高数(1)第9讲

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定义4 定义 如果函数ƒ(x)在 x0 处满足下述条件中的任何一 个: (1) ƒ(x)在 x0 处没有定义;
lim (2) ƒ(x)在 x0 处虽有定义, 但 x→x0 f ( x) 不存在;
(3) ƒ(x)在 x0 处虽有定义, 且 lim f ( x) 存在, x→x0 但 lim f ( x) ≠ f ( x0 ) ,
高等院校非数学类本科数学课程
高等 数 学（1）
第9讲 讲
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§2.6 连续函数 连续函数是非常重要的一类函数.也是函数的一种 重要的性态. 然界中的许多变量都是连续变化着的, 即 在很短的时间内, 们的变化都是很微小的. 这种现象反 映在函数关系上, 就是函数的连续性; 对函数曲线来说 就是从起点开始到终点都不间断. 改变量) 一.函数增量(改变量 函数增量 改变量 设函数 y =ƒ(x), 当 x从 x0变到 x1时,自变量的改变 量(x在 x0 处的增量)记为 ∆x=x1–x0. 相应的函数从f(x0) 变到f(x1)时,其函数值之差
− −
故 f ( x)在 = 1处 续 x 连 .
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三.函数的间断点 由函数在一点连续的等价定义2知, 函数要在一点 连续必有 (1) ƒ(x)在x0 处有定义;
(2) f ( x0− )存在且f ( x0+ )存在.
(3) f ( x0− ) = f ( x0+ ) = f ( x0 )
其中有一个条件不满足就称ƒ(x)在 x0 处间断. 即
x→x0
lim f ( x) = f ( x0 )
⇔ xlim →x
− 0
f ( x) = lim+ f ( x) = f ( x0 )
x→x0
定义 若函数ƒ(x)在开区间 (a , b) 内的每一点都连续, 则称函数ƒ(x)在开区间 (a , b) 内连续; 若函数ƒ(x)在开区间 (a , b) 内连续, 且在左端点 a 右连续 , 在右端点 b 左连续 , 则称函数 ƒ(x) 在闭区间 [a , b] 内连续.
y
y=ƒ(x)
a oξ1
ξ2 b x
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注: 定理中的连续性与闭区间条件缺一不可. 如函 数 y = x 在(0, 1)内连续却没有最大、小值. 又如
1 − x 0 ≤ x < 1 f ( x) = 1 x =1 3 − x 1 < x ≤ 2
在闭区间[0, 2]上有间断点 x = 1, 而函数ƒ(x) 在[0, 2]上却无最大、小值.
(1 + x) (1). lim x→π sin x 2
ecos x
=
x→ 2
lim(1 + x) π
x→ 2
ecos x
limsin x π
= 1+
π
2
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ln(1 + t ) (2).lim t →0 t
= limln(1 + t )
t →0 1 t
= lnlim(1 + t ) = ln e = 1
x→x0
lim− f ( x) = f ( x0− ) = f ( x0 )
若 lim+ f ( x) = f ( x0 ), 则称函数 ƒ(x)在 x0 处右连续. 记为
x→x0
x→x0
lim+ f ( x) = f ( x0+ ) = f ( x0 )
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结论: 结论 函数ƒ(x)在x0 处连续的充要条件是ƒ(x)在 x0 处既 左连续又右连续. 即
几何意义: 几何意义: (如右图)在[a, b]上连续的曲线 y = ƒ(x) 的两个端点如果分布在 x 轴的两侧, 则在(a, b)内, 此曲线必与X 轴至少有一个交点. 代数应用:零点存在定理给了大家一个判定方程在某 代数应用 个区间上是否有根以及寻找近似根的方法.
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例25. 证明方程 x 3-4x2+1=0 在区间(0, 1)内至少有一个 实根. 证明 设ƒ(x)= x3 -4x2 +1=0,则ƒ(x)在闭区间[0,1]上满足零点 ƒ 存在定理; 故方程x3-4x2+1=0在区间(0, 1)内至少有一个实根ξ.
t →0
1 t
(3). lim( x2 + x + 1 − x2 − x + 1)
x→+∞
= lim
x2 + x + 1 − x2 + x − 1 x2 + x + 1 + x2 − x + 1 2x =1 x2 + x + 1 + x2 − x + 1
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x→+∞
= lim
x→+∞
(4).lim n[ln n − ln(n + 2)]
∆y = f ( x1 ) − f ( x0 )
叫做函数的增量.改变量 ∆ x,∆y 可正可负, ∆y还可为0.
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二. 连续函数的定义 图1中的函数曲线 (连续)而不间断. 即
y y=ƒ(x)
当∆x → 0时, ∆y → 0.
∆x
}∆y
o
x0
图1
x1
x
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而图2中的函数曲线却间断. 即
当∆x → 0时, ∆y 不一定趋于0.
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y=ƒ(x)
b
x
定理19 (零点存在定理 零点存在定理)若函数ƒ(x)在 定理 零点存在定理 闭区间[a, b]上连续, 且ƒ(a)与ƒ(b) 异 号(即ƒ(a)ƒ(b) < 0), 至少存在一点
y y=ƒ(x)
ξ3
a o ξ1 ξ 2
•• •
b x
ξ ∈ (a, b), 使得f (ξ ) = 0.
g( x)
2. 反函数与复合函数的连续性 . 定理14 设函数 y = ƒ(x)在某个区间上单调且连续, 则 定理 其反函数y= f -1(x)在相应区间上亦单调且连续.
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定理15 设函数u=φ(x)在 x0 处连续, 且 ϕ( x0 ) = u0 , 而函数ƒ(u) 定理 在 u0 处连续, 则复合函数 y =ƒ[φ(x)]在 x0 处也连续. 注: 由连续的定义可证明: 基本初等函数在其定义域内 连续. 从而一切初等函数在其有定义的区间连续. 例24. 求下列函数极限
此时函数 g(x)
1 x>0 sin 振荡间断点. f ( x) = x 0 x≤0
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四. 连续函数的性质 1. 连续函数的四则运算 定理13 函数ƒ(x)与g(x)在x0 处连续,则函数ƒ(x) + g(x), 定理 f ( x) ( g( x0 ) ≠ 0) 在x0 处也连续. ƒ(x)g(x),
ξ 3 − 4ξ 2 + 1 = 0(0 < ξ <1)
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作业
• P45:13,14,17; • P46:19,20.
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x→x0
从而有函数在一点连续的等价定义 定义2 定义 设函数ƒ(x)在 x0 的某邻域内有定义, 若
x→x0
lim f ( x) = f ( x0 )
则称函数ƒ(x)在 x0 处连续. 称 x0为连续点.
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因
x→x0
lim f ( x) = A ⇔ lim− f ( x) = lim+ f ( x) = A
x→x0
则称ƒ(x)在 x0 处间断, 并称 x=x0 为函数的间断点.
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根据间断点的不同特点可进一步分为
可去间断点：f ( x0− ) = f ( x0+ ) 第一类间断点：左右极限都存在的间断点 跳跃间断点：f ( x0− ) ≠ f ( x0+ ) 无穷间断点 第二类间断点：左右极限中至少有一个不存在的间断点振荡间断点
例23 x = 0是函数 s g n (x) 的跳跃间断点;
1 x = 0是函数 y = 的无穷间断点; x
x x ≠1 x =1是函数 f ( x) = 1 2 x = 1
可去间断点,
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可重新定义函数 在x = 1处连续. x = 0是函数
x x ≠ 1 g( x) = 1 x = 1
y
1
º •
1
o
°
2
x
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定理17 (有界性定理 有界性定理)若函数 ƒ(x) 在闭区间[a, b] 上连续, 定理 有界性定理 则 ƒ(x)在[a, b]上一定有界.显然有 m≤f(x)≤M 定理18 (介值定理 介值定理)若函数 ƒ(x) 在闭区间 定理 介值定理 y [a, b]上连续, 且 m 与 M 分别为ƒ(x)在 M [a, b]上的最小值与最大值, 则对于任意介 C m 于m与M之间的实数 C (m<C<M), 至少 ao ξ ξ2 1 存在一点 ξ ∈ (a, b), 使得 f (ξ ) = C. 几何意义: 几何意义 (如上图)介于[a, b]内的连续曲线的最高点与 最低点之间的任意直线y = C(m<C<M), 至少与该曲线 y = ƒ(x)相交于一点.
y
y=ƒ(x)
° ∆x
o
}∆y
x
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x0 x1
图2
定义1 定义 设函数ƒ(x)在 x0的某邻域内有定义,在 x0 处给 x一个增量∆ x, 当∆x → 0时, 有∆y → 0. 即
∆x→0
lim ∆y = lim[ f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )] = 0.
∆x→0
则称函数ƒ(x)在 x0 处连续. 称 x0 为连续点.
n→∞
2 n ) = limnln(1 − 解 原式 = limnln n→∞ n→∞ n+ 2 n+ 2 2 n 2 n ) = lnlim(1 − ) = limln(1 − n→∞ n→∞ n+ 2 n+ 2
−2n = ln en→∞ n+2 lim
= ln e−2 = −2.
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3. 闭区间上连续函数的性质 . 定理16 (最大值与最小值定理 最大值与最小值定理)若函数 ƒ(x)在闭区间 定理 最大值与最小值定理 [a,b]上连续, 则在[a,b]上ƒ(x)一定有最大值与最小值. 如右图中的 ξ1 与 ξ2 便分别是最小值点与最大值点.
y y=ƒ(x)
}∆y
∆x
o x0
x0 + ∆x x
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注:
因 lim[ f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )] = 0 ⇔ lim f ( x0 + ∆x) = f ( x0 );
∆x→0 ∆x→0
令 x = x0 + ∆x, 当 ∆x → 0时,有x → x0，从而
∆x→0
lim ∆y = 0 ⇔ lim f ( x) = f ( x0 ).
x→x0 x→x0
0
lim lim 则有 x→x f ( x) = f ( x0 ) ⇔ − f ( x) = lim+ f ( x) = f ( x0 )
x→x0 x→x0
对应有左、右连续的概念. 定义3 定义 若 xlim f ( x) = f ( x0 ) →x
→
− 0
则称函数ƒ(x)在x0处左连续; 记为
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例22. 解
x2 0 ≤ x < 1 讨论函数 f ( x) = 在x = 1 2− x 1 ≤ x ≤ 2
处的连续性.
Q
∴ lim f ( x) = f (1) = 1
x→1
x→1
lim f ( x) = lim(2 − x) = 1 + +
x→1
lim lim 2 f (1) = 1 且 x→1 f ( x) = x→1 x = 1