【备战2014】高考数学高频考点归类分析圆锥曲线的焦点问题(真题为例)

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2014高考数学题型归纳

2014高考数学题型归纳：圆锥曲线1、直线与圆锥曲线的位置关系：①、要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或消去x)得到关于x(或关于y)的一元二次方程，再考查其△，从而确定直线与圆锥曲线的的交点个数：(1)若△<0，则直线与圆锥曲线没有公共点;②若△=0，则直线与圆锥曲线有唯一的公共点;③若△>0，则直线与圆锥曲线有两个不同的公共点;②、从几何角度来看：直线与圆锥曲线的位置关系对应着相交(有两个交点)、相切(有一个公共点)、相离(没有公共点)三种情况;这里特别要注意的是：当直线与双曲线的渐近线平行时、当直线与抛物线的对称轴平行时，属于相交的情况，但只有一个公共点。

3、直线与圆锥曲线相交的中点弦的的问题,常用的求解方法有两种：①、设直线方程为y=kx+m，代入到圆锥曲线方程之中，消元后得到一元二次方程，再利用根与系数的关系去处理(由于直线方程与圆锥曲线方程均未定，因而通常计算量较大);②、利用点差法：例如在椭圆内有一定点P(x0,y0),求以P为中点的弦的直线方程时，可设弦的两端点为A(x1,y1)、B(x2,y2) ，则A、B满足椭圆方程，即有两式相减再整理可得：(x1+x2) (x1-x2)a2 = - (y1+y2) (y1-y2)b2;从而可化出k= y1-y2x1-x2 = (x1+x2) (y1+y2)•-b2a2 = x0y0•-b2a2;对于双曲线也可求得：k= y1-y2x1-x2 = (x1+x2) (y1+y2)•b2a2= x0y0•b2a2;抛物线也可用此法去求解，值得注意的是，求出直线方程之后，要根据图形加以检验。

4、解决直线与圆锥曲线问题的一般方法是：①、解决焦点弦(过圆锥曲线的焦点的弦)的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义和焦半径公式;②、已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法;③、圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解决此类问题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，则圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解。

2014高考理科数学必考点解题方法秘籍圆锥曲线1

2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：圆锥曲线11. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b -=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

2014届高考总复习基础知识：圆锥曲线

圆锥曲线1.若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为【】(A)2 (B)22 (C) 4 (D)24 【答案】A 。

【考点】双曲线的性质，抛物线的性质。

【分析】根据抛物线方程可求得抛物线的准线方程即双曲线的准线方程，从而求得c ，最后根据离心率公式求得答案：由抛物线x y 82=，可知p=4，∴准线方程为x =－2。

对于双曲线准线方程为22a x c=-=-，∴228c a ==，4c =。

∴双曲线离心率428c e a ===。

故选A 。

2.抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是【】A ．1617 B ．1615C ．87D ．0【答案】B 。

【考点】抛物线的性质。

【分析】根据点M 到焦点的距离为1利用抛物线的定义可推断出M 到准线距离也为1，利用抛物线的方程求得准线方程，从而可求得M 的纵坐标。

根据抛物线的定义可知M 到焦点的距离为1，则其到准线距离也为1。

又∵抛物线的准线为116y =-，∴M 点的纵坐标为11511616-=。

故选B 。

3.点P(3,1)-在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为(2, 5)a =-的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为【】A ．33 B ．31 C ．22 D ．21【答案】A 。

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的性质。

【分析】根据过点P 且方向为(2, 5)a =-求得PQ 的斜率，进而可得直线PQ 的方程，把2-=y 代入可求得Q 的坐标，根据光线反射的对称性知直线QF 1的斜率从而得直线QF 1的方程，把0y =代入即可求得焦点坐标，求得c ，根据点P （－3，1）在椭圆的左准线上，求得a 和c 的关系求得a ，则椭圆的离心率可得：如图，过点P （－3，1）的方向(2, 5)a =-，∴PQ 52k =-，则PQ 的方程为()5132y x+-=-，即52130x+y +=。

2014年高考“圆锥曲线”专题分析

2 的位置关系，并证明你的结论．
解：（1）由题意，椭圆
C
的标准方程为
x2 4
+
y2 2
= 1.
椭圆 C 的离心率 e =
c a
=
姨2 2
.
（2）直线 A B 与圆 x2 + y2 = 2 相切．
设点 A 、B 的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中 x0≠0.
因为 OA ⊥OB，所以OA ·OB = 0，
试题研究
SHITIYANJIU
年高考“圆锥曲线”专题分析
景芳（杭州师范大学附属中学）张金良（浙江省教育厅教研室）
摘要：2014 年高考对“圆锥曲线”的考查，充分体现了以主干知识为重点内容、以通性通法为主要方法，全面考查了平面解析几何的基本思想和方法以及考生的综合能力、运算能力和数学素养. 主要表现在： “主干内容”星光依旧；“转化、消元”畅通无阻；“最值，定值 ” 难点凸显；“ 计算过程 ” 胆大心细等方面 . 通过对高中新课程实施下的各套高考试卷中“圆锥曲线方程”的知识点、命题特征、亮点的综合分析，力图为新课程背景下如何有效开展“圆锥曲线”的复习提供理论与实践两个维度的回答.
关键词：2014 年高考；圆锥曲线；命题特点；亮点扫描；模拟题精选；复习建议
一、命题特点及趋势分析
圆锥曲线作为中学数学的传统内容，是中学数学传统主干知识之一，在高考中占有非常特殊的地位，是历届高考的必考要点之一. 在近 3 年的数学高考试题中大多以一个客观题和一个主观题的形式出现，分值均为 19 分左右.
高考题是平稳、集中的. 重点内容重点考查，客观题
以考查双曲线的几何性质为主，文、理一般统一，只

圆锥曲线的焦点剖析-最新文档

圆锥曲线的焦点剖析圆锥曲线主要研究椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及几何性质.它在高考数学中占有十分重要的地位, 是历年高考的重点、热点和难点.圆锥曲线都有焦点，焦点是确定圆锥曲线位置和形状的重要元素, 也是我们研究圆锥曲线的定位条件, 它决定了圆锥曲线标准方程的类型. 所以焦点在学习圆锥曲线中占有举足轻重的地位现将与焦点有关的知识点归纳如下：、圆锥曲线焦点位置的判断1?蓖衷驳慕沟?椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1 (a> b>0)或y2a2+x2b2=1 (a>b>0).焦点在分母大的坐标轴上.例如x225+y216=1，25> 16，25是x225的分母，所以焦点就在x 轴上，x 轴就为长轴. 因为c2=a2-b2=25-16=9 ，所以c=3.由于焦点在x 轴上，所以焦点坐标就为(± 3，0) .2?彼?曲线的焦点双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1 (a>0, b>0)或y2a2-x2b2=1 ( a> 0，b>0) . 焦点的位置由x2，y2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上例如y29-x216=1 , y29> 0,所以焦点在y轴上，y轴为实轴.因为c2=a2 + b2=9 + 16=25,所以c=5.由于焦点在y轴上，所以焦点坐标就为( 0，±5) .3?迸孜锵叩慕沟?抛物线的标准方程为y2=±2px (p>0)或x2=±2py (p>0).焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向例如x2=-8y, 一次项为y，y 前的系数为-8 ，所以开口方向为y 轴的反方向，即开口向下. 由于焦点坐标与系数成14的关系，焦点在y 轴上，所以焦点坐标就为( 0，-2 ) .通过焦点位置的判断，我们可以找出研究圆锥曲线几何性质的入手点：椭圆找分母大的，双曲线找系数正的，抛物线看一次项.二、焦半径圆锥曲线上的点P到焦点F的距离称为焦半径.根据圆锥曲线的第二定义可以总结出焦半径公式. 公式如下：1?蓖衷驳慕拱刖?设点P (x0，y0)为椭圆上任意一点.(1) 焦点在x 轴上：PF1=a+ex0，PF2=a-ex0.F1为左焦点，F2为右焦点.(2) 焦点在y 轴上：PF1=a+ey0，PF2=a-ey0.F1为下焦点，F2为上焦点.2?彼?曲线的焦半径设点P (x0, yO)为双曲线上任意一点.(1)焦点在x轴上：F1为左焦点，F2为右焦点.P在右支上，PF仁exO+a, PF2=ex0-a,P 在左支上，PF1=- (exO+a), PF2=- (exO-a ).(2)焦点在y轴上：F1为下焦点，F2为上焦点.P 在上支上, PF1=eyO+a, PF2=eyO-a,P 在下支上，PF1=-( eyO+a)，PF2=-( eyO-a).3?迸孜锵叩慕拱刖?设点P (xO, yO)为椭圆上任意一点，F为焦点.(1) 开口向右：P F=xO+p2.(2) 开口向左：P F=p2-xO.(3) 开口向上：P F=yO+p2.⑷开口向下：PF=p2-yO.例1若等轴双曲线上一点p到中心的距离为d求点P到两焦点的距离之积.解设等轴双曲线的标准方程为x2-y2=a2 (a >O)，由等轴双曲线的性质可知离心率e=2.设P点坐标为(xO, yO)，双曲线左、右焦点分别为F1,F2.联立方程组x2O+y2O=d2,x2-y2=a2.得x2O=a2+d22.T PF1=e xO+ a =2x0+a,PF2=e x0- a =2x0-a,•••点P到两焦点的距离之积PF1•PF2= (2x0+a) 2x0-a )=2x20-a2=a2+d2-a2=d2.三、焦点弦过焦点的直线y=kx+b 与圆锥曲线相交于两点，其交点分别为A( x1 ,1), ( x2 ,则AB?虺莆？焦点弦.弦长AB=1+k2x1-x2?蚧颚？AB=1+1k2y1-y2.焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后利用第二定义求解.1?蓖衷驳慕沟阆?AB=2a-e (x1+x2)(过右焦点)；AB=2a+e (x1+x2)(过左焦点)2?彼?曲线的焦点弦若A，B 两点分别在左右两支上，则AB=2a+e( x1+x2)；若A，B 两点在同一支上，则AB=2a-e (x1+x2)(过右焦点)；AB=-2a-e (x1+x2)(过左焦点).3?迸孜锵叩慕沟阆?AB=x1+x2+p.例2AB是抛物线y2=x的一条焦点弦，若AB=4求弦AB的中点到直线x+12=0的距离.解由抛物线的方程可知p=12.由抛物线的焦点弦公式可知:AB=x1+x2+p=x1+x2+12=4.•/x1+x2=72, ••• x1+x22=74,即AB的中点的横坐标为74.•••弦AB的中点到直线x+12=0的距离是74+12=94.四、通径、焦准距通径是过焦点且垂直于对称轴的弦, 它是所有焦点弦中最短的弦.(1) 椭圆、双曲线的通径为2b2a；2)抛物线的通径为2p.焦准距是焦点到相应准线的距离(1) 椭圆、双曲线的焦准距为b2c；(2) 抛物线的焦准距为p.例3 已知F1, F2是双曲线x2a2-y2b2=1 (a>0, b>0)的两个焦点，PQ为过F1且垂直于x轴的双曲线的弦.若 / PF2Q=90，求双曲线的离心率.解PQ为双曲线的通径，|PQ|=2b2a.连接PF1F2可知，△ PF1F2为等腰直角三角形.• PF1=F1F2.• 2b2a2=2c, 即b2=2ac.V b2=c2-a2,--c2 -a2=2ac.等式两边同时除以a2, 得c2a2-1=2ca.-e=ca, • • e2 -1=2e.解方程得e1=1+2,e2=1-2 （舍去）.•双曲线的离心率是1+2.圆锥曲线这一单元历来受高考出卷老师的青睐，与焦点相关的题目也层出不穷，教师要善于剖析、归纳、总结，才能对学生的解题起到事半功倍的作用。

圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧

圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线是数学中的重要概念，也是高中数学中的重要内容之一。

在高考中，圆锥曲线问题往往是考查学生分析能力、解题技巧和数学理论应用能力的重要内容。

圆锥曲线问题包括了圆、椭圆、双曲线和抛物线等内容，这些问题在高考中的常见题型有很多，下面我们就来总结一下圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧。

一、圆锥曲线的常见题型1. 求解圆锥曲线的焦点、直径等坐标问题2. 求圆锥曲线与坐标轴的交点3. 求圆锥曲线的参数方程4. 求解圆锥曲线的切线方程5. 求解圆锥曲线的渐近线方程6. 判断点是否在圆锥曲线内部或外部等问题这些都是高考中经常出现的圆锥曲线的题型，考查学生的代数计算、几何推理、参数方程应用等多方面的数学能力。

二、解题技巧1. 确定圆锥曲线的类型在解题时首先要明确圆锥曲线的类型，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。

这样可以根据具体的类型选择相应的解题方法，避免盲目求解导致错误。

2. 利用几何的方法辅助求解对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，可以利用几何的方法来辅助求解，比如通过图形性质来确定焦点、直径等坐标，利用图形的对称性质来求解切线方程等。

3. 转换坐标系有些圆锥曲线问题在直角坐标系中比较复杂，但是如果将坐标系进行适当的旋转、平移或变换，可能会使问题更易于求解。

将坐标系转换成合适的坐标系是解决问题的有效方法之一。

4. 参数化求解对于一些复杂的圆锥曲线问题，可以尝试使用参数方程来进行求解，将问题转化成参数方程的形式，有时会使问题变得更加简单。

5. 利用数学工具软件辅助求解在解题过程中，可以利用数学软件来辅助求解，比如利用计算机绘制图形、求解方程等，可以帮助理清思路、验证结果，并避免繁琐的计算错误。

三、举例分析以下举一个常见的圆锥曲线问题作为例子进行分析：已知椭圆的方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]求椭圆的焦点坐标及渐近线方程。

【备战2014】高考数学高频考点归类分析圆锥曲线中定值问题(真题为例)

圆锥曲线中定值问题典型例题：例1. （2012年上海市理16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP⊥OQ；（6分）（3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM⊥ON，求证：O 到直线MN 的距离是定值.（6分）【答案】解：（1）∵双曲线221:112x C y -=的左顶点A (0)，渐近线方程：x y 2±=.∴过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为(y x =+，即12+=x y 。

解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y，得412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。

∴所求三角形的面积为111||||S O 2A 22y =⋅⋅==。

（2）证明：设直线PQ 的方程是b x y +=∵直线与已知圆相切，1=，即22=b 。

[由⎩⎨⎧=-+=1222y x b x y ，得01222=---b bx x 。

设()()1122P , Q , x y x y 、，则⎩⎨⎧--==+1222121b x x bx x . 又))((2121b x b x y y ++=，∴212121212Q )O 2(P O x x y y x x b x x b =+=++⋅+ 022)1(2222=-=+⋅+--=b b b b b 。

∴OP⊥OQ。

（3）当直线ON 垂直于x 轴时， |ON|=1，|O y|=2，则O 到直线MN。

（此时，N 在y 轴上，y 在x 轴上）当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =（显然||2k >），则由OM⊥ON，得直线OM 的方程为1y x k=-。

圆锥曲线解题技巧之焦点定理如何利用焦点到直线的距离关系解决圆锥曲线问题

圆锥曲线解题技巧之焦点定理如何利用焦点到直线的距离关系解决圆锥曲线问题圆锥曲线是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学和物理学领域。

而在解决圆锥曲线问题中，焦点定理是一种常用的解题技巧。

本文将介绍焦点定理的定义，详细说明焦点与直线的距离关系，并用实例说明如何利用这个关系解决圆锥曲线问题。

一、焦点定理的定义焦点定理是圆锥曲线研究中的一个重要定理，用来描述焦点与直线之间的距离关系。

根据焦点定理，对于给定的焦点和一条直线，如果该直线上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离比相等，那么这条直线必定是圆锥曲线的一条切线。

二、焦点与直线的距离关系在圆锥曲线问题中，焦点与直线之间的距离关系可以通过几何方法求解。

首先，我们假设给定的焦点为F，直线为l，圆锥曲线为C。

根据焦点定理的定义，我们可以得出以下结论：1. 对于焦点F和直线l上的任意一点P，如果焦点F到点P的距离PF与直线l的距离d的比等于一个常数e，即PF/d = e，那么直线l必定是圆锥曲线C的一条切线。

2. 如果e = 1，那么直线l与圆锥曲线C的交点个数为1，即直线l 与圆锥曲线C相切。

3. 如果e > 1，那么直线l与圆锥曲线C没有交点，即直线l与圆锥曲线C没有交点。

4. 如果e < 1，那么直线l与圆锥曲线C有两个交点，即直线l与圆锥曲线C相交于两个点。

三、利用焦点定理解决圆锥曲线问题的实例为了更好地理解焦点定理的应用，我们来看一个具体的例子。

假设有一个椭圆，其长轴长度为2a，短轴长度为2b，焦点在椭圆的纵轴上，离中心点的距离为c。

现在我们想要求解椭圆上到直线y = mx + n的距离为d的点的坐标。

我们可以根据焦点定理来解决这个问题。

首先，我们知道椭圆的焦点到直线的距离为d，也就是PF/d = e。

根据椭圆的性质，椭圆上的任意一点与焦点之间的距离满足焦距定理，即PF = 2a - c。

将这两个条件带入PF/d = e中，我们可以得到(2a - c)/d = e。

2014理科数学高考热点专题(六)——圆锥曲线

理科数学高考热点专题（六）——圆锥曲线1、已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,，且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由.1.（1）解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b +=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. …………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， …………1分 ∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分(2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x BC --=， )413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . …………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. …………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① …………6分同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002.……8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，…12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分2、已知椭圆C 的中心在原点O ，离心率23=e ，右焦点为)0 , 3( F ． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量OA OP +与FA 共线？若存在，求直线AP 的方程；若不存在，简要说明理由．2.解：⑴设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>， 1分椭圆C 的离心率23=e ，右焦点为)0 , 3( F ， ∴3,32c c a ==， 222a b c =+，∴2,1,3a b c ===， 3分故椭圆C 的方程为2214x y +=． 4分 ⑵假设椭圆C 上是存在点P （00,x y ），使得向量OA OP +与FA 共线， 5分00(,1)OP OA x y +=+ ，(3,1)FA =-，∴00113x y +=-，即003(1)x y =-+，（1） 6分又点P （00,x y ）在椭圆2214x y +=上，∴220014x y += (2) 7分由⑴、⑵组成方程组解得0001x y =⎧⎨=-⎩，或0083717x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 9分 ∴(0,1)P -，或831(,)77P -， 10分当点P 的坐标为(0,1)-时，直线AP 的方程为0y =，当点P 的坐标为831(,)77P -时，直线AP 的方程为3440x y -+=，故直线AP 的方程为0y =或3440x y -+=． 12分3、如图（6），设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:222>=+a y ax C的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ⋅uuu r uuu r最小值为0．（1）求椭圆C 的方程；（2）若动直线12,l l 均与椭圆C 相切，且12//l l ，试探究在x 轴上是否存在定点B ，点B 到12,l l 的距离之积恒为1？若存在，请求出点B 坐标；若不存在，请说明理由．3.解：（1）设),(y x P ，则有),(1y c x P F +=，),(2y c x P F -=-------------1分[]a a x c x aa c y x PF PF ,,11222222221-∈-+-=-+=⋅ -----------------2分由12PF PF ⋅uuu r uuu r最小值为0得210122=⇒=⇒=-a c c ，-------------------3分∴椭圆C 的方程为1222=+y x ．---------------------------------------------4分（2）①当直线12,l l 斜率存在时，设其方程为,y kx m y kx n =+=+--------------------5分把1l 的方程代入椭圆方程得222(12)4220k x mkx m +++-=∵直线1l 与椭圆C 相切，∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=，化简得2212m k =+------------ -----------------7分图（6）F 2F 1oyx同理，2212n k =+-----------------------------------------------------------------------------8分 ∴22m n =，若m n =，则12,l l 重合，不合题意，∴m n =------------------------9分设在x 轴上存在点(,0)B t ，点B 到直线12,l l 的距离之积为1，则22||||111kt m kt m k k +-⋅=++，即2222||1k t m k -=+，--------------------------------------10分把2212k m +=代入并去绝对值整理，22(3)2k t -=或者22(1)0k t -= 前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的k R ∈恒成立则210t -=，解得1t =±；----------------------------------------------------------------------12分 ②当直线12,l l 斜率不存在时，其方程为2x =和2x =-，---------------------------13分定点(1,0)-到直线12,l l 的距离之积为(21)(21)1-+=；定点(1,0)到直线12,l l 的距离之积为(21)(21)1+-=；综上所述，满足题意的定点B 为(1,0)-或(1,0) --------------------------------------------14分4、如图．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆的离心率32e =，F 为椭圆的左焦点且11AF F B ＝1 。

14年高考数学复习知识点归纳 12圆锥曲线部分 (2)

圆锥曲线部分一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。

第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)10(<<e e 的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。

常数叫做离心率。

注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准方程 )0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a bx a y 参数方程⎩⎨⎧==θθθ(sin cos b y a x 为参数) ⎩⎨⎧==θθθ(sin cos a y b x 为参数)图形顶点 ),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A -- 对称轴 x 轴，y 轴；短轴为b 2，长轴为a 2焦点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F -焦距 )0(2||21>=c c F F 222b a c -=离心率 )10(<<=e ace （离心率越大，椭圆越扁）准线ca x 2±=ca y 2±=通径 ep ab 222=（p 为焦准距）焦半径201||||ex a PF ex a PF -=+=201||||ey a PF ey a PF -=+=焦点弦)(2||B A x x e a AB ++=仅与它的中点的横坐标有关)(2||B A y y e a AB ++=仅与它的中点的纵坐标有关焦准距cb c c a p 22=-=二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。

2014年全国高考十、圆锥曲线(逐题详解)

2014年全国高考数学试题分类汇圆锥曲线1.【2014年重庆卷（理08）】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（） A.34 B.35 C.49D.3【答案】B【解析】由于22121212(||||)(||||)4||||PF PF PF PF PF PF +--=⋅，所以22949b a ab -= 分解因式得(34)(3)0433,4,5b a b a a b a b c λλλ-+=⇒=⇒=== 所以离心率53c e a ==，选择B2.【2014年福建卷（理09）】设P ，Q 分别为圆x 2+（y ﹣6）2=2和椭圆+y 2=1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是（） A ． 5 B ． + C ． 7+ D ． 6【答案】D【解析】设椭圆上的点为（x ，y ），则∵圆x 2+（y ﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为， ∴椭圆上的点与圆心的距离为=≤5，∴P ，Q 两点间的最大距离是5+=6．故选：D3.【2014年辽宁卷（理10）】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学科网过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（）A ．12B ．23C ．34D ．43【答案】D【解析】∵点A （﹣2，3）在抛物线C ：y 2=2px 的准线上，即准线方程为：x=﹣2，∴p ＞0，=﹣2即p=4，∴抛物线C ：y 2=8x ，在第一象限的方程为y=2，设切点B （m ，n ），则n=2，又导数y ′=2，则在切点处的斜率为，∴即m=2m，解得=2（舍去），∴切点B （8，8），又F （2，0），∴直线BF 的斜率为，故选D4.【2014年全国大纲卷（06）】已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为（）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【答案】A【解析】∵△AF 1B 的周长为4，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴c=1，∴b==，∴椭圆C 的方程为+=1．故选：A5.【2014年全国大纲卷（09）】已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠=（） A ．14 B ．13 C ．24 D ．23【答案】A【解析】∵双曲线C 的离心率为2，∴e=，即c=2a ，点A 在双曲线上，则|F 1A|﹣|F 2A|=2a ，又|F 1A|=2|F 2A|，∴解得|F 1A|=4a ，|F 2A|=2a ，||F 1F 2|=2c ，则由余弦定理得cos ∠AF 2F 1===，故选：A6.【2014年山东卷（理10）】已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+by a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-b y a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为（A ）02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =±【答案】A【解析】()222212222222224424412434422c a b e a a c a b e a a a b e e a b a b a -==+==-∴==∴=∴=±7.【2014年四川卷（理10）】已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是A ．2B ．3C ．1728D ．10 【答案】B 【解析】方法1：设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，直线AB 与x轴的交点(0,)M m （不妨假设10y >）由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m = 于是121111111192922()2322488ABO AFO S S y y y y y y y ∆∆+=⨯⨯-+⨯⨯=+≥⋅= 当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=” 所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3方法2：8.【2014年天津卷（理05）】已知双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 A.221520x y -= B.221205x y -= C.2233125100x y -= D.2233110025x y -=【答案】A【解析】由题意知，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，∴b a＝2.∵双曲线的左焦点(－c ，0)在直线l 上，∴0＝－2c ＋10，∴c ＝5.又∵a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的方程为x 25－y 220＝1.9.【2014年全国新课标Ⅰ（理04）】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B .3C .3mD .3m【答案】：A【解析】：由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,33c m c m =+=+ 设()33,0Fm +，一条渐近线33y x m=，即0x my -=，则点F 到C 的一条渐近线的距离331m d m+=+=3，选A. .10.【2014年全国新课标Ⅰ（理10）】已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72B .52C .3D .2【答案】：C【解析】：过Q 作QM ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ = ∴34PQ PF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM ==11.【2014年全国新课标Ⅱ（理10）】设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（）A.334 B.938C. 6332D. 94【答案】 D 【解析】..49)(4321.6),3-2(23),32(233-4322,343222,2ΔOAB D n m S n m n m n n m m n BF m AF B A 故选，解得直角三角形知识可得，，则由抛物线的定义和，分别在第一和第四象限、设点=+••=∴=+∴=+=•=+•===12.【2014年广东卷（理04）】若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等【答案】D【解析】∵09k <<，∴90k ->，250k ->，∴曲线221259x y k +=-与221259x y k +=-均是双曲线，且222c a b =+=25(9)k +-=(25)9k -+，即焦距相等.故选D.13.【2014年湖北卷（理09）】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.433 B.233C.3D.2 【答案】 A【解析】设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为1a （1a a >），半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得a PF PF 2||||21=+，121||||2PF PF a -=，所以11||a a PF +=，12||a a PF -=，因为123F PF π∠=，由余弦定理得22211114()()2()()cos3c a a a a a a a a π=++--+-，所以212234aa c +=，即2122122221)(2124ca c a c a c a c a +≥+=-，所以212148)11(e e e-≤+，利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为433.第II 部分14.【2014年上海卷（理03）】若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 .【答案】2x =-【解析】：椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程2x =-15.【2014年上海卷（理14）】已知曲线2:4C x y =--，直线:6l x =. 若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0A P A Q +=，则m 的取值范围为 .【答案】[2,3]m ∈【解析】：根据题意，A 是PQ 中点，即622P QP x x x m ++==，∵20P x -≤≤，∴[2,3]m ∈16.【2014年浙江卷（理16）】设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0)x y a b a b-=>>两条渐近线分别交于点A 、B ，若点(P m ，0)满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是__________. 【答案】【解析】双曲线（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线方程为y=±x ，则与直线x ﹣3y+m=0联立，可得A （，），B （﹣，），∴AB 中点坐标为（，），∵点P （m ，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b ，∴=b ，∴e==．故答案为：17.【2014年江西卷（理15）】过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为【答案】22【解析】()()()()()()112222112222222212121212222222,,11012220222A x yB x y x y a b x y a bx x x x y y y y a b a b a b e +=+=-+-+∴+=-⨯∴+=∴=∴=设则18.【2014年北京卷（理11）】设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________. 【答案】y=±2x 【解析】与﹣x 2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x 2=m ，（m ≠0），∵双曲线C 经过点（2，2），∴m=，即双曲线方程为﹣x 2=﹣3，即，对应的渐近线方程为y=±2x ，故答案为：，y=±2x19.【2014年安徽卷（理14）】设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF B F AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为____________．【答案】12322=+y x yOF F A【解析】设)0,(),0,(21c F c F -，由x AF ⊥2轴得),(2b c A ，又由B F AF 113=得)3,35(2b c B --代入椭圆得92522=+b c ，将221b c -=代入得12332222=+⇒=y x b20.【2014年湖南卷（理15）】如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为b a ,)(b a <. 原点O 为AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过C 、F 两点，则=ab________.【答案】21+ 【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩21a b ⇒=+,故填21+.21.【2014年辽宁卷（理15）】已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .【答案】12【解析】如图：MN 的中点为Q ，易得，，∵Q 在椭圆C 上，∴|QF 1|+|QF 2|=2a=6，∴|AN|+|BN|=12．第III 部分22.【2014年陕西卷（理20）】（本小题满分13分）如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为32. （1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l的方程.解（I ）在C 1,C 2 的方程中，令y=0，可得b=1，且A （- 1 ，0），B(1，0)是上班椭圆C 1的左右顶点。

2014高考数学(理)复习方案：第52讲圆锥曲线的热点问题

－ 6， 6. 方法二：从三角换元的角度可以令 x＝ 5cosθ，y＝
sinθ，则 x＋y＝ 5cosθ＋sinθ＝ 6sin(θ＋φ)∈[－ 6， 6]． (2)根据抛物线定义抛物线上点(x0，y0)到焦点的距离 p p p 是 x0＋2，而 x0≥0，故 x0＋2≥2.
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第52讲
圆锥曲线的热点问题
考点
考频
示例(难度)
1.定点问题
点面讲考向 2.定值问题 3.范围问题 4.最值问题
0
0 解答 (1) 解答 (2)
2012年福建T19(C)
2012年江西T20(C) 2010年浙江T21(C) 2009年浙江T21(C)， 2012年浙江T21(B)
说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题，考频分析2009～2012年浙江卷情况．
[答案] (1)× (2)× [解析] (1)只要参数 λ 的系数为零即可，即对任意参数 λ 只要 x2＝1，y＝0，方程 x2＋λy2＝1(λ≠0)恒成立，即曲线 x2＋λy2＝1(λ≠0)过定点(± 1,0)． (2)抛物线方程变换为 y＝ax2＋(1－a)x，进一步变换为 a(x2－x)＋x－y＝0，只要 x2－x＝0，x－y＝0，则对任意参数 a 方程 a(x2－x)＋x－y＝0 恒成立，解得两点的坐标为(0,0)，(1,1)．
2 2 4 k m＋1 2m－4 4 k － 4 ＝k ＝ k · 2＝0，－＋ 2 m 2 2 1＋2k 1＋2k 1＋2k ∴m＝2， ∴直线 MQ 过定点(2,0)．
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第52讲
圆锥曲线的热点问题
点面讲考点
[点评]当直线经过x轴上的定点(a,0)时可以设直线方程为x＝my＋a，这种设法在解题中可以简化运算．本题的定点问题的难点是不容易把直线系MQ的方程使用一个参数表达，能够根据曲线的对称性判断出定点一定在x轴上是解决本题的关键．解决定点问题的另一个方法是把直线系(或者曲线系)用一个参数表达出来，只要存在点的坐标使方程与参数无关即可，见下面的变式题．

专题10 圆锥曲线-2014年高考数学考纲解读及热点难点试题演练 Word版含解析综述

(1)中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质，B 级要求； (2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A 级要求；(3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A 级要求；曲线与方程，A 级要求. （4）有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题.1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)． 2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)(焦点在y 轴上)．3．圆锥曲线的几何性质(1)椭圆：e ＝ca ＝1－b 2a2；(2)双曲线：①e ＝c a ＝1＋b 2a 2.②渐近线方程：y ＝±b a x 或y ＝±abx .4．求圆锥曲线标准方程常用的方法 (1)定义法 (2)待定系数法①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义；②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)；双曲线方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn ＞0)．这样可以避免讨论和繁琐的计算． 5．求轨迹方程的常用方法(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程；(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程； (3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；注意：①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.6．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝ 1＋k 2|x 2－x 1|或|P 1P 2|＝1＋1k2|y 2－y 1|.(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”来简化运算． 7．圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有①|OP |∈[b ，a ]； ②|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]； ③|PF 1|·|PF 2|∈[b 2，a 2]； ④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2. (2)双曲线中的最值F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有①|OP |≥a ； ②|PF 1|≥c －a . 8．定点、定值问题定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．9．解决最值、范围问题的方法解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数或建立不等关系，根据目标函数或不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.考点1、圆锥曲线的定义与标准方程【例1】设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________________．【解析】法一 x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，根据定义2a ＝|152＋12－152＋72|＝4，故a ＝2.又b 2＝32－22＝5，故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1. 法二 x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5，故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.【方法技巧】本例可有三种解法：一是根据双曲线的定义直接求解，二是待定系数法；三是共焦点曲线系方程，其要点是根据题目的条件用含有一个参数的方程表示共焦点的二次曲线系，再根据另外的条件求出参数．【变式探究】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为____________．考点2、圆锥曲线的几何性质【例2】 (2013·浙江卷改编)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．【规律方法】求解圆锥曲线的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出a ，c ，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于a ，c 的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e 的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数．【变式探究】(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.(2)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标为c ，则椭圆的离心率为________．考点3、求动点的轨迹方程【例3】在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a >b >0)为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足A M →·B M →＝－2，求点M 的轨迹方程．【规律方法】(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解．(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围．【变式探究】(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB |.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或187.难点一、圆锥曲线的弦长问题【例1】如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为40 3，求a ，b 的值．法二设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，可知|BF 1|＝3a －t . 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°，可得t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403，知a ＝10，b ＝5 3.【规律方法】在【解析】几何问题中，转化题目条件或者设参数解决问题时，根据题目条件，选择适当的变量是解题的一个关键，能够起到简化运算的作用(本例中可设|AB |＝t )．【变式探究】设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，A F →＝2F B →.(1) 求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程．难点二、定点、定值问题【例2】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．【规律方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．【变式探究】 (2013·安徽卷)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．难点三、最值、范围问题【例3】 (2013·新课标全国Ⅱ卷)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ： x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ABCD 面积的最大值．所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |·|CD |＝863.[规律方法] 求最值或求范围问题常见的解法有两种：【变式探究】已知椭圆C ：x 2m2＋y 2＝1(常数m ＞1)，P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)．(1)若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； (2)若m ＝3，求PA 的最大值与最小值； (3)若PA 的最小值为MA ，求实数m 的取值范围．1．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．2．(2013·福建卷)椭圆T：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆T的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．3．已知双曲线C与椭圆x216＋y212＝1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于________．4．在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数k，直线(3k＋1)x＋(k－3)y－(3k＋3)＝0恒过定点F.设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为2＋ 3.(1)求椭圆C的方程；(2)设(m，n)是椭圆C上的任意一点，圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l1：mx＋ny＝1和l2：mx＋ny＝4的位置关系．5．已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，OPOM＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．6．在平面直角坐标系xOy 中，过点A (－2，－1)椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，短轴端点为B 1、B 2，FB 1→·FB 2→＝2b 2.(1)求a 、b 的值；(2)过点A 的直线l 与椭圆C 的另一交点为Q ，与y 轴的交点为R .过原点O 且平行于l 的直线与椭圆的一个交点为P .若AQ ·AR ＝3OP 2，求直线l 的方程．所以a ＝22，b ＝ 2.7．已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．8．已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的公共顶点．P 是双曲线上的动点，M 是椭圆上的动点(P 、M 都异于A 、B )，且满足AP →＋BP →＝λ(AM →＋BM →)，其中λ∈R ，设直线AP 、BP 、AM 、BM 的斜率分别记为k 1、k 2、k 3、k 4，k 1＋k 2＝5，则k 3＋k 4＝________.9．在直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22，1)到两焦点的距离之和为4 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴下方，且AF →＝3FB →.求过O ，A ，B 三点的圆的方程．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)．点F 的坐标为F (3，0)．则AF →＝3FB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x 1＝x 2－，－y 1＝3y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－3x 2＋12，y 1＝－3y 2.① 又点A ，B 在椭圆C 上，10．(2013·浙江卷)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．11．已知椭圆的焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q 两点，且|PQ|＝3.(1)求椭圆的方程；(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．有f (t )≥f (1)＝4，S △F 1MN ≤124＝3，当t ＝1，m ＝0时，S △F 1MN ＝3，又S △F 1MN ＝4R ，。

【备战】高考数学高频考点归类分析圆锥曲线的焦点问题(真题为例)

圆锥曲线的焦点（含焦半径、焦点弦和焦点三角形）问题典型例题：例1. （2012年全国大纲卷理5分）已知12F F ，为双曲线22:2C x y -=的左右焦点，点P 在C 上，12PF PF =2，则12cos =F PF ∠【】A ．14B ．35C ．34D ．45【答案】C 。

【考点】双曲线的定义和性质的运用，余弦定理的运用。

【解析】首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。

由22222122x y x y -=⇒-=可知，a b ==∴2c =。

∴12=4F F 。

设21, PF k PF k ==2，则12PF PF k -=。

∴根据双曲线的定义，得122PF PF k a -===∴212, PF PF ==在12PF F ∆中，应用用余弦定理得22212121212328163cos =2324PF PF F F F PF PF PF +-+-∠==⋅。

故选C 。

例2. （2012年福建省理5分）已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于【】 A. 5 B ．4 2 C ．3 D ．5【答案】A 。

【考点】双曲线和抛物线的性质。

【解析】由抛物线方程知抛物线的焦点坐标F (3,0)，∵双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合， ∴双曲线的焦点为F (c,0)，且2249=5b b b +=⇒⇒。

∵双曲线的渐近线方程为：y ＝±b ax ， ∴双曲线焦点到渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪bc a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝b 。

故选A 。

例3. （2012年北京市理5分）在直角坐标系xOy 中.直线l 过抛物线2y =4x的焦点F ，且与该抛物线相交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上方。

若直线l 的倾斜角为60º，则△OAF 的面积为 ▲【考点】抛物线的性质，待定系数法求直线方程，直线和抛物线的交点。

2014高考数学知识点：圆锥曲线（含轨迹问题）

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2014高考数学二轮复习名师知识点总结：圆锥曲线中的热点问题

圆锥曲线中的热点问题1。

本部分主要以解答题形式考查,往往是试卷的压轴题之一,一般以椭圆或抛物线为背景,考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题,试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．1．直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ〉0,则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ〈0，则直线与椭圆相离．（2）直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y（或x）,得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ〉0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时,直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立,消去y（或x），得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时,直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1），P2(x2，y2），则所得弦长｜P1P2|＝错误!｜x2－x1|或|P1P2|＝错误!|y2－y1|，其中求｜x2－x1｜与｜y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝x1＋x22－4x1x2，｜y2－y1|＝错误!.(2）当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算（利用两点间距离公式）．3．弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．考点一圆锥曲线的弦长及中点问题例1 已知椭圆G ：x 2a 2＋错误!＝1(a 〉b 〉0)的离心率为错误!,右焦点(2错误!，0），斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形,顶点为P （－3,2)．（1）求椭圆G 的方程；(2）求△PAB 的面积．解（1）由已知得c ＝2错误!，错误!＝错误!.解得a ＝2错误!,又b 2＝a 2－c 2＝4。

2014高考复习专题_圆锥曲线技巧总结

【高考总复习】圆锥曲线概念方法技巧总结一.圆锥曲线的定义：定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

练习：1.已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（答：C ）； A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF2.方程8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）3.已知点)0,22(Q 及抛物线4x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。

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率。（Ⅱ）根据余弦定理，用 a 表示出 BF2 ， BF1 ，从而表示出 AB ，利用 AF1B 面
4
积为 40 3 列方程求解即可。
5
【答案】 3 。【考点】抛物线的性质，待定系数法求直线方程，直线和抛物线的交点。【解析】根据抛物线的性质，得抛物线 y2 =4x 的焦点 F（1，0）。 ∵直线 l 的倾斜角为 60º，∴直线 l 的斜率 k= tan 600 = 3 。 ∴由点斜式公式得直线 l 的方程为 y= 3 x 1 。
25 , AF BF , 则 AF = 12
5 。 6
▲
.
【考点】直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质，方程思想的应用。【分析】设直线的方程为 y k ( x
1 ) （由题意知直线的斜率存在且不为 0）， 2
2 2 2
k2 0。代入抛物线方程，整理得 k x (k 2) x 4

1 2
3 。 2
【考点】抛物线的定义和性质。【解析】抛物线 y 4 x 的准线 l : x 1 。
2
设 AFx (0 ) ， BF m 。 ∵ | AF | 3 ，∴根据抛物线的定义，点 A 到准线 l : x 1 的距离为 3 。
2
∴ 3 2 3cos ，即 cos
k2 1 4 0 得 x1 , x2 。 3 3 4
1 5 。∴ | AF | 。 3 6
例 7. （2012 年安徽省文 13 分）如图， F 1F2 分别是椭圆 C ：
x2 y2 + =1（ a b 0 ） a2 b2
3
A 是椭圆 C 的顶点， B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点，的左、右焦点， F1 AF2 60 .[
x2 y 2 1 可知，a b 2 ，∴ c a2 b2 2 。 2 2
cos F1PF2 =
PF12 PF22 F1F22 32 8 16 3 。故选 C。 2PF1 PF2 32 4
例 2.（2012 年福建省理 5 分）已知双曲线－ 2＝1 的右焦点与抛物线 y ＝12x 的焦点重合， 4 b 则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于【 A. 5 【答案】A。【考点】双曲线和抛物线的性质。【解析】由抛物线方程知抛物线的焦点坐标 F(3,0)， ∵双曲线－ 2＝1 的右焦点与抛物线 y ＝12x 的焦点重合， 4 b ∴双曲线的焦点为 F(c,0)，且 4 b2 9 b2 =5 b= 5 。 B．4 2 C．3 D．5 】
（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）已知 AF1B 面积为 40 3 ，求 a , b 的值
【答案】解：（I）∵ F 1 F2 是等边三角形。∴ a 2c 。 1 AF 2 60 ，∴ AF
∴椭圆 C 的离心率 e
c 1 。 a 2
（Ⅱ）设 BF2 m ；则 BF 1 2a m 。
1 1 3 3 F2 F1 AB sin 60 a (a a) 40 3 ， 2 2 5 2
∴ S AF1B
解得 a 10 。 ∴c
1 a =5, b a 2 c 2 =5 3 。 2
【考点】椭圆性质和计算，余弦定理。
【解析】（I）根据 F 1 F2 是等边三角形，从而可得 a 2c ，求出离心 1 AF 2 60 可知 AF
圆锥曲线的焦点（含焦半径、焦点弦和焦点三角形）问题
典型例题：例 1. （2012 年全国大纲卷理 5 分）已知 F1，F2 为双曲线 C : x2 y 2 2 的左右焦点，点P在
C 上，
PF1 = 2 PF2 ，则 cos F1PF2 = 【
A．
】 C．
1 4
B．
3 5
3 4
Байду номын сангаас
D．
4 5
1 。 3 2 3 。 1 cos 2
又由 BF m ，得 m 2 m cos( ) ，即 m
例 5. （2012 年辽宁省文 5 分）已知双曲线 x2 y 2 =1 ，点 F1 , F2 为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若 PF1 PF2 ,则 PF 1 PF 2 的值为【答案】 2 3 。【考点】双曲线的定义、标准方程以及转化思想。【解析】由双曲线的方程可得 a 1, c ∴ PF1 2 PF1 PF2 PF2
x2 y2
2
x2 y2
2
1
∵双曲线的渐近线方程为：y＝± x，
b a
∴双曲线焦点到渐近线的距离 d＝
bc a ＝b = 5 。故选 A。 b2 1＋ a
例 3. （2012 年北京市理 5 分）在直角坐标系 xOy 中.直线 l 过抛物线 y2 =4x 的焦点 F，且与该抛物线相交于 A、B 两点，其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60º，则△OAF 的面积为 ▲
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，则 x1 x2 1 又∵ AB
2 2
2 。 k2
25 13 2 25 1 2 ，解得 k 2 24 。，∴ x1 x2 1 。∴ x1 x2 12 12 k 12
2
代入 k x (k 2) x ∵ | AF || BF | ，∴ x
0 在 BF 1F 2 中，∵ F 1 FB 120 ， 1F 2 =a ， F
∴ BF1 BF2 F1 F2 2 BF2 F1 F2 cos120 ，
2
2
2
即 (2a m) m a am ，解得 m
2 2 2
3 a。 5
∴ BF2
3 3 7 a ， BF1 2a a = a 。 5 5 5
1 x2 = 2 x =3 1 3 y =4x ∴ 。， 2 3 y1 =2 3 y= 3 x 1 y2 = 3
∵点 A 在 x 轴上方，∴ A 3, 2 3 。 ∴△OAF 的面积为 1 2 3= 3 。例 4. （2012 年安徽省文 5 分）过抛物线 y 2 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点，若 | AF | 3 ，则 | BF | = 【答案】 ▲
2 2 2
▲
.
2 ，∴ PF1 PF2 2a 2 。
4。
2
∵ PF1 PF2 ，∴ PF1 PF2
(2c) 2 8 。∴ 2 PF 1 PF 2 4。
2 ∴ ( PF 1 PF 2 ) 8 4 12 。∴ PF 1 PF2 2 3 。
例 6. （2012 年重庆市理 5 分）过抛物线 y 2 2 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A, B 两点，若 AB 【答案】
【答案】C。【考点】双曲线的定义和性质的运用，余弦定理的运用。【解析】首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。由 x2 y 2 2 ∴ F1 F2 =4 。设 PF2 k , PF 1 = 2k ，则 PF 1 PF2 = k 。 ∴根据双曲线的定义，得 PF 1 PF2 = k 2a 2 2 。 ∴ PF2 2 2, PF 1 =4 2 。在 PF1F2 中，应用用余弦定理得