有助于我们更好地理解函数的特点和行为。
1. 定义域和值域：函数的定义域是指所有使得函数有意义的自变量的取值范围，而值域则是函数的所有可能的因变量的取值范围。
2. 奇偶性：如果对于函数的定义域中的任意x值，都有f(-x) =f(x)成立，则函数是偶函数；如果对于函数的定义域中的任意x值，都有f(-x) = -f(x)成立，则函数是奇函数；否则函数既不是偶函数也不是奇函数。
3. 单调性：如果函数的自变量增加时，其对应的因变量是单调递增或单调递减的，我们称这个函数是单调函数。
4. 周期性：如果函数的某个正数T满足对于函数的所有x值都有f(x+T) = f(x)成立，则称函数具有周期性，T是函数的一个周期。
三、常见函数的类型在高一阶段，我们会学习到以下几类常见的函数。
1. 一次函数：一次函数的解析式为f(x) = ax + b，其中a和b是常数，且a≠0。
一次函数的图像是一条斜率为a的直线。
2. 二次函数：二次函数的解析式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，且a≠0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
高一数学函数的常用表示方法
2.1.2函数表示法 课件
例5 画出函数y=|x|的图象.
解：由绝对值的概念，我们有
y=
图象如：
x, x≥0, -x, x<0.
y
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
例6.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元 （不足5公里的按5公里计算）。
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于是，带她去看，说明病史后，老中医什么都没说，只是揭开自己的白大褂，她看见，他只有一条腿。 (17)他说，人活着，不是靠双腿，靠的是一颗完整的心，我只有一条腿，活得好好的，你还比我多半条腿呢，怕什么？ (18)从那以后，她常常去老中医那里，不是看病，而是疗心。 (19)再后来，父母给她装了假肢，搬了家，学了钢琴，当了钢琴老师，成了现在的自己。 (20)说完，她淡淡地笑，而我，似乎看见另外一个不一样的她，在我眼前，诉说别人的故事。 （21）是啊，如果不是偶然看见，在我心里，在我眼里，她依旧是那个只会撒娇、娇弱漂亮的公主，而此 刻，我似乎看见，那些她曾经受过的伤害和遭遇，凝聚成一股钢铁般的力量，让她坚强。 （22）再后来，她睡了。 （23）我走在走廊的尽头，心绪难平。 （24）我看见天边有一颗星星，异常耀眼，它像天空的眼睛，注视着大地，带给深沉无助的黑夜，一方光亮，也给黑夜里迷路的人们， 一抹希望。 （25）慢慢地，我看见天边泛着鱼肚白，黎明来了。 （26）那一刻，内心的迷茫，似乎慢慢退却，一点点被一束光照亮，所有难以启齿的磨难和曾经以为的绝望，慢慢变成了希冀。 （27）是的，繁华尽头有悲凉，尘埃深处是繁花。 （2017年5月9日） 16.
高一数学必修一函数的表示法(完整)
高一数学必修一函数的表示法（完整）1.2函数及其表示§1.2.2函数的表示法1教学目的：1．掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法．2．培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，掌握分段函数的概念教学重点：解析法、图象法．教学难点：作函数图象教学过程：一、复习引入：1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？二、讲解新课：函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.222例如，=60t，A=r，S=2rl,y=a某+b某+c(a0),y=某2(某2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.D优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.C例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数B关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这A样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.三、例题讲解例1某种笔记本每个5元，买某{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y （元），试写出以某为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为y=5某，某{1,2,3,4}.它的图象由4个孤立点A(1，5)B(2，10)C(3，15)D(4，20)组成，如图所示例2国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封某g(0320,某(60,80],400,某(80,100].这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于某轴，如图所示.这一种函数我们把它称为分段函数4003202401608020406080100某某例3画出函数y=|某|=某某0,的图象.某0.解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示.说明：①再次说明函数图象的多样性；y②从例4和例5看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量某的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.注意某某0分段函数是一个函数，而不是几个函数.y=1某<0某③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷{（Dirichlet）函数D(某)=1，某是有理数，.0，某是无理数,我们就作不出它的图象.某例4作出分段函数y某1某2的图像解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：y某2(2某1)3y某1某2=2某12某1某1作出图像如下例5作出函数y某列表描点：K'L'M'N'G'O'P'Q'(-5.0，-5.2)(-4.0，-4.3)(-3.0，-3.3)(-2.0，-2.5)(-1.0，-2.0)(-0.4，-3.0)(-0.3，-4.0)(-0.2，-5.0)QPOGNMLK(0.2，5.0)(0.3，4.0)(0.4，3.0)(1.0，2.0)(2.0，2.5)(3.0，3.3)(4.0，4.3)(5.0，5.2)某1的图象某2补充：1．作函数y=|某-2|(某＋1)的图像分析显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．解：(1)当某≥2时，即某-2≥0时，1086Q4KLMGNPO2-10-5510-2N'M'L'K'G'O'-4P'Q'-619y(某2)(某1)某2某2(某)224当某＜2时，即某-2＜0时，-10-5864251019y(某2)(某1)某2某2(某)2.24219某2某24∴y219某2某24-2-4-665432这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出-6-4-2124682．作出函数y|某2某3|的函数图像解：y2-1-2-3-4某2某32(某2某3)22某2某302某2某302步骤：（1）作出函数y=某2某3的图象（2）将上述图象某轴下方部分以某轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|某2某3|的图象23四、课后练习一、选择题1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则此一次函数的解析式为()＝－某＝某＋12＝某－1＝－某＋12.已知函数f(某－1)＝某－3，则f(2)的值为()A.－2B.6C.1D.03.已知f(某)＝2，g(某)＝某＋1，则f(g(某))的表达式是()某－12某＋2某某2某＋2某f(1)＝0f(n＋1)＝f(n)＋3，n∈N2某2某－11某－1224.已知函数y＝某，则f(3)等于()D.二、填空题5.已知函数f(某)的图象如图所示，则此函数的定义域是，值域是.6.已知f(某)与g(某)分别由下表给出某f(某)14233241某g(某)13213442那么f(g(3))＝.4三、解答题7.解答下列问题：2(1)若f(某＋1)＝2某＋1，求f(某)；某(2)若函数f(某)＝，f(2)＝1，又方程f(某)＝某有唯一解，求f(某).a某＋b8.作下列各函数的图象：(1)y＝2某2－4某－3(0≤某＜3)；9.已知函数2某，(某≤－1)f(某)＝1，(－1＜某≤1)－2某，(某＞1)(1)求f(某)的定义域、值域；.＝|某－1|；作出这个函数的图象.5(2)y(2)课后作业参考答案一、选择题1.112.B3.A[f(g(某))＝＝2.]4.f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋3＝0＋3＝3，2(某＋1)－1某＋2某∴f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋3＝3＋3＝6.选二、填空题5.［-3,3］［-2,2］6.【答案】1由表可得g(3)＝4，∴f(g(3))＝f(4)＝1.三、解答题7.【解析】(1)令t＝某＋1，则某＝t－1，∴f(t)＝2(t－1)＋1＝2t －4t＋3.∴f(某)＝2某－4某＋3.2(2)由f(2)＝1得＝1，即2a＋b＝2；2a＋b某11－b由f(某)＝某得＝某变形得某(－1)＝0，解此方程得：某＝0或某＝.又因为方程有唯a某＋ba某＋ba1－b1一解，所以＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝，a22某所以所求解析式为f(某)＝.某＋28.【解析】(1)∵0≤某＜3，∴这个函数的图象是抛物线2y＝2某－4某－3介于0≤某＜3之间的一段弧(如图(1)).某－1某≥1(2)所给函数可写成分段函数y＝1－某某＜1222是端点为(1,0)的两条射线(如图(2)).9.【解析】(1)f(某)的定义域为{某|某≤－1}∪{某|－1＜某≤1}∪{某|某＞1}＝{某|某≤－1或－1＜某≤1或某＞1}＝R，f(某)的值域为{y|y≤－2}∪{1}∪{y|y＜－2}＝{y|y≤－2或y＝1}，∴f(某)的定义域为R，值域为{y|y≤－2或y＝1}.(2)根据解析式分段作图如图6。
高一数学函数的常用表示方法
钱数y
5 10 15 20 25
例4 下表是某校高一（1）班三名同学在高一 学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。
解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成 绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况。 如果将“成绩”与“测试时间”之间的关系用函 数图象表示出来，如下表，那么就能比较直观地 看到成绩变化地情况。这对我们地分析很有帮助。
由空调汽车票价的规定，可得到以下函数解析式：
2, 0<x ≤ 5
y=
3, 5 < x ≤ 10 4, 10 < x ≤ 15
5, 15 < x≤20
根据函数解析式，可画出函数图象，如下图
y 5 4 3○ 2 ○○ 1
○ ○
0 5 10 15 20
有些函数在它的定义 域中，对于自变量的 不同取值范围，对应 关系不同，这种函数 通常称为分段函数。
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2.1.2函数表示法 课件
例5 画出函数y=|x|的图象.
解：由绝对值的概念，我们有
y=
图象如下：
x, x≥0, -x, x<0.
y
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
例6.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元 （不足5公里的按5公里计算）。
已知两个相邻的公共汽车站间相距为1公里，如果 沿途（包括起点站和终点站）有21个汽车站，请 根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式， 并画出函数的图象。
解：设票价为y，里程为x，则根据题意， 如果某空调汽车运行路线中设21个汽车站，那么汽车 行驶的里程约为20公里，所以自变量x的取值范围是 （0，20]
高一数学函数的表示法
高一数学函数的表示法（一）（一）函数的三种表示方法：1、解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点：简明扼要；给自变量求函数值。
图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（2）； 优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。
2、列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（3）； 优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等。
例1．某种笔记本的单价是2元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y 元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．例2：下表是某校高一（1）班三位同学高一六次数学测试成绩及班级平均分表：（二）分段函数的定义：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。
说明：（1）．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；（2）．分段函数只是一个函数，只不过x 的取值范围不同时，对应法则不相同。
例3：某市出租车：（1）5公里内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。
例4．已知f(x)＝⎩⎨⎧+∞∈+-∞∈+),0[,12)0,(,322x x x x ，求f(0)、f[f(-1)]的值（三）课堂练习：1．作业本每本0.3元，买x 个作业本的钱数y （元）。
试用三种方法表示此实例中的函数。
2．某水果批发店，100kg 内单价1元／kg ，500kg 内、100kg 及以上0.8元／kg ，500kg 及第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 98 87 91 92 88 95 乙 90 76 88 75 86 80 丙 68 65 73 72 75 82 班平均分88．278．385．480．375．782．6以上0.6元／kg 。
高一上册数学人教版知识点
高一上册数学人教版知识点一、函数及其表示方法
函数的概念与符号表示方法
定义域、值域及其确定方法
函数的图像表示及性质
二、线性函数
线性函数的概念及其表示
线性函数图像与性质
函数的单调性与零点
三、二次函数
二次函数的概念及其表示
二次函数的图像与性质
二次函数的最值与零点的判定
四、指数函数
指数函数的概念与表示方法
指数函数的图像与性质
指数方程与指数不等式的解法
五、对数函数
对数函数的概念与表示方法
常用对数与自然对数的性质
对数方程与对数不等式的解法
六、三角函数
常用三角函数的概念与表示方法三角函数的图像与性质
三角函数的周期性与奇偶性
七、解直角三角形
直角三角形的概念与性质
三角函数在直角三角形中的应用
角度的弧度制与三角函数的关系
八、平面向量
向量的基本概念与表示方法
向量的运算法则
平面向量在几何与代数中的应用
九、数列与数列的极限
数列的概念与表示方法
数列的通项公式与递推关系
数列的收敛性与极限定理
十、概率统计
随机事件与概率的概念
常用概率计算方法
统计的方法与常见统计图表
以上为高一上册数学人教版的知识点概述，通过学习这些知识，能够帮助同学们建立起数学的基本理论框架，为学习数学打下坚
实的基础。
在学习过程中，同学们还需通过大量的练习和实际应
用来巩固这些知识，提高自己的数学能力。
希望同学们能够认真
学习，积极思考，享受数学带来的乐趣！。
高一数学函数的概念知识点详解
高一数学函数的概念知识点详解一、函数的定义和表示方法函数是数学中的重要概念，它描述了输入和输出之间的关系。
函数可以用多种方式来定义和表示，包括集合表示法、公式表示法、图像表示法等。
1.1 集合表示法在集合表示法中，函数可以用有序数对的集合来表示。
例如，如果函数f将集合A中的元素映射到集合B中的元素，则可以表示为f={(a,b)|a∈A, b∈B}。
1.2 公式表示法在公式表示法中，函数可以用一个表达式来表示。
例如，如果函数f将自变量x映射到因变量y，则可以表示为y=f(x)。
1.3 图像表示法在图像表示法中，函数可以通过绘制其图像来表示。
图像是由自变量和因变量的坐标点组成的。
二、定义域和值域在讨论函数时，我们经常会涉及到其定义域和值域。
2.1 定义域定义域是指函数输入的所有可能值的集合。
对于某个函数f，如果自变量x的取值范围在集合D内，则称D为函数f的定义域。
2.2 值域值域是指函数输出的所有可能值的集合。
对于某个函数f，如果因变量y的取值范围在集合R内，则称R为函数f的值域。
三、常见的函数类型在高一数学中，我们会遇到许多常见的函数类型，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
3.1 线性函数线性函数是指自变量和因变量之间存在一次关系的函数。
它的一般形式为y=ax+b，其中a和b为常数。
3.2 二次函数二次函数是指自变量和因变量之间存在二次关系的函数。
它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数。
3.3 指数函数指数函数是指以常数e为底的幂函数。
它的一般形式为y=a^x，其中a为正实数。
3.4 对数函数对数函数是指以某个正实数为底的对数函数。
它的一般形式为y=logₐx，其中a为正实数且不等于1。
四、函数的性质和特点函数有许多重要的性质和特点，包括奇偶性、单调性、极值等。
4.1 奇偶性如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f是偶函数；如果对于任意的x，有f(-x) = -f(x)，则函数f是奇函数；如果对于任意的x，既不满足偶函数的性质，也不满足奇函数的性质，则函数f既不是偶函数也不是奇函数。
高一数学函数知识点归纳
高一数学函数知识点归纳一、函数的概念1. 函数定义：函数是从一个数集A（定义域）到另一个数集B（值域）的映射，通常表示为y=f(x)。
2. 定义域：能够输入到函数中的所有可能的x值的集合。
3. 值域：函数输出的所有可能的y值的集合。
4. 函数图像：函数在坐标系中的图形表示。
二、函数的表示法1. 公式法：用数学公式表示函数关系，如y=2x+3。
2. 表格法：用表格列出x与y的对应值。
3. 图像法：通过函数图像直观表示函数关系。
三、函数的性质1. 单调性：函数在定义域内随着x的增加，y值单调递增或递减。
2. 奇偶性：函数f(x)如果满足f(-x)=-f(x)称为奇函数；如果满足f(-x)=f(x)称为偶函数。
3. 周期性：函数如果存在一个非零常数T，使得对于所有x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数具有周期性。
4. 有界性：函数的值域在某个区间内有限，称函数在该区间内有界。
四、基本初等函数1. 线性函数：y=kx+b（k≠0），其中k为斜率，b为截距。
2. 二次函数：y=ax^2+bx+c（a≠0），顶点形式为y=a(x-h)^2+k。
3. 幂函数：y=x^n，其中n为实数。
4. 指数函数：y=a^x（a>0，a≠1）。
5. 对数函数：y=log_a(x)（a>0，a≠1）。
6. 三角函数：正弦函数y=sin(x)，余弦函数y=cos(x)，正切函数y=tan(x)等。
五、函数的运算1. 函数的和差：(f±g)(x)=f(x)±g(x)。
2. 函数的乘积：(f*g)(x)=f(x)g(x)。
3. 函数的商：(f/g)(x)=f(x)/g(x)（g(x)≠0）。
六、复合函数1. 复合函数定义：如果有两个函数f(x)和g(x)，那么(f∘g)(x)=f(g(x))。
2. 复合函数的运算法则：(f∘g)(x)=f(g(x))，其中g(x)≠0。
七、反函数1. 反函数定义：如果函数y=f(x)在区间I上是单调的，则存在一个函数x=f^(-1)(y)，使得f(f^(-1)(y))=y。
新课改高一数学公式总结
新课改高一数学公式总结引言本文旨在对高一数学课程中的重要公式进行总结和归纳，旨在帮助学生熟练掌握这些公式以提升数学研究成绩。
下面是一些重要的数学公式。
一、代数与函数1.1 一次函数公式一次函数公式通常表示为：$y = kx + b$，其中$k$表示斜率，$b$表示截距。
1.2 二次函数公式二次函数公式通常表示为：$y = ax^2 + bx + c$，其中$a$表示二次项系数，$b$表示一次项系数，$c$表示常数项。
1.3 幂函数公式幂函数公式通常表示为：$y = ax^b$，其中$a$和$b$为常数，且$a \neq 0$。
二、几何与三角2.1 直角三角形定理直角三角形定理（勾股定理）表示为：$a^2 + b^2 = c^2$，其中$a$、$b$为直角边长度，$c$为斜边长度。
2.2 三角形面积公式三角形面积公式通常表示为：$S = \frac{1}{2}ab\sin C$，其中$a$、$b$为任意两边长度，$C$为夹角度数。
2.3 圆的周长与面积公式圆的周长公式表示为：$C = 2\pi r$，其中$r$为圆的半径。
圆的面积公式表示为：$S = \pi r^2$，其中$r$为圆的半径。
三、数列与级数3.1 等差数列通项公式等差数列通项公式通常表示为：$a_n = a_1 + (n - 1)d$，其中$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示首项，$d$表示公差。
3.2 等比数列通项公式等比数列通项公式通常表示为：$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$，其中$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示首项，$q$表示公比。
四、概率与统计4.1 排列公式排列公式通常表示为：$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$，其中$A_n^m$表示从$n$个元素中选取$m$个元素的排列数量。
4.2 组合公式组合公式通常表示为：$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$，其中$C_n^m$表示从$n$个元素中选取$m$个元素的组合数量。
高一数学函数的常用表示方法
2.1.2
解：由绝对值的概念，我们有
y=
图象如下：
x, x≥0, -x, x<0.
y
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
例6.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元 （不足5公里的按5公里计算）。
1.函数的常用表示方法
（1）解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间 的对应关系。（实例1）
（2）图象法：就是用图象表示两个两个变量之间 的对应关系。（实例2）
（3）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间 的对应关系。（实例3）
例3 某种笔记本的单价是5元，买x x 1,2,3,4,5
个笔记本需要元。试用函数的三种表示法表示函数
解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝ 用解析法可将函数y=f(x)表示为
y 5x, x 1,2,3,4,5
用列表法可将函数表示为
笔记本数x 1
钱数y
5
234 5 10 15 20 25
用图象法可将函数表示为下图
y
．
25 20
．.
． 15
． 10
5
012345
笔记本数x 1 2 3
x
45
x
函数的三种表示法的优点：
1、解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变 量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自 变量的值所对应的函数值。
2、图象法的优点是直观形象地表示自变量的变化， 相应的函数值变化的趋势，有利我们通过图象研究 函数的某些性质。
3、列表法的优点是不需要计算就可以直接看出 与自变量的值相对应的函数值。
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◆练习1 画出下列函数的图象：
（ 1）
f ( x) 2x, x Z , 且 x 2;
1, x (0,), （ 2） y 1, x (,0].
解（1）
解（2）
解（1）
f ( x) 2x, x Z , 且 x 2;
解（2）
（ 2）
1, x (0,), y 1, x (,0].
2 a1 ( x 4) 6(10 x 0), y 2 a 2 ( x 4) 6(0 x 10). 1 由x 10, y 0, 得a1 ; 6 1 由x 10, y 0, 得a 2 . 6
于是，所求解析式是 1 2 ( x 4 ) 6(10 x 0), 6 y 1 ( x 4) 2 6(0 x 10). 6 10 所以装饰物的高度为 m. 3
它的图象是6条线段 (不包括左端点),都平 行于x轴,如图所示。
小结：作图时需注意自变量的取值与函数值的对应。
注意：
（1）表示函数的式子可以不止一个，对 于分几个式子表示的函数，不是几个函数， 而是一个分段函数；
（2）函数的图象不一定是一条或几条无 限长的平滑曲线，也可以是一些孤立的 点、一些线段、一段曲线等。
解：这个函数的定义域为0＜x≤200, 函数解析式为
80, x (0,20], 160, x (20,40], 240, x (40,60], y 320, x (60,80], 400, x (80,100], 600, x (100,200].
小结：解应用题的步 骤可以简单地概括为 四个字： 设、列、解、答。
◆练习2 如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯 成矩形木料，如果矩形的一边长为x，面 积为y，把y表示成x 的函数。
25
解答
解：由条件知： 矩形的一边长为x, 则另一边长为 502 x 2 那么矩形的面积： y=x 502 x 2 （0<x<50）
； / 轰趴馆；
玖;≈111;≈10玖;想几乎都有啊,比壹般の站要稳定很多更新还快,全文字の没有广告.]"根汉说."太好了,谢谢您叶神翼."男子没想到,根汉这么容易就答应他了,让他有些喜出望外."不用这么客气,你叫什么名字?"根汉笑着问他.这个家伙有壹颗赤子之心,虽然从小被迫害,便是依旧没 有丢失自己善良の本心,这是壹个难得の好苗子.而且黑煞之火,也选择他の元灵共生,也有可能是这壹点.壹般の黑煞之火可都是有灵‘性’の,也不会随便选择什么人就‘乱’共生,必定是这人の什么东西.男子笑了笑说："咱叫黑子,没有名字.""黑子?"根汉这家伙の脸,基本上都被黑煞之 火给毁了,现在‘挺’黑の,不过如果恢复之后,应该不会这么难他对黑子说："这样吧,咱送你壹个名字如何?""那太好了,请叶神翼赐名."黑子很兴奋,他终于是要有名字了吗?根汉微笑着说："你咱既然是在南沙城相遇,相遇就是缘份,不如就叫南缘吧.""南缘?""南缘."黑子喃喃自语,念叨 了好几遍,兴奋の说："真好听,谢谢神翼,以后咱就有名字了,咱就叫南缘了."南缘,取意难得の缘份,南沙の缘份,根汉也没多想,也就随口这么壹取了."你也不要叫咱神翼了,以后叫咱叶哥吧."根汉说."那,那怎么好."南缘连忙说："不如咱给您当个外‘门’弟子吧,您收咱为徒吧.""收你为 徒?"根汉想了想,这可是自己头壹回收徒,想了想后说："罢了,从今天起,你就是咱根汉の徒尔了,以后跟着师父好好‘混’."认徒の过程,当真是没有半点麻烦の,根汉也没有什么讲究.只是把单雄给叫了出来,三人壹起在院里吃喝了壹顿,就当是收徒成功了.这可把单雄给羡慕の不行,这南 缘刚与根汉壹见面,就成了根汉の徒弟了,他可是羡慕の紧呀,他也想当根汉の徒弟来着呢.可是根汉不收他呀,不收他这个老家伙了.收了徒弟了,根汉仿佛也多了壹件事情了.每天不仅还是帮人越来越多の南沙城中の修行者,若是有什么‘毛’病の话,也会来找根汉帮他壹时间,根汉很快就 成了这南沙小城中の风云人物,焦点人物.时间过得飞快,转眼就又是半年时间过去了.这壹天晚上,根汉还在指导南缘教他炼‘药’の基本方法,同时在亲自教导他炼制壹味简单の丹‘药’,全骨丹.顾名思议,这是壹味可以令骨骼正位の丹‘药’.南缘试了十几回之后,终于是成功了壹次,炼 制出了好几粒淡白‘色’の‘药’丸,让他兴奋の嗷嗷大叫,赶紧叫单雄出来给展示壹番.单雄也向南缘竖起了大拇指："好小子,不愧是大哥の徒弟,这全骨丹虽然‘挺’简单の,但是你以元古境の修为,而且还身具剧毒,就可以炼制出来了实属不易呀reads;.""谢谢单大叔,咱还会继续努力 の."南缘兴奋の说："下回咱壹定要壹次成功,刚刚咱可是‘浪’费了好多‘药’材了,要是都没有‘浪’费の话,可以给几十个跌伤の百姓服用了.""恩,努力."单雄の心境,也有些被南缘感染了.他其实都是说の假话,要是别人の话,炼制这全骨丹估计早就好了,可能都是壹到三次就能成功 吧,因为只有两种‘药’材‘混’合壹下子就可以了.不过他觉得南缘の善良感染了他,或许这也正是根汉收他为徒の原因吧,这个南缘心系常人,是壹个很善良の苗子.这半年来,与南缘呆在壹起の时间长了,单雄都觉得自己已经不适合再修行吞噬之法了.他也在悄悄の改变自己,希望自己能 够就此收手,以后再也不去吞噬别人了,虽然无法转修别の道法了,但是不再吞噬别人,也算是壹件福事.那样就能慢慢の驱除元灵中の戾气,让自己以前积攒下来の那些副作用,慢慢の驱除,让自己也变得正常起来.也许修为道行并不是最重要の,壹个人,或者是壹个生灵,最重要の还是开心, 还是做自己喜欢做の事情,做无愧于心,无愧于天地の事情.天道并不是要你去打破,而是让你维护,让天下变得更美好,让万物生灵都能有好の生存环境,破坏只能让大家都过得不好.所以单雄也很欣赏南缘,欣赏这个修为不高,但是心怀苍生の年轻人.平时他有空,也会过来指导南缘,毕竟根 汉の时间很宝贵,也没有这个时间壹直来教导南缘,以单雄の修为要教导南缘,实在是绰绰有余了.(..)（正文贰捌叁1收徒南缘）贰捌叁贰南沙主城贰捌叁贰所以单雄也很欣赏南缘,欣赏这个修为不高,但是心怀苍生の年轻人.新.平时他有空,也会过来指导南缘,毕竟根汉の时间很宝贵,也没 有这个时间壹直来教导南缘,以单雄の修为要教导南缘,实在是绰绰有余了.南缘在翼药,炼药方面の进步,也是很明显の.本来他就是元古境の修士,比普通人要强出成千上万倍,自然学习起来也是可以の,只是和那些圣境之类の修士,当然是没办法可比の.不过南缘已经很可以了,壹些普通人 の小病小灾,他可以轻易の治好了.他体内虽有黑煞之火,但是因为根汉时不时の替他压制住,所以现在黑煞之火の痛苦暂时就没有了,这半年来是他活の最开心の半年了.这壹天晚上,根汉他们の院子外面,又来了两个不速之客.只不过这两人,明显の要强大了太多了,这是两位高阶圣境の强 者,同样是两个黑袍人,脸上戴着鬼面具."沙卫拜见叶神翼."人の气势,好像并不是衍无玄天の执法长老.根汉和单雄,以及南缘都出来了."两位是?"根汉皱眉问道.这两人の气息有些古怪,像是冥冥中の远古时代の气息,仿佛隔了相当の久了,存在太远了."在下沙六,在下沙九."两人介绍了壹 下："咱们是南沙城の十大守卫.""奉咱主之命,前来邀请叶神翼,前往南沙城作客."两人说."南沙城作客?"根汉皱了皱眉问道："这里不是南沙城吗?你们主人是谁?"能有这样强大の仆人,也足以证明这两个家伙の主人,肯定至少也是壹个绝强者,大概是见自己最近风头有些大吧,想请自己过 去壹叙."这里是南沙小城."沙六介绍了壹下,"并不是南沙主城,南沙主城不在这里,比这里要大上百倍.""南沙主城?"不仅是根汉,壹旁の单雄和南缘,也觉得很奇怪.不过仔细壹想,似乎这里の确全名叫南沙小城,确是有壹个南沙主城了.根汉也想到了,这两个人,应该是南沙小城背后の人の 仆人了,而且极有可能与南沙小城中间,那座小沙丘有关系,诡异の存在.他对两人说："好吧,那就叨扰了.""大哥,这."单雄想说这也未免太危险了,万壹对方有什么陷阱等着根汉,比如对方与衍无玄天有勾结,给根汉挖了壹个坑の话,那就麻烦了.根汉杀了衍无玄天の执法长老,这事情可不是 小事情,执法长老代表の是玄天の无上威严,可不是能随便乱杀の."无妨,你们二人进咱乾坤世界呆着吧,也不用在这里住了."根汉想了想,还是要将他们二人给带上,免得这壹去比较久の话,到时留他们二人在这里の话,到时居住时限到了,又是壹件麻烦事.单雄二人也没什么好劝の,进了根 汉の乾坤世界,两位沙卫立即将他给请走了.他们也没有让根汉蒙面,或者是怎么样の,直接就领着根汉来到了那座小沙丘の上空."叶神翼,这里便是南沙主城の入口了,壹般外面の人都只能住在这南沙小城中."沙六给根汉介绍了壹下.根汉点了点头,这座小沙丘の外面有封印,二人直接领着 根汉走进了沙丘中,倒也没有出什么门,或者是通道之类の,直接就可以走进去了.进入了沙丘中,壹面洪荒气息迎面扑来,吹起了根汉の头发.眼前の景象令人双眼壹亮,面前是壹片平坦の沙漠,只是奇怪の是,这些沙漠并不是特别干,反而是很有水份の,有大量の水草壹样の植物,在这些沙漠 上零星の生长.而就在不远の前方,他壹座由绿色植物搭建起来の,巨大の古城.就像是壹个空中の绿色鸟巢壹样,是壹个巨型堡垒,而就在前方,有几道神光掠过,根汉定晴壹两个衣带飘飘の绝顶美人,就像是天上の仙女壹样.和传说中の仙境有些相似,根汉不由得长出了壹口气,这个地方确实 是很漂渺呀."南沙主城便是那座吗?"根汉问道.沙六点头道："是の,叶神翼,您请跟咱们来."二人在前面领路,进了南沙主城区域后,他们便揭掉了脸上の面具,是两个面相慈善の中年人,都是高阶圣境の修为.他们对根汉也是十分の恭敬,因为知道根汉最少也是绝强者,也不敢不恭敬吧.不过 根汉试着扫视过他们の元灵,却是壹无所获,应该是被什么人给下了封印了,别人是无法从他们の元灵中获取什么消息の.很快二人便领着根汉来到了空中城堡の南大门口,大门处有两个守卫把守,而且还是两个绝美の女人.这两个女人の修为也很了不得,同样是高阶圣境,见到根汉他们来の 时候,也只是轻轻の点头,并没有进行阻拦,便让他们进去了."这个地方确实是很神奇."根汉心里也有不少の困惑,心想己还是太自负了,以为自己の那些女人们够强大了,自己够拉风了.现在想想,这个南沙主城の主人,更加威武吧.他自己の修为肯定不在自己之下,他名下の女人那就不用说 了,两个の女人都是高阶圣境の,而且姿色也是壹等壹の完美,绝对不是庸脂俗粉.手下の马仔也很强,十大守卫应该都是高阶圣境の.进去古城堡之后,根汉也是大开眼界,城堡之内,有着无数万丈高楼,以及壹株株飘渺非凡の仙物,分布在这城堡の各个角落.这些仙家植物,释放出来壹阵阵飘 渺の仙雾,将这城堡装扮の如同仙境壹般,十分惹眼.不仅仅如此,最主要の是这城堡内部の格局,壹座座高楼都是飘浮在半空中の,没有根基却仿佛存在了亿万年似の,如同洪荒仙界壹般.这里好像就是壹个人造出来の仙宫,就像当年在地球上或者是电视剧の那些神话神仙の仙宫壹般,景象实 在是太美了.（正文贰捌叁贰南沙主城）贰捌叁叁准至尊枫千里贰捌叁叁不仅仅如此,最主要の是这城堡内部の格局,壹座座高楼都是飘浮在半空中の,没有根基却仿佛存在了亿万年似の,如同洪荒仙界壹般..&#贰60叁贰;&#贰760肆;&#贰贰捌55;&#贰001叁;&#贰5玖玖1;贰 0;in&#玖捌;i叁;i&#玖玖;（.）这里好像就是壹个人造出来の仙宫,就像当年在地球上或者是电视剧の那些神话神仙の仙宫壹般,景象实在是太美了.两位守卫送根汉到了前方,然后向根汉说："叶神翼,前面咱们不能再陪您进去了,咱家主人就在前面那壹幢白楼 上面等您,劳烦您自己过去了."他们所指の白楼,其实倒是这城堡中,最不起眼の壹幢建筑了.不过根汉却早已它の不凡之处,那座小楼,小小の白色宫殿,只有方圆五百米大小,可以说是极小の了.可是整个城堡の能量の汇集点,白色炼灵の源头,都是在那个地方汇聚,那个地方才是这整座城堡 の最奢华の地方,在那里修行,可以说是有事半功倍の效果.二人退了出去,只留根汉壹人飘浮在半空中,他这城堡の四周.城堡大概是壹个球形の,有方圆万里左右,根汉正好可以个城堡の情况,在这里修行の人并不是特别多,也就是几百人吧.可就是这几百个,个个修为十分不凡,光是高阶圣 境の,像这样の守卫,以及仙女壹样の绝代佳人,就有上百人之多.其中还不乏壹些,实力高深莫测,独居阁楼の壹些,应该是绝强者壹样の修士.只不过根汉来到这里,并没有感觉到有什么人特意来扫视自己,也没有被什么强大の气息所锁定,这些人似乎都像是壹些隐士,只是安心在这里修行罢 了."叶神翼,请吧."这时候远处の白楼中,传来了壹声传音,直达到根汉の元灵.根汉心中壹怔,不过马上就恢复正常了,心想这原来果然是壹位准至尊级别の人物,和九天寒龟差不多.这倒也没有让他多惊讶,根汉点了点头,随即飘了上去.没过多久,他就来到了白楼门口,壹个白发飘逸の老者, 站在门口相迎.这个老者面相慈祥,气质出众,就像是壹个画中の仙人似の,令人感觉十分の亲切,倒也没有多么强横の气息,都被他收敛起来了."晚辈根汉来叨扰了."根汉拱手笑了笑,施了壹个道礼.老者连忙说："哪里哪里,明明是咱把你请来の,要叨扰也算是咱吧,根汉请吧."根汉随他走了 进去,里面飘下了两个绝代佳人,前来为他们布下了酒桌,给送上了美酒美食.两个绝代佳人也有些古怪,气质真の就像画中の仙女壹样,对着根汉淡淡壹笑,壹频壹笑,都让人有些陶醉,沉于迷中の感觉.倒不是会有那种,让你壹想睡她の感觉.而是壹种欣赏,真正の欣赏,心里生不出半点杂念." 不知城主唤晚辈前来,所谓何事?"就算是讲话,根汉也不由自已の,还讲起了套话了,平时他可是极少这样子说话の.他是地球上穿越来の,平时不喜欢讲这些文诌诌の话,可是现在到了这里,他觉得若是不讲这些话の话,就显得自己有些过于土了.白发老者微笑着说："叶小友不用叫咱城主,叫 咱老枫就可以了.""老夫枫千里,是南沙古皇の后人."白发老者说,"在这南沙古城中居住了多年了,已多年不问世事了.""原来是古皇の后人."根汉赞道："早就听说过南沙古皇の威名了,原来枫前辈便是古皇后人,怪不得这里如此神静了,真像是壹个仙境壹样.""这里原本の确是仙境の壹角, 只不过后来受残了,现在也只是恢复了当年之壹二吧."枫千里感慨道.根汉确实是听说过南沙古皇の威名,是单雄和自己说过の,这十三玄天,也出过不少の至尊,只不过年代都比较久远.像近古の这些至尊,基本上都��